2018-2019 Cinematica del punto...

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Meccanica2018-2019

Cinematica del punto materiale


Moto nei pressi della superficie terrestre

x

yy

a gu= −� �

xu�

yu�

O

0v�

0θ

Gx

2

00sin(2 )G

vx

gθ=

Gittata massima:0 Max( ) 45

4

πθ = = °2

0Max( )

G

vx

g=

Gittata:

0 0( ) ( cos )x t v tθ=2

0 0

1( ) ( sin )

2y t v t gtθ= −

Equazione del moto:

2

0 2 2

0 0

( ) tan2 cos

gy x x x

vθ

θ= −

Traiettoria:


Moto nei pressi della superficie terrestre• Altezza massima ?

2

00

1sin(2 )

2M

vx

gθ =

420

02 2 2

0 0

sin (2 )2 cos 4

vg

v gθ

θ4

2 200 02 2 2

0 0

4sin cos2 cos 4

vg

v gθ θ

θ2 2

2 20 00 0

1sin sin

2

v v

g gθ θ= −

220

0

1sin

2

v

gθ=

)( MM xyy =

2

00sin(2 )G

vx

gθ=

2

0 2 2

0 0

( ) (tan )2 cos

gy x x x

vθ

θ= −Traiettoria:

2

0Max( )

2M

vy

g=Per quale si ha massima altezza?0θ

2

00 0tan sin(2 )

2M

vy

gθ θ= −

2

0 00 0

0

sin2sin cos

2 cos

v

g

θ θ θθ

= −

x

y

O Gx

Simmetria della parabola rispetto all’asse

Mx

My V

02

πθ = (verticale)


Moto nei pressi della superficie terrestre• Altezza massima ?

Coordinate del vertice(parabola con asse verticale):

2

0

2 2

0 0

tan

4

2 cos

Myg

v

θ

θ

= − −

2 22 0 0

0

2 costan

4

v

g

θθ=

220

0sin2

M

vy

gθ= Altezza massima

lungo la traiettoria

2

02 2

0 0

( ) (tan )2 cos

gy x x x

vθ

θ= − +Traiettoria:

x

y

O Gx

Mx

My V2

y ax bx c= + +2 4

,2 4

b b acV

a a

−= − −

My=

x

y


Moto nei pressi della superficie terrestre• Tempo di volo ?

=)(tv� 0 0cos

xv v θ=

0 0siny

v v gtθ= −

GG

x

xt

v=

00

2sinG

vt

gθ=

2

00

0 0

1sin(2 )

cosG

vt

g vθ

θ=

• Velocità finale ?

0 0( ) cosx Gv t v θ=

0 0( ) siny G G

v t v gtθ= −

00 0 0

2sin sin

vv g

gθ θ= −

0 0sinv θ= −

0( ) ( )x G x

v t v t=

0( ) ( )y G y

v t v t= −

Moto rettilineouniforme

Rispetto alla velocità iniziale?

Tempo impiegato dalla componentea raggiungere la gittata :

x

Gx

tempo = distanza/velocità

O Gx

Massimo tempo di voloper

0max

2vt

g=

0 / 2θ π=

2

00sin(2 )

G

vx

gθ=

0v�

Moto parabolico

Massima altezza:g

vxM

2

2

2

1=2

200

1sin

2M

vy

gθ=

Tempo totale:g

vttot

22= 00

2sin

G

vt

gθ=

Velocità finale 2)( vtv tot −= 0( ) ( )x G x

v t v t=

0( ) ( )y G yv t v t= −

Moto verticale

x

x

yM

x

My

Gx

0v�

0θ2v

ya g gu= = −� � �

Moto nei pressi della superficie terrestrePunto materiale lanciato in direzione orizzontale da altezza h

Stesso problema, condizioni iniziali diverse: 0)0( =x hy =)0(

0)0( vvx = 0)0( =yv

Traiettoria: ( )y x

0v

xt = 2

2

0

1( )

2

gy x h x

v= −

Tempo di caduta: ( ) 0y t =

02

1 2 =− gthg

htc

2=

cG tvx 0=

Velocità finale (modulo):

( ) 2y c

v t gh= −0)( vtv cx =ghvvc 22

0 +=

Gittata: ( )c

x t

g

hv

20=

parabola

x

y

xu�

yu�

O

0v�

h

ygu− �

0( )y

v t v gtu= −� � �

Velocità:0)( vtvx =

gttvy −=)(

0( )x t v t=Equazioni del moto:

