Calcolo vettoriale e cinematica del punto materiale

Grandezze scalari e vettoriali

In Fisica tutte le grandezze si suddividono in quantità scalari, vettoriali, o ancora più complesse (es. matrici). Come conseguenza di questa classificazione in ogni legge fisica del tipo:

A = B

A e B debbono essere sempre grandezze omogenee: scalare = scalare oppure vettore = vettore

Grandezze scalari: per essere completamente definite hanno bisogno di un solo numero: temperatura, massa, lunghezza sono grandezze fisiche scalari Grandezze vettoriali: per essere completamente definite hanno bisogno di più numeri; esempi sono la posizione nello spazio, lo spostamento, la velocità, l’accelerazione, la forza

Grandezze scalari e vettoriali

Esempio: se vogliamo informare qualcuno su quanti siamo alti, basta dire: “sono alto 180 cm”, non serve aggiungere altro, poiché l’altezza è una grandezza scalare. Se invece vogliamo informarlo sulla nostra posizione nello spazio un numero potrebbe non essere sufficiente, poiché la posizione in generale è un VETTORE

x

y

z

x

y

x

una dimensione tre dimensioni due dimensione

Vettori

Per definire una grandezza vettoriale abbiamo bisogno dei vettori. Un vettore si indica mediante una freccia. Il vettore è definito da 3 proprietà: lunghezza o modulo direzione ovvero la retta su cui il vettore giace verso indicato dalla punta della freccia

La freccetta sopra il simbolo v indica che si tratta di un vettore e non di uno scalare

A volte nelle formule invece della freccetta si usa indicare il vettore scrivendo il simbolo in grassetto: in tal caso v indica il vettore, mentre v indica il suo modulo

Componenti del Vettore

In 3 dimensioni un sistema di riferimento è rappresentato da tre assi ortogonali x, y, z

zyxzyx FFFFFFF

,,

Un vettore può essere decomposto in componenti usando un sistema di riferimento, detto anche riferimento Cartesiano (dal grande matematico francese René Descartés)

In 2 dimensioni un sistema di riferimento è rappresentato da due assi x e y ortogonali che si incrociano in un punto detto origine

La Haye en Touraine 1569 – Stoccolma 1650

Fx, Fy, Fz, si dicono componenti o coordinate cartesiane del vettore

yxyx FFFFF

,

x

y

z

F

yF

xF

zF

x

y

F

yF

xF

Somma dei vettori: metodo matematico

zzz

yyy

xxx

GFS

GFS

GFS

Siano dati 2 vettori F = (Fx, Fy, Fz) e G = (Gx, Gy, Gz). Calcolariamo il vettore somma dei due vettori; chiamiamolo S = (Sx, Sy, Sz)

,,G zzyyxx GFGFGFFS

La somma di F e G è un vettore S le cui componenti sono la somma delle componenti corrispondenti di F e G

F

4

2G

2

4

6

6

S

ESERCIZIO in 2D: dati F e G, calcolare il vettore somma S

F = (4, 2); G = (2, 3) S = (6, 5) 1

3

5

01 3 5

Somma dei vettori: metodo grafico

Metodo punta-coda: si trasla G nello spazio in modo che l’origine di G coincida con la punta di F; il vettore somma S connette l’origine di F con la punta di G

Metodo del parallelogramma: dati due vettori F e G connessi in un punto, si disegna un parallelogramma di lati F e G; il vettore S è dato dall’asse diagonale del parallelogramma, ovvero dal segmento che parte dal punto in comune e termina nel vertice opposto

F

G

S

F

G S

F

G

S

F

G

S

F

GS

F

G

S

Differenza di vettori

F

xF

yF G

xG

yGD il vettore differenza D è dato

dall’asse diagonale che connette le punte di F e G

,,G zzyyxx GFGFGFFD

Applichiamo il metodo punta-coda per sommare G + D: si vede immediatamente che G + D = F

G DF

Per verificare che ciò è vero, basta considerare il fatto che:

Modulo del vettore

222

zyx FFFF

38.5299164342 222 F

Ad esempio, nel caso in figura si ha Fx = 2, Fy = 4, Fz = 3 ; il modulo è dato da:

F

6

3Nel caso bidimensionale a fianco F = (6,3)

7.645936 F

x

y

z

F

2

4

3

Il modulo di un vettore è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle componenti lungo gli assi.

