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A1.5 DinAmicA Dei corpi rigiDi rotAnti

il concetto di equilibratura Durante il funzionamento, molti organi meccanici ruotano intorno a un as-se, come per esempio gli assi e gli alberi, le ruote dei veicoli, le ruote denta-te, le pulegge, i volani, le camme e gli organi di comando, nonché i cuscinet-ti, i dischi e i tamburi dei freni, i giunti di accoppiamento, i mandrini delle macchine utensili, i motori, i giranti delle pompe, le turbine e i compressori. In genere questi organi vengono schematizzati in forma di cilindri, ponen-do in evidenza l’asse di rotazione (di regola coincidente con l’asse del cilin-dro stesso), e sono detti corpi rotanti a forte velocità (4Fig. 1.17).

poliglotta

EquilibraturaGB: BalancingF: ÉquilibrageD: Auswuchten

poliglottaMassa rotanteGB: Rotating massF: Masse roulanteD: Drehende Masse

Fig. 1.17Corpo rotante a forte velocità.

Tutti i corpi rotanti a forte velocità richiedono studi specifici e rilievi sperimentali, riguardanti la geometria delle masse e le sollecitazioni che nascono al loro interno e sui supporti, in seguito all’alta frequenza di rotazione raggiunta; tali sollecitazioni possono danneggiare il corpo in modo irreparabile. Le attività di progettazione e di misura costitui-scono la teoria dell’equilibratura.

Si definisce equilibratura l’insieme delle analisi di natura dinamica, vibrazionale ed elastica, e dei processi volti a migliorare la distribuzione delle masse dei corpi rotanti a forte velocità.

Lo scopo dell’equilibratura è di valutare il valore delle forze centrifughe squilibrate, determinando le modifiche alla geometria del corpo necessa-rie a ridurre tale stato di squilibrio e, in particolare, l’entità delle reazioni vincolari. Gli organi rotanti a basse velocità non necessitano di tale tipo di analisi, in quanto i carichi dovuti alla rotazione risultano di bassa entità.

Non essendo ovviamente possibile raggiungere l’equilibratura com-pleta di un pezzo, occorre definire obiettivi giudicati accettabili, in fun-zione del tipo di corpo rotante e delle sue applicazioni: in ogni corpo sa-rà sempre presente uno squilibrio residuo.

Analisi della condizione di equilibratura dei corpi rotanti

Nella figura 1.18 è schematizzato un corpo di forma generica, privo di simmetrie, che ruota con velocità angolare ω costante, intorno a un asse z

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qualunque interno al corpo. Per ragioni di semplicità si considera la mas-sa m omogenea.

poliglottaCampo centrifugoGB: Centrifugal fieldF: Champ centrifugeD: Zentrifugalfeld

richiamoIl pedice i attribuito a una massa elementare indica che la massa è posta in una generica posizione internamente al corpo.

richiamoLe forze centrifughe dei corpi rotanti sono presentate nella C1 delVolume 1.

Fig. 1.18Corpo di forma generica in rotazione, con in evidenza le tre masse elementari e le rispettive forze centrifughe infinitesime: i due supporti sostengono il peso e le reazioni alle sollecitazioniconseguenti alla rotazione.

Si consideri ora il corpo rotante in questione suddiviso in un numero teoricamente infinito di masse elementari dmi, piccole a piacere, di for-ma generica e aventi ciascuna una distanza ri dall’asse z di rotazione.

Nella figura 1.18 sono inoltre indicati il baricentro G del corpo e due masse elementari dm1 e dm2, poste alle rispettive distanze r1 e r2 dall’as-se di rotazione k; su ciascuna massa elementare è riportata la forza cen­trifuga Fcf , la cui formulazione è espressa nel modo seguente:

la forza centrifuga di una massa m, che ruota di moto circolare uni-forme con velocità ω a una distanza r dall’asse di rotazione, è espressa dalla seguente relazione:

Fcf = m ω2 r [1.58]

Per ogni corpo sottoposto a rotazione intorno a un asse vale la seguente proprietà:

tutti i punti appartenenti a un corpo rotante sono sottoposti a un campo di natura centrifuga.

Pertanto, applicando a ogni punto materiale appartenente al corpo la formula della forza centrifuga, considerando che nell’intorno del singo-lo punto è compresa una generica massa elementare dmi, si ottiene la forza centrifuga infinitesima dFcf,i agente sulla suddetta massa ele-mentare i-esima:

dFcf,i = ω2 r dmi

EsempioUna massa m = 2,5 kg ruota intorno a un asse fisso con raggio rg = 30 cm e con velocità di rotazione ω = 40 rad/s. Calcolare la forza centrifuga.

SoluzioneApplicando la [1.58] si ottiene:

Fcf = m ω2 r = 2,5 × 402 × 0,3 = 1200 N

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La figura 1.19a rappresenta la sezione eseguita sul corpo con un piano perpendicolare all’asse z e contenente il baricentro G, detto piano del­lo squilibrio statico; il punto C è la traccia dell’asse di rotazione sul piano di sezione.

richiamoI principi teorici e i metodi di calcolo dei baricentri dei sistemi di masse sono presenti nella A5 del Volume 1.