2

2

1)( gthty −=( )r t

�

(rettilineo uniforme)

(uniformementeaccelerato)

2

1 2c

v v gh= +Velocitàfinale(modulo) ghvc 2=

g

htc

2=

Lancio orizzontale

Caduta libera

ghvvc 22

0 +=

y

x

yy

g

htc

2=g

h

g

v

g

vtc

22

2

11 ++−=Tempo di caduta

La velocità iniziale si somma in quadratura con la velocità prodotta da g

0v�

1v−

Il moto proiettato sull’asse verticale coincide con una caduta libera

Stesso tempo di caduta:

1inizialev v= − 0inizialev = 0inizialev v=

« Un proietto, mentre si muove di moto compostodi un moto orizzontale equabile e di un moto […] naturalmente accelerato, descrive nel suo movimento una linea semiparabolica »

Galileo Galilei, 1608


Moto relativo nel pianoConsideriamo due punti P1 e P2 in moto lungo due traiettorie nel piano

x

y1P

2P2r�

yx utyutxtr��

)()()( 222 +=1r� yx utyutxtr

��

)()()( 111 +=

Posizione di P1 e P2 in ogni istante rispetto al sistema di riferimento O:

yx uyyuxx��

)()( 1212 −+−=

)()( 12 tvtv�� −=

Velocità relativa di P2 rispetto a P1

dt

trdtv

)()(

2,1

2,1

�

� =dt

trd

dt

trd )()( 12

��

−=

)()( 12 tata�� −=

Accelerazione relativa di P2 rispetto a P1

dt

tvdta

)()(

2,1

2,1

�

� =dt

tvd

dt

tvd )()( 12

��

−=

xu�

yu�

O

Posizione relativa di P2 rispetto a P1

)()()( 122,1 trtrtr�� −=

1,2r�

1,2 2 1v v v= −� � �

Velocità relativa di P2 rispetto a P1

2v�

1v�

y

Combinazione di due moti rettilinei uniformi

x

2v�

1v�

x

y1v−�

1,2v�

P1

P2


Moto nello spazioIl moto lungo una traiettoria tridimensionale si può rappresentare con le sue componenti lungo x(t), y(t), z(t)

zyx udt

dzu

dt

dyu

dt

dx �� ++=

zzyyxx uvuvuv�� ++=

zz

y

y

xx u

dt

dvu

dt

dvu

dt

dv �� ++=

zzyyxx uauaua�� ++=

+=t

tdttvrtr

0

)( )( 0

��

x

y

z

O

)( ta�

+=t

tdttavtv

0

)()( 0

��

Inversamente, integrando sulle 3 componenti x, y, z:

dt

vdta

�

� =)(

Accelerazione

a�

dt

rdtv

�

� =)(

Velocità

v�

moto rettilineo( ), ( ), ( )x t y t z t

zyx utzutyutxtr��

)()()()( ++=Posizione

r�

xu�

yu�

zu�

Dinamica del punto materiale

• Quali sono le cause del movimento?• Che cosa fa sì che il moto sia di un determinato tipo?

dinamica del punto A quali condizioni, in un dato sistema di riferimento,

il punto resta in quiete? (eqiulibrio statico)

Moto Interazione del punto materiale con l’ambiente circostante

Un corpo permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme a meno che non intervenga una forza esterna a modificare il suo stato

Principio d’inerzia

PRESENZA DI “FORZE ESTERNE”

VARIAZIONE DELLA VELOCITA’

accelerazione forza



« E da quell'impeto è mosso il sasso dopo che il motore ha cessato di muovere. Ma a causa della resistenza dell' aria e della gravità del sasso, che inclina in una direzione contraria a quella verso cui l'impeto muove, quell'impeto si indebolisce continuamente. » Marshall Clagett, La scienza della meccanica nel medioevo

Feltrinelli 1972, pp. 595-596

Giovanni Buridano (1290 – 1358)

Teoria dell'impeto: un corpo in movimento possiede un impetoche lo porta a proseguire il suo moto in assenza di forze esterne

• Qualsiasi oggetto in movimento tende a rallentare fino a fermarsi, a meno che non venga spinto a continuare il suo movimento.

