DinamicadeiSistemiAerospaziali (DSA) · 3 Cinematica e dinamica dei sistemi di corpi rigidi 3-1 ......

Dinamica dei Sistemi Aerospaziali

(DSA)

Revisione 10 settembre 2012

Indice

1 Dinamica del corpo rigido 1-1

1.1 Sistemi fisici e modelli matematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-1

1.2 I sistemi meccanici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-2

1.2.1 Gradi di liberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-2

1.2.2 Gradi di vincolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-2

1.2.3 Variabili fisiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-3

1.3 Equazioni di moto: equilibri dinamici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-4

1.3.1 Dinamica del corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-5

1.3.2 Dinamica di un corpo rigido con spessore trascurabile e punto fisso . . . . . . . . . 1-8

2 Scrittura delle equazioni di moto mediante approcci energetici 2-1

2.1 Il Principio dei Lavori Virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-1

2.2 Il teorema dell’energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-3

2.3 Le equazioni di Lagrange (di IIo tipo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-4

2.4 Le equazioni di Lagrange (di Io tipo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-6

3 Cinematica e dinamica dei sistemi di corpi rigidi 3-1

3.1 I sistemi di corpi rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-1

3.2 Dipendenza dell’equilibrio dalla configurazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-2

3.2.1 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-2

3.2.2 Forze dipendenti dalla configurazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-5

3.3 Esempio: il manovellismo ordinario centrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-10

3.3.1 Analisi cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-11

3.3.2 Forza dipendente dalla posizione: pressione nella camera . . . . . . . . . . . . . . . 3-13

3.3.3 Forze d’inerzia: masse equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-14

3.3.4 Diagramma di corpo libero ed equilibrio dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-15

4 Dinamica mediante le equazioni di Lagrange 4-1

4.1 Equazione di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-1

4.1.1 Energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-2

4.1.2 Energia potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-3

4.1.3 Funzione di dissipazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-3

4.1.4 Sollecitazioni attive rimanenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-4

4.2 Scrittura dell’equazione di moto del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-4

4.3 Linearizzazione dell’equazione di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-6

4.3.1 Esempio: soluzione di equilibrio statico di un sistema libero . . . . . . . . . . . . . 4-7

4.3.2 Procedure per la linearizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-8

4.3.3 Linearizzazione diretta dell’equazione del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-9

4.3.4 Quadraticizzazione della funzione di Lagrange e sua linearizzazione . . . . . . . . . 4-10

4.3.5 Utilizzo dell’equazione di moto linearizzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-12

4.4 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-12

i

5 Sistemi vibranti ad un grado di liberta — Parte I 5-15.1 Meccanica delle vibrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-15.2 Moto libero non smorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-25.3 Vibrazioni libere smorzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-55.4 Moto forzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-95.5 Moto forzato per spostamento del vincolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-115.6 Moto forzato smorzato con eccitazione armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-13

6 Cenni sulla stabilita 6-16.1 Che cosa si intende per stabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-16.2 Definizione di stabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-16.3 Stabilita ed equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-2

6.3.1 Linearizzazione attorno ad una soluzione di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . 6-36.3.2 Stabilita della soluzione del problema linearizzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-36.3.3 Validita dello studio del problema linearizzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-4

6.4 Stabilita statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-66.5 Regime assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-86.6 Stabilita statica ed energia potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-96.7 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-11

7 Azioni mutue tra elementi di macchine — Parte I 7-17.1 Attrito di strisciamento nei solidi a contatto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-17.2 Usura nel contatto tra solidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-5

7.2.1 Esempio: distribuzione di pressione su un perno rotante . . . . . . . . . . . . . . . 7-67.2.2 Esempio: innesto a frizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-6

7.3 Resistenza al rotolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-127.3.1 Misura del coefficiente di resistenza al rotolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-14

8 Dinamica della macchina a un grado di liberta 8-18.1 Considerazioni generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-1

8.1.1 Espressione della potenza motrice e della potenza resistente . . . . . . . . . . . . . 8-28.1.2 Energia cinetica: momento d’inerzia ridotto di motore e utilizzatore . . . . . . . . 8-48.1.3 La trasmissione: espressione della potenza perduta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-48.1.4 Esempio applicativo: piani inclinati con attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-88.1.5 Condizioni di funzionamento della macchina ad un grado di liberta . . . . . . . . . 8-10

8.2 La macchina a regime assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-118.2.1 Equazione di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-118.2.2 Condizioni di funzionamento in regime assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-128.2.3 Esempio applicativo: moto di un impianto di sollevamento carichi . . . . . . . . . 8-128.2.4 Esempio applicativo: autoveicolo in salita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-15

8.3 Macchina in regime periodico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-208.3.1 Equazione di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-208.3.2 Funzionamento in regime periodico: irregolarita periodica . . . . . . . . . . . . . . 8-208.3.3 Esempio applicativo: motore alternativo a combustione interna . . . . . . . . . . . 8-238.3.4 Esempio applicativo: pompa a stantuffo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-238.3.5 Esempio applicativo: motore elettrico in corrente continua . . . . . . . . . . . . . . 8-24

9 Azionamento elettromeccanico in corrente continua 9-19.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-19.2 Motore elettrico in corrente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-1

9.2.1 Considerazioni generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-19.2.2 Architettura generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-39.2.3 Forza elettromotrice indotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-39.2.4 Coppia motrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-49.2.5 Contatti striscianti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-4

ii

9.2.6 Potenza elettromeccanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-5

9.2.7 Modello elettrodinamico del motore in c.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-6

9.2.8 Funzionamento e rendimento del motore elettrico in c.c. . . . . . . . . . . . . . . . 9-7

9.3 L’azionamento in corrente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-8

9.3.1 Controllo in tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-9

9.3.2 Controllo in corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-14

9.3.3 Azionamento in c.c. di un compressore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-16

9.3.4 L’analisi di stabilita del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-18

9.4 Equazioni di Lagrange per sistemi elettromeccanici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-21

9.4.1 Approccio in corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-21

9.4.2 Approccio in tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-24

10 Azioni mutue tra elementi di macchine — Parte II 10-1

10.1 Azioni aerodinamiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-1

10.2 Teoria elementare della lubrificazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-3

10.2.1 Descrizione del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-3

10.2.2 Fluidodinamica del lubrificante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-4

10.2.3 Lubrificazione idrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-6

10.2.4 Lubrificazione idrodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-8

11 Modellazione elementi a fluido 11-1

11.1 Esempi di applicazione dei concetti richiamati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-10

11.1.1 Colpo d’ariete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-10

11.1.2 Flusso stazionario da una piccola apertura (orifizio) . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-11

11.1.3 Molla-smorzatore a fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-14

11.1.4 Attuatore idraulico lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-16

12 Sistemi vibranti ad un grado di liberta — Parte II 12-1

12.1 Identificazione dello smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-1

12.1.1 Smorzamento viscoso: moto libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-1

12.1.2 Smorzamento viscoso: moto forzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-3

12.1.3 Smorzamento isteretico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-4

12.2 Isolamento delle vibrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-4

12.3 Strumenti di misura delle vibrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-7

12.4 Risposta a forzante impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-11

12.4.1 Impulso di quantita di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-11

12.4.2 Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-11

12.4.3 Generalizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-17

13 Sistemi vibranti a piu gradi di liberta 13-1

13.1 Sistemi a piu gradi di liberta non smorzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-1

13.1.1 Moto libero: modi propri di vibrare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-2

13.1.2 Ortogonalita dei modi propri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-5

13.2 Approccio modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-7

13.2.1 Risposta a forzanti armoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-9

13.2.2 Considerazioni sull’utilizzo dell’approccio modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-11

13.2.3 Esempio: soluzione di equilibrio statico di un sistema libero . . . . . . . . . . . . . 13-12

13.3 Applicazione: assorbitore dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-13

13.4 Vibrazioni forzate smorzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-15

13.4.1 Smorzamento proporzionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-16

13.4.2 Smorzamento isteretico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-17

13.4.3 Smorzamento viscoso generico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-18

13.5 Dal continuo al discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-19

iii

14 Rappresentazione agli stati di sistemi vibranti e modelli approssimati 14-114.1 Rappresentazione agli stati nel dominio del tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-1

14.1.1 Integrale generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-214.1.2 Integrale particolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-3

14.2 Rappresentazione agli stati nel dominio di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-314.3 Realizzazione agli stati di una funzione di trasferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-4

14.3.1 Invarianza di una rappresentazione agli stati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-414.3.2 Raggiungibilita ed osservabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-514.3.3 Verifica intuitiva del criterio di osservabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-6

14.4 Rappresentazione agli stati di problemi meccanici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-614.4.1 Oscillatore armonico smorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-614.4.2 Forma canonica di controllabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-714.4.3 Forma canonica di osservabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-10

14.5 Risposta a forzanti specifiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-1114.5.1 Risposta impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-1114.5.2 Risposta a scalino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-11

14.6 Approssimazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-1214.6.1 Approssimazione statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-1214.6.2 Approssimazione quasi-stazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-1314.6.3 Residualizzazione degli stati “veloci” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-1714.6.4 Accelerazione dei modi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-22

15 Sistemi immersi in campi di forza 15-115.1 Sistemi ad un grado di liberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-1

15.1.1 Freno a disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-115.1.2 Campo di forze aerodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-2

15.2 Sistemi vibranti a 2 gdl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-715.2.1 Campo di forze puramente posizionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-915.2.2 Instabilita aeroelastica della “sezione tipica” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-12

A Cenni di dinamica del corpo rigido nello spazio A-1A.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-1A.2 Dinamica del corpo rigido nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-2

A.2.1 Richiami di calcolo vettoriale in notazione matriciale . . . . . . . . . . . . . . . . . A-2A.2.2 Cinematica del punto materiale nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-3A.2.3 Descrizione delle rotazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-5A.2.4 Forze e coppie d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-6A.2.5 Geometria delle masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-9A.2.6 Applicazione al caso piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-11

A.3 Fenomeni giroscopici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-11A.3.1 Coppia d’inerzia in un sistema di riferimento relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . A-12A.3.2 Misura della velocita di rotazione: il giroscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-16

A.4 Esercizio: pala rigida di elicottero nel vuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-19A.5 Esercizio: trottola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-24

B Esempi di azionamenti idraulici B-1B.1 Valvola a doppio getto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-1

B.1.1 Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-2B.1.2 Equazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-3B.1.3 Incognite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-4B.1.4 Bilancio di portata della camera 1 del pistone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-4B.1.5 Bilancio di portata della camera 2 del pistone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-4B.1.6 Bilancio di portata della camera 1 della valvola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-4B.1.7 Bilancio di portata della camera 2 della valvola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-5B.1.8 Equazione di moto del pistone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-5

iv

B.1.9 Equazione di moto del flap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-5B.1.10 Equazione del motore elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-6B.1.11 Linearizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-6B.1.12 Comportamento del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-7

B.2 Attuatore collegato ad un sistema dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-7

C Procedure per l’impostazione e la soluzione dei problemi C-1C.1 Comprensione e scrittura del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-1

C.1.1 Analisi cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-1C.1.2 Scrittura delle equazioni del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-2C.1.3 Scrittura delle relazioni costitutive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-2C.1.4 Mettiamo tutto insieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-3

C.2 Soluzione del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-3

D Breviario ad (ab)uso degli studenti D-1D.1 Primo Principio della Dinamica dei Sistemi Aerospaziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D-1D.2 Teorema dell’ininfluenza delle forze d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D-1

D.2.1 Corollario della viralita del moto uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D-1D.2.2 Lemma della singolarita della distribuzione delle masse. . . . . . . . . . . . . . . . D-2D.2.3 Corollario dell’incompatibilita tra regime e forze d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . D-2D.2.4 Sull’opportunita di considerare due volte le forze d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . D-2

D.3 Lemma della crasi tra definizioni diverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D-3D.4 Teorema del calcolo delle frequenze caratteristiche di sistemi meccanici descritti da equazioni

disaccoppiate (o della “ammuina”) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D-3D.5 Esercizio: trova l’errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D-3

E Soluzione esercizi E-1

v

Elenco delle figure

1.1 Modello fisico di un sistema di guida per razzi (da Cannon, [1]). . . . . . . . . . . . . . . . 1-2

1.2 Un sistema meccanico a due gradi di liberta (da Cannon, [1]). . . . . . . . . . . . . . . . . 1-3

1.3 Cinematica di un corpo rigido con un punto fisso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-6

1.4 Componenti della forza d’inerzia agente sul punto P di un corpo rigido con un punto fisso. 1-9

1.5 Forze agenti sul corpo rigido (ovvero, ‘diagramma di corpo libero’). . . . . . . . . . . . . . 1-9

1.6 Sistema equipollente delle forze d’inerzia (a sinistra) e loro reale distribuzione (a destra)in un’asta incernierata ad un estremo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-11

2.1 Corpo rigido di piccolo spessore soggetto a moto puramente rotatorio. . . . . . . . . . . . 2-2

3.1 Motore alternativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-3

3.2 Carrello di atterraggio (carrello principale di un F18). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-4

3.3 Curva caratteristica di una molla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-6

3.4 Galleggiante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-9

3.5 Andamento sperimentale (o) e approssimato delle forze di attrito secco, viscoso e con leggequadratica in funzione della velocita relativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-10

3.6 Il manovellismo ordinario centrato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-11

3.7 L’equazione di chiusura per l’analisi cinematica; il punto B′ indica lo schema di montaggiocorrispondente alla radice negativa nell’equazione (3.28), che corrisponde ad un cambio diosservatore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-11

3.8 La sequenza del ciclo termodinamico di un motore a 4 tempi a partire (a sinistra) dallafase di aspirazione, seguita da compressione, espansione e scarico. . . . . . . . . . . . . . . 3-13

3.9 Ciclo ideale termodinamico per unita di volume d’aria aspirata. . . . . . . . . . . . . . . . 3-14

3.10 Approssimazione della biella a masse concentrate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-15

3.11 Albero a gomiti per motore d’aviazione a doppia stella. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-15

3.12 Le forze agenti sul sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-16

4.1 Sistema non vincolato soggetto a un sistema di forze a risultante non nullo. . . . . . . . . 4-7

5.1 Velivolo in atterraggio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-2

5.2 Pendolo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-2

5.3 Sistema vibrante a un grado di liberta, senza attrito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-3

5.4 Oscillazione armonica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-4

5.5 Oscillatore smorzato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-5

5.6 Oscillazione smorzata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-7

5.7 Risposta supercritica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-7

5.8 Risposta critica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-8

5.9 Confronto tra le risposte al variare del coefficiente di smorzamento. . . . . . . . . . . . . . 5-8

5.10 Risposta in frequenza di un sistema vibrante forzato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-10

5.11 Sistema vibrante per spostamento del vincolo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-11

5.12 Sistema vibrante per squilibrio dinamico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-12

5.13 Sistema vibrante smorzato, forzato armonicamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-14

vii

5.14 Risposta di un sistema vibrante smorzato, forzato armonicamente (N.B.: nel disegno ω/ω0

e indicato con ω/ωn, lo smorzamento r e indicato con c, mentre la fase φ e rappresentatacon segno opposto). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-15

5.15 Risposta di un sistema vibrante smorzato, forzato armonicamente. . . . . . . . . . . . . . 5-16

6.1 Stabilita del pendolo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-46.2 Stabilita in presenza di attrito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-56.3 Transizione da stabilita ad instabilita al variare di parametri del sistema. . . . . . . . . . 6-86.4 Sistema meccanico ad un grado di liberta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-106.5 Sistema meccanico ad un grado di liberta in un sistema rotante. . . . . . . . . . . . . . . . 6-11

7.1 Rappresentazione pittorica della superficie di contatto tra due corpi. . . . . . . . . . . . . 7-27.2 Attrito statico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-37.3 Coefficiente di attrito dinamico f in funzione del modulo della velocita relativa. . . . . . . 7-47.4 Perno rotante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-57.5 Innesto a frizione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-77.6 Velocita dell’utilizzatore durante la manovra di innesto della frizione. . . . . . . . . . . . . 7-97.7 Innesto a frizione — dettaglio del disco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-97.8 Innesto a frizione — dettaglio della campana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-107.9 Velocita del motore durante la manovra di innesto della frizione. . . . . . . . . . . . . . . 7-107.10 Velocita di motore ed utilizzatore durante e al termine della manovra di innesto della

frizione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-117.11 Schema di contatto ruota-strada per ruota deformbile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-127.12 Schema di contatto ruota-strada: diagramma di carico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-137.13 Coefficiente di resistenza al rotolamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-137.14 Schema di funzionamento della ruota strada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-147.15 Misura sperimentale della resistenza al rotolamento di un veicolo stradale. . . . . . . . . . 7-15

8.1 Schema della macchina a un grado di liberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-18.2 Flussi di potenza attraverso la trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-58.3 Macchina costituita da due corpi in moto relativo lungo un piano inclinato con attrito. . . 8-88.4 Schema della macchina ad un grado di liberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-108.5 Impianto di sollevamento carichi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-138.6 Caratteristica del motore asincrono trifase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-138.7 Condizione di funzionamento in salita ed in discesa del lato utilizzatore dell’impianto di

sollevamento carichi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-148.8 Veicolo in salita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-16

9.1 Principio di funzionamento del motore in corrente continua. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-29.2 Disegno schematico del rotore di un motore in corrente continua. . . . . . . . . . . . . . . 9-29.3 Distribuzione sul giro di coppia e forza elettromotrice indotta da una spira in un motore

elettrico in c.c. al crescere del numero delle spire N ; il valore fornito dalla singola spiratende rapidamente al valor medio 2/π, pari a circa 0.63662. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-5

9.4 Il modello del motore in corrente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-69.5 Il modello essenziale del motore in corrente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-79.6 Curve di funzionamento di un motore elettrico in corrente continua per diverse tensioni di

alimentazione ea (rette oblique); la curva Cr rappresenta la coppia resistente generata daun generico utilizzatore, cambiata di segno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-8

9.7 Un carico inerziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-99.8 Schema a blocchi del sistema in anello aperto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-109.9 Diagramma di Bode della funzione di trasferimento in anello aperto del motore elettrico

in c.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-119.10 Schema a blocchi del sistema in anello chiuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-119.11 Diagramma di Bode delle funzioni di trasferimento in anello aperto e chiuso del motore

elettrico in c.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-12

viii

9.12 Diagramma di Nyquist delle funzioni di trasferimento in anello aperto e chiuso del motoreelettrico in c.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-13

9.13 Diagramma di Bode delle funzioni di trasferimento in anello aperto e chiuso del motoreelettrico in c.c. controllato in corrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-15

9.14 Diagramma di Nyquist delle funzioni di trasferimento in anello aperto e chiuso del motoreelettrico in c.c. controllato in corrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-16

9.15 Il motore di azionamento di un compressore e le relative curve caratteristiche . . . . . . . 9-179.16 Condizione di moto a regime per il sistema motore a c.c.-compressore . . . . . . . . . . . 9-189.17 Induttore e condensatore (LC). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-229.18 Resistore, induttore e condensatore (RLC). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-239.19 Motore elettrico in corrente continua, approccio in tensione. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-25

10.1 Sezioni di riferimento in campo automobilistico per la valutazione del coefficiente diresistenza del veicolo: proiezione frontale (a) e massima sezione trasversale (b). . . . . . . 10-2

10.2 Schematizzazione del moto laminare di un fluido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-310.3 Schematizzazione del moto laminare di un fluido tra due superfici in moto relativo. . . . . 10-510.4 Andamento della pressione nel meato per effetto della geometria. . . . . . . . . . . . . . . 10-710.5 Perno lubrificato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-1010.6 Lubrificazione idrodinamica: dipendenza dell’attrito mediato dalla velocita relativa. . . . . 10-10

11.1 Variazione di pressione massima in una condotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-1111.2 Orifizio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-1211.3 Molla-smorzatore a fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-1411.4 Attuatore idraulico lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-16

12.1 Identificazione dello smorzamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-212.2 Validita dell’approssimazione dello smorzamento identificato mediante la relazione (12.6). 12-212.3 Macchine che trasmettono vibrazioni al terreno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-512.4 Sistema soggetto a vibrazione del terreno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-512.5 Modulo e fase della risposta di un sistema vibrante smorzato (N.B.: nel disegno ω/ω0 e

indicato con ω/ωn, lo smorzamento r e indicato con c, mentre la fase φ e rappresentatacon segno opposto). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-6

12.6 Strumento di misura delle vibrazioni assolute di un corpo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-812.7 Risposta dello strumento di misura delle vibrazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-912.8 Accelerometro piezoelettrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-1012.9 Approssimazione di un impulso come sequenza di due scalini. . . . . . . . . . . . . . . . . 12-1212.10Approssimazioni di un impulso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-1212.11Funzione impulso: δ(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-1212.12Funzione scalino: step(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-1312.13Funzione scalino approssimata come (1 + tanh(αt))/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-1312.14Impulso approssimato come derivata di (1 + tanh(αt))/2. Il grafico sopra riporta la

funzione, il grafico sotto ne riporta la normalizzazione a valore massimo unitario, perconsentirne il confronto visivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-14

12.15Funzione discontinua con salto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-15

13.1 Sistema dinamico a 2 gradi di liberta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-113.2 Forme modali e risposta del sistema dinamico a 2 gradi di liberta. . . . . . . . . . . . . . 13-413.3 Risposta modale del sistema dinamico a 2 gradi di liberta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-1113.4 Assorbitore dinamico di vibrazioni usato su cavi dell’alta tensione. . . . . . . . . . . . . . 13-1313.5 Modello dell’assorbitore dinamico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-1413.6 Risposta della massa 1 dell’assorbitore dinamico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-1513.7 Sistema vibrante a 2 gradi di liberta smorzato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-1613.8 Torsione di una trave omogenea incastrata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-2013.9 Modello ad un grado di liberta per la torsione di una trave omogenea incastrata. . . . . . 13-2113.10Modello a due gradi di liberta per la torsione di una trave omogenea incastrata. . . . . . . 13-22

ix

14.1 Esempio di applicazione dell’accelerazione dei modi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-2314.2 Diagramma di Bode della funzione di trasferimento tra la forza applicata alla massa 2 e

lo spostamento della massa 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-2514.3 Diagramma di Bode della funzione di trasferimento tra la forza applicata alla massa 2 e

lo spostamento della massa 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-2614.4 Diagramma di Bode della funzione di trasferimento tra la forza applicata alla massa 2 e

l’azione interna nella molla 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-27

15.1 Freno a disco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-115.2 Composizione delle velocita di vento V∞ e corpo x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-215.3 Decomposizione della forza aerodinamica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-315.4 Auto da corsa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-415.5 Caratteristiche del profilo alare NACA 0009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-515.6 Sistema a 2 gdl immerso in un campo di forze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-815.7 Autovalori di un sistema conservativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-1115.8 Autovalori di un sistema non conservativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-1215.9 Sezione tipica: profilo alare immerso in un fluido, soggetto a in moto piano. . . . . . . . . 15-1315.10Composizione delle velocita del vento V∞ e del corpo x a dare l’angolo di incidenza

cinematico ψ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-1415.11Curve CL-α, CD-α e CM -α del profilo NACA 0009. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-1615.12Coalescenza, al crescere della velocita V∞, di due frequenze proprie; per semplicita sono

mostrate solo le radici con parte immaginaria positiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-18

A.1 Il giroscopio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-1A.2 Sequenza di rotazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-6A.3 Un Control Moment Gyro (CMG) della ECP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-15A.4 Effetto della coppia giroscopica sulla forcella anteriore di una motocicletta. . . . . . . . . A-15A.5 Corpo rigido in moto rotatorio rispetto a due assi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-17A.6 Modello semplificato di pala di elicottero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-19A.7 Sistemi di riferimento definiti ed utilizzati sull’elicottero (immagine dell’elicottero tratta

da http://www.midisegni.it/disegni/vari/elicottero.gif). . . . . . . . . . . . . . . A-20A.8 Descrizione dell’orientazione della trottola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-24A.9 Traiettoria del baricentro della trottola per condizioni iniziali di precessione“retrocedente”

positiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-28

B.1 Valvola a doppio getto (da Merritt, [2]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-2

x

Elenco delle tabelle

3.1 Rigidezze equivalenti di travi variamente vincolate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-8

8.1 Riassunto delle condizioni di moto diretto e retrogrado della trasmissione . . . . . . . . . 8-7

xi

Introduzione

Queste dispense costituiscono una parte essenziale del materiale didattico a supporto del corso di Dinam-ica dei Sistemi Aerospaziali, relativo al corso di laurea in Ingegneria Aerospaziale, Facolta di IngegneriaIndustriale del Politecnico di Milano.

Il contenuto e il risultato del lavoro di alcuni docenti, in particolare dei Proff. Andrea Curami eFerruccio Resta, del Dipartimento di Meccanica, e del Prof. Paolo Mantegazza e dell’Ing. PierangeloMasarati, del Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale.

L’ispirazione e tratta da testi classici della Meccanica Razionale, della Meccanica Applicata e dellaDinamica dei Sistemi, a cui sono state aggiunte elaborazioni personali, frutto dell’esperienza didatticae di ricerca sia degli autori che dei colleghi dei rispettivi Dipartimenti. E ormai impossibile identificarecon precisione l’autore di specifiche parti di questo materiale; per questo motivo, non sono riportateattribuzioni a specifiche persone. Un sentito ringraziamento va ai colleghi che hanno in qualche modocontribuito alla sua stesura.

Le dispense sono per definizione materiale in continua evoluzione. Anche per questo motivo possonocontenere materiale incompleto o errori nelle formule, nella sintassi, o parti di difficile comprensione. Gliautori sono grati al lettore attento che volesse segnalare eventuali errori o suggerire possibili migliorie,da indirizzare preferibilmente per posta elettronica a [email protected].

Notazione

Nella stesura di queste note si e cercato da una parte di usare una notazione il piu possibile uniforme, edall’altra di mutuare i simboli e i formalismi dalla letteratura piu consolidata.

In genere, i vettori sono indicati sovrapponendo una freccia al simbolo, ad esempio ~a per indicare unvettore di nome a.

Le operazioni tra vettori seguono la notazione tradizionale italo-tedesca, in continuita con il testo diMeccanica Razionale del Prof. Bruno Finzi. Dati due vettori ~a e ~b, rappresentabili in base cartesianacome

~a = ax~i+ ay~j + az~k

~b = bx~i+ by~j + bz~k

in funzione delle loro componenti ax, ay, az e bx, by e bz, e dei versori degli assi, ~i, ~j e ~k, il loro prodotto

scalare viene indicato con ~a×~b, ovvero

~a×~b = axbx + ayby + azbz. (1)

Il loro prodotto vettore, invece, viene indicato con ~a ∧~b, ovvero

~a ∧~b =

∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~kax ay azbx by bz

∣∣∣∣∣∣

= (aybz − azby)~i+ (azbx − axbz)~j + (axby − aybx)~k. (2)

Questa notazione differisce da quella anglosassone, che caratterizza la letteratura piu recente. Lanotazione anglosassone indica il prodotto scalare con ~a ·~b, e il prodotto vettore con ~a ×~b. Si noti come

I-1

quest’ultimo crei confusione con il simbolo del prodotto scalare utilizzato nella notazione di tradizioneitalo-tedesca. Per questo motivo si richiede al lettore di prestare particolare attenzione nella lettura delleoperazioni vettoriali.

Il significato dei simboli dovrebbe comunque essere chiaro dal contesto, in quanto l’operazione diprodotto scalare da come risultato uno scalare, mentre l’operazione di prodotto vettorie da come risultatoun vettore.

I-2

Capitolo 1

Dinamica del corpo rigido

Generato il 10 settembre 2012

1.1 Sistemi fisici e modelli matematici

Per condurre lo studio del comportamento di un qualsiasi sistema fisico, per una corretta progettazione edimensionamento, sono possibili due vie: una puramente sperimentale, che consiste nella misura direttadelle proprieta fisiche che si desidera conoscere, eventualmente applicando correzioni e reiterando gli es-perimenti fino all’ottenimento del risultato voluto, e l’altra teorica, basata sulla soluzione, con opportunialgoritmi, di modelli matematici del sistema. Questi ultimi sono basati sulla descrizione e caratter-izzazione del sistema fisico con un appropriato modello fisico e possono assumere gradi di complessitadiversi in funzione delle ipotesi semplificative adottate. Comunque, nel caso si voglia studiare la dinamicadi un sistema fisico, i modelli sono sempre costituiti da sistemi di equazioni differenziali rappresentantiil cambiamento nel tempo delle proprieta fisiche che caratterizzano il sistema stesso.

Per analisi dinamica di un sistema fisico s’intende l’insieme di operazioni che dall’identificazionedel sistema stesso portano alla creazione del suo modello matematico e alla successiva soluzione diquest’ultimo. Con il termine di sintesi dinamica si intende, invece, la successiva indagine che puo esserecondotta variando i valori di alcune proprieta del modello fisico affinche alcuni parametri del sistemaassumano valori prefissati.

In funzione del fenomeno principale che governa il sistema fisico riconosceremo sistemi meccanici,sistemi termici, sistemi idraulici, sistemi elettrici, sistemi elettronici ecc., e in generale si potra vedereche i sistemi reali sono composti da piu sottosistemi di natura diversa tra loro interconnessi a formare ununico insieme multidisciplinare, come e il caso del sistema di controllo di rotta per missili schematizzatonella figura 1.1.

Nel caso in oggetto, il cambiamento di rotta del missile viene ottenuto variando la direzione dispinta del motore a razzo attraverso un attuatore idraulico che e azionato da una servovalvola, a suavolta azionata da un motore elettrico di coppia pilotato da un controllore, sempre piu spesso di tipodigitale, utilizzando cioe un microprocessore. Il controllore, per far seguire al missile la traiettoria voluta,necessita di informazioni sulla sua posizione, velocita ed accelerazione, attraverso le misure di opportuniaccelerometri, giroscopi, GPS, ecc. e, sulla base di queste misure, interviene sulla direzione di spinta.

Il corso di Dinamica dei Sistemi Aerospaziali ha principalmente per oggetto lo studio della dinamicadei sistemi meccanici e delle macchine in particolare, ove per macchina s’intende quel particolare sistemaatto sia a trasformare energie di forme diverse in energia meccanica e viceversa, ove possibile, sia autilizzare i vari tipi di energia per realizzare particolari funzioni richieste per il funzionamento degliaeromobili che costituiscono l’oggetto principale del corso di studi in Ingegneria Aerospaziale.

I modelli matematici ai quali perverremo si traducono, come detto, in una serie di equazioni differen-ziali, dette anche equazioni di moto, che legano le azioni agenti sul sistema reale al suo movimento.

1-1

Figura 1.1: Modello fisico di un sistema di guida per razzi (da Cannon, [1]).

1.2 I sistemi meccanici

Nel corso di Meccanica Razionale si sono studiati i metodi per condurre l’analisi cinematica e dinamicadi un punto materiale e di un corpo rigido, spesso elementi di base di sistemi meccanici piu complessi.Qualsiasi sistema meccanico reale puo essere infatti schematizzato come un sistema fisico ideale formatodall’insieme di punti materiali e di corpi rigidi, tra loro connessi da opportuni vincoli, al fine di realizzarelo scopo per il quale si e progettata la macchina.

1.2.1 Gradi di liberta

L’analisi dinamica dei sistemi reali necessita della conoscenza del numero di gradi di liberta da loroposseduti, ovvero le possibilita di moto libero e non condizionato dai vincoli. Al fine di definire lo statodi un sistema (posizione e velocita) e infatti necessario identificare il numero di parametri, pari ai gradidi liberta, in grado di variare indipendentemente: tali parametri sono variabili indipendenti.

Il corso di Meccanica Razionale ha messo in luce come, al fine di individuare la posizione nello spaziodi un punto materiale, siano necessarie tre coordinate; se se ne confina la giacitura in un piano, talicoordinate si riducono a due. Conseguentemente, le variabili indipendenti per l’analisi dinamica di unpunto materiale nello spazio saranno tre; due nel caso di moto piano.

Per il corpo rigido libero, ovvero un corpo dotato di dimensioni non trascurabili, al fine di identificarnela configurazione nello spazio sono necessarie sei coordinate libere che, spesso, vengono ricondotte allaposizione di un punto appartenente al corpo e a tre parametri1 che forniscono l’orientamento del corponello spazio.

Analogamente, passando al piano, saranno sufficienti tre coordinate libere, ovvero tre gradi di liberta,per caratterizzare la configurazione del corpo: due per la posizione e una per l’orientamento.

1.2.2 Gradi di vincolo

Come detto, i sistemi meccanici sono in generale costituiti da un insieme di piu corpi rigidi opportuna-mente vincolati tra loro. Tali vincoli impediscono alcune tra le possibilita di spostamento e rotazione deisingoli componenti del sistema, ovvero creano dei legami tra lo stato dei vari componenti e le variabiliindipendenti scelte.

Ad esempio, gia la condizione di rigidita di un corpo rigido deve essere vista come un vincolo. Inrealta, infatti, ogni corpo e deformabile sotto l’azione delle forze che agiscono su di esso. Ipotizzare taledeformabilita trascurabile implica imporre che la distanza tra due punti arbitrari solidali al corpo stesso

1La definizione di un’orientazione nello spazio richiede tre parametri che possono essere rappresentati da nove cosenidirettori, vincolati da sei equazioni che ne impongono l’ortonormalita, oppure da tre angoli valutati secondo una bendeterminata sequenza, o da altre forme di parametrizzazione in ogni caso riconducibili a tre gradi di liberta.

1-2

Figura 1.2: Un sistema meccanico a due gradi di liberta (da Cannon, [1]).

non vari mai, e che l’angolo formato da due rette solidali al corpo rimanga costante durante il movimento.Tale vincolo si traduce nel fatto che per identificare la posizione di tutti i punti appartenenti al corporigido stesso e sufficiente identificare sei parametri indipendenti (tre nel caso di moto piano) e che pertutti i punti del corpo e possibile scrivere dei legami tra i loro spostamenti e le variabili indipendenti.

Un sistema composto da n corpi liberi (meccanismo) possiede 6×n gradi di liberta nello spazio; 3×nnel piano. L’introduzione di vincoli tra i corpi o verso il mondo esterno (telaio) riduce il numero deigradi di liberta del sistema. Tale riduzione di gradi di liberta implica l’esistenza di legami tra le varieposizioni caratteristiche del sistema e le variabili indipendenti.

E necessario quindi, come primo passo di ogni analisi, il computo del numero dei gradi di liberta (ogradi di mobilita) del sistema.

A titolo di esempio, nel caso di meccanismi piani con sole coppie inferiori (ad esempio cerniere, pattinie carrelli), in cui i collegamenti siano solo di tipo binario (ossia ogni vincolo collega solo due elementi),si definisce la regola di Grubler per il calcolo del grado di mobilita del sistema. Detto c1 il numero divincoli che sopprimono un solo grado di liberta (es. carrello), e c2 il numero di vincoli che sopprimonodue gradi di liberta, (es. cerniera o pattino), il numero di gradi di liberta ngdl e

ngdl = 3× n− c1 − 2× c2 (1.1)

essendo n il numero di corpi rigidi componenti il meccanismo.

1.2.3 Variabili fisiche

L’analisi dinamica di un sistema, una volta noto il numero di gradi di liberta ngdl di cui esso gode,richiede la scrittura e la soluzione delle equazioni di moto e quindi, nel caso di un sistema meccanico,l’identificazione delle forze agenti su di esso.

Poiche alcune delle forze agenti possono essere funzione di grandezze cinematiche, e opportunodefinire, oltre alle variabili indipendenti del sistema, anche altre variabili, dette variabili fisiche, chepermettano di definire posizione, velocita o accelerazione di questi punti d’applicazione in modo da ren-dere agevole la scrittura delle equazioni di moto. Tali variabili sono, per quanto detto, funzione dellevariabili indipendenti attraverso legami geometrici.

Con riferimento al sistema di figura 1.2, ad esempio, il meccanismo piano e composto dai due corpirigidi m1 e m2 che possono solo traslare sui due rispettivi piani d’appoggio. Il sistema libero godrebbedi sei gradi di liberta (3× 2); i piani d’appoggio si comportano come due pattini sopprimendo due gradidi liberta per ogni corpo rigido, ovvero, dalla (1.1):

ngdl = 3× 2− 2× 2 = 2 (1.2)

Quindi, per definire in ogni istante la configurazione del sistema, e sufficiente scegliere come variabiliindipendenti due coordinate (ad esempio x1 e x2), e stabilirne l’origine ed il verso positivo nel quale sonomisurate.

Qualsiasi altra variabile fisica, ad esempio la posizione relativa ξ del corpo m2 rispetto alla slitta m1,risulta dipendente dalle variabili indipendenti scelte. Infatti, dall’analisi della geometria del sistema, si

1-3

ricava che:

ξ = x2 − x1 (1.3)

ovvero esiste un legame tra variabile fisica ξ e le variabili indipendenti x1 e x2 adottate; tuttavia, potrebberisultare conveniente definire la grandezza ξ se, ad esempio, fosse necessario inserire una molla tra i corpim1 e m2.

Sempre in riferimento alla figura 1.2, l’azione esercitata dalla molla k5 dipende dalla sua elongazionerispetto alla posizione di molla scarica, per cui puo risultare conveniente l’utilizzo di un’altra variabilefisica per definire la deformazione della molla rispetto alla condizione di molla scarica.

1.3 Equazioni di moto: equilibri dinamici

Come noto, l’equilibrio di un sistema meccanico in condizioni di quiete puo essere studiato mediante leequazioni cardinali della statica.

Ad esempio, nel caso di un corpo rigido libero nel piano xy, dotato quindi di tre gradi di liberta,soggetto ad un generico sistema di forze esterne, il sistema di equazioni di equilibrio equivale a treequazioni scalari indipendenti (due componenti per il risultante ~R di tali forze, ed una sola componente

per l’equazione del loro momento ~M rispetto a un polo O qualsivoglia), in numero eguale al numero deigradi di liberta del corpo, ovvero:

~R = 0 (1.4a)

~MO = 0 (1.4b)

che, proiettate sul piano cartesiano xy, danno luogo al sistema di equazioni pure:

Rx = 0 (1.5a)

Ry = 0 (1.5b)

MOz = 0. (1.5c)

L’operazione di proiezione si ottiene moltiplicando il vettore delle equazioni per il versore della direzionerispetto alla quale si vuole scrivere l’equazione, ovvero

Rx =~i× ~R (1.6a)

Ry = ~j × ~R (1.6b)

MOz = ~k × ~MO. (1.6c)

Nel caso di un sistema composto da piu corpi tra loro connessi, le equazioni cardinali della staticaapplicate all’intero sistema costituiscono condizione solo necessaria. In tal caso occorre:

• separare i corpi che costituiscono il sistema e scriverle per ognuno di essi, includendo quindi anchele reazioni vincolari scambiate tra i corpi stessi, oppure

• considerare, oltre alle equazioni cardinali applicate al sistema completo, ulteriori equazioni di equi-librio riguardanti le mobilita relative tra i corpi che costituiscono il sistema meccanico nel suocomplesso.

La dinamica di un sistema meccanico e definita attraverso relazioni che intercorrono tra moto delsistema (in termini di accelerazioni subite dai diversi punti del sistema) e forze agenti. Sono possibili dueapprocci allo studio della dinamica:

• uno basato sulle equazioni di equilibrio di D’Alembert, che possono essere considerate il corrispon-dente dinamico delle equazioni cardinali della statica,

1-4

• uno basato su principi energetici, come il Principio dei Lavori Virtuali (d’ora in poi PLV), ilteorema di Lagrange, quello dell’energia cinetica, o altri ancora2.

Vale infine la pena di osservare che nel legame tra le forze agenti su un sistema e le corrispondentiaccelerazioni gioca un ruolo fondamentale la definizione delle caratteristiche meccaniche del sistemastesso: pertanto utilizzeremo nello studio della dinamica tutte le nozioni relative alla geometria dellemasse che sono state oggetto del corso di Meccanica Razionale.

Nel caso di un punto materiale di massa m vincolato, dalla legge di Newton (seconda legge della

Dinamica, [3]) si ricava che l’accelerazione subita dal punto e legata al risultante ~F di tutte le forzeattive e reattive agenti sul corpo attraverso la relazione:

m~a = ~F = ~R+ ~Ψ (1.7)

dove ~Ψ e la reazione vincolare che traduce l’azione del vincolo, mentre ~R e il risultante delle sole forzeattive.

Definendo come forza d’inerzia la quantita:

~Fi = −m~a (1.8)

pari al prodotto della massa del punto per la sua accelerazione e agente in verso opposto a quest’ultima,l’equazione di moto (1.7) puo essere riscritta sotto forma di una equazione di equilibrio equivalente:

~F + ~Fi = 0 → ~R+ ~Ψ+ ~Fi = 0 (1.9)

ossia il problema dinamico puo essere sempre ricondotto a un problema statico equivalente, a condizionedi aggiungere al risultante delle forze attive e reattive anche la forza di inerzia.

Questa affermazione, rappresentata matematicamente dalla Equazione (1.9), costituisce l’enunciatodel principio di D’Alembert nel caso del punto materiale.

L’applicazione di tale principio puo essere estesa al caso del corpo rigido, o del sistema di corpi rigidi.

1.3.1 Dinamica del corpo rigido

Consideriamo il caso di un corpo rigido di dimensioni non trascurabili, cioe un sistema continuo di puntimateriali ai quali e imposto il vincolo della rigidita. In questo caso, il principio di D’Alembert, chenella (1.9) e stato applicato ad un generico punto materiale, puo essere scritto per ciascun punto delcorpo. Il corpo e quindi sottoposto a forze di inerzia distribuite. La forza d’inerzia infinitesima agentesul generico punto P di volume infinitesimo dV e massa infinitesima dm = ρdV e:

d~Fi = −dm ~a (1.10)

Definita questa distribuzione di forze, potremo quindi dire che il moto del corpo deve soddisfare leequazioni che ne definiscono l’equilibrio dinamico sotto l’azione delle forze (attive e reattive) agenti sudi esso, oltre a quelle di inerzia. Nel caso del corpo rigido e possibile ridurre l’intero sistema di forzed’inerzia distribuite ad un risultante ~Fi piu una coppia d’inerzia ~CGi che possono essere espressi infunzione dell’accelerazione del baricentro G e dell’accelerazione angolare del corpo stesso, come illustratonel seguito.

Le equazioni vettoriali che descrivono il moto del corpo rigido possono essere scritte a partire dalleequazioni cardinali della statica (1.4), includendo il termine aggiuntivo dovuto alle forze di inerzia, ovvero:

~F + ~Fi = 0 (1.11a)

~MO + ~COi = 0 (1.11b)

dove ~F e il risultante delle forze attive e reattive, e ~MO e il loro momento rispetto ad un polo O. Ilproblema dinamico e quindi ricondotto, ancora una volta, a un problema statico equivalente, a condizione

2Si elencano, per completezza e senza presentarli: il principio di Hamilton, il principio di Gauss (o di minimo vincolo),il principio di Jourdain, le equazioni di Gibbs-Appell, le equazioni di Maggi-Kane, e cosı via.

1-5

O

P

x

y

~ω, ~ω

~xO

~xP

Figura 1.3: Cinematica di un corpo rigido con un punto fisso.

di essere in grado di calcolare il risultante ~Fi delle forze di inerzia d~Fi agenti sul corpo e il loro momentorisultante rispetto al polo O considerato. Questo calcolo risulta in genere molto complesso per un corpodeformabile, ma per i corpi rigidi, oggetto principale di questo corso, vale la regola generale illustrata nelseguito.

La forza d’inerzia e data dall’integrale esteso al volume V del corpo della forza d’inerzia elementare (1.10)

~Fi =

∫

V

d~Fi

= −∫

V

ρ~a dV (1.12)

dove la massa infinitesima e data dal prodotto della densita del materiale per il suo volume infinitesimo

dm = ρdV (1.13)

mentre la coppia d’inerzia rispetto al generico punto O e data dall’integrale esteso al volume V del corpodel momento della forza d’inerzia elementare (1.10) rispetto al punto O

~COi =

∫

V

(P −O)∧ d~Fi

= −∫

V

ρ (P −O) ∧ ~a dV (1.14)

Nell’ipotesi che il polo O sia solidale con il corpo, la distanza P − O tra il generico punto P ed ilpolo rimane costante in modulo. A seguito del movimento rigido del corpo, ne puo variare soltantol’orientazione. Facendo riferimento alla terna intrinseca3, posizione, velocita ed accelerazione del punto

3Si ricordi che un vettore e definito dal suo modulo e dalla sua direzione. La derivata di un vettore di modulo costantenon e nulla se la sua direzione cambia. Si consideri, ad esempio, un vettore (P −O) di modulo ‖P −O‖ costante cherappresenta la distanza tra il generico punto P ed un polo O all’istante di tempo t, entrambi solidali con un corpo rigidoche si muove nel piano di moto rotatorio attorno al polo O. Nell’istante t′ il punto P si sposti in P ′; la velocita del puntoP all’istante t si definisce

~vP = limt′→t

(P ′ − P )

t′ − t(1.15)

e, per costruzione, e perpendicolare a (P −O). Puo quindi essere scritta come

~vP = ~k ∧(P −O)

‖P −O‖vP (1.16)

1-6

P sono

~xP = ~xO + (P −O) (1.19a)

~xP = ~xO + ~ω ∧ (P −O) (1.19b)

~xP = ~xO + ~ω ∧ (~ω ∧ (P −O)) + ~ω ∧ (P −O) (1.19c)

L’equazione (1.12), che esprime la forza d’inerzia complessiva del corpo, nel caso piano diventa

~Fi = −∫

V

ρ~xO dV −∫

V

ρ~ω ∧ (~ω ∧ (P −O)) dV −∫

V

ρ~ω ∧ (P −O) dV

= −∫

V

ρ dV

︸︷︷︸

m

~xO + ω2

∫

V

ρ (P −O) dV

︸︷︷︸

~sO

−ω~k ∧∫

V

ρ (P −O) dV

︸︷︷︸

~sO

(1.20)

La posizione del punto P puo essere espressa in relazione alla posizione di un altro punto, G, anch’essosolidale con il corpo (il baricentro),

(P −O) = (P −G) + (G−O) (1.21)

Di conseguenza, l’espressione del momento statico ~sO rispetto al punto O diventa

~sO =

∫

V

ρ (P −O) dV

=

∫

V

ρ (P −G) dV

︸︷︷︸

~sG≡~0

+

∫

V

ρ (G−O) dV

= (G−O)

∫

V

ρ dV

︸︷︷︸

m

(1.22)

in quanto per definizione il momento statico rispetto al baricentro, ~sG, e nullo; la (1.12) diventa quindi

~Fi = −m~xO + ω2~sO − ω~k ∧ ~sO (1.23)

ove vP e uno scalare che ne rappresenta l’ampiezza. Si definisca

vP = ω ‖P −O‖ (1.17)

l’ampiezza della velocita ~vP , costituita dal prodotto tra il modulo della distanza del punto P dal polo O e uno scalare ω;la (1.16) diventa

~vP =(

~kω)

∧ (P −O) (1.18)

ove, in ~kω = ~ω, si riconosce la velocita angolare del segmento (P −O). Se ne deduce che la derivata di un vettore costantein modulo corrisponde alla velocita con cui cambia la sua orientazione.

1-7

L’equazione 1.14 che esprime la coppia d’inerzia complessiva del corpo diventa4

~COi = −∫

V

ρ (P −O) ∧ ~xO dV −∫

V

ρ (P −O) ∧ (~ω ∧ (~ω ∧ (P −O))) dV

−∫

V

ρ (P −O) ∧(

~ω ∧ (P −O))

dV

= −∫

V

ρ (P −O) dV

︸︷︷︸

~sO

∧~xO +

∫

V

ρω2 (P −O) ∧ (P −O)︸︷︷︸

~0︸︷︷︸

solo nel caso piano!

dV

−∫

V

ρ (P −O)× (P −O) dV

︸︷︷︸

JO

~ω

= −(

~sO ∧ ~xO)

−

∫

V

ρ (P −G)× (P −G) dV

︸︷︷︸

JG

+ 2 (G−O)×∫

V

ρ (P −G) dV

︸︷︷︸

~0

+ (G−O)× (G−O)

∫

V

ρ dV

︸︷︷︸

m

~ω

= −(

~sO ∧ ~xO)

− JG~ω −m (G−O)× (G−O) ~ω (1.24)

Dalle (1.23) e (1.24) e evidente come la scelta del baricentro come punto rispetto al quale riferire lacoppia sia particolarmente vantaggioso, in quanto, per G−O = ~0, si ottiene

~Fi = −m~xG (1.25a)

CGi = − JGω (1.25b)

Le formule (1.25) in questa forma valgono solo nel caso piano. Nello spazio, l’espressione della coppiad’inerzia e piu complessa.

Quanto illustrato a proposito della forza e coppia d’inerzia si applica anche a problemi nello spazio;in tale caso, tuttavia, la velocita e l’accelerazione angolare possono avere direzione arbitraria, per cuila scrittura delle caratteristiche inerziali del corpo rigido comporta che non necessariamente si verifichil’annullamento di alcuni termini, come invece avviene nel caso piano.

1.3.2 Dinamica di un corpo rigido con spessore trascurabile e punto fisso

Esercizio 1.1 Si calcolino la coppia motrice M e le reazioni vincolari nel punto di vincolo O di uncorpo rigido di spessore trascurabile incernierato in O per velocita angolare ~ω e accelerazione angolare ~ωimposte.

Soluzione. L’analisi cinematica insegna che tutti i punti del corpo rigido descrivono una traiettoriacircolare intorno al punto fisso O; quindi il moto del baricentro G e descritto dalle relazioni

~xG = (G−O) (1.26a)

~xG = ω~k ∧ (G−O) (1.26b)

~xG = − ω2 (G−O)︸︷︷︸

~an

+ ω~k ∧ (G−O)︸︷︷︸

~at

(1.26c)

4Si noti come, nel caso piano, ~ω ∧ (~ω ∧ (P −O)) = −ω2 (P −O) in quanto ~ω e per definizione perpendicolare a P −O.Per questo motivo (P −O) ∧ (~ω ∧ (~ω ∧ (P −O))) ≡ ~0 nella (1.24). Nel caso spaziale (si veda il Capitolo A) cio non e piunecessariamente vero, in quanto in generale ~ω × (P −O) 6= ~0, ovvero ~ω non e necessariamente perpendicolare a P −O.

1-8

O

P

x

y ~ω, ~ω

dmω2∣∣OP

∣∣

dmω∣∣OP

∣∣

Figura 1.4: Componenti della forza d’inerzia agente sul puntoP di un corpo rigido con un punto fisso.

O

G

x

y

θ, ω, ω

mω2∣∣OG

∣∣

mω∣∣OG

∣∣

Ci

M

m~g

~Ψ

ΨnΨt

Figura 1.5: Forze agenti sul corpo rigido (ovvero, ‘diagrammadi corpo libero’).

dove sono state messe in evidenza le componenti normale e tangenziale dell’accelerazione, rispettivamente~an e ~at.

Sostituendo ai vincoli le corrispondenti reazioni vincolari, e possibile quindi scrivere le equazioniscalari di equilibrio dinamico del corpo rigido:

(mω (G−O) + Ψt) sin θ +(mω2 (G−O)−Ψn

)cos θ = 0 (1.27a)

− (mω (G−O) + Ψt) cos θ +(mω2 (G−O)−Ψn

)sin θ −mg = 0 (1.27b)

M −mω (G−O)2 − JGω −mg (G−O) cosϑ = 0 (1.27c)

corrispondenti alle equazioni della statica (1.5) quando vengano considerate anche le forze e coppie d’in-erzia. Dal momento che la scelta delle coordinate cartesiane xy e del tutto arbitraria, si puo considerare,nel piano xy, una qualunque coppia di direzioni ortogonali5 purche convenienti; nel caso in esame, le

5In realta e sufficiente che le direzioni rispetto alle quali vengono scritte le equazioni di equilibrio alla traslazione sianodistinte, e quindi non parallele, per ottenere due equazioni linearmente indipendenti.

1-9

equazioni (1.27) diventano particolarmente semplici se si considerano le direzioni normale e tangenziale

mω (G−O) + Ψt +mg cos θ = 0 (1.28a)

mω2 (G−O)−Ψn −mg sin θ = 0 (1.28b)

M −mω (G−O)2 − JGω −mg (G−O) cosϑ = 0 (1.28c)

In ogni caso, sia le (1.27) che le (1.28), equivalenti alle prime, conducono a un problema univocamente

determinato di tre equazioni nelle tre incognite Ψt, Ψn, M . E evidente come le (1.28) siano molto piufacili da risolvere delle (1.27), essendo le incognite disaccoppiate.

A prescindere da quale insieme di equazioni si considera, e comunque possibile, note la velocitaangolare ω e l’accelerazione angolare ω del corpo, determinare la coppia motrice M necessaria. Si notiche in ogni caso una equazione (nell’esempio l’ultima) e pura, ovvero non contiene le reazioni vincolari,e corrisponde all’equazione del moto associata alla coordinata libera del problema. Le altre due possonoessere risolte a posteriori una volta determinato il movimento a partire dall’equazione del moto.

Esercizio 1.2 A partire dalla soluzione dell’esercizio 1.1 si calcolino le azioni interne nel corpo, nel-l’ipotesi che sia costituito da un’asta di densita uniforme ρ, sezione uniforme A e lunghezza l.

Soluzione. A partire dalla coppia motrice calcolata nell’esercizio precedente, per dimensionarel’organo meccanico schematizzato come corpo rigido occorre valutare le azioni interne. Tuttavia none possibile utilizzare il sistema equipollente delle forze d’inerzia, costituito dalle (1.23) e (1.24); occorreutilizzare la reale distribuzione delle azioni d’inerzia.

La valutazione degli sforzi agenti all’interno di un corpo di geometria arbitraria e un problema com-plesso. La scienza delle costruzioni ci fornisce i metodi per lo studio della meccanica del continuo, maci insegna anche che raramente si conoscono soluzioni analitiche per geometrie non banali. Per questomotivo, a fini puramente didattici, si consideri l’esempio di figura 1.6, in cui il generico corpo rigido diforma arbitraria viene approssimato con un’asta omogenea, di densita costante ρ, sezione costante A elunghezza l. Per semplicita, l’asta e vincolata a ruotare nel piano verticale attorno alla cerniera O.

Per valutare il momento M necessario a imporre l’orientazione, la velocita e l’accelerazione angolarevolute (problema inverso) o, al contrario, per determinare l’accelerazione angolare dovuta al momentoimposto M , note l’orientazione e la velocita angolare (problema diretto) e sufficiente, come illustratonell’esercizio precedente, scrivere l’equilibrio dei momenti rispetto al polo O:

M −m

(l

2

)2

ω − JGω −mgl

2cos θ = 0 =⇒M = m

l2

3ω +mg

l

2cos θ, (1.29)

ove si e sfruttato JG = ml2/12.Le altre due equazioni permettono invece il calcolo della reazione nelle sue due componenti tangente

e normale alla traiettoria circolare del baricentro:

Ψt + ρAlg cos θ + ρAωl2

2= 0 =⇒ Ψt = −mg cos θ −mω

l

2(1.30a)

−Ψn − ρAlg sin θ + ρAω2 l2

2= 0 =⇒ Ψn = −mg sin θ +mω2 l

2(1.30b)

Volendo calcolare le azioni interne normali N , di taglio T e flettenti Mf in una generica sezione distantea dalla cerniera, dobbiamo tener conto della distribuzione triangolare6 delle azioni d’inerzia scompostenelle due componenti normale e tangenziale, ovvero:

N (a)−Ψn −∫ a

0

ρAg sin θ dξ +

∫ a

0

ρAω2ξ dξ = 0 (1.31a)

T (a)−Ψt −∫ a

0

ρAg cos θ dξ −∫ a

0

ρAωξ dξ = 0 (1.31b)

Mf (a) +M +Ψta+

∫ a

0

ρAg cos θ (a− ξ) dξ +

∫ a

0

ρAωξ (a− ξ) dξ = 0 (1.31c)

6Se le componenti normale e tangenziale dell’accelerazione del generico punto a distanza ξ dal centro di rotazione sonorispettivamente xn = −ξω2 e xt = ξω, le conseguenti componenti della distribuzione di forza d’inerzia sono dFin = dmξω2

e dFit = −dmξω, e hanno quindi andamento lineare in ξ.

1-10

Ci

G

O x

y θ, ω, ω

ρAω2∣∣OG

∣∣

ρAω∣∣OG

∣∣

M

ρAg

ΨnΨt

O x

y θ, ω, ωρAω2∣∣OG

∣∣ ρAω

∣∣OG

∣∣

M

ρAg

ΨnΨt

Mf

N

Ta

Figura 1.6: Sistema equipollente delle forze d’inerzia (a sinistra) e loro realedistribuzione (a destra) in un’asta incernierata ad un estremo.

