CINEMATICA DEI CORPI RIGIDI - - Università … delle lezioni del corso di Statica 2014 1 CINEMATICA...

appunti delle lezioni del corso di Statica

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CINEMATICA DEI CORPI RIGIDI

La Cinematica rientra in quella parte della Meccanica Classica che si occupa dello studio della

geometria degli spostamenti dei punti di un sistema materiale ipotizzato come rigido,

indipendentemente dalle cause che li possono generare.

In particolare, nell’ambito della Cinematica delle Strutture, ci si occupa principalmente di

identificare le posizioni che un dato sistema materiale assume nello spazio senza precisare la

successione temporale con la quale si susseguono.

1. PREMESSA

Si consideri un sistema materiale continuo (nel seguito denominato corpo) i cui punti occupano un

insieme di posizioni che definiscono la configurazione iniziale C del corpo.

Per effetto di uno spostamento indotto da cause esterne, il corpo si porta in una nuova

configurazione C’, definita sempre dall’insieme delle posizioni dei punti costituenti il corpo. Si dice

che il corpo ha subito un trasporto dalla configurazione iniziale C alla configurazione variata o

finale C’. Ovvero, ogni punto P del corpo subisce uno spostamento individuato dal vettore Pu

(Figura 1).

Figura 1


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Se durante tale trasporto (anche detto spostamento) si ha che la mutua distanza tra una qualsiasi

coppia di punti costituenti il corpo rimane invariata, il trasporto che porta il corpo dalla posizione

iniziale a quella variata viene detto RIGIDO.

L’ipotesi di spostamenti rigidi, assieme ad altre ipotesi, verrà considerata nello studio della

cinematica dei corpi, denominati impropriamente corpi rigidi, per identificare il fatto che ad essi

sono associati solo spostamenti rigidi.

È evidente che, nel passaggio dalla configurazione iniziale a quella finale (o variata), lo

spostamento (o trasporto) del corpo rigido è definito dall’insieme degli spostamenti compiuti da

tutti i punti costituenti il corpo proprio nel passaggio dalla configurazione iniziale a quella finale.

Considerando dunque il generico punto P del corpo, il suo passaggio dalla configurazione iniziale a

quella finale, ovvero da P a P’, è individuata dal vettore spostamento Pu con origine in P ed

estremo libero in P’:

1 2 31 2 3P'-Ppu u e u e u e= = + + [ 1 ]

essendo 1 2 3, ,e e e i versori degli assi del sistema di riferimento e 1 2 3, ,u u u le componenti del vettore

Pu lungo gli stessi assi.

In particolare, è possibile osservare che se gli spostamenti subiti da tutti i punti costituenti il corpo

nel passaggio dalla configurazione iniziale a quella variata risultano paralleli ad uno stesso piano, si

è nella condizione di SPOSTAMENTO RIGIDO PIANO (ulteriore ipotesi utilizzata nelle prossime

trattazioni). In questo caso, la componente dello spostamento ortogonale al piano dove avviene il

trasporto del corpo risulta essere nulla, ovvero non è più un’incognita nel problema

dell’individuazione della posizione variata del corpo.

Ad esempio, nel caso in cui il trasporto avvenga in un piano parallelo al piano individuato dagli assi

x1, x2 del sistema di riferimento ortonormale, la componente del vettore spostamento lungo l’asse x3

è nulla, per cui il vettore Pu diviene:


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1 21 2P'-Ppu u e u e= = + [ 2 ]

2. ROTOTRASLAZIONE DEI CORPI RIGIDI

Un aspetto di particolare interesse è quello secondo il quale lo spostamento rigido di un corpo può

essere decomposto in due componenti elementari dette rispettivamente TRASLAZIONE rigida e

ROTAZIONE rigida. La composizione delle due dà luogo alla cosiddetta ROTOTRASLAZIONE

rigida che identifica appunto il trasporto del corpo dalla configurazione iniziale a quella variata.

Si esaminano dunque in modo separato le due componenti elementari facendo riferimento al caso di

spostamento rigido piano.