Operazioni vettoriali

FaFaFaFaFa zyx

222222

Prodotto di vettore per scalare

G zzyyxx GFGFGFF

Prodotto scalare tra vettori F = (Fx, Fy, Fz) e G = (Gx, Gy, Gz); si indica con un puntino tra i vettori

,, zyx aFaFaFFa

cosG GFF

Molto utile per calcolare l’angolo formato dai vettori

F

xF

yF G

xG

yG

Operazioni vettoriali

1,5 F

5,0 G

5G yyxx GFGFF

Esercizio: calcolare l’angolo formato dai vettori:

cosG GFF

Dalle componenti calcolo il prodotto scalare e i moduli dei due vettori:

F

5

G

1

1.52622 yx FFF

522 yx GGG

Per ricavare l’angolo utilizzo la formula:

196.051.5

5 cos

GF

GF

o78 196.0cos 1

Cinematica del punto materiale La cinematica descrive il moto dei corpi nel tempo e nello spazio. Il corpo è descritto come un punto materiale senza dimensioni proprie, che si muove nello spazio. La posizione è sempre definita rispetto a un sistema di riferimento e anche il cambio di posizione (spostamento) è relativo al sistema di riferimento. Dal punto vista cinematico tutti i sistemi di riferimento sono ugualmente validi. Esempio: una persona siede in un treno ed una è ferma sul binario; se il sistema di riferimento è solidale col binario, la persona sul treno si muove; ma se il sistema di riferimento è solidale col treno, è la persona ferma sulla banchina a muoversi !!

Vettore spostamento La posizione è definita da un vettore. Il vettore spostamento è la differenza di due vettori posizione; il vettore spostamento è particolarmente utile in cinematica poiché è indipendente dall’origine del riferimento. Se cambia l’origine i vettori posizione cambiano ma non lo spostamento.

Traiettoria e legge oraria del moto Consideriamo un piano (x,y) ed un moto bidimensionale. Il punto P indica ad esempio la posizione della nostra automobile sulla mappa. Indichiamo con P1, P2, P3,… PN i punti della traiettoria percorsa dall’auto agli istanti t1, t2, t3, … tN. L’insieme dei punti dello spazio occupati nel tempo da P è detto traiettoria

Per conoscere completamente la traiettoria di P ad ogni istante t devo conoscere l’evoluzione nel tempo delle sue componenti x,y, ovvero devo conoscere la legge oraria del moto di P

Il moto del punto P nel piano si esprime mediante una funzione:

)(),( tytxP

che significa ?

Traiettoria e legge oraria del moto Esempio: costruire la traiettoria dei punti P relativi alla seguente tabella oraria del moto:

(0,1) 0 P

(1,2) 1 P

(2,3) 2 P

(3,4) 3 P0

1

2

3

4

0P

1P

2P

3P

x

y

0 1 2 3 4

è un moto rettilineo uniforme: rettilineo poiché percorre una linea retta; uniforme perché ogni secondo P percorre un segmento di uguale lunghezza: ovvero la velocità di P è costante

Velocità in 1 dimensione Si consideri un moto unidimensionale, nel quale un punto P è in posizione x = 0 a t = 0 e x =5 m a t = 2 s

h

Km

h

Km

s

m

s

m

t

xv 9

103600 2.5 2.5

2

5 3

In un intervallo di tempo t =2 s il corpo ha effettuato uno

spostamento x =5 m

Il segno positivo dello spostamento dice che è stato realizzato nel verso concorde alla freccia. La direzione è quella della retta Definiamo velocità all’istante t=0 il rapporto tra lo spazio percorso ed il tempo impiegato

Si noti che in 1D velocità e spostamento sono quantità scalari

Velocità in 3 dimensioni In più dimensioni, 2 o 3 (piano o spazio) lo spostamento è un vettore, e dunque anche la velocità è un vettore:

t

s

t

z

t

y

t

xv

,,

xv

yv

zv

x

y

z

In 2 or 3 dimensioni la velocità è un vettore le cui componenti sono date dal rapporto tra le componenti dello spostamento e l’intervallo di tempo in cui avviene lo spostamento Velocità e spostamento hanno stessa direzione e verso