A partire dalle ipotesi di densita ρ e area della sezione A costanti, svolgendo gli integrali si ottiene

N (a)−Ψn − ρAag sin θ + ρAω2 a2

2= 0 (1.32a)

T (a)−Ψt − ρAag cos θ − ρAωa2

2= 0 (1.32b)

Mf (a) +M +Ψta+ ρAa2

2g cos θ + ρAω

a3

6= 0 (1.32c)

Esercizio 1.3 Si consideri di nuovo l’esercizio 1.2 ma ora, anziche considerare la parte di problema dallacerniera alla generica sezione, si consideri invece la parte dalla sezione all’estremo libero. Ovviamentedevono risultarne le medesime azioni interne. Lo si verifichi, e si discuta l’opportunita di scegliere l’unao l’altra parte per il calcolo delle azioni interne.

Esercizio 1.4 A partire dalla soluzione degli esercizi 1.1 e 1.2 si calcolino l’angolo θ e la posizioneradiale a per i quali sono rispettivamente massimi e minimi lo sforzo assiale e lo sforzo di taglio, sceltauna geometria a piacere per la sezione A dell’asta.

1-11

Capitolo 2

Scrittura delle equazioni di motomediante approcci energetici

Generato il 10 settembre 2012In questo capitolo viene illustrata la scrittura delle equazioni del moto di sistemi piani mediante

principi energetici, metodo alternativo alla scrittura diretta delle equazioni di equilibrio dinamico di ognicorpo componente.

Con la dicitura principi energetici si intendono quegli approcci basati sulla scrittura di un funzionalela cui minimizzazione porta alla scrittura di un sistema di equazioni di bilancio. Tra questi metodi ricadeil Principio dei Lavori Virtuali.

2.1 Il Principio dei Lavori Virtuali

L’approccio visto nel capitolo precedente studia l’equilibrio dinamico di un sistema meccanico basandosisulla scrittura diretta delle equazioni di equilibrio di forze e momenti. In particolare si e visto che,grazie al principio di D’Alembert, e possibile ricondurre il problema dinamico ad un problema staticoequivalente, introducendo il sistema di forze e coppie di inerzia.

In alternativa, e possibile usare il Principio dei Lavori Virtuali (o P.L.V.), che si enuncia come segue:

condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio dinamico, in un sistema meccanico convincoli lisci ovvero in assenza di attrito, e che sia nullo il lavoro delle forze e coppie attive,comprendendo tra esse la forza e la coppia d’inerzia, per qualsiasi spostamento virtuale delsistema.

Uno spostamento si definisce virtuale quando e infinitesimo e compatibile con i vincoli atempo fissato.

Il senso delle parole ‘compatibile con i vincoli a tempo fissato’ verra illustrato nel seguito.La limitazione ai soli vincoli lisci sopra indicata puo essere rimossa con opportuni accorgimenti, quindi

l’applicabilita del P.L.V. e sufficientemente ampia da consentirne l’uso in tutte le applicazioni di interesseper il corso. Inoltre, per un sistema ad un solo grado di liberta a vincoli lisci, il metodo consente di ottenereuna sola equazione pura di moto che non dipende dalle incognite di reazione vincolare. Questa equazioneconsente di risolvere direttamente il problema dinamico senza dover calcolare le incognite aggiuntiverappresentate dalle reazioni vincolari stesse.

Per fare un esempio di questo procedimento ci riferiamo nuovamente al caso del corpo rigido di piccolospessore del capitolo precedente. Data la presenza di una cerniera a terra in O, lo spostamento virtualedel corpo e di tipo rotatorio, descritto dalla rotazione virtuale δ~ϑ = ~kδϑ del corpo rigido (assunta, per

convenzione, positiva se antioraria), con ~k versore perpendicolare al piano contenente il corpo e positivoquando uscente dal piano stesso.

Applicando il P.L.V. si ottiene

δ∗L = ~M × δ~ϑ+m~g × δ~xG + ~F × δ~xP −(

JG~ω)

× δ~ϑ−m~aG × δ~xG = 0, (2.1)

2-1

x

y

O

G~aG

~M

m~g

P

~F

JG~ω

ϑ,ϑ = ω,ϑ = ω

ϑ

Figura 2.1: Corpo rigido di piccolo spessore soggetto a moto puramente rotatorio.

avendo aggiunto una generica forza ~F applicata nel punto P , in cui le variabili fisiche sono

~xG = (G−O) ~xP = (P −O) , (2.2)

da cui risultano le variazioni virtuali

δ~xG = δ~ϑ ∧ (G−O) δ~xP = δ~ϑ ∧ (P −O) , (2.3)

mentre

~aG =d2~xGdt2

= ~ω ∧ (~ω ∧ (G−O)) + ~ω ∧ (G−O) = −ω2 (G−O) + ~ω ∧ (G−O) .

Come indicato in figura 2.1, si sono definiti ω = ϑ e ω = ϑ.E relativamente agevole verificare che

~F × δ~xP =(

(P −O) ∧ ~F)

× δ~ϑ (2.4)

(si veda a questo proposito la (A.8c)); questo corrisponde ad affermare che il lavoro virtuale compiuto

dalla forza ~F per lo spostamento virtuale del punto di applicazione P , quando lo spostamento sia dovutoad una rotazione rispetto ad un polo O, e uguale al lavoro virtuale dovuto al momento (P −O) ∧ ~F per

la rotazione virtuale δ~ϑ = δϑ~k.

Esercizio 2.1 Si verifichi la (2.4).

Svolgendo i prodotti indicati e raccogliendo a fattor comune la rotazione virtuale δϑ si ha:

δ∗L =(

M − JGω −mg |(G−O)| cosϑ−m |(G−O)|2 ω +(

(P −O) ∧ ~F)

× ~k)

δϑ = 0 (2.5)

da cui, semplificando1 per δϑ 6= 0, si ottiene

M − JGω −mg |(G−O)| cosϑ−m |(G−O)|2 ω +(

(P −O) ∧ ~F)

× ~k = 0 (2.6)

che (a meno del contributo ~F , introdotto solo ora) coincide con la (1.27), ottenuta direttamente dall’e-quilibrio dinamico dei momenti.

Si noti come non sia mai stato necessario prendere in considerazione le reazioni vincolari scambiatetra corpo e telaio nella cerniera, a seguito dell’ipotesi di vincolo ideale.

1Questa semplificazione e lecita per l’arbitrarieta degli spostamenti virtuali.

2-2

2.2 Il teorema dell’energia cinetica

La Meccanica Razionale ha proposto il Teorema dell’Energia Cinetica in due forme. Indicati con Tl’energia cinetica del corpo rigido, Π la potenza e L il lavoro delle forze esterne, per un sistema a vincolifissi il teorema dell’energia cinetica:

• in forma differenziale,

dT

dt= Π, (2.7)

afferma che la derivata rispetto al tempo dell’energia cinetica eguaglia la potenza delle forze attive,escluse quelle d’inerzia;

• in forma integrale,

∆T = L, (2.8)

afferma che la variazione di energia cinetica tra due istanti di tempo eguaglia il lavoro compiutodalle forze attive, escluse quelle d’inerzia, nell’intervallo trascorso.

La potenza o il lavoro delle forze di inerzia sono esplicitamente esclusi dal computo di Π e di L perchela derivata rispetto al tempo dell’energia cinetica rappresenta proprio la potenza delle forze d’inerzia,mentre la variazione di energia cinetica in un dato intervallo di tempo e proprio pari al lavoro fattodalle forze d’inerzia in quell’intervallo.

Ritornando all’esempio considerato, l’energia cinetica T del corpo e2:

T =1

2m~vG × ~vG +

1

2JG~ω × ~ω (2.9)

dove si e utilizzato il teorema di Konig, per cui

dT

dt= m~aG × ~vG + JG~ω × ~ω (2.10)

mentre

Π = ~M × ~ω +m~g × ~vG + ~F × ~vP . (2.11)

Sostituendo nella (2.7) le (2.10) e (2.11), otteniamo:

m~aG × ~vG + JG~ω × ~ω = ~M × ~ω +m~g × ~vG + ~F × ~vP , (2.12)

ovvero

~M × ~ω +m~g × ~vG + ~F × ~vP −m~aG × ~vG − JG~ω × ~ω = 0 (2.13)

che esprime l’annullamento complessivo delle potenze di tutte le forze e coppie (comprese quelle di inerzia)agenti sul sistema. Il principio illustrato da questa equazione e noto anche come bilancio di potenze, inquanto la potenza Πin della forza e della coppia d’inerzia e pari a

Πin = −m~aG × ~vG − JG~ω × ~ω = −dT

dt(2.14)

e quindi la (2.7) puo essere riscritta anche come

Π + Πin = 0 (2.15)

2Il contributo di energia cinetica associato alla velocita angolare e scritto come 1/2JG~ω×~ω perche nel caso bidimensionalela velocita angolare e ~ω = [0, 0, ωz ]T e si assume che i corpi abbiano spessore trascurabile, quindi solo il momento di

inerzia JG attorno a ~k partecipa. Come si vedra nel Capitolo A tale contributo ha una forma piu complicata nel casotridimensionale.

2-3

Ricordando, poi, che dall’analisi cinematica di questo specifico problema risulta che

~vG = ~ω ∧ (G−O) (2.16)

e

~vP = ~ω ∧ (P −O) , (2.17)

sostituendo la (2.16) nella (2.13) e risolvendo i prodotti scalari, otteniamo:

(

M −mg (O −G) cosϑ+(

(P −O) ∧ ~F)

× ~k − JGω −m (O −G)2ω)

ω = 0 (2.18)

che semplificata per ω 6= 0 fornisce un’equazione scalare pura che e di nuovo la (2.5).La validita di questa equazione non e limitata ad un singolo corpo rigido, ma vale per qualunque

sistema formato da n corpi, purche ad un solo grado di liberta, potendosi riscrivere nella forma

n∑

k=1

(Π + Πin)k = 0 (2.19)

Nelle applicazioni di dinamica, in cui spesso occorre considerare macchine ad un solo grado di liberta, ilteorema dell’energia cinetica (ovvero l’equazione di bilancio delle potenze) puo risultare di piu spontaneoutilizzo rispetto al principio dei lavori virtuali visto in precedenza, poiche piu direttamente collegato almoto dei corpi rigidi componenti il sistema, in quanto la velocita e analoga ad uno spostamento virtualequando i vincoli sono fissi.

Il Teorema dell’Energia Cinetica si presta a una importante interpretazione fisica: durante il moto delsistema, negli istanti in cui la somma delle potenze delle forze attive risulta positiva l’energia cinetica delsistema viene incrementata; al contrario, quando tale somma risulta negativa il sistema riduce la propriaenergia cinetica. Secondo questa interpretazione, le inerzie presenti nel sistema (masse e momenti diinerzia) possono essere visti come “serbatoi di energia” che nelle fasi di accelerazione immagazzinanol’energia fornita in eccesso al sistema rispetto a quella necessaria per vincere le resistenze, mentre nellefasi di decelerazione restituiscono l’energia immagazzinata per supplire a un deficit di potenza motricerispetto a quella necessaria per vincere le resistenze.

2.3 Le equazioni di Lagrange (di IIo tipo)

E stato messo in luce come l’analisi dinamica di un sistema composto da piu corpi possa essere conve-nientemente risolta mediante la scrittura del teorema dell’energia cinetica (o dell’equivalente bilancio dipotenze) in quanto, in presenza di soli vincoli lisci e fissi, ne deriva l’equazione scalare pura del moto.Nel caso si debbano determinare le forze scambiate tra i vari elementi componenti il sistema, le azioniinterne e le reazioni vincolari, e stato invece proposto il metodo degli equilibri dinamici, noto anche comeprincipio di d’Alembert.

Si vuole presentare un metodo ulteriore per la scrittura delle equazioni di moto tramite le equazionidi Lagrange. Questo metodo energetico trova un’importante applicazione, come illustrato in seguito, nelcaso di sistemi a piu gradi di liberta.

Ci si limiti, per ora, al caso di un sistema piano ad un solo grado di liberta, composto da un corporigido di massam e momento d’inerzia baricentrico JG soggetto a vincoli bilateri lisci. Detta q la variabileindipendente scelta per il sistema, l’equazione di Lagrange nella sua forma piu nota si presenta come:

d

dt

(∂T

∂q

)

− ∂T

∂q+

dV

dq= Qq (2.20)

dove T e V indicano rispettivamente l’energia cinetica e l’energia potenziale3 del sistema, mentre Qqindica la componente lagrangiana delle sollecitazioni attive relativa alla coordinata libera q.

3Alcuni autori, al posto dell’energia potenziale V , usano il potenziale U delle forze conservative; si ricorda che U = −V .

2-4

L’energia cinetica del sistema e data dalla (2.9), qui ripetuta per chiarezza espositiva:

T =1

2m~vG × ~vG +

1

2JG~ω × ~ω (2.21)

dove con ~vG e con ~ω sono indicate rispettivamente la velocita del baricentro e la velocita angolare delcorpo rigido.

Le generiche variabili fisiche y sono funzioni dell’unica coordinata libera q tramite le relazioni chene governano la cinematica e la geometria (tali legami possono avere anche una dipendenza esplicitadal tempo nel caso in cui vincoli esterni o interni varino la loro configurazione con legge assegnata neltempo):

y = y (q, t) (2.22)

Si noti che, data la definizione di variabile fisica in (2.22), la velocita fisica e definita come

v =dy

dt=∂y

∂qq +

∂y

∂t, (2.23)

mentre lo spostamento virtuale corrispondente e definito come

δy =∂y

∂qδq (2.24)

in quanto lo spostamento virtuale avviene a vincoli e a tempo fissato, per cui la dipendenza esplicita daltempo della (2.22), che nella (2.23) compare attraverso il termine ∂y/∂t, nella (2.24) non partecipa alladefinizione dello spostamento virtuale.

Il termine V rappresenta l’energia potenziale delle forze agenti che ammettono potenziale, e quindiconservative (ad esempio la forza peso, eventuali forze elastiche, ecc.). In Qq sono comprese le componentilagrangiane di tutte le restanti forze attive agenti sul sistema. Il termine Qq viene calcolato come il lavorovirtuale di tali forze per uno spostamento virtuale unitario della variabile indipendente δq, ovvero comeil termine ottenuto dal raccoglimento a fattor comune di δq nell’espressione del lavoro virtuale di taliforze, Qq = ∂δL/∂δq.

Con riferimento sempre all’esempio iniziale, utilizzando come variabile libera q l’angolo ϑ di rotazionedel corpo, e quindi ω = ϑ, avremo che

∂T

∂ϑ=

∂

∂ϑ

(1

2

(

JG +m |(G−O)|2)

ω2

)

=(

JG +m |(G−O)|2)

ω (2.25)

d

dt

(∂T

∂ϑ

)

=(

JG +m |(G−O)|2)

ω (2.26)

∂T

∂ϑ= 0 (2.27)

V = mg |(G−O)| sinϑ (2.28)

dV

dϑ= mg |(G−O)| cosϑ (2.29)

δL =(

M +(

(P −O) ∧ ~F)

× ~k)

δϑ (2.30)

Qq =M +(

(P −O) ∧ ~F)

× ~k (2.31)

che, sostituite nella (2.20), portano a

(

JG +m |(G−O)|2)

ω +mg |(G−O)| cosϑ =M +(

(P −O) ∧ ~F)

× ~k (2.32)

ovvero di nuovo all’equazione scalare pura (2.5).

2-5

2.4 Le equazioni di Lagrange (di Io tipo)

Le equazioni di Lagrange di primo tipo partono dalle equazioni di Newton-Eulero, o equazioni cardinalidella dinamica. Queste sono espresse in funzione di coordinate cartesiane che descrivono la posizione el’orientazione di ogni corpo che costituisce il sistema.

La presenza di vincoli cinematici, che riducono il numero di gradi di liberta effettivi del problema,viene espressa esplicitamente mediante l’aggiunta delle equazioni algebriche di vincolo,

ϕj (xG, yG, ϑ, t) = 0. (2.33)

Queste ultime consentono di applicare le reazioni vincolari, nell’ipotesi di vincoli lisci, direttamentealle equazioni cardinali del moto del corpo, mediante il formalismo dei moltiplicatori di Lagrange. Leequazioni di vincolo devono essere indipendenti, altrimenti si ha una sovradeterminazione (le equazionidi vincolo non sono piu indipendenti). Condizione necessaria per avere equazioni indipendenti e che leequazioni di vincolo siano in numero al piu pari ai gradi di liberta del sistema.

Si scriva formalmente la Lagrangiana

L = T − V =1

2m~vG × ~vG +

1

2JG~ω × ~ω =

1

2m(x2G + y2G

)+

1

2JGϑ

2. (2.34)

La si aumenti con un termine

L′ =∑

k=1,c

λkϕk (xG, yG, ϑ, t) , (2.35)

ove i λk sono moltiplicatori incogniti relativi ad ogni equazione di vincolo cinematico. Quando il vincoloϕk e rispettato, il valore della Lagrangiana originaria, L, non dipende in alcun modo dal valore delcorrispondente moltiplicatore λk.

Si applichi il formalismo di Lagrange a L + L′, considerando alla stregua di coordinate libere sia lecoordinate cartesiane di ogni corpo che i moltiplicatori λk. La derivazione del contributo delle equazionidi vincolo, L′, comporta

∂L′

∂xG=∑

k=1,c

λk∂ϕk∂xG

(2.36a)

∂L′

∂yG=∑

k=1,c

λk∂ϕk∂yG

(2.36b)

∂L′

∂ϑ=∑

k=1,c

λk∂ϕk∂ϑ

(2.36c)

∂L′

∂λk= ϕk. (2.36d)

Si ottiene, per il corpo rigido e per ogni vincolo k:

mxG +∑

k=1,c

∂ϕk∂xG

λk = QxG(2.37a)

myG +∑

k=1,c

∂ϕk∂yG

λk = QyG (2.37b)

JGϑ+∑

k=1,c

∂ϕk∂ϑ

λk = Qϑ (2.37c)

ϕk = 0. (2.37d)

Ciascun termine

∂ϕk∂qj

λk (2.38)

2-6

rappresenta il contributo del vincolo k-esimo alle reazioni vincolari dell’equazione di equilibrio allatraslazione in direzione j-esima, o alla rotazione attorno all’asse j-esimo, del corpo.

Considerando il problema iniziale, le coordinate sono rappresentate da xG, yG e ϑ, quest’ultimacorrispondente alla coordinata libera usata nelle equazioni di Lagrange di secondo tipo. La lagrangianae

L =1

2m(x2G + y2G

)+

1

2JGϑ

2 −mgyG, (2.39)

mentre il lavoro virtuale delle forze generalizzate e

δ∗L = δ~xP × ~F + δ~ϑ× ~M = δxGFx + δyGFy + δϑ((

(P −G) ∧ ~F)

× ~k +M)

, (2.40)

dal momento che lo spostamento virtuale del punto P e dato da

δ~xP = δxG~i+ δyG~j + δϑ~k ∧ (P −G) . (2.41)

Sono presenti due relazioni di vincolo, in quanto il sistema ha un solo grado di liberta. Possonoessere espresse in vari modi equivalenti. Ad esempio, si puo imporre che la distanza tra i punti G e Osia costante e pari a |G−O|, e che il rapporto tra le coordinate del baricentro sia pari alla tangentedell’angolo ϑ. Sia quindi

ϕ1 =√

(G−O)× (G−O)− |G−O| =√

x2G + y2G − |G−O| = 0, (2.42)

da cui

∂ϕ1

∂xG=

xG[G−O]

(2.43a)

∂ϕ1

∂yG=

yG[G−O]

(2.43b)

∂ϕ1

∂ϑ= 0, (2.43c)

e

ϕ2 = xG sinϑ− yG cosϑ = 0, (2.44)

da cui

∂ϕ2

∂xG= sinϑ (2.45a)

∂ϕ2

∂yG= − cosϑ (2.45b)

∂ϕ2

∂ϑ= xG cosϑ+ yG sinϑ. (2.45c)

Trascurando nel seguito la forza ~F , ne risulta

mxG +xG

[G−O]λ1 + sinϑλ2 = 0 (2.46a)

myG +yG

[G−O]λ1 − cosϑλ2 = −mg (2.46b)

JGϑ+ (xG cosϑ+ yG sinϑ)λ2 =M (2.46c)√

x2G + y2G − |G−O| = 0 (2.46d)

xG sinϑ− yG cosϑ = 0. (2.46e)

2-7

Oppure, piu semplicemente, si possono definire le coordinate del baricentro come

ϕ1 = xG − |G−O| cosϑ (2.47a)

ϕ2 = yG − |G−O| sinϑ, (2.47b)

da cui

∂ϕ1

∂xG= 1 (2.48a)

∂ϕ1

∂yG= 0 (2.48b)

∂ϕ1

∂ϑ= |G−O| sinϑ (2.48c)

∂ϕ2

∂xG= 0 (2.48d)

∂ϕ2

∂yG= 1 (2.48e)

∂ϕ2

∂ϑ= − |G−O| cosϑ (2.48f)

Ne risulta

mxG + λ1 = 0 (2.49a)

myG + λ2 = −mg (2.49b)

JGϑ+ |G−O| sinϑλ1 − |G−O| cosϑλ2 =M (2.49c)

xG − |G−O| cosϑ = 0 (2.49d)

yG − |G−O| sinϑ = 0. (2.49e)

In entrambi i casi mediante sostituzioni e possibile riottenere l’equazione precedente.E evidente come l’uso delle equazioni di Lagrange del primo tipo dia luogo a sistemi di equazioni molto

piu grandi rispetto, ad esempio, alle equazioni del secondo tipo, che consentono di ricavare direttamentele equazioni pure del moto, in numero pari ai gradi di liberta effettivi del problema.

Tuttavia, la scrittura delle equazioni del primo tipo puo essere piu facilmente automatizzabile, acondizione di risolvere poi un problema di equazioni sia algebriche che differenziali.

Un vantaggio significativo e che nelle equazioni del primo tipo occorre soltanto calcolare la derivataprima delle equazioni di vincolo, per scrivere i coefficienti con cui i moltiplicatori λk agiscono sulleequazioni cardinali del moto. Viceversa, le equazioni del secondo tipo richiedono di derivare le equazionidi vincolo per esplicitare le variabili cinematiche dipendenti in funzione delle coordinate libere, e fino alladerivata seconda, per poter scrivere le forze d’inerzia.

Un altro vantaggio e dato dal fatto che in presenza di vincoli non lisci per risolvere le equazioni delmoto occorre conoscere a priori le reazioni vincolari associate a tali vincoli. Le equazioni di Lagrangedi Io tipo consentono di scrivere il problema direttamente sotto forma di sistema di equazioni in cui alleincognite cinematiche si aggiungono quelle di reazione, e quindi di esprimere opportunamente le forzeattive che dipendono dalle reazioni vincolari associate ai vincoli non lisci. Si veda a tal proposito ilCapitolo 7, in cui viene discusso l’attrito.

Esercizio 2.2 Utilizzando il formalismo delle equazioni di Lagrange di Io tipo si scrivano le equazioni delmoto di un punto materiale di massa m, nel piano verticale, descritto mediante le componenti cartesianedella sua posizione, x e y, vincolato a scorrere lungo un piano inclinato di un angolo α.

Esercizio 2.3 Si consideri un punto materiale di massa m, posto nel piano verticale, spinto da unaforza orizzontale f(t) e vincolato a scorrere lungo una guida ideale (liscia), la cui quota y dipende dallaposizione in direzione orizzontale x secondo la funzione regolare y = y(x). Si scriva l’equazione del motodel punto materiale e si ricavi la reazione vincolare scambiata con la guida utilizzando, nell’ordine, gliequilibri dinamici, il principio dei lavori virtuali, il teorema dell’energia cinetica (verificandone l’appli-cabilita) e le equazioni di Lagrange di IIo e di Io tipo, nel caso in cui y = y0 sin(2πx/L). Si valutino ivantaggi e gli svantaggi dei diversi approcci.

2-8

Capitolo 3

Cinematica e dinamica dei sistemi dicorpi rigidi


3.1 I sistemi di corpi rigidi

I risultati ottenuti nel Capitolo 1 per un singolo corpo rigido possono essere estesi al caso di un sistemadi corpi rigidi ricordando dalla Meccanica Razionale che:

condizione necessaria e sufficiente perche un sistema di corpi rigidi sia in equilibrio e che siain equilibrio ciascuna sua parte considerata rigida.

Ovviamente, per applicare questo criterio alla condizione dinamica, occorrera estendere il concetto diequilibrio statico al caso dinamico, ossia inserire nelle equazioni anche le forze e coppie di inerzia agentisui vari corpi componenti il sistema. Dalla condizione sopra citata discende che per un sistema compostoda n corpi rigidi possono scriversi n sistemi di equazioni vettoriali del tipo (1.11):

~Fj + ~Fi,j = 0

~MO,j + ~Ci,j + (Gj −O) ∧ ~Fi,j = 0(3.1)

che, opportunamente proiettate, daranno luogo, per un sistema piano, a 3× n equazioni scalari indipen-denti. Nel sistema di equazioni (3.1) il vettore risultante delle forze agenti sul generico corpo j-esimo,~Fj , comprende:

• le forze esterne agenti sul solo corpo j;

• le reazioni vincolari corrispondenti agli eventuali vincoli che collegano il corpo j a terra;

• le reazioni vincolari corrispondenti agli eventuali vincoli che collegano il corpo j agli altri corpi delsistema.

Queste equazioni consentono di calcolare 3×n incognite che, in genere, saranno in larga parte costituitedalle reazioni vincolari, e che inoltre comprenderanno:

• un numero di parametri cinematici incogniti (componenti di accelerazione periferica o angolare deicorpi) pari al numero di gradi di liberta del sistema, nel caso in cui si voglia risolvere un problemadi dinamica diretta;

• un numero di componenti di forza o coppia incognite pari al numero di gradi di liberta del sistema,nel caso in cui si voglia risolvere un problema di dinamica inversa.

3-1

Naturalmente, in base a quanto affermato sopra, una coppia di equazioni di equilibrio dinamico aventila forma (3.1) puo essere scritta per qualsiasi parte del sistema, non necessariamente formata dal singoloj-esimo corpo rigido, ma ad esempio da piu corpi uniti fra loro da vincoli. In questo caso, le tre equazioniscalari di equilibrio dinamico che si possono scrivere conterranno:

• le forze esterne agenti su tutti i corpi facenti parte di quella porzione del sistema per cui si scrivela condizione di equilibrio dinamico;

• le reazioni vincolari corrispondenti agli eventuali vincoli che collegano a terra la parte di sistemaconsiderata;

• le reazioni vincolari corrispondenti agli eventuali vincoli che collegano la porzione considerata alresto del sistema; non compariranno pero le forze scambiate tra i corpi appartenenti alla parte disistema considerata, in quanto forze interne1.

In ogni caso, e facile verificare che qualunque nuova equazione si scriva in aggiunta al sistema (3.1)e combinazione lineare delle equazioni gia contenute in quel sistema. In altre parole, l’equilibrio di unsistema di n corpi consente di scrivere solamente 3×n equazioni scalari linearmente indipendenti. Fermorestando questo numero massimo di equazioni, di volta in volta potra essere piu opportuno e semplice,per il tipo di sistema considerato, scegliere di imporre l’equilibrio parziale di un solo corpo, di una partedi sistema formata da piu corpi o addirittura dell’intero sistema, tenendo conto delle avvertenze soprariportate su quali forze includere in tali equazioni.

3.2 Dipendenza dell’equilibrio dalla configurazione

La scrittura delle equazioni di equilibrio dipende dalla conoscenza della configurazione del sistema, ovverodelle posizioni relative tra le parti che lo compongono, e dalla capacita di descriverne le variazioni infunzione delle variabili indipendenti che lo caratterizzano, per due ordini di motivi:

• la scrittura delle equazioni di equilibrio richiede la conoscenza della posizione dei punti di appli-cazione delle forze che agiscono sui corpi, dell’orientazione dei corpi sui quali agiscono le coppie, edella posizione dei poli rispetto ai quali si scrivono le equazioni di equilibrio dei momenti

• le forze e le coppie agenti sui corpi che costituiscono il sistema possono dipendere a vario titolodalla configurazione e dalle sue derivate.

La descrizione della cinematica del sistema in funzione delle variabili indipendenti prescelte si ottienemediante la scrittura delle equazioni cinematiche che esprimono i vincoli tra le varie parti del sistema,come illustrato nel Capitolo 1.2.2. La derivazione delle equazioni di vincolo, a sua volta, consente diesprimere le derivate delle variabili cinematiche che descrivono la configurazione del sistema in funzionedelle derivate delle variabili indipendenti. Tali derivate sono essenziali per la scrittura delle forze da lorodipendenti.

3.2.1 Cinematica

I sistemi di corpi tra i quali e consentito movimento relativo si chiamano catene cinematiche. La de-scrizione delle catene cinematiche, siano esse aperte o chiuse, avviene rappresentando ogni corpo comeun insieme di vettori che collegano i punti nei quali i corpi sono vincolati l’uno all’altro. Dal momentoche i vettori sono entita matematiche che descrivono entita fisiche, con essi si possono scrivere e risolvereequazioni. In figura 3.1 e illustrato il passaggio da un problema fisico, un pistone in movimento all’in-terno di un motore alternativo, al corrispondente modello matematico, ovvero un insieme di vettori chedescrivono i punti in cui sono applicati i vincoli tra i diversi corpi costituenti il sistema.

1Ricordando difatti il principio di azione e reazione, a ciascuna forza se ne accompagnera una uguale e contraria, conuguale retta di applicazione, di modo che il contributo di queste due forze sara complessivamente nullo, sia per quantoriguarda il vettore risultante ~F che per il momento ~M0 rispetto al polo O considerato.

3-2

Figura 3.1: Motore alternativo.

Equazione di chiusura

L’equazione vettoriale di chiusura di un percorso ad anello nello spazio consiste nella somma vettoriale ditutti i vettori che costituiscono un percorso ad anello della catena cinematica, che quindi risulta nulla. Econveniente utilizzare questo metodo per la scrittura delle equazioni di vincolo per le catene cinematichechiuse, in quanto si sfrutta il fatto che un percorso chiuso, durante l’operativita della macchina, simantiene tale. Se ne ricavano 3 equazioni scalari di vincolo nello spazio; 2 nel piano.

Attraverso la scrittura di opportune equazioni di vincolo, tutti i parametri di configurazione di unmeccanismo possono essere descritti in funzione delle variabili indipendenti del problema. Non tuttele equazioni di chiusura che si possono scrivere sono linearmente indipendenti; ad esempio, se lo stessoanello chiuso viene sommato una volta in un verso e un’altra volta nel verso opposto si ottiene due voltela stessa equazione. Occorre quindi aver cura di descrivere, con ogni equazione di chiusura, un diversopercorso.

Si consideri ad esempio il sistema in figura 3.2, la gamba di un carrello principale di un velivolo dacombattimento. Esso costituisce un chiaro esempio di catena cinematica chiusa. I 3 corpi costituentisono la parte fissa e la parte basculante della gamba, e l’ammortizzatore2. I corpi siano descritti mediantevettori che congiungono i punti di vincolo, ossia, nel caso in esame, i punti in cui sono collocate le cerniereche consentono la rotazione relativa tra le parti:

• la parte fissa della gamba e rappresentata dal vettore (A− C), di lunghezza e orientazione costanti;

• la parte basculante della gamba e rappresentata dal vettore (B −A), di lunghezza costante eorientazione variabile;

• l’ammortizzatore e rappresentato dal vettore (C −B), di lunghezza e orientazione variabili.

2In realta l’ammortizzatore e costituito da due corpi tra i quali e consentita solamente la traslazione lungo l’asse, edeventualmente la rotazione attorno allo stesso asse. Nel caso in esame, tuttavia, e sufficiente ed opportuno considerare unsolo corpo, la cui lunghezza possa variare.

3-3

Figura 3.2: Carrello di atterraggio (carrello principale di un F18).

La configurazione dipende quindi dalle tre grandezze cinematiche variabili appena menzionate. L’e-quazione di chiusura e

(A− C) + (B −A) + (C −B) = ~0 (3.2)

In un problema piano, l’equazione vettoriale (3.2) rappresenta 2 equazioni scalari, che possono essereinterpretate come le proiezioni dell’equazione (3.2) sugli assi che definiscono il sistema di riferimentoconsiderato.

Formalismo dei numeri complessi

Quando si considerano problemi piani, e spesso vantaggioso utilizzare il formalismo dei numeri complessi,ovvero l’analogia tra il piano cartesiano ed il piano complesso (o piano di Gauss), per cui la proiezione sudue assi coordinati ortogonali viene ricondotta alla decomposizione dei numeri complessi in parte realeed immaginaria.

Un generico vettore ~v nel piano ha due componenti,

~v =

vxvy

(3.3)

Quindi, nel piano complesso, puo essere rappresentato come

~v = vx + ivy. (3.4)

L’uso dei numeri complessi in notazione esponenziale rende particolarmente vantaggioso questo metodoqualora si voglia esprimere i vettori in termini di modulo e anomalia, ove l’anomalia, per tutti i vettori,deve essere valutata a partire da un comune riferimento, ovvero una direzione parallela all’asse reale, converso positivo dell’anomalia in senso antiorario. Quindi un vettore

~v = |v|

cos θsin θ

(3.5)

viene rappresentato nel piano complesso come

~v = |v| eiθ, (3.6)

in quanto eiθ = cos θ + i sin θ.Nell’esempio in questione siano

3-4

• a e α il modulo e l’anomalia del vettore (B −A), con a costante in quanto (B −A) e rigido;

• b e β il modulo e l’anomalia del vettore (C −B), entrambi variabili;

• c e γ il modulo e l’anomalia del vettore (A− C), entrambi costanti, in quanto (A− C) e il telaio.

L’equazione di chiusura (3.2) diventa

aeiα + beiβ + ceiγ = 0 (3.7)

Questa equazione in variabili complesse corrisponde a due equazioni in variabili reali,

a cosα+ b cosβ + c cos γ = 0 (3.8a)

a sinα+ b sinβ + c sin γ = 0 (3.8b)

I parametri cinematici incogniti sono 3; di conseguenza, attraverso l’equazione di chiusura, si ottengonole due relazioni che consentono di descrivere il movimento dell’intera catena cinematica in funzione di unsolo parametro, che rappresenta la coordinata libera del sistema.

Esistono tre combinazioni di parametri da esplicitare in funzione della coordinata libera:

1. due angoli; si ottiene un problema non-lineare trascendente, di cui tuttavia la soluzione, se esiste,e ottenibile in forma chiusa

2. un angolo ed una lunghezza; si ottiene di nuovo un problema non-lineare trascendente, la cuisoluzione, se esiste, e di nuovo esplicitabile in forma chiusa

3. due lunghezze; si ottiene un problema lineare.

Esercizio 3.1 Si consideri un’equazione di chiusura nella forma della (3.7), in cui α, b e c sono costanti,e si esprimano β e γ in funzione di a.

Esercizio 3.2 Si consideri un’equazione di chiusura nella forma della (3.7), in cui α, b e c sono costanti,e si esprimano β e a in funzione di γ.

Esercizio 3.3 Si consideri un’equazione di chiusura nella forma della (3.7), in cui α, β e c sono costanti,e si esprimano a e b in funzione di γ.

Un vantaggio che si ha con l’uso di questa notazione consiste nella possibilita di derivare l’equazionedi chiusura con una notevole facilita, eseguendo una sola operazione di derivazione, per poi separare ilrisultato in parte reale ed immaginaria ad ottenere le due equazioni scalari derivate di vincolo.

Nel seguito verra illustrata un’applicazione di questo formalismo alla descrizione del movimento diun pistone in un motore a combustione interna.

3.2.2 Forze dipendenti dalla configurazione

Nei sistemi meccanici possiamo riconoscere tre classi di forze legate alla geometria, ovvero:

• forze dipendenti dagli spostamenti del sistema;

• forze dipendenti dalle velocita del sistema;

• forze dipendenti dalle accelerazioni del sistema; queste ultime comprendono le forze d’inerzia, etipicamente si limitano ad esse.

3-5

Figura 3.3: Curva caratteristica di una molla.

Forze dipendenti dagli spostamenti del sistema

Possono essere prodotte o da una deformazione di un elemento del sistema (come nel caso dell’elongazionedi una molla o della torsione di un albero) oppure per effetto del movimento in un campo di forze(gravitazionale, elettrostatico, elettromagnetico). Sperimentalmente si verifica che la forza f necessariaad imporre uno spostamento relativo ξ tra due corpi rigidi dipende da ξ stesso. In figura 3.3, i cerchibianchi rappresentano i valori sperimentali. Anche se il legame fra f (ξ) e ξ e non lineare, in molti casi diinteresse applicativo se ne puo utilizzare un’approssimazione lineare. Essa e ottenuta nel modo seguente:

• indichiamo con f (ξ∗) la forza agente fra i due corpi in condizioni di equilibrio statico per un’e-longazione ξ∗;

• incrementando la forza di una quantita ∆f , i corpi si allontaneranno di una quantita ∆ξ. La nuovaforza agente f (ξ∗) + ∆f puo anche essere calcolata usando l’espansione in serie di Taylor attornoalla posizione di equilibrio statico ovvero

f (ξ∗) + ∆f = f (ξ∗ +∆ξ) = f (ξ∗) +df

dξ

∣∣∣∣ξ∗

∆ξ +1

2!

d2f

dξ2

∣∣∣∣ξ∗

∆ξ2 + . . . (3.9)

Per piccoli valori di elongazione, le derivate di ordine superiore al primo possono essere trascurate,per cui

f (ξ∗) + ∆f ∼= f (ξ∗) +df

dξ

∣∣∣∣ξ∗

∆ξ (3.10)

ovvero

∆f ∼= df

dξ

∣∣∣∣ξ∗

∆ξ = k∆ξ (3.11)

ove k e pari a:

k =df

dξ

∣∣∣∣ξ∗

(3.12)

e rappresenta il coefficiente angolare della tangente locale alla curva sperimentale che lega le forzef alle elongazioni ξ, ovvero la forza applicata che, in condizioni statiche, induce un’elongazioneunitaria.

3-6

Rigidezza equivalente di elementi elastici continui. In molti casi, il valore approssimato del-la rigidezza k di elementi elastici puo essere stimato utilizzando le formule fornite dalla Scienza delleCostruzioni3.

Ad esempio la rigidezza torsionale di un albero puo essere calcolata ricordando che in condizioni diequilibrio statico, ovvero trascurando l’inerzia dell’albero stesso supposto omogeneo, l’angolo di rotazioneΨstat di una sezione generica di coordinata z rispetto alla sezione z = 0 e proporzionale a z stesso e vale

Ψstat

z= q

Mt

GJp(3.13)

oveG e il modulo di elasticita tangenziale del materiale di cui e composto

l’albero;Jp e il momento polare d’inerzia della sezione;Mt e il momento torcente equivalente alla distribuzione degli sforzi

sulla sezione normale;q e il fattore di torsione.Nel caso particolare di torsione circolare, in cui le sezioni si mantengono piane, q e uguale a 1. Ne

deriva che il momento torcente Mt che induce una rotazione Ψstat unitaria in una sezione di estremitarispetto all’altra in un albero omogeneo a sezione circolare lungo l, ovvero la rigidezza torsionale ktdell’albero stesso, e pari a:

kt =GJpl

(3.14)

Con analoghi approcci, sempre utilizzando quanto imparato nel corso di Scienza delle Costruzioni, epossibile valutare, sempre nelle ipotesi di Saint Venant, la rigidezza in alcuni punti significativi di traviomogenee variamente vincolate agli estremi, come illustrato in Tabella 3.1, oveA e l’area della sezione trasversale;E e il modulo di elasticita normale del materiale (o di Young) di cui

e composto l’albero;J e il momento d’inerzia della sezione trasversale;l lunghezza di libera inflessione della trave (l = a+ b).

Rigidezza equivalente dovuta a campi di forze dipendenti dalla posizione. Per quanto riguar-da il caso di campi di forze, supponiamo di studiare che cosa succede a un galleggiante cilindrico comequello illustrato in figura 3.4, opportunamente zavorrato, che si muova solo in direzione verticale. Trascu-rando ogni moto del liquido che possa interferire col sistema, il cilindro si dispone, in condizioni statiche,con la sua faccia superiore a una quota h dal pelo libero in modo che il suo peso sia equilibrato dallaspinta di Archimede. Se il cilindro e spostato verticalmente di una quantita x, la forza di galleggiamentovaria di una quantita pari al peso del volume di fluido spostato, ovvero

∆f = ρgAx = kx (3.20)

dove ρ e la densita del liquido, g l’accelerazione di gravita e A l’area di base del cilindro. La variazione diforza e opposta allo spostamento x, e tendente a riportare il cilindro nella posizione di equilibrio statico.

Esercizio 3.4 Illustrare altri esempi di forze dipendenti dalla posizione.

Forze dipendenti dalla velocita del sistema

Tra le forze dipendenti dalla velocita, di interesse rilevante in meccanica sono quelle che introduconodissipazione, in quanto si oppongono al verso del moto e quindi compiono sempre lavoro negativo.

3Queste note sono state scritte quando il corso di Dinamica dei Sistemi Aerospaziali era preceduto, nell’ordinamentodegli studi D.M. 509, dal corso di Scienza delle Costruzioni. Nell’ordinamento corrente, D.M. 270, i due corsi sono inparallelo, per cui gli studenti avranno le nozioni necessarie per valutare le rigidezze equivalenti solo al termine del semestre.Queste note vanno quindi considerate a titolo di esempio, ed eventualmente meditate durante la preparazione dell’esameanche alla luce di quanto appreso nel frattempo dallo studio della Scienza delle Costruzioni.

3-7

Tabella 3.1: Rigidezze equivalenti di travi variamente vincolate.condizioni di carico e divincolo

rigidezza equivalente lun-go la direzione del cariconel punto di applicazionedello stesso

trave sollecitata a carico as-siale (libera-libera)

k =EA

l(3.15)

trave sollecitata a flessione(appoggio-appoggio)

k =3EJl

a2b2(3.16)

trave sollecitata a flessione(incastro-libera)

k =3EJ

l3(3.17)

trave sollecitata a flessione(incastro-appoggio)

k =768EJ

7l3(3.18)

trave sollecitata a flessione(incastro-incastro)

k =192EJ

l3(3.19)

3-8

Figura 3.4: Galleggiante

Si differenziano tra loro per la natura del fenomeno da cui hanno origine e per la dipendenza chemostrano dal modulo della velocita.

Nel caso di strisciamento tra corpi a contatto, si ha il fenomeno dell’attrito dinamico, indicato infigura 3.5 con il nome di attrito secco, che verra ulteriormente discusso nel Capitolo 7. L’entita dellaforza di attrito non dipende sostanzialmente dalla velocita relativa, salvo che in prossimita dell’arresto odel primo distacco.

Qualora il contatto avvenga tra un corpo e un fluido, dalla Fluidodinamica e noto che le particelledi fluido immediatamente a contatto con le superfici del corpo sono ferme4 rispetto al corpo, mentre ingenerale le particelle del fluido sono in moto relativo fra loro. Mediante considerazioni sviluppate neiCapitoli 10 e 11, si ricava una proporzionalita diretta tra forza e velocita del fluido nel caso di flussolaminare, che diventa quadratica in caso di flusso turbolento.

Il rapporto tra la pressione dinamica e gli sforzi di attrito va sotto il nome di numero di Reynolds5,indicato con Re, e, in base alla esperienza di Sir Osborne Reynolds, rappresenta un indicatore del tipodi regime piu probabile del moto del fluido:

• se il numero di Reynolds e relativamente basso (Re < 1100), in quanto il moto relativo tra leparticelle di fluido e relativamente lento, oppure se la viscosita del fluido e relativamente alta, ilmoto di quest’ultimo e generalmente laminare; la forza d’attrito che nasce, detta di smorzamentoviscoso, puo ritenersi direttamente proporzionale alla velocita relativa.

• se invece il numero di Reynolds e sufficientemente alto (Re > 3500) il moto del fluido si manifestain forma turbolenta, e la forza di attrito risulta essere a grandi linee proporzionale al quadrato dellavelocita relativa tra corpo e fluido.

4In realta, per uno strato di spessore confrontabile con il libero cammino medio delle molecole di fluido a partire dallaparete, le particelle hanno una velocita dell’ordine di quella di agitazione molecolare.

5Il numero di Reynolds e definito come il rapporto tra la pressione dinamica e gli sforzi viscosi caratteristici del fenomenofluidodinamico in esame; ad esempio, nel caso di movimento relativo di scorrimento tra superfici piane di corpi tra cui siainserito un sottile strato di fluido, ove si assuma una variazione lineare di velocita in direzione trasversale al moto, si ha

Re =

1

2ρv2

µv

D

,

dove v sia la velocita relativa tra i corpi e D la loro distanza. A meno della costante 1/2, si ottiene l’espressione consueta

Re =ρvD

µ.

3-9

Figura 3.5: Andamento sperimentale (o) e approssimato delle forze di attrito secco, viscoso e con leggequadratica in funzione della velocita relativa.

• per valori intermedi del numero di Reynolds il tipo di moto puo essere sia laminare che turbolento,e la transizione da una forma all’altra puo avvenire in conseguenza di piccole perturbazioni sia delmoto, sia dei parametri che lo caratterizzano.

Gli aspetti rilevanti dell’interazione tra corpi e fluidi verranno discussi in seguito nel Capitolo 11.Nella figura 3.5 sono rappresentati gli andamenti sperimentali tipici per i tre casi di forze dipendentidalla velocita citati in questo paragrafo e le loro approssimazioni.

Forze d’inerzia

Tra le forze dipendenti dal movimento del sistema hanno un ruolo particolarmente importante le forzed’inerzia. La loro scrittura non differisce da quanto osservato per il caso del singolo corpo rigido, inquanto ogni corpo e soggetto alle sole forze e coppie d’inerzia risultanti dalla propria inerzia e dallapropria cinematica; nel caso piano, le (1.25a, 1.25b) si applicano direttamente al corpo j-esimo nellaforma:

~Fij = −mj ~xGj (3.21)

CGij = −JGiωj (3.22)

Per la scrittura delle forze d’inerzia e quindi fondamentale la capacita di descrivere la configurazione, levelocita e le accelerazioni lineari ed angolari di ogni corpo in funzione delle coordinate libere del problema.A tal fine, nel caso di catene cinematiche, e fondamentale la scrittura e la soluzione dell’equazione dichiusura e delle sue derivate fino al secondo ordine.

3.3 Esempio: il manovellismo ordinario centrato

Si tratta di un meccanismo a catena chiusa, utilizzato per convertire il moto rotatorio in moto traslatoriorettilineo alternato (e viceversa). E uno dei meccanismi piu utilizzati, e trova impiego, ad esempio,nei motori a combustione interna (figura di riferimento) nelle presse, nelle pompe e nei compressorialternativi.

3-10

Figura 3.6: Il manovellismo ordinario centrato.

Figura 3.7: L’equazione di chiusura per l’analisi cinematica; il puntoB′ indica lo schema di montaggio corrispondente alla radice negativanell’equazione (3.28), che corrisponde ad un cambio di osservatore.

3.3.1 Analisi cinematica

Un motore monocilindrico e costituito da un albero motore che porta una manovella di lunghezza a, uncorsoio o pistone che scorre nel cilindro, ed una biella di lunghezza b che collega l’estremita della manovellaal corsoio. Lo schema cinematico mostrato in figura 3.6 comprende la manovella (O −A), in grado dicompiere una rotazione completa, e la biella (A−B), alla cui estremita B e collegato il corsoio. Siassuma che (A−B) sia maggiore di (O −A), affinche l’elemento (O −A) possa effettivamente compiereun giro completo.

La scrittura dell’equazione di chiusura, come illustrato in figura 3.3.1, porta a scrivere

(A−O) + (B −A) = (B −O) (3.23)

che in forma complessa diventa:

aeiα + beiβ = cei0 = c (3.24)

Derivando rispetto al tempo la (3.24) si ottiene il legame tra la velocita del corsoio, c, e quella degli altrimembri del cinematismo:

iαaeiα + iβbeiβ = c (3.25)

La successiva derivazione rispetto al tempo fornisce l’espressione dell’accelerazione c del punto B:

iαaeiα − α2aeiα + iβbeiβ − β2beiβ = c (3.26)

La precedente equazione di chiusura (3.23) puo essere riscritta separando parte reale ed immaginaria,cosa che corrisponde a scrivere le componenti orizzontale e verticale dell’equazione vettoriale:

a cosα+ b cosβ = ca sinα+ b sinβ = 0

(3.27)

in cui la seconda equazione costituisce la condizione di vincolo del punto B, ossia l’appartenenza all’asse x.Le equazioni sopra descritte costituiscono un sistema di equazioni non lineare; gli angoli α e β compaiono

3-11

infatti come argomenti di funzioni trigonometriche. In questo primo esempio la posizione del corsoio Be l’inclinazione della biella in funzione dell’angolo di di cui ruota la manovella divengono6:

c = a cosα+ b

√√√√1−

(

a

bsinα

)2

β = sin−1

(

−absinα

) (3.28)

Per ottenere velocita ed accelerazione del puntoB possiamo rispettivamente proiettare le equazioni (3.25)e (3.26) sull’asse reale e su quello immaginario, che corrisponde a derivare il sistema di equazioni (3.27):

−αa sinα− βb sinβ = c

αa cosα+ βb cosβ = 0(3.29)

che ammette la soluzione:

c = −aα (sinα− cosα tanβ)

β = −α(

a cosα

b cosβ

)

(3.30)

Il sistema (3.29) puo essere scritto in modo particolarmente significativo in forma matriciale, in quantoe necessariamente lineare nelle derivate delle variabili cinematiche:

[1 b sinβ0 −b cosβ

]c

β

=

− sinαcosα

aα (3.31)

Perche sia risolubile in ogni configurazione, il determinante

det

([1 b sinβ0 −b cosβ

])

= −b cosβ (3.32)

non deve mai annullarsi. Questa condizione e sempre verificata se b > a, perche in tal caso l’angolo βe limitato a valori −π/2 < β < π/2. Altre scelte di variabile cinematica indipendente diversa da α nonverificano la condizione; ad esempio, se si sceglie c, il sistema (3.29) diventa

[−a sinα −b sinβa cosα b cosβ

]α

β

=

10

c (3.33)

il cui determinante

det

([−a sinα −b sinβa cosα b cosβ

])

= ab sin (β − α) (3.34)

si annulla per α = β e per α = β+π, ovvero ai punti morti inferiore e superiore, nei quali c e nulla ma lavelocita angolare di biella e manovella puo assumere qualsiasi valore, purche nella proporzione espressadalla seconda delle (3.30). In tali condizioni, il sistema e indeterminato.

La successiva derivazione porta a definire le accelerazioni:

−αa sinα− α2a cosα− βb sinβ − β2b cosβ = c

αa cosα− α2a sinα+ βb cosβ − β2b sinβ = 0(3.35)

Si noti che se si esprimono le (3.35) in forma matriciale[

1 b sinβ0 −b cosβ

]c

β

=

− sinαcosα

aα+

α2a cosα+ β2b cosβ

α2a sinα+ β2b sinβ

(3.36)

si ottiene un’espressione caratterizzata dalla stessa matrice utilizzata per la derivata prima dell’equazionedi chiusura, la (3.31).

6Si noti che nella prima delle (3.28) il radicando e sempre positivo perche si e ipotizzato b > a affinche la manovellapossa compiere un giro completo. Inoltre, si e scelta la radice positiva di c come regola di montaggio del meccanismo, comeillustrato in figura 3.3.1; la scelta della radice negativa come regola di montaggio avrebbe mostrato il corsoio diretto dallaparte opposta, corrispondente ad un cambio di osservatore. E importante sottolineare che, dal punto di vista matematico,le due regole di montaggio sono assolutamente equivalenti; e necessario operare una scelta all’atto del montaggio, in quantonon e possibile passare dall’una all’altra posizione durante il regolare funzionamento della macchina.

3-12

Figura 3.8: La sequenza del ciclo termodinamico di un motore a 4 tempi a partire (a sinistra) dalla fasedi aspirazione, seguita da compressione, espansione e scarico.

3.3.2 Forza dipendente dalla posizione: pressione nella camera

All’interno della camera di dimensioni variabili delimitata lateralmente dal cilindro, inferiormente dalcielo del pistone e superiormente dalla camera di combustione, si ha un andamento variabile dellapressione p, determinato dall’alternarsi delle quattro fasi di funzionamento del motore: aspirazione(0 ≤ α ≤ π), compressione (π ≤ α ≤ 2π), espansione (2π ≤ α ≤ 3π) e scarico (3π ≤ α ≤ 4π) deigas combusti.

L’andamento della pressione pg all’interno della camera di dimensioni variabili e normalmente rapp-resentato sotto forma di un diagramma avente per ascisse il volume geometrico effettivo veff = veff (α)della camera

veff (α) = v2 + (a+ b− c (α))πD2

4(3.37)

ove D e il diametro del cilindro, detto anche alesaggio, e v2 e il volume nocivo, ovvero il volume dellacamera quando il corsoio, o pistone, si trova al massimo della sua corsa, posizione detta anche puntomorto superiore. Dal momento che il manovellismo in esame e centrato, ovvero l’asse del corsoio passaper l’asse di rotazione del motore, questa condizione si ha per α = 0, quando a, b e c sono allineati equindi a+ b = c.

La pressione pg = pg (α) risulta cosı funzione implicita della rotazione della manovella α secondo ilciclo ideale di figura 3.9 nell’ipotesi di compressione ed espansione adiabatica.

Con riferimento alla figura 3.9, la fase 5-1 rappresenta l’aspirazione, la 1-2 la compressione adiabatica,la 2-3 lo scoppio, che si suppone avvenga a volume costante con la produzione del calore Q1, ove

Q1 = cv (T3 − T2) (3.38)

avendo chiamato cv il calore specifico a volume costante della miscelaLa fase 3-4 e quella di espansione adiabatica durante la quale viene prodotto lavoro meccanico, ed

infine la 4-1 e la 1-5 costituiscono la fase di scarico dei gas combusti, con la cessione nella parte iniziale4-1 del calore Q2 a una sorgente piu fredda, come richiede il IIo Principio della Termodinamica.

Sul cielo del pistone agisce pertanto la forza Fg (α), che rappresenta la risultante delle pressioni agentisullo stantuffo, pari a:

Fg (α) = πD2

4(pg (α)− patm) = π

D2

4p∗g (α) (3.39)

3-13

Figura 3.9: Ciclo ideale termodinamico per unita di volume d’aria aspirata.

dove p∗g (α) e la pressione relativa, in quanto non dobbiamo dimenticare che la faccia interna del cielo delcorsoio e sottoposta all’azione della pressione atmosferica patm.

3.3.3 Forze d’inerzia: masse equivalenti

Nell’esempio corrente si supporra poi che sull’albero motore, ossia sulla manovella, agisca un momentoMr

di valore incognito, opposto alla velocita angolare dell’albero. Tale momento rappresenta la sollecitazioneinterna all’albero motore dovuta ad un utilizzatore che sfrutti la potenza erogata dal motore stesso.

Per quanto riguarda le inerzie del sistema, si supporra che sull’albero motore sia calettato un volanocon momento di inerzia Jm, e che il corsoio abbia massa mB . Le inerzie della biella possono essereconsiderate, in via approssimata, attraverso due masse puntiformi, m1 e m2 poste nel centro della testae del piede della biella stessa:

• la massa m1, idealmente posta al centro foro all’estremita, detta testa di biella, in cui la biella siconnette alla manovella, si muove solidalmente con la manovella, per cui fornisce un contributo diinerzia in aggiunta al momento di inerzia Jm di quest’ultima:

Jt = Jm +m1a2 (3.40)

• la massa m2, idealmente posta al centro del foro all’estremita opposta, detta piede di biella, simuove insieme al pistone, e quindi va sommata alla massa mB del pistone propriamente detto:

mc = mB +m2 (3.41)

Si ricorda che la riduzione delle inerzie della biella a due masse puntiformi consente di riprodurre lamassa complessiva della biella e la posizione del baricentro di questa, ma introduce una approssimazioneper quanto riguarda il momento di inerzia baricentrico della biella, che viene ad assumere il valore

JGBapprox = m1l21 +m2l

22 (3.42)

anziche quello effettivo.Con riferimento alla figura 3.10, le masse m1 e m2 si ricavano dal sistema di equazioni[

1 1l1 −l2

]m1

m2

=

mbiella

0

(3.43)

3-14

Figura 3.10: Approssimazione della biella a masse concentrate.

Figura 3.11: Albero a gomiti per motore d’aviazione a doppia stella.

Si fa inoltre l’ipotesi che il baricentro dell’insieme formato dalla manovella e dalla frazione m1 dellamassa della biella in movimento con essa sia coincidente con il punto O, ossia con l’asse di rotazione, comeavviene nella realta, grazie ad un opportuno contrappeso. In questo modo il risultante delle forze d’inerziaagenti sulla manovella e nullo in quanto e nulla l’accelerazione del baricentro. Si veda, a proposito, lafigura 3.11, che illustra l’albero a gomiti, ovvero l’insieme delle manovelle, per un motore stellare diimpiego aeronautico.