2.1.TRASLAZIONE RIGIDA

Si ha traslazione rigida quando tutti i punti del corpo compiono spostamenti uguali in direzione,

verso e intensità (figura 2), ovvero: P,Qt tP Qu u= ∀ ∈C

Figura 2


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In questo caso dunque il vettore che identifica lo spostamento per ogni punto del corpo viene detto

vettore di TRASLAZIONE rigida e verrà indicato nel seguito come tPu , dove con l’apice t si è

voluto indicare che il vettore è la componente del trasporto associata alla sola traslazione rigida.

È possibile osservare che la traslazione rigida è un particolare tipo di spostamento rigido piano che

avviene su un piano parallelo al vettore di traslazione tPu .

2.2.ROTAZIONE RIGIDA

Si ha invece una rotazione rigida quando tutti i punti del corpo appartenenti ad una retta r non

mutano la loro posizione nel passaggio dalla configurazione iniziale a quella variata: rotazione

rigida attorno all’asse di rotazione r. Supponendo che l’asse di rotazione coincido con l’asse x3 del

sistema di riferimento, ovvero che anche in questo caso si abbia un trasporto che avvenga nel piano

x1x2, la rotazione è descritta dal vettore 3θ eθ = ⋅ , essendo 3e il versore dell’asse di rotazione r.

In figura 3 è riportato un esempio di rotazione rigida attorno ad una retta ortogonale al piano 1 2,x x

passante per il punto Q del corpo.

Figura 3


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In questo caso, il vettore che identifica lo spostamento di un generico punto P del corpo verrà

indicato con rPu ed è funzione dell’ampiezza θ della rotazione. In particolare, nel caso illustrato in

figura 3, si ha:

* *'

rP P Pu x x= − [ 3 ]

dove i vettori * *' ,P Px x che definiscono rispettivamente la posizione di P’ e di P rispetto al centro di

rotazione Q, ovvero:

*' 'P P Qx x x= − [ 4 ]

*P P Qx x x= − [ 5 ]

presentano lo stesso modulo b in quanto lo spostamento del punto P avviene lungo un arco di

circonferenza:

* *' bP Px x= = [ 6 ]

In particolare, tenendo conto delle componenti di questi vettori lungo gli assi del sistema di

riferimento, essi possono essere scritti come:

1 1

2 2*

3 33 3

b cosb sin

P Q

P QP

P QP Q

x xx xx

x xx x

αα

− −= = −−

[ 7]

1 1'

2 2*''

3 33 3'

b cos( )b sin( )

P Q

P QP

P QP Q

x xx xx

x xx x

α θα θ

− + +−= = −−

[ 8]

Nella [8] si è tenuto conto del fatto che la componente del vettore *Px lungo l’asse x3 non subisce

variazione durante la rotazione rigida in quanto essa avviene nel piano x1x2, ovvero la componente

di * *' ,P Px x è addirittura nulla in questo caso, ma per generalizzare il problema continuiamo a

includerli nei vettori posizione.

Utilizzando le ben note relazioni trigonometriche, il vettore *'Px può essere scritto come:


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( ) ( )( ) ( )

1 1 2 2

* 1 1 2 2'

3 33 3

cos sinb cos cos b sin sinb cos sin b sin cos sin cos

P Q P Q

P P Q P Q

P QP Q

x x x x

x x x x xx x x x

θ θα θ α θα θ α θ θ θ

− − −⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅= = − + − − −

[ 9]

ovvero nella seguente forma:

( )( )

1 1

* *2 2'

3 3

cos sin 0sin cos 0

0 0 1

P Q

rP PP Q

P Q

x x

x xx x

x x

θ θθ θ

−− = = Ω ⋅− −

[ 10]

dove rΩ è detta matrice delle rotazioni. Si può osservare che tale matrice è emisimmetrica (ovvero

( )Tr rΩ = − Ω ).

Sfruttando la relazione alla quale si è appena pervenuti, il vettore rPu può essere scritto come:

* * * * *'

r r rP P P P P Pu x x x x I x = − = Ω − = Ω − [ 11]

nella quale I rappresenta la matrice unitaria, ovvero:

cos sin 0 1 0 0 (cos 1) sin 0sin cos 0 0 1 0 sin (cos 1) 00 0 1 0 0 1 0 0 0

r Iθ θ θ θθ θ θ θ

− − − Ω − = − = −

[ 12]

e dunque:

1 11

2 22

3 3 3

(cos 1) sin 0sin (cos 1) 00 0 0

P QPr

P QP P

P P Q

x xux xu u

u x x

θ θθ θ

− − − −= = − ⋅ −

[ 13]

Dalla quale si osserva chiaramente come in questo caso di rotazione rigida piana risulti: 3 0Pu = .