Fig. 1.19Forza centrifuga risultante applicata nel baricentro del corpo rotante:a) rappresentazione nel piano dello squilibrio statico, perpendicolare all’asse z;b) forza centrifuga risultante e momento di riequilibrio risultante.

Nel baricentro è applicata la forza centrifuga Fcf di tutto il corpo, orientata radialmente sul prolungamento del segmento GC. Tale seg-mento rappresenta anche il raggio rg di rotazione del baricentro, duran-te la rotazione del corpo, con velocità angolare ω; il baricentro percorre una traiettoria circolare di raggio rg intorno al centro di rotazione C e possiede una velocità periferica costante in modulo, espressa dalla se-guente relazione:

vg = ω rg [1.59]

La distanza fra il baricentro e la traccia dell’asse di rotazione corrispon-dente al raggio di rotazione rg è definita squilibrio specifico.

È possibile formulare le seguenti osservazioni dedotte dalle proprietà congiunte dei baricentri e delle forze centrifughe.— Ricordando che il baricentro di un corpo è definito come centro del

sistema di forze parallele, costituito dalle forze peso elementari, ne consegue che questa proprietà può essere estesa a un sistema di forze parallele, costituito dalle forze centrifughe elementari che na-scono in ogni massa elementare del corpo, quando esso ruota intorno a un suo generico asse; infatti, la forza peso e la forza centrifuga so-no entrambe linearmente proporzionali alla massa.

— Essendo il baricentro il punto di applicazione della forza peso, esso rappresenta il punto di applicazione della forza centrifuga risultante.

— La forza centrifuga risultante è un vettore rotante, costante nel mo-dulo, la cui direzione incide sull’asse di rotazione ed è perpendicola-re a esso, e con il punto di applicazione coincidente con il baricentro G del corpo.

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— La traiettoria del punto G di applicazione della forza centrifuga ri-sultante è una circonferenza di raggio rg.

— Maggiore è la distanza rg del baricentro dall’asse di rotazione, mag-giore risulta l’entità della forza centrifuga in esso applicata.

riduzione del sistema di forze centrifughe elementari al baricentro

L’analisi dell’insieme delle reazioni vincolari e dello stato di sollecita-zione, generati dall’insieme delle infinite forze centrifughe elementari dFcf, può essere condotto a una rapida soluzione ricorrendo alla teoria della riduzione di un sistema di forze rispetto a un punto, avendo assunto proprio il baricentro G come centro di riduzione.

Questa procedura consente di ridurre tutto il sistema a due sole grandezze, la risultante Fcf del sistema di forze, applicata nel baricen-tro, e il momento risultante Mcf delle stesse forze, calcolato rispetto al baricentro e giacente in un piano meridiano, il cui orientamento rispet-to al baricentro è a priori sconosciuto (4Fig. 1.19b).

Osservazione: la forza centrifuga risultante è ottenuta traslando, paral-lelamente a se stesse, tutte le forze elementari dal loro punto di applica-zione al baricentro, quindi eseguendo la somma vettoriale. Ogni volta che si trasla una forza parallelamente a se stessa, dovendo mantenere invariati gli effetti complessivi sul corpo, occorre introdurre anche un momento di riequilibrio, o coppia di trasporto, pari al prodotto del-la forza per la distanza fra il punto di applicazione iniziale e il punto finale (distanza di trasporto); la somma vettoriale di tutti i momenti di riequilibrio crea il momento risultante Mcf ; non sempre il piano su cui giace il momento Mcf deve contenere il baricentro e, se ciò avviene, è puramente casuale.

Il campo centrifugo così ridotto si presenta di facile soluzione, in quan-to è costituito da due grandezze dinamiche, ossia da una sola forza risultante e un solo momento risultante. Le reazioni vincolari nei vincoli A e B devono equilibrare sia il peso sia la forza centrifuga risul-tante Fcf e il momento risultante Mcf.

Si consideri per semplicità un corpo generico rotante intorno a un asse verticale: anche il peso si scarica in direzione verticale e le reazio-ni vincolari che consentono il sostegno del corpo risultano puramente assiali; tale scelta rende più agevole l’individuazione delle reazioni vin-colari dovute ai soli carichi di natura centrifuga, rappresentate separa-tamente nella figura 1.19. Di seguito si evidenziano le reazioni vincolari, in funzione dei carichi esterni Fcf e Mcf applicati singolarmente.— La forza centrifuga baricentrica Fcf è equilibrata dalle due reazioni

vincolari RcA e RcB, complanari ma di verso opposto alla forza centri-fuga stessa (4Fig. 1.20a).

— Avendo assunto per ipotesi il momento Mcf orario, ne consegue che nei supporti A e B nasceranno due reazioni vincolari RMA e RMB, uguali e opposte, così da formare una coppia reattiva antioraria, pa-ri al prodotto fra la singola reazione e il braccio b (4Fig. 1.20b).

richiamoLa teoria della riduzione di un sistema di forze a un punto è presentata nella A3 del Volume 1, invece la teoria del trasporto di una forza parallelamente a se stessa è riportata nella A2 del Volume 1.

