CINEMATICA

1. INTRODUZIONE ............................................................................................ 2 2. TRAIETTORIA E LEGGE ORARIA ........................................................... 3 3. ESEMPIO DI CALCOLO DELLA LEGGE ORARIA IN FORMA PARAMETRICA ................................................................................................. 7 4. VARI TIPI DI MOTO ..................................................................................... 9 5. IL MOTO DI UN GRAVE ............................................................................ 10 6. IL MOTO CIRCOLARE .............................................................................. 11 7. IL MOTO ARMONICO................................................................................ 14 8. MOTI OSCILLATORI SMORZATI........................................................... 17 9. COMPOSIZIONE DEI MOVIMENTI ........................................................ 18 10. RELATIVITA’ GALILEIANA .................................................................. 23 11. ACCELERAZIONE APPARENTE DI CORIOLIS................................. 24 12. LE TRE LEGGI DI KEPLERO ................................................................. 25 13. IL DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE DI UNA SOLA VARIABILE ....................................................................................................... 27 14. DERIVATE IMPORTANTI E REGOLE DI DERIVAZIONE............... 28 15. DERIVATE PARZIALI .............................................................................. 29 16. GLI INTEGRALI PRINCIPALI................................................................ 30 17. LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE ORDINARIE 31 18. LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI........................................ 32 19. EQUAZIONI DIFFERENZIALI SEPARABILI....................................... 34 20. APPLICAZIONI DELLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ................... 34

1.INTRODUZIONE La cinematica consiste nello studio dei movimenti dal punto di

vista dei soli effetti misurabili, senza tenere in alcun conto le cause che tali effetti determinano. Quest’ultimo è il compito della dinamica. Noi considereremo essenzialmente il moto di un punto materiale, cioè di un punto matematico che è libero di cambiare la sua posizione in funzione del tempo. Le due grandezze fisiche basilari della cinematica sono dunque la posizione ed il tempo. Con queste due grandezze è possibile costruire un certo numero di altre grandezze, dette grandezze derivate, come ad esempio la velocità, l’accelerazione ecc. Mentre la posizione e’ ovviamente un vettore, il tempo invece è uno scalare. Infatti per determinare completamente la posizione di un punto nello spazio sono necessarie tre misure (ad esempio tre lunghezze cioè le tre coordinate cartesiane), mentre per determinare completamente l’istante di tempo in cui si verifica un fenomeno è necessaria una sola misura (ad esempio con un cronometro).

In generale tutte le grandezze fisiche possono essere rappresentate da un ente matematico del tipo seguente:

a) un numero (scalare) b) un vettore (n componenti che dipendono da un solo indice)

1. r v = vi[ ]= v1,v2,⋅ ⋅ ⋅,vn( )

c) una matrice (piu’ componenti che dipendono da almeno due indici

2. M =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅am1 am2 . . . amn

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

= aij[ ] ,i = 1,...,mj =1,...,n

⎧ ⎨ ⎩

Più in generale si possono introdurre i tensori o gli spinori (questi ultimi nella fisica microscopica).

Lo studio del moto di un corpo complesso (sia esso solido o fluido) può sempre essere effettuato considerando il moto di un certo numero di punti materiali che caratterizzano varie porzioni anche piccolissime del corpo stesso.

2

2.TRAIETTORIA E LEGGE ORARIA Studiamo il moto di un punto P nello spazio. Assumiamo che la

geometria sia quella euclidea (cioè valga il teorema di Pitagora per esprimere la distanza) e che lo spazio sia una funzione continua del tempo. Allora possiamo parlare di traiettoria Γ del punto nello spazio usuale a tre dimensioni.

Sia la traiettoria di un punto materiale, allora è possibile scrivere

Γ

3. r P =

r f t( )

la legge oraria in forma vettoriale. La (3) può essere espressa in forma cartesiana,

4.

x = fx t( )y = fy t( )z = fz t( )

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

dove il parametro libero è il tempo t. Consideriamo per semplicità un moto piano

θ

Γ

X

Y

O

P

dsdy

dxα

fig.1

P0

Figure 1

allora se dr s è il vettore spostamento infinitesimo lungo la

traiettoria del punto mobile (vettore tangente alla traiettoria Γ)

dr s = dx,dy( )

3

il suo modulo è

ds =

dxcosα

dove α è l'angolo tra la tangente alla traiettoria nel punto P e l'asse x. L'equazione della traiettoria Γ nel piano si riduce alla seguente equazione cartesiana, dopo aver eliminato il parametro tempo t, y = f(x); derivando si ottiene:

dfdx

= tg α =1 − cos2 α

cosα

quadrando si ottiene:

dfdx

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2cos2 α = 1− cos2 α

cos2 α =1

1 +dfdx

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2

cioè

5. ds = 1 +

dfdx

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2dx

L'integrale della formula (5) permette di ottenere la legge oraria in forma parametrica:

6. s = s t( )

quando sia nota l'equazione della traiettoria; s è detta anche coordinata curvilinea e rappresenta la distanza misurata lungo la traiettoria Γ del punto P dall'origine P0.