3.3.4 Diagramma di corpo libero ed equilibrio dinamico

Come evidenziato in precedenza, il sistema presenta un solo grado di liberta. Facendo corrispondere unareazione vincolare a ciascun grado di vincolo, ed una azione attiva libera al grado di liberta residuo, nelleequazioni di equilibrio vengono evidenziate 8 reazioni vincolari e il momento incognito Mr. Tali azioni ereazioni sono poste in evidenza nello schema di figura 3.12, detto diagramma di corpo libero

Il sistema e costituito da tre corpi rigidi ed e pertanto possibile scriverne le equazioni di equilibrio.

• Corsoio:

∑

Fx = 0 → Fg +mcc− SBx = 0 (3.44a)∑

Fy = 0 → ΦB + SBy = 0 (3.44b)∑

MB = 0 → MB = 0 (3.44c)

3-15

Figura 3.12: Le forze agenti sul sistema.

• Biella:

∑

Fx = 0 → SAx + SBx = 0 (3.45a)∑

Fy = 0 → SAy + SBy = 0 (3.45b)∑

MB = 0 → SAxl sinϕ+ SAyl cosϕ = 0 (3.45c)

• Manovella:

∑

Fx = 0 → SOx + SAx = 0 (3.46a)∑

Fy = 0 → SOy + SAy = 0 (3.46b)∑

MO = 0 → −Mr − Jtα− SAxa sinα+ SAya cosα = 0 (3.46c)

Si ricorda che la sommatoria nelle equazioni (3.44a-3.46c) deve comprendere anche il sistema delle forzed’inerzia del corpo considerato.

Il sistema costituito dalle 9 equazioni scalari (3.44a-3.46c) e determinato nelle 9 incognite: SOx, SOy,SAx, SAy, SBx, SBy, MB , ΦB eMr; puo essere risolto equazione per equazione, in cascata. Innanzitutto,la (3.44c) fornisce immediatamente la coppia di reazione esercitata dal cilindro sul pistone. La (3.44a)consente di ricavare la reazione SBx:

SBx = Fg +mcc (3.47)

La (3.45a) e la (3.47) consentono di ricavare la reazione SAx:

SAx = − (Fg +mcc) (3.48)

La (3.45c) e la (3.48) consentono di ricavare la reazione SAy:

SAy = tanϕ (Fg +mcc) (3.49)

3-16

La (3.45b) e la (3.49) consentono di ricavare la reazione SBy:

SBy = − tanϕ (Fg +mcc) (3.50)

La (3.44b) e la (3.50) consentono di ricavare la reazione ΦB :

ΦB = tanϕ (Fg +mcc) (3.51)

La (3.46a) e la (3.48) consentono di ricavare la reazione SOx:

SOx = Fg +mcc (3.52)

La (3.46b) e la (3.49) consentono di ricavare la reazione SOy:

SOy = − tanϕ (Fg +mcc) (3.53)

La (3.46c), la (3.48) e la (3.49) consentono di ricavare il momento Mr:

Mr = −Jtα+ (Fg +mcc) a (sinα+ tanϕ cosα) (3.54)

La scelta di quale insieme di corpi rigidi sia piu opportuno prendere in considerazione nella scritturadelle equazioni di equilibrio dipende dalle grandezze da determinare. L’approccio appena presentato enecessario qualora si dovessero calcolare tutte le reazioni vincolari. Se tuttavia solo alcune delle incognitedevono essere calcolate a priori, mentre la determinazione del resto della soluzione puo essere evitato, epossibile semplificare notevolmente il problema mediante una opportuna scelta di quali equazioni scriveree un opportuno partizionamento del sistema.

Se ad esempio si desidera calcolare direttamente la reazione ΦB , e sufficiente scrivere l’equazionedi equilibrio dei momenti agenti sul solo corsoio, scegliendo come polo il punto B, da cui si ricaval’equazione (3.44c), e quindi scrivere l’equazione di equilibrio dei momenti agenti sul corsoio e sullabiella, scegliendo come polo il punto A, da cui si ricava

−l sinϕ (Fg +mcc) + l cosϕΦB = 0 (3.55)

ovvero direttamente la (3.51).Se invece si desidera calcolare direttamente il momento attivo Mr, si puo ricorrere al teorema dell’en-

ergia cinetica, in quanto il momento Mr e l’unica azione incognita che partecipa al bilancio di potenze.L’energia cinetica e

T =1

2

(Jtα

2 +mcc2)

(3.56)

la cui derivata e

dT

dt= Jtαα+mccc

= (Jtα−mcca (sinα+ tanϕ cosα)) α (3.57)

dove si e fatto uso della prima delle (3.30), con β = 2π − ϕ, mentre la potenza delle forze attive, esclusele forze d’inerzia, e

Π = −Mrα− Fg c (3.58)

ovvero

Π = −Mrα+ Fga (sinα+ tanϕ cosα) α (3.59)

Eguagliando la (3.57) e la (3.59), e semplificando α in entrambi i membri, si ricava direttamente la (3.54),ovvero il momento Mr.

3-17

Capitolo 4

Dinamica dei sistemi di corpi rigidimediante le equazioni di Lagrange

Generato il 10 settembre 2012Si consideri un generico sistema piano a 1 grado di liberta composto da piu corpi rigidi e indichiamo

con q la coordinata libera, variabile indipendente, scelta per descriverne il moto; con y la genericavariabile fisica correlata alla variabile indipendente da una relazione genericamente non lineare dipendenteesplicitamente dal tempo, del tipo:

y = y (q, t) (4.1)

Adottando le equazioni di Lagrange occorre definire, dapprima in funzione delle variabili fisiche y, lediverse forme di energia che concorrono all’energia totale del sistema, ovvero l’energia cinetica, l’energiapotenziale, la funzione di dissipazione e il lavoro virtuale delle rimanenti forze attive.

4.1 Equazione di Lagrange

Indicata con

T = T (q, q, t) (4.2)

l’energia cinetica del sistema, dipendente sicuramente dalla derivata prima q della coordinata libera q,ma potenzialmente anche dalla coordinata libera stessa, e anche dal tempo in caso di vincoli mobili,l’equazione di Lagrange stabilisce che l’equilibrio dinamico e definito dall’uguaglianza

d

dt

(∂T

∂q

)

− ∂T

∂q= Q∗ (q, q, ..., t) (4.3)

ove Q∗ indica la componente generalizzata della sollecitazione attiva per la coordinata libera q, a menodelle forze d’inerzia, le quali sono espresse dai termini derivati a partire dall’energia cinetica.

La componente generalizzata della sollecitazione attiva, a sua volta, puo essere decomposta in

• un contributo espressione di forze puramente conservative, QV , che come tale non puo che dipenderedalla sola1 q;

• un contributo espressione di forze puramente dissipative, QD, ovvero di forze la cui retta d’azionecoincide con quella della velocita y del punto di applicazione e, come tale, dipendente dalla q ma,potenzialmente, anche da q e dal tempo t;

• la parte rimanente, Q, che non sia possibile o non si ritenga opportuno esprimere altrimenti.

1In linea di principio, l’energia potenziale potrebbe dipendere anche dal tempo, nel caso di vincoli mobili; al momentotale ipotesi non viene presa in considerazione.

4-1

Ne risulta

Q∗ (q, q, ..., t) = QV (q) +QD (q) +Q (q, q, ..., t) (4.4)

Si noti che la Q rimanente puo dipendere arbitrariamente da q e dalle sue derivate di qualsivoglia ordine.In linea di principio, potrebbe anche dipendere dall’integrale della coordinata libera q: ad esempio,quando esprima forze di controllo dipendenti da un controllore PID (proporzionale, integrale, derivativo).Senza nulla togliere alla generalita della presentazione, nel corso di Dinamica dei Sistemi Aerospazialiverranno considerate solo forze dipendenti da posizione, velocita e tempo.

Il contributo QV , in quanto espressione di forze conservative, puo essere scritto come opposto delladerivata di una variazione di energia potenziale

∆V (q) = V (q)− V (q0) (4.5)

tale per cui

QV = −dV

dq(4.6)

Il contributoQD, in quanto espressione di forze puramente dissipative, puo essere scritto come oppostodella derivata rispetto a q dell’integrale primo D (q, q, t) della potenza delle forze QD stesse, detto anchefunzione di dissipazione, tale per cui

QD = −∂D∂q

(4.7)

Si definisca quindi la funzione di Lagrange

L = T − V (4.8)

L’equazione del moto si ricava da

d

dt

(∂L

∂q

)

− ∂L

∂q+∂D

∂q= Q (q, q, ..., t) (4.9)

di cui si nota l’analogia con la (4.3).

4.1.1 Energia cinetica

L’energia cinetica T di un generico sistema piano a 1 grado di liberta, composto da nc corpi, e datadalla somma delle singole energie cinetiche Tj associate alle singole masse mj e/o momenti d’inerziabaricentrici Jj che costituiscono il sistema

Tj =1

2

(

mj ~yj × ~yj + Jj ϑ2)

=1

2

(

mj

(y2xi + y2yj

)+ Jj ϑ

2j

)

=1

2

yxiyyjϑj

T

mj 0 00 mj 00 0 Jj

yxiyyjϑj

=1

2

3∑

k=1

mkj y2kj (4.10)

in cui si e indicata con mkj la generica k-esima massa mj o il momento d’inerzia Jj del j-esimo corporigido e con ykj la generica componente della velocita assoluta di traslazione del baricentro del corpo, o

la sua velocita angolare ϑj . L’energia cinetica complessiva e

T =

nc∑

j=1

Tj =1

2

nc∑

j=1

3∑

k=1

mkj y2kj (4.11)

4-2

4.1.2 Energia potenziale

L’energia potenziale V , associata al campo elastico dovuto agli nk elementi elastici di interconnessione ealla presenza di np forze conservative2 ~Pp, assume un’espressione generale del tipo:

V = −∫ ∆ls

0

QV (∆ls) dls

=1

2

nk∑

k=1

kk (∆lk)2 −

np∑

p=1

~Pp × ~yp

=1

2

nk∑

k=1

kk (yk1 − yk2)2 −

np∑

p=1

~Pp × ~yp (4.13)

in cui kk rappresenta la rigidezza del generico k-esimo elemento elastico. Le coordinate fisiche yk1 e yk2rappresentano lo spostamento degli estremi della generica molla, nella direzione della molla stessa (persemplicita di trattazione non si considerano infatti, nella definizione dell’allungamento, gli spostamentiortogonali alla direzione della molla).

Il vettore ~yp rappresenta, invece, lo spostamento del punto d’applicazione della generica forza ~Pp.Gli allungamenti delle molle, ∆lk = (yk1 − yk2), e gli spostamenti dei punti di applicazione delle

forze, ~yp, sono legati da una relazione (lineare o non lineare) all’unica coordinata libera q del sistema; pertale motivo l’energia potenziale V puo essere sinteticamente espressa come funzione della sola variabileindipendente q

V = V (q) (4.14)

4.1.3 Funzione di dissipazione

La funzione di dissipazione e definibile come:

D = −∫ ∆ls

0

QD

(

∆ls

)

dls

=1

2

ns∑

s=1

r(

∆ls

)2

=1

2

ns∑

s=1

r (ys1 − ys2)2

(4.15)

dove si e considerata soltanto la presenza di ns smorzatori viscosi3 ciascuno di costante rk, in cui lacoordinata fisica ∆ls = (ys1 − ys2) rappresenta la velocita relativa cui sono sottoposte le estremita delgenerico s-esimo smorzatore, lungo la direzione dello smorzatore stesso, senza considerare le componentia questa ortogonali nella definizione delle velocita di allungamento.

2Nel seguito si considerano solo forze costanti in modulo, direzione e verso, quale il peso, e forze elastiche lineari persemplificare la trattazione; in realta l’energia potenziale puo essere definita per qualunque forza conservativa integrandoneil lavoro elementare lungo il cammino percorso per passare da a a b:

∆V = V (b)− V (a) = −

∫ b

a

~F × d~s (4.12)

ove d~s sia lo spostamento compiuto dal punto di applicazione della forza. Perche la forza ammetta potenziale, ovviamente,tale integrale deve dipendere solo dagli estremi di integrazione e non dal percorso seguito.

3 Tipicamente si considerano contributi di dissipazione associati a

• attrito radente, a cui si e accennato nel Capitolo 3 e che verra illustrato in dettaglio nel Capitolo 7, per il quale laforza resistente ha espressione

Fr = −rry

|y|= −rrsign (y) (4.16)

dove rr e un coefficiente che in molti casi puo essere ritenuto costante; si tratta di una funzione discontinua maintegrabile, per cui la corrispondente funzione di dissipazione e

Dr = rr |y| (4.17)

4-3

4.1.4 Sollecitazioni attive rimanenti

Consideriamo infine il lavoro virtuale δL compiuto dalle rimanenti nf forze esterne attive ~Ff per unospostamento virtuale δ~yf del loro punto d’applicazione. Risulta

δL =

nf∑

f=1

~Ff × δ~yf (4.22)

Abbiamo in tal modo espresso le diverse forme di energia e di lavoro in funzione delle variabili fisiche y.

4.2 Scrittura dell’equazione di moto del sistema

Analizziamo in dettaglio tutti i contributi all’Equazione di Lagrange.

Energia cinetica. La generica coordinata fisica y e funzione dell’unica coordinata indipendente q; puodipendere esplicitamente dal tempo t:

y = y (q, t) (4.23)

e quindi i termini di velocita delle (4.11, 4.15) varranno:

yjk =dyjkdt

=∂yjk∂q

dq

dt+∂yjk∂t

=∂yjk∂q

q +∂yjk∂t

(4.24)

che, sostituiti nella definizione dell’energia cinetica (4.11), portano alla seguente espressione:

T =

nc∑

j=1

Tj

=1

2

nc∑

j=1

3∑

k=1

mjky2jk

=1

2q2

nc∑

j=1

3∑

k=1

mjk

(∂yjk∂q

)2

+ q

nc∑

j=1

3∑

k=1

mjk∂yjk∂q

∂yjk∂t

+1

2

nc∑

j=1

3∑

k=1

mjk

(∂yjk∂t

)2

=1

2a (q, t) q2 + b (q, t) q + c (q, t)

= T (q, q, t) (4.25)

• resistenza laminare, ovvero comportamento laminare di fluidi viscosi, a cui si e accennato nel Capitolo 3 e che verraulteriormente illustrato in dettaglio nei Capitoli 10 e 11, per i quali vale la relazione

Fv = −rv y (4.18)

dove rv e un coefficiente che in molti casi puo essere ritenuto costante, nel qual caso la funzione di dissipazione e

Dv =1

2rv y

2 (4.19)

• resistenza turbolenta, a cui si e accennato nel Capitolo 3 e che verra illustrato in dettaglio nel Capitolo 11, per ilquale la forza resistente ha espressione

Ft = −rt |y| y (4.20)

dove rt e un coefficiente che in molti casi puo essere ritenuto costante; la corrispondente funzione di dissipazione e

Dt =1

3rt |y| y

2 (4.21)

4-4

ove i termini a (q, t), b (q, t) e c (q, t) valgono:

a (q, t) =

nc∑

j=1

3∑

k=1

mjk

(∂yjk∂q

)2

(4.26a)

b (q, t) =

nc∑

j=1

3∑

k=1

mjk∂yjk∂q

∂yjk∂t

(4.26b)

c (q, t) =1

2

nc∑

j=1

3∑

k=1

mjk

(∂yjk∂t

)2

(4.26c)

La dipendenza esplicita dal tempo delle coordinate fisiche rende tempovariante l’equazione del moto;senza ledere la generalita della trattazione, si considerino per ora coordinate fisiche non dipendentiesplicitamente dal tempo, ovvero la (4.23) si riduca a

y = y (q) , (4.27)

e quindi

b (q, t) = 0 (4.28)

c (q, t) = 0. (4.29)

Poiche il coefficiente definito nella (4.26a) contiene le derivate delle coordinate fisiche rispetto alla coordi-nata libera q, puo a sua volta essere funzione di quest’ultima, rendendo cosı non quadratica l’espressionedell’energia cinetica e quindi non lineare, per i termini inerziali, l’equazione di moto del sistema.

Derivando, infatti, l’energia cinetica espressa dalla (4.25) secondo Lagrange si ottiene:

d

dt

(∂T

∂q

)

− ∂T

∂q= a (q) q +

da (q)

dqq2 − 1

2

da (q)

dqq2 = a (q) q +

1

2

da (q)

dqq2 (4.30)

Esercizio 4.1 Si sviluppi la forma quadratica associata all’energia cinetica nel caso generale in cui valgala (4.23), ovvero la cinematica dipende esplicitamente dal tempo.

Energia potenziale. Consideriamo ora l’energia potenziale V : la sua derivata dV/dq secondo La-grange da origine a un termine lineare nell’equazione del moto solo se V (q) e una forma quadratica in q:cio accade quando yk dipende in forma lineare da q. L’espressione piu generale della derivata dell’energiapotenziale rispetto alla coordinata libera q vale infatti:

dV

dq=

nk∑

k=1

kk (yk1 − yk2)

(∂yk1∂q

− ∂yk2∂q

)

−np∑

p=1

~Pp ×∂~yp∂q

= −fV (q) (4.31)

ed e quindi a sua volta una funzione non lineare di q. La dipendenza esplicita dal tempo non e compati-bile con l’esistenza di un’energia potenziale; indipendentemente dalla dipendenza esplicita o meno dellecoordinate fisiche dal tempo, l’energia potenziale deve dipendere solamente da q.

Funzione di dissipazione. Passando alla funzione di dissipazione D, essa puo essere espressa come:

D =1

2

ns∑

s=1

rs (ys1 − ys2)2=

1

2

ns∑

s=1

rs

(∂ys1∂q

− ∂ys2∂q

)2

q2 =1

2r (q) q2 (4.32)

La funzione di dissipazione D e necessariamente una forma quadratica in q in quanto la derivata primadelle variabili cinematiche e sicuramente lineare in q, come descritto dalla (4.24); tuttavia, i coefficientimoltiplicativi di tale termine possono a loro volta essere funzione della variabile indipendente q. Laderivazione del termine dissipativo secondo Lagrange porta dunque a

∂D

∂q=

ns∑

s=1

rs

(∂ys1∂q

− ∂ys2∂q

)2

q = r (q) q (4.33)

che da origine a un termine non lineare, essendo il coefficiente r (q) in genere funzione ancora di q.

4-5

Lavoro virtuale delle forze rimanenti. Analizziamo ora il lavoro virtuale δL compiuto dalle rima-nenti forze attive esterne; il generico spostamento virtuale δ~yf del punto di applicazione della genericaforzante e definibile:

δ~yf =∂~yf∂q

δq (4.34)

Sostituendo tale relazione nell’espressione del lavoro virtuale si ottiene:

δL =

nf∑

f=1

~F × δ~yf =

nf∑

f=1

~F × ∂~yf∂q

δq (4.35)

L’applicazione della formula di Lagrange porta cosı alla definizione della componente lagrangiana Q dellasollecitazione attiva esterna:

Q =∂δL

∂δq=

nf∑

f=1

~F × ∂~yf∂q

= Q (q, q, ..., t) (4.36)

che sara una funzione del tempo t, per la presenza di forze funzioni esplicite del tempo, e della coordinatalibera q, per una eventuale dipendenza diretta delle forze ~F da q, e per la presenza delle derivate dellecoordinate fisiche rispetto alla coordinata libera. Tali derivate sono costanti solo nel caso di legameyf = yf (q) lineare. Le forze ~F possono dipendere dalla coordinata libera q e dalle sue derivate nel modopiu arbitrario; possono dipendere anche dall’integrale di q (ad esempio, le forze di controllo risultanti daun regolatore di tipo integrale).

Equazione del moto. E ora possibile scrivere per esteso l’equazione del moto del generico sistemafisico a 1 g.d.l. non lineare applicando le equazioni di Lagrange nella variabile q; sostituendo le (4.30,4.31, 4.33, 4.36) nella (4.9) si ottiene

a (q) q +1

2

da (q)

dqq2 + r (q) q − fV (q) = Q (q, q, ..., t) (4.37)

Nel seguito ci si occupera soltanto di sollecitazioni attive Q dipendenti esplicitamente al piu dallacoordinata libera q, eventualmente dalla sua derivata prima q e dal tempo.

4.3 Linearizzazione dell’equazione di moto

L’equazione del moto non e, in generale, integrabile analiticamente se non in casi particolari. Se neinteressa lo studio per spostamenti finiti, e indispensabile tener conto delle non linearita del sistemaintegrando numericamente l’equazione di moto.

Nel caso in cui, invece, si ritenga sufficiente limitarne lo studio a piccoli spostamenti nell’intorno diuna soluzione di equilibrio per la quale la derivata di ordine minimo di q sia costante, e quindi tutte quelledi ordine superiore si annullino, e possibile linearizzare l’equazione di moto nell’intorno di tale soluzione,ottenendo, in questo modo, un’equazione lineare a coefficienti costanti, integrabile in forma chiusa. Lalinearizzazione delle equazioni di moto, rispetto alla integrazione numerica delle equazioni non lineari,consente l’utilizzo dei comodi algoritmi propri dell’analisi dei sistemi lineari. Ovviamente, in tal caso, enecessario dapprima trovare, se esiste, la posizione di equilibrio di riferimento, risolvendo generalmenteun’equazione non lineare, e successivamente linearizzare l’equazione di moto stessa. Condizione essenzialeperche la soluzione dell’equazione linearizzata si mantenga nell’intorno della soluzione di equilibrio diriferimento e che tale soluzione sia stabile.

La posizione di equilibrio di riferimento si definisce:

• equilibrio statico quando individua un movimento q che si mantiene costante nel tempo (tipico, adesempio, delle strutture caricate staticamente), per il quale valga quindi la condizione

d(n)q

dt(n)= 0 (4.38)

per n > 0, ossia che tutte le sue derivate rispetto al tempo t siano sempre nulle;

4-6

Figura 4.1: Sistema non vincolato soggetto a un sistema di forze a risultante non nullo.

• regime assoluto quando individua un movimento q che si mantiene costante nel tempo (tipico, adesempio, delle macchine rotative), per il quale la relazione (4.38) valga per n > 1;

• moto uniformemente accelerato quando individua un movimento ad accelerazione costante, per ilquale la relazione (4.38) valga per n > 2.

Nel caso piu completo, in cui l’equazione del moto presenti dipendenza esplicita da q, la soluzione diequilibrio statico e definita a partire dalla (4.37) tenendo conto della (4.38) con n > 0:

dV

dq= Q (q, 0) (4.39)

ove la componente generalizzata della sollecitazione attivaQ non deve dipendere esplicitamente dal tempoperche una condizione di equilibrio statico possa esistere. Nel caso in cui tutte le forze attive dipendentidalla sola posizione siano conservative, la soluzione di equilibrio statico soddisfa l’equazione

dV

dq= 0 (4.40)

che quindi e un caso particolare della (4.39). La soluzione, ossia la posizione di equilibrio q0, se esiste,viene in genere ricavata con opportuni metodi numerici quali quello di bisezione, delle secanti o diNewton-Raphson.

4.3.1 Esempio: soluzione di equilibrio statico di un sistema libero

Si consideri il sistema non vincolato illustrato in figura 4.1, posto nel vuoto in assenza di gravita, costituitoda due masse di uguale valore m collegate da una molla di rigidezza k. Alla prima massa sia applicatauna forza esterna F diretta come la congiungente le due masse e costante in modulo, direzione e verso.

La determinazione della soluzione di equilibrio statico ne richiede innanzitutto la definizione. Lapresenza della molla, in quanto portatrice di forze dipendenti dalla posizione, fa sı che si debba cercareuna soluzione statica in cui lo spostamento si mantenga costante; siccome pero il sistema non e vincolatoa terra, la presenza di un sistema di forze esterne a risultante non nullo fa sı che non sia possibile unasoluzione per cui si annullano le accelerazioni delle masse. Occorre quindi un’attenta analisi del problemaper definire che cosa sia possibile intendere per sua soluzione di equilibrio statico.

Il problema ha due gradi di liberta; si considerino le posizioni assolute delle due masse, x1 e x2;l’equazione di equilibrio dell’intero sistema e

F −mx1 −mx2 = 0 (4.41)

ma, dal momento che le forze d’inerzia del sistema sono riducibili ad una forza data dalla massa totaleper l’accelerazione del baricentro, definita come

xCG =

∑mixi∑mi

=x1 + x2

2(4.42)

4-7

si ha

F − 2mxCG = 0 (4.43)

da cui si ricava l’accelerazione del baricentro

xCG =F

2m(4.44)

che non puo essere nulla perche solo le forze d’inerzia possono ristabilire l’equilibrio del sistema.Dall’equazione di equilibrio alla traslazione della massa 2, a cui non e applicata la forza, si ricava

−k (x2 − x1)−mx2 = 0 (4.45)

Si esprima lo spostamento delle masse come spostamento relativo rispetto al punto coincidente con ilbaricentro a molla indeformata:

x1 = xCG + x′1 (4.46)

x2 = xCG + x′2 (4.47)

da cui si ricava l’allungamento della molla

∆x = x2 − x1 = x′2 − x′1 (4.48)

e, dalla definizione di baricentro,

x′2 = −x′1 (4.49)

e quindi

x′1 = −1

2∆x (4.50)

x′2 =1

2∆x (4.51)

L’equazione (4.45) diventa

−k∆x−m

(

xCG +1

2∆x

)

= 0 (4.52)

Si consideri, come soluzione di equilibrio statico, quella per cui gli spostamenti relativi sono costanti, equindi le accelerazioni relative si annullano; l’equazione (4.52) diventa quindi

−k∆x−mxCG = 0 (4.53)

da cui e immediato ricavare l’allungamento della molla

∆x = −1

2

F

k(4.54)

Se l’utilizzo degli spostamenti assoluti delle due masse non consente un’immediata definizione di soluzionedi equilibrio di riferimento per un problema di questo tipo, un semplice cambio di variabile che portia considerare la posizione assoluta xCG del baricentro del sistema e l’allungamento ∆x della molla fası che la soluzione di equilibrio di riferimento per la prima sia una condizione di moto uniformementeaccelerato, la (4.44), mentre per la seconda sia una soluzione di equilibrio statico, la (4.54).

4.3.2 Procedure per la linearizzazione

Se la posizione di equilibrio statico esiste, sono possibili due approcci:

• linearizzare nell’intorno di tale posizione la (4.37) in funzione della variabile q e delle sue derivate;

• ricondurre, tramite sviluppo in serie di Taylor nell’intorno di q0, arrestato ai termini di second’or-dine, l’energia cinetica T e la funzione di dissipazione D a forme quadratiche nella variabile q, el’energia potenziale V a un’analoga forma quadratica in q. In questo secondo caso, della (4.37)sara comunque necessario linearizzare la Q (q, q, t) rispetto alla variabile q e alla sua derivata q.

4-8

4.3.3 Linearizzazione diretta dell’equazione del moto

La linearizzazione diretta dell’equazione di moto consiste nello sviluppare in serie di Taylor l’equazionestessa rispetto alla coordinata libera q e alle sue derivate, arrestando lo sviluppo ai termini del primoordine. Ricordando la (4.30), si nota subito che la linearizzazione delle forze d’inerzia nell’intorno di unasoluzione di equilibrio statico, per cui

q = q0

q = 0 (4.55)

q = 0

si riduce alla valutazione della funzione a (q) e della sua derivata prima rispetto a q nella soluzione q0,in quanto lo sviluppo in serie delle forze d’inerzia e dato da

d

dt

(∂T

∂q

)

− ∂T

∂q∼= a (q0) q0 +

1

2

da (q)

dq

∣∣∣∣q0

q20

+ a (q0) (q − q0) +da (q)

dq

∣∣∣∣q0

q0 (q − q0)

+da (q)

dq

∣∣∣∣q0

q0 (q − q0) +1

2

d2a (q)

dq2

∣∣∣∣q0

q20 (q − q0) (4.56)

ma, sostituendo i valori di riferimento dati dalle (4.55), si ottiene

d

dt

(∂T

∂q

)

− ∂T

∂q∼= a (q0) · 0 +

1

2

da (q)

dq

∣∣∣∣q0

· 02

+ a (q0) (q − 0) +da (q)

dq

∣∣∣∣q0

· 0 · (q − q0)

+da (q)

dq

∣∣∣∣q0

· 0 · (q − 0) +1

2

d2a (q)

dq2

∣∣∣∣q0

· 02 · (q − q0)

= a (q0) q (4.57)

In modo analogo si procede per le forze conservative e dissipative, e per le rimanenti azioni attive

fV (q) ∼= fV |q0 +dfVdq

∣∣∣∣q0

(q − q0) (4.58)

r (q) q ∼= r (q0) q (4.59)

Q (q, q, ..., t) ∼= Q (q0, 0, t) +∂Q

∂q

∣∣∣∣q0,0

(q − q0) +∂Q

∂q

∣∣∣∣q0,0

q (4.60)

Per quanto riguarda la Q, a partire dalla (4.36) si ricava:

Q (q, q, t) ∼= Q (q0, 0, t) +∂Q (q, q)

∂q

∣∣∣∣∣q0,0

(q − q0) +∂Q (q, q)

∂q

∣∣∣∣∣q0,0

(q − q0)

=

nf∑

f=1

~Ff (q0, 0, t)×∂~yf∂q

∣∣∣∣q0

+

nf∑

f=1

∂ ~Ff (q, q)

∂q

∣∣∣∣∣q0,0

× ∂~yf∂q

∣∣∣∣q0

+

nf∑

f=1

~Ff (q0, 0)×∂2~yf∂q2

∣∣∣∣q0

(q − q0)

+

nf∑

f=1

∂ ~Ff (q, q)

∂q

∣∣∣∣∣q0,0

× ∂~yf∂q

∣∣∣∣q0

q (4.61)

4-9

Occorre ipotizzare che la dipendenza esplicita dal tempo, se presente, sia confinata nel termine Q (q0, 0, t),esprimibile come

Q (q0, 0, t) = Q (q0, 0) + Q (q0, 0, t) (4.62)

ovvero costituito da una parte costante e da una dipendente dal tempo, quest’ultima tale da portaread un moto di ampiezza limitata nell’intorno della soluzione di equilibrio statico; il valore costante diriferimento Q (q0, 0) e quello che in realta occorre usare nella (4.39) per il calcolo della soluzione diequilibrio statico q0.

Ne risulta, considerando anche la (4.39), l’equazione linearizzata del moto

a (q0) q +

(

r (q0)−∂Q (q, q)

∂q

∣∣∣∣q0,0

)

q +

(

− dfVdq

∣∣∣∣q0

− ∂Q (q, q)

∂q

∣∣∣∣q0,0

)

(q − q0) = Q (q0, 0, t) (4.63)

La (4.63) e un’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti, di cui e possibile l’integrazioneanalitica.

Puo convenire la definizione di una nuova coordinata libera q come

q = q − q0

q =d

dt(q − q0) = q (4.64)

q =d2

dt2(q − q0) = q

In questo modo, l’equazione (4.63) diventa

a (q0) q +

(

r (q0)−∂Q (q, q)

∂q

∣∣∣∣q0,0

)

q +

(

− dfVdq

∣∣∣∣q0

− ∂Q (q, q)

∂q

∣∣∣∣q0,0

)

q = Q (q0, 0, t) (4.65)

4.3.4 Quadraticizzazione della funzione di Lagrange e sua linearizzazione

Si consideri dapprima l’energia cinetica T . La (4.25) puo essere sviluppata in serie di Taylor nell’intornodella posizione di equilibrio statico definita dalle (4.55) troncando l’espansione ai termini quadratici, inquanto forniscono i contributi lineari a seguito delle differenziazioni richieste per la scrittura dell’equazionedel moto:

T (q, q) ∼= T (q0, 0) +∂T (q, q)

∂q

∣∣∣∣∣q0,0

(q − q0) +∂T (q, q)

∂q

∣∣∣∣∣q0,0

(q − 0)

+1

2

∂2T (q, q)

∂q2

∣∣∣∣∣q0,0

(q − q0)2+∂2T (q, q)

∂q∂q

∣∣∣∣∣q0,0

(q − q0) (q − 0) +1

2

∂2T (q, q)

∂q2

∣∣∣∣∣q0,0

(q − 0)2

(4.66)

Si deve fin da subito notare che:

T (q0, 0) =1

2a (q0) · 02 = 0

∂T (q, q)

∂q

∣∣∣∣∣q0,0

=1

2

da (q)

dq

∣∣∣∣∣q0

· 02 = 0∂2T (q, q)

∂q2

∣∣∣∣∣q0

=1

2

d2a (q)

dq2

∣∣∣∣∣q0

· 02 = 0

∂T (q, q)

∂q

∣∣∣∣∣q0

= a (q0) · 0 = 0∂2T (q, q)

∂q∂q

∣∣∣∣∣q0

=da (q)

dq

∣∣∣∣∣q0

· 0 = 0

(4.67)

4-10

in quanto valutati per q = 0; ovvero la (5.19) puo essere riscritta come:

T ∼= 1

2

∂2T (q, q)

∂q2

∣∣∣∣q0,0

q2 =1

2a (q0) q

2 (4.68)

Applicando la (4.68) alla equazione di Lagrange, otteniamo:

d

dt

(∂T

∂q

)

∼= a (q0) q,∂T

∂q∼= 0 (4.69)

e quindi

d

dt

(∂T

∂q

)

− ∂T

∂q∼= a (q0) q = m0q (4.70)

In modo del tutto analogo si puo ricondurre ad una forma quadratica anche l’energia potenziale V ,sviluppandola secondo Taylor nell’intorno della posizione di equilibrio statico:

V (q) ∼= V (q0) +dV (q)

dq

∣∣∣∣q0

(q − q0) +1

2

d2V (q)

dq2

∣∣∣∣q0

(q − q0)2

(4.71)

avendo definito, con la variabile q = q − q0, lo spostamento subıto dalla variabile indipendente rispettoalla posizione di equilibrio statico

V (q) = V (q0) +dV (q0)

dqq +

1

2

d2V (q0)

dq2q2 + . . . (4.72)

Con tale trasformazione di coordinate, la variabile q definisce dunque il solo moto perturbato del sistemanell’intorno della posizione di equilibrio statico q = q0. L’applicazione delle equazioni di Lagrange allafunzione V (q), resa quadratica nella variabile indipendente q, porta alla:

dV (q)

dq∼= dV (q)

dq

∣∣∣∣q0

+d2V (q)

dq2

∣∣∣∣q0

q =dV (q)

dq

∣∣∣∣q0

+ k0q (4.73)

in cui si e sfruttato il fatto che la derivata del termine costante V (q0), per definizione, e nulla. Il terminelineare dell’energia potenziale quadraticizzata, invece, nell’equazione del moto linearizzata si annulla operche il sistema e conservativo e quindi, dalla (4.40), il suo annullamento e condizione per l’equilibrio,o, in caso di sistema non conservativo, dalla definizione di soluzione di equilibrio secondo la (4.39), sielide con il valore costante Q (q0, 0) risultante dalla linearizzazione della componente generalizzata dellasollecitazione attiva.

Analogamente a quanto fatto per l’energia cinetica, anche la funzione di dissipazione D data dal-la (4.32) puo essere resa quadratica, sviluppandola in serie di Taylor arrestata al termine quadratico:

D (q, q) ∼= D (q0, 0) +∂D (q, q)

∂q

∣∣∣∣∣q0,0

(q − q0) +∂D (q, q)

∂q

∣∣∣∣∣q0,0

(q − 0) (4.74)

+1

2

∂2D (q, q)

∂q2

∣∣∣∣∣q0,0

(q − q0)2+∂2D (q, q)

∂q∂q

∣∣∣∣∣q0,0

(q − q0) (q − 0) +1

2

∂2D (q, q)

∂q2

∣∣∣∣∣q0,0

(q − 0)2

(4.75)

In analogia con quanto osservato per l’espressione quadraticizzata dell’energia cinetica, si nota che

D (q0, 0) =1

2r (q0) · 02 = 0

∂D (q, q)

∂q

∣∣∣∣∣q0,0

=1

2

dr (q)

dq

∣∣∣∣∣q0

· 02 = 0,∂D (q, q)

∂q

∣∣∣∣∣q0,0

= r (q0) · 0 = 0

∂2D (q, q)

∂q2

∣∣∣∣∣q0,0

=1

2

d2r (q)

dq2

∣∣∣∣∣q0

· 02 = 0,∂2D (q, q)

∂q∂q

∣∣∣∣∣q0,0

=dr (q)

dq

∣∣∣∣∣q0

· 0 = 0

(4.76)

4-11

questo porta all’espressione:

D (q, q) ∼= 1

2

∂2D (q, q)

∂q2

∣∣∣∣q0,0

q2 =1

2r0q

2 (4.77)

Da ultimo si consideri il lavoro virtuale δL delle rimanenti forze attive esterne ~Ff , che possono dipen-dere arbitrariamente dalla coordinata libera q, dalle sue derivate e dal tempo t. La loro linearizzazionee del tutto analoga a quella effettuata quando si e considerato l’approccio diretto alla linearizzazionedell’equazione del moto, quindi il contributo delle rimanenti sollecitazioni attive all’equazione lineariz-zata e dato dalla (4.60). ove, si ricorda, si e fatta l’ipotesi che Q possa essere decomposta in modo chel’eventuale dipendenza dal tempo si abbia solo in contributi che non dipendono dalla coordinata liberae viceversa.

Si ottiene di nuovo l’equazione (4.65)

m0q +

(

r0 −∂Q (q, q)

∂q

∣∣∣∣q0

)

q +

(

k0 −∂Q (q, q)

∂q

∣∣∣∣q0

)

q = Q (q0, 0, t) (4.78)

che risulta differenziale del secondo ordine lineare e a coefficienti costanti completa, in cui si consideracome variabile indipendente la coordinata q del moto perturbato definita nelle (4.64) a partire dallaposizione di equilibrio q0.

4.3.5 Utilizzo dell’equazione di moto linearizzata

Come gia accennato, la linearizzazione dell’equazione di moto consente di ottenere un problema differen-ziale lineare a coefficienti costanti qualora sia possibile definire una condizione di equilibrio tale per cui laconfigurazione del sistema non cambi. Ne verra fatto largo uso nello studio della dinamica delle vibrazioniper i sistemi meccanici, nei capitoli 5, 12 e 13; la capacita di ridurre in questa forma anche problemi incui sono presenti forze arbitrariamente dipendenti dalla configurazione consente di affrontare e risolvereimportanti problemi di aeroelasticita, ovvero in cui riveste un ruolo fondamentale la dipendenza delleforze aerodinamiche dal movimento della struttura, come verra illustrato nel Capitolo 15.

4.4 Esempi

Gli esempi relativi alla linearizzazione sono attualmente in revisione; verranno resi disponibili il piu prestopossibile.

4-12

Capitolo 5

Sistemi vibranti ad un grado diliberta — Parte I


5.1 Meccanica delle vibrazioni

Per le macchine viste finora, e quasi sempre possibile effettuare uno studio considerandole a un solo gradodi liberta, dove ogni elemento e ritenuto rigido. In realta essi sono approssimati, pertanto i nostri schemisono approssimati. La deformabilita degli elementi componenti puo essere voluta o indesiderata: adesempio le sospensioni di un veicolo sono elementi volutamente deformabili. Purtroppo, per le difficoltache insorgono nello studio e per gli effetti collaterali, sono ben piu importanti i casi di deformabilitadinamica non voluta, quando un elemento che il progettista vorrebbe rigido si deforma, dando luogodi regola a moti vibratori indesiderati e dannosi. Per lo studio di questi moti vibratori e necessariofare qualche considerazione sui modelli matematici atti a descrivere tali fenomeni. Spesso la difficoltaconsiste nell’associare un modello deformabile a qualcosa che nella realta il progettista vorrebbe rigido.Ovviamente questi schemi devono essere i piu semplici possibili ed e possibile suddividerli in due gruppi:

• modelli continui (a infiniti gradi di liberta) derivanti dalla Scienza delle Costruzioni, dove rifer-endoci, ad esempio, a una trave, ogni punto di questa puo muoversi e ogni sezione puo ruotare.Per descriverne il comportamento e necessario conoscere una funzione f (x) e delle equazioni allederivate parziali. Tali modelli vengono usati per lo studio delle vibrazioni trasversali di travi o funi;

• modelli discreti (a n finiti gradi di liberta) che contrastano con l’osservazione del fenomeno fisicosecondo la quale la deformabilita e l’inerzia sono distribuite nel sistema fisico.

Per fortuna, molte volte e possibile ricondurre il modello reale a sistemi a uno o pochi gradi di liberta.Si tenga presente che, per utilizzare modelli a uno o pochi gradi di liberta, e necessario prima effettuarelo studio con schemi a un numero maggiore di g.d.l. e capire sotto quali condizioni si puo tornare a pochig.d.l. senza perdere informazioni importanti per la risoluzione del problema.

Un velivolo in atterraggio, ad esempio, come quello illustrato in figura 5.1, possiede una velocita chenon e mai perfettamente orizzontale, e per questo i carrelli sono dotati di opportuni molleggi che hannoil compito di dissipare l’energia associata alla componente verticale di tale velocita. Se analizziamo inprima approssimazione l’impatto del velivolo sul campo d’atterraggio, trascurando, nel breve intervallodi tempo in cui avviene l’impatto, l’effetto dovuto alla componente orizzontale della velocita, si nota cheil comportamento dinamico del sistema, grazie alla grande rigidezza della fusoliera rispetto agli elementielastici del treno d’atterraggio, puo essere rappresentato dalla seguente equazione differenziale.

−my − ky = 0 (5.1)

5-1

Figura 5.1: Velivolo in atterraggio.

Figura 5.2: Pendolo.

Altro esempio, noto dalla Meccanica Razionale, e quello del pendolo, illustrato in figura 5.2, per ilquale la scrittura dell’equazione di equilibrio alla rotazione attorno alla cerniera O porta a

−ml2θ −mgl sin θ = 0 (5.2)

ove la dipendenza del momento dall’angolo θ, per piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio,definita da θ = 0, puo essere cosı linearizzata

sin θ ∼= sin (0) +d sin θ

dθ

∣∣∣∣θ=0

∆θ = ∆θ (5.3)

dando luogo a una equazione differenziale lineare a coefficienti costanti

−θ − g

lθ = 0 (5.4)

simile a quella gia vista per il velivolo.

5.2 Moto libero non smorzato

Trattiamo il problema delle vibrazioni a un solo g.d.l. in modo generale, studiando per ora il caso chesul sistema dinamico, considerato in assenza di attriti o smorzamento, non agiscano forze esterne.

Per mettere in equazione il modello meccanico, dobbiamo scegliere la coordinata libera, ovviamentela x, e sceglierne l’origine.

5-2

Figura 5.3: Sistema vibrante a un grado di liberta, senza attrito.

Vedremo in seguito il motivo, ma risulta comodo misurare la coordinata libera (ovvero le coordinatelibere in sistemi a piu gradi di liberta) a partire dalla posizione di equilibrio statico. Consideriamoun moto traslatorio della massa e scriviamo l’equazione di moto del sistema. Utilizzando gli equilibridinamici, in una generica posizione deformata x (t), agiranno sul corpo la forza d’inerzia e la forza dirichiamo elastico della molla, ovvero

−mx− kx = 0 (5.5)

che noi per convenzione riscriviamo con il segno cambiato, tenendo a sinistra dell’uguale le forze dipen-denti dalla configurazione con il segno cambiato e portando le altre forze (in questo caso assenti) a destra

mx+ kx = 0 (5.6)

Si ottiene un’equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti, la cui soluzione e deltipo

x (t) = Aeλt (5.7)

dove A e una costante arbitraria e λ un parametro da determinare. Sostituendo la soluzione (5.7)nell’equazione di partenza (5.6)

mAλ2eλt + kAeλt = 0 (5.8)

che, trascurando la soluzione banale A = 0 che rappresenta la condizione di equilibrio statico, porta a

λ2 = − k

m(5.9)

ovvero

λ1,2 = ±√

− k

m= ±i

√

k

m= ±iω0 (5.10)

La soluzione dell’equazione differenziale (5.6) e quindi data dalla combinazione lineare delle duesoluzioni date da λ1 e λ2

x (t) = A1eiω0t +A2e

−iω0t (5.11)

Lo spostamento x (t) e una quantita reale, mentre per la forma dell’equazione (5.6) lo spostamentorisultante dalla sua soluzione in generale e complesso:

x (t) = (A1 +A2) cos (ω0t) + i (A1 −A2) sin (ω0t) (5.12)

per cui affinche x (t) sia reale, occorre che la somma delle costanti A1 e A2 sia reale e la loro differenzaimmaginaria, ovvero occorre che siano complesse coniugate.

Se si prende come tempo iniziale t0 = 0, cosa sempre lecita a patto di ridefinire l’origine dell’assedei tempi, dal momento che i coefficienti dell’equazione (5.6) non dipendono dal tempo, si nota che, pert = 0, la soluzione (5.12) vale

x (0) = A1 +A2 (5.13)

5-3

Figura 5.4: Oscillazione armonica.

mentre la sua derivata vale

x (0) = iω0 (A1 −A2) (5.14)

Le relazioni (5.13) e (5.14) mostrano come le costanti A1 e A2 siano in relazione con le condizioniiniziali del moto, dalle quali si ricavano:

A1 =1

2

(

x (0) +x (0)

iω0

)

A2 =1

2

(

x (0)− x (0)

iω0

) (5.15)

Consideriamo ancora lo stesso oscillatore gia visto, ma supponiamolo anche soggetto alla gravita. Nelprecedente esempio avevamo posto l’origine della coordinata libera (x = 0) dove e nulla la forza esercitatadalla molla. Anche in questo caso porremo l’origine y = 0 dove la molla e scarica.

L’equazione di equilibrio dinamico porta a

−my − ky +mg = 0 (5.16)

ovvero

my + ky = mg, (5.17)

equazione differenziale lineare a coefficienti costanti completa. Se prendiamo ora come origine dellacoordinata libera x la posizione di equilibrio statico y0, sara

y = y0 + x (5.18)

e

y = x, (5.19)

con

y0 =mg

k(5.20)

che sostituite portano a

−mx− k(mg

k+ x)

+mg = 0 (5.21)

5-4

Figura 5.5: Oscillatore smorzato.

da cui

mx+ kx = 0. (5.22)

Ovvero, se non interessa lo studio del moto derivante dall’applicazione di una forza costante nel tempo,conviene scegliere l’origine della coordinata libera nel punto di equilibrio statico, in quanto si ottienesempre un’equazione differenziale omogenea.

5.3 Vibrazioni libere smorzate

Smorzamento viscoso. Durante la vibrazione libera, l’energia e dissipata in vari modi, e un motocon ampiezza costante non puo essere mantenuto senza che venga continuamente fornita energia.

E difficile una formulazione esatta del fenomeno dissipativo, in quanto questo puo essere funzionedello spostamento, della velocita, dello stato di deformazione, del tempo o di altro.

Un modello ideale, spesso soddisfacente, e quello dello smorzamento viscoso, secondo il quale la forzadissipativa e espressa da

F = −rx = −cx, (5.23)

dove r e utilizzato nella bibliografia italiana, mentre c in quella di lingua anglosassone. L’equazione diequilibrio dinamico del nostro solito oscillatore diverra quindi

−mx− rx− kx = 0 (5.24)

che puo essere risolta usando la solita forma (5.7) la quale, sostituita nell’equazione differenziale dipartenza (5.24) porta all’equazione lineare

(

λ2 +r

mλ+

k

m

)

Aeλt = 0 (5.25)

che ammette come soluzioni non banali (per A 6= 0 e valide per qualsiasi valore di t)

λ1,2 = − r

2m±√( r

2m

)2

− k

m(5.26)

e la soluzione generale per la vibrazione libera smorzata e data da

x (t) = Aeλ1t +Beλ2t (5.27)

dove A e B sono costanti arbitrarie dipendenti dalle condizioni iniziali.

5-5

Smorzamento critico. Il comportamento dell’oscillatore smorzato dipende dal valore numerico delradicando

∆ =( r

2m

)2

− k

m(5.28)

detto anche discriminante. A seconda che esso sia maggiore o minore di zero, le radici saranno re-ali e distinte o complesse coniugate. Quindi e ragionevole prendere come valore di riferimento per losmorzamento, detto anche smorzamento critico, quello per il quale il radicando si annulla:

rc = 2√mk (5.29)

A questo punto lo smorzamento effettivo del sistema puo essere espresso in forma adimensionale comefrazione dello smorzamento critico rc, dal rapporto

ξ =r

rc(5.30)

detto anche indice di smorzamento1. Ne consegue che

r

2m= ξ

rc2m

= ξ2√km

2m= ξ

√

k

m= ξω0 (5.31)

e quindi le radici del polinomio caratteristico sono espresse dalla relazione

λ1,2 =(

−ξ ± i√

1− ξ2)

ω0 |ξ| < 1 (5.32)

Ovviamente se |ξ| ≥ 1 questa rappresentazione perde di interesse, in quanto il radicando della (5.32)diventa a sua volta negativo, e le radici λ1,2 diventano reali e distinte. A questo punto, conviene scrivere

λ1,2 =(

−ξ ±√

ξ2 − 1)

ω0 |ξ| ≥ 1 (5.33)

Si ricordi che e opportuno ragionare sul modulo di ξ in quanto, in casi particolari, lo smorzamentor potrebbe essere negativo e portare quindi ad un comportamento instabile; si veda il capitolo 6 edil capitolo 15 per una discussione piu approfondita. Posto σ = −ξω0 e ω =

√

1− ξ2ω0, la genericasoluzione (5.27) assume la forma

x (t) = ((A+B) cos (ωt) + i (A−B) sin (ωt)) eσt (5.34)

Anche in questo caso, valutando la soluzione (5.34) e la sua derivata all’istante iniziale, si possonoesprimere i coefficienti A e B in funzione delle condizioni iniziali:

x (0) = A+B (5.35)

e

x (0) = σ (A+B) + iω (A−B) (5.36)

da cui si ricava

A =1

2

(

x (0) +x (0)− σx (0)

iω

)

B =1

2

(

x (0)− x (0)− σx (0)

iω

) (5.37)

5-6

Figura 5.6: Oscillazione smorzata.

Figura 5.7: Risposta supercritica.

Smorzamento minore di quello critico: 0 < ξ < 1. La soluzione generale diventa

x (t) = e−ξω0t(

Aei√

1−ξ2ω0t +Be−i√

1−ξ2ω0t)

= Xe−ξω0t sin(√

1− ξ2ω0t+ φ)

(5.38)

e il moto risulta periodico con pulsazione

ω =√

1− ξ2ω0 (5.39)

e ampiezza decrescente nel tempo con legge esponenziale.

Smorzamento maggiore di quello critico: ξ > 1. In questo caso le due radici sono reali, e lasoluzione generale diventa

x (t) = Ae

(

−ξ+√ξ2−1

)

ω0t +Be

(

−ξ−√ξ2−1

)

ω0t. (5.40)

Il moto non e piu oscillatorio, ma si smorza col tempo in modo esponenziale.

1In alcuni ambiti, lo smorzamento e descritto in termini di fattore di qualita (quality factor), indicato con Q. Il fattoredi qualita indica il rapporto fra la quantita di energia immagazzinata dal sistema e quella dissipata in un ciclo. Tanto menoe smorzato un sistema, tanto piu alto e il suo fattore di qualita. Un sistema non smorzato ha fattore di qualita Q = ∞.L’equivalenza tra il fattore di qualita Q e il coefficiente di smorzamento ξ e Q = 1/(2ξ).

5-7

Figura 5.8: Risposta critica.

Figura 5.9: Confronto tra le risposte al variare del coefficiente di smorzamento.

Smorzamento uguale a quello critico: ξ = 1. In quest’ultimo caso le due radici sono reali ecoincidenti. In questo caso l’integrale generale assumera la forma

x (t) = (A+ tB) e−ω0t (5.41)

Per cui il moto libero non e piu oscillatorio ma si smorza anch’esso in modo esponenziale.Non sono stati considerati i casi per cui ξ < 0; in tali casi il sistema ha comportamento instabile e,

dallo studio del modulo di ξ, in totale analogia con quanto visto sopra, si puo dedurre se l’instabilitasi manifesta come una oscillazione che cresca esponenzialmente (0 > ξ > −1) o come una divergenzastatica (ξ < −1).

Confrontando per lo stesso oscillatore l’andamento del moto libero al variare dell’indice di smorza-mento ξ per le medesime condizioni iniziali

x (0) = 1x (0) = 0

(5.42)

come illustrato in figura 5.9, si nota che:

• indipendentemente dalle condizioni iniziali il moto libero si annulla sempre dopo un tempo piu omeno lungo;

• a parita di condizioni iniziali, il tempo necessario per smorzarsi dipende da ξ;

• a parita di condizioni iniziali, per ξ = 1 il tempo e minimo (strumenti di misura, artiglierie, ecc.).

5-8

5.4 Moto forzato

Sempre in assenza di smorzamento e di attriti, vediamo ora che cosa succede se applichiamo al sistemauna forza esterna F (t) che supponiamo per semplicita armonica2, ovvero

F (t) = F0 sin (ωt) (5.43)

con F0 e ω noti. L’equazione di equilibrio per la massa m diventa

mx+ kx = F0 sin (ωt) (5.44)

equazione differenziale lineare a coefficienti costanti completa il cui integrale generale e dato dall’integralegenerale dell’omogenea associata piu l’integrale particolare

x (t) = xg (t) + xp (t) (5.45)

ovvero

x (t) = A cos (ω0t) +B sin (ω0t) + xp (t) (5.46)

con

xp (t) = C sin (ωt) (5.47)

integrale particolare che sostituito nell’equazione (5.44) di partenza

−mCω2 sin (ωt) + kC sin (ωt) = F0 sin (ωt) (5.48)

da

C =F0

k −mω2(5.49)

quindi la (5.46) diventa

x (t) = A cos (ω0t) +B sin (ω0t) +F0

k −mω2sin (ωt) (5.50)

Il moto risultante e quindi somma di due funzioni armoniche, una con pulsazione ω0, caratteristica delsistema, e l’altra con pulsazione ω, data dalla forzante.

Per effetto degli inevitabili smorzamenti, l’integrale generale dell’omogenea associata, come visto,tende a zero col crescere del tempo, per cui a noi interessa studiare il solo integrale particolare cherappresenta il comportamento vibratorio a regime del sistema3:

x (t)t≫t0∼= F0

k −mω2sin (ωt) (5.51)

Analizziamo l’ampiezza C del moto a regime al variare dei parametri:

• se la pulsazione ω della forzante tende a zero, l’ampiezza di vibrazione C tende a un valore parialla deformazione indotta dalla forza F0 applicata staticamente;

• se la pulsazione ω cresce, l’ampiezza C aumenta (fenomeno dell’amplificazione dinamica) fino a unasintoto verticale (risonanza):

limω→ω0

|C| = ∞ (5.52)

• al crescere ulteriore della pulsazione ω della forzante, l’ampiezza della risposta si annulla:

limω→∞

|C| = 0 (5.53)

5-9

Figura 5.10: Risposta in frequenza di un sistema vibrante forzato.

Attenzione: se siamo in risonanza, la soluzione cade in difetto in primo luogo perche il comportamentodella molla e lineare solo per piccoli spostamenti. Inoltre, dobbiamo ricordare che le costanti A e B devonoessere calcolate per la soluzione generale completa rappresentata dalla (5.46) per cui

x (0) = A+ xp (0)x (0) = ω0B + xp (0)

(5.54)

supponendo, per t = 0, che tanto lo spostamento quanto la velocita siano nulle, si ottiene

x (t) =F0

k

1

1−(

ω

ω0

)2

(

sin (ωt)− ω

ω0sin (ω0t)

)

(5.55)

che fornisce una forma indeterminata del tipo 0/0 per ω → ω0. Applicando alla (5.55) la regola di del’Hopital si ottiene

limω→ω0

x (t) = limω→ω0

F0

k

1

1−(

ω

ω0

)2

(

sin (ωt)− ω

ω0sin (ω0t)

)

=F0

2k(sin (ω0t)− ω0t cos (ω0t)) (5.56)

per cui sarebbe comunque necessario tempo infinito, anche in condizioni ideali di linearita delle forzeelastiche, per raggiungere ampiezze infinite. Ricordando, infine, che

C =F0

k − ω2m=

F0/k

1− ω2m

k

=δst

1−(

ω

ω0

)2 (5.57)

si definisce il coefficiente di amplificazione dinamica H come

H (ω) =C

δst=

1

1−(

ω

ω0

)2 (5.58)

2Sotto ampie ipotesi, una forzante generica puo essere descritta da una funzione periodica, ovvero una funzione per laquale f (t+ T ) = f (t), con T pari al suo periodo. Un’ampia classe di funzioni periodiche puo essere sviluppata in serie diFourier, ovvero in serie di funzioni armoniche e quindi, per la linearita del problema, la risposta ad una generica forzantepuo essere espressa come combinazione lineare della risposta a forzanti alle diverse armoniche che costituiscono la serie.