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— Le quattro reazioni vincolari sono vettori rotanti alla medesima ve-locità angolare del corpo.

Fig. 1.20Reazioni vincolari dovute ai carichi centrifughi:a) reazioni alla forza centrifuga Fcf;b) reazioni al momento di riequilibrio Mcf.

Fig. 1.21Risultanti delle reazioni vincolari:a) supporto A;b) supporto B.

Su ogni supporto agiscono due forze, originate indipendentemente dai due carichi esterni. Eseguendo la somma vettoriale delle due coppie di vettori si ottengono le risultanti delle reazioni vincolari, indicate con RA e RB (4Fig. 1.21). È importante notare come le due risultanti si presen-tino diverse sia come modulo sia come direzione; in pratica si tratta di due vettori sghembi.

La presenza di queste due reazioni vincolari pregiudica l’affidabi-lità del corpo rotante, in quanto causa di sollecitazioni indesiderate, di usure, vibrazioni e rumorosità spesso inaccettabili per un corretto fun-zionamento di un organo rotante, specie se ad alta velocità. Pertanto oc-corre intervenire in fase di progettazione e di produzione, per annullare i loro effetti; tali interventi costituiscono l’operazione di equilibratura.

Il raggiungimento di un opportuno livello di equilibratura di un corpo rotante è realizzato attraverso un insieme di interventi teorici e pratici

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riguardanti l’architettura del corpo, allo scopo di attenuare, su livelli di accettabilità, gli effetti della forza centrifuga risultante Fcf e del mo-mento di riequilibrio Mcf.

contrappesatura

Il contrappeso è una massa eccentrica solidale con il corpo rotante, po-sizionato in modo da generare una forza centrifuga rotante alla medesi-ma velocità del corpo. Questa forza centrifuga ha lo scopo di equilibrare altri carichi squilibrati agenti sul corpo e conseguenti alla rotazione.

Si definisce contrappesatura qualunque intervento basato sull’ag-giunta o sull’alleggerimento di opportune masse, allo scopo di raggiun-gere un adeguato livello di equilibratura di un corpo rotante.

Si definisce massa eccentrica una massa aggiuntiva o una parte dell’organo rotante, avente il baricentro esterno all’asse di rotazione.

Prendendo come esempio il corpo rotante analizzato in precedenza, avente le risultanti RA e RB delle reazioni vincolari sghembe, è possibile eseguire un intervento di equilibratura. Si applicano due contrappesi nelle immediate vicinanze dei supporti A e B, orientati in modo da ri-sultare allineati e opposti alle suddette reazioni. Le rispettive masse mA e mB sono sede, nei loro baricentri, di due forze centrifughe FcA e FcB, anch’esse sghembe fra loro (4Fig. 1.22). In questo modo i supporti risul-tano scaricati e il funzionamento dell’organo rotante diviene affidabile e privo di vibrazioni.

poliglotta ContrappesoGB: CounterweightF: ContrepoidsD: Gegengewicht

Fig. 1.22Contrappesatura mediante due masse eccentriche mA e mB; le rispettive forze centrifughe FcA e FcB sono uguali e contrarie alle reazioni vincolari RA e RB.

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In fase di progettazione sono previsti alcuni tratti del corpo rotante in forma di contrappeso, dimensionati lievemente sovrabbondanti, in mo-do da garantire il raggiungimento di adeguati livelli di equilibratura, tenendo conto delle dispersioni, in termini di tolleranze di forma e di massa, durante la fase di produzione. L’intervento di equilibratura vie-ne svolto ponendo il corpo in rotazione su particolari macchine, dette macchine equilibratrici, che intervengono automaticamente ese-guendo piccole asportazioni di massa dal corpo dei contrappesi. Questi piccoli fori di alleggerimento sono ricavati sui contrappesi con opportu-na angolatura; essi servono a regolare l’entità delle forze centrifughe presenti nei contrappesi. La correzione dell’entità delle forze centrifu-ghe, schematizzate nell’esempio precedente come FcA e FcB, consente di raggiungere gli opportuni livelli di equilibratura previsti per un funzio-namento regolare della macchina.

Nella figura 1.23 viene schematizzato un intervento di equilibratura mediante asportazione di massa.

poliglotta DispersioneGB: ScatteringF: DispersionD: Streuung

Fig. 1.23Contrappeso con fori diequilibratura.

La superficie esterna di un contrappeso, in forma di disco eccentrico a mezza luna, è destinata a ospitare i piccoli fori ciechi eseguiti in auto-matico dalla macchina equilibratrice. Il numero, l’angolatura e la pro-fondità dei fori di alleggerimento variano per ogni singolo pezzo; infatti, anche per produzioni in serie su macchine utensili automatiche, la di-stribuzione delle masse e la posizione del baricentro presentano sempre una dispersione, cioè delle variazioni da un pezzo all’altro, magari di lieve entità, ma decisive per definire l’accettabilità dal punto di vista delle esigenze di equilibratura.

equilibratura statica e dinamica

Esistono delle regole che permettono di avere informazioni sullo stato di equilibratura dei corpi, nota la loro geometria e l’asse di rotazione.