P

Γ

Y

Z

O

X

s

fig.2

P0

4

Figure 2

Nella fig.2 è il versore tangente alla traiettoria Γ nel punto r s

r P

r s =

r P s + ds( ) −

r P s( )

ds=

dr P

ds

ed essendo r s ⋅

r s = 1 , allora derivando

d

r s ⋅

r s ( )

ds= 2

r s ⋅

dr s

ds= 0

e dunque il vettore d

r s

ds è perpendicolare al versore

cioè

perpendicolare alla traiettoria Γ. Possiamo allora costruire il versore normale alla traiettoria Γ.

rs

θx

y

O

P

fig. 2a

s

s rθ

ρ

Figure 3

5

Si può dimostrare che in un moto circolare di raggio ρ ( fig. 3) si

ha:

7.

d r s ds

=1ρ

Infatti:

x = ρcosθ

y = ρsen θ⎧ ⎨ ⎩

inoltrer s = −senθ, cosθ( )e ricordando che

ds = dxcosα

dove α = π2

+θ

si ottiene

ds =dx

sen θmadx = −ρsen θdθ

dunque

ds = − ρsenθdθ

sen θ= −ρdθ

dunque derivando ilversorer s rispetto al suo mod ulo si ottiene

dr s

ds= − 1

ρdr s

d θ

ed essendod

r s

dθ= −

d senθdθ

,d cosθ

dθ⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ = − cosθ,sen θ( ) = −

1ρ

r r

è cioè un versore diretto in senso opposto al versore diretto comer r .

In conclusione abbiamo dimostrato che

dr s

ds= 1

ρr r

6

da cui deriva l'equazione (7). Il versore perpendicolare alla traiettoria è dunque

r τ = ρ

dr s

ds

dove ρ è il raggio di curvatura della traiettoria nel punto . r P

3.ESEMPIO DI CALCOLO DELLA LEGGE ORARIA IN FORMA PARAMETRICA

Consideriamo la legge oraria in forma cartesiana del moto rettilineo

ed uniforme:

x = k ty = h t

⎧ ⎨ ⎩

Eliminando il parametro tempo t si ottiene

y =

hk

x

che è l'equazione di una retta con coefficiente angolare

tg α =

hk

cioè

h = A sen αk = A cosα

⎧ ⎨ ⎩

7

Y

XO

P

sy

x

α

fig.2b

Figura 4

In questo caso assai semplice si ricava dalla fig. 4

s 2 = x2 + y 2 = h2 + k2( )t 2 = A 2 t 2

cioè la legge oraria in forma parametrica

s = A t

Si può però applicare l' equazione (5) sostituendo in essa:

dydx

=hk

ottenendo cioè

ds = 1 +

hk

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2dx

ed integrando

s =

h 2 + k2

kx +B

essendo B una costante di integrazione, da cui

s =Ak

x +B

s = A t + B

8

4.VARI TIPI DI MOTO Velocità istantanea

r v =

dr P

dt=

dr P

dsdsdt

=dsdt

r s = v0

r s , LT−1[ ]

da cui si deduce che è sempre tangente alla traiettoria ed inoltre si è definita la

r v

Velocità oraria

v 0 =

dsdt

, LT−1[ ] Velocità angolare

ω =

dθdt

, T−1[ ] Accelerazione

r a =

dr v

dt=

d2r P

dt 2 , LT−2[ ] Accelerazione tangenziale

r a T =

dv 0dt

, LT−2[ ] Accelerazione centripeta (normale)

a c =

v 02

ρ, LT−2[ ]

Accelerazione angolare

dωdt

=d 2θdt 2 , T−2[ ]

Odografo è la descrizione del moto nello spazio

v x, vy ,v z( ) delle velocità.