3La (5.51), a rigore, e vero solo in presenza di smorzamento; tuttavia spesso si opera questa semplificazione anchein assenza di smorzamento esplicito nell’equazione (5.44), avendo tacitamente assunto che lo smorzamento nel sistema esufficientemente piccolo da consentire di ignorarlo, ma e sicuramente presente in misura sufficiente da cancellare, dopo untempo sufficientemente elevato, il moto libero della (5.46).

5-10

Figura 5.11: Sistema vibrante per spostamento del vincolo.

5.5 Moto forzato per spostamento del vincolo

Consideriamo il solito sistema che si muova rispetto ad un osservatore assoluto con una legge y (t) nota,come rappresentato in figura 5.11.

Definiamo x (t) lo spostamento assoluto della massa e misuriamo lo spostamento dalla posizione diequilibrio statico che sara definita da

y (t) = x (t)− xr (t) = 0 (5.59)

ove xr (t) indica lo spostamento relativo della massa, e quindi l’allungamento della molla. Scrivendol’equazione di equilibrio dinamico, otteniamo

mx+ k (x− y (t)) = 0, (5.60)

ovvero

mx+ kx = ky (t) (5.61)

che e un’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti completa del tutto simile a quella gia vistanel moto forzato.

Per un osservatore relativo, l’equazione di equilibrio dinamico diventa invece

m (xr + y (t)) + kxr = 0, (5.62)

ovvero

mxr + kxr = −my (t) (5.63)

Si supponga che il moto del vincolo sia armonico, di frequenza ω e ampiezza b:

y (t) = b sin (ωt) (5.64)

per cui la (5.61) diventa

mx+ kx = kb sin (ωt) (5.65)

che ha, come integrale particolare,

xp (t) =kb

k − ω2msin (ωt) = X sin (ωt) (5.66)

ove X e l’ampiezza di vibrazione nel moto assoluto della massa m. In termini adimensionali:

X

b=

1

1−(

ω

ω0

)2 (5.67)

5-11

Figura 5.12: Sistema vibrante per squilibrio dinamico.

del tutto analogo al coefficiente di amplificazione H gia definito. Pertanto, una molla potra essere definita“rigida” quando non vi e moto relativo, e quindi

X

b∼= 1 (5.68)

ovvero

ω20 ≫ ω2 (5.69)

Considerando ora l’osservatore relativo, la (5.63) diventa

mxr + kxr = mω2b sin (ωt) (5.70)

e quindi

xrp (t) =mω2b

k − ω2msin (ωt) = Xr sin (ωt) (5.71)

che, in termini adimensionali, diventa

Xr

b=

(

ω

ω0

)2

1−(

ω

ω0

)2 (5.72)

Moto forzato dovuto a squilibri rotanti. Supponiamo di avere una macchina con una parte rotante,avente massa propria M e uno squilibrio di momento statico rispetto all’asse di rotazione, definitoattraverso una massa m e un braccio e rispetto all’asse di rotazione. Supponiamo che la velocita angolareω sia costante.

L’accelerazione assoluta della massa eccentrica sara

~a = ~ar + ~at = −∣∣ω2e

∣∣ eiωt + ~x (5.73)

dove, con un certo abuso di notazione, si sono combinati il formalismo esponenziale dei fasori per quantoriguarda l’accelerazione relativa, centripeta, a cui e soggetta la massa eccentrica, e la notazione vettoriale

5-12

piu classica per l’accelerazione di trascinamento a cui e soggetta la massaM . Avremo quindi, misurandogli spostamenti x, positivi verso l’alto, a partire dalla posizione di equilibrio statico, l’equazione delladinamica dell’intero sistema

Mx+m(−ω2e sin (ωt) + x

)+ 2kx = 0 (5.74)

ovvero

(M +m) x+ 2kx = mω2e sin (ωt) (5.75)

e l’integrale particolare, in condizioni di regime, varra

xp (t) =meω2

2k − (M +m)ω2sin (ωt) = X (ω) sin (ωt) (5.76)

e quindi

X (ω)

e=

m

M +m

ω2

ω20 − ω2

=m

M +m

(

ω

ω0

)2

1−(

ω

ω0

)2 (5.77)

Si noti che la macchina al variare della velocita trasmettera al terreno una forza variabile nel tempo paria

Ftr = 2kX sin (ωt) (5.78)

che forzera il terreno a vibrare, non potendolo considerare infinitamente rigido, e questo forzera a suavolta a vibrare, per spostamento di vincolo, le altre strutture posate su di esso.

Ovviamente, equilibrando la macchina, ovvero facendo in modo che il suo asse di rotazione sia bari-centrico (e anche principale d’inerzia come vedremo), la forzante si annulla e il fenomeno scompare inquanto l’equazione di moto risulta essere la soluzione di

(M +m) x+ 2kx = 0 (5.79)

5.6 Moto forzato smorzato con eccitazione armonica

La soluzione a regime per un’eccitazione di tipo armonico ha una validita del tutto generale in quanto:

• un’eccitazione periodica e scomponibile, sotto ipotesi largamente accettabili e verificate nella prat-ica, in una serie di eccitazioni armoniche (serie di Fourier);

• i sistemi meccanici di cui ci occupiamo sono descritti da equazioni differenziali lineari e quindi valeil principio di sovrapposizione degli effetti.

Quindi, la risposta del sistema meccanico e fornita dalla sovrapposizione delle risposte alle singolecomponenti armoniche in cui e sviluppabile la generica eccitazione periodica.

Inoltre, tali risposte, in condizioni di regime, sono date dai soli integrali particolari in quanto gliintegrali generali delle omogenee associate, per effetto delle inevitabili dissipazioni, tendono comunque azero in un tempo piu o meno lungo.

L’equazione differenziale del moto puo essere scritta come

mx+ rx+ kx = F0eiωt (5.80)

la cui soluzione e data da

x (t) = xg (t) + xp (t) (5.81)

5-13

Figura 5.13: Sistema vibrante smorzato, forzato armonicamente.

Tralasciamo, per quanto piu volte detto, il contributo dell’integrale generale dell’omogenea associata;quindi, a regime:

x (t) ∼= xp (t) (5.82)

con

xp (t) = Xeiωt = |X| eiφeiωt = |X| ei(ωt+φ) ÷ |X| sin (ωt+ φ) (5.83)

con X e φ calcolati sostituendo nell’equazione differenziale l’integrale particolare. Sostituendo quindila (5.83) nell’equazione differenziale (5.80) di partenza otteniamo

(−mω2 + irω + k

)Xeiωt = F0e

iωt (5.84)

che ammette come soluzione valida per tutti i valori di t

X =F0

k −mω2 + irω=

F0√

(k −mω2)2+ r2ω2

eiφ (5.85)

con

φ = − tan−1

(ωr

k −mω2

)

(5.86)

Ricordando che

• ω0 =√

k/m e la frequenza propria del sistema non smorzato;

• ξ = r/rc e il fattore di smorzamento, rapporto tra lo smorzamento ed il suo valore critico;

• rc = 2mω0 e lo smorzamento critico;

• X (0) = F0/k e la freccia statica, per effetto della forzante F0 a pulsazione nulla,

otteniamo

|X|X0

=1

√√√√√

1−(

ω

ω0

)2

2

+

(

2ξω

ω0

)2

(5.87)

5-14

Figura 5.14: Risposta di un sistema vibrante smorzato, forzato armonicamente (N.B.: nel disegno ω/ω0

e indicato con ω/ωn, lo smorzamento r e indicato con c, mentre la fase φ e rappresentata con segnoopposto).

e

φ = − tan−1

2ξω

ω0

1−(

ω

ω0

)2

(5.88)

Possiamo rappresentare graficamente in figura 5.14 l’andamento dell’integrale particolare in funzione delrapporto ω/ω0. Si notano due zone: per ω/ω0 < 1 e per ω/ω0 > 1, con il caso ω/ω0 = 1 a fare daspartiacque.

Si puo effettuare un’interessante analisi qualitativa del comportamento del sistema studiando ildiagramma vettoriale delle forze agenti sulla massa: dall’equazione di equilibrio

mx+ rx+ kx = F0eiωt (5.89)

una volta sostituita la soluzione particolare

xp (t) = Xeiωt (5.90)

con X complesso, le singole forze sono descritte da coefficienti complessi che hanno una rappresentazionemolto chiara nel piano complesso avente come riferimento la direzione eiωt:

−mω2Xeiωt + irωXeiωt + kXeiωt = F0eiωt (5.91)

ovvero

((−mω2 + irω + k

)X − F0

)eiωt = 0 (5.92)

quindi in generale si puo costruire graficamente un trapezio rettangolo, avente come basi le forze elasticae inerziale, come altezza la forza viscosa, e come quarto lato la forzante esterna. Ad una data pulsazioneω corrispondono ben precise lunghezze delle basi e dell’altezza; data l’ampiezza della forzante F0, lachiusura del trapezio si ottiene variando il modulo e la fase attraverso la scelta di X.

5-15

(a) ω/ω0 < 1.

(b) ω/ω0 = 1.

(c) ω/ω0 > 1.

Figura 5.15: Risposta di un sistema vibrante smorzato, forzato armonicamente.

5-16

• ω/ω0 < 1: l’angolo di fase e piccolo e quindi e principalmente la forza della molla ad equilibrare laforzante esterna, cui si somma la forza d’inerzia, come illustrato in figura 5.15(a).

• ω/ω0 = 1: l’angolo di fase e pari a 90 gradi, per cui la forzante esterna e equilibrata dalla sola forzaviscosa, come illustrato in figura 5.15(b). L’ampiezza di vibrazione a regime e pari a

|X| = F0

rω0=X (0)

2ξ(5.93)

• ω/ω0 > 1: l’angolo di fase cresce e si avvicina a 180 gradi; la forza impressa e equilibrata quasiintegralmente da quella d’inerzia, come illustrato in figura 5.15(c).

Esercizio 5.1 Si consideri un motore elettrico in c.c. che comanda un carico costituito da una inerziaJu collegata al motore da un albero flessibile, descrivibile mediante una molla rotazionale di rigidezza kθe uno smorzamento strutturale rθ. Si progetti un controllo proporzionale tra la tensione di alimentazionee la rotazione del motore, facendo attenzione a come le caratteristiche dinamiche del carico possonoinfluenzare il progetto.

5-17

Capitolo 6

Cenni sulla stabilita


6.1 Che cosa si intende per stabilita

Il termine “stabilita” indica la sensitivita della soluzione di un problema matematico alle perturbazioni.Spesso la definizione di stabilita, la sua portata ed il significato sia fisico che matematico che essa sottendesfuggono allo studente frettoloso o distratto. Queste brevi note non vogliono tanto rappresentare unatrattazione rigorosa e completa dal punto di vista matematico, quanto una sorta di breviario che aiutinon solo lo studente del corso di Dinamica dei Sistemi Aerospaziali a superare l’esame, ma in generalegli studenti di Ingegneria Aerospaziale ad orientarsi nella terminologia e nella scelta degli strumenti piuadatti a risolvere i problemi fondamentali della dinamica dei sistemi, in un linguaggio che sia il piupossibile corretto e allo stesso tempo conforme alla terminologia in uso nel settore.

Lo studio della stabilita cosı come interessa il corso di Dinamica dei Sistemi Aerospaziali si applicatipicamente alle soluzioni

y = y (t) (6.1)

dei problemi

f (y, y, t) = 0, y (t0) = y0. (6.2)

In generale, non e possibile affermare che un generico sistema sia stabile; tuttavia, e possibile studiarela stabilita di una particolare soluzione.

Solo in caso di sistemi lineari a coefficienti costanti1 si puo studiare la stabilita del sistema, in quantola struttura della generica soluzione, il cosiddetto integrale generale, e nota a partire dalle caratteristichedel sistema, e ha la forma

y (t) = y (t0) eλ(t−t0) (6.3)

con λ complesso e dipendente solo dai coefficienti del sistema, mentre y (t0) rappresenta le condizioniiniziali. Anche in questo caso, quindi, lo studio della stabilita si applica ad una specifica soluzione, e soloper la specificita del problema, ovvero per l’unicita della soluzione di un sistema lineare, e possibile daquesto studio risalire a caratteristiche globali di stabilita del sistema.

6.2 Definizione di stabilita

Esistono diverse definizioni di stabilita, a seconda di che cosa venga perturbato (stato, parametri, . . . ).Nel caso in esame, oggetto del corso di Dinamica dei Sistemi Aerospaziali, si intende studiare la stabilitaalla perturbazione dello stato.

1In caso di sistemi lineari a coefficienti dipendenti dal tempo, se periodici, e ancora possibile studiare la stabilita conmetodi dedicati; si veda ad esempio la teoria di Floquet.

6-1

Si considerino gli enunciati:

Una soluzione si dice stabile se, comunque venga fissata la misura della distanza tollerabile, epossibile determinare un valore non nullo di perturbazione iniziale della soluzione che consentealla soluzione perturbata di rimanere al di sotto di tale distanza per tutti gli istanti di temposuccessivi a quello iniziale2. In forma rigorosa: una soluzione di equilibrio ye si dice stabileal tempo t0 se e solo se per ogni ǫ > 0 esiste un valore δ (ǫ) > 0 tale che ‖y (t0)− ye‖ < δ (ǫ)implica ‖y (t)− ye‖ < ǫ qualunque sia t ≥ t0.

Una soluzione si dice asintoticamente stabile se e stabile e la soluzione perturbata, dopo untempo sufficientemente lungo (al limite, infinito), ritorna alla soluzione di riferimento.

Una soluzione si dice instabile se non e stabile, ovvero non e possibile determinare un valorenon nullo della perturbazione iniziale che le consenta di rimanere al di sotto della distanzafissata per tutti gli istanti successivi a quello iniziale.

Si badi bene che la perturbazione si applica allo stato, ovvero, per un sistema meccanico descrittoda un’equazione o da un sistema di equazioni differenziali del secondo ordine, puo essere applicataseparatamente alla posizione e alla velocita.

Quando si parla di perturbazione di una soluzione, si intende che viene perturbato lo stato ad un datoistante di tempo t0; quindi, in quell’istante di tempo, lo stato perturbato presenta un salto (uno scalino)rispetto al valore della soluzione di riferimento.

Come questa perturbazione venga applicata non riveste alcuna importanza; quindi, nel caso di unproblema meccanico, e limitativo parlare di forze usate per applicare la perturbazione; cio non toglie chela definizione di stabilita come effetto sulla soluzione di un ingresso impulsivo, come viene proposto daaltri corsi, sia collegato alla definizione proposta. Infatti, si puo dimostrare che, in un sistema meccanico,una forza impulsiva corrisponde ad una perturbazione della velocita3.

6.3 Stabilita ed equilibrio

Si noti bene che la definizione di stabilita si riferisce ad una soluzione qualunque, anche dipendente daltempo; infatti, in essa, non si parla mai di equilibrio.

Equilibrio e stabilita sono due concetti distinti.

La soluzione di equilibrio,

y (t) = ye = costante, (6.4)

in cui la derivata di ordine minimo da cui dipende il problema e costante nel tempo, assume un’importanzafondamentale in meccanica ed in dinamica in generale. In corrispondenza di una soluzione di equilibrio, lostudio della stabilita delle piccole oscillazioni e significativo in quanto, se la configurazione di riferimentoe di equilibrio e l’ampiezza delle oscillazioni e limitata, da una parte puo essere lecito ritenere che ilcomportamento di un modello linearizzato del problema non si discosti molto da quello del sistemareale (ma non e detto che cio sia sempre lecito); dall’altra, i coefficienti risultanti dalla linearizzazionedel problema, valutati nella soluzione di equilibrio, possono essere ritenuti costanti a meno che noncontengano una dipendenza esplicita dal tempo.

Quindi si ricade nel caso del problema lineare a coefficienti costanti, per il quale, dallo studio dellastabilita della soluzione generale, e possibile risalire a risultati di validita generale, a condizione che leipotesi fatte sulla linearizzazione siano rispettate.

2Questa definizione di stabilita si dice uniforme; la definizione piu generale prevede che il valore della perturbazionepossa dipendere dall’istante in cui viene applicata.

3Cio che in effetti viene applicato e un impulso di quantita di moto per perturbare la velocita, oppure una derivata diimpulso di quantita di moto per perturbare la posizione. Tuttavia, questo approccio presuppone che attraverso l’ingressodel sistema sia possibile perturbare tutto lo stato; allo stesso modo, si assume che osservando l’uscita sia possibile osservaretutto lo stato. Entrambe le condizioni potrebbero non essere verificate per sistemi con stati cosiddetti non raggiungibilioppure non osservabili.

6-2

Riassumendo: lo studio della stabilita attorno ad una soluzione di equilibrio riveste per noi un’im-portanza fondamentale essenzialmente perche tale tipo di movimento e molto importante nella pratica, eperche tale studio puo essere effettuato, sotto certe ipotesi, con strumenti analitici relativamente semplici.Tuttavia lo studio della stabilita non e limitato a questo tipo di problemi, e ha valenza molto piu ampia.

6.3.1 Linearizzazione attorno ad una soluzione di equilibrio

Il generico problema dinamico del secondo ordine, rappresentativo di un problema meccanico ad un gradodi liberta4

f (y, y, y, t) = 0, (6.5)

una volta linearizzato attorno ad una soluzione di equilibrio y (t) = ye costante, in un problema meccanicoad un grado di liberta assume la forma

M∆y +R∆y +K∆y = f (ye, 0, 0, t) , (6.6)

ove le forze dipendenti dalla coordinata libera y sono state riassunte dai coefficienti di massaM , resistenzaR e rigidezza K equivalenti, ovvero

M = −∂f∂y, R = −∂f

∂y, K = −∂f

∂y. (6.7)

La soluzione dell’equazione omogenea associata

My +Ry +Ky = 0, (6.8)

indicata in Equazione (6.3) e qui riprodotta per chiarezza

y (t) = Ceλt, (6.9)

e rappresentata da un movimento esponenziale che, in caso di esponente complesso, modula un movimentooscillante armonicamente, in quanto se λ = σ + iω, con σ e ω reali,

e(σ+iω)t = eσt (cos (ωt) + i sin (ωt)) . (6.10)

6.3.2 Stabilita della soluzione del problema linearizzato

La parte reale dell’esponente λ determina l’evoluzione del movimento.

Se la parte reale e positiva, il movimento e instabile.

Se la parte reale e negativa, il movimento e asintoticamente stabile.

Se la parte reale e nulla, il movimento e stabile (secondo alcuni autori, semplicemente stabile).

Dal momento che la soluzione indicata in Equazione (6.3) per la linearita del sistema e unica, edipende dalle condizioni iniziali solo nel coefficiente moltiplicativo C, le considerazioni precedenti siapplicano all’intero sistema, ovvero a tutte le sue soluzioni, dal momento che fra loro si distinguono soloper il coefficiente C, che non ha alcuna influenza sulle caratteristiche di stabilita della soluzione.

L’esponente λ, radice del polinomio caratteristico, e dato da

λ = − R

2M±√

R2

4M2− K

M. (6.11)

In base al valore del discriminante

∆ =R2

4M2− K

M(6.12)

si possono distinguere tre casi.

4In questa trattazione si fa essenzialmente riferimento a problemi meccanici, anche se la trasposizione a problemi genericidelle considerazioni svolte e, o dovrebbe essere, immediata.

6-3

Figura 6.1: Stabilita del pendolo.

1. Per ∆ > 0, le radici sono reali e distinte, e sono date dall’Equazione (6.11). A seconda dei valoridei parametri, possono essere tutte positive; in ogni caso, per R/M ≤ 0 almeno una e positiva, maanche per R/M > 0 si puo avere una radice positiva, qualora K/M < 0; in tale caso, infatti, laradice positiva del discriminante e maggiore in modulo di R/ (2M).

2. Per ∆ = 0, le radici sono reali e coincidenti

λ = − R

2M. (6.13)

Se R/M < 0 sono entrambe positive e quindi la soluzione e instabile.

3. Per ∆ < 0, le radici sono complesse coniugate

λ = − R

2M± i

√

K

M− R2

4M2. (6.14)

Il segno della parte reale e determinato da R/M ; anche in questo caso per R/M < 0 la soluzione einstabile.

6.3.3 Validita dello studio del problema linearizzato

Lo studio della stabilita della soluzione linearizzata ha valore solamente nella misura in cui sono rispettatele ipotesi che hanno portato alla linearizzazione, ovvero:

• se la soluzione attorno alla quale la linearizzazione e avvenuta e di equilibrio;

• se l’ampiezza del movimento e sufficientemente limitata da non far allontanare la soluzione dell’e-quazione linearizzata dal bacino di attrazione della soluzione di equilibrio.

Quest’ultima condizione puo essere decisamente critica, in quanto il suo soddisfacimento non e di agevolevalutazione.

Problema: pendolo. Si studi la stabilita del problema di un pendolo costituito da una massa pun-tiforme m, incernierata nel piano verticale ad una distanza L dall’asse di rotazione, soggetta all’acceler-azione di gravita g e ad uno smorzamento che da un momento Rθ2, come illustrato in figura 6.1.

L’equazione del moto e

mL2θ +Rθ2 +mLg cos θ = 0 (6.15)

ove si e indicato con θ l’angolo che il pendolo forma rispetto all’orizzontale. La soluzione di equilibriostatico e

θ =π

2+ nπ, n ∈ N (6.16)

6-4

Figura 6.2: Stabilita in presenza di attrito.

Si consideri la soluzione di equilibrio θ1 = −π/2; l’equazione del moto linearizzata diventa:

mL2∆θ +mLg∆θ = 0 (6.17)

le cui radici del polinomio caratteristico sono

λ = ±i√g

L(6.18)

Si consideri ora la soluzione di equilibrio θ2 = π/2; l’equazione del moto linearizzata diventa:

mL2∆θ −mLg∆θ = 0 (6.19)

le cui radici del polinomio caratteristico sono

λ = ±√g

L(6.20)

Nel primo caso il sistema e stabile; nel secondo e instabile. E lecito supporre che attorno alla soluzioneθ1 il sistema reale abbia un comportamento smorzato, tuttavia lo studio della stabilita del sistemalinearizzato non consente di affermarlo con certezza.

Problema: attrito dinamico. Le forze di attrito, secondo il modello di Coulomb considerato nell’am-bito di questo corso, non sono linearizzabili in prossimita della condizione di equilibrio statico, se questacomporta l’annullarsi della velocita relativa tra le superfici a contatto. E possibile, tuttavia, formulareproblemi nei quali, ad una condizione di equilibrio definibile come statica, corrispondente in realta aduna condizione di regime, la velocita relativa tra le superfici di contatto si mantenga costante anche senon nulla5.

Si consideri il problema in figura 6.2, posto in un piano verticale. Il nastro si muova con velocita vimposta; la velocita relativa del corpo rispetto al nastro e

vr = v − x (6.21)

La reazione normale tra massa e nastro trasportatore e pari al peso della massa, mg; la forza tangenzialedovuta all’attrito, secondo quanto illustrato nel Capitolo 7, e

RT = fdmgvr|vr|

, (6.22)

avendo assunto come verso positivo della forza quello di x, opposto al verso positivo della velocita relativa.Quindi l’equilibrio statico, per x = 0 e x = 0, e quindi per vr = v, si ottiene dalla relazione

kxe = fdmg. (6.23)

5Si veda, ad esempio, l’analogo problema del freno a disco svolto nell’introduzione del Capitolo 15.

6-5


f (x, x, x) = −mx− kx+ fdmgvr|vr|

= 0; (6.24)

la sua linearizzazione attorno alla posizione di equilibrio xe = fdmg/k, xe = 0, xe = 0 ne comporta losviluppo in serie, arrestato al primo ordine, rispetto alla coordinata libera x e alle sue derivate:

∂f

∂x= −k, ∂f

∂x=∂fd∂vr

∣∣∣∣vr=v

∂vr∂x

mg,∂f

∂x= −m. (6.25)

Dal momento che ∂vr/∂x = −1, si ottiene:

m∆x+∂fd∂vr

mg∆x+ k∆x = 0 (6.26)

A condizione che la molla abbia rigidezza k > 0, la stabilita dipende dal segno di ∂fd/∂vr; se si considerauna curva caratteristica del coefficiente fd in funzione della velocita relativa vr come quello descritto infigura 7.3, e possibile identificare, sia a bassissima (0 < vr < 0.02 m/s) che ad alta (vr > 5 m/s) velocitadelle zone in cui il segno della derivata ∂fd/∂vr diventa negativo. Se l’equilibrio viene raggiunto pervalori di velocita del nastro in quegli intervalli, sara instabile.

6.4 Stabilita statica

Esiste una particolare definizione di stabilita, anch’essa strettamente associata al concetto di equilibrio:la cosiddetta stabilita statica. Non si tratta di una vera e propria definizione di stabilita; va piuttostointerpretata come un requisito minimo che una soluzione di equilibrio deve possedere per essere stabile insenso lato e, allo stesso tempo, come un comodo ed utile indice di prestazione di un sistema nell’intornodi quella soluzione.

Innanzitutto, occorre precisare che l’equilibrio e un particolare tipo di movimento che non varia neltempo

ye = costante (6.27)

quindi e un caso particolare della soluzione considerata nella definizione di stabilita in senso lato. Se talesoluzione esiste, la relazione

f (ye, 0, t) = 0 (6.28)

e verificata per ogni istante di tempo.Una perturbazione di questa soluzione, in generale, da luogo ad una soluzione che non e piu di

equilibrio, perche in assenza della derivata temporale y si ottiene la relazione

f (ye +∆y, 0, t) 6= 0 (6.29)

ovvero una diseguaglianza. Perche l’eguaglianza sia ripristinata, dovrebbe nascere una opportuna y cheripristini l’equilibrio dinamico.

Ad esempio, se si considera il problema meccanico

My +Ky = 0, (6.30)

la posizione di equilibrio statico e data dalla soluzione di

Ky = 0 (6.31)

Una perturbazione ∆y 6= 0 della (6.31) rispetto alla sua soluzione di equilibrio statico y = 0 porta a

K∆y 6= 0; (6.32)

6-6

infatti, perche l’equilibrio sia ripristinato, occorre, per una data perturbazione ∆y, introdurre le forzed’inerzia in accordo con la (6.30), ovvero occorre scrivere un equilibrio dinamico

M∆y +K∆y = 0. (6.33)

Lo studio della stabilita statica consiste nel valutare come variano, per effetto della perturbazionedella soluzione di equilibrio, le sole porzioni del sistema che dipendono dalla derivata di ordine minimodella coordinata libera; in un problema meccanico, le forze dipendenti dalla posizione.

La relazione di Equazione (6.29), sviluppata in serie di Taylor attorno alla posizione di equilibriodiventa

f (ye +∆y, 0, t) = f (ye, 0, t) +∂f (ye, 0, t)

∂y∆y + o (∆y) , (6.34)

da cui, tenendo conto dell’Equazione (6.28) e trascurando i termini di ordine superiore al primo, si ottiene

f (ye +∆y, 0, t) =∂f (ye, 0, t)

∂y∆y; (6.35)

quindi per valutare la variazione della funzione f in seguito alla perturbazione ∆y dello stato ye esufficiente considerare il segno della derivata parziale di f rispetto a y, a condizione che si sia assunto lostesso verso come positivo sia per f che per y. In un problema meccanico, il significato fisico e legatoal verso della variazione di f , che rappresenta una equazione di equilibrio di forza, a seguito di unaperturbazione ∆y di y, che rappresenta uno spostamento.

Se la variazione di forza rispetto all’equilibrio si oppone alla perturbazione di configurazione,si dice che la soluzione di equilibrio e staticamente stabile.

Se la variazione di forza rispetto all’equilibrio e concorde con la perturbazione di configu-razione, si dice che la soluzione di equilibrio e staticamente instabile.

Se la variazione di forza rispetto all’equilibrio e nulla, si dice che la soluzione di equilibrio eindifferentemente stabile.

Si noti che, in quest’ultimo caso, la soluzione perturbata e ancora equilibrata, in quanto, dal momentoche la funzione f non varia al variare della coordinata libera, la relazione

f (ye +∆y, 0, t) = 0 (6.36)

e ancora verificata6.Dallo studio della stabilita dei sistemi lineari a coefficienti costanti si ricava una interpretazione signi-

ficativa del concetto di stabilita statica. Infatti, per il sistema descritto dall’Equazione (6.8), la condizionedi stabilita statica e data da K > 0; si noti pero che, dal paragrafo 6.3.2, assumendo M > 0, la medes-ima condizione e necessaria affinche le radici del polinomio caratteristico associato all’Equazione (6.8),quando sono reali e distinte, siano negative.

Il passaggio di una radice del polinomio caratteristico dal semipiano sinistro (stabile) a quello destro(instabile) del piano complesso puo avvenire attraverso l’asse immaginario lontano dall’origine, quando,per K > 0 e M > 0, lo smorzamento R passa da positivo a negativo, come illustrato in figura 6.3(a);oppure per l’origine quando, per R > 0, K passa da positivo a negativo, come illustrato in figura 6.3(b).Questo secondo caso e descritto dalla condizione di stabilita statica.

Dal confronto tra lo studio della stabilita della soluzione dell’equazione lineare a coefficienti costantie della sua stabilita statica appare evidente che la seconda e una condizione necessaria alla prima, manon sufficiente. In questo senso, e corretto affermare che la stabilita statica non e una vera definizionedi stabilita di una soluzione di equilibrio, in quanto il verificarsi della condizione di stabilita statica none garanzia di stabilita ma solo un suo prerequisito.

6A rigore, e verificata al primo ordine, ovvero

f (ye +∆y, 0, t) = o (∆y) (6.37)

6-7

(a) Con M > 0, per K > 0, quando Rpassa da positivo a negativo.

(b) Con M > 0, per R ≥ 0, quando Kpassa da positivo a negativo.

Figura 6.3: Transizione da stabilita ad instabilita al variare di parametri del sistema.

6.5 Regime assoluto

Va sotto il nome di regime assoluto il moto di un sistema che non dipende dalla coordinata libera masolo dalle sue derivate a partire da un dato ordine; ad esempio, per un sistema meccanico, si parladi regime assoluto quando non sono presenti forze dipendenti dalla posizione, per cui la derivata primadella posizione e la derivata di ordine minimo da cui dipendono le forze agenti sul sistema, quando questaderivata assuma un valore costante. Un esempio e dato da un corpo in moto in un fluido in equilibrio avelocita costante, per quanto concerne la posizione, oppure dal moto delle tipiche macchine rotative incondizioni di velocita angolare costante.

In questo caso, il problema descritto dall’Equazione (6.5) diventa

f (y, y, t) = 0 (6.38)

per cui, una volta linearizzato, dall’omogenea associata si ottengono le radici del polinomio caratteristico

λ =

−R/M

0, (6.39)

ove M e R sono state definite in precedenza. Si noti che una delle due radici e sempre nulla, ovveroil problema e staticamente indifferente. Non bisogna pero confondere la stabilita indifferente di questasoluzione con una condizione critica, legata ad esempio all’avvicinarsi di una soluzione al limite di stabilitastatica. Infatti, in questo caso la stabilita del sistema e strutturalmente indifferente, in quanto il problemae retto in realta da un’equazione del primo ordine anziche del secondo, quindi in realta e piu correttodescriverne il comportamento utilizzando la velocita come incognita primaria, riducendolo cosı ad unproblema differenziale del primo ordine.

Problema: particella in moto in un fluido. Si studi la stabilita del moto di una particella di massam immersa in un fluido che esercita su di essa una forza viscosa rz che si oppone al moto.

L’equazione di equilibrio della particella in direzione verticale e

mz + rz = mg (6.40)

Si consideri la soluzione di equilibrio, nel senso di regime assoluto, z = mg/r. Il sistema e lineare acoefficienti costanti, quindi la sua stabilita si studia mediante le radici del polinomio caratteristico:

λ =

0−r/m, (6.41)

ovvero la soluzione e stabile se r/m > 0.

6-8

Lo studio della stabilita statica del problema da un risultato del tutto equivalente: riscrivendo ilsistema al primo ordine nella componente verticale della velocita, w = z, e considerando le sole forzenella derivata di ordine minimo w,

f = −rw +mg = 0 (6.42)

si verifica che la condizione di stabilita statica ∂f/∂w < 0 e soddisfatta per r > 0, ove per definizionem > 0.

6.6 Stabilita statica ed energia potenziale

(Ovvero: come non rispondere all’esame quando viene chiesto di spiegare che cosa si intendeper stabilita statica).

Nel corso di Meccanica Razionale, lo studio della stabilita di una soluzione di equilibrio viene presentatonell’ambito di sistemi conservativi a vincoli fissi, in cui l’energia meccanica totale si conserva, ed il cuimoto si manifesta sotto forma di trasferimento di energia da potenziale a cinetica e viceversa. In questicasi, lo studio della stabilita statica consente di giungere a considerazioni generali sulla stabilita delproblema, in quanto la stabilita statica, che ricordiamo e una condizione necessaria per la stabilita dellasoluzione, diventa anche condizione sufficiente. In tale ambito, la ricerca della soluzione di equilibrioavviene attraverso la ricerca delle soluzioni per le quali l’energia potenziale del sistema e stazionaria,mentre lo studio della stabilita statica consiste nel determinare se il punto stazionario e un minimo(stabile) o un massimo o un flesso (o sella per i sistemi a piu gradi di liberta, instabile).

Per tale studio, in genere, si ricorre all’uso della matrice Hessiana, ovvero della derivata secondadell’energia potenziale rispetto alle coordinate libere del problema. Senza nulla togliere alla validita diquesta trattazione, e fondamentale sottolineare come il concetto di stabilita statica abbia valore indipen-dentemente dall’esistenza dell’energia potenziale, in quanto si applica a soluzioni di problemi qualsiasi,anche non conservativi. Per questo motivo e fondamentale non associare automaticamente il concettodi stabilita statica alla derivata seconda dell’energia potenziale, cosı come e fondamentale non associareautomaticamente il concetto di equilibrio alla derivata prima dell’energia potenziale.

In un generico problema meccanico, che senza nulla togliere alla generalita viene scelto lineare nelleforze puramente meccaniche, l’energia cinetica ha la forma

Ec =1

2My2, (6.43)

mentre l’energia potenziale ha la forma

Ep =1

2Ky2. (6.44)

Se e presente anche una sollecitazione attiva

Qy = Qy (y, t) , (6.45)

l’equazione del moto che ne risulta e

d

dt

∂Ec∂y

− ∂Ec∂y

+∂Ep∂y

= Qy, (6.46)

ovvero

My +Ky = Qy (y, t) . (6.47)

La determinazione della soluzione di equilibrio, se esiste, si ottiene dalla relazione

∂Ep∂y

= Qy, (6.48)

6-9

Figura 6.4: Sistema meccanico ad un grado di liberta.

ovvero

Ky = Qy (y, t) , (6.49)

mentre lo studio della stabilita statica si ottiene valutando il segno della relazione

∂f

∂y= −∂

2Ep∂y2

+∂Qy∂y

, (6.50)

ovvero

∂f

∂y= −K +

∂Qy∂y

. (6.51)

Come si puo notare, la matrice Hessiana partecipa in quanto, essendo richiesta la derivata parziale dellaforza rispetto alla coordinata libera, ed essendo la forza conservativa l’opposto della derivata parzialedell’energia potenziale rispetto alla coordinata libera, lo studio della stabilita statica viene a richiederela derivata seconda dell’energia potenziale.

Tuttavia, la presenza delle forze non conservative Qy rende necessario considerare altri contributialla stabilita statica, per cui la matrice Hessiana fornisce solo una parte dell’informazione richiesta.Al contrario, le forze conservative possono essere espresse direttamente nella forza generalizzata Qyanziche attraverso l’energia potenziale, qualora non si ritenga necessario tenerne in conto la conservativita.Quindi, la matrice Hessiana dell’energia potenziale puo essere utilizzata per concorrere allo studio dellastabilita statica di un problema meccanico, ma il concetto di stabilita statica, cosı come il suo studio,non dipendono in alcun modo dalla conoscenza o dall’esistenza stessa della matrice Hessiana.

Problema: sistema meccanico ad un grado di liberta. Sia dato il sistema meccanico ad un gradodi liberta di figura 6.4, costituito da una massa m e da una molla k collegata al terreno, a cui e applicatauna forza f .

L’energia cinetica e

Ec =1

2mx2, (6.52)

mentre l’energia potenziale e

Ep =1

2kx2. (6.53)

Il lavoro associato alla forza e

δL = δxf (6.54)


d

dt

∂Ec∂x

− ∂Ec∂x

+∂Ep∂x

= Qx (6.55)

ovvero

mx+ kx = f (6.56)

6-10

Figura 6.5: Sistema meccanico ad un grado di liberta in un sistema rotante.

La soluzione di equilibrio e x = f/k.Lo studio della stabilita statica e possibile mediante lo studio della matrice Hessiana, in quanto il

sistema e soggetto a sole forze di natura conservativa e a vincoli fissi:

H =∂2Ep∂x2

= k (6.57)

Il sistema risulta staticamente stabile se k > 0.

Problema: sistema meccanico ad un grado di liberta in rotazione. Si consideri il sistemadefinito nel problema precedente, in cui il sistema di riferimento ruoti rispetto all’origine a velocitaangolare Ω costante, come illustrato in figura 6.5.

La velocita relativa della massa e

vr = x (6.58)

mentre quella di trascinamento e

vt = Ωx (6.59)

e sono tra loro perpendicolari; ne risulta un’energia cinetica

Ec =1

2m(x2 +Ω2x2

)(6.60)

mentre l’energia potenziale ed il lavoro della forza esterna sono immutati rispetto al problema precedente.L’equazione del moto e

mx+(k − Ω2m

)x = f (6.61)

E possibile definire una condizione di equilibrio rispetto alla variabile cinematica x, dal momento chel’equazione del moto non dipende esplicitamente dal tempo, mentre la velocita angolare del riferimentomobile e costante per ipotesi. La soluzione di equilibrio e x = f/

(k − Ω2m

)ed e definita solo per

Ω 6=√

k/m; inoltre, per Ω >√

k/m, il sistema risulta staticamente instabile. In questo caso, la matriceHessiana non puo essere usata perche il sistema e soggetto a vincoli mobili.

6.7 Applicazioni

Il problema dello studio della stabilita delle soluzioni e, attraverso la linearizzazione dei problemi at-torno a soluzioni di equilibrio, lo studio della stabilita dei sistemi lineari, e di importanza fondamentalenell’ingegneria.

Gli studenti di Ingegneria Aerospaziale incontrano questi problemi e queste tematiche in molti corsi,spesso presentate in modo diverso da quanto illustrato in queste note perche ogni disciplina puo averebasi, terminologia e problemi specifici.

6-11

Questo non puo esimere lo studente attento dal cogliere il filo comune e le analogie, oltre allasostanziale comunanza di metodo, che caratterizza lo studio della stabilita indipendentemente dal prob-lema a cui si applica.

La stabilita dei sistemi lineari viene affrontata in modo esaustivo nell’ambito del corso di Automatica,in riferimento sia a sistemi dinamici generici che ai sistemi con controllo in retroazione.

La stabilita statica viene utilizzata in Scienza delle Costruzioni I (o Fondamenti di Meccanica Strut-turale) per studiare la stabilita dell’equilibrio delle strutture; l’applicazione di riferimento e la trave diEulero caricata a compressione.

Nel corso di Strutture Aerospaziali, il problema viene arricchito introducendo i concetti di stabilitadegli elementi sottili, travi e pannelli, e il concetto di instabilita locale delle travi in parete sottile.

In meccanica del volo vengono utilizzati i concetti sia di stabilita statica, per verificare la stabil-ita dell’equilibrio statico del velivolo, che i concetti fondamentali di stabilita “dinamica”: nel piano disimmetria, il moto fugoide e quello di corto periodo, e le loro relazioni con la qualita del volo.

Nel corso di Dinamica dei Sistemi Aerospaziali, oltre alla introduzione dei problemi di vibrazionedei sistemi meccanici, il concetto di stabilita statica viene applicato al moto assoluto delle macchine adun grado di liberta e alla divergenza aeroelastica delle superfici aerodinamiche, mentre il concetto distabilita viene applicato alla dinamica dei sistemi con un cenno alla stabilita aeroelastica delle superficiaerodinamiche.

In corsi successivi, e nella laurea specialistica, i concetti legati alla stabilita assumono una importanzafondamentale.

Come si puo notare, l’argomento e fondamentale e interdisciplinare; viene affrontato in numeroseoccasioni, sempre in relazione ad una sua applicazione pratica a problemi essenziali dell’Ingegneria ed inparticolare dell’Ingegneria Aerospaziale.

6-12

Capitolo 7

Azioni mutue tra elementi dimacchine — Parte I

Generato il 10 settembre 2012In ogni sistema meccanico, durante il suo funzionamento, nascono dei movimenti relativi tra i mem-

bri che lo compongono e, inoltre, la macchina stessa o parti di essa si muovono rispetto all’ambientecircostante.

Questi fenomeni assumono grande importanza nello studio del comportamento dinamico e i loro effettisono studiati riconducendoli a due distinte tipologie di contatto, ovvero:

• contatto tra solido e solido;

• contatto fra solido e fluido.

I due principali fenomeni legati all’aderenza tra solidi sono l’attrito e l’usura. Il primo si manifestacome resistenza o impedimento al moto relativo tra le parti a contatto. Cio puo costituire uno svantaggioquando diviene fonte di perdita di potenza tra i membri che devono essere mantenuti in movimento(attrito nei supporti, nelle tenute, ecc.); viceversa, in alcuni casi diventa un fattore essenziale per ilfunzionamento delle macchine (come nel contatto ruota-rotaia e pneumatico-strada, ovvero in organiquali i freni e le frizioni, le giunzioni forzate e imbullonate, ecc.).

L’usura si manifesta invece come un’abrasione progressiva di materiale dalle superfici di due corpiin moto relativo, che ha luogo nelle superfici stesse. L’usura puo essere un fattore utile (ad esempionelle lavorazioni tecnologiche di finitura) o, come accade in generale, causare un progressivo degradodell’accoppiamento tra le parti a contatto.

Dal punto di vista cinematico possiamo distinguere, almeno macroscopicamente, contatti di rotola-mento, strisciamento e urto. Si osserva come nel caso di rotolamento il moto relativo al contatto e nullo(almeno limitandoci ad un punto di vista macroscopico). Nello strisciamento e invece presente una com-ponente di velocita relativa lungo la tangente comune alle superfici di contatto tra i due corpi, mentrenell’urto e presente anche una componente normale della velocita relativa.

Dal punto di vista geometrico e possibile effettuare un’ulteriore classificazione, distinguendo contattipuntiformi, lineari e superficiali, a seconda che l’ente geometrico in comune tra i solidi sia, nell’ipotesi dicorpi indeformabili, un punto (per esempio una sfera a contatto su un piano), una linea (la generatrice diun cilindro a sezione circolare su un piano), o un’intera superficie (una faccia di un prisma su un piano).

7.1 Attrito di strisciamento nei solidi a contatto

Si definisce come attrito la resistenza al moto che si manifesta quando un corpo striscia su un altro. Taleazione di resistenza agisce secondo la direzione del moto relativo, ma in verso opposto, e viene indicatacome forza di attrito. La forza di attrito che e necessario vincere per iniziare un moto di strisciamento,a partire da uno stato di quiete, e detta forza di attrito statico, mentre quella necessaria a mantenereil moto di strisciamento tra due corpi e detta forza di attrito dinamico (o cinetico). La forza di attrito

7-1

Figura 7.1: Rappresentazione pittorica della superficie di contatto tra due corpi.

dinamico e in generale inferiore a quella statica. Nel contatto tra solidi si e sempre in presenza di unasuperficie nominale di contatto che, nel caso di superfici conformi, corrisponde alla superficie in comunetra i due corpi, mentre nel caso di superfici non conformi, e una conseguenza dell’elasticita dei corpi acontatto e dell’azione che li preme uno contro l’altro.

Una delle teorie piu accreditate e quella della micro-saldatura fra le parti effettivamente a contatto,la cui superficie complessiva e una piccolissima frazione di quella apparente di contatto, come illustratoin figura 7.1. In seguito alla compressione mutua e alle conseguenti deformazioni plastiche ed elastiche, lezone deformate, fra le quali puo verificarsi una vera e propria saldatura, si estendono proporzionalmentealla forza che preme i corpi l’uno contro l’altro e indipendente dalla superficie apparente di contatto.

Consideriamo il caso in cui tra i due corpi a contatto non vi sia moto relativo. L’esperienza mostrache se applichiamo a uno dei due corpi una forza ~F , anche non perpendicolare al piano, questo resta

fermo finche la componente ~Ft non supera in modulo un certo valore F ∗t , ovvero

∣∣∣~Ft

∣∣∣ < F ∗

t . Possiamo

percio dire che il piano e in grado di esercitare una reazione ~R avente una componente ~Rt tangente alpiano di valore massimo in modulo R∗

t = F ∗t , capace di opporsi all’azione di ~Ft che tenderebbe a muovere

il corpo rispetto al piano di appoggio.Dalle esperienze di Coulomb, risulta che

R∗t = faRn (7.1)

ove

• Rn e la componente normale della reazione, avendo assunto Rn > 0 quando si ha contatto;

• fa e il coefficiente di aderenza (o attrito statico) dipendente dalla natura e dallo stato delle superficia contatto, indipendente entro ampi limiti dall’estensione dell’area apparente di contatto.

Per cui, affinche non vi sia moto relativo tra le superfici, deve valere che∣∣∣~Rt

∣∣∣ ≤ R∗

t (7.2)

Perche lo strisciamento fra i due corpi possa avere inizio, la componente tangenziale della reazione deveavere un valore in modulo pari al valore massimo R∗

t . Cio significa, facendo riferimento alla teoria dellemicro-saldature, che esse si debbono rompere e, per conseguenza:

R∗t = τmaxAeff (7.3)

dove si assume un comportamento perfettamente plastico del materiale, per il quale lo sforzo raggiungeil valore massimo di plasticizzazione su tutta la sezione e lo mantiene indipendentemente dall’entita della

7-2

Figura 7.2: Attrito statico.

deformazione; ma

Aeff =Rnσmax

(7.4)

quindi

R∗t =

τmax

σmaxRn = faRn (7.5)

che evidenzia la ricordata indipendenza dall’estensione della superficie apparente di contatto, e la dipen-denza dalle sole caratteristiche del materiale.

Se la reazione tangente richiesta e maggiore di quella massima sviluppabile dal vincolo in base alcoefficiente di attrito, allora si ha l’innesco del moto relativo di strisciamento, abbandonando la condizionedi aderenza. Se infatti:

∣∣∣~Rt

∣∣∣ > R∗

t = faRn (7.6)

il corpo si mette in moto rispetto alla superficie d’appoggio, ovvero accelera, nella direzione della reazione~Rt, ma con verso opposto. Non appena in movimento, la componente tangenziale della reazione vale:

~Rt = −f (|~v|)Rn~v

|~v| (7.7)

diretta in verso opposto a quello della velocita relativa ~v (la funzione ~v/ |~v| rappresenta un versore,ovvero un vettore di modulo unitario diretto come ~v). Il coefficiente di attrito dinamico (o cinetico)f (|~v|) e anch’esso dipendente dallo stato e dalla natura delle superfici a contatto, e sempre indipendentedall’estensione dell’area apparente di contatto. Normalmente, in prima approssimazione, si trascura lasua dipendenza dalla velocita relativa e si assume f costante.

L’indipendenza di f dalla velocita relativa e ammissibile entro limiti non troppo ampi, come illustratoin figura 7.3. Dopo una brusca diminuzione passando da velocita relativa nulla (attrito statico) a velocitarelative piccolissime, dell’ordine di qualche millimetro al secondo, subisce poi un sensibile aumento alcrescere della velocita relativa fino a valori di circa 0.3 m/s. Per velocita relative maggiori, fino a circa5 m/s, il coefficiente d’attrito rimane praticamente costante. Oltre quella velocita relativa il coefficientedi attrito tende nuovamente a decrescere, diminuzione che diventa notevole a forti velocita relative.

Le leggi utilizzate per considerare i fenomeni di attrito sono di origine empirica; sono state individuateda Amonton (1699) e successivamente perfezionate da Coulomb (1785). Possono essere sintetizzate comesegue:

• l’attrito e indipendente dall’estensione dell’area apparente di contatto;

• la forza limite di attrito statico, e la forza di attrito in condizioni di strisciamento, sono proporzionalialla forza normale che tiene i corpi a contatto;

• l’attrito dinamico e indipendente dalla velocita di strisciamento, con le limitazioni sopra chiarite.

7-3

Figura 7.3: Coefficiente di attrito dinamico f in funzione del modulo della velocita relativa.

Le (7.6, 7.7) valgono solamente se le superfici a contatto sono piane; la (7.7) richiede inoltre che la velocitasia costante in modulo, direzione e verso. Se tali ipotesi non sono verificate, allora le relazioni (7.6, 7.7)valgono per le sole componenti di forza infinitesime:

∣∣∣d~Rt

∣∣∣ ≤ fadRn (7.8a)

d~Rt = −fdRn~vdA|~vdA|

(7.8b)

ove dA e l’area di contatto infinitesima (d ~A = dA~n e un vettore avente modulo pari a dA e direzionenormale all’area stessa), ~vdA e la velocita relativa di strisciamento e dRn e la componente della reazione

normale all’area dA (e quindi parallela a d ~A) e agente su di essa; le forze infinitesime sono

dRn =(

σd ~A)

× ~n (7.9a)

d~Rt =(

σd ~A)

− ~ndRn (7.9b)

ovvero rappresentano il prodotto del tensore degli sforzi a cui e soggetto il materiale al contatto per l’areadi contatto infinitesima, nell’ipotesi di contatto continuo.

La potenza dissipata per attrito vale

Wr(attrito) =

∫

A

~vdA × d~R =

∫

A

~vdA × d~Rt = −∫

A

~vdA × ~vdA|~vdA|

fdRn = −∫

A

|~vdA| fdRn, (7.10)

nell’ipotesi che, per un vincolo unilatero, deve valere la relazione dRn ≥ 0. Altrimenti, se il vincolo ebilatero, si usa |dRn|.

Nel caso in cui la velocita sia uniforme,

Wr(attrito) = ~v ×∫

A

d~R = ~R× ~v = ~Rt × ~v = −fRn~v

|~v| × ~v = −fRn |v| . (7.11)

Questo contributo di potenza e da annoverare nell’espressione della somma delle potenze nel Teoremadell’energia cinetica

Π =dT

dt(7.12)

come richiamato nel Capitolo 2.

7-4

Figura 7.4: Perno rotante.

Al fine di chiarire come la (7.7) valga solamente nel caso di strisciamento a velocita relativa costantetra due superfici piane, si consideri il perno spingente di figura 7.4, ruotante con velocita angolare ~ωcostante attorno al proprio asse e premuto su una superficie piana, immobile, da una forza assiale N .Ogni punto della superficie d’appoggio del perno e dotato di velocita assoluta in modulo proporzionalealla distanza ~r dall’asse di rotazione e di direzione tangente alla rispettiva traiettoria circolare:

~v (r) = ~ω ∧ ~r (7.13)

il cui modulo e v (r) = ωr.Scrivendo l’equilibrio alla traslazione in direzione verticale si ottiene

N = Rn =

∫

A

dRn =

∫

A

p dA 6= 0 (7.14)

dove p e la pressione di contatto, funzione del solo raggio r per l’ovvia simmetria assiale del problema,ma

∣∣∣~Rt

∣∣∣ =

∣∣∣∣

∫

A

d~Rt

∣∣∣∣= 0 6= fRn (7.15)

Esercizio 7.1 Considerando la (7.8b) con la velocita espressa dalla (7.13), si verifichi la (7.15).

7.2 Usura nel contatto tra solidi

Richiamando le tre cause che possono portare alla messa fuori servizio di una macchina (rottura,obsolescenza ed usura), si puo osservare che:

• la rottura di elementi di macchine e un evento non frequente, che puo essere dovuto a difetti delmateriale o al fatto che il sistema sia assoggettato a carichi maggiori rispetto a quelli di progetto;

• l’obsolescenza, ossia l’invecchiamento dovuto alla comparsa sul mercato di macchine in gradodi effettuare la medesima funzione in modo piu conveniente (sia dal punto di vista della veloc-ita di esecuzione, sia del risparmio dell’energia impiegata), interviene, in genere, dopo anni difunzionamento;

• l’usura e connaturata all’esercizio stesso della macchina, provocandone un decadimento della fun-zionalita, e non sempre in misura proporzionale al trascorrere del tempo. Di solito, infatti, ifenomeni di usura mostrano un tasso di crescita piu elevato man mano che il livello globale diusura cresce.

L’usura si manifesta attraverso:

7-5

• aumento dei giochi negli accoppiamenti con conseguenti imprecisioni nel movimento e aumentodella rumorosita;

• possibile comparsa di fenomeni di urti microscopici e conseguenti vibrazioni e sovraccarichi dinam-ici;

• possibile aumento del tasso di usura stesso, sopra citato, a causa dell’incremento delle azioniscambiate tra i corpi a contatto, oltre che a causa dell’abrasione delle superfici di contatto.

Un modello elementare di usura (Ipotesi di Reye) definisce il rateo di asportazione di materiale perlogoramento come proporzionale al lavoro dissipato per attrito nell’unita di tempo.

7.2.1 Esempio: distribuzione di pressione su un perno rotante

L’ipotesi di Reye puo essere utilizzata “al contrario”, per determinare la distribuzione radiale dellapressione su un disco rotante, in base a semplici considerazioni cinematiche.

Si consideri l’esempio precedente relativo ad un perno rotante attorno alla normale ad una superficiepiana contro cui e premuto (figura 7.4). Su un elemento dA della superficie di contatto, su cui agisce lapressione p, si ha una forza normale pdA e percio, durante il moto, una componente tangenziale fpdA,con f supposto noto e indipendente dalla velocita.

Se v e la velocita di strisciamento, il lavoro perduto nell’unita di tempo vale:

dΠ = fpvdA (7.16)

Se h e lo spessore asportato sull’elemento per logoramento nell’unita di tempo1, il volume asportatonell’unita di tempo risulta hdA; per la proporzionalita affermata dal Reye, detto k un coefficiente diusura dipendente dai materiali di cui sono costituite le due parti e dalle condizioni di lavoro, risulta:

hdA = kfpvdA (7.17)

Nel caso del perno spingente risulta quindi:

h = kfpv = kfpωr (7.18)

e poiche nell’ipotesi che si usuri solamente il perno, e quindi la sua superficie a contatto con il pianosi mantenga a sua volta piana, lo spessore di materiale asportato nell’unita di tempo risulta costante eindipendente dalla posizione sulla superficie, si ha:

kfpωr = h = costante → p (r) =h

kfωr=k′

r(7.19)

7.2.2 Esempio: innesto a frizione

Come applicazione di quanto detto, si consideri un innesto a frizione, illustrato in figura 7.5, tipicamenteutilizzato in veicoli spinti da motori a combustione interna, in quanto:

• i motori a combustione interna non possono avviarsi sotto carico e devono essere mantenuti, durantel’avviamento del veicolo, a un regime di velocita angolare superiore a un dato valore minimo; inoltreoccorre poter fermare il veicolo stesso senza dover necessariamente fermare il motore;

• qualora sia presente un cambio di velocita, il passaggio da una marcia all’altra va fatto mentrela trasmissione non trasmette coppia, in quanto occorre accoppiare alberi inizialmente rotanti avelocita diverse.

1Ovvero la velocita di asportazione del materiale. L’ipotesi di Reye puo essere espressa in forma differenziale: la portatadi materiale asportato e proporzionale alla potenza dissipata dalle forze d’attrito; oppure in forma integrale: il volume dimateriale asportato e proporzionale al lavoro (negativo) compiuto dalle forze d’attrito.

7-6

Figura 7.5: Innesto a frizione.

Tali esigenze sono soddisfatte dagli innesti a frizione, che permettono di trasmettere una data coppiamotrice tra due alberi coassiali rotanti a velocita angolari differenti.

Al fine di realizzare un innesto a frizione, vengono utilizzate le forze d’attrito che nascono tra duesuperfici rotanti (a−a1 e b) rispettivamente solidali con l’albero motore e con quello comandato, premutel’una contro l’altra dallo spingidisco a1.

Tale pressione e generalmente data da molle opportunamente precaricate ed e necessario che lapressione sia tale da poter trasmettere una coppia superiore a quella massima erogata dal motore.

E necessario, d’altronde, che:

• l’innesto possa funzionare come giunto di sicurezza evitando che, in caso di frenatura d’urgenzacon motore innestato, si possano trasmettere all’albero motore decelerazioni troppo grandi;

• la differenza tra la coppia che l’innesto trasmette slittando e la coppia motrice non sia troppogrande per evitare grandi rallentamenti nel motore durante la fase di avviamento del veicolo.