È importante che all’atto della progettazione si attribuiscano forme opportune ai corpi rotanti, in modo da ottenere il più alto livello di equi-libratura possibile dal punto di vista teorico. Gli interventi di equilibra-tura eseguiti alle macchine equilibratrici risultano in tal caso di piccola entità e di rapida realizzazione.

L’analisi dello stato di equilibratura dei corpi si basa sulla posizione relativa del baricentro rispetto all’asse di rotazione e di questo rispetto a eventuali assi di simmetria del corpo.

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Un corpo rotante è in condizione di equilibratura statica quando il suo baricentro è posto sull’asse di rotazione. La forza centrifuga risul-tante è quindi nulla e il momento risultante è maggiore di 0:

Fcf = 0; Mc > 0 [1.60]

In tal caso, infatti, il raggio di rotazione rg del baricentro è nullo, come riportato nello schema della figura 1.24a, e per la [1.58] anche la forza centrifuga risultante è nulla.

Un corpo rotante è in condizione di equilibratura dinamica quando il suo asse di rotazione coincide con uno degli assi di simmetria del corpo. Sia la forza centrifuga risultante sia il momento risultante sono nulli:

Fcf = 0; Mc = 0 [1.61]

Fig. 1.24Disco cilindrico rotante:a) equilibrato staticamente;b) equilibrato dinamicamente.

Nel caso assai frequente di assi, alberi, ruote, pulegge e dischi (tutti or-gani di forma assialsimmetrica), il corpo rotante ha la conformazione di un cilindro, il cui asse di rotazione coincide con l’asse di simmetria, co-me riportato nello schema della figura 1.24b. Si noti come la condizione di equilibratura dinamica è una condizione più forte rispetto all’equili-bratura solamente statica poiché, se l’asse di rotazione è anche asse di simmetria, sicuramente è anche asse baricentrico.

Osservazione: come regola generale di progetto, va ricordato che i pro-blemi di equilibratura sono facilmente risolvibili se si riesce a rendere leggeri gli organi delle macchine; tutto ciò, ovviamente, non deve andare a scapito della rigidezza.

Si osservino i seguenti esempi di corpi in rotazione. Nella figura 1.25 è illustrato un rettangolo rotante intorno a un asse

baricentrico parallelo alle altezze e intorno a una diagonale:— nel primo caso (4Fig. 1.25a), l’asse di rotazione è asse di simmetria,

l’equilibratura è di tipo dinamico e le forze centrifughe delle due me-tà sinistra e destra risultano uguali e opposte;

— nel secondo caso (4Fig. 1.25b), l’asse di rotazione divide il rettango-lo in due triangoli uguali e antimetrici; i baricentri delle due metà,

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sinistra e destra, sono ad altezze diverse e le rispettive forze centri-fughe risultano uguali, opposte e parallele, formando una coppia e confermando la [1.60].

Fig. 1.25Equilibratura statica e dinamica per diversi corpi:a) rettangolo verticale; b) rettangolo inclinato; c) cilindro.

richiamoI fondamenti teorici riguardanti gli assi principali d’inerzia sono riportati nella A5 del Volume 1. Per ricavare la posizione degli assi centrali principali d’inerzia nei corpi privi di simmetria esistono formule specifiche per le quali si rimanda a testi specialistici o ai manuali tecnici.

Nella figura 1.25c è disegnato un cilindro con i tre assi baricentrici; esso è in condizioni di equilibratura dinamica se posto in rotazione intorno a uno qualunque dei tre assi x, y, z.

Osservazione: per ottenere l’equilibratura completa, la regola fondamen-tale consiste nel far coincidere l’asse previsto di rotazione con un asse di simmetria o con un asse baricentrico, perpendicolare a un asse o a un piano di simmetria. Nel caso in cui il corpo non ammetta nessuna simmetria, occorre individuare la terna degli assi centrali principali d’inerzia; in tal caso il corpo è in condizioni di equilibratura dinami-ca se l’asse di rotazione coincide con uno dei tre assi centrali principali d’inerzia (4Fig. 1.25c).

Nella figura 1.26a, b sono disegnati due solidi con particolari condizioni di simmetria. Entrambi ammettono un piano di simmetria orizzonta-le su cui è posto l’asse x baricentrico; i due solidi sono in condizioni di equilibratura dinamica, se posti in rotazione intorno all’asse x, oppure anche intorno all’asse y, non di simmetria, ma perpendicolare al piano

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di simmetria. Nella figura 1.26c è disegnata una figura piana a L priva di simmetrie; essa può essere posta in rotazione in condizioni di equi-libratura dinamica, se l’asse di rotazione coincide con uno dei due assi centrali principali d’inerzia u oppure v.

poliglotta Squilibrio residuoGB: Residual unbalanceF: Résidu de déséquilibre D: Unwuchtsrückstand

Fig. 1.26Equilibratura dinamica:a) a forma di piramide;b) a forma di C;c) solido a L.

Qualità dell’equilibratura

Grazie al livello di precisione raggiunto dalle attuali macchine equili-bratrici, lo squilibrio residuo può essere ridotto su livelli decisamen-te bassi.