Moto Rettilineo Uniforme

r v =

r C os tante

Moto Accelerato Uniforme

r a =

r C os tan te

Moto su di un piano

r v ×

r P =

r C os tan te

9

5.IL MOTO DI UN GRAVE Come applicazione della legge di Newton, che vedremo nel capitolo seguente, studiamo il moto di un grave, cioè di un corpo che si muove con accelerazione costante . r

g

Figura 5

r r = x,y( )r v 0 = v0x ,v0y( )r a =

r g = 0,−g( )

tg α =v0y

v 0xangolo di alzo( )

l'accelerazione diventa:

d 2r r dt 2 =

r g cioè

d2xdt 2 = 0

d2ydt 2 =

ddt

dydt

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ = − g

⎧

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

,

dxdt

= v 0x

ddydt

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = − g dt

⎧

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

,x = v0xtdydt

= − g t + v0y

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪ ,

x = v 0xt moto a velocità cos tante

y = − 12

g t2 +v0y t moto ad accelerazione costan te

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

O

Y

X

v0

rx'

y'

V

XV XG

YVy

x

α

g

Figura 5

Eliminando il parametro t si ottiene l'equazione cartesiana della traiettoria:

y = −

g2 v0x

2 x2 +v 0y

v0xx

che rappresenta una parabola rivolta verso il basso. Si calcola facilmente la gittata XG, come intercetta con l'asse x:

XG =

2 v0xv0y

g

Si può calcolare anche l'angolo di alzo corrispondente alla massima gittata, infatti si ha:

10

XG =

2 v0x v0y

g=

v 0x v0y + v 0x v0y

g=

v 2 senα cosα +cosαsen α( )g

=v 2

gsen 2α

che è massima per α=π/4. Si calcolano facilmente anche le coordinate del vertica V:

xV =v0xv 0y

g

y V =v 0

2

2gsen 2α

⎧

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

da cui si ricava che la massima altezza si raggiunge per un angolo di alzo α=π/2. Si può ancora operare una traslazione di coordinate nel vertice V:

′ x = x −xV

′ y = y −y V

⎧ ⎨ ⎩

allora l'equazione della traiettoria diventa

′ y = −

g2v0x

2 ′ x 2

6.IL MOTO CIRCOLARE Il moto circolare è un moto piano in cui la traiettoria è una

circonferenza di raggio R,

r P = R( ).

θ-R R x

yv

O x

y

P ( x , y )

fig.3

11

Figure 6

L'equazione oraria nella rappresentazione cartesiana è

8.

x = R cosθ t( )y = R senθ t( )

⎧ ⎨ ⎩

derivando rispetto al tempo si ottiene la velocità puntuale

v x = − Rsen θ t( )dθdt

v y = Rcosθ t( )d θdt

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

cioè

9.

v x = − Rω sen θ t( )v y = Rω cosθ t( )

⎧ ⎨ ⎩

Nel primo quadrante l'equazione della traiettoria in forma cartesiana è y = R2 − x2 , l'equazione (5) diventa allora

ds = 1 +2x

2 R 2 − x 2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

dx

= 1 +x 2

R 2 − x 2 dx

= R 2

R 2 − x 2dx

=1

1 −xR

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2 dx

=1

1 − cos2 θ t( )dx

= −dx

sen θ t( )

il segno meno deriva dal fatto che in figura ad un incremento di s corrisponde un decremento di x. Si calcola il modulo della velocità istantanea

12

v =

dsdt

= −1

sen θ t( )dxdt

= −v x

sen θ t( )

sostituendo vx dalla prima equazione (1.5) si ottiene 10. v = ωR

Verifichiamo ora che il vettore posizione r P èsempre ortogonale al

vettore velocità r v . Calcoliamo a questo scopo il prodotto scalare

r P ⋅ r v = xv x + yv y = − ωR 2 cos θ sen θ + ωR 2 senθ cos θ = 0

Derivando la velocità (eq. 9) rispetto al tempo si ottiene l'accelerazione

11.

ax = − R dωdt

senθ − Rω cosθ dθdt

ay = R dωdt

cosθ − Rωsenθ dθdt

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

ax = − R dωdt

senθ + ω2 cosθ⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

ay = R dωdt

cosθ − ω2senθ⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

⎧

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

Si calcola il modulo dell'accelerazione

r a = ax

2 + ay2 = R

dωdt

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2

+ ω4

Nota 1 : se il moto è uniforme d ωdt

= 0 , allora

α = Rω 2 cioèa = ωv Nota 2 : dall’eq. (11) si può decomporre l'accelerazione secondo