Al fine di determinare la coppia trasmessa per attrito, indicato con A2 il precarico dato dalle molle, lapressione p agente su una faccia del disco b solidale con l’albero di trasmissione risulta essere pari a:

A2 =

∫

A

p dA =

∫ re

ri

2πpr dr (7.20)

Secondo la (7.19), la distribuzione di pressione e inversamente proporzionale al raggio. Si ha quindi

A2 =

∫ re

ri

2πk′

rr dr = 2πk′ (re − ri) (7.21)

da cui, nota la forza A2 applicata dal pilota e le dimensioni del disco:

k′ =A2

2π (re − ri)(7.22)

Nel moto relativo tra i dischi, a causa dell’attrito definito dal coefficiente f supposto costante, si generaquindi un momento ~Mr opposto alla velocita angolare ~ω del motore

~Mr =

∫

A

~r ∧(

−fp ~ω ∧ ~r‖~ω ∧ ~r‖

)

dA = −∫ re

ri

2πfk′

r

r2~ω

‖r~ω‖ rdr = −fπk′(r2e − r2i

) ~ω

‖~ω‖, (7.23)

7-7

ove si e sfruttato il fatto che, secondo la (A.8d), ~r ∧ (~ω ∧ ~r) = r2~ω quando ~r × ~ω = 0. Tale momento,di ampiezza Mr = fπk′

(r2e − r2i

), puo essere interpretato come conseguenza di una forza tangenziale

fittizia2, di modulo pari a fA2 e quindi proporzionale alla forza normale esercitata tra il disco e lacampana, avente un braccio equivalente Req

Req =Mr

fA2=fπk′

(r2e − r2i

)

f2πk′ (re − ei)=

(re − ri) (re + ri)

2 (re − ri)=re + ri

2(7.24)

pari al raggio medio del disco.

Manovra d’innesto

Si consideri la manovra di innesto, all’inizio della quale il motore e in movimento con velocita angolareω0 e l’utilizzatore e fermo, per arrivare ad una condizione in cui essi ruotano entrambi alla stessa velocitaangolare e quindi non c’e piu strisciamento. Quindi, inizialmente il sistema ha due gradi di libertamentre, al termine della manovra, il sistema ha un solo grado di liberta, in quanto la condizione di nonstrisciamento tra disco e campana della frizione introduce il vincolo cinematico di uguaglianza tra levelocita angolari del motore e dell’utilizzatore.

Al fine di semplificare la trattazione del problema, si assume che il motore eroghi una coppia Mm

costante, indipendentemente dal valore della valocita angolare ωm, e che ogni accoppiamento tra partidella frizione in moto relativo trasmetta una coppia Mr costante, ovvero che la forza normale A2 scam-biata si mantenga costante. Nell’esempio illustrato in figura 7.5, la coppia scambiata tra i due alberi ein realta M ′

r = 2Mr, dal momento che ci sono due facce di accoppiamento tra il disco e la campana dellafrizione.

Dinamica dell’utilizzatore prima dell’innesto

Si consideri innanzitutto il sistema composto dall’utilizzatore, dall’albero di trasmissione e dal disco dellafrizione; dall’applicazione del teorema dell’enegia cinetica si ricava

M ′rωu −Muωu = Juωuωu (7.25)

avendo indicato con Mu e Ju, rispettivamente, la coppia e il momento d’inerzia del veicolo ridottiall’albero sul quale e calettato il disco della frizione che ruota con velocita angolare ωu, ovvero

Muωu =∑

i

(Fivi +Miωi) (7.26)

=∑

i

(FiRi +Miτi)ωu (7.27)

e

dTudt

=d

dt

(

1

2

∑

i

(miv

2i + Jiω

2i

)

)

(7.28)

=d

dt

(

1

2

∑

i

(miR

2i + Jiτ

2i

)ω2u

)

(7.29)

=∑

i

(miR

2i + Jiτ

2i

)ωuωu (7.30)

= Juωuωu (7.31)

ove si sono indicati con mi e Ji rispettivamente le masse e le inerzie delle parti in movimento, con Fie Mi rispettivamente le forze e le coppie attive, mentre Ri e τi rispettivamente indicano i rapporti ditrasmissione tra la velocita dell’utilizzatore ωu e le rispettive velocita di traslazione vi e di rotazione ωi

2Si badi bene: questa interpretazione si basa solo su considerazioni di tipo dimensionale; come mostrato dalla (7.15), larisultante delle forze tangenziali agenti sul disco e esattamente zero.

7-8

Figura 7.6: Velocita dell’utilizzatore durante la manovra di innesto della frizione.

Figura 7.7: Innesto a frizione — dettaglio del disco.

delle varie parti. Il momento d’inerzia ridotto Ju tiene conto solo della massa del veicolo e del momentod’inerzia delle ruote e degli organi di trasmissione.

L’accelerazione del disco della frizione e quindi

ωu =M ′r −Mu

Ju(7.32)

e la conseguente legge del moto del veicolo, supposto inizialmente fermo e considerando Mu costante, e

ωu (t) =M ′r −Mu

Jut (7.33)

Ne risulta un andamento lineare a partire da velocita ωu nulla, come illustrato in figura 7.6, la cuipendenza e direttamente proprozionale alla coppia M ′

r trasmessa dalla frizione, che per l’utilizzatorefunge da coppia motrice; tale coppia deve essere superiore ala coppia resistente Mu affinche la velocitacresca.

Dinamica del motore prima dell’innesto

Applicando quindi il teorema dell’energia cinetica al sistema composto dal motore e dalla campana dellafrizione si ottiene

Mmωm −M ′rωm = Jmωmωm (7.34)

Poiche si vuole portare il disco (figura 7.7) e la campana (figura 7.8) alla stessa velocita di rotazione,e opportuno che la velocita angolare del motore non aumenti; in tale caso, occorre far sı che il momento

7-9

Figura 7.8: Innesto a frizione — dettaglio della campana.

Figura 7.9: Velocita del motore durante la manovra di innesto della frizione.

M ′r applicato dalla frizione all’albero motore sia maggiore della coppia massima erogata dal motore3; di

conseguenza, quest’ultimo decelera con una accelerazione negativa pari a:

ωm =Mm −M ′

r

Jm(7.35)

Conseguentemente, supponendo Mm costante e integrando la (7.35) a partire dalla condizione divelocita angolare iniziale del motore pari a ω0, la legge del moto del sistema fisico composto dal motoree dalla sola campana della frizione risulta essere

ωm (t) = ω0 −M ′r −Mm

Jmt (7.36)

come illustrato dalla figura 7.9, dalla quale si nota che se la velocita angolare iniziale del motore etroppo piccola, o troppo grande e la differenza tra la coppia erogata e quella applicata dalla frizione, ladecelerazione puo portare il motore a spegnersi.

3Si ricordi che la coppia massima che la frizione puo sviluppare e proporzionale alla forza normale applicata tra disco ecampana, a meno di una piccola dipendenza di f dalla velocita. La forza normale, a sua volta, dipende dal precarico dellemolle che mantengono premuti fra loro i due corpi. In generale, se la coppia massima erogabile dal motore supera la coppiamassima trasmissibile dalla frizione in condizione di slittamento, la trasmissione non puo funzionare correttamente perchein tali condizioni la frizione non puo giungere alla condizione di non strisciamento.

7-10

Figura 7.10: Velocita di motore ed utilizzatore durante e al termine della manovra di innesto dellafrizione.

Dinamica del sistema dopo l’innesto

Dopo un tempo t1, detto tempo d’innesto, le due velocita angolari saranno eguali; da tale condizione siricava il tempo

t1 =ω0

M ′r

(

1

Jm+

1

Ju

)

−(

Mm

Jm+Mu

Ju

) ; (7.37)

la frizione si comportera quindi come un collegamento rigido, e la legge del moto del veicolo varra

ωm (t) = ωu (t) = ωm (t1) +Mm −Mu

Jm + Ju(t− t1) (7.38)

Tale legge vale se non vi e slittamento tra disco e campana della frizione, ovvero se sono verificateentrambe le equazioni:

M ′max = 2faA2Req > Mm (ω)− Jmω

M ′max = 2faA2Req > Mu (ω) + Juω

(7.39)

dove M ′max rappresenta il momento massimo che la frizione riesce a trasmettere in condizioni di slitta-

mento incipiente.Si noti che la potenza dissipata durante l’avviamento e

Π = −M ′r (ωm − ωu) (7.40)

che corrisponde all’area tratteggiata in figura 7.10.Si noti che:

• durante il transitorio d’innesto gli organi della trasmissione sono sollecitati da un momento torcenteM ′r maggiore della coppia Mm erogata dal motore; siccome cio deve essere possibile anche se Mm

e la coppia massima erogata dal motore, questo spiega le possibili rotture in fase di partenza, se gliorgani di trasmissione sono dimensionati per Mm massimo anziche per M ′

r massimo;

• l’aumento del momento M ′r trasmesso durante la fase di slittamento riduce il tempo d’innesto a

vantaggio delle prestazioni;

• la riduzione di Jm e Ju migliora le accelerazioni;

• aumentando il momento trasmesso dalla frizione in fase d’innesto si ha un incremento della potenzadissipata con corrispondente incremento della temperatura del materiale d’attrito e, tipicamente,una conseguente riduzione del coefficiente f .

7-11

Figura 7.11: Schema di contatto ruota-strada per ruota deformbile

7.3 Resistenza al rotolamento

Con il termine resistenza al rotolamento (talora impropriamente indicato come attrito volvente) sidefinisce la resistenza incontrata da un corpo che rotoli senza strisciare macroscopicamente sulla su-perficie di un altro corpo. L’esperienza, infatti, indica che per mantenere, ad esempio, una ruota in motoa velocita costante, anche in assenza di azioni resistenti attive, e necessario applicare delle azioni motrici,realizzate tramite coppie applicate alle ruote o forze al centro ruota.

In varie applicazioni in campo ingegneristico, la potenza dissipata associata a questa forma di re-sistenza non puo essere sempre trascurata. Si dara qui una spiegazione qualitativa del fenomeno, che inrealta e molto complessa e legata alla deformabilita dei corpi, indicando la procedura per includere talieffetti negli schemi di calcolo utilizzati per i corpi rigidi.

Se i corpi fossero continui e perfettamente rigidi, quali si suppongono in schemi di prima approssi-mazione, nel rotolamento puro di un corpo su un altro, ammesso che le forze agenti tra i due corpi passinosempre per i punti di contatto, non si dovrebbe avere, per effetto di tale moto relativo, dispersione alcunadi energia meccanica. Infatti, essendo nullo, per la definizione stessa di rotolamento, il moto istantaneotra i punti di contatto, le forze agenti tra i due corpi con linee d’azione passanti per detti punti eseguonolavoro nullo.

Anche se i corpi non fossero rigidi, ma perfettamente elastici, il rotolamento non darebbe dispersione dienergia, perche l’energia spesa per produrre la deformazione negli elementi che vengono successivamentea contatto sarebbe eguale a quella restituita da quelli che abbandonano il contatto.

In realta, i corpi reali non sono perfettamente elastici, con l’effetto di far diminuire i valori che leforze elastiche assumono, nell’intervallo in cui il corpo tende a riprendere la forma primitiva, rispetto aivalori che esse avevano, per il medesimo valore di deformazione, nell’intervallo in cui questa aumentava.

La distribuzione reale delle pressioni assume quindi l’andamento (b), rispetto a quello simmetrico (a)del caso di perfetta elasticita. La risultante Rn delle pressioni passa per un punto C1 spostato nel versodel moto di una quantita u legata dalla relazione u = fvr al coefficiente di resistenza al rotolamento fv.

E possibile a questo punto determinare la potenza perduta per rotolamento da prendere in consider-azione nel teorema dell’energia cinetica:

Wr = −Rnuω = −fvRnv (7.41)

essendo ω la velocita angolare della ruota, e v la velocita di avanzamento del centro ruota.

7-12

Figura 7.12: Schema di contatto ruota-strada: diagramma di carico

Figura 7.13: Coefficiente di resistenza al rotolamento.

7-13

Figura 7.14: Schema di funzionamento della ruota strada.

7.3.1 Misura del coefficiente di resistenza al rotolamento

Il coefficiente di resistenza al rotolamento e in genere funzione della velocita di marcia (diagrammasperimentale), normalmente approssimato con l’espressione

fv = f0 +Kv2 (7.42)

Qualora il campo di velocita lo permetta, viene ritenuto costante.

Ruota strada

Al fine di rilevare sperimentalmente il coefficiente di resistenza al rotolamento ad esempio di pneumatici,le piu semplici macchine di prova sono quelle che utilizzano la cosiddetta “ruota strada”, ovvero unasuperficie cilindrica sulla quale la ruota viene fatta rotolare.

Le condizioni reali di funzionamento del pneumatico sono intermedie tra i risultati ottenuti con i duetipi di macchina, e i risultati sono tanto piu attendibili quanto piu e alto il rapporto tra i raggi dellaruota strada e del pneumatico.

Per la misura del coefficiente di resistenza al rotolamento si puo portare il complesso ruota-ruotastrada a una velocita prestabilita per poi lasciare che il sistema proceda per inerzia disinnestando imotori. Applicando il bilancio di potenze al sistema si ottiene, nota la curva caratteristica del momentoresistente Ms (ωs) applicato alla ruota strada e trascurando il momento resistente applicato al cerchiocon pneumatico, avremo

−Ms (ωs)ωs − fvZr0ω = Jsωsωs + Jωω (7.43)

dove il pedice (·)s si riferisce alle grandezze della ruota strada, r0 e il raggio di rotolamento sotto caricodel pneumatico e Z e il carico verticale applicato zavorrando la ruota dotata di pneumatico.

Ricordando per le ipotesi di rotolamento che

rsωs = r0ω (7.44)

otteniamo:

−Ms (ωs)r0rsω − fvZr0ω = Js

(r0rs

)2

ωω + Jωω (7.45)

da cui:

−Ms (ωs)r0rs

− fvZr0 =

(

Js

(r0rs

)2

+ J

)

ω (7.46)

7-14

Figura 7.15: Misura sperimentale della resistenza al rotolamento di un veicolo stradale.

ovvero:

fv =−Ms (ωs) r0rs −

(Jsr

20 + Jr2s

)ω

Zr0r2s(7.47)

La curva caratteristica Ms (ωs) puo essere rilevata sperimentalmente registrando un transitorio diarresto della sola ruota strada. Il metodo presenta delle difficolta di misura in quanto normalmente siregistra la legge del moto ω (t), della quale e necessario calcolare numericamente l’accelerazione angolare.

Prove su strada

In alternativa si effettuano prove su strada trainando un veicolo posto all’interno di un cassone perimpedire che su di esso si esercitino forze aerodinamiche, come illustrato in figura 7.15.

Un tirante dinamometrico collega il cassone con il veicolo, e applicando il bilancio di potenze alla solaautovettura avremo, in condizione di regime assoluto,

Tv −4∑

i=1

fviRnir0iωi = 0 (7.48)

che, nelle ipotesi di egual coefficiente di attrito per le quattro ruote ed eguale raggio di rotolamento sottocarico, e ricordando che nelle ipotesi di rotolamento v = r0iωi porta a

Tv − fvv

4∑

i=1

Rni = 0 (7.49)

ma, nelle ipotesi di marcia in piano, detta M la massa del veicolo, l’equilibrio alla traslazione verticaleporta a

4∑

i=1

Rni =Mg (7.50)

e quindi la (7.49) diventa

fv =T

Mg. (7.51)

7-15

Capitolo 8

Dinamica della macchina a un gradodi liberta


8.1 Considerazioni generali

In questo capitolo si esaminera il funzionamento di una macchina sotto l’ipotesi di poter considerare talesistema dotato di un solo grado di liberta. In generale, una macchina puo essere pensata come compostada un motore, una trasmissione ed un utilizzatore, come mostrato dalla figura 8.1.Benche la suddivisione tra queste tre parti della macchina possa risultare talvolta schematica o pocoaderente all’effettivo funzionamento del sistema, e possibile in linea di massima affermare che:

• il motore ha il compito di produrre potenza meccanica, utilizzando una fonte di energia di diversanatura (chimica, elettrica o altro);

• l’utilizzatore impiega la potenza meccanica resa disponibile dal motore per compiere uno scopo, chepuo essere di natura alquanto varia, ad esempio il sollevamento o la movimentazione di un carico,una lavorazione meccanica, la compressione di un fluido ecc.;

• la trasmissione ha il compito di trasferire la potenza dal motore all’utilizzatore e, dal punto divista della cinematica della macchina, stabilisce un rapporto (detto rapporto di trasmissione, comeillustrato nel paragrafo 8.1.3) tra la velocita del motore e quella dell’utilizzatore.

L’ipotesi che la macchina sia un sistema dotato di un solo grado di liberta, corrisponde ad affermareche la posizione di tutti i punti della macchina viene univocamente determinata dal valore di una solacoordinata libera, che nel seguito sara sempre rappresentata dalla rotazione dell’albero motore.

Escludendo casi particolari in cui la macchina abbia piu di una possibilita di movimento rigido (adesempio macchine contenenti rotismi epicicloidali), questa ipotesi corrisponde a considerare trascurabiligli effetti di deformabilita degli organi (alberi, membri di sistemi articolati, cinghie ecc.) che compongonola macchina stessa.

Motore Trasmissione Utilizzatore

Figura 8.1: Schema della macchina a un grado di liberta

8-1

Per scrivere l’equazione differenziale che governa il moto della macchina ad un grado di liberta econveniente utilizzare il teorema dell’energia cinetica

Π =dEcdt

(8.1)

nella forma detta di bilancio delle potenze, con

Π = Wm + Wr + Wp (8.2)

Ec = Ecm + Ecr (8.3)

avendo assunto nulla l’energia cinetica associata alla trasmissione stessa in quanto la si idealizza in uncomponente privo di inerzia riducibile ad una rotazione, come illustrato nel seguito. Tale equazioneassume la forma:

Wm + Wr + Wp =dEcdt

(8.4)

in cui il termine Wm rappresenta la potenza dovuta a tutte le forze ed i momenti, a meno di quellid’inerzia, che si esercitano sul lato motore, ossia su tutte le parti della macchina poste a monte dellatrasmissione, il termine Wr tiene conto di tutte le forze e coppie agenti sull’utilizzatore (ossia a valle dellatrasmissione), ed il termine Wp rappresenta le perdite che si realizzano nella trasmissione per effetto degliattriti e delle resistenze interne a questo organo.

8.1.1 Espressione della potenza motrice e della potenza resistente

La potenza motrice rappresenta il contributo al bilancio di potenze dovuto a tutte le forze ed in momentiche agiscono sul lato motore della macchina, ossia su tutti gli organi posti a monte della trasmissione.

Nel caso piu generale, in cui sul lato motore agiscano nfm forze ed nmm momenti, tale termine si puoscrivere come:

Wm =

nfm∑

i=1

~Fmi× ~vFmi

+

nmm∑

j=1

~Mmj× ~ωmj

(8.5)

in cui ~Fmirappresenta il valore della i-esima forza agente sul lato motore, ~vmi

rappresenta la velocita del

punto di applicazione della forza ~Fmie, analogamente, ~Mmj

rappresenta il valore del j-esimo momentoapplicato al lato motore e ~ωmj

la velocita angolare del corpo a cui viene applicato il momento.Si assume che la macchina sia caratterizzata da soli vincoli fissi, tali per cui le velocita ~vmi

e le velocitaangolari ~ωmj

non dipendano esplicitamente dal tempo.Poiche la macchina possiede un solo grado di liberta, tutte le velocita e velocita angolari che compaiono

nella (8.5) possono essere espresse, per mezzo di opportuni legami cinematici, in funzione di un unicoparametro cinematico q. Nel seguito si assumera che tale parametro sia la posizione angolare dell’alberomotore, ϑm; la sua derivata ϑm, corrispondente alla derivata temporale della coordinata libera, q, e lavelocita angolare dell’albero motore, nel seguito spesso indicata con ωm. I legami cinematici assumonola forma:

~vFmi= ~XFmi

ωm

~ωmi= ~Θmi

ωm (8.6)

in cui ~Xmie ~Θmi

sono gli jacobiani che definiscono il legame cinematico tra le velocita dei punti diapplicazione delle forze e la velocita angolare dell’albero motore; per l’ipotesi di vincoli fissi, dipendonoal piu dalla coordinata libera q.

Introducendo tali legami cinematici nella espressione (8.5) e possibile esprimere complessivamente lapotenza motrice come prodotto della velocita angolare ωm per un termine M∗

m che viene detto momento

8-2

motore ridotto1 all’albero motore:

Wm =

nfm∑

i=1

~Fmi× ~XFmi

+

nmm∑

j=1

~Mmj× ~Θmj

ωm =M∗mωm (8.7)

Il momento motore ridotto puo essere interpretato come il valore di un momento applicato all’al-bero motore che fornisce una potenza motrice uguale in ogni istante alla potenza motrice prodottacomplessivamente da tutte le forze e coppie che agiscono effettivamente sul lato motore.

Nella (8.7) si osserva che l’espressione del momento motore ridotto dipende:

• dalle forze e coppie fisicamente agenti sul lato motore; tali grandezze a loro volta possono assumerevalori costanti (ad esempio nel caso di una forza gravitazionale), oppure dipendere dalla posizionee/o dalla velocita dell’albero motore (si veda ad esempio nel paragrafo 3.3 la forza sul pistone diun motore alternativo dovuta alla pressione nella camera di combustione.

• dagli jacobiani che legano il moto dei punti di applicazione delle forze fisiche alla rotazione dell’al-bero motore; tali quantita sono costanti nel caso di legami cinematici lineari e dipendono invecedalla rotazione ϑm dell’albero motore se i legami cinematici sono non lineari.

Di conseguenza, il momento motore ridotto dipendera, in generale, sia dalla coordinata libera q, cherappresenta la posizione angolare dell’albero motore ϑm, sia dalla sua velocita angolare ωm:

M∗m =M∗

m (ϑm, ωm) (8.8)

Se, come caso particolare, il momento motore ridotto non dipende dalla posizione angolare dell’alberoma solo dalla sua velocita angolare, la relazione M∗

m = M∗m (ωm) viene detta caratteristica meccanica

del motore, e curva caratteristica la sua rappresentazione grafica nel piano cartesiano Mm − ωm, comenell’esempio di figura 8.6.

Se invece il momento motore dipende anche dalla posizione angolare dell’albero lo studio della dinam-ica della macchina risulta piu complesso, come sara discusso nel paragrafo 8.3. In alcune applicazioni epero possibile approssimare il momento motore nel seguente modo:

M∗m (ϑm, ωm) ∼=M

∗

m =1

Θ

∫ Θ

0

M∗m (ϑm, ωm) dϑm (8.9)

ove con Θ si e indicata la rotazione corrispondente ad un periodo del moto2, in modo da eliminarnela dipendenza dalla posizione angolare dell’albero: tale approssimazione e giustificata dal fatto che,se la macchina ruota ad una velocita pressoche costante, le variazioni che si producono nel momentomotore rispetto al suo valore medio sono assorbite dalle inerzie e dalle deformabilita dei suoi organi.Questa motivazione, necessariamente incompleta e qualitativa, potra essere meglio precisata quando siaffronteranno i problemi dell’isolamento delle vibrazioni e delle oscillazioni torsionali di una macchina.

Per quanto riguarda l’espressione della potenza resistente e possibile definire un momento resistenteridotto, sulla base di considerazioni analoghe a quelle presentate per la potenza motrice. Tale quantitarappresenta l’effetto complessivo di tutte le forze e coppie agenti sul lato utilizzatore, e consente discrivere la potenza resistente nella forma

Wr =

nfr∑

i=1

~Fri × ~XFri +

nmr∑

j=1

~Mrj × ~Θrj

ωr =M∗r ωr (8.10)

in cui le varie grandezze introdotte assumono significato analogo, per il lato utilizzatore, a quantointrodotto nella (8.5) e nella (8.6) per il lato motore.

1Il momento ridotto puo essere positivo o negativo; nel primo caso, il motore sta introducendo lavoro nel sistema, mentrenel secondo caso lo sta estraendo.

2Ad esempio, per un motore alternativo a combustione interna monocilindrico a quattro tempi, ad un periodo corrispon-dono due giri dell’albero motore, quindi Θ = 4π; per un analogo motore a 6 cilindri in linea, in caso di perfetta simmetriae bilanciamento delle parti l’angolo si riduce a Θ = 2/3π.

8-3

8.1.2 Energia cinetica: momento d’inerzia ridotto di motore e utilizzatore

Per quanto riguarda l’energia cinetica del lato motore, si consideri il caso piu generale in cui questo siacomposto da ncm corpi, e siano mmi

e Jmirispettivamente il valore della massa e del momento di inerzia

dell’i-esimo corpo. L’energia cinetica complessiva del lato motore sara fornita, in base al teorema diKonig, da:

Ecm =

ncm∑

i=1

(1

2mmi

~vGim × ~vGim +1

2Jmi

~ωim × ~ωim

)

(8.11)

Anche in questo caso e possibile esprimere attraverso opportuni legami cinematici la relazione cheintercorre tra le velocita dei baricentri dei diversi corpi, le velocita angolari di questi e la velocita angolareωm dell’albero motore

~vGmi= ~XGmi

ωm

~ωmi= ~Θmi

ωm (8.12)

Introducendo tali relazioni nella espressione dell’energia cinetica del lato motore si ottiene e possibiledefinire il momento d’inerzia ridotto del motore ridotto all’albero motore:

Ecm =1

2

ncm∑

i=1

(

mmi~XGmi

× ~XGmi+ Jmi

~Θmi× ~Θmi

)

ω2m =

1

2J∗mω

2m (8.13)

in questa espressione il momento d’inerzia ridotto J∗m puo essere interpretato come il momento di inerzia

di un volano posto sull’albero motore, la cui energia cinetica sia uguale all’energia cinetica complessivadi tutte le inerzie presenti sul lato motore della macchina.

Se i legami cinematici espressi dalla (8.12) sono non lineari, gli jacobianiXGmie Θmi

, e di conseguenzail momento di inerzia ridotto J∗

m, dipendono dalla posizione angolare dell’albero motore ϑm:

J∗m = J∗

m (ϑm) (8.14)

se invece i legami cinematici sono lineari gli jacobiani e quindi anche il momento di inerzia ridotto sonocostanti.

Per quanto riguarda l’energia cinetica dell’utilizzatore, si puo pervenire ad una scrittura dell’energiacinetica analoga a quella ottenuta per il lato motore, che consente di definire un momento di inerziaridotto dell’utilizzatore J∗

r :

Ecr =1

2

ncr∑

i=1

(

mri~XGri × ~XGri + Jri

~Θri × ~Θri

)

ω2r =

1

2J∗rω

2r (8.15)

In linea di principio, e possibile definire, in analogia, anche l’energia cinetica associata alla trasmis-sione; tuttavia nel modello ideale considerato in questa trattazione si assume che l’energia cinetica dellatrasmissione sia nulla, ovvero che sia nulla l’inerzia ridotta della trasmissione stessa.

8.1.3 La trasmissione: espressione della potenza perduta

La trasmissione di una macchina puo essere realizzata per mezzo di dispositivi quali ingranaggi, alberi,organi flessibili (cinghie trapezoidali o dentate) catene o altri dispositivi. Dal punto di vista della cine-matica della macchina, essa stabilisce una relazione tra il moto del lato motore e dell’utilizzatore. Talelegame e espresso dal rapporto di trasmissione τ definito come:

τ =ωrωm

(8.16)

nel seguito si ipotizzera che il valore del rapporto di trasmissione sia costante, benche esistano esempi ditrasmissioni per le quali il valore di questo parametro varia con la posizione angolare dell’albero motore3.

3Ad esempio il giunto di Cardano.

8-4

Per quanto riguarda invece il contributo della trasmissione al bilancio di potenze della macchina, lapotenza dissipata dalla trasmissione viene di norma espressa come una frazione della potenza entrantenella trasmissione stessa, attraverso il rendimento η:

η = − Wuscente

Wentrante, (8.17)

ove il segno negativo e necessario dal momento che le due potenze considerate hanno generalmente segnoopposto4. Al fine di descrivere il flusso della potenza attraverso la trasmissione, si indichino con Wm eWr le potenze agli alberi della trasmissione rispettivamente lato motore e lato utilizzatore, definite come

Wm = Wm − J∗mωmωm (8.18)

Wr = Wr − J∗r ωrωr (8.19)

e con Wp la potenza dissipata all’interno della trasmissione che, per le ipotesi fatte in precedenzasull’assenza di inerzia nella trasmissione, risulta

Wp = Wp. (8.20)

Per tutti e tre questi termini si adottera la convenzione di considerare positivi i contributi di potenzaentranti nella trasmissione, come mostrato in figura 8.2.

Wm

TrasmissioneWr

Wp

Figura 8.2: Flussi di potenza attraverso la trasmissione

Nel caso in cui sia Wm > 0 e Wr < 0 il moto e definito diretto ed il rapporto tra le due potenze Wm

e Wr nella forma

ηd = −Wr

Wm(8.21)

e detto rendimento (della trasmissione) nel moto diretto, Nel caso in cui sia Wr > 0 e Wm < 0, il motoe detto retrogrado (o inverso) ed il rapporto tra le due potenze nella forma

ηr = −Wm

Wr(8.22)

e detto rendimento nel moto retrogrado.

Per rapporti di trasmissione τ = ωr/ωm che si discostano via via dall’unita (τ < 1/6 e τ > 6) i duerendimenti divengono progressivamente diversi fra loro. Per τ = ωr/ωm ≪ 1 (motore veloce e utilizzatorelento), come spesso accade nelle applicazioni, in cui la trasmissione determina una riduzione di velocitatra il lato motore ed il lato utilizzatore, e ηd > ηr.

Al diminuire di ηd (ηd < 0.4 ÷ 0.5) puo inoltre verificarsi il caso ηr < 0, nel qual caso e necessarioavere anche Wm > 0 (rispetto al caso di moto retrogrado gia detto) per far funzionare la macchina incui la trasmissione e inserita. In tal caso la trasmissione si definisce “irreversibile” e la potenza Wm+Wr

viene tutta dissipata. E privo di significato fisico il caso in cui entrambe le potenze Wm e Wr sianonegative.

4Il caso particolare in cui hanno entrambe segno positivo viene considerato a parte.

8-5

Espressione della potenza perduta

Effettuando un bilancio di potenze parziale della trasmissione, e facendo riferimento alle convenzioniindicate in figura 8.2, si ottiene l’equazione

Wm +Wr +Wp = 0 (8.23)

al fine di ottenere l’espressione della potenza perduta, conviene distinguere le diverse possibili condizionidi funzionamento della trasmissione.

Condizioni di moto diretto. Inserendo nel bilancio di potenze della trasmissione la definizione delrendimento in moto diretto fornita in precedenza si ottiene:

Wp = −Wm −Wr =

−(1− ηd)Wm(

1

ηd− 1

)

Wr(8.24)

in cui le due espressioni riportate per la potenza perduta Wp sono equivalenti in quanto danno luogo allostesso valore. Si osservi che, in conseguenza del fatto che 0 < ηd < 1 la potenza dissipata risulta sempreminore di zero, il che e in accordo con il fatto che all’interno della trasmissione si verifica sempre unaperdita di energia.

Condizioni di moto retrogrado. In questo caso, ricordando la definizione del rendimento in motoretrogrado, ed escludendo per il momento il caso di trasmissione irreversibile, si ha:

Wp = −Wm −Wr =

−(1− ηr)Wr(

1

ηr− 1

)

Wm(8.25)

in questo caso si ha 0 < ηr < 1 e di conseguenza la potenza perduta risulta negativa.

Caso di trasmissione irreversibile. In questo caso, indicando con η∗r il rendimento in moto retro-grado per sottolineare il fatto che esso assume un valore negativo, si ottiene:

Wp = −Wm −Wr =

−(1− η∗r )Wr(

1

η∗r− 1

)

Wm(8.26)

in cui, osservando che questa volta η∗r < 0, si ha che la potenza perduta ha segno negativo e risulta inmodulo maggiore sia della potenza lato motore Wm, sia della potenza lato utilizzatore Wr.

Determinazione del flusso di potenza attraverso la trasmissione

Nello studio del moto di una macchina, al fine di valutare correttamente la potenza perduta nella trasmis-sione, occorre determinare il flusso di potenza attraverso la trasmissione, ossia determinare se questafunzioni in condizioni di moto diretto o retrogrado.

Si consideri una trasmissione per la quale sia:

ηd > ηr > 0 (8.27)

ossia per la quale sia esclusa la possibilita di arresto spontaneo.Nel caso in cui le due potenze Wm e Wr delle forze agenti rispettivamente sul lato motore e sul lato

utilizzatore abbiano segno opposto, la determinazione del flusso di potenza discende immediatamentedal segno di questi termini, secondo la tabella 8.1. Invece il caso in cui entrambi i termini Wm e Wr

risultino positivi, il moto puo essere diretto oppure retrogrado in funzione delle condizioni di funzion-amento della macchina. Nel seguito di questo paragrafo si chiarira in che modo sia possibile sciogliere

8-6

Lato motore Lato utilizzatoreWm > 0 Wr < 0 moto direttoWm < 0 Wr > 0 moto retrogradoWm > 0 Wr > 0 caso indeterminato

Tabella 8.1: Riassunto delle condizioni di moto diretto e retrogrado della trasmissione

l’indeterminazione e decidere se il moto sia diretto o retrogrado. A tale fine si ipotizzera per semplicitache i momenti di inerzia ridotti del lato motore e del lato utilizzatore J∗

m e J∗r siano costanti, e si dis-

tingueranno due casi tipici che si verificano nello studio della dinamica della macchina: nel primo casosi assumera di conoscere il valore della accelerazione della macchina nella condizione di funzionamentoconsiderata. Nel secondo caso si considerera invece incognita l’accelerazione della macchina.

Caso 1 - accelerazione nota. In questo caso basta valutare la piu comoda delle espressioni:

Wm = Wm − J∗mωmωm

Wr = Wr − J∗r ωrωr

(8.28)

che corrispondono rispettivamente alla scrittura di un bilancio di potenze parziale del solo lato motore odel solo lato utilizzatore. Avremo necessariamente (per l’ipotesi di trasmissione reversibile) che una delledue potenze Wm e Wr sara positiva e l’altra negativa, e sara di conseguenza possibile determinare se lamacchina funziona in moto diretto o retrogrado e quindi utilizzare l’espressione corretta della potenzaperduta Wp secondo quanto indicato in precedenza.

Caso 2 - accelerazione incognita. in questo caso occorre ipotizzare un flusso di potenza (motodiretto o retrogrado), ricavare l’accelerazione e verificare l’ipotesi fatta.

Ipotizzando ad esempio moto diretto, avendo ridotto tutte le azioni agenti sui due lati motore edutilizzatore ai momenti M∗

m e M∗r e tutte le inerzie ai momenti ridotti di inerzia J∗

m e J∗r , il bilancio di

potenze diviene:

M∗mωm + τM∗

r ωm − (1− ηd) (M∗m − J∗

mωm)ωm = J∗mωmωm + τ2J∗

r ωmωm (8.29)

che fornisce il valore della accelerazione angolare dell’albero motore:

ωm =ηdM

∗m + τM∗

r

ηdJ∗m + τ2J∗

r

(8.30)

in cui il valore della accelerazione angolare risulta sicuramente positivo in quanto sia il momento motoreridotto sia il momento resistente ridotto sono positivi. Inserendo tale valore nella espressione dellapotenza Wm entrante nella trasmissione dal lato motore e possibile verificare se questa risulta maggioredi zero, e quindi se il moto risulta effettivamente diretto, come precedentemente ipotizzato.

Sostituendo nella condizione di moto diretto

M∗m − J∗

mωm > 0 (8.31)

l’espressione della accelerazione angolare del motore (nell’ipotesi di moto diretto), si ottiene una con-dizione necessaria e sufficiente affinche la macchina funzioni in moto diretto:

M∗m − J∗

m

ηdM∗m + τM∗

r

ηdJ∗m + τ2J∗

r

> 0 (8.32)

ed essendo:

ηdJ∗m + τ2J∗

r > 0 (8.33)

si ottiene:

ηdJ∗mM

∗m + τ2J∗

rM∗m − ηdJ

∗mM

∗m − τJ∗

mM∗r > 0 (8.34)

8-7

Figura 8.3: Macchina costituita da due corpi in moto relativo lungo un piano inclinato con attrito.

da cui, semplificando e riordinando i termini:

M∗m

J∗m

>τM∗

r

τ2J∗r

(8.35)

ossia condizione per avere moto diretto e che il rapporto tra la coppia dell’utilizzatore ridotta all’al-bero motore ed il momento d’inerzia dell’utilizzatore ridotto all’albero motore stesso risulti minore delcorrispondente rapporto relativo alle quantita direttamente agenti sul lato motore.

In definitiva e quindi possibile, anche nel caso di accelerazione incognita, determinare a priori il flussodi potenza nella trasmissione.

8.1.4 Esempio applicativo: piani inclinati con attrito

Si consideri la semplice macchina illustrata in figura 8.3, consistente in un corpo che scorre orizzontal-mente su un piano liscio, sul quale scorre un altro corpo lungo un piano inclinato di un angolo α, lacui superficie sia caratterizzata da un coefficiente di attrito dinamico fd relativo allo strisciamento trai due corpi. Il secondo corpo, a sua volta, sia vincolato a scorrere verticalmente su un piano liscio. Lacinematica mostra che lo spostamento del secondo corpo e

xr = xm tanα (8.36)

quindi tanα e il rapporto di trasmissione τ .

Moto diretto

Si consideri il caso in cui il primo corpo si muova nel verso positivo di xm a velocita costante, quindi incondizioni di regime. La potenza motrice e

Πm = Fmxm (8.37)

La componente tangenziale della reazione vincolare e data da

RT = fdRN (8.38)

quindi, dall’equazione che esprime l’equilibrio alla traslazione in direzione orizzontale del primo corpo siottiene

RN = Fm1

(sinα+ fd cosα)(8.39)

8-8

Dall’equazione che esprime l’equilibrio alla traslazione in direzione verticale del secondo corpo si ottieneinvece

Fr = −RN (cosα− fd sinα) = −Fm(cosα− fd sinα)

(sinα+ fd cosα)(8.40)

Ne risulta una potenza resistente

Πr = Frxr = −Fmxm(cosα− fd sinα)

(sinα+ fd cosα)tanα (8.41)

Il rendimento e dato da

ηd = − ΠrΠm

=(1− fd tanα)

(1 + fd/ tanα)(8.42)

ed e unitario in assenza di attrito, mentre decresce al crescere di fd e di α, fino ad annullarsi per

tanα =1

fd(8.43)

Moto retrogrado

Si consideri ora il caso in cui il secondo corpo si muova verso il basso, ovvero in direzione opposta alverso positivo di xr, sempre a velocita costante. La potenza associata alla forza Fr e sempre data da

Πr = Frxr = Frxm tanα (8.44)

ma ora sia la forza che la velocita sono negative, in quanto la forza Fr svolge il ruolo di forza motrice.Dal momento che il moto ha cambiato verso, si inverte anche il verso della componente tangenziale dellareazione vincolare; quindi ora

RT = −fdRN (8.45)

Dall’equazione che esprime l’equilibrio alla traslazione in direzione verticale del secondo corpo si ottieneora

RN = −Fr1

(cosα+ fd sinα)(8.46)

Dall’equazione che esprime l’equilibrio alla traslazione in direzione orizzontale del primo corpo si ottieneinvece

Fm = RN (sinα− fd cosα) = −Fr(sinα− fd cosα)


Ne risulta una potenza

Πm = Fmxm = −Frxm(sinα− fd cosα)


Il rendimento e ora dato da

ηr = −ΠmΠr

=(1− fd/ tanα)

(1 + fd tanα)(8.49)

Anche in questo caso il rendimento e unitario in assenza di attrito, e decresce al crescere di fd e di α,fino ad annullarsi; questa volta, per

tanα = fd (8.50)

8-9

E evidente come i due rendimenti, in presenza di attrito, siano diversi. Si noti che, per α = π/4, ossiaper tanα = 1, il rapporto di trasmissione e unitario; in tale circostanza, le espressioni dei due rendimenticoincidono, e si ha

ηd|α=π/4 = ηr|α=π/4 =(1− fd)

(1 + fd)(8.51)

Il meccanismo per cui si ha una perdita di potenza nelle trasmissioni e spesso associato all’attrito legatoallo strisciamento tra parti meccaniche. Questo semplice modello e in grado di illustrare in modo efficacecome il rendimento possa non dipendere significativamente dalla velocita, e come i rendimenti in caso dimoto diretto o retrogrado possano differire tanto piu quanto piu il rapporto di trasmissione e diverso da1.

8.1.5 Condizioni di funzionamento della macchina ad un grado di liberta

In definitiva, lo studio della macchina ad un grado di liberta puo essere condotto sulla base dello schemarappresentato in figura 8.4, in cui l’insieme di tutte le forze agenti sul lato motore viene ridotto ad unmomento motoreM∗

m agente sull’albero motore, l’insieme delle forze agenti sull’utilizzatore viene ridottoad un unico momento resistente M∗

r agente sull’albero dell’utilizzatore, e tutte le inerzie vengono ridotteai due momenti di inerzia ridotti del motore e dell’utilizzatore J∗

m e J∗r rispettivamente.

M∗m J∗

m

J∗r M∗

r

Trasmissione

Lato Motore

Lato Utilizzatore

Figura 8.4: Schema della macchina ad un grado di liberta

Le condizioni di funzionamento di questo sistema possono essere riassunte in tre categorie dette:

• regime assoluto (spesso indicato semplicemente come regime): si tratta di una condizione difunzionamento in cui l’energia cinetica della macchina si mantiene costante nel tempo;

• moto vario (spesso indicato come transitorio): e una qualsiasi condizione di moto in cui l’energiacinetica della macchina subisce una variazione nel tempo; esempi tipici di moto vario sono la fase diavviamento, durante la quale la macchina si porta dalla condizione di quiete ad una condizione dimoto a regime, e di arresto, durante la quale avviene la transizione opposta dal regime alla quiete;

• regime periodico che puo essere vista come una particolare condizione di moto vario, in cui l’energiacinetica dela macchina, pur variando nel tempo, assume un andamento periodico, ossia ritorna adassumere lo stesso valore ad intervalli regolari di tempo (in genere corrispondenti ad un multiplo osottomultiplo intero del periodo di rotazione della macchina);

Affinche una macchina possa funzionare in condizioni di regime assoluto, e necessario che si verifichinole seguenti due condizioni:

• il momento motore ridotto ed il momento resistente ridotto non devono dipendere dalla posizioneangolare dei relativi alberi, ma unicamente dalle velocita angolari di questi;

• i momenti di inerzia ridotti del motore e dell’utilizzatore devono essere costanti.

Nel seguito si dira macchina a regime assoluto una macchina per la quale si realizzano queste duecondizioni. Lo studio del moto di questo tipo di macchina (sia in condizioni di regime, sia in transitorio)sara oggetto del paragrafo 8.2.

8-10

Nel paragrafo 8.3 si fornira invece un cenno relativo al funzionamento di una macchina per la qualele condizioni (1) e (2) precedentemente citate non si verificano. Si mostrera che per una macchina diquesto tipo non e possibile il funzionamento in regime assoluto, ma possono sussistere invece condizionidi funzionamento di regime periodico. Per questo motivo, una macchina di questo tipo verra dettamacchina a regime periodico.

8.2 La macchina a regime assoluto

8.2.1 Equazione di moto

Al fine di scrivere l’equazione di moto della macchina ad un grado di liberta, si applica l’equazionedi bilancio delle potenze (8.4) utilizzando le espressioni della potenza motrice, resistente, perduta edell’energia cinetica ricavate in precedenza.

Per quanto riguarda la derivata dell’energia cinetica, si puo osservare che, se il momento di inerzia ri-dotto del motore e dell’utilizzatore sono indipendenti dalla rotazione dei rispettivi alberi, allora le derivatedell’energia cinetica ripettivamente del motore e dell’utilizzatore assumono le seguenti espressioni:

dEcmdt

= J∗mωmωm

dEcrdt

= J∗rωrωr (8.52)

Inserendo tale risultato nella espressione della condizione di moto diretto si ottiene:

Wm > 0 se: M∗m − J∗

mωm > 0 (8.53)

Inoltre le espressioni della potenza perduta in moto diretto e retrogrado diventano:

Wp = − (1− ηd) (M∗m − J∗

mωm)ωm (moto diretto)

Wp = − (1− ηr) (M∗r − J∗

r ωr)ωr (moto retrogrado)(8.54)

Per effetto del termine di potenza dissipata nella trasmissione, l’equazione di moto della macchina, ossial’equazione differenziale che lega l’accelerazione angolare dell’albero motore alle forze agenti assume unadiversa espressione in condizioni di moto diretto e retrogrado.

Si consideri innanzitutto la condizione di moto diretto; inserendo nell’equazione di bilancio delle poten-ze (8.4) le espressioni (8.7), (8.10), (8.54), (8.52) della potenza motrice, resistente, perduta e dell’energiacinetica si ottiene:

M∗mωm +M∗

r ωr − (1− ηd)(M∗m − J∗

mωm)ωm = J∗mωmωm + J∗

rωrωr (8.55)

Inserendo in tale equazione l’espressione del legame cinematico (8.16) tra la velocita angolare dell’alberomotore e dell’albero dell’utilizzatore e riordinando i termini si ottiene:

(ηdM∗m + τM∗

r )ωm = (ηdJ∗m + τ2J∗

r )ωmωm (8.56)

ed, esplicitando in funzione della accelerazione angolare dell’albero motore, si ottiene l’equazione di motodella macchina per condizioni di moto diretto:

ωm =ηdM

∗m + τM∗

r

ηdJ∗m + τ2J∗

r

(8.57)

nel caso in cui (come ipotizzato in questo paragrafo) il momento motore ed il momento resistente dipen-dano solo dalle velocita angolari dei rispettivi alberi e non dalla posizione angolare di questi, si ottieneuna equazione differenziale del primo ordine, che consente di determinare la legge di moto dell’alberomotore, ossia l’andamento nel tempo della velocita angolare ωm dell’albero motore.

8-11

Nel caso in cui invece la macchina funzioni in condizioni di moto retrogrado, mediante passaggianaloghi si ottiene:

ωm =M∗m + ηrτM

∗r

J∗m + ηrτ2J∗

r

(8.58)

Unendo le due espressioni della accelerazione dell’albero motore, valide rispettivamente nel caso dimoto diretto e retrogrado, si ottiene l’equazione di moto della macchina in regime assoluto, che esprime,in termini di equazione differenziale del primo ordine, la relazione tra le forze agenti nella macchina edil moto di questa:

ωm =

ηdM∗m(ωm) + τM∗

r (ωm)

ηdJ∗m + τ2J∗

r

per M∗m − J∗

mωm > 0

M∗m(ωm) + ηrτM

∗r (ωm)

J∗m + ηrτ2J∗

r

per M∗r − J∗

r ωr < 0

(8.59)

8.2.2 Condizioni di funzionamento in regime assoluto

Le condizioni di funzionamento in regime assoluto della macchina si ottengono imponendo nella equazionedi bilancio delle potenze la condizione di regime:

dEcdt

= 0 (8.60)

in tal modo si ottiene l’equazione:

ηdM∗m(ωm) + τM∗

r (ωm) = 0 per M∗m > 0

M∗m(ωm) + ηrτM

∗r (ωm) = 0 per M∗

m < 0(8.61)

in cui la prima equazione si riferisce a condizioni di moto diretto, e la seconda a condizioni di motoretrogrado. Si osservi che a regime, venendo a mancare il contributo dei termini inerziali, la condizionedi moto diretto/retrogrado viene determinata esclusivamente dal segno del momento ridotto del motoreo dell’utilizzatore (che devono essere necessariamente di segno opposto, per consentire la conservazionedell’energia cinetica).

La condizione di regime (8.61) rappresenta una equazione non lineare nella incognita ωm, che puoessere risolta con tecniche numeriche, ad esempio attraverso la minimizzazione di una opportuna funzioneresiduo, come visto in precedenza per le equazioni di chiusura nel metodo dei numeri complessi. Trat-tandosi di una equazione non lineare, non e possibile garantire a priori l’unicita della soluzione: si potrapercio avere un numero diverso di possibili condizioni di regime in funzione della particolare macchinaconsiderata, e quindi delle espressioni dei momenti motore e resistente ridotti.

8.2.3 Esempio applicativo: moto di un impianto di sollevamento carichi

In figura 8.5 si mostra un impianto di sollevamento carichi, composto da un motore asincrono trifase,collegato attraverso una trasmissione formata da una coppia di ingranaggi del tipo ruota elicoidale-vitesenza fine5 ad una puleggia. Sulla puleggia si avvolge una fune metallica collegata da un lato alla cabinache porta il carico da sollevare, ed alla estremita opposta ad un contrappeso. Nel seguito si indicherannocon mc, mu ed mq rispettivamente la massa della cabina a vuoto, la massa del carico utile portato dallacabina e la massa del contrappeso. Infine, sull’albero motore e calettato un volano Jv che, come si vedranel seguito, ha lo scopo di limitare l’accelerazione della cabina nella fase di avviamento dell’impianto.

5Si tratta di un tipo di rotismo atto a trasmettere il moto tra due assi fra loro ortogonali. Generalmente questo tipo ditrasmissione presenta un elevato rapporto di riduzione (ossia un valore del rapporto di trasmissione τ molto inferiore ad 1)e da un rendimento modesto.

8-12

ωm MmJv

τ , ηd, ηr

mqmc, mu

Figura 8.5: Impianto di sollevamento carichi

Cenni sul funzionamento del motore asincrono trifase

Il motore asincrono trifase e costituito da una parte fissa, detta statore e da una parte mobile, dettarotore, posta all’interno dello statore e dotata della possibilita di ruotare rispetto ad un asse fisso. Suciascuno di questi elementi e posto un avvolgimento trifase. L’avvolgimento posto sullo statore, dettoinduttore, e alimentato con un sistema di tensioni trifase alternate, che genera un campo magneticorotante con velocita angolare ωs detta velocita di sincronismo, pari a:

ωs =2πfap

(8.62)

in cui fa e la frequenza della tensione di alimentazione e p e il numero di coppie di poli dello statore.Sul rotore si genera quindi una forza elettromotrice che dipende dalla velocita angolare del rotore

e che si annulla quando questo ruota alla velocita di sincronismo, ossia in maniera sincrona rispetto alcampo magnetico generato dallo statore.

La caratteristica meccanica del motore e mostrata in figura 8.6. Come si puo osservare, tale carat-teristica assume un andamento pressoche rettilineo per velocita prossime a quella di sincronismo. Perevitare un funzionamento non corretto del motore (eccessive dissipazioni di energia con conseguente sur-riscaldamento) e necessario che il motore lavori a regime in prossimita della velocita di sincronismo, eche la sua velocita angolare non subisca eccessive oscillazioni attorno al valore di regime.

ωs

ωmωm

Mmax

Mm

Figura 8.6: Caratteristica del motore asincrono trifase

Si puo inoltre osservare che per velocita angolari superiori alla velocita di sincronismo la coppia motricediviene negativa, ossia risulta opposta alla velocita angolare dell’albero motore. In queste condizioni ilmotore asincrono trifase si comporta come un organo frenante, sottraendo potenza alla macchina.

8-13

Le inerzie del motore asincrono trifase possono essere rappresentate per mezzo di un momento diinerzia Jm che rappresenta il momento di inerzia del rotore rispetto al suo asse di rotazione.

Osservazione: Nel caso di un impianto di sollevamento carichi occorre osservare che il senso di ro-tazione del campo magnetico rotante, e di conseguenza, il verso del momento motore, viene invertito trala fase di salita e quella di discesa dell’impianto. Nella fase di salita il momento motore risulta percioconcorde con una velocita angolare del motore che produca un sollevamento del carico utile, mentre nellafase di discesa il momento motore agisce secondo il senso di rotazione che produce la discesa del carico.

Funzionamento in salita dell’impianto

Si considera innanzitutto la condizione di funzionamento dell’impianto in cui la cabina si muove versol’alto. In questa situazione la macchina e soggetta, sul lato motore, ad una coppia motrice Mm concordecon la velocita angolare dell’albero motore e dipendente da questa secondo la caratteristica di figura 8.6.

Sul lato utilizzatore invece agiscono le forze peso relative alla cabina (comprensiva del carico trasporta-to) e sul contrappeso. Come mostrato in figura 8.7, la forza peso e la velocita sono discordi sulla cabinae concordi sul contrappeso.

mqg

Vq

(mc +mu)g

Vc

ωr

mqg

Vq

(mc +mu)g

Vc

ωr

Figura 8.7: Condizione di funzionamento in salita ed in discesa del lato utilizzatore dell’impianto disollevamento carichi

Di conseguenza, la potenza motrice e la potenza resistente assumono le espressioni:

Wm =Mmωm (8.63)

Wr = −(mc +mu)gVc +mqgVq (8.64)

Ipotizzando che non vi sia strisciamento tra la fune e la puleggia, le velocita Vc della cabina e Vq delcontrappeso possono essere espresse come:

Vc = Rωr (8.65)

Vq = Rωr (8.66)

in cui R e ωr sono rispettivamente il raggio e la velocita angolare della puleggia. Inserendo tali relazioninella espressione della potenza resistente si ottiene:

Wr =M∗r ωr (8.67)

essendo il momento resistente ridotto M∗r pari a:

M∗r = −(mc +mu −mq)gR (8.68)

8-14

L’energia cinetica del lato motore e del lato utilizzatore sono rappresentate dalle seguenti espressioni:

Ecm =1

2(Jm + Jv)ω

2m (8.69)

Ecr =1

2(mc +mu)V

2c +

1

2mqV

2q +

1

2Jpω

2r (8.70)

avendo indicato con Jp il momento di inerzia della puleggia.

Inserendo nella espressione della energia cinetica del lato utilizzatore i legami cinemetici precedente-mente ricavati si ottiene:

Ecr =1

2

(mcR

2 +muR2 +mqR

2 + Jp)ω2r = J∗

rω2r (8.71)

Applicando alle espressioni ottenute l’equazione (8.59) si ottiene:

ωm =

ηdMm − τ (mc +mu −mq) gR

ηd (Jm + Jv) + τ2 (mcR2 +muR2 +mqR2 + Jp)se Mm − (Jm + Jv) ωm > 0

Mm − ηrτ (mc +mu −mq) gR

(Jm + Jv) + ηrτ2 (mcR2 +muR2 +mqR2 + Jp)se Mm − (Jm + Jv) ωm < 0

(8.72)

Funzionamento in discesa dell’impianto

Si considera in questo caso che il motore ruoti in senso tale da produrre un moto verso il basso dellacabina. Come osservato in precedenza, per effetto della inversione del senso di rotazione del campomagnetico rotante, anche il momento motore cambia verso e risulta quindi concorde con la velocitaangolare dell’albero motore, cosı come nel moto in salita.

Per quanto riguarda invece l’utilizzatore, si invertono le diresioni delle velocita della cabina e delcontrappeso, come mostrato nella parte di destra della figura 8.7.

Di conseguenza, l’espressione della potenza motrice rimane immutata rispetto al caso in salita, mentrequella della potenza resistente cambia segno. Per quanto riguarda invece l’energia cinetica l’espressionerimane uguale sia per il lato motore che per l’utilizzatore, perche la sua espressione non risente del segnodelle velocita.

Operando gli stessi passaggi descritti per il moto in salita si ottiene l’equazione di moto:

ωm =

ηdMm + τ (mc +mu −mq) gR

ηd (Jm + Jv) + τ2 (mcR2 +muR2 +mqR2 + Jp)se Mm − (Jm + Jv) ωm > 0

Mm + ηrτ ((mc +mu −mq) gR

(Jm + Jv) + ηrτ2 (mcR2 +muR2 +mqR2 + Jp)se Mm − (Jm + Jv) ωm < 0

(8.73)

8.2.4 Esempio applicativo: autoveicolo in salita

Si consideri un autoveicolo a due assi, a trazione posteriore, in moto lungo un piano inclinato. Il motore ecollegato all’assale con le ruote motrici da una trasmissione, il cui rapporto di trasmissione τ sia costantee noto, cosı come il rendimento η. Si considera la presenza di resistenza al rotolamento su entrambi gliassali. Si richiede di:

1. calcolare la coppia che consente di mantenere il veicolo in salita a regime;

2. calcolare l’accelerazione che si ottiene per una coppia motrice superiore a quella di regime;

3. verificare l’aderenza delle ruote motrici e condotte.

