Cinematica del punto materiale 1.  La definizione di cinematica.

2.  Posizione e Spostamento

3.  Equazione oraria del moto

4.  Traiettoria

5.  Moto in una dimensione.

6.  Velocità media e velocità istantanea.

7.  Moto rettilineo uniforme

8.  Accelerazione media e accelerazione istantanea.

9.  Moto uniformemente accelerato.

10.  Caduta di un grave.

11.  Moto in due e tre dimensioni

Branca della fisica che si occupa della descrizione dei moti dei corpi e delle forze responsabili dei moti stessi

Studia i moti dei corpi senza tener conto delle

cause

Studia le condizioni in cui i corpi si trovano in

equilibrio

Studia i moti tenendo in considerazione le forze responsabili del moto

stesso

Cinematica

Branca della Meccanica che descrive il moto di un corpo usando i concetti di spazio e tempo, senza andare a studiare le cause del moto stesso

Assunzioni: Ø Il corpo in movimento viene assimilato ad una particella puntiforme (punto materiale)=>modello semplificato del moto

Ø Il moto è lo spostamento del punto materiale che avviene nello spazio e nel tempo lungo una certa traiettoria

Ø Il moto di un corpo è completamente determinato se è nota l’equazione che rappresenta la posizione del punto materiale in ogni istante t Ø Le forze non vengono prese in considerazione

)(trr !!=

Posizione e spostamento

Ø L’insieme dei punti dello spazio, occupati dal punto materiale durante il suo moto, è detto traiettoria.

!r (t1)

z

y

x

)( 2tr!)( 3tr

!

!r (t4 )

1

2

3

4

Ø Il moto del punto materiale è descritto dalla dipendenza dal tempo del vettore posizione )(tr!

Ø La relazione che esprime la dipendenza del vettore posizione in funzione del tempo è detta equazione oraria del moto.

)(trr !!=

Ø In generale l’equazione oraria del moto è un sistema di tre equazioni, una per ogni coordinata cartesiana:

NB: sono funzioni del tempo tra loro indipendenti. x(t),y(t),z(t)

equazione oraria del moto

Δr! "!

="r(t

f)−"r(t

i) =

Δx = x(tf)− x(t

i)

Δy = y(tf)− y(t

i)

Δz = z(tf)− z(t

i)

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Ø Il vettore che individua la variazione di posizione della particella viene detto Vettore spostamento ed è pari alla differenza tra i vettori “posizione” negli istanti finali ed iniziali:

rΔ

Ø Sia un vettore posizione che individua la posizione del punto materiale P rispetto ad un sistema di assi cartesiani xyz:

!r

!rP(x,y,z)

P = (x,y,z) !r = xi + yj + zk

Traiettoria

!r (t0 )

x

y

z

!r(t) = xi + yj + zk dove:

x = x(t)y = y(t)z = z(t)

⎧

⎨⎪

⎩⎪

i

jk

Esempio di utilizzo dell’equazione del moto (esempio svolto alla lavagna)

Tramite le equazioni del moto è possibile determinare la posizione occupata dal corpo in movimento in ogni stante t. Supponiamo che una slitta stia scivolando in salita su un pendio nevoso dritto; la slitta si muove sempre più lentamente via via che sale lungo la china; poi si arresta per un istante e comincia a scivolare all’indietro giù per il pendio. Un’analisi del moto della slitta fornisce la sua coordinata x come funzione del tempo t: x è misurata lungo il percorso della slitta con il semiasse positivo verso la salita. a)  Costruire un grafico della posizione della slitta lungo l’asse x in funzione del

tempo t da t=0.0 s a t=8.0 s (riportando intervalli di 1.0 s) b)  Determinare lo spostamento della slitta tra ti=1.0 s e tf=7.s c)  Determinare lo spazio percorso tra gli istanti ti=1.0 s e tf=7.s

x(t) =18m+ (12m s)t − (1.2m s2 )t2

Posizione-Spostamento-velocità media

Si consideri un punto materiale che si muove nel tempo lungo una retta (moto unidimensionale)

vxt1,t2

=x2− x

1

t2− t

1

> 0 vxt5 ,t1

=x5− x

1

t5− t

1

= 0vxt4 ,t5

=x5− x

4

t5− t

4

< 0

x t1( ) = x

1 x t

2( ) = x2 x t

3( ) = x3 x t

4( ) = x4 x t

5( ) = x5

54321 ttttt <<<<

la scelta ( arbitraria) della direzione positiva del moto determina il segno delle velocità

