Capitolo 3

La torsione

Sollecitazioni semplici: la torsione

Definizione

Un elemento strutturale è soggetto a sollecitazione di torsione quando su di

esso agiscono due momenti uguali ed opposti giacenti su un piano

perpendicolare all’asse longitudinale della trave.

In pratica, si può avere torsione anche se agisce una sola coppia allorquando

l’elemento è vincolato. Infatti alla coppia applicata, si oppone quella prodotta

dalla reazione dei vincoli

Dunque, in definitiva la trave risulta soggetta a due momenti uguali ed opposti (T e T’) normali all’asse longitudinale della struttura (in questo caso la

barra)

Qualche esempio...

F l

Alla coppia torcente T si oppone generalmente

quella prodotta dalla reazione dei vincoli.

In definitiva l’elemento risulta essere soggetto a

due momenti uguali ed opposti che tendono a

far ruotare una sezione rispetto alla precedente per

cui l’ultima sezione, distante “L” dalla prima,

risulterà ruotata di un angolo (Φ).

T= coppia torcente, L=lunghezza barra, G=modulo

di elasticità trasversale (per l’acciaio G=0.385 E) ,

Jp=momento di inerzia polare della sezione

Una generatrice del cilindro (AB) si deforma

secondo un arco di elica cilindrica poiché

l’estremo A si sposta in A’ .

Una fibra interna, parallela alla generatrice,

subisce lo stesso tipo di deformazione ma di entità minore poiché è più vicina al centro.

Deformazioni torsionali

p

TL

GJφ =

Gli scorrimenti dei singoli punti di una generica sezione (normale all’asse) sono funzione della loro distanza dal centro e lo stesso potrà dirsi della tensione

interna che sarà di tipo tangenziale (τ), massima alla periferia e caratterizzata a

diminuzione con legge lineare sino al valore zero, che si ragiunge in

corrispondenza del centro.

Queste conclusioni sono esatte solo per sezioni circolari piene o cave, infatti, in

questi casi, le sezioni rimangono piane.

Sollecitazioni torsionali

Espressione generale

Valore massimo

� �� ∙ �

��

�� �� ∙ �

��

Sollecitazioni torsionali

I momenti di inerzia polari per le sezioni

circolari piene e cave valgono

rispettivamente:

4

32p

DJ

π=

( )4 4

32p

D dJ

π −=

E quindi risulta per esempio per la sezione

piena:

( )max 4 3 34

32 16 52

2

32

tt t t

DM M D M M

D D DDτ

π ππ= = = ≈

�� �� ∙ �

��

Sezione piena Sezione cava

Un esempio

Per l’albero cavo mostrato in figura, sottoposto ad un momento torcente pari a

2400 Nm, determinare

a) la massima tensione tangenziale

b) il diametro di un albero pieno nel quale la massima tensione tangenziale è

la stessa ottenuta al punto a)

Nel corpo umano...

Il corpo umano si trova spesso soggetto all’azione di

sollecitazioni torsionali.

La colonna vertebrale, per esempio, consente di effettuare

movimenti torsionali, limitati dall’azione di muscoli e strutture

tendinee/legamentose.

Queste devono essere in grado di resistere alla sollecitazione

esterna, contrastandola con un momento torcente uguale e

contrario affinché sia ripristinato l'equilibrio.

Momento torcente massimo sopportabile in funzione del diametro dell’osso

Momento torcente massimo sopportabile in funzione della sezione resistente

Nel corpo umano...

L’articolazione di ginocchio è frequentemente

interessata da traumi distorsivi provocati da eccessive

sollecitazioni torsionali.

Nei casi più gravi, si osservano lesioni dei legamenti

crociati, che sono quelli che assicurano la stabilità e la

rotazione dell’articolazione

Un esempio…(corpo umano)

Fratture spiroidi da torsione

Un esempio…(corpo umano)

Segmento scheletrico Momemto Torcente Terminale Tt (N m)

Angolo di frattura Φt (gradi)

Femore 100 1.5

Tibia 140 3.5

Fibula 12 35.7

Omero 60 5.9

Radio e Ulna 20 15.4

Vertebra Cervicale 5 38

Vertebra Lombare 44 15

Un esempio…(corpo umano)

Frattura per torsione della tibia in uno sciatore

F

d

→→→→

Tt = 140 N m = F d

d = 1 m F = 140 N

φφφφt = 3.5°

360°

spostamento della punta di

100 cm 3.5°

2ππππ = 6.1 cm !!

(sgancio da allacciamenti di sicurezza)

Conversione gradi-radianti

Altri esercizi

Nell’asta di ottone AB la tensione ammissibile è di 50 MPa, mentre per l’asta di

alluminio BC il valore scende a 25 MPa.

Sapendo che all’asta è applicato un momento torcente di 1250 Nm in A,

determinare i diametri necessari per le due aste.

Altri esercizi

L’albero AB è costruito in acciaio con tensione tangenziale massima ammissibile

pari a 90 MPa, mentre l’albero BC è realizzato in alluminio, con tensione

tangenziale massima ammissibile pari a 60 MPa.

Sapendo che il diametro dell’albero BC è pari a 50 mm determinare

a) La massima coppia torcente che può essere applicata in A se non si deve

superare la sollecitazione ammissibile nell’albero BC

b) Il corrispondente diametro dell’albero AB

Alluminio

Acciaio

Capitolo 3

La torsione

Sollecitazioni semplici: trazione-compressione

Effetti di un carico di trazione

� � � �

��Δ

�

Effetti di un carico di trazione

Sforzi e deformazioni

Sforzi e deformazioni

Sforzi e deformazioni