8-15

Figura 8.8: Veicolo in salita

Potenza delle forze attive

La potenza delle sole forze attive fornita dal motore e

Wm = Cmωm (8.74)

mentre la potenza delle sole forze attive agenti dal lato dell’utilizzatore e costituita dai contributi

Wg =M~g × ~x = −Mg sinαx (8.75)

dovuto al peso del veicolo, nel caso in cui il moto avvenga in salita lungo un piano inclinato di un angoloα; da

Wv = −Cvpωp − Cvaωa (8.76)

dovuto alle coppie resistenti al rotolamento delle ruote anteriori e posteriori.Nell’ipotesi di puro rotolamento sia delle ruote anteriori che posteriori, posta

ωp = τωm (8.77)

la velocita angolare delle ruote motrici, la velocita del veicolo e

x = Rpωp = τRpωm (8.78)

mentre la velocita angolare delle ruote anteriori risulta

ωa =x

Ra= τ

RpRa

ωm (8.79)

In base al modello presentato nel Capitolo 7, la resistenza al rotolamento e proporzionale alla compo-nente normale della reazione scambiata fra ruota e terreno e al raggio della ruota attraverso un coefficientedi resistenza al rotolamento fv; quindi la potenza espressa dalla (8.76) diventa

Wv = −fvpNpRpωp − fvaNaRaωa (8.80)

Dalle (8.77) e (8.79) si ricava

Wv = − (fvpNp + fvaNa) x (8.81)

e, nell’ipotesi di eguaglianza delle ruote degli assali anteriore e posteriore, da cui

fvp = fva = fv (8.82)

8-16

si ottiene infine

Wv = −fv (Np +Na) x (8.83)

La scrittura del bilancio di potenze richiede quindi la conoscenza della componente normale al terrenodelle reazioni scambiate con gli assali. In generale, il calcolo delle reazioni vincolari richiede la conoscenzadella dinamica e quindi le reazioni vanno calcolate simultaneamente all’equazione del moto. In questocaso particolare, pero, e agevole notare che la scrittura dell’equazione di equilibrio dell’intero veicolo indirezione perpendicolare al piano su cui avviene il moto fornisce direttamente la somma delle reazioninecessarie:

Np +Na =Mg cosα (8.84)

Quindi la potenza dissipata per rotolamento, in virtu della (8.82), diventa

Wv = −fvMg cosαx (8.85)

Coppia necessaria al moto a regime

Nella condizione in esame, di moto in salita, la potenza viene sicuramente assorbita dall’utilizzatore,quindi il moto e diretto. Quindi il bilancio di potenze da

Wm +(

Wg + Wv

)

+ Wp = 0 (8.86)

con Wp = − (1− ηd) Wm, ovvero

ηdCmωm −Mg sinαx− fvMg cosαx = 0 (8.87)

da cui, sostituendo l’espressione (8.78) della velocita x del veicolo in funzione della velocita angolare ωmdel motore si ottiene

Cm =τ

ηdMg (sinα+ fv cosα)Rp = 0 (8.88)

La coppia e sicuramente positiva in caso di pendenza α positiva; in caso di pendenza negativa, la coppiaassociata alla gravita cambia segno; la coppia motrice rimane positiva, e quindi il moto rimane diretto,fintanto che tanα > −fv.

Accelerazione allo spunto

L’energia cinetica del sistema e associata a:

• inerzia Jm del motore;

• massa M dell’intero veicolo;

• inerzia Jp dell’assale posteriore;

• inerzia Ja dell’assale anteriore.

Risulta quindi

Ec =1

2

(Jmω

2 +Mx2 + Jpω2p + Jaω

2a

)=

1

2

(

Jm + τ2

(

MR2p + Jp + Ja

R2p

r2a

))

ω2m (8.89)

Posta la potenza dissipata nella trasmissione pari a

Wp = − (1− ηd)(

Wm − Jmωmωm

)

(8.90)

8-17

dal teorema dell’energia cinetica si ricava

Cmωm − τMg (sinα+ fv cosα)Rpωm − (1− ηd) (Cm − Jmωm)ωm

=

(

Jm + τ2

(

MR2p + Jp + Ja

R2p

r2a

))

ωmωm (8.91)

da cui, dopo alcune semplificazioni, si ricava

ωm =ηdCm − τMg (sinα+ fv cosα)Rp

ηdJm + τ2

(

MR2p + Jp + Ja

R2p

r2a

) (8.92)

Verifica di aderenza delle ruote

La verifica di aderenza delle ruote non e particolarmente attinente al tema di questo capitolo; viene quidiscussa essenzialmente per illustrare come i bilanci di potenze possono anche essere utili al calcolo dellereazioni vincolari.

Ruote anteriori. La verifica di aderenza delle ruote anteriori richiede la valutazione delle componentinormale e tangenziale della reazione vincolare scambiata tra ruota e terreno.

La componente normale puo essere agevolmente ricavata scrivendo l’equilibrio dei momenti agentisull’intero veicolo rispetto ad un polo opportunamente posto al punto di contatto tra l’assale posterioreed il terreno, in modo da escludere la partecipazione della reazione scambiata con il terreno dalle ruoteposteriori stesse:

Na (p1 + p2) +Mg (h sinα− p1 cosα) +Mxh+ Jpωp + Jaωa + (Cvp + Cva) = 0 (8.93)

Si noti che la coppia motrice non partecipa a questa equazione, in quanto si tratta di una coppia internascambiata tra veicolo e assale posteriore. Considerando le definizioni

Cvp = fvNpRp (8.94)

Cva = fvNaRa (8.95)

e l’equazione (8.84), si ottiene

Cvp + Cva = fv (NpRp +NaRa) = fv (Mg cosαRp −Na (Rp −Ra)) (8.96)

e quindi, dalla (8.93),

Na =Mg (p1 cosα− h sinα)−Mxh− Jpωp − Jaωa − fvMg cosαRp

p1 + p2 − fv (Rp −Ra)(8.97)

In realta, la componente normale della reazione vincolare sulla singola ruota e la meta del valore calcolatonella (8.97). Questa relazione si semplifica qualora sia Rp = Ra, come avviene ad esempio nella maggiorparte degli autoveicoli.

La componente tangenziale della reazione vincolare si ricava, ad esempio, dall’equilibrio alla rotazionedel solo assale anteriore, per il quale si ha

Jaωa + Cva − TaRa = 0 (8.98)

in quanto non partecipano il peso, le reazioni scambiate nel vincolo con il veicolo e la componente normaledella reazione scambiata con il terreno, in quanto il loro braccio e nullo. Da questa si ricava

Ta =JaRa

ωa + fvNa (8.99)

8-18

La condizione di aderenza e data da

Na > 0 (8.100)

in quanto le ruote anteriori devono essere a contatto con il terreno6, e da

|Ta|Na

≤ fs (8.101)

Si noti che, nel caso la reazione Na diminuisca, come avviene ad esempio per effetto di una accelerazionepositiva, e possibile che la condizione (8.101) sia violata proprio a causa dell’accelerazione angolare ωadell’assale. Quindi le ruote anteriori, in caso di accelerazione sufficientemente elevata, inizierebbero astrisciare prima di arrivare alla perdita di contatto (motociclo che “impenna”).

Ruote posteriori. Il calcolo della componente normale della reazione scambiata con il terreno siricava dalle (8.84) e (8.97):

Np =Mg ((p2 − fv (Rp −Ra)) cosα+ h sinα) +Mxh+ Jpωp + Jaωa + fvMg cosαRp

p1 + p2 − fv (Rp −Ra)(8.102)

Il calcolo della componente tangenziale della reazione scambiata con il terreno puo avvenire in due modi;il primo, banale, consiste nello scrivere l’equilibrio alla traslazione dell’intero veicolo in direzione parallelaal piano inclinato, dalla quale si ottiene

Tp + Ta +Mx+Mg sinα = 0 (8.103)

da cui si ottiene

Tp = −Ta −Mx−Mg sinα (8.104)

Il secondo approccio consiste nello scrivere l’equilibrio dei momenti del solo assale posteriore che, adifferenza di quello anteriore, comprende anche la coppia motrice C:

Jpωp + Cvp − TpRp − C = 0 (8.105)

Quest’ultima si ricava scrivendo un bilancio di potenza a valle della trasmissione ove, come potenzaassorbita dall’utilizzatore, si scriva la potenza associata alla coppia −C incognita, uguale ed opposta allacoppia motrice applicata all’assale:

ηd (Cm − Jmωm)ωm − Cωp (8.106)

da cui risulta

C =ηdτ

(Cm − Jmωm) (8.107)

La reazione e quindi

Tp =JpRp

ωp + fvNp −ηdτRp

(Cm − Jmωm) (8.108)

La componente normale della reazione scambiata con il terreno, in questo caso, e essenzialmente costituitada contributi che, in caso di accelerazione positiva, tendono ad aumentarla. Quindi la principale causa dipotenziale slittamento risulta dalla coppia motrice Cm, a meno dell’inerzia accumulata dal motore stessoe dall’assale.

6Si noti che, a parte il contributo associato al peso per la distanza p1 tra l’assale posteriore ed il baricentro, tutti glialtri contributi alla reazione Na sono negativi, in caso di accelerazione positiva.

8-19

8.3 Macchina in regime periodico

Lo studio della dinamica di una macchina a regime periodico sara limitato per semplicita di trattazioneal caso in cui il motore e l’utilizzatore della macchina siano posti sullo stesso albero, senza l’interposizionedi una trasmissione.

8.3.1 Equazione di moto

L’equazione della macchina a regime periodico puo essere ottenuta mediante l’equazione di bilancio dellepotenze (8.4). Rispetto al caso della macchina a regime assoluto studiato in precedenza, si osserva che,nell’ipotesi di assenza della trasmissione, viene a mancare il termine relativo alla potenza perduta Wp,ed inoltre che, per effetto del fatto che i momenti ridotti di inerzia del motore e dell’utilizzatore sonofunzione della posizione angolare dell’albero ϑm (la quale, a sua volta, e funzione del tempo), la derivatadell’energia cinetica assume la forma:

dEcdt

=dEcmdt

+dEcrdt

= (J∗m(ϑm) + J∗

r (ϑm))ωmωm +1

2

d (J∗m(ϑm) + J∗

r (ϑm))

dϑmω3m (8.109)

in cui si e tenuto conto del fatto che:

dϑmdt

= ωm (8.110)

ed i momenti d’inerzia associati al motore (J∗m) e al carico resistente (J∗

r ) sono stati entrambi ridotti allarotazione ωm dell’albero motore.

Sostituendo queste espressioni nella equazione di bilancio di potenze si ottiene:

M∗m (ϑm, ωm) +M∗

r (ϑm, ωm) = (J∗m(ϑm) + J∗

r (ϑm)) ωm +1

2

d(J∗m + J∗

r )

dϑmω2m (8.111)

ed, esplicitando rispetto alla accelerazione angolare dell’albero:

ωm =


r (ϑm, ωm)− 1

2

(

dJ∗m

dϑm+

dJ∗r

dϑm

)

ω2m

J∗m(ϑm) + J∗

r (ϑm)(8.112)

in cui anche la coppia motrice M∗m e quella resistenteM∗

r sono state ridotte alla rotazione ωm dell’alberomotore.

8.3.2 Funzionamento in regime periodico: irregolarita periodica

Per una macchina retta da una equazione di moto avente la forma (8.112) non e possibile determinareuna condizione di funzionamento in regime assoluto. Infatti, per avere una condizione di regime assolutosarebbe necessario che, in ogni istante del funzionamento, le derivate dei momenti di inerzia associatialle parti motrice e resistente della macchina si annullassero, cosı come le coppie motrice e resistente.

Infatti se si impone la condizione di regime assoluto:

dEcdt

= 0 (8.113)

si ottiene l’equazione:


r (ϑm, ωm) = 0 (8.114)

Tale equazione puo risultare soddisfatta in particolari istanti del funzionamento della macchina, in cuioccasionalmente il momento motore ed il momento resistente assumono valori opposti, ma non puo esseresoddisfatta identicamente per qualsiasi valore del tempo, perche i due momenti agenti sull’albero motoredipendono secondo espressioni diverse dalla posizione angolare dell’albero.

8-20

E’ pero possibile imporre che l’andamento dell’energia cinetica, pur non risultando esattamentecostante nel tempo, sia periodico con periodo T :

Ec(t+ T )− Ec(t) =

∫ t+T

t

dEcdt

dt = 0 (8.115)

Cio significa che nel proprio moto la macchina subira una periodica alternanza di fasi di accelerazionee di decelerazione, tali pero da compensarsi a vicenda, in modo che la velocita media della macchina(anch’essa da valutarsi sul periodo T ) non cambi.

Se si integra l’equazione (8.4) di bilancio delle potenze tra il generico tempo t ed il tempo t+ T e siimpone la condizione (8.115) si ottiene:

∫ t+T

t

(M∗m +M∗

r )ωmdt =

∫ t+T

t

dEcdt

dt = 0 (8.116)

si osservi poi che:

ωm =dϑmdt

⇒ ωmdt = dϑm (8.117)

e si ponga:

ϑ = ϑm(t) (8.118)

Θ = ϑm(T + t)− ϑm(t) (8.119)

si osservi che Θ rappresenta l’angolo di cui l’albero motore ruota in un periodo T . Inserendo tali relazioninell’integrale calcolato in precedenza nella (8.116) si ottiene:

∫ ϑ+Θ

ϑ

(M∗m +M∗

r ) dϑm = 0 (8.120)

tale equazione mostra che la macchina funziona in regime periodico se l’integrale esteso al periodo dellasomma del momento motore e del momento resistente si annulla, ovvero se i valori medi nel periodo deidue momenti sono uguali ed opposti:

∫ ϑ+Θ

ϑ

M∗mdϑm = −

∫ ϑ+Θ

ϑ

M∗r dϑm (8.121)

Una funzione periodica continua e regolare7 puo presentare in un periodo un numero arbitrario diminimi e massimi relativi per i quali si annulla la derivata prima; tra questi devono necessariamenteessere compresi un massimo ed un minimo assoluti, che sono rispettivamente i valori piu grande e piupiccolo assunti dalla funzione nel periodo.

In un moto periodico anche l’energia cinetica e una funzione periodica del tempo; in presenza disollecitazioni a scalino8 la velocita non e piu regolare ma rimane continua; in presenza di sollecitazioniimpulsive9 la velocita non e piu neppure continua, ma presenta a sua volta un salto. In ogni caso, in unperiodo, e sempre possibile individuare almeno un massimo ed un minimo assoluti di valore finito; neipunti di massimo e di minimo si hanno le condizioni di energia cinetica massima e minima. Si consideri,per semplicita espositiva, un sistema per il quale il momento d’inerzia totale ridotto all’albero motoresia costante; per esso, il minimo ed il massimo dell’energia cinetica corrispondono con il minimo ed ilmassimo della velocita angolare.

7Ovvero una funzione la cui derivata prima e anch’essa continua.8Ovvero sollecitazioni che variano bruscamente nel tempo, soggette a discontinuita con “salto”.9Ovvero sollecitazioni di durata molto breve, idealmente infinitesima, ma il cui integrale nel tempo sia finito, e quindi

di ampiezza molto elevata, idealmente infinita.

8-21

Si consideri ora l’integrale della potenza delle forze d’inerzia dall’istante tmin, in cui si ha il minimodella velocita, all’istante tmax, in cui la velocita raggiunge il suo valore massimo

∆Ltmax

tmin=

∫ ϑmax

ϑmin

(M∗m +M∗

r ) dϑ

=

∫ tmax

tmin

J∗ωω dt

=

∫ ωmax

ωmin

J∗ω dω

=1

2J∗(ω2max − ω2

min

)

=1

2J∗ (ωmax + ωmin) (ωmax − ωmin)

= J∗ωmed (ωmax − ωmin) (8.122)

dove si e introdotta la velocita media ωmed come la media aritmetica tra le velocita massima e minima

ωmed =ωmax + ωmin

2(8.123)

L’integrale (8.122) rappresenta il lavoro compiuto dalle sollecitazioni attive a cui e soggetto il sistemadurante il transitorio che porta dalla velocita minima a quella massima; esso e uguale ed opposto allavoro assorbito durante il transitorio successivo dalla velocita massima alla minima, e quindi entrambirappresentano una misura della variabilita delle coppie in gioco durante un periodo.

Spesso, un problema tecnico presentato dalle macchine che operano in regime periodico consiste nellimitare le oscillazioni di velocita che la macchina subisce nel suo periodo di funzionamento. L’entitadelle oscillazioni di velocita puo essere quantificata per mezzo di un parametro adimensionale i, dettogrado di irregolarita periodica e definito come

i =ωmax − ωmin

ωmed(8.124)

Si ricavi la variazione di velocita dalla (8.122) e la si sostituisca nella (8.124):

i =∆Ltmax

tmin

J∗ω2med

(8.125)

La (8.125) mostra come, a pari variabilita delle forze attive sul periodo e a pari velocita media difunzionamento, l’aumento dell’inerzia ridotta J∗ abbia l’effetto di limitare l’irregolarita periodica dellamacchina. A tal fine viene di norma aggiunto un volano, il cui momento di inerzia puo essere determinatoper mezzo di metodi approssimati come quello sopra esposto.

Si consideri, ora, un sistema in cui sia rimossa l’ipotesi di costanza del momento d’inerzia ridottoall’albero motore, ma in cui sia presente un volano di inerzia Jv; le coppie d’inerzia a meno di quelle delvolano si considerino parte della sollecitazione attiva:

Jvωω =

(

M∗m +M∗

r − J∗ω − 1

2

dJ∗

dtω2

)

ω (8.126)

L’integrale del secondo membro della (8.126) tra tmin e tmax rappresenta ora il lavoro ∆Ltmax

tmindelle forze

complessive agenti sul sistema, incluso l’effetto moderatore dell’irregolarita periodica operato dall’inerziadel sistema stesso. In analogia con la (8.122) si ottiene:

∆Ltmax

tmin=

∫ ϑmax

ϑmin

(

M∗m +M∗

r − J∗ω − 1

2

dJ∗

dtω2

)

dϑ

= Jvω2medi (8.127)

8-22

e quindi si ricava un utile criterio per il dimensionamento di un ulteriore volano, ai fini del contenimentodell’irregolarita periodica.

L’integrazione numerica delle equazioni di moto della macchina in regime periodico puo essere uti-lizzata, ad esempio, per verificare a posteriori la correttezza del dimensionamento del volano, in quantorende possibile valutare l’effettiva irregolarita della macchina con volano montato, prescindendo dalleipotesi semplificative che stanno alla base delle metodologie utilizzate nel dimensionamento di questocomponente.

Inoltre l’integrazione numerica delle equazioni di moto puo essere utilizzata per valutare le componentiarmoniche del momento torcente che viene applicato all’albero motore durante il funzionamento dellamacchina, e fornisce quindi la base per lo studio delle vibrazioni torsionali della macchina stessa. Questoargomento verra ripreso nel seguito del corso.

8.3.3 Esempio applicativo: motore alternativo a combustione interna

Nel capitolo 3 e stato illustrato il funzionamento del motore alternativo a combustione interna. Daldiagramma di figura 3.9 e evidente come la potenza delle varie fasi abbia non solo valore, ma anche segnodiverso: durante la fase di compressione, il fluido riceve lavoro dal pistone, che, dal punto di vista dellamacchina, risulta quindi assorbito, mentre, durante la fase di espansione, il lavoro viene restituito dalfluido alla macchina; in piu, durante tutte le fasi, la macchina deve vincere attriti ed altre resistenze. Lacoppia fornita dal motore e quindi fortemente variabile su di un ciclo che, per un motore monocilindricoa 4 tempi, e costituito da due giri completi, ovvero Θ = 4π, ed e tipicamente positiva solo per circa unquarto del periodo, ovvero π/2.

Un’altra fonte di periodicita nel moto di questo tipo di macchina e legata alla dipendenza dell’inerziaridotta all’albero motore dalla posizione angolare dell’albero stesso, come illustrato dall’equazione (3.57).

8.3.4 Esempio applicativo: pompa a stantuffo

Si tratta di un meccanismo cinematicamente analogo al motore alternativo a combustione interna, ovverodi un manovellismo ordinario che spinge un pistone, il quale a sua volta, in prima approssimazione, aspiraun fluido a pressione Pa ragionevolmente costante durante la fase di discesa, e lo espelle a pressione Psdi nuovo ragionevolmente costante durante la fase di risalita.

Nelle ipotesi fatte, e considerando costante la coppia Cm fornita dal motore, e relativamente agevolecalcolare il lavoro su un periodo, pari ad un giro e quindi a 2π, che e dato da

∆L2π0 =

∫ 2π

0

(

Cm − dc

dϑApP

)

dϑ

= 2πCm −Ap (cmax − cmin) (Ps − Pa)

= 0 (8.128)

dove si e posta c = c (ϑ) la corsa del pistone, e si e sfruttato il fatto che la pressione e costante durantele fasi di aspirazione ed espulsione, e quindi

∣∣∣∣

∫ π

0

dc

dϑdϑ

∣∣∣∣= (cmax − cmin) (8.129)

Il diverso segno tra le pressioni Pa e Ps e dovuto al fatto che durante l’aspirazione lo stantuffo scendee quindi il gas compie lavoro positivo, mentre durante l’espulsione il pistone sale e quindi il gas compielavoro negativo, ovvero assorbe lavoro dalla macchina.

Dalla (8.128) si ricava la coppia motrice necessaria a mantenere la condizione di moto periodico

Cm =1

2πAp (cmax − cmin) (Ps − Pa) (8.130)

8-23

8.3.5 Esempio applicativo: motore elettrico in corrente continua

Nel Capitolo 9 viene illustrato l’azionamento elettromeccanico in corrente continua. In tale sistema, lacoppia erogata, ancorche in genere ritenuta costante ad una data velocita di rotazione, risulta in realtaperiodica. Si rimanda a tale capitolo per una discussione piu estesa della natura di questa periodicita eper una breve illustrazione del regime periodico.

8-24

Capitolo 9

Azionamento elettromeccanico incorrente continua


9.1 Introduzione

In questo capitolo viene presentato un semplice esempio di azionamento elettromeccanico: il motore elet-trico in corrente continua. Questo esempio viene usato per illustrare in generale i principi dell’attuazioneelettromeccanica, in quanto consente, attraverso l’utilizzo di semplici nozioni di elettromagnetismo, didescrivere in modo completo ed efficace un sistema multidisciplinare, in cui la potenza elettrica vienetrasformata in potenza meccanica1. Dallo studio di questo semplice modello si passa poi allo studio ingenerale della stabilita dei sistemi in cui un motore viene accoppiato ad un utilizzatore.

9.2 Motore elettrico in corrente continua

Il motore elettrico in corrente continua e costituito da una parte rotante, detta rotore, che ruota rispettoad una cassa, detta statore, nella quale e presente un campo magnetico idealmente uniforme. La presenzadi spire sul rotore fa sı che si generi tra rotore e statore una coppia in funzione della corrente circolantenelle spire, mentre la velocita di rotazione relativa fra rotore e statore fa sı che si generi un campo elettricoindotto lungo le spire.

Il principio di funzionamento e illustrato in figura 9.1; la figura 9.2 mostra invece uno schemacostruttivo del rotore.

9.2.1 Considerazioni generali

Se una carica elettrica q e in moto con velocita ~v in un campo magnetico uniforme ~B, su di essa nasceuna forza

~F = q~v ∧ ~B, (9.1)

detta forza di Lorenz. Se al posto della carica q con velocita ~v si considera una corrente i = dq/dt chescorre lungo un conduttore rettilineo di lunghezza L, al posto di q~v si puo sostituire L~i, ove ~i e il vettoreche esprime la corrente i lungo la direzione del conduttore, supposta fissata. La forza ~F che agisce su unconduttore rettilineo di lunghezza L posto in un campo magnetico uniforme ~B e quindi

~F = L~i ∧ ~B, (9.2)

ed e perpendicolare al piano individuato dal flusso magnetico ~B e dal vettore corrente ~i.

1O, viceversa, la potenza meccanica viene trasformata in potenza elettrica, come nei generatori di corrente.

9-1

Figura 9.1: Principio di funzionamento del motore in corrente continua.

Figura 9.2: Disegno schematico del rotore di un motore in corrente continua.

9-2

Analogamente, se un conduttore viene mosso con velocita ~v all’interno di un campo magnetico ~B, sulconduttore viene indotto un campo elettrico

~E = ~B ∧ ~v (9.3)

a cui corrisponde, sulla lunghezza L del conduttore, una differenza di potenziale

∆~V = −L~B ∧ ~v (9.4)

tra i due capi del conduttore.

9.2.2 Architettura generale

La realizzazione di una macchina elettrica in corrente continua prevede pertanto che il conduttore vengamesso in moto all’interno di un campo magnetico ~B realizzato mediante magneti permanenti o in alter-nativa mediante un circuito di induzione. Il motore in c.c. e costituito da un rotore e da uno statore:nello statore e presente un sistema di magneti permanenti (motore a magneti permanenti) oppure unaserie di avvolgimenti percorsi da una corrente di eccitazione (motori a campo avvolto) che generano uncampo magnetico fisso nello spazio, idealmente uniforme e costante nel tempo, entro cui si muove ilrotore. Quest’ultimo e costituito da un albero sulla cui periferia e presente un avvolgimento formato dauna serie di conduttori (avvolgimento di armatura), diretti lungo l’asse dell’albero in modo da formaredelle spire che quindi si trovano a ruotare all’interno del campo magnetico.

Tale avvolgimento e munito di numerose prese equidistanti connesse ad un cilindro costituito da tantelamelle, isolate tra loro, su cui poggiano le spazzole che costituiscono il collegamento elettrico (strisciante)tra rotore e statore. I motori a magneti permanenti, cosı come quelli a campo avvolto se la corrente dieccitazione e mantenuta costante, vengono regolati attraverso la tensione di armatura ea; naturalmenteesistono altri modi per comandare un motore in c.c., ad esempio attraverso la corrente di armatura ia.

Quando il rotore si muove all’interno del campo magnetico, su di esso si manifestano due fenomeni,uno elettrico e uno meccanico. Si consideri, in un sistema di riferimento cartesiano, l’asse del rotorediretto come z, e il campo magnetico ~B diretto come x.

9.2.3 Forza elettromotrice indotta

Per effetto della velocita di rotazione ~ω del rotore, i lati della spira diretti come l’asse del rotore simuovono nel campo magnetico con velocita

~v = ~ω ∧ ~R (9.5)

proporzionale a ω e diretta perpendicolarmente alla posizione radiale del conduttore.L’equazione (9.4) applicata ad uno dei lati della spira diretti come l’asse del rotore diventa

∆~V ∗b = −L~B ∧

(

~ω ∧ ~R)

(9.6)

e quindi, per costruzione, la differenza di potenziale indotta e sempre diretta come z e ha formacosinusoidale:

∆V ∗b = −LRBω cos θ (9.7)

avendo preso la direzione del campo magnetico come riferimento per l’angolo θ, ove ω = θ.Si noti che la forza elettromotrice indotta sui lati della spira diretti radialmente e nulla in quanto

diretta come z e quindi perpendicolare al conduttore stesso.La forza elettromotrice indotta sulla singola spira e quindi due volte quella fornita dalla (9.7)

∆V ∗∗b = −2LRBω cos θ. (9.8)

Allo stesso risultato si puo giungere a partire dalla definizione della tensione indotta su una spira pereffetto della variazione del flusso magnetico Φ attraverso la spira stessa,

∆V ∗∗b = −dΦ

dt. (9.9)

9-3

Nel caso in esame il flusso e

Φ = ~B × ~A = 2LRB sin θ, (9.10)

in quanto la normale ~n dell’area A = 2RL e inclinata dell’angolo θ−π/2 rispetto alla direzione del campo

magnetico ~B. La variazione del flusso Φ e legata alla variazione di area efficace a seguito della rotazionedella spira; si ha quindi

dΦ

dt= 2LRBω cos θ, (9.11)

da cui la relazione (9.8).

9.2.4 Coppia motrice

La forza che si esercita su uno dei lati della singola spira diretti come l’asse del rotore per effetto dellacorrente di armatura fornisce al rotore una coppia

~C∗ = ~R ∧(

L~i ∧ ~B)

(9.12)

che e diretta, per costruzione, come l’asse del rotore, e varia cosinusoidalmente con la posizione angolaredel rotore

C∗ = LRBi cos θ (9.13)

Anche in questo caso, si noti che la forza che nasce sui lati della spira diretti radialmente non partecipaalla coppia applicata al rotore, in quanto sempre diretta come z.

La coppia totale che si esercita sul rotore per effetto dell’intera spira e quindi

C∗∗ = 2LRBi cos θ (9.14)

9.2.5 Contatti striscianti

Dalle (9.8) e (9.14) si evince che la forza elettromotrice indotta, come pure la coppia, sono mediamentenulle su un giro. Tuttavia, considerando ad esempio la coppia, se all’atto del passare da positiva anegativa si inverte la polarita dei contatti agli estremi della spira, si ottiene una coppia

C = 2LRBi |cos θ| (9.15)

il cui valore medio e

C =1

2π

∫ 2π

0

C dθ =4

πLRBi (9.16)

La funzione che descrive la dipendenza della coppia dall’angolo θ e tutt’altro che costante e regolare;tuttavia, se si considera l’insieme delle spire, sfasate in modo da distribuire con uniformita i massimi e lecuspidi di |cos θ|, si ottiene una funzione caratterizzata da un valore medio pari a N volte la coppia (9.16)

Cm = N4

πLRBi (9.17)

e da una piccola irregolarita con frequenza pari ad un multiplo della velocita di rotazione legato al numerodelle spire, N , come illustrato in figura 9.3.

In modo analogo si ottiene che la forza elettromotrice indotta, in presenza di contatti striscianti cheinvertono la polarita ogni mezzo giro, e data dalla relazione

∆Vb = −2LRBω |cos θ| (9.18)

9-4

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N=1N=3N=7

N=15

θ [giri]

C,e b

[adim

]2/π

Figura 9.3: Distribuzione sul giro di coppia e forza elettromotrice indotta da una spira in un motoreelettrico in c.c. al crescere del numero delle spire N ; il valore fornito dalla singola spira tende rapidamenteal valor medio 2/π, pari a circa 0.63662.

il cui valore medio e

∆V b = − 1

2π

∫ 2π

0

∆Vb dθ = − 4

πLRBω (9.19)

mentre la forza elettromotrice indotta media associata a tutte le spire e pari a N volte la (9.19)

eb = −N 4

πLRBω (9.20)

Sia la coppia che la forza elettromotrice indotta presentano quindi un andamento sul giro che esostanzialmente costante, con piccole perturbazioni a frequenza pari a 2N la velocita di rotazione. Questodisturbo va sotto il nome di ripple; ove necessario, puo essere tenuto in conto usando le tecniche illustratenel paragrafo 8.3 per il moto in regime periodico.

Le spazzole possono essere sostituite, in motori moderni, da circuiti di commutazione della tensioneche consentono di realizzare la funzionalita desiderata evitando la complessita meccanica e i problemi diusura e di manutenzione associati alla soluzione tradizionale. Questi motori sono detti brushless, ovverosenza spazzole.

9.2.6 Potenza elettromeccanica

La potenza meccanica associata al motore e data dal prodotto tra la coppia fornita dal motore e lavelocita angolare che si sviluppano tra rotore e statore

Πm = Cmω = N4

πLRBiω (9.21)

ed e positiva, in quanto e generata dal motore.La potenza elettrica associata al motore e data dal prodotto tra la forza elettromotrice indotta dal

movimento del rotore all’interno del campo magnetico dello statore, e la corrente che percorre le spire

Πe = ebi = −N 4

πLRBωi (9.22)

9-5

Figura 9.4: Il modello del motore in corrente continua

ed e negativa in quanto e assorbita dal motore.Le due potenze sono uguali ed opposte; questo significa che in un bilancio di potenza non partecipano,

in quanto dal punto di vista elettromeccanico, ovvero, per quanto concerne il solo fenomeno dell’induzioneelettromagnetica, il motore trasforma potenza, ma non ne genera e neppure ne dissipa.

Ne consegue che la coppia fornita dal motore puo essere espressa come

Cm = Ki (9.23)

mentre la forza elettromotrice esercitata dal rotore sul circuito di alimentazione puo essere espressa come

eb = −Kω (9.24)

mediante la stessa caratteristica K, che nei motori a magneti permanenti e costante, mentre in quelli av-volti e proporzionale al flusso magnetico generato dagli avvolgimenti sullo statore, il quale e proporzionalea sua volta alla corrente di eccitazione.

9.2.7 Modello elettrodinamico del motore in c.c.

La prima caratteristica da considerare in un motore e la sua impedenza elettrica. La miglior via dideterminazione e sperimentale, mediante una sua identificazione: fissato il rotore e applicando al motoreuna tensione armonica a frequenza variabile, e possibile misurare la corrente risultante e determinare lacaratteristica tra corrente e tensione. Il circuito elettrico equivalente risulta formato da una resistenzain serie ad un sistema di resistenza e induttanza in parallelo tra loro, secondo lo schema riportato infigura 9.4.

In tale sistema, Ra e La rappresentano rispettivamente la resistenza e l’induttanza dell’armatura,mentre ea ed ia sono la tensione e la corrente di armatura. La resistenza Ra dell’armatura esprimela resistenza elettrica che l’insieme delle spire esercita sulla corrente di armatura ia. L’induttanza Ladell’armatura esprime l’effetto di autoinduzione elettromagnetica che le spire esercitano su se stesse. Lapresenza della resistenza RL viene spiegata attraverso le perdite nel circuito magnetico2: tale valore RL si

2A cavallo di due elementi in parallelo si ha la stessa differenza di potenziale, mentre la corrente complessiva si ripartiscetra i due componenti. Nel caso in esame, i due componenti hanno caratteristiche dinamiche differenti: il resistore e percorsoda una corrente

iR =∆V

RL(9.25)

mentre l’induttore e percorso da una corrente che, nel dominio delle frequenze, si esprime come

iL =∆V

jΩLa(9.26)

Ne consegue che, in condizioni stazionarie, ovvero per i costante e Ω = 0, la differenza di potenziale sara nulla e quindi lacorrente passera tutta per l’induttanza, mentre a frequenza Ω tendente ad infinito la corrente passera tutta per la resistenza.Per valori finiti di frequenza, la corrente si ripartisce tra i due rami, privilegiando la resistenza via via che la frequenzacresce. In conclusione:

9-6

Figura 9.5: Il modello essenziale del motore in corrente continua

presenta molto maggiore del corrispondente Ra (5-10 volte), ritenendo pertanto il suo effetto trascurabile,in quanto, a bassa frequenza, la corrente che passa per la resistenza RL e minima.

Il circuito elettrico equivalente diventa pertanto come in figura 9.5 ed e pertanto possibile scriverel’equazione di chiusura della maglia (annullamento delle tensioni sulla maglia) per l’avvolgimento rotorico

Ladiadt

+Raia − eb = ea (9.27)

dove la forza controelettromotrice eb risulta proporzionale alla velocita angolare del rotore stesso, comeindicato nella (9.24).

Nei motori a magneti permanenti il controllo in genere si ottiene variando la tensione di alimentazioneea. Nei motori ad avvolgimento, come ulteriore parametro di controllo si dispone anche della tensione dialimentazione degli avvolgimenti, la quale fa variare K.

9.2.8 Funzionamento e rendimento del motore elettrico in c.c.

Si consideri l’equazione (9.27) del motore elettrico in condizioni di regime; in questo caso, da essa epossibile esplicitare la corrente elettrica

ia =ea −Kω

Ra(9.28)

che, sostituita nella (9.23), consente di esprimere la dipendenza della coppia dalla velocita angolare delmotore

Cm =K

Raea −

K2

Raω (9.29)

detta anche curva di funzionamento. Essa ha andamento rettilineo, con pendenza negativa; puo esseretraslata verticalmente variando la tensione di alimentazione ea, come illustrato in figura 9.6.

La potenza elettrica che occorre fornire al motore e

Πentrante = eaia (9.30)

che, in condizioni di regime, ovvero per corrente ia costante, a partire dalla (9.27), diventa

Πentrante = Rai2a +Kωia (9.31)

• considerare infinita la resistenza RL significa privilegiare il comportamento “lento” del circuito, ovvero considerarneun’approssimazione statica;

• la resistenza RL non ha un significato fisico preciso; serve a descrivere l’evidenza sperimentale che ad alta frequenza,quando nel modello sopra indicato una frazione via via piu rilevante della corrente si trova a passare per la resistenzaanziche per l’induttanza, si manifesta una dissipazione di potenza via via maggiore nel circuito.

9-7

Figura 9.6: Curve di funzionamento di un motore elettrico in corrente continua per diverse tensioni dialimentazione ea (rette oblique); la curva Cr rappresenta la coppia resistente generata da un genericoutilizzatore, cambiata di segno.

La potenza uscente, sotto forma di potenza meccanica, e data da

Πuscente = −Cmω (9.32)

ovvero, mediante la (9.23)

Πuscente = −Kiaω (9.33)

Ne risulta un rendimento

η = − Πuscente

Πentrante=

1

1 +Raia

Kω

(9.34)

che dipende da corrente e velocita angolare. Si noti che il rendimento va a zero nel momento in cui lacoppia, e quindi la corrente, non e nulla ma si annulla la velocita angolare, e quindi il motore, fermo, devesostenere un carico. Inoltre, il rendimento e minore di 1 ogni qual volta ci sia corrente, e quindi coppia;la riduzione del rendimento e di natura puramente elettrica, ed e legato alla differenza di potenziale cheesprime la dissipazione ohmica nel conduttore, descritta dal termine Raia, e al suo rapporto con la forzaelettromotrice indotta, Kω.

9.3 L’azionamento in corrente continua

Si consideri un sistema costituito da un motore in c.c. con un carico inerziale illustrato in figura 9.7. Inquesta fase si vuole giungere alla scrittura delle equazioni di moto facendo alcuni cenni alla regolazionedi tale sistema.

Il sistema in esame e pertanto costituito da una massa m all’estremita di una trave priva di massa eschematizzabile come un corpo rigido di lunghezza L.

L’altro estremo della trave e vincolato tramite una cerniera in modo tale essa possa compiere unmoto rotatorio nel piano orizzontale. Supponendo che gli attriti che si sviluppano nella cerniera sianorappresentabili con uno smorzatore di tipo viscoso, nascera una coppia resistente proporzionale allavelocita di rotazione della trave tramite il coefficiente di smorzamento viscoso equivalente rt.

E possibile scrivere l’equazione di moto del sistema tenendo conto dell’inerzia del motore Jm e delcarico ridotto all’albero motore Jr = ml2 e di inevitabili dissipazioni introdotte nel modello attraverso il

9-8

Figura 9.7: Un carico inerziale

termine proporzionale alla velocita:

(Jm + Jr) θ + rtθ = C. (9.35)

Ricordando l’espressione della coppia motrice (9.23) e le (9.27) e (9.24), si ottiene il sistema diequazioni:

Jθ + rtθ −Kia = 0

Ladia

dt+Raia +Kθ = ea

(9.36)

dove con J si e indicata l’inerzia totale, comprensiva sia del momento d’inerzia del motore che del carico.Il sistema di equazioni descrive pertanto la dinamica del sistema; si nota come la dinamica delle

variabili di stato caratteristiche del motore sono mutuamente influenzate con le grandezze di statocaratteristiche della meccanica.

In conclusione si vuole illustrare come spesso anche le discipline legate al controllo e all’automaticadiventino parte integrante della modellazione dinamica.

Si pensi infatti di voler portare il sistema in una posizione desiderata o di riferimento θrif (controlloin posizione). L’azione della coppia motrice C = Kia deve essere cosı regolata in modo da minimizzarela differenza tra la posizione angolare θ e quella di riferimento θrif.

9.3.1 Controllo in tensione

Essendo il motore l’organo di attuazione, la regolazione avviene tramite la tensione ea di alimentazioneche potra assumere, ad esempio, la forma:

ea = Kp (θrif − θ) (9.37)

in caso di semplice controllo proporzionale, o

ea = Kp (θrif − θ) +Ki

∫ t

t0

(θrif − θ) dt (9.38)

in caso di controllo proporzionale ed integrale.

Risposta in anello aperto. Si usi la trasformata di Laplace per esprimere la perturbazione dirotazione θ in funzione delle perturbazioni di tensione di alimentazione ea e di coppia dell’utilizzatoreCr,

(sL+R) ia + sKθ = ea (9.39a)(s2J + srt

)θ −Kia = Cr. (9.39b)

9-9

++

CrC(s)

G(s)ea θ

Figura 9.8: Schema a blocchi del sistema in anello aperto

Tipicamente Cr < 0 quando il funzionamento e diretto. Esplicitando la corrente ia dalla (9.39a) esostituendola nella (9.39b) si ottiene

s(s2LaJ + s (RaJ + Lart) +

(Rart +K2

))θ = Kea + (sLa +Ra)Cr, (9.40)

da cui

θ =1

s

K

(s2LaJ + s (RaJ + Lart) + (Rart +K2))︸︷︷︸

G(s)

ea (9.41)

+1

s

(sLa +Ra)

(s2LaJ + s (RaJ + Lart) + (Rart +K2))︸︷︷︸

C(s)

Cr. (9.42)

La figura 9.8 mostra lo schema a blocchi del sistema in anello aperto.La funzione di trasferimento del sistema in anello aperto G(s) ha un polo nell’origine e altri due poli,

tipicamente reali negativi e ben separati:

s = p1|2 = −RaJ + Lart2LaJ

±

√√√√

(

RaJ + Lart

2LaJ

)2

− Rart +K2

LaJ, (9.43)

di cui quello a piu alta frequenza associato alla dinamica della parte elettrica, e quello a piu bassafrequenza associato alla dinamica della parte meccanica.

Occorre notare che non e stata specificata la natura della coppia dell’utilizzatore; qualora essa presen-tasse una significativa dipendenza dall’angolo θ o dalle sue derivate potrebbe modificare anche sostanzial-mente la natura del sistema. Per questo motivo la regolazione di un sistema dinamico da una parterichiede una conoscenza il piu possibile dettagliata della natura del sistema, mentre dall’altra deve essereil piu possibile robusta per comportarsi adeguatamente anche in presenza di incertezze sul modello.

Controllo proporzionale. Il sistema di equazioni da risolvere, a partire dalla (9.36), diventa

Jθ + rtθ −Ki = 0 (9.44a)

Ladia

dt+Raia +Kθ = −Kp (θ − θrif) (9.44b)

Quest’ultimo costituisce un sistema controllato in anello chiuso con una retroazione proporzionale all’er-rore angolare. L’obiettivo del controllo e quello di fare in modo che la rotazione del braccio θ (t) seguaal meglio l’andamento desiderato θrif (t) (controllo in posizione).

In questo esempio la grandezza in ingresso e la rotazione di riferimento del braccio θrif (t), mentre lagrandezza in uscita e la rotazione effettiva del braccio stesso, θ (t).

La presenza del termine di controllo proporzionale fa sı che la tensione di alimentazione vari in mododa garantire una coppia che si oppone all’errore di posizionamento. Tuttavia, in presenza di coppiaresistente non nulla, perche nasca una coppia del motore che contrasti l’errore occorre che l’errore sia

9-10

-100-80-60-40-20

0 20

1 10 100 1000

dB

open loop

-270-240-210-180-150-120

-90

1 10 100 1000

deg

ω

Figura 9.9: Diagramma di Bode della funzione di trasferimento in anello aperto del motore elettrico inc.c.

+ ++

−

CrC(s)

G(s)

ea θ

R(s)

θrif

Figura 9.10: Schema a blocchi del sistema in anello chiuso

non nullo, e tanto piu grande quanto piu piccolo e il coefficiente di guadagno Kp. Aumentare il guadagnoKp riduce l’errore ma non lo puo annullare. Inoltre, un aumento eccessivo porta conseguenze negativesulla stabilita del sistema controllato.

La funzione di trasferimento in anello aperto

G(s) =1

s

K

(s2LaJ + s (RaJ + Lart) + (Rart +K2)), (9.45)

illustrata in Figura 9.9 (a titolo di esempio, La = 10−4, J = 0.1, K = 0.1, Ra = 0.01 e rt = 0), esprimela rotazione θ del motore in funzione della tensione di alimentazione ea.

Con riferimento allo schema a blocchi del sistema retroazionato di figura 9.10, il controllo pro-porzionale consiste nel progettare il regolatore R(s), che concorre a formare la funzione d’anello delsistema regolato L(s) = R(s)G(s), nel modo piu semplice possibile, in base solamente ad un progettostatico. Con i metodi dell’automatica, si ipotizzi infatti di realizzare un regolatore R(s) = R1(s)R2(s),ove R1(s) = s−gRµR viene progettato staticamente, mentre R2(s) e una funzione polinomiale razionaleche garantisca la stabilita del sistema controllato. Nel caso del controllo proporzionale, si sceglie a priorigR = 0 e R2(s) = 1, nell’ipotesi di poter ottenere le prestazioni desiderate contestualmente alla stabilitadel sistema agendo soltanto sul guadagno µR = Kp. La funzione d’anello L(s) = R(s)G(s) diventa quindi

9-11

-100-80-60-40-20

0 20

1 10 100 1000

dBopen loop

open loop, regulatedclosed loop

-240

-180

-120

-60

0

1 10 100 1000

deg

ω

Figura 9.11: Diagramma di Bode delle funzioni di trasferimento in anello aperto e chiuso del motoreelettrico in c.c.

L(s) = KpG(s), il che corrisponde a traslare verticalmente la curva del modulo della funzione G(s) neldiagramma di Bode senza modificarne la fase.

Siccome il sistema ha un polo nell’origine, a bassa frequenza la fase e −90 gradi. Quando la frequenzasi avvicina al polo non nell’origine piu piccolo in modulo, o polo dominante, la fase tende a −180 gradi.Siccome secondo il criterio di Bode occorre che l’attraversamento dell’asse a 0 dB avvenga quando la fasee sufficientemente in anticipo rispetto a −180 gradi, esso deve avvenire a frequenza inferiore a quella delpolo dominante.

Sia ωc la frequenza alla quale il modulo della funzione L(s) vale 0 dB (frequenza di crossover); siaω la frequenza alla quale il modulo della funzione L(s) vale −3 dB, in modo da avere un certo marginerispetto a ωc. Se si approssima la funzione di trasferimento del sistema con il solo polo dominante, inaggiunta a quello nell’origine, si ha una fase di −120 gradi, che garantisce un margine di fase di 60 gradi,quando ωc = −p1/

√3. Allora L(jω), per ω < ωc, vale circa

L(jω) ∼= 1

jω

KpK

Rart +K2. (9.46)

Imponendo che 20 log10(‖L(jω)‖) = −3 dB si ricava

Kp = 10−3/20ωRart +K2

K∼= 0.7ω

Rart +K2

K. (9.47)

Questo valore rappresenta il limite superiore al guadagno che garantisce la stabilita con un semplicecontrollo proporzionale. Occorre notare che un controllo di questo tipo non e necessariamente robusto,ne rende il sistema particolarmente performante, in quanto non consente di aumentare sensibilmente ilguadagno a bassa frequenza.

Esercizio 9.1 Si calcolino il margine di fase e di guadagno della funzione di trasferimento (9.45).

Esercizio 9.2 Si verifichi la robustezza del controllo proporzionale appena progettato, in termini dimargine di fase e di guadagno, al variare di rt.

La Figura 9.11, rispetto alla 9.9, mostra anche la funzione di trasferimento in anello aperto scalata peril guadagno µR, ovvero la funzione d’anello L(s), mettendo in evidenza come essa valga −3 dB quando

9-12

-1.5

-1

-0.5

0

-1.5 -1 -0.5 0

imag

real

open loopopen loop, regulated

closed loop

Figura 9.12: Diagramma di Nyquist delle funzioni di trasferimento in anello aperto e chiuso del motoreelettrico in c.c.

la fase e −120 gradi, e la funzione in anello chiuso, F (s), che ricalca la precedente ad alta frequenzamentre assume guadagno unitario a frequenze inferiori a ωc. La Figura 9.12 mostra le stesse funzioni ditrasferimento nel piano complesso.

In un certo senso, l’uso del controllo proporzionale in sistemi di questo tipo consente di non considerarela dinamica del sistema nel progetto del regolatore semplicemente perche e possibile fare in modo che nellabanda di frequenze in cui essa si manifesta (al di sopra di ωc) l’ampiezza della risposta sia sufficientementeattenuata da non consentirle di mettere a rischio la stabilita del sistema. Perche questa condizione siasoddisfatta, pero, occorre porre un limite al guadagno, e quindi alle prestazioni del sistema in anellochiuso.

La funzione di trasferimento in anello chiuso e data da F (s) = L(s)/(1 + L(s)); se L(s) e razionale,e quindi puo essere espressa come L(s) = N(s)/D(s), si ha F (s) = N(s)/(D(s) + N(s)). Nel caso inesame si ottiene

(s3LaJ + s2 (RaJ + Lart) + s

(Rart +K2

)+KKp

)θ = KKpθrif + (sLa +Ra)Cr, (9.48)

da cui

θ =KKp

s3LaJ + s2 (RaJ + Lart) + s (Rart +K2) +KKp︸︷︷︸

F (s)

θrif

+sLa +Ra

s3LaJ + s2 (RaJ + Lart) + s (Rart +K2) +KKpCr. (9.49)

La differenza sostanziale, rispetto al caso in anello aperto, sta nel fatto che il polo nell’origine e statorimpiazzato da un polo circa in ωc, come appare chiaramente dalla Figura 9.11.

La funzione che moltiplica Cr rappresenta l’ammettenza del sistema in anello chiuso, ovvero larotazione del motore in funzione del carico applicato. Per s = 0 si ha la cedevolezza statica del sistema,

θ(s=0) =RaKKp

Cr(s=0). (9.50)

Come si vede, e costituita da termini elettrici (K e Ra) e legati al controllo (Kp). La cedevolezza staticarappresenta l’errore statico per effetto di un disturbo di coppia.

L’ammettenza si mantiene costante fino al primo polo, circa in ωc, poi scende fino ad avere asintoti-camente pendenza −2 (−40 dB) per via dello zero in −Ra/La. Quindi l’errore dinamico associato ad un

9-13

disturbo di coppia si attenua al crescere della frequenza, in quanto l’ammettenza e analoga ad un filtropassa-basso del secondo ordine.

Esercizio 9.3 Si valuti la banda passante del sistema (9.49).

Esercizio 9.4 Si valuti la sensitivita al disturbo di coppia Cr del sistema (9.49).

Controllo proporzionale-integrale. Occorre conoscere l’integrale dell’errore di posizionamento. Sidefinisca una nuova variabile (o stato) e, tale per cui e = θ − θrif. Il problema diventa

Jθ + rtθ −Kia = 0 (9.51a)

Ladia

dt+Raia +Kθ = −Kp (θ − θrif)−Kie (9.51b)

e = θ − θrif. (9.51c)

La presenza del termine integrale fa sı che la tensione di alimentazione dipenda anche da quanto l’erroree perdurato nel tempo. Di conseguenza, la tensione avra anche un contributo persistente, che smette dicrescere solo quando l’errore si e esattamente annullato.

Esercizio 9.5 Si indichi come l’aggiunta del contributo integrale al controllo possa giovare alle prestazionistatiche del sistema controllato, garantendo nel contempo caratteristiche di stabilita analoghe a quelle delcontrollo puramente proporzionale.

9.3.2 Controllo in corrente

Mediante l’uso di amplificatori di potenza e possibile separare l’azionamento meccanico, ovvero la gen-erazione della coppia Cm = Ki, dalla generazione della corrente i necessaria per ottenere la coppia. Inquesto caso, purche si rimanga al di sotto del valore imax di saturazione, e possibile imporre direttamenteil valore della corrente desiderata.

Il modello del motore si riduce quindi a

Jθ = Ki+ Cr (9.52)

ovvero, nel dominio di Laplace,

θ =1

s2K

J︸︷︷︸

G(s)

i+1

s21

JCr, (9.53)

a meno di poli ad alta frequenza. Quindi la funzione di trasferimento tra la corrente e la rotazione esemplicemente costituita da due poli nell’origine. Perche la funzione d’anello garantisca la stabilita ele prestazioni desiderate occorre progettare un regolatore che abbia uno zero al di sotto della frequenzaωc alla quale la funzione d’anello vale 0 dB, e almeno un polo a frequenza superiore ad ωc, in modo daripristinare il comportamento asintotico della (9.53) e cancellare il piu rapidamente possibile eventualidinamiche ad alta frequenza. In questo modo il margine di fase sara di circa 90 gradi.

Si vuole quindi progettare un regolatore della corrente in funzione della differenza tra l’angolodesiderato e quello effettivo, i = R(s)(θrif − θ), con la struttura

R(s) = µR1 + s/z

1 + s/p, (9.54)

dove µR e il guadagno statico, z lo zero e p il polo. Si scelga z = 0.1ωc e p = 10.0ωc; il guadagno sidetermina imponendo che il modulo della funzione d’anello L(s) = R(s)G(s) valga 0 dB per s = jωc.Data la G(s), si ha circa

‖L(jω)‖ =

∥∥∥∥µR

1 + j/0.1

1 + j/10.0

1

ω2c

K

J

∥∥∥∥∼= µR

0.1

1

ω2c

K

J= 1 (9.55)

9-14

-200-150-100

-50 0

50 100

0.01 0.1 1 10 100 1000

dBopen loop

open loop, regulatedclosed loop

-240

-180

-120

-60

0

0.01 0.1 1 10 100 1000

deg

ω

Figura 9.13: Diagramma di Bode delle funzioni di trasferimento in anello aperto e chiuso del motoreelettrico in c.c. controllato in corrente.

da cui si ricava

µR = 0.1ω2c

J

K(9.56)

La funzione ad anello chiuso diventa

θ = µRK1 + s/z

s2 (1 + s/p) J + µRK (1 + s/z)θrif +

1 + s/p

s2 (1 + s/p) J + µRK (1 + s/z)Cr. (9.57)

Si noti come l’errore statico sia 1/(µRK), ovvero circa 1/(0.1ω2cJ).

Le figure 9.13 e 9.14 mostrano rispettivamente il diagramma di Bode e di Nyquist delle funzioni ditrasferimento in anello aperto e chiuso del motore controllato in corrente per J = 1 kg m2, K = 1 Vs/radian, ωc = 10 radian/s.

Questo progetto sembra indicare che scegliendo ωc opportunamente grande e possibile aumentare apiacere la banda passante del motore e/o aumentare a piacere il guadagno statico e quindi ridurre l’erroredi posizionamento statico. Vi possono essere, pero, delle controindicazioni. Per esempio, se il sistemapresenta delle dinamiche poco smorzate ad alta frequenza (ad esempio una coppia di poli complessiconiugati con smorzamento basso), quando ωc diventa sufficientemente grande il picco corrispondenteai poli complessi coniugati verra amplificato fino a far assumere valore unitario alla funzione d’anelloalla frequenza corrispondente. Di conseguenza si rischia di avere spill-over, ovvero eccitazione di modinon previsti nel progetto del regolatore. Siccome su tali modi e possibile che ci siano incertezze, sia intermini di frequenza che soprattutto di smorzamento, dovuti sia alla difficolta di caratterizzarli che allaloro variabilita in funzione di parametri del sistema (in dipendenza della configurazione, per esempio), eopportuno cautelarsi adeguatamente.

Esercizio 9.6 Si consideri la funzione d’anello del motore controllato in corrente. Si aggiunga una cop-pia di poli complessi coniugati con pulsazione caratteristica arbitrariamente alta e smorzamento dell’1%.Si diagrammi la funzione d’anello per diversi valori di guadagno, in modo che ωc si avvicini via via allapulsazione caratteristica dei due poli ad alta frequenza.

Esercizio 9.7 Si aggiunga al regolatore un polo nell’origine per cancellare l’errore statico; quale altramodifica occorre apportare al regolatore per garantire la stabilita del sistema controllato?

9-15

-1.5

-1

-0.5

0

-1.5 -1 -0.5 0

imag

real

open loopopen loop, regulated

closed loop

Figura 9.14: Diagramma di Nyquist delle funzioni di trasferimento in anello aperto e chiuso del motoreelettrico in c.c. controllato in corrente.

9.3.3 Azionamento in c.c. di un compressore

L’obiettivo in questo caso e regolare la velocita angolare di un compressore azionato da un motore incorrente continua. Il motore in c.c. e costituito da un rotore di momento d’inerzia Jm.

Sul rotore agisce una coppia motrice proporzionale alla corrente di armatura ia, secondo un coefficientedi coppia K, come descritto nella (9.23).

La curva caratteristica del motore, ovvero la coppia motrice erogata a regime, quindi per θ = 0 edi/dt = 0, si presenta lineare, funzione parametrica della tensione di alimentazione ea

C =K

Ra

(

ea −Kθ)

(9.58)

La curva caratteristica del compressore puo essere in prima approssimazione schematizzata come unafunzione proporzionale al quadrato3 della velocita angolare:

Cr = −rθ2, (9.59)

con r > 0. L’equazione di moto dell’albero e:

Jθ = C + Cr (9.60)

dove con J si e indicata l’inerzia totale comprensiva sia del momento d’inerzia del motore che delcompressore. Sostituendo l’equazione caratteristica del compressore e l’equazione motore si ottiene:

Jθ + rθ2 = Kia (9.61)

Per ricavare ora la corrente ia in funzione della grandezza di regolazione ea, tensione di alimentazionedel motore, si deve ricorrere al modello del motore introdotto nella (9.27). Le equazioni della dinamicadel sistema diventano pertanto

Jθ + rθ2 −Kia = 0

Ladia

dt+Raia +Kθ = ea

(9.62)

3A rigore, la curva caratteristica dovrebbe essere espressa come Cr = −r‖θ‖θ, in quanto la coppia si oppone semprealla velocita angolare. La distinzione e superflua se la velocita angolare ha sempre segno positivo.