Ø Se la particella si muove nell’intervallo di tempo Δt=tʹ-t lo spostamento della particella è il vettore definito:

t1

t2

t3

t4

t5

x1

x2

x5

x4

x3

x

Ø La velocità media della particella è data dal rapporto tra lo spostamento e l’intervallo di tempo Δt in cui esso è avvenuto:

vxt1,t2

=x2− x

1

t2− t

1

> 0 vxt4 ,t5

=x5− x

4

t5− t

4

< 0 vxt5 ,t1

=x5− x

1

t5− t

1

= 0

x1< x

2< x

3

x5< x

4

x5≡ x

1

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Δx = xʹt− x

t

vx=ΔxΔt

=xt '− x

t

t '− t

Posizione-Spostamento-velocità media (2)

t1

t2

t3

t4

t5

x1

x2

x5

x4

x3

x

x1

x2

x4

t1 t5 t2 t4 t3

x3

t

x1=x5

x

x

Δx

Δt

v =ΔxΔt

= tanα

α

α<0

> 0= 0< 0

!

"#

$#

t Se α>0

Se α<0 Se α=0

xy tan=

-π/2<x<0

0<x<π/2

Ø La linea curva è una delle possibili rappresentazioni grafiche della posizione del punto materiale per tutti gli istanti di tempo compresi nell’intervallo tra t1 e t5 Ø Il moto è esattamente determinato se e solo se è definito in ogni istante

x2

x4

t1 t5 t2 t4 t3

x3

x1=x5

x

Δx

α

t

NB: La velocità media è differente dal concetto comune di velocità, che in fisica viene chiamata velocità scalare media. Ø  La velocità scalare media ( in inglese “speed”) ( quella che segna il contachilometri) è pari

al rapporto tra il percorso effettuato ed il tempo impiegato per farlo.

La velocità media ( in inglese “velocity” è invece il rapporto tra lo spostamento ed il tempo in cui è avvenuto lo spostamento).

p

Es: se p= 300 m e t5-t1=30 s

vscalare

=pΔt

=30030

m s =10m s

Velocità scalare media (2)

Velocità scalare media Velocità media v =

ΔxΔt

vscalare

=pΔt

v =ΔxΔt

=x5− x

1

t5− t

1

=030m s = 0m s

xt

tʹ t

xtʹ

x

t

Velocità istantanea:

v = limΔt→0

ΔxΔt

=dxdt

tΔ

tʹ tʹ

tΔtΔ

α

α α

xΔxΔxΔ

xtʹ

xtʹ

Δt= tʹ-t

Δx=xtʹ-xt v =

ΔxΔt

= tanα

La velocità istantanea

all’istante t è l’inclinazione

della retta tangente alla

curva nel punto xt

Ma quanto vale la velocità in un istante particolare all’interno dell’intervallo di tempo Δt?

Determiniamo per esempio la velocità istantanea all’istante t Riduciamo l’intervallo di tempo in cui andiamo a considerare la velocità media fino al limite tendente a 0

Velocità istantanea

La velocità istantanea può essere positiva, negativa o nulla

Derivata di x rispetto al tempo

v < 0

Se la curva è crescente, cioè se lo spostamento è positivo Se la curva ha un massimo o un minimo, cioè se il moto sta cambiando verso Se la curva è decrescente, cioè se lo spostamento è verso le x negative

A v > 0

v = 0B

C

Moto rettilineo uniforme Ø  Immaginiamo una particella che si muova lungo un asse (x) con velocità costante: Se la velocità rimane costante nel tempo la velocità istantanea in un qualsiasi istante e quella media presa in un qualsiasi intervallo di tempo sono uguali

vx= v

x= costante

vx= v

o=x − x

i

t −0t!