Appare, tuttavia, antieconomico imporre livelli minimi di squilibrio residuo, per applicazioni che non necessitano di precisioni elevate o de-stinate a funzionare con frequenze di rotazione relativamente modeste.

È importante, a questo punto, definire fino a quale livello di tolle-ranza si debba spingere il limite di squilibrio residuo, alla luce delle esi-genze sia di natura economica sia di affidabilità, e tenendo conto delle aspettative del mercato in termini di comfort acustico e vibrazionale.

È praticamente impossibile fissare valori definitivi e comunque uni-versalmente validi riguardanti lo squilibrio residuo ammissibile per ogni singolo caso reale, dato che il più delle volte non è possibile formu-lare una relazione assolutamente certa che leghi lo squilibrio con lo sta-to vibrazionale della macchina in condizione di lavoro. L’ampiezza della vibrazione registrata su un componente della macchina è influenzata da molti fattori, esterni all’organo rotante in questione, quali la massa e la rigidezza del telaio della macchina, le sue fondazioni sotto pavimen-to, la natura del pavimento stesso, i cuscinetti di supporto dell’organo rotante, la prossimità della velocità di rotazione con le frequenze riso-nanti dei vari organi che compongono la macchina, e così via. Ne conse-gue che il complesso delle vibrazioni registrate sulla macchina possono essere ricondotte solo in parte alla presenza di squilibrio residuo sull’or-gano rotante.

La Raccomandazione ISO 1940Le norme ISO hanno emesso un documento denominato Raccoman­dazione 1940 in merito alla qualità dell’equilibratura dei corpi ro­tanti; essa pone in relazione lo squilibrio residuo ammissibile con la massima velocità di funzionamento del corpo rotante. Il documento è strutturato in modo da classificare gli organi rotanti in base ai prin-

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cipali campi di applicazione, cui sono fatti corrispondere i vari gradi di qualità di equilibratura raccomandati, di seguito indicati con la lettera G.

Dalla tabella 1.3 (estratta dalla Raccomandazione ISO 1940) è possi-bile osservare i gradi di qualità G di equilibratura raccomandati, indi-cati nella prima colonna, e la velocità periferica del baricentro vg massi-ma ammessa, indicata nella seconda colonna e ottenuta dal prodotto fra lo squilibrio specifico e e la velocità angolare ω [rad/s]:

vg = ω rg = e ω [1.62]

Nella terza colonna, infine, sono riportati alcuni esempi di applicazioni dei corpi rotanti.

G e ω Tipo di organo rotante e applicazioni generali

G 4000 4000 Alberi a gomiti per motori marini lenti rigidamente montati G 1600 1600 Alberi a gomiti per grandi motori a due tempi rigidamente montati G 630 630 Alberi a gomiti per grandi motori a quattro tempi rigidamente montati G 250 250 Alberi a gomiti per motori Diesel veloci a quattro cilindri rigidamente montati G 100 100 Alberi a gomiti per motori Diesel veloci a sei o più cilindri; motopropulsori per autoveicoli,

autocarri e locomotori G 40 40 Ruote per autoveicoli, alberi di trasmissione; alberi a gomiti per motori veloci a sei o più cilindri

montati su supporti elastici; trasmissioni per autoveicoli, autocarri e locomotori G 16 16 Alberi di trasmissione con esigenze speciali; componenti di motori; alberi a gomiti per motori

veloci a sei o più cilindri montati con esigenze speciali

G 6,3 6,3 Parti di macchine utensili e per la produzione; riduttori a ingranaggi delle turbine a gas per la

propulsione marina; tamburi centrifughi; ventilatori; rotori assemblati per turbine per aeromobili; giranti di pompe; rotori dei motori elettrici

G 2,5 2,5 Turbine a gas e a vapore; rotori rigidi dei turboalternatori; turbocompressori; turbopompe; trasmissioni delle macchine utensili; rotori dei motori elettrici con esigenze speciali

G 1,0 1,0 Trasmissioni di registratori; trasmissioni delle rettificatrici; piccoli rotori dei motori elettrici con esigenze speciali

G 0,4 0,4 Mandrini, dischi e rotori dei motori elettrici per rettificatrici; giroscopi

Tabella 1.3 Gradi di qualità di equilibratura per varie tipologie rappresentative di corpi rotanti rigidi

Si può affermare in generale che, più grande è la massa del corpo rotan-te, maggiore risulta il valore dello squilibrio ammissibile, a pari squili-brio specifico.

È conveniente porre in relazione lo squilibrio specifico con la massa del corpo rotante; a tale scopo la Raccomandazione ISO 1940 introduce il concetto di squilibrio residuo ammissibile U:

lo squilibrio residuo ammissibile U è pari al prodotto fra lo squilibrio specifico e la massa del corpo ed è espresso in grammi per millimetro:

U = m e [1.63]

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EsempioUn rotore, avente massa m = 40 kg, ruota intorno a un asse fisso alla frequenza di rotazione n = 3000 giri/min. Al rotore è attribuito il gra-do di qualità di equilibratura G 6,3. Calcolare lo squilibrio specifico, lo squilibrio residuo e la forza centrifuga.