Quindi anche in questo caso il problema si semplifica in quanto, considerando solo le prime due

componenti dello spostamento, ovvero il caso piano, si può fare riferimento a una matrice di

rotazione di ordine ridotto


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cos sinsin cos

r θ θθ θ

− Ω =

e dunque al vettore rappresentativo del trasporto in caso di rotazione rigida

piana che risulta: 1 11

2 22

(cos 1) sinsin (cos 1)

r P QPP

P QP

x xuu

x xuθ θθ θ

−− − = = ⋅ −−

.

Una volta definite le componenti elementari dello spostamento rigido piano (traslazione rigida e

rotazione rigida), è possibile definire lo spostamento generico del punto P del corpo andando a

comporre le due componenti (rototraslazione):

*rtP PQu u I x = + Ω − [ 14]

dove, tQu rappresenta la traslazione rigida del generico punto del corpo, mentre la seconda parte

rappresenta la componente della rotazione rigida attorno ad una retta normale al piano in cui si ha la

traslazione rigida, passante per il punto Q (il fatto che l’asse di rotazione passi per il punto Q è

descritto dal vettore *Px le cui componenti risultano appunto

1 1*

2 2P Q

PP Q

x xx

x x −

= − ).

3. SPOSTAMENTI RIGIDI INFINITESIMI

Una ulteriore ipotesi spesso utilizzata nello studio della cinematica dei corpi rigidi è quella di

spostamenti rigidi infinitesimi. In pratica, questa ipotesi viene utilizzata quando gli spostamenti

sono molto piccoli rispetto alle dimensioni del corpo, ovvero quando il trasporto non dà luogo ad

una significativa variazione della configurazione del corpo.

L’ipotesi di spostamenti rigidi infinitesimi, consente di introdurre ulteriori semplificazioni. Tra

queste il concetto di rotazione rigida infinitesima θ che implica cos 1; sinθ θ θ≈ ≈ , ovvero ci si

arresta al primo termine dello sviluppo in serie, che dà luogo ad una matrice di rotazione nel caso

piano 11

r θθ

− Ω =

e quindi uno spostamento di rototraslazione pari a:

*tP Q Pu u W x= + [ 15]

dove:


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00

rW I

θθ

− = Ω − =

[ 16]

è detta MATRICE DELLE PICCOLE ROTAZIONI PIANE che risulta essere una matrice

emisimmetrica definita nulla (ovvero gli elementi della matrice sulla diagonale principale sono

nulli). Una proprietà importante di questo tipo di matrici consiste nel fatto che se pre-moltiplicate

per il trasposto di un vettore e post-moltiplicate per lo stesso vettore, qualunque esso sia, si ottiene

zero: ( ) ( ) 0Ta W a = .

Segue dunque:

1 1 1 1 2 21

2 2 2 2 1 12

( )0( )0

Q P Q Q P QP

Q P Q Q P QP

u x x u x xuu x x u x xu

θθθθ

− − −− = + = − + −

[ 17]

che può essere posto nella seguente forma:

12 21

*21 12

1 0 ( )( , )

0 1 ( )

QP QP

P QQP QP

ux xu

u D x x qx xu

θ

− − = = −

[ 18]

dove:

2 2

1 1

1 0 ( )( , )

0 1 ( )P Q

P QP Q

x xD x x

x x − −

= − , viene detta matrice cinematica in quanto trasforma il vettore di

rototraslazione riferito al punto Q nello spostamento del punto P;

1 2 θT

Q Qq u u = , è il vettore di rototraslazione rispetto al punto Q a cui è riferito il moto. Le

componenti di questo vettore prendono il nome di parametri lagrangiani o spostamenti

generalizzati. Essi risultano essere 3 quando si hanno spostamenti rigidi piani, mentre risultano

essere 6, ovvero: 1 2 3 1 2 3θ θ θT

Q Q Qq u u u = quando si hanno spostamenti rigidi nello spazio.

La loro conoscenza consente di individuare la posizione del corpo nella configurazione variata.