x = xi+v

ot Equazione orario del moto rettilineo uniforme:

retta di intercetta xi e pendenza v0

Indichiamo: Ø  con xi la posizione della particella all’istante t=0, Ø  con x la posizione della particella al generico istante t, Ø  con v0 la velocità costante

vot = x − x

i

La pendenza della funzione x(t), che rappresenta l’equazione oraria del moto, rimane costante

v

t

v0 L’equazione che descrive un moto rettilineo uniforme è una retta di intercetta xi e pendenza v0 L’equazione che descrive la velocità (in funzione del tempo) di un moto rettilineo uniforme è una retta parallela all’asse delle t

x

t t=0 vo=x − x

i

t

Accelerazione media

Ø  Quando la velocità di una particella cambia nel tempo si dice che

Supponiamo che una particella in moto lungo l’asse x abbia: Ø  velocità vxi all’istante ti Ø  velocità vxf all’istante tf Δvx=variazione della velocità vx nell’intervallo di tempo Δt

!ax=Δ!vx

Δt=Δv

x

Δti =vxf−v

xi

tf− t

i

i

vx(t)

Ø  L’accelerazione media in un certo intervallo Δt misura la variazione della velocità nell’intervallo di tempo stesso

Ø  L’accelerazione media è uguale alla pendenza della retta che congiunge le velocità corrispondenti agli istanti iniziale e finale nel grafico velocità-tempo

vx

t

Si definisce della particella nell’intervallo di tempo Δt=tf -ti il vettore dato dal rapporto:

!ax

ti

vxi

tf

vxf

Δt Δvx

accelerazione media

Accelerazione istantanea

!ax= lim

Δt→0

!ax= lim

Δt→0

Δ!vx

Δt= lim

Δt→0

vxf−v

xi

tf− t

i

i =dv

x

dti

xa!

Ø  L’accelerazione è diretta lungo l’asse delle x positive Ø  La velocità aumenta se il corpo si sta muovendo nel

verso delle x positive Ø  La velocità diminuisce se il corpo si sta muovendo in

verso delle x negative

0>xa

Ø  L’accelerazione va nella direzione delle x negative Ø  La velocità aumenta se il corpo si sta muovendo nel

verso delle x negative Ø  La velocità diminuisce se il corpo si sta muovendo in

verso le x positive

0<xa

Si definisce della particella il limite per Δt→0 dell’accelerazione media:

L’accelerazione istantanea può essere positiva, negativa o nulla

Accelerazione

NB: Un’accelerazione negativa ( a<0 ) NON SIGNIFICA NECESSARIAMENTE che la particella si stia muovendo nel verso delle x negative, né che la particella stia rallentando; ma che l’accelerazione TENDE a far andare la particella nel verso delle x negative.

In generale: ²  L’accelerazione fa rallentare la particella se accelerazione e

spostamento (e velocità) hanno verso opposto ²  L’accelerazione fa aumentare la velocità se accelerazione e

spostamento ( e velocità) hanno stesso verso

!ax!vx!x!v

x diminuisce in modulo

il corpo "decelera"

!vx!x

!ax

!ax!vx!x

!v

x aumenta in modulo

il corpo "accelera"

!vx!x

!ax

Ulteriore informazione sull’accelerazione

x

t

ax > 0

x

t

ax < 0

x

t

ax = 0

Ø  L’accelerazione di un corpo può essere determinata anche a partire dal grafico di x(t).

Ø  In questo tipo di diagramma abbiamo visto che vx =dx/dt è la pendenza del grafico ed il vettore è sempre tangente alla curva

Ø  L’accelerazione ax dà la rapidità con cui varia questa pendenza :

ax=dv

x

dt=d2xdt

Esempio Supponiamo che l’equazione del moto di una particella sia data da: 1) Determinare le espressioni della velocità vx e dell’accelerazione ax. 2) Costruire il grafico di vx in funzione di t nell’intervallo tra t = 0s e t = 4.0s 3) Determinare ax per t=1.0 s e tracciare la retta tangente al grafico vx – t, la cui pendenza è pari a questo valore di ax 1) 2) 3)

x(t) = (4.0m s)A

! "# $# t + (1.1m s3 )B

! "# $# t3

vx=dxdt

=d At +Bt3( )

dt= A +3Bt2 = 4.0m s+3.3m s

3⋅ t2

A = 4.0m s

B =1.1m s3

ax=dxx

dt2=dv

x

dt=d A +3Bt2( )

dt= 6Bt = 6.6m s

3t

A = 4.0m s

B =1.1m s3

t(s) vx(m/s)

0,0 4.0

1,0 7,3

2,0 17

3,0 33

4,0 57

23 6.616.6)0.1( smssmsax =⋅=

vx

t 1 2 3 4

20

10

30

40

50