SoluzioneSi calcola dapprima la velocità angolare:

ω π π= = =260

2 300060

314n rad

s

Dalla [1.62] si estrae il raggio e = r:

ev= = = × =−

ω6 3314

20 10 203,mm mµ

Dalla [1.63] si calcola lo squilibrio residuo U:

U = m e = 40 × 20 × 10-6 = 800 × 10-6 kg m = 800 g mm

Dalla [1.58] si desume la forza centrifuga rotante Fcf applicata nel bari-centro:

Fcf = m ω2 r = 40 × 3142 × 20 × 10-6= 78,9 N

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L’Unità DiDAtticA in breve A1

generalità su alberi e assi

Nella terminologia tecnica gli alberi indicano gli organi meccanici cilin-drici di una macchina in grado di trasmettere o ricevere coppie motrici o resistenti, fra gli organi rotanti (come le ruote dentate e le pulegge) montati su di essi.

Gli alberi sono quindi soggetti a sollecitazioni di torsione, di flessione e di taglio. Quando gli alberi non trasmettono un momento torcente, ma si limitano a mantenere in posizione organi meccanici, co-me per esempio le ruote di un carro ferroviario, sono detti assi o assali e possono essere fissi o rotanti; gli assi, pertanto, sono sollecitati solo a flessione e taglio. Negli alberi e negli assi vi sono alcune parti di for-ma cilindrica, dette perni, con cui sono a contatto i cuscinetti, montati internamente ai supporti, i quali sostengono le spinte trasmesse all’al-bero. Se la direzione delle forze agenti è normale all’asse di rotazione dell’albero, i perni e i cuscinetti si definiscono portanti o radiali e pos-sono essere di estremità o intermedi. Quando invece la linea d’azio-ne del carico coincide con l’asse di rotazione dell’albero, i perni e i cu­scinetti sono detti di spinta o assiali; i cuscinetti sono anche definiti reggispinta.

Il materiale utilizzato per la costruzione degli assi e degli alberi è solitamente acciaio al carbonio, avente una resistenza poco elevata (S 235, S 275, S 355, E 295, E 335). Nelle costruzioni automobilistiche e aeronautiche, dove le condizioni di lavoro sono più gravose, si usano acciai da bonifica, anche legati (C 25, C 40, 41 Cr 4, 34 CrMo 4, 36 CrNiMo 4).

Dimensionamento degli alberi e degli assi

Il dimensionamento degli alberi e degli assi si basa principalmente sulla condizione di resistenza alle sollecitazioni indotte dalle forze e dai momenti esterni, pertanto si applicano le equazioni di resistenza alla flessione, alla torsione o alla flesso­torsione.

Per l’asse fisso il dimensionamento viene effettuato a flessione sem-plice. Se il carico agente è costante, anche la tensione normale σ da esso indotta è costante; al contrario, se il carico è variabile anche la tensione indotta è variabile, e precisamente, di tipo pulsante. Nel primo caso si assume una tensione normale ammissibile statica σams, mentre nel se-condo caso si considera una tensione normale ammissibile a fatica pul-sante σ'amf .

Per l’asse rotante le tensioni indotte sono variabili, di tipo alter-nato, e il dimensionamento dev’essere effettuato a flessione rotante. Se l’asse ruota solidale con gli organi su di esso posizionati, il carico genera una tensione σ variabile di tipo alternato, pertanto si considera la ten-sione normale ammissibile a fatica alternata σamf .

Gli alberi si dimensionano a torsione semplice quando i momen-ti flettenti sono trascurabili rispetto al momento torcente trasmesso; in questo caso l’albero è soggetto solo alla sollecitazione di torsione.

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La sollecitazione di torsione può essere costante, generando tensio-ni tangenziali costanti, oppure variabile periodicamente nel tem­po, generando tensioni tangenziali pulsanti; di conseguenza, nel primo caso la tensione tangenziale ammissibile sarà di tipo statico, mentre nel secondo caso essa sarà a fatica pulsante. Poiché spesso gli alberi tra-smettono momenti torcenti contemporaneamente a momenti flettenti non trascurabili, si ritengono sollecitati da una sollecitazione composta di flesso-torsione; dal momento che gli alberi sono considerati sempre sollecitati a fatica alternata rispetto alla flessione, si adotta la tensione normale ammissibile a fatica alternata σamf .

A parte le sollecitazioni di taglio, trascurate perché hanno un effet-to minimo, i momenti flettenti dipendono dalle dimensioni dell’asse o dell’albero, che devono essere determinate. Nella pratica si esegue un dimensionamento di massima in base al solo momento torcente, trascu-rando i momenti flettenti. Ottenuto il valore di prima approssimazione del diametro dell’albero, si ricavano le lunghezze dei mozzi degli organi rotanti, dei perni, le distanze fra essi e i supporti, nonché le distanze fra i supporti stessi; in seguito si determina la posizione delle forze applicate e si calcolano le reazioni dei supporti (reazioni vincolari). Infine si effet-tua la verifica di resistenza a flesso-torsione nelle sezioni ritenute più pericolose, ossia più sollecitate. A tale proposito, se le forze che solleci-tano a flessione l’albero sono sghembe fra loro, ovvero non giacenti sullo stesso piano, vengono scomposte secondo due piani ortogonali, in genere quello orizzontale e quello verticale.

