2017-2018 Cinematica del punto...

Meccanica2017-2018

Cinematica del punto materiale

6

0v�

Consideriamo il moto di un punto materiale lanciato da terra con una certa velocità iniziale 0v

�


Moto nei pressi della superficie terrestre

O x

y

0θ

xu�

yu�

ya g gu= = −� � �

• Altezza massima ?

Accelerazione (nota) � Velocità

∫+=t

tdttatvtv

0

)()()( 0

��

∫+=t

tdttvtrtr

0

)()()( 0

��

� Posizione: x(t), y(t)

∫−=t

y dtugv00

��

yugtv��

0 −=0 0sinyv v gtθ= −

Il moto si mantinene nel piano ) ( ,0 gv

��

0=

∫=t

x dtvx0

∫=t

ydtvy0

0 0( cos )v tθ=0 00( cos )

tv dtθ= ∫

0 0cosxv v θ=

0 00( sin )

tv gt dtθ= −∫

20 0

1( sin )

2v t gtθ= −

rettilineo uniforme

uniformemente accelerato

• Equazione del moto?• Traiettoria ?

• Gittata ?• Velocità finale ?

0 0 =t



• Traiettoria ?

0 0( ) ( cos )x t v tθ=2

0 0

1( ) ( sin )

2y t v t gtθ= −

Eliminiamo il tempo da )(),( tytx

)(xy

0 0cos

xt

v θ=

2

2 20 0

1

2 cos

xg

v θ2

0 2 20 0

( ) (tan )2 cos

gy x x x

vθ

θ= −

Equazione di una parabolacon asse verticale

0v�

O x

y

xu�

yu�

0θ

yugga�� −==

00

tanx

dy

dxθ

=

=

Traiettoria in O tangente al vettore velocità iniziale

0 2 20 0

tancos

dy gx

dx vθ

θ= −0 0

0 0

( ) sincos

xy x v

vθ

θ= −

Direzione iniziale (verifica):

Equazione del moto:



• Gittata ? 0)( =xy

220

0 0

2cos tanG

vx

gθ θ=

20

0 0

2cos sin

v

gθ θ=

ααα cossin2)2sin( =

20

0sin(2 )v

gθ=

0v�

O x

y

xu�

yu�

0θ

yugga�� −==

Gx

My

Mx

20 2 2

0 0

( ) tan2 cos

gy x x x

vθ

θ= −

• Fissato v0 � per quale angolo iniziale si ha la gittata massima?

20

0sin(2 )G

vx

gθ=

0 Max( ) 454

πθ = = °1=

Max( )Gxg

v20=

02 20 0

tan2 cos

gx

vθ

θ= ( 0)x ≠


Moto nei pressi della superficie terrestre• Altezza massima ?

Simmetria della parabola rispetto all’asse20

0

1sin(2 )

2M

vx

gθ⇒ =

420

02 2 20 0

sin (2 )2 cos 4

vg

v gθ

θ4

2 200 02 2 2

0 0

4sin cos2 cos 4

vg

v gθ θ

θ2 2

2 20 00 0

1sin sin

2

v v

g gθ θ= −

220

0sin2

v

gθ=

)( MM xyy =

20

0sin(2 )G

vx

gθ=

20 2 2

0 0

( ) (tan )2 cos

gy x x x

vθ

θ= −Traiettoria:

20

Max( )2M

vy

g= Altezza

massima0 2

πθ =La massima altezza si ha per:

(verticale)

20

0 0tan sin(2 )2M

vy

gθ θ= −

20 0

0 00

sin2sin cos

2 cos

v

g

θ θ θθ

= −

O x

y

Gx

My

Mx

V



−−−=a

acb

a

bV

4

4,

2

2

• Altezza massima ?