Si può dimostrare che uno spostamento rigido piano può essere sempre visto come una rotazione

rigida attorno ad un punto detto centro di rotazione assoluto. Infatti se questo punto è improprio si


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ha una traslazione, se invece è proprio si ha una rotazione attorno ad un asse passante per esso

(teorema di Eulero).

Il centro di rotazione assoluto è dunque caratterizzato dal fatto che non subisce alcuno spostamento

durante il passaggio dalla configurazione iniziale a quella variata. Ovvero, se indichiamo con C il

centro di rotazione assoluto si ha che:

0Cu = [ 19]

Ciò consente di calcolare le coordinate del centro di rotazione assoluto.

Infatti, esprimendo lo spostamento del centro C come composizione della traslazione rigida del

punto generico P del corpo e della rotazione rigida rispetto a questo punto:

( ) 0C P C Pu u W x x= + − = [ 20]

si ottiene:

( ) 0P C Pu W x x+ − = [ 21]

che, in termini di componenti risulta:

1 11

2 22

0 00 0

PP C

PP C

x xux xu

θθ

−− + = −

[ 22]

Da cui si ottengono le coordinate del centro di rotazione assoluto C :

( )( )

21 11

2 2

122 21 1

0

0

PC PPCP

C PPP

PC

ux xu x x

uu x x x x

θ θθ

θ

= −− − = →+ − = = +

[ 23]

Dalla definizione di centro di rotazione assoluto è possibile osservare che:

se il punto C rispetto al quale è riferita la rotazione è un centro di rotazione assoluto, ovvero il

punto C durante il trasporto non subisce spostamenti ( 0Cu = ), segue che: ( )P P Cu W x x= − . Pre-

moltiplicando entrambi i membri per ( )TP Cx x− , si ottiene:

( ) ( ) ( ) 0T TP C P P C P Cx x u x x W x x− ⋅ = − − = essendo la matrice W emisimmetrica. Ciò dimostra


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che nel caso di spostamenti rigidi infinitesimi il vettore spostamento Pu è ortogonale al vettore

congiungente il centro di rotazione assoluto con il punto considerato (Teorema di Chasles: dato un

campo di spostamento rigido piano, lo spostamento di un punto è diretto perpendicolarmente alla

congiungente il centro di rotazione).

Ovvero, noto lo spostamento di due punti del corpo rigido, tracciando le normali ad essi passanti per

i loro punti di origine, l’intersezione tra le due normali individua proprio il centro di rotazione

assoluto.

Tenendo conto di ciò, l’espressione che descrive il vettore di rototraslazione può essere scritta nella

seguente forma:

( )3 * 3θ θt tP Q P Q P Qu u e x u e x x= + × = + × − [ 24]

Dove si ricorda che il vettore *Px descrive la posizione del punto P rispetto al punto Q, mentre

,P Qx x sono i vettori che descrivono la posizione di P e Q rispetto all’origine del sistema di

riferimento, e il simbolo × indica l’operazione di prodotto vettoriale.

Infine è importante osservare che, se invece del punto Q, che non subisce traslazioni durante la

rotazione rigida del corpo, si sceglie un altro punto, ad esempio il punto M che invece durante la

rotazione rigida del corpo subisce uno spostamento che lo porta in M’, la rotazione rigida del corpo

deve essere vista come somma di una ulteriore traslazione rigida del corpo dovuta alla traslazione

subita dal punto M e da una rotazione rigida di ampiezza θ stavolta attorno al punto M’.

Infatti, il vettore spostamento del punto P dovuto alla rotazione rigida, risulta pari a:

0 0( ) ( ' )rPu P P P P= − + −

dove:

0( )P P− rappresenta la traslazione rigida dovuta al trasporto di M in M’;

0( ' )P P− rappresenta lo spostamento legato alla rotazione rigida che risulta dunque:


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( ) ( )0

3 3'0( ' ) P M P MP P e x x e x xθ θ− = × − = × − , essendo ( ) ( )0 'P M P Mx x x x− = − in quanto nel

passaggio da M a M’, e di conseguenza da P a P0, il corpo subisce una traslazione rigida.