due componenti r a =

r a centripeta +

r a tan genziale

essendo

12. ax

centripeta = − ω 2R cosθ

aycentripeta = − ω2 Rsenθ

⎧ ⎨ ⎩

13. ax

tan genziale = −dωdt

R senθ

aytangenziale =

dωdt

R cosθ

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

da cui si calcolano i moduli

13

r a centripeta = Rω 2

r a tan genziale = R dωdt

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

Dimostriamo che l'accelerazione centripeta così definita è sempre perpendicolare alla velocità , cioè è sempre diretta verso il centro della circonferenza

r v ⋅

r a centripeta = Rω senθ ω2 R cosθ − Rω cosθ ω 2 R senθ = 0

Dimostriamo che l'accelerazione tangenziale così definita è sempre perpendicolare alla posizione

r P , cioè è sempre tangente alla

traiettoria

r P ⋅

r a = R cosθ R

dωdt

senθ + R senθ Rdωdt

cosθ = 0

Nota 3 : nel caso di un moto circolare uniforme dωdt

= 0⎛ ⎝

⎞ ⎠

sopravvive soltanto l'accelerazione centripeta .

7.IL MOTO ARMONICO Una applicazione del moto circolare uniforme e’ il moto armonico.

Il moto armonico e’ un moto oscillante attorno ad un centro lungo una determinata direzione.

Figure 7

Esso è rappresentato dal moto del punto H lungo il diametro quando il punto P si muove lungo la circonferenza di raggio R con moto circolare uniforme θ = ω t + θ0. L’equazione del moto armonico e’ dunque:

14

x = R cos(ω t + θ0).

θ0 e’ la costante di fase e rappresenta l’angolo a cui si trova il

punto P al tempo t=0, R si chiama ampiezza delle oscillazioni armoniche e rappresenta il massimo valore di x; la velocità angolare ω del punto P è detta pulsazione o frequenza angolare. Si chiama periodo la durata di un'oscillazione completa; esso si indica con T e si misura ad esempio in secondi. Si chiama frequenza il numero di oscillazioni compiuti nell'unità di tempo; essa si indica generalmente con il simbolo ν e si misura in hertz (Hz = numero di oscillazioni al secondo).

ν = 1 / T = ω / 2π

Il valore istantaneo della posizione (x), viene chiamato elongazione.

Calcoliamo il tempo T (periodo) al quale il punto H ritorna nella

stessa posizione dopo un giro completo del punto P.

cos(ω (t+T) + θ0)=cos(ω t + θ0+2π) da cui,

T = 2π / ω.

15

Figura 8

L’importanza dei moti oscillanti è evidente quando si consideri la loro diffusione nei fenomeni naturali: il pendolo, il trasporto del calore nei mezzi materiali, il moto sotto l’effetto di una molla, la propagazione delle onde elettromagnetiche ecc.

Figura 9

Nel paragrafo successivo vedremo che un moto circolare si puo’ considerare anche come la composizione di due moti armonici.

Calcoliamo l’accelerazione nel moto armonico:

x•

= −ω R sen ωt( )

x••

= −ω2Rcos ωt( )

x••

= −ω2x

L’accelerazione è dunque proporzionale all’elongazione. L’importanza di tale relazione sarà evidente quando si introdurrà la seconda legge di Newton, che dice che la forza è proporzionale all’accelerazione. L’ultima delle equazioni precedenti è chiamata equazione armonica.

16

8.MOTI OSCILLATORI SMORZATI La formula dei moti oscillatori smorzati è:

x = R cos(ω t + θ0) exp(-t/t0) questi moti sono l’equivalente del moto armonico quando però il

raggio R diminuisce nel tempo con legge ad esempio esponenziale. Tali moti si presentano ad esempio nelle oscillazioni in un mezzo materiale reale cioè viscoso. Nei mezzi materiali si manifestano delle forze di attrito che si oppongono al moto. Il pendolo reale si comporta come un oscillatore smorzato per via dell’attrito con l’aria che ne riduce l’ampiezza di oscillazione al passare del tempo.

Figure 10

Calcoliamo l’accelerazione nel moto oscillatorio smorzato. x = Rcos ωt( )e−αt

x•

= −R ω sen(ωt)+α cos ωt( )( )e−αt

da cui si ricava

ω R sen ωt( )e−αt = − x•+αx

derivando ancora si ottiene

x••

= R 2αω sen ωt( )+ α2 −ω2( )cos ωt( ){ }in conclusione :

x••

= − ω2 +α2( )x − 2α x•

Il primo termine del secondo membro rappresenta l’oscillazione armonica con pulsazione ω’ = sqrt(ω2+α2), mentre il secondo termine rappresenta lo smorzamento proporzionale alla velocità.