9-16

Figura 9.15: Il motore di azionamento di un compressore e le relative curve caratteristiche

e quindi possono essere viste nella forma:

θ = − r

Jθ2 +

K

Jia

dia

dt= −Ra

Laia −

K

Laθ +

1

Laea

(9.63)

Definendo ora il vettore di stato

x =

θia

(9.64)

e il vettore degli ingressi

u =

0ea

(9.65)

il sistema di equazioni puo essere scritto nella forma

x = f (x)+ [B] u (9.66)

Tale equazione, come si vede, e non lineare e permette, una volta nota la tensione ea, di ricavare la velocitaangolare del sistema. Naturalmente tale modello puo fornire, data la velocita e l’accelerazione angolare, latensione di alimentazione del motore stesso; tale applicazione, che sfrutta la dinamica inversa del sistema,puo ad esempio servire per controllare in anello aperto la velocita del compressore. Naturalmente talelogica di controllo in anello aperto soffre degli inconvenienti derivanti dal non considerare i disturbi esternie le incertezze del modello stesso.

Si possono integrare numericamente le (9.63) e analizzare la risposta ad assegnati andamenti dellatensione ea (t). In alternativa, dal momento che interessa studiare il comportamento del sistema nel-l’intorno della condizione di funzionamento a regime, il problema puo essere analizzato linearizzando leequazioni di moto nell’intorno di una assegnata velocita θ0 ritenuta costante.

Tale analisi si effettua risolvendo il sistema di equazioni algebriche non lineari

0 = f (x)+ [B] u (9.67)

ottenuto dalla (9.66), dal momento che si ricerca la soluzione avendola supposta costante; si ottiene

0 = − r

Jθ2 +

K

Jia

0 = −RaLaia −

K

Laθ +

1

Laea

(9.68)

da cui e possibile determinare la tensione necessaria e la conseguente corrente che circola nel circuitostatorico, o viceversa conoscere la velocita angolare ad una assegnata tensione di alimentazione ea0.

Tale soluzione puo essere inoltre vista in forma grafica come in figura 9.16, permettendo ancora unavolta di ricavare, nota ea0, la velocita angolare di regime e la coppia di regime.

9-17

Figura 9.16: Condizione di moto a regime per il sistema motore a c.c.-compressore

9.3.4 L’analisi di stabilita del sistema

Si possono a questo punto linearizzare le equazioni di moto non lineari nell’intorno della posizione diequilibrio

x0 =

θ0ia0

(9.69)

ovvero, indicando con ∆θ = θ − θ0 e ∆ia = ia − ia0, da cui ∆ x = x − x0, si ottiene

∆ x = f (x0)+∂ f∂ x

∣∣∣∣x0

∆ x+ [B] u (9.70)

ma, per definizione di equilibrio,

f (x0)+ [B] u0 = 0 (9.71)

per cui l’equazione diventa

∆ x =∂ f∂ x

∣∣∣∣x0

∆ x+ [B] ∆ u = [A] ∆ x+ [B] ∆ u (9.72)

con

[A] =

−2rθ0

J

K

J

−K

La−RaLa

(9.73)

L’omogenea associata

∆ x = [A] ∆ x (9.74)

ammette la soluzione generica:

∆ x = X eλt (9.75)

che, sostituita nella (9.74), da

([A]− [I]λ) X eλt = 0 (9.76)

Il sistema di equazioni ammette soluzione diversa da quella banale X = 0 se il determinantedella matrice dei coefficienti e nullo, ovvero se

det

−2rθ0

J− λ

K

J

−K

La−RaLa

− λ

= 0 (9.77)

9-18

ovvero

λ2 +

(

2rθ0J

+RaLa

)

λ+K2 + 2rθ0Ra

JLa= 0 (9.78)

Risolvendo l’equazione caratteristica precedente e possibile calcolare le radici (o autovalori) del sistema

λ =1

2

−

(

2rθ0J

+RaLa

)

±

√√√√

(

2rθ0J

+RaLa

)2

− 4K2 + 2rθ0Ra

JLa

(9.79)

che sono un indice della stabilita della soluzione di equilibrio rispetto alla quale il sistema e statolinearizzato.

Si noti come il primo addendo degli autovalori sia sempre negativo; quindi il sistema e stabile se laparte sotto radice e minore in modulo del primo addendo, ovvero

K2

Ra+ 2rθ0 > 0. (9.80)

Inoltre, a seconda che il radicando sia maggiore o minore di zero, i due autovalori stabili si possonopresentare puramente reali (negativi) o complessi coniugati.

Se invece

K2

Ra+ 2rθ0 < 0 (9.81)

il sistema presenta una forma di instabilita statica messa in evidenza dal fatto che un autovalore ha partereale positiva.

Stabilita statica. Ad analoghe conclusioni si puo giungere considerando l’equazione

Jθ = C(

θ)

+ Cr

(

θ)

(9.82)

ossia considerando le curve caratteristiche ad una assegnata tensione di armatura ea. Definita θ0 dal-la soluzione dell’equazione (9.82) per θ = 0, e possibile effettuare l’analisi di stabilita linearizzandonell’intorno della velocita angolare trovata, ottenendo pertanto

Jθ = C(

θ0

)

+∂C

∂θ

∣∣∣∣θ0

(

θ − θ0

)

+ Cr

(

θ0

)

+∂Cr

∂θ

∣∣∣∣θ0

(

θ − θ0

)

, (9.83)

da cui

J∆θ =

(

∂C

∂θ

∣∣∣∣θ0

+∂Cr

∂θ

∣∣∣∣θ0

)

∆θ, (9.84)

che ammette come soluzione

θ = Ωeλt (9.85)

che, sostituita nell’omogenea associata(

∂C

∂θ

∣∣∣∣θ0

+∂Cr

∂θ

∣∣∣∣θ0

− Jλ

)

∆θ = 0, (9.86)

da cui:

λ =1

J

(

∂C

∂θ

∣∣∣∣θ0

+∂Cr

∂θ

∣∣∣∣θ0

)

. (9.87)

9-19

Perche il sistema si presenti come stabile, l’autovalore λ, essendo reale, deve essere negativo, ovvero deveessere:

∂C

∂θ

∣∣∣∣θ0

+∂Cr

∂θ

∣∣∣∣θ0

< 0. (9.88)

Ricordando l’espressione (9.58) della coppia motrice a regime, e quella (9.59) della coppia resistentesi ottiene cosı la medesima condizione di stabilita:

∂C

∂θ

∣∣∣∣θ0

+∂Cr

∂θ

∣∣∣∣θ0

= −K2

Ra− 2rθ0 < 0. (9.89)

L’analisi di stabilita presentata in questo paragrafo va sotto il nome, forse improprio, di studio dellastabilita statica. Essa consiste nel valutare, a partire da una condizione di riferimento di equilibrio statico,la variazione dei termini che compongono un’equazione di equilibrio in conseguenza di una variazionedella derivata di ordine minimo della coordinata libera; nel caso in esame, θ. Questo tipo di analisiconsente di esprimere una condizione necessaria, ma non sufficiente, per la stabilita della soluzione diriferimento. Per una trattazione piu approfondita si veda il capitolo 6.

Controllo proporzionale. Si consideri l’equazione

Jω = Ki+ Cr(ω) (9.90)

con la corrente del motore data dalla

Rai+Kω = ea, (9.91)

avendo scelto di definire

ea = −Kp (θ − θrif) . (9.92)

Questo corrisponde a trascurare la dinamica della parte elettrica del motore, ovvero Ladi/dt ∼= 0. Aseguito di una linerizzazione attorno ad una posizione di equilibrio θ0 = 0, da cui ω0 = 0, si ottienel’equazione

Jω = − K

RaKp (θ − θrif)−

K2

Raω + Cr/ωω, (9.93)

a cui occorre aggiungere θ = ω. Si ha quindi

θω

=

0 1

− K

JRaKp − K2

JRa+Cr/ω

J

θω

+

0K

JRaKp

θrif. (9.94)

Il polinomio caratteristico della matrice e

λ2 + λ

(K2

JRa− C/ω

J

)

+K

JRaKp = 0. (9.95)

Perche la soluzione di equilibrio sia stabile occorre che gli autovalori abbiano parte reale negativa. siottiene

λ = −1

2

(K2

JRa− C/ω

J

)

±√

1

4

(K2

JRa− C/ω

J

)2

− K

JRaKp (9.96)

Occorre che Kp > 0 e C/ω < K2/Ra affinche gli autovalori abbiano sicuramente parte reale negativa.Se Kp e sufficientemente grande da rendere il discriminante negativo, gli autovalori diventano complessiconiugati. Questo puo rappresentare un vantaggio, nel senso che la rapidita con cui il sistema rispondee maggiore, ma introduce sovraelongazione nella risposta. Per questo motivo, e opportuno che Kp sialimitato. Intuitivamente, e opportuno che lo smorzamento del sistema sia prossimo a quello critico.

9-20

Controllo proporzionale-integrale. Si definisca ora

ea = −Kp (θ − θrif)−Ki

∫ t

t0

(θ − θrif) dt; (9.97)

aggiungendo al sistema precedente l’equazione e = θ − θrif, si ottiene

e

θω

=

0 1 00 0 1

− K

JRaKi − K

JRaKp − K2

JRa+Cr/ω

J

eθω

+

−10

K

JRaKp

θrif. (9.98)

Il polinomio caratteristico della matrice e

λ3 + λ2(K2

JRa− Cr/ω

J

)

+ λK

JRaKp +

K

JRaKi = 0. (9.99)

L’espressione analitica delle radici e piuttosto involuta e poco espressiva. Tuttavia, si puo notare come unrequisito per l’asintotica stabilita sia dato dal criterio di Routh-Hurwitz, dal quale, per Cr/ω < K2/Ra(requisito di stabilita statica del sistema non controllato), si ottiene

Ki < Kp

(K2

JRa− Cr/ω

J

)

. (9.100)

Si ricordi che il criterio di Routh-Hurwitz esprime una condizione necessaria, basata sull’ipotesi di assenzadi radici sull’asse immaginario.

9.4 Equazioni di Lagrange per sistemi elettromeccanici

Senza grandi pretese di eleganza formale, si vogliono generalizzare le equazioni di Lagrange nel caso delproblema elettromeccanico, applicandolo al contesto del motore elettrico in c.c.

9.4.1 Approccio in corrente

Si consideri innanzitutto un induttore ideale lineare, di induttanza L (da non confondersi con la lunghezzadel conduttore nei paragrafi precedenti), la cui relazione costitutiva e

∆V = Ldi

dt(9.101)

La potenza associata a questo componente e

ΠL = i∆V = Lidi

dt, (9.102)

che puo essere espressa anche come

ΠL =d

dt

(1

2Li2)

. (9.103)

Inoltre, ricordando che la corrente i e la derivata rispetto al tempo della carica q, si ottiene

ΠL =d

dt

(1

2Lq2

)

. (9.104)

Si consideri ora, anche se non necessario per il semplice modello di motore in c.c. considerato finora,la relazione costitutiva di un condensatore di capacita C,

i = Cd∆V

dt. (9.105)

9-21

C

i

L

∆V

Figura 9.17: Induttore e condensatore (LC).

La potenza ad esso associata e

ΠC = ∆V i = C∆Vd∆V

dt, (9.106)

che puo essere espressa anche come

ΠC =d

dt

(1

2C∆V 2

)

(9.107)

o, invertendo la relazione costitutiva, come

ΠC =d

dt

(1

2

q2

C

)

. (9.108)

Si noti come, se si sceglie come variabile indipendente la carica q, le funzioni le cui derivate dannola potenza dell’induttore e del condensatore assomiglino rispettivamente ad un’energia cinetica e adun’energia potenziale. Questi componenti elettrici, infatti, nella loro idealizzazione sono conservativi,ovvero immagazzinano e rilasciano energia senza dissipazione.

Quindi, definita una funzione

Le =1

2Lq2 − 1

2

q2

C, (9.109)

l’applicazione del formalismo di Lagrange a Le consente di scrivere

d

dt

(∂Le∂q

)

− ∂Le∂q

= Lq +q

C= 0, (9.110)

ovvero la relazione di equilibrio alla maglia che lega un induttore e un condensatore collegati fra lorocome in figura 9.17.

E possibile anche definire l’equivalente della funzione di dissipazione,

De =1

2Rq2, (9.111)

ove come elemento dissipativo si e considerato un resistore lineare di caratteristica R. Il suo contributoalla equazione relativa alla coordinata q e ∂De/∂q = Rq, ovvero la differenza di tensione associata alresistore. L’applicazione del formalismo di Lagrange diventa cosı

d

dt

(∂Le∂q

)

− ∂Le∂q

+∂De∂q

= Lq +q

C+Rq = 0, (9.112)

ovvero la relazione di equilibrio alla maglia che lega un induttore, un condensatore e un resistore collegatifra loro come in figura 9.18.

9-22

C

i

L

R

∆V

Figura 9.18: Resistore, induttore e condensatore (RLC).

Nelle relazioni precedenti occorre aggiungere il lavoro generalizzato delle eventuali forze non descrittein Le per una variazione virtuale della variabile indipendente q. Per esempio, il lavoro associato ad ungeneratore di tensione ea e

δWea = δqea. (9.113)

Il lavoro associato alla forza controelettromotrice del motore in c.c. in esame e

δWeb = δqeb = −δqKθ. (9.114)

Si consideri ora il lato meccanico del motore in corrente continua. La funzione di Lagrange, Lm, e

Lm =1

2Jθ2. (9.115)

Il lavoro e dato da

δWm = δθ (Cm + Cu) = δθ (Kq + Cu) , (9.116)

ove si e considerata l’espressione Cm = Kq per la coppia motrice. La funzione di Lagrange complessiva,L, e

L =1

2Laq

2 +1

2Jθ2. (9.117)

La funzione di dissipazione complessiva e

D =1

2Raq

2 (9.118)

Il lavoro complessivo e

δW = δq(

ea −Kθ)

+ δθ (Cu +Kq) . (9.119)

Dall’applicazione del formalismo di Lagrange alla funzione L cosı definita, alla funzione di dissipazioneD, e al corrispondente lavoro generalizzato W, rispetto alle due coordinate libere q e θ, si ottiene

Laq +Raq +Kθ = ea (9.120a)

Jθ −Kq = Cu, (9.120b)

ovvero le medesime equazioni scritte in precedenza, come era lecito attendersi. In sostanza, il formalismodi Lagrange puo essere vantaggiosamente esteso a problemi multidisciplinari, ove sia possibile definire

9-23

convenientemente le grandezze che vi partecipano. Questo consente di rendere automatica e generale lascrittura delle equazioni che governano il problema.

I contributi elettromeccanici forniti al problema dal motore in corrente continua possono anche esseretrattati in forma unificata. Il motore in corrente continua da un contributo di trasformazione di energiada elettrica a meccanica e viceversa che e puramente conservativo. Per questo motivo lo si puo portarenella funzione di Lagrange, sotto forma di contributo ∆L elettromeccanico, a condizione che all’equazionemeccanica dia un contributo del tipo

d

dt

(∂∆L∂θ

)

− ∂∆L∂θ

= −Cm = −Kq, (9.121)

mentre all’equazione elettrica deve dare un contributo del tipo

d

dt

(∂∆L∂q

)

− ∂∆L∂q

= eb = Kθ. (9.122)

E immediato verificare, senza dimostrazione, che questo si ottiene ponendo ∆L = −Kθq.In alternativa, se si pone ∆L = Kθq, si ottengono i medesimi contributi alle equazioni meccanica ed

elettrica.

9.4.2 Approccio in tensione

Si consideri ora un approccio complementare al precedente. Si definisca l’integrale della tensione ϕ, taleper cui ϕ = V . La legge costitutiva dell’induttanza, data dalla (9.101), puo essere riscritta come

d∆ϕ

dt= L

di

dt, (9.123)

da cui si ricava

i =1

L∆ϕ. (9.124)

La potenza corrispondente e

ΠL = id∆ϕ

dt=

1

L∆ϕ

d∆ϕ

dt=

d

dt

(1

2

∆ϕ2

L

)

. (9.125)

Analogamente, la legge costitutiva del condensatore, data dalla (9.105), si puo scrivere come

i = Cd2∆ϕ

dt2. (9.126)

La potenza ad esso associata e

ΠC = id∆ϕ

dt= C∆ϕ∆ϕ =

d

dt

(1

2C∆ϕ2

)

. (9.127)

E possibile anche riscrivere la funzione di dissipazione (9.111) come

De =1

2

∆ϕ2

R. (9.128)

La funzione di Lagrange relativa alle grandezze elettriche e

Le =1

2C∆ϕ2 − 1

2

∆ϕ2

L, (9.129)

e l’equazione della dinamica del sistema e data da

d

dt

(∂Le∂∆ϕ

)

− ∂Le∂∆ϕ

+∂De∂∆ϕ

= Q∆ϕ, (9.130)

9-24

1 2 3

4

L R

ea ebia ib

Figura 9.19: Motore elettrico in corrente continua, approccio in tensione.

dove la Q∆ϕ, non ancora definita, e la corrente generalizzata che fluisce nel nodo a cui e associato ilflusso rispetto al quale viene scritta l’equazione della dinamica.

Ora, a differenza di quanto visto in precedenza, anziche un equilibrio delle tensioni lungo una maglia,si stanno scrivendo bilanci di corrente ai nodi. Quindi occorre prestare attenzione a come vengono definitele variazioni di flusso ∆ϕ. Occorre anche trovare un modo per esprimere il lavoro delle tensioni esterne,quali la tensione di alimentazione ea e la forza controelettromotrice eb = Kθ. Si consideri di nuovol’esempio del motore elettrico in corrente continua, mettendo in evidenza i nodi 1, 2, 3 e 4 ai capi deicomponenti del circuito equivalente come illustrato in Figura 9.19.

La funzione di Lagrange e data da

Le = −1

2

(ϕ1 − ϕ2)2

L, (9.131)

mentre la funzione di dissipazione e data da

De =1

2

(ϕ2 − ϕ3)2

R. (9.132)

L’effetto delle tensioni ea e eb si introduce con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Si definiscanole relazioni

ϕ1 − ϕ4 = ea (9.133a)

ϕ3 − ϕ4 = eb = Kθ, (9.133b)

analoghe a vincoli anolonomi sulle derivate dei flussi ai rispettivi nodi. Introducendo le correnti incogniteia e ib, associate ai rami 1–4 e 3–4, si ottiene il lavoro virtuale

δWe = ia (δϕ1 − δϕ4) + ib (δϕ3 − δϕ4) . (9.134)

Il sistema finale puo essere scritto in funzione delle incognite nodali, ϕ1, ϕ2, ϕ3 e ϕ4, e delle correnti neirami di alimentazione e di forza controelettromotrice, ia = qa e ib = qb, ovvero

0 0 0 0 1 00 1/R −1/R 0 0 00 −1/R 1/R 0 0 10 0 0 0 −1 −11 0 0 −1 0 00 0 1 −1 0 0

ϕ1

ϕ2

ϕ3

ϕ4

qaqb

+

1/L −1/L 0 0 0 0−1/L 1/L 0 0 0 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

ϕ1

ϕ2

ϕ3

ϕ4

qaqb

=

0000eaKθ

.

(9.135)

Si noti come le matrici siano simmetriche e significativamente sparse.Questo problema e indeterminato; infatti il flusso ϕ e definito a meno di una costante. Lo si puo

agevolmente verificare constatando che la somma delle prime quattro righe da 0. Per ovviare al problema,

9-25

occorre mettere a terra un nodo. Ad esempio, se si pone ϕ4 = 0, e quindi anche ϕ4 = 0 e δϕ4 = 0, siottiene

0 0 0 1 00 1/R −1/R 0 00 −1/R 1/R 0 11 0 0 0 00 0 1 0 0

ϕ1

ϕ2

ϕ3

qaqb

+

1/L −1/L 0 0 0−1/L 1/L 0 0 0

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

ϕ1

ϕ2

ϕ3

qaqb

=

000eaKθ

. (9.136)

E agevole verificare l’equivalenza tra questo sistema e l’equazione di equilibrio alla maglia ottenuta conl’approccio in corrente:

• dalla quarta e dalla quinta equazione si ricava ϕ1 = ea e ϕ3 = Kθ;

• dalla terza equazione si ricava ϕ2 = ϕ3 +Rqb, ovvero ϕ2 = Kθ +Rib;

• dalla prima equazione si ricava ϕ1 − ϕ2 + Lqa = 0 che, derivata una volta, da ea − Kθ − Rib +Ldia/dt = 0;

• per costruzione, ia va dal nodo 1 al nodo 4, quindi e opposta alla corrente ib; ne consegue chei = ib = −ia, da cui l’equazione di equilibrio alla maglia.

Questo approccio, solo all’apparenza complesso, e in realta di relativamente facile implementazionenumerica, in analogia con l’approccio agli spostamenti nel calcolo strutturale.

9-26

Capitolo 10

Azioni mutue tra elementi dimacchine — Parte II


10.1 Azioni aerodinamiche

Nelle macchine si devono spesso considerare azioni tra solidi e fluidi; questi ultimi possono essere ritenutiveri e propri membri non rigidi della macchina, accoppiati con i membri solidi, dei quali bagnano tuttao parte della superficie.

Le azioni possono avere carattere di forze interne, come ad esempio in una turbina in cui il fluido simuove entro condotti facenti parte della macchina e reagisce su di essi, oppure di forze esterne, comel’azione dell’aria su di una aeroplano o la resistenza offerta dal mezzo all’avanzamento di una nave o diuna vettura, quando tutta la massa del fluido e considerata esterna al sistema che si studia. Esse inoltrepossono essere costituite da semplici pressioni statiche come quelle che sostengono un corpo immerso inun fluido o che vengono esercitate da un fluido in pressione sulle pareti di un recipiente chiuso, oppurepossono essere pressioni dinamiche, cioe esercitate dal fluido in conseguenza del suo moto o del moto delsolido.

Spesso l’azione del fluido costituisce una resistenza al moto di un corpo in esso totalmente o parzial-mente immerso; in tal caso essa prende il nome di resistenza del mezzo ed e una resistenza passiva, che,di regola, si deve cercare di ridurre il piu possibile. Nasce cosı il problema di ottimizzare la forma al finedi aumentarne la penetrazione (carene di navi, forme di autovetture, ...). In generale pero tale azione tracorpo e fluido ha una componente utile che si cerca di massimizzare (forza propulsiva di un’elica, forzaportante di un’ala).

Le forze esercitate da fluidi in quiete sono determinate dalla fluidostatica, mentre assai piu complessae la ricerca delle azioni esercitate dai fluidi in moto, la quale piu particolarmente interessa le macchine eforma oggetto della fluidodinamica, comprendente come casi particolari l’idrodinamica e l’aerodinamica.

Supponiamo che il corpo sia fermo rispetto al fluido; in tal caso l’unica azione agente sul corpo e laspinta fluidostatica. Tale spinta e proporzionale, come noto, alla densita del fluido e al volume del corpo.Se invece il corpo si muove con una certa velocita in un fluido, oppure se il corpo e investito da un fluidoin moto con una certa velocita, nascono su ogni elemento infinitesimo di area della superficie del corpostesso delle forze infinitesime normali e tangenziali.

Si supponga che la corrente sia laminare e il fluido incomprimibile (numero di Mach, definito comeil rapporto tra la velocita del fluido e la velocita di propagazione del suono nel fluido stesso, minore di0.1÷0.2).

In tali condizioni, sul contorno del corpo il fluido aderisce e cio significa che la velocita del fluido acontatto con il corpo si annulla1: la velocita del fluido passa pertanto da zero al valore v allontanandosidal corpo.

1Si veda la nota 4 del Capitolo 3.

10-1

Figura 10.1: Sezioni di riferimento in campo automobilistico per la valutazione del coefficiente diresistenza del veicolo: proiezione frontale (a) e massima sezione trasversale (b).

Per esprimere la generica forza F e il generico momento aerodinamico M in modo semplice si ricorrealle espressioni:

F =1

2ρv2SCf

M =1

2ρv2SlCm

(10.1)

ove 1/2ρv2 e la pressione dinamica, spesso indicata con q in aeroelasticita2.

Si suppone quindi che essi siano proporzionali alla pressione dinamica della corrente indisturbata ea una superficie di riferimento S (nell’espressione del momento compare anche una lunghezza l) tramiteun coefficiente adimensionale da determinare sperimentalmente.

I coefficienti che compaiono nelle (10.1) sono funzione, oltre che della forma del corpo e della suaposizione relativa alla direzione della corrente, del numero di Reynolds

Re =ρvl

µ(10.2)

ove ρ e µ sono rispettivamente la densita e la viscosita dinamica del fluido (la viscosita cinematica eν = µ/ρ). La dipendenza dei coefficienti aerodinamici dal numero di Reynolds non e grande se il valoredi quest’ultimo e sufficientemente elevato, come si verifica per tipiche applicazioni aeronautiche, conlunghezze dell’ordine del metro, velocita dell’ordine del centinaio di m/s, densita dell’ordine di 1 kg/m3

e viscosita dell’ordine di 1.6 · 10−5 kg/(ms). I coefficienti aerodinamici ricavati sperimentalmente sonoda ritenersi indipendenti dalla velocita se il numero di Reynolds e superiore ad alcuni milioni.

La superficie S e la lunghezza l di riferimento possono essere qualsiasi: esse esprimono solamente ladipendenza delle forze e dei momenti rispettivamente dal quadrato e dal cubo delle dimensioni linearidel corpo. E pero evidente che il valore dei coefficienti aerodinamici dipende dalla scelta della superficiee della lunghezza di riferimento.

In campo automobilistico, nel quale la portanza e spesso da ritenersi un effetto indesiderato dellapresenza dell’aria, mentre la resistenza e una rilevante fonte di dissipazione, si usa scegliere quale superficiedi riferimento l’area della superficie trasversale del veicolo, anche se una certa confusione puo essereingenerata dal fatto che taluni usano l’area della proiezione frontale (a) e altri l’area della massimasezione trasversale (b) indicate in figura 10.1.

In campo aeronautico, viceversa, come superficie di riferimento per un velivolo si considera in generela sezione in pianta dell’ala, in quanto si e primariamente interessati alla forza portante, mentre quellaresistente, altrettanto importante, viene comunque in seconda battuta, essendo tipicamente, in normalicondizioni di volo, di almeno un ordine di grandezza inferiore.

2Da non confondere con la generica coordinata libera; di solito la confusione non e possibile dal momento che la pressionedinamica q e uno scalare, mentre le coordinate libere sono raccolte in un vettore q.

10-2

Figura 10.2: Schematizzazione del moto laminare di un fluido.

10.2 Teoria elementare della lubrificazione

Gli strisciamenti tra corpi asciutti si verificano nelle macchine solo in casi eccezionali, quando sia utileavere un forte attrito, come ad esempio nei freni e negli innesti a frizione; negli altri casi le superfici acontatto sono sempre bagnate da un liquido detto lubrificante, ovvero lubrificate. Per lubrificazione siintende la riduzione dell’attrito tra superfici a contatto in moto relativo mediante l’interposizione tra essedi un apposito mezzo detto appunto lubrificante. Tale liquido, interposto tra le due superfici, impedisceil fenomeno della microsaldatura che si e riconosciuto nel Capitolo 7 essere la causa dell’attrito cinetico(o dinamico).

Da un lato, possono essere usati come lubrificanti gli olii e i grassi, che hanno la proprieta di formareveli superficiali (epilamini) di spessore molecolare (qualche micron) aderenti alle superfici striscianti. Ilubrificanti possono essere anche solidi (grafite) per condizioni operative a temperature molto basse.

D’altra parte, un’azione piu decisiva viene esercitata dal lubrificante nella lubrificazione idrostaticae in quella idrodinamica, le quali consistono nella interposizione tra le superfici striscianti di un velocontinuo di lubrificante che, per quanto sottile, ha pero spessore sufficiente per impedire il contattodiretto tra le due parti. Lo strisciamento non avviene piu fra solido e solido (attrito cinetico) o frastrati molecolari aderenti alle superfici (attrito untuoso), ma fra gli strati del lubrificante interposto traqueste (attrito mediato o fluido) che puo assumere valori pari anche a 1/100 (dipendente solo dal tipo dilubrificante) di quello che si ha nell’attrito radente (dipendente dallo stato e dalla natura delle superfici).

Tutti i fluidi reali sono viscosi e oppongono una resistenza allo scorrimento delle particelle che licompongono. Se noi facciamo scorrere degli strati di fluido gli uni sugli altri, fra gli strati stessi si esercitaun’azione che si oppone al moto relativo, come illustrato in figura 10.2. Tale azione e proporzionalealla velocita con la quale avviene lo scorrimento, secondo un coefficiente caratteristico del fluido, dettocoefficiente di viscosita, ovvero il coefficiente µ illustrato nella definizione del numero di Reynolds.

10.2.1 Descrizione del problema

Nel seguito, per semplicita espositiva, viene considerato un problema piano, in cui due corpi sono inmovimento relativo di traslazione in direzione parallela alle superfici, ritenute piane, tra le quali avvienela lubrificazione. Si assume inoltre che non ci siano perdite laterali, per cui il meato di fluido puo essere atutti gli effetti considerato in movimento in un condotto per cui quindi vale il principio di conservazionedella massa.

Per semplicita, si consideri il corpo inferiore vincolato al telaio, mentre il corpo superiore vienefatto scorrere con velocita v; il caso in cui entrambe le superfici si muovono verra brevemente discussonel seguito. La velocita del fluido nel meato sia u, diretta essenzialmente lungo il condotto. Questavelocita potra variare in funzione della posizione nel condotto, sia trasversale che longitudinale. Sulcorpo superiore, per effetto della presenza del fluido in moto relativo, si generano una forza normale eduna tangenziale.

10-3

La forza normale per unita di larghezza, data dall’integrale della pressione relativa p nel fluido lungola lunghezza del meato, e

N =

∫ l

0

p dx; (10.3)

si e considerata direttamente la pressione relativa in quanto la pressione di riferimento agisce comunqueanche sul resto del corpo. Si indichi con b la dimensione del condotto nella terza direzione, perpendicolareal piano in cui avviene il moto, per cui la forza normale scambiata e FN = bN .

La forza tangenziale per unita di larghezza, data dall’integrale degli sforzi di taglio τ alla parete, e

T =

∫ l

0

τ dx (10.4)

L’effetto globale dell’interazione con il fluido viscoso puo essere descritto mediante un coefficiente diattrito equivalente, detto di attrito mediato

fm =|T |N

(10.5)

che esprime il rapporto tra la forza tangenziale che si oppone al movimento e quella normale che occorreper separare i corpi.

La determinazione del coefficiente di attrito mediato, e la valutazione delle caratteristiche geometrichee meccaniche necessarie perche la lubrificazione, e quindi l’attrito mediato, abbiano luogo, richiede lostudio della fluidodinamica del lubrificante per poter determinare la pressione p e gli sforzi di taglio τagenti sul corpo sostentato.

10.2.2 Fluidodinamica del lubrificante

Nel moto laminare, considerando due strati di ordinate z e z+∆z, caratterizzati dalle velocita u e u+∆u,la velocita relativa sara ∆u. Il gradiente di velocita per ∆z tendente a 0 e pari a du/dz, da cui la leggedi Petroff3:

τ = µdu

dz(10.7)

che descrive la legge costitutiva degli sforzi tangenziali viscosi, in caso di moto laminare, affermandoche sono linearmente proporzionali al gradiente di velocita in direzione normale alla superficie a cui siriferiscono.

Si analizzi il problema del moto del fluido interposto tra due superfici in moto, supponendo che:

• il moto del fluido sia laminare permanente per strati paralleli all’asse z;

• le forze di volume (peso e inerzia) siano trascurabili rispetto a quelle dovute alla viscosita4;

• il fluido sia incomprimibile e abbia µ costante (ovvero, in sostanza, la temperatura si mantengacostante all’interno del condotto);

• il moto avvenga in una sola direzione (lungo x).

Si assume dunque il problema piano e quindi che non vi sia fuoriuscita laterale in direzione y(perpedicolare al piano x− z), secondo lo schema illustrato in figura 10.3.

3La legge di Petroff in realta rappresenta una semplificazione della definizione piu generale dello sforzo viscoso laminareche, nel caso bidimensionale, e

τ = µ

(

∂u

∂z+∂w

∂x

)

(10.6)

avendo chiamato w la componente della velocita in direzione z, nulla per ipotesi nel caso in esame.4Quest’ipotesi non e verificata, ad esempio, in caso di moto nel meato a corona circolare che si ha in un accoppiamento

perno-sede

10-4

Figura 10.3: Schematizzazione del moto laminare di un fluido tra due superfici in moto relativo.

Imponendo l’equilibrio alla traslazione secondo x per un prisma elementare di fluido di dimensioni(dx, 1, dz), si ottiene

pdz − (p+ dp) dz − τdx+ (τ + dτ) dx = 0 (10.8)

ovvero

dpdz = dτdx → dp

dx=

dτ

dz. (10.9)

Questa relazione afferma che la variazione della pressione lungo il condotto e pari alla variazione deglisforzi tangenziali nella direzione trasversale.

Ricordando la legge di Petroff (10.7), si ottiene:

dp

dx= µ

d2u

dz2, (10.10)

ovvero un’equazione differenziale lineare del 2o ordine a coefficienti costanti completa.Se si scrive l’analoga equazione di equilibrio in direzione trasversale si ricava invece

dpdx = dτdz → dp

dz=

dτ

dx. (10.11)

In questo caso, pero, nell’ipotesi che la velocita w in direzione trasversale sia nulla e cosı pure le suederivate, e che quindi la velocita u in direzione longitudinale, per effetto dell’equazione di bilancio dimassa, non dipenda dalla coordinata x lungo il meato, dalla derivata della legge di Petroff (10.7) siottiene dτ/dx = 0, da cui si ricava

dp

dz= 0, (10.12)

ovvero la pressione non varia in direzione trasversale, per cui la dp/dx che compare nella (10.10) nondipende dalla variabile z rispetto alla quale e differenziata la velocita u.

Grazie alla (10.12), l’integrale generale, somma della soluzione dell’omogenea associata e dell’integraleparticolare, e dato dalla:

µu =dp

dx

z2

2+ Cz +D, (10.13)

in cui le costanti di integrazione C e D sono da determinare a partire dalle condizioni al contorno:

u (0) = 0 → D = 0

u (h) = v → µv =dp

dx

h2

2+ Ch → C =

µv

h− dp

dx

h

2.

(10.14)

L’espressione del campo di velocita (10.13) diventa quindi:

u (z) =dp

dx

z2

2µ+

1

µ

(µv

h− dp

dx

h

2

)

z =v

hz − dp

dx

z

2µ(h− z) , (10.15)

10-5

mentre gli sforzi di taglio sulla faccia superiore dell’elemento di fluido alla quota z sono

τ = µv

h− dp

dx

(h

2− z

)

. (10.16)

Questo risultato e dato dalla sovrapposizione dei moti di Newton, lineare in z e legato al trascinamentov per la diversa velocita delle due pareti al contorno, e di Couette, parabolico in z e legato al gradientedi pressione dp/dx.

Ipotizzando che non vi siano fuoriuscite laterali e sostituendo la (10.15) nell’equazione di continuitadella portata volumetrica per unita di larghezza

Q =

∫ h

0

u dz = costante, (10.17)

esprimente la portata di fluido vista dal corpo solidale con il telaio, otteniamo, considerando costante laviscosita e ricordando che p′ = dp/dx non e funzione di z:

Q =v

h

∫ h

0

z dz − p′

2µ

∫ h

0

(hz − z2

)dz =

v

h

[z2

2

]h

0

− p′

2µ

[hz2

2− z3

3

]h

0

=vh

2− p′h3

12µ(10.18)

in cui il primo termine, detto portata di trascinamento, e un effetto del trascinamento della parete mobilesul meato, e il secondo, detto portata di pressione, dipende dal gradiente di pressione; se p′ = 0 questotermine si annulla.

Dall’espressione della portata (10.18) e possibile determinare il gradiente di pressione:

p′ =12µ

h3

(vh

2−Q

)

(10.19)

Dal momento che la portata Q, per la (10.17), e costante lungo x, se anche h (x) fosse costante tuttii termini a destra dell’uguale sarebbero costanti, e quindi p′ dovrebbe necessariamente essere costante.Ma agli estremi del meato la pressione e pari a quella atmosferica, quindi la pressione relativa e nulla; diconseguenza

p′ =dp

dx= C ′ → dp = C ′dx → p (x) = C ′x+D′ (10.20)

che, con le condizioni al contorno p (0) = 0 → D′ = 0, p (l) = 0 → C ′ = 0, implica che p′ = 0, ovveroil sostentamento non e possibile.

10.2.3 Lubrificazione idrostatica

Nel paragrafo precedente e stato evidenziato come, se h fosse costante, non sarebbe possibile il sosten-tamento naturale e di conseguenza la lubrificazione idrodinamica naturale. Si deve quindi ricorrere aquella idrostatica, nella quale la pressione viene fornita al lubrificante tramite una pompa.

In realta, la portata Qs = bQs associata al gradiente di pressione

Qs = −p′h3

12µ(10.21)

viene immessa da un circuito di alimentazione. A regime, essa e costante; quindi il gradiente di pressionediventa

p′ = −12µQsh3

(10.22)

La pressione relativa, nell’estremo al quale viene immessa la portata, vale p = −lp′, mentre all’estremo alquale il fluido fuoriesce libero5 vale 0. Quindi, a partire dalle condizioni al contorno p (0) = p → D′ = p,p (l) = 0 → C ′ = −p/l, si ottiene un andamento lineare della pressione

p (x) = p(

1− x

l

)

(10.23)

5Trascurando eventuali perdite di carico concentrate dovute all’effusione del meato in una camera.

10-6

Figura 10.4: Andamento della pressione nel meato per effetto della geometria.

Da questa, a partire dalla (10.3), si ricava lo spessore del meato in funzione del carico N = bN , dellageometria del problema, delle proprieta del fluido e della portata imposta Qs.

N = pbl

2= −bl

2p′

2=bl26µQsh3

→ h =3

√

l26µQsN

(10.24)

Gli sforzi tangenziali definiti nella (10.16), sulla superficie inferiore del corpo in movimento (z = h)in questo caso valgono

τs (h) = −µ(v

h− 6

Qsh2

)

(10.25)

La forza resistente T = bT agente sul corpo in movimento e quindi

T = −µbl(v

h− 6

Qsh2

)

(10.26)

Ne risulta, idealmente, un coefficiente di attrito mediato

fm =

∣∣T∣∣

N=

|T |N

=

∣∣∣∣

vh2

6Qsl− h

l

∣∣∣∣

(10.27)

C’e quindi un contributo al coefficiente di attrito mediato che e proporzionale alla velocita relativa trale pareti e al quadrato dello spessore, e inversamente proporzionale alla portata immessa nel meato; ladipendenza del cubo dello spessore dalla portata immessa illustrato nella (10.24) fa sı che il coefficientedi attrito mediato diminuisca al crescere della portata immessa. Se la portata dovuta al gradiente dipressione e concorde con il movimento relativo, il corpo superiore e trascinato nella direzione del motodagli sforzi tangenziali; questo fa sı che ci sia una riduzione del coefficiente di attrito mediato (il termine−h/l) tanto piu grande quanto piu grande e lo spessore del meato.

Si noti pero che la potenza perduta non e data soltanto da Πd = −T · v, ma anche dalla potenzanecessaria per alimentare il flusso forzato, Πh = −p · Qs; quindi l’elevata efficienza meccanica di questasoluzione viene attenuata dalla riduzione in efficienza complessiva legata alla necessita di provvedere alforzamento della lubrificazione.

10-7

10.2.4 Lubrificazione idrodinamica

Nel caso in cui all’estremo iniziale non venga imposta una pressione maggiore di quella presente al-l’estremo finale, la pressione relativa deve essere nulla agli estremi del meato e variabile lungo di esso perottenere capacita di sostentamento; quindi, a tal fine, vi deve essere una variazione di altezza h (x).

Vi sara quindi, lungo il meato, un punto di ascissa x0 in cui la pressione e massima ed e individuatadal fatto che in quel punto il gradiente p′ e nullo

p′ =12µ

h3 (x0)

(vh (x0)

2−Q

)

= 0 → vh (x0) = 2Q → Q =vh (x0)

2(10.28)

e quindi, sostituendo la (10.28) nella (10.19), quest’ultima diventa

p′ =6µv

h3(h− h (x0)) (10.29)

Si nota immediatamente che se v = 0, ovvero non vi e moto relativo tra le superfici, la portata e nullae quindi non puo instaurarsi la lubrificazione idrodinamica (problema degli organi di macchine dotati dimoto con arresto).

Nel punto in cui si ha la massima pressione, la portata di pressione e nulla e si ha solo la portata ditrascinamento6. Nella zona in cui il gradiente p′ e positivo, la portata di pressione si sottrae a quella ditrascinamento, mentre dove p′ e negativo la portata di pressione si somma a quella di trascinamento.

L’azione di sostentamento per unita di larghezza del cuscinetto risulta quindi pari a:

N =

∫ l

0

p (x) dx =

∫ l

0

dx

∫ x

0

p′ (ξ) dξ (10.37)

ovvero la pressione genera una spinta per unita di larghezza del cuscinetto N , capace di tenere separatele due superfici.

Inoltre, sulla superficie superiore in moto si genera una reazione d’attrito per unita di larghezza delcuscinetto pari a:

Tsup =

∫ l

0

τ |z=h(x) dx (10.38)

6Sostituendo l’espressione (10.28) della portata, Q = vh (x0) /2, in quella (10.29) del gradiente di p:

p′ (x) =12µ

h3 (x)

(

vh (x)

2−Q

)

=6µv

h3 (x)(h (x)− h (x0)) (10.30)

e, integrandola sulla lunghezza l del meato, si ottiene:

p (l)− p (0) =

∫ l

0

p′ (x) dx =

∫ l

0

6µv

h3 (x)(h (x)− h (x0)) dx = 0 (10.31)

Utilizzando un’espressione lineare per l’altezza del meato:

h (x) = h1 −h1 − h2

lx (10.32)

da cui, differenziando:

dh = −h1 − h2

ldx → dx =

l

h2 − h1dh (10.33)

6µv

∫ h2

h1

h− h (x0)

h3l

h2 − h1dh = 0 (10.34)

che semplificata nelle costanti:∫ h2

h1

h (x)− h (x0)

h3dh = 0 →

∫ h2

h1

dh

h2= h (x0)

∫ h2

h1

dh

h3→ h (x0) =

2h1h2

h1 + h2(10.35)

espressione che sostituita nell’espressione (10.32) di h valutata in x0,

2h1h2

h1 + h2= h1 −

h1 − h2

lx0 (10.36)

permette di calcolare l’ascissa x0.

10-8

mentre su quella inferiore si genera una reazione d’attrito per unita di larghezza

Tinf =

∫ l

0

τ |z=0 dx (10.39)

Possiamo quindi calcolare il coefficiente di attrito mediato come:

fm =T

N(10.40)

che tipicamente e dell’ordine di 0.01.Ricordando che b indica la larghezza del meato, l’azione tangenziale genera una potenza resistente:

Wr = b~T × ~v = −bTv = −fmbNv = −fmNv (10.41)

che, in un bilancio termico del fluido, risulta entrante in esso e quindi positiva; questa si trasforma incalore portando il lubrificante alla temperatura θ:

fmNv = αbl (θ − θe) → θ = θe +fmNv

bαl(10.42)

ove α e il coefficiente di scambio termico, θ e la temperatura del fluido a regime e θe e la temperaturaesterna verso cui avviene lo scambio termico all’equilibrio.

Noto quindi il carico N = bN che il cuscinetto deve sopportare e la sua geometria (b, l), si puo valutarela temperatura di funzionamento e quindi scegliere l’olio della gradazione piu opportuna, tenendo contoche all’aumento della temperatura la viscosita µ, e quindi la capacita di sostentamento, decresce.

Si noti che, noto il carico N , la temperatura di esercizio risulta essere, secondo questo modello sem-plificato, inversamente proporzionale alla larghezza b del cuscinetto. Proprio la temperatura di eserciziodel fluido, e quindi la necessita di dissipare il calore accumulato nel fluido durante il funzionamento, puodiventare un criterio dimensionante per la larghezza del cuscinetto.

Si noti inoltre che, se entrambe le superfici sono in moto, l’integrale generale (10.13) deve essererisolto per le condizioni al contorno

u (0) = v1u (h) = v2

(10.43)

dove v1 e v2 sono le velocita delle due superfici. Se esse sono eguali e concordi, e facile verificare chela portata Q e pari a 0, ovvero non puo instaurarsi la lubrificazione idrodinamica naturale, che risultaquindi legata alla velocita relativa tra le due superfici che delimitano trasversalmente il meato.

Si noti, infine, che il carico effettivo applicabile nella realta e inferiore a quello ricavato da questatrattazione elementare, infatti il fluido non ha sempre direzione parallela a x, ma si ha fuoriuscita lateralee, quand’anche questa non vi fosse, il moto non e rigorosamente unidirezionale, ma piano.

Sperimentalmente si e ricavato un fattore correttivo c = (b+ l) /b, detto coefficiente di fuoriuscitalaterale, e il carico effettivamente sopportabile e

P ′ =bN

c(10.44)

Per i perni lubrificati, illustrati in figura 10.5, la teoria elementare non e piu sufficiente e si devericorrere alla integrazione numerica delle equazioni di Navier-Stokes o alla teoria semplicata di Reynolds;infatti il perno cambia posizione del centro al variare del carico a parita di velocita angolare, o a paricarico al variare della velocita di rotazione.

Nella lubrificazione idrodinamica, per basse velocita angolari dei perni e possibile ancora il contattotra le superfici e, per valori molto bassi della velocita periferica v, nella zona detta di attrito combinato,il coefficiente di attrito mediato fm anziche variare con legge parabolica come vorrebbe la teoria, ritornaa crescere fino ad assumere il valore dato da OB nella figura 10.6, che rappresenta l’attrito untuoso.Questo e uno dei motivi per cui gli olii lubrificanti sono addittivati con prodotti che creino un resistenteepilamine.

10-9

Figura 10.5: Perno lubrificato.

Figura 10.6: Lubrificazione idrodinamica: dipendenza dell’attrito mediato dalla velocita relativa.

10-10

Capitolo 11

Modellazione elementi a fluido

Generato il 10 settembre 2012La soluzione completa del campo di moto di un fluido richiede la determinazione di:

• densita (1),

• pressione (1),

• temperatura (1),

• vettore velocita (3), e

• tensore degli sforzi (9) del fluido;

i termini fra parentesi rappresentano il numero di componenti di ciascuna grandezza incognita, per untotale di 15 incognite di campo. Allo scopo abbiamo disponibili le seguenti leggi fisiche:

• conservazione della massa (1)

• bilancio della quantita di moto (3)

• bilancio del momento delle quantita di moto (3)

• conservazione dell’energia (1, primo principio della termodinamica)

• equazione di stato (1)

I termini fra parentesi rappresentano il numero di componenti di ciascuna equazione, per un totale di9 relazioni. Notiamo immediatamente che una relazione esplicita si puo ottenere rapidamente per ifluidi piu comuni dalla conservazione del momento delle quantita di moto applicata ad un volume el-ementare infinitesimo. Tale relazione stabilisce l’importante proprieta di simmetria del tensore deglisforzi, riducendone le relative componenti incognite a 6. Si hanno pertanto 12 incognite di campo con 6equazioni, ragion per cui devono essere determinate 6 ulteriori relazioni fra le variabili del campo fluidoper permettere la chiusura del bilancio equazioni-incognite. Tali relazioni costituiscono quello che vienegenericamente detto legame costitutivo, cioe la relazione che collega il tensore degli sforzi al tensore dellevelocita di deformazione. La determinazione di tale relazione si basa su considerazioni sia teoriche chesperimentali, ma la determinazione dei parametri che la caratterizzano richiede comunque una speri-mentazione appropriata. Alle relazioni costitutive e solitamente demandato anche il soddisfacimento delvincolo fisico associato all’entropia che, in un sistema isolato, non puo che crescere o rimanere invari-ata (secondo principio della termodinamica, irreversibilita di processi termodinamici reali). Assegnatala legge costitutiva, il bilancio incognite-equazioni e quindi chiuso. Per la determinazione di tutte legrandezze di campo summenzionate, le leggi di cui sopra vengono scritte per elementi infinitesimi di flu-ido, assunto come continuo, dando origine ad un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali.Per la soluzione di tali equazioni occorre poi assegnare le condizioni al contorno e, nel caso instazionario,le condizioni iniziali, specifiche di ciascun problema. Molto spesso, nella pratica ingegneristica, e pero

11-1

possibile ottenere risultati significativi utilizzando le leggi di cui sopra sotto forma di bilanci globali che,pur non permettendo certo la soluzione completa del campo di moto del fluido, rendono possibile ladeterminazione di significative relazioni, estremamente utili per l’analisi e la progettazione di sistemi in-dustriali a fluido, per i quali viene spesso usata la denominazione di “idraulici”, quando elaborano liquidi,e “pneumatici”, quando elaborano gas. Tali sistemi sono modellabili con flussi interni in:

• tubi (tubazioni),

• valvole,

• pompe, e

• motori/attuatori,

che, con accettabile approssimazione, si possono ritenere sostanzialmente monodimensionali ed ap-prossimabili ad isotermici. In realta il fluido subisce anche apprezzabili variazioni di temperatura dovuteagli attriti interni e di parete, comunque non tali da influenzare significativamente il suo movimento, evengono pertanto trascurate. A causa della monodimensionalita, il bilancio del momento delle quantitadi moto non e d’interesse, mentre la conservazione dell’energia viene utilizzata, di solito, a posteriori,per determinare la quantita di calore da smaltire a causa dell’inevitabile riscaldamento del fluido causatodagli attriti. Si possono pertanto scrivere le sole:

• conservazione della massa (1)

• bilancio della quantita di moto, o bilancio dell’energia meccanica (1)

• equazione di stato (1).

Noi faremo riferimento a tale semplificazione, utile per una significativa parte di problemi associati aimpianti idraulici e pneumatici, che, utilizzata in forma di bilanci globali su opportuni volumi di controllo,ci permettera di affrontare alcuni semplici e significativi problemi.

Inoltre, come illustrato nel seguito, non si cerchera un modello unico onnicomprensivo, in grado didescrivere il comportamento puntuale del fluido, ma piuttosto un insieme di semplici modelli, adatti alladescrizione di specifici componenti di circuiti idraulici, nei quali vengono trascurati gli aspetti inessenzialialla descrizione del comportamento fondamentale di tali componenti. L’utilizzo di tali componenti al-l’interno di uno schema di connessione riconducibile ad una rete consente di descrivere il comportamentodel sistema nell’ambito di validita delle approssimazioni utilizzate.

Conservazione della massa: la conservazione della massa in un volume di controllo, con un flussoentrante ed uno uscente, si scrive semplicemente:

(ρAu)entrante − (ρAu)uscente =d (ρV )

dt(11.1)

Bilancio dell’energia meccanica: e poi pratica comune non utilizzare direttamente l’equazione delbilancio della quantita di moto, ma il suo integrale primo, ossia il teorema dell’energia meccanica, spes-so chiamato teorema di Bernoulli, pratica impropria nel caso di bilancio globale completo dell’energiameccanica sulle grandezze medie sezionali di flussi monodimensionali, che comunque accetteremo fra“vir-golette”. Piu accettabile e invece la generica denominazione di trinomio di Bernoulli per le espressioni:

p

ρ+u2

2+ gz = cost. (11.2)

e

p

γ+u2

2g+ z = cost. (11.3)

che compariranno fra breve. Ci limitiamo qui a scrivere la relativa relazione ipotizzando che il fluidodi interesse sia sostanzialmente incomprimibile, in moto sostanzialmente stazionario e soggetto al solo

11-2

campo gravitazionale. Ricordiamo che l’ipotesi di incomprimibilita non e tanto legata al fatto che ilfluido sia un gas o un liquido, quanto al rapporto fra la velocita dello stesso e la propagazione dellepiccole perturbazioni interne al campo a velocita sonica c, detto numero di Mach M . Tale rapporto deveessere significativamente minore di uno per potere parlare di fluido incomprimibile, ragion per cui i nostririchiami di fluidodinamica saranno generalmente validi per un fluido generico, gas o liquido, purche Msia significativamente minore di uno. Il bilancio di energia meccanica per unita di massa e

pingressoρingresso

+u2entrante

2+ gzingresso =

puscitaρuscita

+u2uscente

2+ gzuscita + Energia dissipata (11.4)

dove il termine “Energia dissipata”, rappresentante l’energia dissipata per unita di massa di fluido, saraprecisato piu avanti. Si noti che dimensionalmente questa equazione contiene delle velocita al quadrato.

Una forma equivalente, spesso usata, si ottiene dividendo per g entrambi i termini, ottenendo:

pingressoγingresso

+u2entrante

2g+ zingresso =

puscitaγuscita

+u2uscente

2g+ zuscita +

Energia dissipata

g(11.5)

in cui tutti i termini hanno le dimensioni di una lunghezza, e a volte permettono una piu intuitivavalutazione dell’importanza relativa dei vari termini.

Come vedremo nelle applicazioni successive, utilizzeremo spesso tale relazione anche per flussi in-stazionari, ragion per cui riteniamo utile giustificare subito tale estensione in modo da evitarne usiimpropri. Allo scopo notiamo che il bilancio dell’energia meccanica sopra riportato si puo ricavare dall’in-tegrazione del bilancio della quantita di moto di un flusso stazionario lungo il tubo, ritenuto sensibilmenterettilineo.

Nella derivata totale della quantita di moto,

d

dt(ρu) = ρ

(∂u

∂ξ

dξ

dt+∂u

∂t

)

, (11.6)

ove ξ e una coordinata curvilinea lungo il tubo, per cui dξ/dt = u e, siccome si e considerata l’ipotesidi incomprimibilita, non compare esplicitamente la derivata della densita ρ, in quanto nulla, l’ipotesi distazionarieta implica la condizione

∂u

∂t= 0. (11.7)

Qualora si consideri un flusso non stazionario, l’approssimazione data dal considerare ancora vali-da la (11.7) puo essere ancora relativamente accettabile purche l’integrale del termine temporale dellavariazione della quantita di moto,

ρ∂u

∂t, (11.8)

lungo il tubo, si possa ritenere trascurabile rispetto agli altri termini.E importante rilevare, come gia visto in altri casi, che nella pratica ingegneristica si ricorre spesso a

simili approssimazioni, che trascurano alcuni termini del problema al fine di una piu semplice soluzionesenza pero inficiare sensibilmente la validita dei risultati ottenibili. In tali approssimazioni, anche se iltralasciare formalmente alcuni termini appare come considerare gli stessi nulli, il relativo significato fisicoe invece sempre associato al fatto che essi sono trascurabili rispetto agli altri fattori che intervengononella scrittura delle relazioni d’interesse.

