G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso E...

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso

• E’ possibile determinare la posizione del CR con la sola conoscenza dell’angolo

• Un CR in rotazione attorno a d un asse fisso ha un solo grado di libertà

• È sufficiente una sola equazione scalare per determinare il suo moto.

• Facciamo riferimento all’anta di una porta

Asse di rotazione

Vista dall’alto


Rotazione di un corpo rigido attornono ad un asse fisso

• Nel caso della rotazione la forza non è direttamente responsabile dell’effetto prodotto.

• Supponiamo di applicare forze perpendicolari al piano della porta:

• Se applichiamo una forza a distanza nulla d’asse di rotazione:

• l’effetto è nullo: non c’è nessun moto

• Cerchiamo quindi una relazione tra le forze applicate e l’accelerazione (angolare) prodotta.

• Man mano che ci allontaniamo dall’asse di rotazione, a parità di forza, l’effetto (l’accelerazione angolare della porta ) è sempre più vistoso

• Ecco perché la maniglia si mette il più lontano possibile dall’asse di rotazione

Vista dall’alto



• L’effetto, l’accelerazione (angolare) prodotta, sembra dipendere dal momento della forza rispetto al polo O

• Il modulo del momento vale infatti:

• Sembra quindi che l’effetto, l’accelerazione (angolare) prodotta, dipende dal prodotto della forza per il braccio

• Braccio=distanza della retta di azione della forza d’asse di rotazione

Vista dall’alto

b

O

O r

F

r M o =

r r ×

r F =Frsenϕ =Fb

rF

• Si osservi che in questo caso il momento della forza è parallelo all’asse di rotazione



• L’effetto è maggiore quando l’angolo è 90°• È nullo quando è 0° o 180°• Questa osservazione ci conferma che la causa

delle rotazioni è il momento della forza. • Infatti:

• Possiamo ulteriormente investigare questa conclusione facendo variare l’angolo della forza rispetto al vettore posizione mantenendo la forza nel piano perpendicolare all’asse di rotazione

Vista dall’alto

O

O r

r M o =

r r ×

r F =Frsenϕ =Fb

r F

• Che è massimo quando è 90°, è nullo quando è 0° o 180°

• Si osservi che anche in questo caso il momento della forza è parallelo all’asse di rotazione

bF

b



• Lo stesso modulo del momento quando la forza F è perpendicolare al piano della porta

• Ma in questo caso l’effetto prodotto è nullo!!• Non si verifica alcun moto della porta.

• Concludiamo questo discorso considerando forze nel piano della porta.• Se consideriamo una forza perpendicolare al vettore posizione r

• Il modulo del momento è

O r

F

r M o =

r r ×

r F =Frsenϕ =Fb

• Cosa c’è di diverso nei due casi??• Osserviamo che in questo caso il momento Mo è

perpendicolare all’asse di rotazione• In precedenza esso era parallelo all’asse di

rotazione• Possiamo concludere:

• Il moto di rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso dipende dalla componente del momento della forza lungo l’asse di rotazione (Momento assiale)


Equazione del moto di rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso

• Abbiamo dedotto:– il moto di rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso dipende dal

momento assiale (la componente del momento delle forze esterne lungo l’asse di rotazione)

• Si trova infatti che: Iα =Mz

Equazione del moto di rotazione di un CR attorno ad un asse fisso

• I = momento di inerzia del CR rispetto all’asse di rotazione

• accelerazione angolare

• Mz componente assiale del momento delle forze esterne


Verifica dell’equazione del moto di rotazione di un CR rispetto ad un asse fisso

• Consideriamo un caso semplice in cui un corpo rigido è costituito da un singolo punto materiale in rotazione attorno ad un asse fisso (l’asse z).

• La componente radiale della forza non produce alcun effetto perché l’asta provvede ad annullare il suo effetto (la distanza dall’asse di rotazione deve rimanere costante).

• Invece la componente tangente: Ft =mat =mrα

• Il momento della forza F rispetto al punto O è:

r M o =

r r ×

r F

r M o =

r r ×

r F =Frsenϕ =Ftr• Il cui modulo è:

• Il momento è diretto parallelamente all’asse z

M z =r M o =Ftr

• Moltiplicando per r: Ftr =mr2α

M z =Iα


Legame tra l’equazione del moto di rotazione del CR e la II equazione cardinale della dinamica dei sistemi

• Consideriamo un sistema di punti materiali, rigido, in rotazione attorno all’asse z con velocità angolare .