17

9.COMPOSIZIONE DEI MOVIMENTI Il problema della composizione dei movimenti è così

schematizzabile : noti il moto di un punto P e di un osservatore O’ rispetto ad un osservatore O considerato fisso, determinare la traiettoria del punto P rispetto all'osservatore mobile O’ ( vedasi fig.11).

fig.4

O

P

z

y

x

R

rV

z 'y '

o '

r '

x '

Figura 11

Sia

r r =

r f t( )

l'equazione oraria del punto P rispetto ad O , sia inoltre

r R =

r F t( )

l'equazione oraria dell'osservatore O’ rispetto ad O. Allora per la composizione galileiana (vettoriale) dei moti , l'equazione del moto di P rispetto ad O’ è

r r ' =

r r −

r R =

r f t( ) −

r F t( )

cioè proiettando sugli assi cartesiani ( per semplicità su di un piano)

x' = f x t( )− Fx t( )y' = f y t( ) − Fy t( )

⎧ ⎨ ⎩

ed eliminando il parametro tempo t si ottiene y ' = Y x '( )

che rappresenta l'equazione della traiettoria di P rispetto all'osservatore O’.

18

1° Esercizio Il punto P sia in quiete rispetto ad O

x = Ry = 0

⎧ ⎨ ⎩

θ-R R x

y

O

x'

y'

O'P

fig.5

Figura 12

L'osservatore O' si muova rispetto ad O di moto circolare ed uniforme con velocità angolare ω = costante , dunque

Fx = R cos ω t( )Fy = Rsen ω t( )

⎧ ⎨ ⎩

L'equazione del moto di P rispetto ad Ò è dunque x ' = f x − Fx = R 1 − cos ω t( )( )y ' = f y − Fy = − Rsen ω t( )

⎧ ⎨ ⎩

che rappresnta la traiettoria di fig.13 , cioè la circonferenza di partenza traslata lungo l'asse x di un tratto pari al raggio R.

19

R x'

y'

O 2R

fig.6

Figure 13

L’osservatore O’ dunque vede il punto P muoversi di moto circolare con traiettoria che passa per l’origine e con la stessa velocità angolare.

2° Esercizio Studiamo la composizione di due moti armonici

con la stessa frequenza. Il punto P si muova di moto armonico lungo y rispetto ad O

O O' x' x

y'

y

P

fig.7

Figure 14

20

f x = 0

f y = R y cos ω t + φ y( )⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

con ampiezza R , pulsazione ω e costante di fase φy. L'osservatore

O’ si muova rispetto ad O di moto armonico lungo l'asse x

Fx = R x cos ω t + φ x( )Fy = 0

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

con ampiezza Rx , la stessa pulsazione ω e costante di fase φx. L'equazione del moto di P rispetto ad O’ è dunque

x ' = f x − Fx = − R x cos ω t + φ x( )y ' = f y − Fy = R y cos ω t + φ y( )

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

Nota 1 : Se la differenza di fase è nulla φx = φy, allora la

traiettoria si riduce ad una retta di equazione

y' =Ry

Rx

x'

con coefficiente angolare pari al rapporto tra le ampiezze di oscillazione di P e di Ò rispetto ad O .

Nota 2 : Se la differenza di fase è π

2 cioè φx = φy -

π2

allora la

traiettoria diventa x ' = − Rx cos ω t( )y ' = Rxsen ω t( )

⎧ ⎨ ⎩

(dove per semplicità si è posto φx = 0 ) una ellisse con semiassi rispettivamente Rx e Ry . La traiettoria poi si riduce ad una circonferenza se i due moti armonici hanno la stessa ampiezza.

Nota 3 : Nel caso più generale in cui siano diverse sia le costanti

di fase che le ampiezze , si ottengono le classiche Figure di Lissajous mostrate in fig.15.

21

X

YO

X

YO

X

YO

X

YO

X

YO

X

YO

X

YO

X

YO

X

YO

fig.8

Figure 15

22

10.RELATIVITA’ GALILEIANA Galileo per primo scoperse un fenomeno che è intrinseco a tutti i

movimenti e che prende il nome di RELATIVITÀ dei moti. Galileo scoperse che alcune caratteristiche del moto dipendono strettamente dall’osservatore. In primo luogo la traiettoria di un punto mobile cambia a secanda dell’osservatore. Galileo, nel Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo, discute il famosissimo esperimento della nave:

Rinserratevi con qualche amico nella maggior stanza che sia sotto coverta di alcun gran navilio, e quivi fate d'aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti; siavi anche un gran vaso d'acqua e dentrovi de' pescetti; sospendasi anche in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vada versando dell'acqua in un altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza: i pesci si vedranno andar notando indifferentemente per tutti i versi; le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto. [...] Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, perché niun dubbio ci sia che mentre il vascello sta fermo non debban succeder così, fate muovere la nave con quanta si voglia velocità; che (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete comprendere se la nave cammina o pure sta ferma [...] le gocciole cadranno come prima nel vaso inferiore, senza caderne pur una verso poppa, benché mentre la gocciola è per aria, la nave scorra molti palmi; i pesci nella lor acqua non con più fatica noteranno verso la precedente che verso la susseguente parte del vaso [...] e finalmente le farfalle e le mosche continueranno i loro voli indifferentemente verso tutte le parti . . .

Qui è messo in evidenza il fatto che un osservatore sulla nave in moto vede i movimenti degli oggetti in modo diverso da un osservatore sulla terra (vedasi figura).

23

Siano O ed O' due osservatori con gli stessi orologi e sia P il punto materiale di cui essi studiano il moto. Sia

r V la velocità con cui

l'osservatore O' si muove rispetto ad O, allora

r V =

dr R

dt

Poichè vale la relazione di somma dei vettori (riferendosi alla fig. 11)

1. r R +

r r ' −

r r =

r 0

si ottiene la relazione notevole, derivando membro a membro rispetto al tempo:

dr r '

dt=

dr r

dt−

dr R

dt

cioè 2.

r v ' =

r v −

r V

dove r v = velocità del punto P misurata dall'osservatore O

r v ' = velocità del punto P misurata dall'osservatore O'. Nel caso in cui il sistema di riferimento O' si muova di moto

rettilineo ed uniforme r

= costante, allora l'equazione (1) diventa : V 3.

r r ' =

r r − t

r V

L'equazione (2) è la legge di composizione delle velocità di Galileo, mentre l'equazione (3) è la legge di trasformazione di Galileo.

Derivando rispetto al tempo l'equazione (2) si ottiene la legge di composizione delle accelerazioni :

4. r a ' =

r a −

r A

dove

r A =

dr V

dt è l'accelerazione con cui O' si muove rispetto ad O e

si chiama accelerazione apparente.

11.ACCELERAZIONE APPARENTE DI CORIOLIS Consideriamo due osservatori: O (x,y,z) fermo ed O’(x’,y’,z’) che ruota rispetto ad O attorno all’asse z’=z con velocita’ angolare costante ω. Sia P un punto che si muova con velocita’ radiale costante rispetto ad O. Vogliamo dimostrare che rispetto all’osservatore ruotante O’ il punto P si muove di moto accelerato. Tale accelerazione, che e’ apparente perchè indotta soltanto dal moto dell’osservatore O’, si chiama accelerazione di Coriolis ed è

24

proporzionale alla velocità con cui P si muove rispetto ad O ed alla velocità angolare con cui O’ si muove sempre rispetto ad O. Questa accelerazione apparente si verifica ad esempio sulla Terra che e’ in moto rotatorio attorno al suo asse polare. Risulta dunque che il punto P, che si muove di moto rettilineo uniforme rispetto all’osservatore O, si muove di moto accelerato rispetto ad O’, con accelerazione proporzionale alla sua velocità ed alla velocità angolare con cui O’ ruota. Il doppio di aO’ si chiama accelerazione di Coriolis. Si dimostra facilmente che l’accelerazione di Coriolis è perpendicolare al vettore velocità v’ misurato da O’, oltre che al vettore velocità angolare. Infatti:

Possiamo dunque concludere che:

r v '= R(θ)

r v =

vx cosθ + vysenθ

−vxsenθ + vy cosθ

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

ed e' facile dimostrare che :r a o' •

r v '= 0

r a o. =

r ω ⊗ r v '

12.LE TRE LEGGI DI KEPLERO Le tre leggi sperimentali che regolano il moto planetario sono state

enunciate all’inizio del XVII secolo dall’astronomo tedesco Giovanni Keplero.

Le leggi furono formulate su base empirica a partire dai dati raccolti dall’astronomo danese Tycho Brahe, e solo con la teoria della gravitazione universale di Isaac Newton trovarono una soddisfacente spiegazione teorica. Negando l’antichissimo principio secondo cui i pianeti si muovevano attorno al Sole su orbite circolari.

La prima legge di Keplero afferma che essi orbitano attorno al Sole percorrendo traiettorie ellittiche delle quali il Sole occupa uno dei fuochi.