• Corpo lanciato? Un «vortice dell’aria» mantiene il suo movimento

“Fisica”

Aristotele (384-322 a.C.)

Lo stato naturale dei corpi è la quiete

(in senso “assoluto”: rispetto alla Terra)

« Possiamo dunque e dobbiamo dire che al sasso o a un altro proietto viene impressa una tale cosa, la quale è la virtù motrice di quel proietto, e ciò pare meglio che ricorrere all‘azione dell‘aria per far muovere il proietto. Pare infatti piuttosto che l' aria resista al moto. […] »

“Principio di inerzia”

Questo « deve intendersi in assenza di tutti gli impedimenti esterni e accidentari » … e che gli oggetti in movimento siano:« immuni da ogni resistenza esterna: il che essendo forse impossibile trovare nella materia, non si meravigli taluno, che faccia prove del genere, se rimanga deluso dall'esperienza. »

Galileo Galilei

“Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove

scienze attenenti alla mecanica et i movimenti locali” (1638)

“ Il Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo” (1632)



Enunciazione formale:

« Lex Prima: Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare. »

Isaac Newton

“Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” (1687)

« Il mobile durasse a muoversi tanto quanto durasse la lunghezza di quella superficie, né erta né china. Se tale spazio fusse interminato, il moto in esso sarebbe parimenti senza termine, cioè perpetuo. »

PRESENZA DI “FORZE ESTERNE”

VARIAZIONE DELLA VELOCITA’

accelerazione forza



segnala la presenza di una forza che agisce sul punto materialeMoto accelerato: variazione di velocità in modulo e/o direzione

P

)(tθ

R

v

O

Esempio: Moto circolare uniforme

E’ necessaria una forza diretta verso il centro per mantenere il punto materiale nella traiettoria circolare

a�

RR

vaN

22

ω==

Accelerazione:

0=Ta

Un corpo permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme a meno che non intervenga una forza esterna a modificare il suo stato (I Legge di Newton)


II Legge di NewtonLegame fra forza e accelerazione: formulazione quantitativa

amF�

�

=

Punto “materiale”: La massa m è essenziale per descrivere la dinamica del moto

m

Fa

�

� = Note forza e massa, possiamo trovare l’accelerazione

amF�

�

=dt

vdm

�

=2

2

dt

rdm

�

= Legge fondamentale delladinamica del punto

a

F

a

Fm ==�

�

Note forza e accelerazione possiamo trovare m

Forza e massa Accelerazione Leggi del moto

Definizione di forza e massa inerziale

AccelerazioneForza Quantità vettoriale diretta come

l’accelerazione (resistenza alla variazione del moto)Massa inerziale

kg][ →massa 2s m kg][ −→forza N≡ NewtonUnità di misura (SI):


III Legge di Newton

Il corpo A esercita una forza sul corpo B

Consideriamo DUE corpi A e B

Il corpo B “reagisce” esercitando una forza uguale e

contraria sul corpo A

ABBA FF ,,

��

−=Quantitativamente:

• Le forze non agiscono mai isolatamente, ma a coppie• L’interazione a due corpi è sempre “reciproca”

“Principio di azione e reazione”

Forza attrattiva

,A BF�

,B AF�

A

B

Forza repulsiva

,A BF�

,B AF�

A

B

Legge fondamentale della dinamica (II legge di Newton)

amF�

�

=2

2

dt

rdm

�

=

Nota la forza possiamo determinare l’equazione del moto

Dal movimento (accelerazione) risaliamo alla forza che lo produce


Quantità di moto, impulsoDefiniamo la grandezza fisica

p mv≡� �

quantità di moto

Possiamo riscrivere la legge della dinamica come:

dt

vdmF

�

�

=dt

vmd )(�

=dt

pd�

=

Forma più generale (valida anche nel caso relativistico)

L’applicazione di una forza determina una variazione della quantità di moto

0p p= −� �

p�∆=

0 0

( )t p

t pF t dt dp=

�

�

�

�

Integriamo in un intervallo finito di tempo:

≡J�

Impulso della forza )( 0vvm�� −=

J p= ∆�

�

“Teorema dell’impulso”

( )F t dt dp=�

�

Azione della forza in un intervallo infinitesimo di tempo

In generale la forza varia nel tempo: ( )F F t=� �

(Per una forza costante )J = F t∆� �

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