• Consideriamo la particella i-esima.

y

x

z

R

i

i

PiP'i

O

r

l i

r

r i

r

v i

r r i vettore posizione

R i distanza dall'asse di rotazione

vi =ωR i modulo della velocitàr l i =r r i ×mi

r v i momento della quantità di moto

l i =rimivi =rimiωR i modulo del momento della quantità di motol iz =l i cos90°−θi( ) =

=miωR i ri senθi

R i1 2 3

=miRi2ω componente assiale

L z = l iz

i=1

n

∑ = miRi2ω

i=1

n

∑ = miR i2

i=1

n

∑⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ω=Iω

dr L odt

=r M o ⇒

dLz

dt=Mz

L z =Iω ⇒

dLz

dt=

d Iω( )dt

= I=cost1 2 3

=Idωdt

=Iα =Mz

• Se il corpo è simmetrico rispetto all’asse di rotazione: Lx=0, Ly=0

j

l j


Calcolo del momento assiale delle forzemetodo 1

• Il primo metodo consiste nello scegliere un qualsiasi polo O sull’asse di rotazione (punto fisso)

• Calcolare il momento di ciascuna forza esterna rispetto al polo O (modulo direzione e verso)

• Calcolare il momento risultante

• Determinare la componente del momento risultante secondo l’asse di rotazione

x

y

z asse di rotazione

r

F

r

F ⊥

retta di azione di

r

F⊥

O

r

r

r

F

b

r M o =

r r ×

r F

• Il momento assiale di una forza non dipende dal polo O scelto per calcolarlo.

O

O’r’

r

F

r M o =

r r ×

r F

r M o' =

r r '×

r F

r M o −

r M o' =

r r ×

r F −

r r '×

r F =

r r −

r r '( )×

r F =OO'×

r F

• I due momenti differiscono per un vettore perpendicolare all’asse: questo vuol dire che le componenti assiali sono uguali.

Perpendicolare a OO’

r M o =

r r ×

r F =

r r +

r r ⊥( )×

r F +

r F ⊥( ) =

r r ×

r F

⊥ all'asse1 2 3

+r r ⊥ ×

r F

⊥ all'asse1 2 3

+r r ×

r F ⊥

⊥ all'asse1 2 3

+r r ⊥ ×

r F ⊥ ⇒ Mz =±F⊥b


Calcolo del momento assiale delle forzemetodo 2

• si prende il modulo del vettore componente della forza nel piano perpendicolare all’asse di rotazione.

• Si moltiplica tale modulo per il braccio della forza (la distanza tra la retta di azione del vettore componente della forza perpendicolare all’asse di rotazione e l’asse di rotazione)

• Si assegna a questo prodotto il segno positivo se la forza produce una rotazione antioraria, negativo se la rotazione prodotta è oraria.

• Il momento assiale complessivo si ottiene sommando i singoli contributi di ciascuna delle forze esterne agenti:

x

y

z asse di rotazione

b

r

F

r

F ⊥

retta di azione di

r

F⊥

Mz

= + F⊥

b

( )rotazione antioraria

x

y

z asse di rotazione

b

r

F ⊥

retta di azione di

r

F⊥

Mz

= + F⊥

b

( )rotazione antioraria

M z =+F⊥b rotazione antioraria

−F⊥b rotazione oraria ⎧ ⎨ ⎩

M z = M iz

i=1

numforze

∑

r M o =

r r ×

r F =

r r +

r r ⊥( )×

r F +

r F ⊥( ) =

r r ×

r F

⊥ all'asse1 2 3

+r r ⊥ ×

r F

⊥ all'asse1 2 3

+r r ×

r F ⊥

⊥ all'asse1 2 3

+r r ⊥ ×

r F ⊥ ⇒ Mz =±F⊥b


Applicazione

• La figura rappresenta un disco uniforme di massa M=2.5 kg e raggio R=20 cm montato su un mozzo orizzontale fisso. Un blocco di massa M=1.2 kg è appeso ad un filo privo di massa avvolto intorno al bordo del disco. Trovare l’accelerazione di caduta del blocco, l’accelerazione angolare del disco e la tensione del filo. Il filo non slitta e il mozzo gira senza attrito.

• Il moto del disco è un moto di rotazione attorno ad un asse fisso

• Introduciamo un sistema di riferimento

Rv

x

y

• L’asse di rotazione coincide con l’asse z

• L’equazione del moto di rotazione M z =Iα

• Il momento di inerzia I (disco omogeneo rispetto al suo asse)

I =12

MR2 =12

×2.5kg× .20m( )2 =.05kgm2

• Dobbiamo ora calcolare Mz:

– Le forze esterne agenti sul disco sonotensione MzT =−TR

peso MzP =0

reazionevincolareMzRv=0

P

• L’equazione del moto:

−TR =12

MR2α


Applicazione

• La figura rappresenta un disco uniforme di massa M=2.5 kg e raggio R=20 cm montato su un mozzo orizzontale fisso. Un blocco di massa M=1.2 kg è appeso ad un filo privo di massa avvolto intorno al bordo del disco. Trovare l’accelerazione di caduta del blocco, l’accelerazione angolare del disco e la tensione del filo. Il filo non slitta e il mozzo gira senza attrito.

• Per il corpo di massa m invece: Rv

x

y

• Abbiamo ottenuto due equazioni con le incognite T, ay, . P

• Ruotiamo il disco di un angolo in senso antiorario ( negativo), osserveremo il corpo di massa m abbassarsi di un tratto y anch’esso negativo:

−TR =12

MR2α

T −mg=may

r T +

r F g =m

r a y T −mg=may

• Le equazioni non sono sufficienti.