Velocità in 3 dimensioni

Esercizio: calcolo la velocità di un moto 3D

xv

yv

zv

x

y

zt(s) X(m) Y(m) Z(m)

10 100 100 100

15 600 600 200

h

Km

h

Km

s

m

s

m

t

xvx 360

103600100 100

5

500 3

h

Kmvv xy 360

h

Km

s

m

s

m

t

zvz 72 20

5

100

h

Kmvvv xxp

51022

h

Kmvvvv zyx 514222

pv

v

Velocità della luce Problema inverso: conosco la velocità e la distanza percorsa e voglio calcolare il tempo impiegato. Caso semplice in 1D: luce che viaggia dal sole alla terra

t

xvx

xv

xt

ssKm

Kmt 500

103

101505

6

s

m

s

Kmcvx

8103300000 velocità della luce:

Kmx 610150distanza Terra-Sole:

Velocità classica e relativistica

Le leggi della meccanica classica sono valide per velocità inferiori a circa 105 m/s = 100 Km/s. Al di sopra di questo limite bisogna applicare la relatività di Einstein. Nessun oggetto meccanico (un razzo, una navicella spaziale) può minimamente avvicinare queste velocità, per cui la meccanica classica va benissimo.

La relatività entra in gioco quando abbiamo a che fare con le onde elettromagnetiche, o particelle molto veloci come gli elettroni; per esempio i ricevitori satellitari gps usano onde elettromagnetiche, oppure negli acceleratori di particelle elementari

Secondo la teoria della relatività di Einstein, la velocità della luce è la massima velocità ammessa dalle leggi della fisica; inoltre soltanto entità prive di massa (come ad esempio i neutrini) possono pareggiare la velocità della luce

Velocità classica e relativistica Se un corpo viaggiasse a velocità vicine a quella della luce, succederebbero cose incredibili !! nel regime relativistico tutta una serie di principi validi per la meccanica classica non valgono più. A velocità relativistiche succede che: la massa di un corpo non è più costante: può tramutarsi in energia e viceversa (E=Mc2) tempo e lo spazio non sono più dimensioni indipendenti; esse sono interconnesse, ed esiste una sola entità in 4 dimensioni: lo spazio-tempo; se ci si muove a velocità relativistiche le lunghezze si contraggono e il tempo rallenta !!

2

2

0 1c

vtt

Se un astronauta parte con una navicella che viaggia a v = 280 Km/s e dopo un tempo t0 = 40 anni torna sulla terra, il tempo da lui trascorso sull’astronave è t =14.36 anni; lui sarà ancora giovane, mentre il fratello gemello sarà molto invecchiato…

Velocità del suono

Osservazione: un fulmine colpisce il suolo; da

lontano mi accorgo che il rumore arriva alcuni secondi dopo il lampo

h

Km

h

Km

s

Km

t

Lv 1200

3

3600

3

1

Elaborazione: il suono è un’entità fisica che viaggia nello spazio molto più lentamente della luce. Ipotizzando che la luce si propaghi istantaneamente, calcoliamo la velocità del suono: ci poniamo a distanza L=1 Km dal punto in cui cade il fulmine, e misuriamo il tempo t tra la vista del fulmine ed il suono: aspetteremo circa 3 secondi:

Velocità del suono Verifica sperimentale: la velocità del suono è una costante

universale ? NO !! Se ripetiamo la misura in condizioni di temperatura ed altitudine differente scopriremo che la velocità di propagazione cambia sensibilmente

Nell'aria a T= 0 °C vs = 1 191 km/h

Nell’aria a T= 20 °C vs = 1 238 km/h Nell’acqua a T= 20 °C vs è circa 4 volte maggiore che in aria!!