Coordinate del vertice (parabola con asse verticale):

cbxaxy ++= 2

20

2 20 0

tan4

2 cos

Myg

v

θ

θ

= − −

2 22 0 0

0

2 costan

4

v

g

θθ=

220

0sin2M

vy

gθ= Altezza massima

lungo la traiettoria

202 2

0 0

( ) (tan )2 cos

gy x x x

vθ

θ= − +Traiettoria:

O x

y

Gx

My

Mx

V

O x

y

Gx

My

Mx


Moto nei pressi della superficie terrestre• Tempo di volo ?

=)(tv� 0 0cosxv v θ=

0 0sinyv v gtθ= −

GG

x

xt

v=

00

2sinG

vt

gθ=

20

00 0

1sin(2 )

cosG

vt

g vθ

θ=

20

0sin(2 )G

vx

gθ=

• Velocità finale ?

0 0( ) cosx Gv t v θ=

0 0( ) siny G Gv t v gtθ= −

00 0 0

2sin sin

vv g

gθ θ= −

0 0sinv θ= −

0( ) ( )x G xv t v t=

0( ) ( )y G yv t v t= −Massimo tempo di volo per 0 / 2θ π=

0max

2vt

g=

Moto rettilineo uniforme

Rispetto alla velocità iniziale?

� Tempo impiegato dalla componente a raggiungere la gittata :

xGx

0v�

tempo = distanza/velocità

Moto parabolico

Massima altezza:g

vxM

22

2

1=2

200

1sin

2M

vy

gθ=

Tempo totale:g

vttot

22= 00

2sinG

vt

gθ=

Velocità finale 2)( vtv tot −= 0( ) ( )x G xv t v t=

0( ) ( )y G yv t v t= −

Moto verticale

x

2v

yugga�� −== 0v

�

x

y

0θGx

MyMx


Moto nei pressi della superficie terrestrePunto materiale lanciato in direzione orizzontale da altezza h

Stesso problema, condizioni iniziali diverse: 0)0( =x hy =)0(

0)0( vvx = 0)0( =yv

Traiettoria: ( )y x

0v

xt = 2

202

)( xv

ghxy −=

Tempo di caduta: ( ) 0y t =

02

1 2 =− gthg

htc

2=

cG tvx 0=

Velocità finale (modulo):

( ) 2y cv t gh= −0)( vtv cx =ghvvc 22

0 +=

0v�

x

y

Gittata: )( ctx

g

hv

20=

parabola

h

O xu�

yu�

yugga�� −==

0)( vtvx = gttvy −=)(Equazioni delle velocità:

0( )x t v t=Equazioni del moto:

2

2

1)( gthty −=

(rettilineo uniforme) (uniform. accelerato)

ghvc 2=

0=inizialev1vviniziale −=

g

htc

2=

Lancio orizzontale

Caduta libera

0vviniziale =

ghvvc 220 +=

y0v�

x

yy

1v−

Il moto proiettato sull’asse verticale coincide con una caduta libera

g

htc

2=

ghvvc 221 +=

Velocitàfinale(modulo)

g

h

g

v

g

vtc

22

211 ++−=Tempo di

caduta

2

2

1)( gthty −=Stesso tempo di caduta:

La velocità iniziale si somma in quadratura con la velocità prodotta da g


Moto relativo nel pianoConsideriamo due punti P1 e P2 in moto lungo due traiettorie nel piano

xu�

yu�

x

y

O

1P

2P2r�

yx utyutxtr��

)()()( 222 +=1r� yx utyutxtr

��

)()()( 111 +=

Posizione di P1 e P2 in ogni istante rispetto al sistema di riferimento O:

2,1r�

Posizione relativa di P2 rispetto a P1

)()()( 122,1 trtrtr�� −=

yx uyyuxx��

)()( 1212 −+−=

)()( 12 tvtv�� −=

Velocità relativa di P2 rispetto a P1

dt

trdtv

)()( 2,1

2,1

�

� =dt

trd

dt

trd )()( 12

��

−=

)()( 12 tata�� −=

Accelerazione relativa di P2 rispetto a P1

dt

tvdta

)()( 2,1

2,1

�

� =dt

tvd

dt

tvd )()( 12

��

−=

1,2 2 1v v v= −� � �

Velocità relativa di P2 rispetto a P1

2v�

1v�

y

Combinazione di due moti rettilinei uniformi

x

2v�

1v�

x

y1v−�

1,2v�

P1

P2


Moto nello spazioIl moto lungo una traiettoria tridimensionale si può rappresentare con le sue componenti lungo x(t), y(t), z(t)

� moto rettilineo)(),(),( tztytx

zyx udt

dzu

dt

dyu

dt

dx �� ++=

zzyyxx uvuvuv�� ++=

zz

yy

xx u

dt

dvu

dt

dvu

dt

dv �� ++=

zzyyxx uauaua�� ++=

zyx utzutyutxtr��

)()()()( ++=Posizione

r�

dt

vdta

�

� =)(

Accelerazione

a�

dt

rdtv

�

� =)(

v�

Velocità

∫+=t

tdttvrtr

0

)( )( 0

��

xu�

yu�

zu�

x

y

z

O

)( ta�

∫+=t

tdttavtv

0

)()( 0

��

Inversamente, integrando sulle 3 componenti x, y, z:

Dinamica del punto materiale

• Quali sono le cause del movimento?• Che cosa fa sì che il moto sia di un determinato tipo?

dinamica del punto� A quali condizioni, in un dato sistema di riferimento,

il punto resta in quiete? (eqiulibrio statico)

Moto � Interazione del punto materiale con l’ambiente circostante

Un corpo permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme a meno che non intervenga una forza esterna a modificare il suo stato

Principio d’inerzia

PRESENZA DI “FORZE ESTERNE”

VARIAZIONE DELLA VELOCITA’

accelerazione forza



« E da quell'impeto è mosso il sasso dopo che il motore ha cessato di muovere. Ma a causa della resistenza dell' aria e della gravità del sasso, che inclina in una direzione contraria a quella verso cui l'impeto muove, quell'impeto si indebolisce continuamente. »

Marshall Clagett, La scienza della meccanica nel medioevoFeltrinelli 1972, pp. 595-596

Giovanni Buridano (1290 – 1358)

Teoria dell'impeto: un corpo in movimento possiede un impetoche lo porta a proseguire il suo moto in assenza di forze esterne

• Qualsiasi oggetto in movimento tende a rallentare fino a fermarsi, a meno che non venga spinto a continuare il suo movimento.

• Corpo lanciato? Mantenuto in moto da un vortice dell’aria

“Fisica”

Aristotele (384-322 a.C.)

Lo stato naturale dei corpi è la quiete

(in senso “assoluto”: rispetto alla Terra)

« Possiamo dunque e dobbiamo dire che al sasso o a un altro proietto viene impressa una tale cosa, la quale è la virtù motrice di quel proietto, e ciò pare meglio che ricorrere all‘azione dell‘aria per far muovere il proietto. Pare infatti piuttosto che l' aria resista al moto. […] »

“Principio di inerzia”

Questo « deve intendersi in assenza di tutti gli impedimenti esterni e accidentari » … e che gli oggetti in movimento siano:« immuni da ogni resistenza esterna: il che essendo forse impossibile trovare nella materia, non si meravigli taluno, che faccia prove del genere, se rimanga deluso dall'esperienza. »

Galileo Galilei

“Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove

scienze attenenti alla mecanica et i movimenti locali” (1638)

“ Il Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo” (1632)



Enunciazione formale:

« Lex Prima: Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare. »

Isaac Newton

“Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” (1687)

« Il mobile durasse a muoversi tanto quanto durasse la lunghezza di quella superficie, né erta né china. Se tale spazio fusse interminato, il moto in esso sarebbe parimenti senza termine, cioè perpetuo. »

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