• Ma sappiamo che la corda è inestensibile quindi c’è una relazione tra ay,

Δy =RΔθ• Dividendo per t, e passando al limite

ΔyΔt

=RΔθΔt

⇒ vy =Rω

• E con una seconda derivazione si ottiene

ay =Rα


Applicazione

• La figura rappresenta un disco uniforme di massa M=2.5 kg e raggio R=20 cm montato su un mozzo orizzontale fisso. Un blocco di massa m=1.2 kg è appeso ad un filo privo di massa avvolto intorno al bordo del disco. Trovare l’accelerazione di caduta del blocco, l’accelerazione angolare del disco e la tensione del filo. Il filo non slitta e il mozzo gira senza attrito.

• Il sistema diventa Rv

x

y

• O meglio:P

−TR =12

MRay

T −mg=may

• Sostituendo:

−T =12

May

T −mg=may

ay =−mg

m+12M

=−−1.2×9.811.2+1

2 ×2.5=

−11.72.45

=−4.77ms2

T =−12

May =−12 ×2.5 −4.77( ) =5.96N

T =−12

May

−12

May −mg=may

α =ay

R==

−4.77ms2

.20m=−23.8rad

s2

T =−12

May

−mg= m+12

M⎛ ⎝

⎞ ⎠ ay


Il lavoro nei moti di rotazione• Facendo riferimento all’applicazione precedente

calcoliamo il lavoro infinitesimo fatto dalla tensione T relativamente ad uno spostamento angolare infinitesimo d:

ddr

dW=r T ⋅d

r r =Tdscosϕ =T −Rdθ( )=−TRdθ=M zdθ

• Il lavoro per una rotazione finita sarà:

W = Mzdθθo

θf

∫• La potenza:

P =dWdt

=Mzdθdt

=M zω

Si osservi che poiché la corda è inestensibile il lavoro complessivo fatto dalle due tensioni ai due capi della corda è nullo.

dr1

dr2

• Nel caso della figura ds, il modulo dello spostamento infinitesimo, è uguale a -Rd (il segno meno si giustifica per il fatto che d è negativo, mentre ds deve essere positivo)


Applicazione

• Con riferimento all’applicazione precedente in cui un disco uniforme di massa M=2.5 kg e raggio R=20 cm montato su un mozzo orizzontale fisso e un blocco di massa m=1.2 kg è appeso ad un filo privo di massa avvolto intorno al bordo del disco, calcolare la velocità del corpo di massa m dopo che ha percorso 1m supponendo che inizialmente fosse fermo.

• Calcolare la corrispondente velocità angolare del disco.• Calcolare l’angolo di cui ha ruotato il disco.• Verificare che il lavoro fatto dalla tensione sul disco

è uguale alla variazione della sua energia cinetica.

• Noi abbiamo già calcolato l’accelerazione uniforme del corpo di massa m.

• Potremmo risolvere il problema per via cinematica:

Rv

x

y

Pv2 −vo2 =2ay(y−yo)

⇓

v = 2 −4.77( ) −1( ) =3.1ms

ω =vR

=3.1m

s

0.2m=15.5rad

s

• Possiamo anche risolvere il problema con la conservazione dell’energia:

ΔE =Wnc=WT1+WT2

=01 2 4 3 4

+ WRv

app. a un punto fermo1 2 4 4 3 4 4

=0• La forza peso della carrucola non fa

lavoro


Applicazione



è uguale alla variazione della sua energia cinetica.Rv

x

y

P

ΔE =Wnc=WT1+WT2

=01 2 4 3 4

+ WRv

app. a un punto fermo1 2 4 4 3 4 4

=0

Ei =Ef ⇒ K i +Ui =K f +Uf

0+mgh=12

mv2 +12

Iω2 +0

mgh=12

mv2 +12

12

MR2ω2

v21 2 3 =

12

m+12

M⎛ ⎝

⎞ ⎠ v

2

v2 =2mgh

m+12

M⎛ ⎝

⎞ ⎠

=2×1.2×9.81×1

1.2+12

2.5⎛ ⎝

⎞ ⎠

=9.6m2

s2

v = 9.6m2

s2 =3.1ms

ω =vR

=3.1m

s

0.2m=15.5rad

s


Applicazione



è uguale alla variazione della sua energia cinetica.Rv

x

y

P

Δθ=hR

=1m

0.2m=5rad

ΔK =K f −K i =12

Iω2 =12

12

MR2ω2 =

=14

×2.5×.22 ×15.52 =6.0J

WT = Mzdθ0

θ

∫ = TRdθ0

θ

∫ =TRΔθ=5.96×.2×5=5.96J

• Ricordiamo il valore della tensione T determinato precedentemente (T=5.96N)

• Per il teorema delle forze vive:

ΔK =Wrisultante =WT +WP +WRv

=01 2 4 3 4

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