Negli alberi può essere necessario limitare le deformazioni concer-nenti i valori assoluti o relativi, rispettivamente, delle frecce dovute alla flessione e delle rotazioni dovute alla torsione. Spesso occorre limita-re anche le rotazioni prodotte dalla flessione, affinché l’inclinazione dei perni nei cuscinetti non risulti eccessiva.

Quando gli alberi devono trasmettere forti momenti torcenti, anche in presenza di urti, e le linguette risultano insufficienti, oppure quando è necessario un adeguato centraggio fra l’albero e il mozzo, oltre alla possibilità di realizzare accoppiamenti scorrevoli si utilizzano alberi a profilo scanalato.

perni portanti e di spinta

Le parti dell’albero impegnate sui cuscinetti, dette perni portanti, pos-sono essere di estremità o intermedi. Un perno di estremità è consi-derato come una trave incastrata a un estremo e caricato uniformemente per tutta la lunghezza, per cui risulta sollecitato a flessione e taglio. Tra-scurando la sollecitazione di taglio, si esegue il calcolo del diametro d del perno mediante l’equazione di stabilità a flessione alternata.

I perni portanti intermedi sono generalmente sollecitati a flesso-torsione. Calcolato il diametro del perno, occorre eseguire la verifica a pressione specifica e la verifica a riscaldamento.

I perni di spinta sono caricati da forze, la cui linea d’azione coinci-de con l’asse geometrico di rotazione, e possono essere collocati all’estre-mità dell’albero o in altra posizione intermedia.

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Il dimensionamento dei perni di spinta, costituiti da una sola ral-la piana circolare o anulare, è basato principalmente sulla limitazione della pressione specifica e del riscaldamento. Per il dimensionamento dei perni di spinta ad anelli multipli occorre tenere conto anche della resistenza del perno alle sollecitazioni flessionali, generate dai carichi esterni nella sezione di attacco all’albero.

oscillazioni meccaniche

Il moto di una particella o di un corpo è detto oscillatorio, o vibrato­rio, quando si muove alternativamente nei due versi sullo stesso per-corso.

Spesso il moto oscillatorio dei corpi non avviene fra i limiti fissi, poi-ché le forze d’attrito dissipano l’energia del moto, pertanto in questi casi si parla di moti oscillatori smorzati e il moto è definito aperiodico.

Quando un corpo viene allontanato dalla posizione di equilibrio, cor-rispondente alla condizione in cui sul corpo non agisce alcuna forza, e quindi abbandonato a se stesso, si dice che effettua oscillazioni natu­rali o libere, la cui pulsazione ωn è detta per l’appunto naturale.

Si ha una condizione differente quando il corpo è soggetto a una for-za esterna periodica; in questo caso le oscillazioni sono dette forzate e hanno la frequenza (quindi la pulsazione) della forza esterna e non quella delle oscillazioni naturali del corpo. Tuttavia, la risposta del cor-po alla sollecitazione esterna dipende dalla relazione fra la frequenza di questa e quella naturale del corpo.

Nel caso di oscillazioni smorzate, vi è un valore caratteristico della pulsazione esterna, in corrispondenza del quale l’ampiezza dell’oscilla-zione forzata è massima; tale condizione è detta risonanza. Le oscilla-zioni forzate si dividono, secondo la causa che le ha generate, in oscilla­zioni flessionali e oscillazioni torsionali.

Le oscillazioni flessionali sono originate dalle forze centrifughe, che generano inflessioni in direzione continuamente variabile; esse de-rivano essenzialmente dalla non perfetta coassialità delle masse che co-stituiscono un corpo rotante.

Le oscillazioni torsionali hanno origine invece da variazioni pe-riodiche dei momenti torcenti applicati al corpo rotante. In una trasmis-sione sono presenti oscillazioni torsionali anche nel caso, a prima vista costante, dei motori elettrici o delle turbine. Poiché il momento torcente è una funzione variabile periodicamente, si può esprimere come somma dell’armonica fondamentale e delle armoniche con frequenza doppia, tripla, e così via, di quella fondamentale.

Quando una delle frequenze delle armoniche di eccitazione coin-cide con una delle frequenze di risonanza della trasmissione, ossia con una delle frequenze proprie dell’albero, possono generarsi, in rela-zione agli smorzamenti, oscillazioni di considerevole ampiezza. Ogni ve-locità per la quale si verifica tale condizione è detta velocità critica torsionale dell’albero.

Un corpo che ruota attorno a un asse fisso nello spazio, per effetto delle forze centrifughe agenti su ciascuno dei suoi elementi di massa,

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tende a traslare e a deviare il suo asse di rotazione; tali movimenti sono impediti dalle reazioni dei cuscinetti. Tuttavia a causa dell’elasticità dei materiali impiegati nella costruzione dell’albero e degli eventuali organi rotanti su di esso calettati, possono generarsi, a un determinato regime di rotazione, inflessioni di direzione continuamente variabile, manife-standosi così vibrazioni e oscillazioni dannose per l’integrità del pezzo.