Al contrario della luce, il suono non è un’entità fisica a sé stante, ma una proprietà del mezzo in cui si propaga, e dipende dalla densità e dalla temperatura del mezzo. Il suono è un’onda di pressione longitudinale, che si propaga attraverso il moto degli atomi e delle molecole che compongono il mezzo di propagazione

Esercizio La maestra parla alla classe; la distanza tra cattedra ed ultimi banchi è di 10 m; in classe c’è una temperatura di 20 °C; la velocità del suono in aria è di vs = 1 238 km/h. Quanto tempo impiega la voce della maestra a raggiungere l’ultimo banco ?

La velocità è il rapporto tra spazio percorso e tempo impiegato; dunque, per le regole dell’algebra, il tempo impiegato è uguale al rapporto tra spazio e velocità.

s

sv

Lt

t

Lv

ssm

sm

h

Km

mt 2

6

4

3103

10238.1

106.3

101238

360010

1238

10

mKmsh 310136001

Velocità uniforme e istantanea Se la velocità di un punto materiale rimane costante in modulo e direzione, la velocità in ogni istante del moto coincide con la velocità media Se la velocità cambia istante per istante, dobbiamo distinguere velocità istantanea e velocità media.

Lungo la traiettoria in figura la direzione cambia istante per istante: non è un moto

con velocità costante t

sv

s

x

ySe calcolassimo la velocità dividendo lo

spostamento s tra punto iniziale e punto finale della traiettoria per il tempo t

faremmo un errore grossolano … quando la velocità non è costante dobbiamo ricorrere

al concetto di velocità istantanea

Velocità istantanea

Per calcolare la velocità istantanea, riduciamo l’intervallo di tempo dt e il relativo spostamento dS a valori piccolissimi (infinitesimali), in modo tale che durante quell’intervallino la velocità si possa considerare costante in modulo, direzione e verso

La velocità istantanea si può ancora definire come il rapporto tra spostamento e tempo impiegato, ma nel limite di piccolissimi intervalli di tempo La velocità istantanea (più semplicemente chiamiamola velocità) varia istante per istante in modulo, direzione e verso; dunque la esprimiamo come un vettore dipendente dal tempo v(t)

dt

sdtv

)(

x

y

Velocità media del tragitto

La velocità media, indicata con <v> è il valor medio del modulo della velocità calcolato istante per istante durante il tragitto Se misuriamo N volte la velocità durante il percorso, il valor medio è la somma dei valori misurati diviso il numero di misure

N

tvtvtvtvv

...)()()()( 4321

)( 4tv

)( 1tv

)( 3tv

)( 2tv

x

y

Accelerazione Se la velocità cambia in modulo, direzione, o verso significa che il moto è accelerato; si definisce accelerazione (si indica con a) il rapporto tra la variazione di velocità ed il tempo

)()()()( 4321 tvtvtvtv

)( 1tv

)( 3tv

)( 2tv

)( 4tv

x

y

)( 4tv

)( 1tv

)( 3tv

)( 2tv

x

y0v

Moto rettilineo uniforme:ad ogni istante di tempo la velocità è sempre costante, per cui la variazione della velocità è sempre nulla:

Moto accelerato: la velocità varia liberamente nel tempo

)()()()( 4321 tvtvtvtv

0v

0

t

va

0

t

va

Accelerazione uniforme e istantanea Come la velocità anche l’accelerazione può essere uniforme, ovvero costante in modulo, direzione e verso, oppure variabile. Accelerazione uniforme: moto uniformemente accelerato Accelerazione variabile: si ricorre al concetto di accelerazione istantanea.

)()()()( 4321 tatatata

0a

Moto uniformemente accelerato: ad ogni istante di tempo la velocità è sempre costante, per cui la variazione della velocità è sempre nulla:

Accelerazione variabile liberamente nel tempo

)()()()( 4321 tatatata

0)(

)(

t

tvta

Esempio tipico: moto parabolico

Esercizio: velocità e accelerazione

si misura in:

t

va

2s

m

Esercizio: data la legge oraria di un treno in fase di partenza, si calcoli la velocità e l’accelerazione in funzione del tempo

t(s) X(m)

0 0

5 20

10 100

15 200

20 400

25 600

v(m/s) v(Km/h)

0 0

4 14.4

16 57.6

20 72

40 144

40 144

a(m/s2)

0

0.8

2.4

0.8

4

0