La seconda legge stabilisce che la retta (il raggio vettore) che congiunge un pianeta al Sole descrive aree uguali in tempi uguali; ciò significa che ogni pianeta percorre più rapidamente i tratti di orbita più vicini al Sole.

25

Infine, la terza legge afferma che il rapporto tra il cubo della distanza media, d, di un pianeta dal Sole e il quadrato del suo periodo di rivoluzione è costante; cioè il rapporto d3/t2 è lo stesso per tutti i pianeti.

Assumiamo in prima approssimazione che la traiettoria di un pianeta sia circolare col sole nel centro e raggio R.

Verifichiamo la seconda e la terza legge dalle proprietà del moto circolare.

Seconda Legge.

Poiche’ l’area descritta dal raggio vettore dopo un angolo θ e’:

A = πR2 θ2π

=12

R2θ

e poiché il moto e’ circolare uniforme:

θ = ω t con velocità angolare ω costante, allora:

A =ωR2

2t ,

quindi il raggio vettore del pianeta percorre aree uguali in tempi uguali.

Terza Legge.

Poichè nell’approssimazione del moto circolare l’unica

accelerazione che agisce sul pianeta è quella centripeta ac :

ac = R w2, Per la legge di Newton il l’accelerazione e’ proporzionale alla

forza (in questo caso la forza di gravità) e dunque è inversamente proporzionale al quadrato del raggio:

ac ÷1

R2

si ricava dunque:

26

Rω2 ÷1

R2 ,

R3 ÷ 1ω2 ÷T 2

essendo ω inversamente proporzionale al periodo. E’ importante notare che in realtà Newton ricavò la sua legge

proprio partendo dalle leggi di Keplero, ipotizzando l’esistenza di una forza gravitazionale che doveva essere inversamente proporzionale al quadrato della distanza.

13.IL DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE DI UNA SOLA VARIABILE

Figure 16

Consideriamo una funzione y = f(x) rappresentata nel piano (x,y). Si ottiene:

Δf = tgα ⋅ Δx

dunque passando al limite per Δx→0 si ottiene:

Δf → dfΔx → dxtgα → f '

essendo f ‘ la derivata della funzione f nel punto x. Dunque:

df = f ' dx

27

df prende il nome di differenziale della funzione f nel punto x e rappresenta di quanto varia f al variare di una quantità infinitesima della variabile x.

14.DERIVATE IMPORTANTI E REGOLE DI DERIVAZIONE

formula notevole del differenziale:

d(f g) = f dg + g df

f’(x) > 0 funzione crescente

f’(x) < 0 funzione decrescente

Formula di integrazione per parti. Dalla formula di derivazione del prodotto di due funzioni f e g

(fg)'=f'g+fg'

si ottiene

da cui

28

15.DERIVATE PARZIALI Consideriamo una funzione di due variabili

f(x,y) Se fissiamo il valore di una delle due variabili, ad esempio x=xo, la funzione viene a dipendere dalla sola variabile y e dunque ha senso calcolarne la derivata ordinaria rispetto a y:

∂f x, y( )∂y

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

x=xo≡

df x0, y( )dy

il primo membro si chiama derivata parziale di f rispetto a y nel punto x0.

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Figure 17

Si può allora definire il differenziale di una funzione di due variabili nel modo seguente:

df =∂f∂x

dx +∂f∂y

dy

e più in generale:

df x1, x2,..., xn( )= Σi=1,n∂f∂xi

dxi

16.GLI INTEGRALI PRINCIPALI

a dx = a x∫a f x( )∫ dx = a f x( )∫ dx

u + v( )∫ dx = u dx + v dx∫∫1x

∫ dx = ln x

xn∫ dx =xn+1

n +1, n ≠ −1

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exdx∫ = ex

eaxdx∫ =1a

eax

baxdx∫ =1

a lnbbax ,b > 0

sen ax( )dx∫ = −1a

cos ax( )

cos ax( )dx∫ =1a

sen ax( )

tan ax( )dx∫ = − ln cos ax( )[ ]

x eaxdx∫ = ax −1a2 eax

x e−x2dx∫ = −

12

e−x2

17.LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE ORDINARIE

Un’equazione differenziale ordinaria è sempre rappresentabile

nella forma: F(x,y,y’,…,y(n)) = 0,

dove y(x) è una funzione incognita della variabile indipendente x ed y(i) e’ la derivata ordinaria di ordine i-esimo.

Un teorema fondamentale afferma che esiste una funzione y(c1,…,cn;x) che dipende da n costanti arbitrarie ci (i=1,…,n) detta integrale-generale, che verifica identicamente l’uguaglianza precedente.