Figura 4

Da ciò discende che nella formula dello spostamento rigido infinitesimo, la parte legata alla

traslazione rigida del punto di riferimento che si sceglie (in pratica, quello di cui si conosce lo

spostamento e la rotazione) comprende lo spostamento effettivo del punto, ovvero quello dovuto

alla traslazione rigida del corpo e quello dovuta alla rotazione rigida del corpo:

( )3 * 3θ θP M P M P Mu u e x u e x x= + × = + × −

Nel caso esaminato in precedenza, ovvero quando si è fatto riferimento al punto Q, il punto di

riferimento non subiva spostamenti durante la rotazione rigida, per questo si utilizzava l’apice t per

distinguere l’effetto della traslazione rigida imposta al corpo da quello legato alla sola rotazione

rigida proprio intorno al punto Q.


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OSSERVAZIONE 1.

È possibile dimostrare che nel caso di spostamenti rigidi infinitesimi, le componenti di spostamento

di due punti secondo la loro congiungente sono uguali.

Considerando infatti due punti A e B del corpo, ,A Bu u i rispettivi spostamenti rigidi infinitesimi, e

il versore della retta congiungente i due punti, e considerando la rototraslazione dei due pinti riferita

allo stesso punto generico O:

( )( )

θ

θA O A O

B O B O

u u e x x

u u e x x

= + × −

= + × −

Le componenti di questi vettori lungo la retta congiungente gli stessi risultano:

AA

BB

u u e

u u e

= ⋅

= ⋅

Valutando la loro differenza:

( ) ( ) 0B A B Au u e x x eθ − ⋅ = × − ⋅ =

si osserva che essa è nulla, confermando l’uguaglianza delle due componenti degli spostamenti

lungo la retta congiungente i due punti.

Questo risultato è direttamente legato al fatto che il campo delle velocità in un atto di moto rigido è

equiproiettivo e dal fatto che la cinematica degli spostamenti rigidi infinitesimi coincide con la

cinematica degli atti di moto.

OSSERVAZIONE 2.

La formula dello spostamento rigido infinitesimo può anche essere dedotta seguendo un approccio

più generale.


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Figura 5

Considerando il corpo nella configurazione C soggetto a una rotazione rigida di ampiezza θ attorno

all’asse a di versore e , preso il generico punto P del corpo, la cui proiezione ortogonale sull’asse a

individua il punto Q, lo spostamento subito dal punto P durante la rotazione rigida risulta pari a:

( ) ( )0 0'rPu P P P P= − + −

dove, essendo 0 0'P P P P− = − in quanto la rotazione avviene lungo un arco di circonferenza,

risulta:

( )0

0

1 cos

' sin

P P P Q

P P P Q

θ

θ

− = − −

− = −

Ovvero, tenendo conto del fatto che ( )0P P− è diretto lungo la retta d’azione di ( )P Q− , con verso

opposto, e che invece ( )0'P P− è ortogonale a quest’ultima, risulta:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

*0

*0

cos 1 cos 1

' sin sinP

P

P P P Q x

P P e P Q e x

θ θ

θ θ

− = − − = −

− = × − = ×

Quindi lo spostamento subito dal punto P a seguito della rotazione rigida risulta:

( ) * *cos 1 sinrP P Pu x e xθ θ= − + ×


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che nel caso di spostamenti rigidi infinitesimi diviene:

*rP Pu e xθ= ×

dove, sommando la componente relativa alla traslazione rigida dello stesso punto Q, dà luogo alla

stessa espressione [24] ottenuta in precedenza:

* *θP Q P Q Pu u e x u xθ= + × = + ×

ad eccezione del fatto che in questo caso l’asse di rotazione non coincide con l’asse x3 del sistema

di riferimento ma è generico.

Passando ad una rappresentazione scalare di questa espressione, quindi esprimendo i vettori che

appaiono in essa nel riferimento ortonormale x1x2x3:

1 2 31 2 3P P P Pu u e u e u e= + +

1 2 31 2 3Q Q Q Qu u e u e u e= + +

1 2 31 2 3e e eθ θ θ θ= + +

* 1 2 3*1 *2 *3P P P Px x e x e x e= + +

ricordando che:

( ) ( ) ( )1 2 3

* 1 2 3 2 *3 3 *2 1 *3 3 *1 1 *2 2 *11 2 3

*1 *2 *3

θ θ θP P P P P P P

P P P

e e ex x x e x x e x x e

x x xθ θ θ θ θ θ θ× = = − − − + −

che scritta per componenti diventa:

3 2 *1

* 3 1 *2

2 1 *3

00

0

P

P P

P

xx x

x

θ θθ θ θ

θ θ

− × = − −

che inserita nella formula dello spostamento diviene:

1 1 3 2 *1

2 2 3 1 *2

3 3 2 1 *3

00

0

P Q P

P Q P

P Q P

u u xu u xu u x

θ θθ θθ θ

− = + − −


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nella quale:

3 2

3 1

2 1

00

0W

θ θθ θθ θ

− = − −

rappresenta proprio la matrice delle piccole rotazione, che, nel caso particolare di rotazione rigida

piana attorno all’asse x3 del sistema di riferimento (ovvero 1 2 30; 0;θ θ θ θ= = = ), diventa:

0 00 0

0 0 0W

θθ − =

La stessa dedotta in precedenza per il caso di rotazioni rigide piane.

OSSERVAZIONE 3.

La matrice delle piccole rotazioni può essere dedotta utilizzando la formula di Rodriguez, ovvero,

data una rotazione nello spazio euclideo di misura θ intorno ad un asse individuato dal versore e ,

per ogni vettore geometrico vale la relazione:

2sin ( ) (1 cos ) ( )r I e eθ θΩ = + Λ + − Λ

dove ( )eΛ è la matrice assiale associata al versore e dell’asse intorno a cui ruota il corpo, mentre

2 ( ) ( ) ( )e e eΛ = Λ Λ

( )eΛ è una matrice emisimmetrica, per la quale dunque vale la proprietà:

: ( )x e x e x∀ Λ = ×

e che si ottiene nel seguente modo:

1 3 2

2 3 1

3 2 1

0( ) 0

0

e e ee e e e e

e e e

− = → Λ = − −

Da cui si osserva che se l’asse di rotazione coincide con l’asse x3 del sistema di riferimento, la

matrice assiale assume la seguente espressione:


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3 3

0 0 1 00 ( ) 1 0 01 0 0 0

e e = → Λ =

mentre:

32

1 0 0( ) 0 1 0

0 0 0e

− Λ = −

Applicando dunque la formula di Rodriguez in questo caso, si ottiene:

1 0 0 0 1 0 1 0 0 cos sin 00 1 0 sin 1 0 0 (1 cos ) 0 1 0 sin cos 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1

r

θ θθ θ θ θ

− − − Ω = + + − − =

Considerando l’ipotesi di spostamenti infinitesimi, la formula di Rodriguez diviene:

3sin ( )r

I eθΩ = + Λ

e quindi, nelle stesse ipotesi di prima, si ha:

1 0 0 0 1 0 1 00 1 0 1 0 0 1 00 0 1 0 0 0 0 0 1

rθ

θ θ− −

Ω = + =

Dalla quale si ottiene la matrice delle piccole rotazioni piane ([16]):

0 00 0

0 0 0

rW I

θθ

− = Ω − =

La formula di Rodriguez diventa molto utile nel caso di rotazione attorno un asse generico di

versore e .

In questo caso infatti:

3 2

3 1

2 1

1sin ( ) 1

1

rI e

θ θθ θ θ

θ θ

− Ω = + Λ = − −

e la matrice delle piccole rotazioni rigide risulta:


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3 2

3 1

2 1

00

0

rW I

θ θθ θθ θ

− = Ω − = − −


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4. SISTEMI DI CORPI RIGIDI

Nel caso si abbia un sistema costituito da n corpi rigidi, dove ogni corpo i-esimo occupa una

configurazione Ci, è evidente che i parametri lagrangiani q sono tre (sei nello spazio) per ogni

corpo i-esimo. Essi possono essere raggruppati nella matrice dei parametri lagrangiani del sistema

di corpi, di ordine 3×n nel piano e 6×n nello spazio:

1 2 3...

n nq q q q

× = [ 25]

È altresì evidente che nel caso di sistema di n corpi, le relazioni dedotte precedentemente per il

singolo corpo, continuano ad essere valide ma devono essere scritte con riferimento ad ogni corpo

costituente il sistema.

Nel caso inoltre della presenza di n corpi, oltre a poter definire il centro di rotazione assoluto, uno

per ogni corpo, è possibile introdurre la nozione di centro di rotazione relativa tra due corpi.