La velocità critica flessionale di un sistema, alla quale le defor-mazioni in assenza di smorzamento diventano infinite, rappresenta la pulsazione naturale o propria delle oscillazioni elastiche libere. Se la ve-locità di rotazione dell’albero è uguale alla velocità critica flessionale, la freccia dell’albero diventa infinita; in tal caso si afferma che l’albero è in condizioni di risonanza. Se la velocità di rotazione dell’albero è mag-giore della velocità critica flessionale, la freccia diventa finita. Quando la velocità di rotazione dell’albero tende all’infinito, si è in presenza dell’autocentramento dei rotori alle velocità supercritiche. Infine se la velocità di rotazione dell’albero è minore della velocità critica flessio-nale, la freccia dell’albero è tanto più piccola quanto minore è la velocità dell’albero rispetto alla velocità critica flessionale.

Da quanto esposto, poiché in prossimità della velocità critica si ge-nerano forti vibrazioni, tali da rendere dannoso il funzionamento, è ne-cessario mantenere il regime normale della macchina lontano dal regi-me critico, ossia lontano dal valore della velocità critica flessionale.

Poiché il calcolo della velocità critica di un albero soggetto a carichi multipli è più complesso, si utilizzano metodi approssimati; uno di que-sti è proprio la formula di Dunkerley. Un albero a carichi multipli pre-senta tante velocità critiche quante sono le masse calettate su di esso; la formula di Dunkerley, i cui risultati sono sufficientemente approssimati, consente di calcolare la prima velocità critica del sistema rotante.

Dinamica dei corpi rigidi rotanti

Tutti i corpi rotanti a forte velocità richiedono studi specifici e rilievi sperimentali riguardanti la geometria delle masse e le sollecitazioni che nascono, sia al loro interno sia sui supporti, in seguito all’alta frequenza di rotazione raggiunta; tali sollecitazioni possono danneggiare il corpo in modo irreparabile. Le attività di progettazione e di misura costituiscono la teoria dell’equilibratura.

Si definisce equilibratura l’insieme delle analisi, di natura dina-mica, vibrazionale ed elastica e dei processi, volti a migliorare la distri-buzione delle masse dei corpi rotanti a forte velocità.

L’analisi dello stato di equilibratura dei corpi si basa sulla posizione relativa del baricentro rispetto all’asse di rotazione, e di questo rispetto a eventuali assi di simmetria del corpo. Un corpo rotante è in condizione di equilibratura statica quando il suo baricentro è posto sull’asse di rotazione. La forza centrifuga risultante è quindi nulla e il momento ri-sultante è maggiore di 0. Un corpo rotante è in condizione di equilibra­tura dinamica quando il suo asse di rotazione coincide con uno degli assi di simmetria del corpo. La forza centrifuga risultante e il momento risultante risultano nulli.

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1. Calcolare il diametro di un asse rotante, che sostiene un carico Q = 710 daN applicato in mezzeria, sapendo che la distanza fra i supporti è l = 600 mm. Si scelga come materiale l’acciaio S 275.

2. Determinare il diametro di un albero di lunghezza l = 800 mm, soggetto alla forza F = 3930 N perpendicolare al suo asse, applicata in mezzeria, che trasmette una potenza P = 19 kW, alla frequenza di rotazione n = 500 giri/min. Si assuma come materiale l’acciaio C 25.

3. Eseguire la verifica di resistenza di un albero di diametro d = 52 mm, su cui è calettata in mezzeria una puleggia con cinghia, di diametro D = 500 mm e massa m = 62 kg, sapendo che le forze trasmesse dai due rami della cinghia, dirette verso il basso, valgono F1 = 8100 N e F2 = 2020 N e la distanza dai supporti misura l = 800 mm. Si scelga l’acciaio C 40 come materiale impiegato per l’albero.

4. Dimensionare un albero scanalato per trasmettere una potenza

P = 4 kW, alla frequenza di rotazione n = 550 giri/min. Si consideri un accoppiamento ampio e un mozzo scorrevole sotto carico, con una lavorazione molto precisa e si scelga come materiale l’acciaio S 355.

5. Dimensionare uno dei perni di estremità dell’albero di una macchina utensile sottoposto al carico F = 2200 daN, che ruota alla frequenza di rotazione n = 350 giri/min. Si scelga come materiale l’acciaio S 275.

6. Un albero ha un diametro d = 56 mm e la distanza fra i suoi supporti di estremità vale l = 2,5 m. Sapendo che alla distanza di un metro dal supporto di destra è calettato un rotore di massa m = 130 kg, calcolare il valore della velocità critica flessionale dell’albero.

7. Una turbina a vapore sviluppa una potenza P = 12 MW, alla frequenza di rotazione n = 3000 giri/min. Sapendo che il peso della girante della turbina è Q = 31 kN, la distanza dei due supporti dell’albero misura l = 3,4 m e il materiale impiegato per realizzare l’albero è l’acciaio legato da bonifica 42 CrMo 4, determinare il diametro dell’albero su cui è calettata la girante e le dimensioni dei suoi perni di estremità, tenendo conto che il baricentro della girante dista dal supporto di sinistra di una lunghezza pari a l1 = 2 m.

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