Se si assume una n-pla di valori ben definiti per ci, allora l’integrale generale si chiama più propriamente integrale particolare dell’equazione differenziale. Un modo per determinare le n costanti arbitrarie, cioè per passare dall’integrale generale all’integrale particolare, consiste nel definire n equazioni di vincolo, cioè n condizioni iniziali:

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dove x0 è detto valore iniziale della variabile indipendente ed yi sono n parametri noti. Le condizioni iniziali permettono di determinare i valori delle costanti arbitrarie.

y' x0( )= y1..

y(n) x0( )= yn

⎧

⎨

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

18.LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI Le equazioni lineari del tipo:

an(x)y(n)(x)+an-1(x) y (n-1)(x)+ . . . +a1(x)y’(x)+a0(x)y(x) = Q(x) sono dette equazioni differenziali lineari. Dove ai(x) e Q(x) sono

funzioni note. Se tutte le funzioni ai sono costanti, allora si ottiene la seguente

equazione differenziale lineare a coefficienti costanti:

any(n)(x)+an-1y (n-1)(x)+ . . . +a1y’(x)+a0y(x) = Q(x)

Esiste un teorema che afferma che l’integrale generale di tale

equazione si può ottenere risolvendo l’equazione algebrica caratteristica, che si ottiene sostituendo alle derivate le potenze di una variabile complessa z con la convenzione che la funzione y sia la derivata di ordine zero della funzione stessa:

anz

n+an-1z n-1+ . . . +a1z+a0 = 0. L’equazione caratteristica ammette sempre n soluzioni (zeri) nel

campo complesso zi (i=1,…,n), per il teorema fondamentale dell’algebra. Allora l’integrale generale dell’equazione differenziale lineare omogenea (Q=0) è:

yO(c1,…,cn;x) = c1 exp(z1x) + c2 exp(z2x) + . . . + cn exp(znx).

Essendo ci (i=1,…,n) le n costanti arbitrarie.

32

L’integrale generale dell’equazione non omogenea (Q(x) ≠ 0) è allora

yG(x) = y(c1,…,cn;x) + f0(x),

essendo f0(x) un qualsiasi integrale particolare dell’equazione

lineare a coefficienti costanti non omogenea.

Esempio: Consideriamo l’equazione differenziale lineare a coefficienti

costanti omogenea: y”+y = 0

L’equazione caratteristica e’: z2+1 = 0

e gli zeri sono: z 1,2 = ± i

dunque l’integrale generale e’:

y = c1 eix + c2 e-ix

E’ facile verificare che l’equazione di partenza ammette anche i seguenti integrali particolari:

y = cos x y = sen x

Ricordando che dalla formula di Eulero si ha la seguente

rappresentazione complessa delle funzioni seno e coseno:

Si ottiene che il coseno è l’integrale particolare che corrisponde alle seguenti costanti

cos x =eix + e−ix

2

senx =eix − e−ix

2i

c1=c2=1/2 ed il seno corrisponde invece alle seguenti costanti

c1 = i/2 ; c2 = - i/2

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19.EQUAZIONI DIFFERENZIALI SEPARABILI Le equazioni differenziali del tipo:

dy/dx = h(x)g(y) si chiamano separabili (perchè si possono portare al primo

membro tutti i termini che dipendono solamente dalla variabile dipendente y ed al secondo membro tutti i termini che dipendono soltanto dalla variabile indipendente x) e sono facilmente integrabili perchè diventano:

g(y) = 0, che fornisce la soluzione costante e

(1/g(y)) dy = h(x) dx

in cui i due membri possono essere integrati separatamente. Esempio:

y’ - xy = 0 La soluzione y=0 e’ la soluzione costante e separando le variabili

si ha:

1y

dy∫ = x dx∫

ln y =12

x2 + ln y0

y = y0e12

x2

20.APPLICAZIONI DELLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI 1. Il decadimento degli atomi radioattivi.

a. I nuclei degli atomi dei materiali radioattivi decadono, cioe’ si trasformano in altri nuclei, ad una frequenza che e’ proporzionale al numero totale di atomi di tale sostanza, cioe’ (essendo k una costante di decadimento positiva):

dN(t)/dt = -k N(t) b. Tale equazione differenziale si può integrare mediante

la separazione delle variabili,

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c. dN/N = -k dt d. dunque: ln N = -kt +lnN0 essendo N0 il numero costante

di atomi presenti al tempo t=0. e. In definitiva: N=N0 exp(-kt)

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