Infatti, dati due corpi Ci e Cj, e detti Ci e Cj i rispettivi centri di rotazione assoluta, si definisce

centro di rotazione relativa Cij il punto intorno a cui Ci è visto ruotare da un osservatore solidale a

Cj.

Considerando il caso di due soli corpi, è possibile dimostrare che la presenza di un possibile

cinematismo dei corpi implica che i due centri di rotazione assoluta sono allineati con il centro di

rotazione relativa tra i due corpi (teorema 1 delle catene cinematiche).

Infatti, considerando i due corpi soggetti ognuno ad una rotazione intorno al rispettivo centro

proprio, si impone una rotazione pari a 2θ− a entrambi i corpi rispetto al centro C2: lo spostamento

relativo tra i due corpi non varia. Il corpo C2 ritorna nella posizione iniziale, mentre il corpo C1

assume una posizione relativa rispetto a C2 definita dalla somma di 1θ intorno a C1 e di 2θ− rispetto

a C2. Si osserva che solo il centro relativo subisce per effetto del moto dei due corpi lo stesso

spostamento.


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Figura 6

Inoltre si può dimostrare che, in presenza di tre corpi in moto relativo tra loro, si ha l’esistenza di

tre centri relativi che risultano essere allineati (teorema 2 delle catene cinematiche).

Infatti, anche in questo caso, imponendo una rotazione pari a 1θ− intorno a C1 per tutti i corpi, si

individuano i centri relativi C12 e C13 che rappresentano i centri assoluti del corpo C2 e del corpo C3

rispetto al corpo C1. Per il teorema 1, questi due centri devono dunque essere allineati con il centro

relativo C23, il quale a sua volta deve essere allineato con i centri assoluti del corpo due e del corpo

3.

C1

C2

C12

θ1

θ2

θ1-θ2

-θ2


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Figura 7

Nel seguito si introdurranno altre proprietà e si dimostrerà l’utilità di questi teoremi nell’individuare

la possibilità che si abbia un cinematismo in un sistema di corpi rigidi quando ad esempio risultino

presenti restrizioni sugli spostamenti (vincoli).


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APPLICAZIONI NUMERICHE

ESERCIZIO 1

Si consideri il corpo rappresentato dal rettangolo in figura 4. Assunto il sistema di riferimento con

origine nel punto O e considerando l’ipotesi di piccoli spostamenti rigidi piani, a partire dalla

configurazione iniziale, viene impresso uno spostamento descritto dai seguenti parametri

lagrangiani:

1

2

0.030.050.01

A

A

uq u

θ

= =

Figura 4

Si vuole determinare lo spostamento dei punti B e D nonché le coordinate del centro di rotazione

assoluta C .

Applichiamo le relazioni derivate sopra:

( )*B A B A B Au u W x u W x x= + = + −

dove:

1

2

0.030.05

AA

A

uu

u

= =

,

1 1*

2 2

50

B AB B A

B A

x xx x x

x x −

= − = = − ,

0 0 0.010 0.01 0

Wθ

θ− −

= =

si ottiene dunque:


2014

22

1 1 1 1

2 2 2 2

0 0.03 0 0.01 5 0.030 0.05 0.01 0 0 0.10

B A B A

B A B A

u u x xu u x x

θθ

− − − = + = + = −

1 20 03 0 10Bu . e . e= +

Allo stesso modo si può dedurre lo spostamento del punto D:

( )*D A D D D Au u W x u W x x= + = + −

dove:

1

2

0.030.05

AA

A

uu

u

= =

,

1 1*

2 2

53

D AD D A

D A

x xx x x

x x −

= − = = − ,

0 0 0.010 0.01 0

Wθ

θ− −

= =

si ottiene dunque:

1 1 1 1

2 2 2 2

0 0.03 0 0.01 5 0.000 0.05 0.01 0 3 0.10

D A D A

D A D A

u u x xu u x x

θθ

− − − = + = + = −

20 10Du . e=

Si può pervenire agli stessi risultati utilizzando l’espressione basata sulla matrice cinematica:

11 2 2

*22 1 1

1 0 ( )( , )

0 1 ( )

AB B A

B AAB B A

uu x x

u D x x qu x x

θ

− − = = −

Ovvero:

1

2

0.031 0 0 0.03

0.050 1 5 0.10

0.01

B

B

uu

= =

Così come per il punto D:

11 2 2

22 1 1

0.031 0 3 0.01 0 ( )

0.050 1 5 0.10 1 ( )

0.01

AD D A

AD D A

uu x x

uu x x

θ

− − − = = = −


2014

23

Si può altresì utilizzare l’ultima espressione dedotta basata sull’ortogonalità tra il vettore

spostamento e il vettore congiungente il polo di rotazione:

( )3 * 3θ θt tB A B A B Au u e x u e x x= + × = + × −

Infatti:

1 20.03 0.05tAu e e= + , * 15Bx e=

3 * 3 1 2θ 0.01 5 0.05Be x e e e× = × = → 1 20.03 0.10Bu e e= +

E per il punto D:

* 1 25 3Dx e e= +

( )3 * 3 1 2 1 2θ 0.01 5 3 0.03 0.05De x e e e e e× = × + = − + → 20.10Du e=

A questo punto si possono calcolare le coordinate del centro di rotazione assoluta:

( )( )

21 11

2 2

122 21 1

0.052 30 0.010.030 1 40.01

AC AACA

C AAA

AC

ux xu x x

uu x x x x

θ θθ

θ

= − = − = −− − = →− − = = + = + =

Risulta interessante calcolare lo spostamento di un punto qualsiasi rispetto al centro di rotazione

assoluta C :

1 1 11

2 2 22

0 0.00 0 0.01 7 ( 3) 0.030 0.00 0.01 0 1 4 0.10

BB C C

BB C C

u x xuu x xu

θθ

−− − − − = + = + = − −

1

2 212

1 12

01 0 ( ) 1 0 (1 4) 0.03

00 1 ( ) 0 1 (7 3) 0.1

0.01

CBB C

CBB C

ux xu

ux xu

θ

− − − − = = = − +

( )3 * 3 3 1 2 1 2θ θ 0.01 10 3 0.03 0.1t tB C B C B Cu u e x u e x x e e e e e = + × = + × − = × + − = +


2014

24

ESERCIZIO 2

Con riferimento al corpo rigido dell’esercizio 1, considerando le stesse ipotesi, viene impresso uno

spostamento descritto dai seguenti parametri lagrangiani:

1

2

0.030.05

0

A

A

uq u

θ

= =

Figura 4


assoluta C .

Si utilizza l’espressione basata sull’ortogonalità tra il vettore spostamento e il vettore congiungente

il polo di rotazione:


che, nel caso in esame, essendo nulla la rotazione diventa:

1 20.03 0.05tB Au u e e= = +

Allo stesso modo:

( )3 * 3 1 2θ θ 0.03 0.05t t tD A B A B A Au u e x u e x x u e e= + × = + × − = = +

Ovvero il corpo trasla rigidamente.

È interessante osservare che il calcolo delle coordinate del centro di rotazione conduce a un centro

improprio a causa del fatto che la rotazione è nulla.


2014

25

ESERCIZIO 3

Con riferimento al corpo rigido dell’esercizio 1, considerando le stesse ipotesi, viene impresso uno

spostamento descritto dai seguenti parametri lagrangiani:

1

2

00

0.01

A

A

uq u

θ

= =

Figura 4


assoluta C .

Si utilizza l’espressione basata sull’ortogonalità tra il vettore spostamento e il vettore congiungente

il polo di rotazione:


che, nel caso in esame, essendo nulla la rotazione diventa

( )3 * 3 3 1 2θ θ θ 5 0.05B B B Au e x e x x e e e= × = × − = × =

Mentre:

( ) ( )3 * 3 3 1 2 21θ θ θ 5 3 0.03 0.05D D D Au e x e x x e e e e e= × = × − = × + = − +

E il centro di rotazione assoluta avrà come componenti:


2014

26

( )( )

21 1

12 2

21 1

0

0

AC A ACA

C AA

ux xu x x

u x x

θ θ

θ

= − − − = →− − =

12 2

2

AAC

ux xθ

=

= + 1=

Ovvero coinciderà proprio con il punto A, unico punto del corpo che durante la rototraslazione non

subisce spostamenti.

CINEMATICA DEI CORPI RIGIDI - - Università … delle lezioni del corso di Statica 2014 1 CINEMATICA...

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