Poiche noi utilizzeremo prevalentemente l’equazione di “Bernoulli” per determinare la velocita mediadel flusso monodimensionale in condizioni dominate dai gradienti di pressione e dal termine convettivo,

ρu∂u

∂ξ, (11.9)

della variazione della quantita di moto (11.6), l’approssimazione stazionaria manterra un significativolivello di accettabilita anche quando la velocita potra variare temporalmente in modo non trascurabile. In

11-3

ultima analisi, la validazione di tale ipotesi spetta alla sperimentazione, ed infatti una lunga pratica ne haampiamente dimostrato il livello di validita nelle tipiche applicazioni che qui esemplificheremo, ma potra,anzi dovra, comunque sempre essere verificata a posteriori analizzando accuratamente i risultati ottenuti.E infatti evidente che, se dopo avere risolto le equazioni che modellano il nostro sistema a fluido sullabase di una certa ipotesi, la soluzione ottenuta non verifica le ipotesi stesse, la formulazione sviluppatanon puo che ritenersi inappropriata. D’altro canto, l’ottenimento di risultati consistenti con gli assuntinon puo certo garantire la bonta fisica della soluzione se quest’ultima e soggetta solo ad approssimazioniplausibili ma non rigorosamente provate, ragion per cui la verifica sperimentale diventa essenziale. Eutile aggiungere che spesso tale verifica puo essere assunta a priori come scontata sulla base di praticheconsolidate da una vasta letteratura. Un’ulteriore immediata applicazione di quanto appena detto vienesuggerito dalla formula espressa in unita di lunghezza (11.5), che chiaramente ci dice che per i fluidi piucomuni, gia in presenza di variazioni di pressione dell’ordine di pochi bar, si potra spesso trascurare iltermine associato a variazioni di quota, poiche le variazioni di energia gravitazionale corrispondenti sonotrascurabili rispetto alle quote barometriche e d’energia cinetica, ipotesi valida per molte applicazioniindustriali di componenti a fluido. Continuiamo ancora notando che il nostro volume di controllo e sıprevalentemente monodimensionale, ma dotato di sezione finita, per cui l’equazione di cui sopra implicache si possano definire una pressione ed una velocita mediamente uniformi nella stessa. Senza dilungarciricordiamo che tale condizione e praticamente soddisfatta per correnti turbolente su tutta la sezione, aldi fuori, al piu, di uno strato genericamente sottile vicino alla parete fisica che contiene il volume dicontrollo. In sostanza, nella sezione il flusso e dominato dalle forze d’inerzia, mentre gli sforzi viscosisi evidenziano solo in prossimita della parete del tubo, quando la velocita diminuisce fino ad annullarsiper soddisfare la condizione di adesione del fluido alla parete. Si noti che si e preferito parlare didistribuzione di velocita nella sezione, evitando ogni riferimento improprio ad un possibile strato limitedi parete, essendo tale estensione del concetto di strato limite inappropriata, anche se spesso usata inletteratura1. Come detto, l’esistenza di moti stabilmente turbolenti dipende essenzialmente dal prevaleredelle forze d’inerzia sulle forze viscose, condizione come noto sintetizzata da un numero di Reynoldsmedio sulla sezione sufficientemente elevato. Nel caso di flussi prevalentemente monodimensionali, talenumero di Reynolds e definito da:

Re =ρDiu

µ=Diu

ν, (11.10)

essendo Di una dimensione caratterizzante la sezione di riferimento, spesso definita per una genericasezione col termine di diametro idraulico equivalente, o semplicemente diametro idraulico, dato da:

Di =4A

P(11.11)

dove A e l’area della sezione e P e il suo perimetro. Chiaramente, per tubi a sezione circolare, Di altronon e che il diametro reale del tubo. Con tale definizione si puo approssimativamente ritenere che ilflusso sia sicuramente turbolento per Re > 4000 e laminare per Re < 2000, mentre per valori compresifra 2000 e 4000 si ha una condizione di flusso misto, detto di transizione. In generale, la transizionepresenta una isteresi, nel senso che, in assenza di perturbazioni, per numeri di Reynolds in crescitada valori inferiori a 2000, il flusso tende a rimanere significativamente laminare ben dentro l’intervallocritico, e, viceversa, in diminuizione da valori maggiori di 4000, il flusso tende a permanere turbolento.La condizione Re > 4000 e generalmente soddisfatta, e sara assunta come vera nella maggior parte dellanostra trattazione, salvo quando verranno specificamente evidenziati flussi meglio approssimabili comelaminari. Si ricorda che la viscosita dipende sia dalla pressione che dalla temperatura. In particolare laviscosita dei liquidi diminuisce significativamente all’aumentare della temperatura, aumentando invece,ma con minore sensitivita, all’aumentare della pressione. Per i gas si hanno invece aumenti di viscositasia all’aumentare della pressione che della temperatura. Si ricordano alcuni valori tipici di orientamentoper la viscosita cinematica alla pressione atmosferica, e per temperature attorno ai 20o C: acqua 10−6,

1La nozione di ‘strato limite’ presuppone che al di fuori di esso esista una regione del campo di moto del fluido nel qualeil comportamento possa essere approssimato dal modello del fluido perfetto, ovvero non viscoso. Questo, nelle condutturedi sezione piccola rispetto alla lunghezza, non e mai possibile, in quanto tutto il campo di moto risente della viscosita, siapure in modo diverso.

11-4

olı qualche decina di 10−6, aria 1.5 10−5 m2/s. Nella pratica ingegneristica il termine “Energia dissipata”viene denominato genericamente come “perdite d’attrito”, o anche “perdite di carico”, con riferimentoal termine energetico associato ad un salto di pressione che eguaglia le perdite stesse. Tale diciturarichiama la semplice ed intuitiva constatazione che per vincere la resistenza d’attrito del fluido bisognaapplicare una pressione. Tali perdite vengono generalmente suddivise in perdite distribuite lungo trattidi tubazione di sezione a caratteristiche costruttive sensibilmente costanti e perdite concentrate, collegatead esempio a:

• brusche variazioni di sezione,

• intersezioni di tubazioni,

• brusche curve,

• raccordi.

Le perdite d’attrito distribuite su una tubazione di lunghezza L, diametro idraulico Di e percorsa da unfluido alla velocita media u sono generalmente espresse tramite la relazione:

Energia dissipata per unita di volume = fL

Di

ρu2

2(11.12)

con

f = f (Re) (11.13)

funzione dimensionale determinata sperimentalmente. Le perdite concentrate hanno un’analoga espres-sione:

Energia dissipata per unita di volume = Kρu2

2(11.14)

dove K e ancora una volta determinato sperimentalmente. Qualora l’elemento di concentrazione dellaperdita coinvolga una variazione di sezione, K e generalmente espresso assumendo per u la velocita piuelevata. E opportuno ricordare che tale convenzione non ha nulla di arbitrario, in quanto la perditaconcentrata coinvolge un volume equivalente di controllo abbastanza limitato, per il quale e semprepossibile scrivere la relazione di continuita in termini volumetrici

(Au)entrante = (Au)uscente . (11.15)

Comunque e opportuno verificare attentamente la convenzione utilizzata per definire K ogni volta che sene reperiscono i valori in letteratura e/o su manuali. Puo essere utile ricordare l’estensione del bilanciodell’energia meccanica teste illustrato al caso in cui il volume di controllo non sia un semplice trattodi condotta, ma contenga anche macchine utilizzatrici/operatrici, che scambino potenza con l’esterno.Scriviamo pertanto il:

Bilancio globale generalizzato dell’energia meccanica:

(ρAu)entrante

(pingressoρingresso

+u2entrante

2+ gzingresso

)

= (ρAu)uscente

(puscitaρuscita

+u2uscente

2+ gzuscita

)

+ Potenza dissipata + Potenza esterna

dove il termine “Potenza esterna” si riferisce alla potenza totale scambiata con l’esterno, positiva inuscita, mentre il termine “Potenza dissipata” indica la potenza totale dissipata all’interno. Come abbi-amo detto precedentemente, l’energia dissipata si trasforma in calore che e parzialmente smaltito lungoil circuito idraulico, principalmente per conduzione verso componenti con esso a contatto e convezioneverso l’ambiente che lo circonda. Come gia detto, noi riterremo che, anche in assenza di un significativosmaltimento termico distribuito, le variazioni di temperatura non siano generalmente tali da causare

11-5

significativi effetti sul flusso. In tale asserzione si ritiene implicitamente che il fluido elaborato sia contin-uamente rinnovato, in quanto e chiaro che, qualora la stessa massa fluida fosse continuamente ricircolatain un impianto chiuso che non e in grado di smaltire naturalmente il calore accumulato sotto forma dienergia interna lungo il percorso, la temperatura continuerebbe a salire invalidando l’assunto. Poichequesto e proprio cio che avviene negli impianti a fluido di potenza, tali impianti sono sempre dotati diun sistema di raffreddamento, concentrato in uno o piu radiatori, che ha il compito di smaltire l’energiatermica accumulata dal fluido a causa dell’attrito. Ecco allora che a questo punto possiamo chiarire cosaintendevamo quando abbiamo detto che il bilancio dell’energia ci avrebbe permesso di trarre opportuneconclusioni sullo smaltimento dell’accumulo dell’energia dissipata per attrito sotto forma di energia in-terna. Infatti se Et e l’energia totale dissipata per unita di massa e Q e la portata di massa elaboratanel circuito idraulico, la variazione media di temperatura del fluido sara

∆T =Etcp, (11.16)

mentre la potenza termica totale generata, e quindi da smaltire per mantenere la temperatura del fluidoin limiti accettabili, sara

Pt = QEt. (11.17)

Tali valori permettono il dimensionamento di massima del sistema di raffreddamento del fluido.

Equazione di stato: l’equazione di stato di un fluido e una generica relazione del tipo:

ρ = ρ (p, T ) (11.18)

Per flussi idraulici e pneumatici approssimabili come incomprimibili e spesso necessario poter valutarealcuni effetti causati dalla comprimibilita sul bilancio di massa del fluido attorno alla condizione nominaledi funzionamento. Infatti si ricorda che in tale bilancio interviene il termine

d (ρV )

dt, (11.19)

per il quale il volume V funge da fattore di amplificazione delle variazioni di densita ρ, variazioni cheinvece abbiamo ritenuto inessenziali e tali da non influenzare significativamente il bilancio energeticomeccanico. Limitandosi a flussi poco comprimibili e con limitate variazioni di temperatura, e spessoaccettabile utilizzare un approssimazione linearizzata dell’equazione di stato ottenuta con uno sviluppoattorno ad una densita media nota di riferimento ρ0:

ρ = ρ0 +

(∂ρ

∂p

)

T

∆p+

(∂ρ

∂T

)

p

∆T

ρ0

(

1 +1

ρ0

(∂ρ

∂p

)

T

∆p+1

ρ0

(∂ρ

∂T

)

p

∆T

)

(11.20)

Chiaramente, in condizioni normali2, la densita aumenta all’aumentare della pressione, (∂ρ/∂p)T > 0,mentre diminuisce all’aumentare della temperatura, (∂ρ/∂T )p < 0. Tenendo conto delle condizioniprecedenti, si definiscono allora due significative grandezze caratterizzanti i fluidi:

• il modulo di comprimibilita volumetrica (isotermico)

β = ρ0

(∂p

∂ρ

)

T

, (11.21)

detto anche bulk modulus in inglese, e

2Vi sono notevoli eccezioni nel comportamento di alcuni fluidi, che spesso si verificano in prossimita di un cambiamentodi stato. Ad esempio, l’acqua ha (∂ρ/∂T )p > 0 tra 0 e 4 gradi centigradi a pressione atmosferica.

11-6

• il coefficiente di dilatazione volumetrica isobarico

α = − 1

ρ0

(∂ρ

∂T

)

p

, (11.22)

per cui la formula espressa dall’equazione 11.20 si scrive:

ρ = ρ0

(

1 +1

β∆p− α∆T

)

(11.23)

Spesso e utile riferire β e α ad un generico volume di riferimento V0, invece che ad una densita. Essendo,a parita di massa, il volume inversamente proporzionale alla densita, si avra:

ρ =1

V(11.24)

e quindi

dρ = −dV

V 2, (11.25)

per cui

β = ρ0

(∂p

∂ρ

)

T

= ρ0

(∂p

∂V

∂V

∂ρ

)

T

= −V0(∂p

∂V

)

T

, (11.26)

α = − 1

ρ0

(∂ρ

∂T

)

p

= − 1

ρ0

(∂ρ

∂V

∂V

∂T

)

p

=1

V0

(∂V

∂T

)

p

. (11.27)

Siccome abbiamo assunto trascurabili gli effetti termici sulla dinamica del fluido, α non sara considerato.Al contrario, β sara una caratteristica della massima importanza nella determinazione della dinamicadei sistemi a fluido ogniqualvolta non potremo ritenere il fluido perfettamente incomprimibile, in quantone caratterizzera la relativa rigidezza. Si noti che e anche possibile la definizione di un coefficiente dicomprimibilita adiabatica βa, collegabile a β tramite la relazione:

βa =cpcvβ. (11.28)

Essendo3

γ =cpcv

(11.29)

significativamente approssimabile a uno per i liquidi, per essi la distinzione fra i due moduli e solitamenteinessenziale. Per i gas, invece, la differenza puo essere significativa; si ricordi che cp/cv vale all’incirca 1.4per gas perfetti biatomici, e l’utilizzo del modulo adiabatico meglio approssima la realta, in quanto per igas l’ipotesi di adiabaticita, ovvero scambio di calore nullo, e piu appropriata. Per un gas, approssimatocome perfetto, ricordando la definizione di β e la relativa equazione di stato,

p = ρRT, (11.30)

si constata facilmente che β = p (mentre α = 1/T ) e quindi

βa =cpcvp = γp. (11.31)

Nel prosieguo, salvo diversa ed esplicita menzione, noi utilizzeremo sempre il simbolo β, sottintendendoallo stesso βa nel caso di gas. Si puo quindi avere un’idea immediata dell’ordine di grandezza dellacomprimibilita di un gas, mentre per i liquidi si ricordano i valori approssimativi a 20o C: per gli olı

3Non si confonda questo γ, rapporto tra i calori specifici a pressione e a volume costante, con quello usato nella (11.5)per indicare la densita specifica ρg.

11-7

utilizzati nei circuiti idraulici β = 1.5 Gpa (15000 bar), e per l’acqua β = 2.1 Gpa (21000 bar). Lacomprimibilita volumetrica generalmente diminuisce all’aumentare della temperatura, con variazioni chedipendono da liquido a liquido; l’acqua, ad esempio, non presenta significative variazioni nell’intervallo20÷ 100o C, mentre gli olı idraulici possono subire una diminuizione di circa il 25%.

E importante rilevare che nelle reali condizioni operative, per quanto si ponga attenzione ad evitarel’inclusione e la formazione di gas, una certa percentuale di inclusione di gas non disciolto e semprepresente. Tale inclusione puo influenzare significativamente la rigidezza del fluido, esperienza spessodrammaticamente avvertita quando il calore sviluppato dall’eccessivo riscaldamento dei freni di un au-toveicolo si trasmette al fluido del circuito frenante che evapora parzialmente, facendo sı che la pressioneesercitata sul pedale del freno produca un effetto frenante estremamente limitato, poiche frenando nonsi fa altro che comprimere le bolle di vapore sviluppatesi in seno al liquido (fading). Infatti, il vaporeed il liquido agiscono come due elementi elastici in serie, per i quali, come ben sappiamo, si sommano lerelative flessibilita (inverso delle rigidezze), per cui se una e preponderante sull’altra diventa praticamentela sola responsabile della cedevolezza globale del sistema idromeccanico.

Puo essere utile evidenziare tale concetto nei casi di interesse applicativo. Supponiamo che in unvolume complessivo Vt ci sia una parte Vl di liquido e una parte Vg di gas; sara evidentemente Vt = Vl+Vge ∆Vt = ∆Vl +∆Vg. Chiamando β il modulo relativo a tutto il volume, dalla sua definizione in terminivolumetrici potremo scrivere la precedente relazione delle variazioni volumetriche nella forma:

Vtβ∆p =

Vlβl

∆p+Vgβg

∆p, (11.32)

da cui proseguendo:

Vtβ∆p =

Vt − Vgβl

∆p+Vgβg

∆p, (11.33)

per arrivare a:

1

β=

1

βl+VgVt

(1

βg− 1

βl

)

(11.34)

spesso piu semplicemente approssimabile con

1

β≃ 1

βl+VgVt

1

βg, (11.35)

essendo βl ≫ βg. Da tale formula si vede come per un’inclusione volumetrica di gas dell’1%, ovvero perVg/Vt = 0.01, alla pressione media operativa atmosferica, βg ≡ 1 bar, un fluido idraulico con βl = 15000bar abbia una rigidezza volumetrica effettiva di soli circa 100 bar, mentre alla pressione media operativadi 150 bar si abbia un valore “solo” dimezzato. Questa e certamente una delle ragioni che ben evidenzial’opportunita dell’utilizzo di circuiti idraulici di potenza operanti a pressioni relativamente alte.

Ad ulteriore complemento si rileva che l’inclusione di aria nei circuiti idraulici operanti alla pressioneatmosferica puo raggiungere valori ben maggiori dell’1%, mentre ad alte pressioni medie operative l’ariatende a dissolversi nel liquido con minore degrado della rigidezza volumetrica dello stesso. Pur senzadilungarci oltre, notiamo che un’ulteriore diminuzione della rigidezza apparente del fluido puo imputarsianche alla deformabilita strutturale degli elementi che lo contengono.

Abbiamo gia richiamato come la distinzione fra flussi comprimibili e non sia associata al numero diMach M e quindi alla velocita di propagazione del suono nel fluido. Puo essere ora utile ricordare chela velocita del suono altro non e che la velocita di propagazione delle piccole perturbazioni di campo nelmezzo, approssimato come non dissipativo, ed e data da

c =

(√

∂p

∂ρ

)

adiabatico

=

√

βaρ. (11.36)

Come gia ricordato, per i liquidi la distinzione fra comprimibilita isotermica e adiabatica e inessenziale,mentre per i gas e necessario usare βa. Si ricorda che per i gas perfetti la celerita del suono, a partiredalla (11.36), e data dalla

c =√

γRT . (11.37)

11-8

Riprendendo il bilancio di massa dato dalla (11.1), qui ripetuto per chiarezza espositiva:

(ρAu)entrante − (ρAu)uscente =d (ρV )

dt, (11.38)

dopo aver condotto buona parte della presentazione precedente sulla base dell’ipotesi di flusso incom-primibile parrebbe naturale riscrivere la stessa in termini puramente volumetrici, e cioe:

(Au)entrante − (Au)uscente =dV

dt, (11.39)

essendo quindi ogni effetto instazionario attribuibile alla sola variabilita del volume di controllo, come nelcaso di un cilindro con pistone mobile o di una valvola con elemento di chiusura scorrevole. Ricordandol’equazione di stato linearizzata

ρ = ρ0

(

1 +∆p

β

)

(11.40)

e trascurando le dilatazioni termiche, e infatti facilmente verificabile che per i liquidi ∆p/β rimanenell’ordine di soli alcuni punti percentuali anche per variazioni di alcune centinaia di bar, mentre peri gas, essendo ∆p/β dell’ordine di ∆p/p l’effetto e sostanzialmente dipendente dalla pressione mediaoperativa, ma puo comunque rimanere adeguatamente contenuto in presenza di una pressurizzazionemedia adeguata. E comunque utile esplicitare tali considerazioni eseguendo alcuni passaggi. Sostituendoallora l’equazione di stato linearizzata nel bilancio di massa abbiamo:

(ρAu)entrante − (ρAu)uscente = ρdV

dt+ ρ0

V

β

d∆p

dt, (11.41)

che, assumendo ∆p/β sufficientemente minore di uno, permette di confondere ρ0 con ρ e quindi disemplificare ρ e riscrivere la stessa in termini puramente volumetrici:

(Au)entrante − (Au)uscente∼= dV

dt+V

β

d∆p

dt. (11.42)

Tale formula mostra come, anche per flussi ben approssimabili come incomprimibili, in presenza direlativamente elevate variazioni temporali di pressione e/o volumi non piccoli si possano introdurreeccessive approssimazioni trascurando il termine

V

β

d∆p

dt. (11.43)

La differenza essenziale fra liquidi e gas e allora legata alla pressione di riferimento implicita nell’e-quazione di stato linearizzata. Infatti, come gia detto, per i liquidi tale equazione puo fornire una buonaapprossimazione anche per variazioni di pressione di centinaia di bar e si puo quindi scrivere anche as-sumendo come pressione di riferimento la pressione nulla, e quindi direttamente in termini di pressioneassoluta:

(Au)entrante − (Au)uscente =dV

dt+V

β

dp

dt(11.44)

e non di variazione ∆p. E anche opportuno ricordare che la pressione non puo essere minore di zero,corrispondendo infatti la pressione nulla al vuoto assoluto. Una banale constatazione da cui conseguel’impossibilita di aspirare un liquido alla pressione atmosferica ad un altezza di piu di 100000/ (ρg) metri,circa 10 m nel caso dell’acqua. Di fatto, a causa delle perdite di carico e della necessita di garantire unaportata adeguata, il fluido deve pervenire a destinazione con una velocita, e quindi energia cinetica,adeguata, tale altezza e in pratica assai inferiore al limite sopra riportato. Inoltre, all’abbassarsi dellapressione a livelli significativamente inferiori alla pressione atmosferica, il fluido libera ogni gas in essodisciolto e comincia a vaporizzare, diventando praticamente bifasico (gas-liquido); i gas disciolti e il suovapore formano bolle di varie dimensioni. Tale condizione e spesso fonte di varie forme di vibrazioni,

11-9

rumore e generazione di sollecitazioni dinamiche. Quando poi il liquido viene assoggettato a ricompres-sione, si possono generare fenomeni di erosione dovuti a pressioni intense e fortemente localizzate, causatedall’esplosione delle bolle, che sono spesso in grado di rompere i legami intermolecolari del materiale concui vengono a contatto durante l’esplosione stessa, formando cavita ed erosioni distruttive. Il terminegeneralmente usato per tali situazioni e quello di cavitazione. Concludiamo ricordando la scrittura delbilancio globale della quantita di moto per un flusso stazionario applicato ad un volume di controllo fisso:

F =

∫

S

ρU (U · n) dS, (11.45)

essendo F la risultante di tutte le forze applicate al volume di controllo, U la velocita di efflusso e Sla superficie che racchiude il volume di controllo. Tale formula risultera utile per determinare le forzescambiate fra fluido e parti meccaniche, sia fisse che mobili.

11.1 Esempi di applicazione dei concetti richiamati

11.1.1 Colpo d’ariete

Perfino nelle normali condotte domestiche dell’acqua potabile e a volte possibile avvertire un colpometallico proveniente dalle tubazioni quando si chiude bruscamente un rubinetto ben aperto. Tale“botto” e associato alla sovrapressione che si genera a causa della comprimibilita dell’acqua. Non ciaddentreremo qui in uno studio dettagliato del fenomeno, ma solo in un’analisi semplificata, in grado difornire pero alcune utili indicazioni pratiche. Supponiamo allora che si sia stabilito un flusso stazionarioavente velocita media u in una tubazione di lunghezza L e area A; a tale flusso sara associata un’energiacinetica

T =1

2ρLAu2. (11.46)

In conseguenza di una chiusura istantanea della condotta, il flusso viene improvvisamente bloccato al-l’uscita, e comincera a comprimersi, propagando, alla velocita del suono c e in senso retrogrado al flusso,una sovrapressione che si accompagna ad un annullamento della sua velocita. Dopo un tempo L/c,tutto il fluido avra velocita nulla e, trascurando gli effetti gravitazionali, tutta l’energia cinetica si saratrasformata ed accumulata in energia elastica, che sara data da:

E = −∫

V

p dV . (11.47)

Il principio di conservazione della massa, applicato alla tubazione, ci dice che

dV

dt+V

β

dp

dt= 0, (11.48)

o anche

dV = −Vβdp, (11.49)

che, sostituita nell’integrale precedente, permette di scrivere

E =1

2

LA

βp2. (11.50)

Eguagliando le due energie, si ricava la variazione di pressione massima conseguente ad una soppressioneistantanea del flusso:

∆pci = ρ

√

β

ρu = ρcu (11.51)

11-10

Figura 11.1: Variazione di pressione massima in una condotta

che, va rilevato, non dipende dalla pressione gia esistente nella condotta. E facile constatare che gia conun modesto flusso d’acqua, con velocita di circa un metro al secondo, si puo instaurare una sovrapressionedi una decina di bar. Naturalmente, una chiusura istantanea del rubinetto di casa non e ipotizzabilema, come abbiamo gia detto, zero non vuol mai dire zero di per se, ma qualcosa di piccolo rispetto aduna grandezza di riferimento. E allora evidente che la rapidita di chiusura non e un valore assoluto, mava collegata ad un tempo caratteristico legato al propagarsi della perturbazione ipotizzata. Tale tempopuo, riferendosi ad una compressione e riespansione completa, assumersi dato da

Tc = 2L

c, (11.52)

ragion per cui, per evitare sovrapressioni eccessive, sara opportuno effettuare le manovre di chiusurain tempi molto maggiori di tale quantita. Tale condizione si puo facilmente soddisfare in occasionedi manovre di chiusura programmabili a priori, ma puo imporre un vincolo inaccettabile in tutte leoperazioni di regolazione, sia di normale funzionamento che di emergenza, nelle quali e richiesta una certaprontezza, ragion per cui e spesso opportuno provvedere con opportuni accorgimenti di progetto, su cuinon e opportuno qui dilungarsi. Chiaramente, l’esempio “domestico” viene fatto solo per immediatezzaintuitiva. Per un esempio piu significativo basti pensare alle lunghe condotte in pressione che alimentanole turbine idrauliche e agli impianti a fluido che contengono componenti di regolazione con banda passanteavente frequenze dell’ordine di 1/Tc. Il grafico di figura 11.1 permette una valutazione approssimata dellavariazione di pressione massima ∆pmax che si sviluppa in una condotta in cui il fluido scorre alla pressionep0 e la chiusura avviene con legge lineare su un tempo T . I simboli utilizzati sono:

K =∆pic2p0

, Tc =2L

c, N =

T

Tc(11.53)

11.1.2 Flusso stazionario da una piccola apertura (orifizio)

Si supponga che in un tubo di area At sia inserito un diaframma con un’apertura di area Ao, centrataattorno all’asse del tubo, come illustrato in figura 11.2. Se Ao e significativamente minore di At, ovverose l’apertura e un orifizio, si ha in genere una forte contrazione del flusso, la cui minima sezione non sistabilisce in coincidenza del diaframma ma in una sezione contratta, detta appunto di vena contracta,

11-11

Figura 11.2: Orifizio

poco a valle e di area Ac = CcAo, essendo Cc un opportuno coefficiente di contrazione. Allora, tra lasezione 2 e una sufficientemente a monte della sezione 1 si possono scrivere le seguenti equazioni: dalla(11.15)

Atut = Acuc, (11.54)

e dalla (11.4), ricordando la (11.14)

2∆p

ρ= u2c (1 +Kc)− u2t , (11.55)

da cui

uc =1

√√√√(1 +Kc)−

(

Ac

At

)2

√

2∆p

ρ. (11.56)

Piu usualmente, pero, le perdite dovute alla contrazione vengono tenute in conto riscrivendo la formula(11.56) nella forma:

uc =Cu

√√√√1−

(

Ac

At

)2

√

2∆p

ρ, (11.57)

dove Cu e un coefficiente, detto di velocita, lievemente inferiore ad uno, dell’ordine di 0.98, spessoomesso essendo assai prossimo ad 1, il che corrisponde anche ad assumere perdite concentrate nulle equindi Kvc = 0. Si puo allora scrivere la portata corrispondente in termini delle grandezze geometricheeffettive:

q =CuCcAo

√√√√1−

(

CcAo

At

)2

√

2∆p

ρ, (11.58)

che, definendo un coefficiente d’efflusso

Ce =CuCc

√√√√1−

(

CcAo

At

)2, (11.59)

11-12

si scrive piu sinteticamente:

q = CeAo

√

2∆p

ρ. (11.60)

Nella prassi, Ce e il coefficiente di piu facile valutazione sperimentale, dipende dal numero di Reynoldsed e sensibilmente compreso fra 0.6 e 0.7 per rapporti di contrazione che soddisfino la relazione: 0.2 ≤Ao/At ≤ 0.6. Per mantenersi consistenti con la relazione sopra illustrata, per il calcolo della portata daun orifizio sara allora opportuno calcolare la relativa velocita d’efflusso con:

uo = Ce

√

2∆p

ρ. (11.61)

Va anche notato che nelle formule precedenti si e sempre assunto ∆p > 0 e che un’eventuale variazione delsegno del salto di pressione starebbe ad indicare l’inversione del flusso attraverso l’orifizio. Chiaramente,sia la portata che la velocita d’efflusso sono grandezze con un verso, e quindi segno, e un’inversione diflusso e sempre possibile. In relazione a tale eventualita, sara opportuno scrivere:

q = CeAo

√

2 |∆p|ρ

sign (∆p) (11.62)

nella quale, qualora si evidenzino asimmetrie geometriche, si dovra inoltre avere cura di utilizzare un Cedipendente anch’esso dal segno del salto di pressione. Una simile precauzione puo essere evitata solo see possibile garantire l’impossibilita di inversione del flusso sulla base di considerazioni fisiche, ragion percui ∆p ≤ 0 diventera invece una sicura indicazione di errori di calcolo e/o di modellazione. La presenzadel termine

√

2∆p/ρ nelle formule presentate evidenzia chiaramente che tali formule non sono utilizzabiliper flussi laminari. In tale caso e infatti noto che la portata e invece proporzionale a ∆p, per cui si puoscrivere:

q = CelAo∆p. (11.63)

Si riportano quindi brevemente le espressioni di Cel per due geometrie di orifizi piu comuni, valide quandola dimensione massima degli stessi e molto minore della dimensione del tubo:

• per orifizi circolari:

Cel =d

12.6µ; (11.64)

• per orifizi rettangolari e corone circolari di altezza molto inferiore alla circonferenza media:

Cel =dimensione minima

10.2µ. (11.65)

Anche se non e un orifizio, ricordiamo qui la formula per il Cel del flusso piano fra due piastre di lunghezzaL distanti h, con h/L molto minore di uno:

Cel =h2

12µL(11.66)

Essendo h/L molto minore di uno, il flusso e sostanzialmente bidimensionale sia per intagli rettango-lari che circolari, e tale formula e assai utile per determinare le perdite di flusso conseguente ai giochicostruttivi. Come gia precedentemente ricordato a commento del bilancio di energia meccanica nellecondotte, si rileva che le espressioni sopra ricavate valgono per flussi stazionari, ma verranno da noiutilizzate anche nel caso non stazionario, essendo tale fenomeno dominato dalle variazioni di pressione edai termini inerziali convettivi.

11-13

Figura 11.3: Molla-smorzatore a fluido

11.1.3 Molla-smorzatore a fluido

Con riferimento alla figura 11.3, si assuma che il cilindro-pistone contenga un fluido inizialmente pres-surizzato uniformemente, in modo da non avere squilibri di pressione sulle due facce. Assumendo cheogni successivo movimento sia effettuato in modo da causare variazioni di pressione tali da permetteredi utilizzare il bilancio di massa basato sull’equazione di stato linearizzata (11.42), ricordando la (11.63),potremo scrivere:

∆P1 =β

Apx(−Apx− CeliAeli (∆P1 −∆P2)− CeleAele∆P1)

∆P2 =β

Ap (L− x)(Apx+ CeliAeli (∆P1 −∆P2)− CeleAele∆P2) ,

(11.67)

dove L e la corsa del pistone, e i termini di scambio di fluido, fra le due camere e verso l’esterno, sonoformulati assumendo un flusso laminare, ritenendo quindi che gli accoppiamenti cilindro-pistone e stelo-supporti siano sufficientemente precisi da garantire giochi tali da mantenere il numero di Reynolds bendentro i limiti di laminarita in ogni condizione operativa. Celi e il coefficiente di efflusso laminare internoattraverso l’area anulare Aeli attorno al pistone, Cele e il coefficiente di efflusso laminare verso l’esternoattraverso i supporti dello stelo. Supponendo che l’attrito che si stabilisce fra cilindro e pistone e frastelo e supporti sia approssimabile con una dissipazione viscosa di coefficiente r, la forza generata dallamolla-smorzatore sara:

F ′ = (∆P1 −∆P2)Ap − rx. (11.68)

Le formule di cui sopra possono essere sintetizzate nella seguente forma matriciale:

• equazione di stato:

∆P1

∆P2

= − β

Ap

CeliAeli + CeleAele

x−CeliAeli

x

−CeliAeliL− x

CeliAeli + CeleAele

L− x

∆P1

∆P2

+ β

− 1

x1

L− x

x; (11.69)

• equazione di uscita:

F ′ = −Ap[−1 1

]

∆P1

∆P2

− rx; (11.70)

11-14

le quali mostrano come il sistema risponda con la generazione di una forza ad un movimento assegnatodefinito da x, x. Si deve rilevare che il comportamento della molla-smorzatore a fluido non solo sia nonlineare, per la presenza dello spostamento x a denominatore, ma sia anche caratterizzato da un sistemadi equazioni differenziali che non permettono di definire la forza come puntualmente dipendente daivalori istantanei di x, x, poiche la stessa viene a dipendere dall’integrazione di un sistema di equazionidifferenziali e quindi dalla storia del movimento.

Caso limite: smorzatore Solo nel caso in cui il coefficiente di comprimibilita sia talmente elevato, ei movimenti sufficientemente lenti da rendere le derivate delle variazioni di pressione trascurabili rispettoalla variazione temporale delle pressioni nelle due camere, il sistema sara approssimabile con la semplicerelazione algebrica:

F ′ = −

A2p

[−1 1

]

−CeliAeli + CeleAele

x

CeliAeli

xCeliAeli

L− x−CeliAeli + CeleAele

L− x

−1

− 1

x1

L− x

+ r

x. (11.71)

In tal modo e sı possibile una relazione algebrica che permette di determinare la forza esercitabile dallamolla-smorzatore a fluido, ma il comportamento rimane comunque non lineare, ed una linearizzazionee possibile solo per piccole perturbazioni attorno ad una condizione di riferimento, ovvero ad un datovalore di x.

Caso limite: molla Si noti che una forza dipendente dalla sola posizione e possibile solo con tenuteperfette e senza nessun attrito di contatto, nel qual caso si ha una molla a fluido:

CeliAeli = CeleAele = 0, (11.72)

si ha

∆P1

∆P2

= β

− 1

x1

L− x

x (11.73)

che, per integrazione (trascurando la dipendenza da x del termine forzante), da

∆P1

∆P2

= β

− 1

x1

L− x

(x− x0) . (11.74)

La forza diventa

F ′ = −Ap[−1 1

]

∆P1

∆P2

= −βAp(1

x+

1

L− x

)

(x− x0)

= −βApL

x (L− x)(x− x0) , (11.75)

che rappresenta un elemento elastico non lineare, la cui linearizzazione attorno a x = x0 da:

F ′ = −βApL

x0 (L− x0)∆x. (11.76)

Si noti come il minimo della rigidezza equivalente si abbia per x0 = L/2, mentre questa tenda ad infinitoquando x0 e tale da far tendere a zero il volume di una delle camere.

11-15

Figura 11.4: Attuatore idraulico lineare

11.1.4 Attuatore idraulico lineare

Se nel cilindro studiato nel caso precedente, che supponiamo attuato con un liquido, apriamo due luci dialimentazione che, grazie ad una valvola di distribuzione, possiamo collegare sia ad una elevata pressionedi alimentazione, ritenuta costante, Pa, che a una pressione di scarico Ps (spesso la pressione atmosferica),otteniamo un attuatore, leggasi anche motore, idraulico lineare, ovvero una macchina che genera unospostamento o una forza, illustrato in figura 11.4. Utilizzando i concetti qui presentati, il comportamentodi tale sistema e modellabile tramite il seguente sistema di equazioni differenziali non lineari:

• bilancio di massa nelle due camere, dalle (11.67) e (11.60):

P1 =β

Apx

−Apx− CeliAeli (P1 − P2)− CeleAele (P1 − Pe) + CeAic

√

2

ρ(Pa − P1)

P2 =β

Ap (L− x)

Apx+ CeliAeli (P1 − P2)− CeleAele (P2 − Pe)− CeAuc

√

2

ρ(P2 − Ps)

;

• equazione di moto del pistone:

Mx = Ap (P1 − P2)− rx− F, (11.77)

essendo F una generica forza esterna applicata alla stelo (opposta allo spostamento x).

11-16

Anch’esse sono sintetizzabili in forma matriciale nella seguente:

xx

P1

P2

=

0 1 0 0

0 − r

M

Ap

M−ApM

0 −βx

−βCeliAeli + CeleAele

ApxβCeliAeli

Apx

0β

L− xβ

CeliAeli

Ap (L− x)−βCeliAeli + CeleAele

Ap (L− x)

xxP1

P2

(11.78)

+

0 00 0

βCe

Apx

√

2

ρ(Pa − P1) 0

0 − βCe

Ap (L− x)

√

2

ρ(P2 − Ps)

AicAuc

+

00

βCeleAele

Apx

βCeleAele

Ap (L− x)

Pe−

01

M00

F,

(11.79)

dalla quale si vede che si puo controllare il movimento del pistone e la forza generata controllando leportate di fluido nelle camere del cilindro tramite le aperture Aic, Auc. Spostanto opportunamente lavalvola a cassetto e possibile anche invertire il collegamento tra le camere del pistone e le pressioni dialimentazione e scarico. In questo modo il comportamento dell’attuatore e perfettamente simmetrico.

11-17

Capitolo 12

Sistemi vibranti ad un grado diliberta — Parte II


12.1 Identificazione dello smorzamento

12.1.1 Smorzamento viscoso: moto libero

Nell’ipotesi di avere uno smorzamento di tipo viscoso, la risposta del moto libero e retta da una leggedel tipo

x (t) = |X| e−ξω0t sin(√

1− ξ2ω0t+ φ)

(12.1)

Negli istanti di tempo t per cui

sin(√

1− ξ2ω0t+ φ)

= 1 (12.2)

la risposta e tangente all’inviluppo esponenziale

|X| e−ξω0t; (12.3)

tuttavia le tangenti non sono orizzontali, e i punti di tangenza sono leggermente spostati a destra delpunto di massima ampiezza. Generalmente questo fatto e trascurabile e l’ampiezza del punto di tangenzapuo essere considerata coincidente con l’ampiezza al punto di massimo dell’oscillazione. Con riferimentoalla simbologia indicata in figura, il decremento logaritmico tra due oscillazioni consecutive e

δ = ln

(x1x2

)

= ln

( |X| e−ξω0t

|X| e−ξω0(t+T )

)

= ξω0T (12.4)

Dal momento che il periodo di una oscillazione e

T =2π

ω=

2π

ω0

√

1− ξ2(12.5)

si ottiene

δ =2πξ

√

1− ξ2∼= 2πξ (12.6)

ove l’approssimazione si puo ritenere valida per valori di ξ relativamente piccoli (si noti che per ξ = 0.1l’errore e dello 0.5%, mentre per ξ = 0.3 l’errore e del 5%). La validita dell’approssimazione e illustratain figura 12.2.

Si noti inoltre che, per ξ = 0.1, l’attenuazione e x2/x1 = e−ξω0T ∼= 0.53, ovvero l’ampiezza dell’oscil-lazione su un periodo e quasi dimezzata. Ne consegue che il segnale si attenua molto rapidamente.

12-1

Figura 12.1: Identificazione dello smorzamento.

Figura 12.2: Validita dell’approssimazione dello smorzamento identificato mediante la relazione (12.6).

12-2

12.1.2 Smorzamento viscoso: moto forzato

Per una forzante armonica del tipo

F (t) = F0 sin (ωt) (12.7)

il lavoro introdotto in un periodo in un sistema meccanico e pari a

L =

∫

T

F dx (12.8)

e supponendo il sistema a regime con legge del moto

x (t) = |X| sin (ωt+ φ) (12.9)

ne deriva quindi che

dx =dx

dtdt = |X|ω cos (ωt+ φ) dt (12.10)

e quindi la (12.8) diventa1

L = ωF0 |X|∫ 2π

ω

0

sin (ωt) cos (ωt+ φ) dt = −πF0 |X| sinφ (12.12)

dove si e sfruttata la relazione T = 2π/ω tra periodo e pulsazione. Nell’ipotesi di smorzamento viscoso,quindi con FD = −rx e fase φ = π/2, il lavoro dissipato2 a regime e

LD =

∫

T

−rx dx = −ω2r |X|2∫ 2π

ω

0

cos2 (ωt+ φ) dt = −ωπr |X|2 (12.13)

Imponendo l’annullamento della somma del lavoro (12.12) compiuto dalla forzante F e di quello (12.13)assorbito dallo smorzamento viscoso si ottiene

L+ LD = −πF0 |X| sinφ− ωπr |X|2 = 0, (12.14)

da cui e possibile ricavare il valore dello smorzamento

r = −F0 sinφ

ω |X| (12.15)

a seguito del rilevamento sperimentale del modulo |X| e della fase φ della risposta del sistema ad unaforzante armonica (si ricordi che per un sistema ad un grado di liberta −π < φ ≤ 0), di cui siano notiampiezza F0 e pulsazione ω.

Dalla misura dell’energia dissipata scopriamo che, a parita di ampiezza |X| della risposta, il lavorodissipato varia proporzionalmente con la pulsazione ω, mentre a parita di pulsazione si modifica con ilquadrato dell’ampiezza della risposta.

1Si ricordi che, secondo le formule di prostaferesi,

cos (ωt+ φ) = cos (ωt) cosφ− sin (ωt) sinφ (12.11)

e che l’integrale sul periodo del prodotto di funzioni ortogonali da zero, a meno che non si tratti della stessa funzione,ovvero del quadrato di una funzione; quindi nella (12.12) solo il termine sin2 (ωt) da integrale diverso da zero.

2E relativamente agevole verificare che il lavoro compiuto su un periodo dalle forze elastiche e di inerzia per il movimentoarmonico descritto dalla (12.9) e nullo; di conseguenza, se la forzante compie lavoro, questo non puo che essere assorbitodalle forze dissipative.

12-3

12.1.3 Smorzamento isteretico

A dispetto di quanto evidenziato nel paragrafo precedente, molte esperienze di laboratorio hanno mostra-to che se il fenomeno dissipativo e legato a fenomeni d’isteresi, come spesso avviene ad esempio per losmorzamento delle vibrazioni nelle strutture metalliche, l’energia dissipata in un ciclo e indipendentedalla frequenza di vibrazione, e dipende solamente dal quadrato dell’ampiezza di deformazione e quindidi vibrazione, per cui

LD ÷− |X|2 → LD = −α |X|2 (12.16)

ovvero

LD = −ωπreq |X|2 = −α |X|2 . (12.17)

Da questa si ricava uno smorzamento equivalente, all’equilibrio, dato da

req =1

ω

α

π(12.18)

per cui l’equazione differenziale, la cui soluzione descrive il moto del sistema quando e forzato armonica-mente alla frequenza ω, diventa

mx+1

ω

α

πx+ kx = F0 sin (ωt) (12.19)

il cui integrale particolare ha un’ampiezza

|X| = F0√√√√(k − ω2m)

2+

(

α

π

)2(12.20)

che in risonanza vale

|X| = F0

α/π(12.21)

Si noti che l’equazione (12.19) non e in grado di descrivere il comportamento generale del sistema, inquanto il coefficiente che moltiplica x dipende dalla pulsazione ω della forzante; quindi e in grado didescrivere solamente il comportamento del sistema soggetto ad una forzante armonica alla frequenza ω.

La conclusione e che lo smorzamento viscoso, descritto dalla relazione costitutiva FD = −rx, consentedi introdurre smorzamento nei modelli matematici dei sistemi fisici preservando i vantaggi dell’uso dimodelli lineari o linearizzati, ma l’evidenza sperimentale mostra che in alcuni casi non descrive in modoadeguato la natura della dissipazione che ha luogo nei meccanismi durante i fenomeni di vibrazione.Tuttavia, vista l’importanza dello studio di fenomeni meccanici quali le vibrazioni, sia libere che forzatearmonicamente, la possibilita di tarare empiricamente il coefficiente di smorzamento ξ in funzione dellapulsazione ω della forzante consente comunque di utilizzare il modello viscoso, introducendo quindi ilfenomeno fondamentale della dissipazione dell’energia associata alle vibrazioni, tenendone ben presenti ilimiti di applicabilita.

12.2 Isolamento delle vibrazioni

Come abbiamo visto, la forzante armonica impressa al nostro oscillatore potrebbe essere dovuta a unmacchinario ruotante con velocita angolare ω posto sulla massa di fondazione.

La forza trasmessa al terreno, al generico tempo t, sara

Ftr (t) = kx+ rx = kXeiωt + irωXeiωt = (k + irω)Xeiωt = Ftreiωt (12.22)

12-4

Figura 12.3: Macchine che trasmettono vibrazioni al terreno.

Figura 12.4: Sistema soggetto a vibrazione del terreno.

dove

|Ftr| =F0

√

k2 + (rω)2

√

(k −mω2)2+ (rω)

2(12.23)

ovvero

|Ftr|F0

=

√√√√1 +

(

2ξω

ω0

)2

√√√√√

1−(

ω

ω0

)2

2

+

(

2ξω

ω0

)2

(12.24)

Come visto in precedenza, questa forzante armonica applicata al terreno lo portera a vibrare conun’ampiezza b, ovvero con una legge del tipo descritto dalla (5.64), che forzera le strutture circostanti,come illustrato in figura 12.4.

Per questa struttura l’equazione di equilibrio dinamico e

mx+ r (x− y) + k (x− y) = 0 (12.25)

ovvero

mx+ rx+ kx = ry + ky = b (iωr + k) eiωt (12.26)

12-5

Figura 12.5: Modulo e fase della risposta di un sistema vibrante smorzato (N.B.: nel disegno ω/ω0

e indicato con ω/ωn, lo smorzamento r e indicato con c, mentre la fase φ e rappresentata con segnoopposto).

e il relativo integrale particolare e

xp = |X| ei(ωt+φ) (12.27)

con

|X| =b

√

k2 + (rω)2

√

(k −mω2)2+ (rω)

2(12.28)

ovvero

|X|b

=

√√√√1 +

(

2ξω

ω0

)2

√√√√√

1−(

ω

ω0

)2

2

+

(

2ξω

ω0

)2

(12.29)

Si noti che pur essendo due fenomeni diversi, la soluzione e del tutto analoga a quella della forza trasmessa,descritta dalla (12.24). In entrambi i casi interessa che la soluzione sia ≪ 1 tanto per la forza trasmessa|Ftr| /F0 al terreno quanto per la trasmissibilita β = |X| /b.

I parametri di progetto sono:

• per la macchina eccitatrice la massa M , la pulsazione di funzionamento a regime ω e il momentostatico di eccenticita me, prodotto della massa eccentrica m e della distanza dal centro di rotazionee;

• per la struttura eccitata la massa m, l’ampiezza dello spostamento imposto b e ovviamente lapulsazione ω dell’eccitazione, che e uguale a quello della macchina sbilanciata.

Diagrammiamo l’andamento di β = |X| /b al variare di ω/ω0. Si nota che per ω/ω0 =√2 la

trasmissibilita e pari a 1 e che al crescere del rapporto tra le frequenze la trasmissibilita scende finoa tendere asintoticamente a zero per ω/ω0 → ∞. Questo fatto avviene indipendentemente dal valoredell’indice di smorzamento ξ, il cui effetto e, al suo aumento, di ridurre l’ampiezza di vibrazione perω/ω0 = 1, ma d’altra parte, rallenta la diminuzione di β per ω/ω0 → ∞.

12-6

Riassumendo, converrebbe quindi scegliere ω/ω0 >√2, e quindi la rigidezza k < mω2/2, e nel

contempo avere valori del fattore di smorzamento ξ piccoli per non ricorrere a rigidezze k troppo piccole,che comportano, ad esempio, frecce statiche elevate. Poiche abbiamo scelto di far operare la fondazionecon ω/ω0 >

√2, cio significa che tutte le volte che il macchinario viene avviato o arrestato, entrambe

le fondazioni, durante il transitorio, si troveranno a passare per ω/ω0 = 1 e quindi non conviene averevalori dell’indice di smorzamento troppo piccoli, o addirittura trascurabili, in quanto cio porterebbe adampiezze in risonanza elevate che creerebbero problemi ai collegamenti verso l’esterno del macchinario.In secondo luogo, operare con valori di ξ piccoli significa anche non poter piu trascurare l’integralegenerale dell’omogenea associata, che partecipa alla soluzione completa, perche torna a essere presentetutte le volte che avvengono delle perturbazioni, per quanto piccole, delle condizioni di regime, e la suacancellazione puo richiedere un numero elevato di cicli.

I problemi maggiori vengono, tuttavia, creati dalla rigidezza k. Dal diagramma di figura 12.5 si vede,ad esempio, che per ridurre del 60% le vibrazioni nelle strutture circostanti dobbiamo avere ω/ω0 > 2,ovvero k < mω2/4.

Tale ragionamento porterebbe a scegliere ω0 → 0, ma in tale caso

δst =mg

k=

g

ω20

(12.30)

ovvero lo schiacciamento statico e inversamente proporzionale al quadrato della pulsazione caratteristicadel sistema, per cui dovremmo realizzare fondazioni con frecce statiche molto grandi, e tale problema eovviamente di impossibile soluzione se abbiamo macchine lente in cui ω e dell’ordine di qualche centinaiodi giri/min.

Per un’asta omogenea ed uniforme, la rigidezza k e esprimibile come

k =F

∆h=

F

hε=FE

hσ=FEA

hF=EA

h(12.31)

quindi per ridurre k, scelto un materiale e quindi il modulo di elasticita E, dovremo avere delle aree Apiccole e degli spessori h degli elementi elastici (ad esempio un tappeto di gomma) grandi. Ma, perchela molla sia in grado di sopportare un certo carico, ad esempio quello statico, deve valere la relazione

A >F

σamm>

mg

σamm(12.32)

quindi

k >mgE

σammh(12.33)

ovvero

ω0 =

√

k

m>

√

gE

σammh(12.34)

da cui si nota che per avere una bassa pulsazione caratteristica ω0 ed essere contemporaneamente ingrado di sostenere la sollecitazione statica si dovrebbero avere bassi valori di E e corrispondentemente,impossibili nei materiali, alti valori di σamm e comunque alti valori di h, che potenzialmente creerebberoproblemi di instabilita delle aste caricate di punta.

12.3 Strumenti di misura delle vibrazioni

Tra le applicazioni del nostro oscillatore degna di nota e la misura delle vibrazioni assolute di un corpo,come illustrato in figura 12.6.

Con riferimento alle grandezze indicate nella figura 12.6 e ai relativi versi positivi degli spostamenti,avremo che

Ksx0 +Bx0 =MxM =M (xi − x0) (12.35)

12-7

Figura 12.6: Strumento di misura delle vibrazioni assolute di un corpo.

dove xi e il movimento del telaio, che rappresenta un cedimento imposto del vincolo, mentre xM e lospostamento assoluto della massaM , e x0 = xi−xM e lo spostamento relativo3, ovvero la grandezza cheviene direttamente misurata per determinare, in via indiretta, il movimento xi imposto alla cassa dellostrumento.

La (12.35) puo essere riscritta usando le nostre consuete notazioni come

kx0 + rx0 =MxM =M (xi − x0) (12.36)

dove

xi (t) = |Xi| sin (ωit+ ψi) (12.37)

e l’andamento temporale dell’i-esima componente armonica (serie di Fourier) dello spostamento incognitox (t) del vincolo.

Riordinando l’equazione avremo

Mx0 + rx0 + kx0 = −ω2i |Xi|Mei(ωit+ψi) (12.38)

di cui l’integrale particolare ha coefficiente complesso

X0i =−ω2

i |Xi|Meiψi

−ω2iM + k + irωi

=

−(

ωi

ω0

)2

|Xi| eiψi

1−(

ωi

ω0

)2

+ i2ξωi

ω0

= |X0i| eiφi (12.39)

con ω0 =√

k/M e ξ = r/rc = r/ (2Mω0).Se riferiamo le fasi della risposta a quelle delle componenti armoniche avremo che

X ′0i =

−(

ωi

ω0

)2

|Xi|

1−(

ωi

ω0

)2

+ i2ξωi

ω0

= |X0i| ei(φ−ψi) = |X0i| eiβi (12.40)

da cui si ottiene

|X ′0i|

|Xi|=

−(

ωi

ω0

)2

√√√√√

1−(

ωi

ω0

)2

2

+

(

2ξωi

ω0

)2

(12.41)

3Si noti che, come indicato nella figura, il verso di x0 e opposto a quello di xM e xi

12-8

Figura 12.7: Risposta dello strumento di misura delle vibrazioni.

e

βi = − tan−1

2ξωi

ω0

1−(

ωi

ω0

)2

(12.42)

Si nota, quindi, che, se ωi ≫ ω0 (almeno 4÷5 volte) la misura dell’ampiezza della vibrazione relativapermette di ricavare quella incognita di trascinamento. Ovviamente, affinche la misura non sia distorta,|X0i| / |Xi| deve essere costante e βi = nπ (con n=0,1,2,. . . ,N) per i = 1,2,3,. . . ,N .

Questa esigenza comporta che il sismografo, tale e il nome dello strumento, abbia una frequenzapropria ω0 < ω1/4, dove ω1 e la prima delle armoniche significative del segnale che si intende misurare,e tale condizione verifica automaticamente che non vi sia distorsione per le componenti armoniche diordine superiore.

I sismografi sono quindi strumenti pesanti e ingombranti, dovendo avere una frequenza propria neces-sariamente bassa; normalmente si usano indici di smorzamento ξ dell’ordine di 0.6-0.7 per ridurre l’effettodelle condizioni iniziali.

Nel caso duale di ωi ≪ ω0 risulta che |X0i| / |Xi| → 0, per cui

xM (t) = xi (t)− x0 (t) ∼= xi (t) (12.43)

e la forza d’inerzia agente sulla massa M e praticamente dovuta al solo moto di trascinamento, per cui, seriuscissimo a misurare la reazione della molla, questa, a meno del guadagno, sarebbe pari all’accelerazioneincognita del vincolo.

Ovviamente la necessita di non distorcere la misura comporta che la condizione ωi ≪ ω0 sia verificataper la massima frequenza presente nello sviluppo in serie del segnale incognito, ovvero ω0 deve esseredell’ordine dei kHz. Dobbiamo avere, quindi, massa M molto piccola e rigidezza k molto grande.

Spesso come elemento elastico si usa una lastra di quarzo, materiale piezoelettrico4 che, se sollecitatolungo l’asse elettrico, produce sulle facce ortogonali all’asse delle cariche di segno opposto proporzionali

4Letteralmente, un materiale che genera una carica elettrostatica per effetto di uno sforzo. Si tratta di materiali polariche, deformati o caricati lungo direzioni preferenziali, si polarizzano elettricamente, producendo un dipolo elettrico e quindiuna carica di spostamento, in analogia con i condensatori piani le cui piastre siano spostate. Il legame costitutivo, quiridotto per semplicita in forma monodimensionale, e formato da una parte elastica

σ = Eε− eE (12.44)

e da una dielettrica

D = eε+ ǫE (12.45)

12-9

Figura 12.8: Accelerometro piezoelettrico.

alla forza applicata (circa 2 pC/N). L’uso del quarzo limita la frequenza minima di misura (dell’ordinedell’Hz).

Riscrivendo l’equazione differenziale in coordinate assolute

MxMi + rxMi + kxMi = rxi + kxi = (iωir + k) |Xi| ei(ωt+ψi) (12.46)

otteniamo l’integrale particolare

xMi (t) = XMieiωit (12.47)

con

XMi =(k + iωir) |Xi| eiψi

k −Mω2i + iωir

= |XMi| eiβi (12.48)

ovvero

|XMi||Xi|

= |Hi| =

√

k2 + (ωir)2

√

(k −Mω2i )

2+ (ωir)

2(12.49)

e

βi = − tan−1

(

ωir(2k −Mω2

i

)

−k2 + kMω2i + (ωir)

2

)

(12.50)

Utilizzando, a esempio, un fattore di smorzamento ξ = 0.7 si nota che la fase varia, per un range difrequenza compreso tra 0.6ω0 e ω0, con legge pari a βi ÷ ωi/ω0.

dove σ e ε sono i consueti sforzi e deformazioni, D ed E sono rispettivamente lo spostamento dielettrico ed il campo elettrico,E e la rigidezza del materiale, ǫ e la sua costante dielettrica ed infine e e la costante piezoelettrica. Quindi uno strumentodi questo tipo consente di tradurre una misura di sforzo o di deformazione direttamente in una misura elettrica, fatte salveesigenze ulteriori di condizionamento ed amplificazione del segnale.

12-10

12.4 Risposta a forzante impulsiva

12.4.1 Impulso di quantita di moto

Si consideri un generico sistema meccanico ad un grado di liberta,

mx+ kx = f (t) . (12.51)

La forzante f (t) sia un impulso. Per il momento, la si consideri semplicemente una forzante che vale 0lontano da t0, e che abbia un valore tendente ad infinito per t = 0. A questa definizione poco rigorosa siaffianca il requisito che l’integrale dell’impulso sia pero finito, e valga f1.

La durata dell’evento impulsivo deve essere trascurabile rispetto alla scala dei tempi del problema,definita da T = 2π/ω0 = 2π/

√

k/m.Siccome la forzante impulsiva ha durata infinitesima, mentre la forza e diversa da zero, non pos-

sono ragionevolmente avere luogo variazioni finite di x, per cui il contributo delle forze elastiche kx adequilibrare l’ingresso sara nullo. Il valore della forza tende istantaneamente ad infinito; l’accelerazioneche ne consegue tendera anch’essa istantaneamente ad infinito. Siccome l’integrale della forza e finito, el’integrale di una forza nel tempo corrisponde ad un impulso di quantita di moto, ad esso corrisponderauna variazione finita di quantita di moto del sistema, ovvero

∫ +∞

−∞

f (t) dt = ∆q =

∫ 0+

0−f (t) dt = m

(x(0+)− x

(0−)), (12.52)

dove x (0−) e x (0+) hanno il significato di velocita ‘appena prima’ e ‘appena dopo’ l’applicazione dellaforzante impulsiva. Di conseguenza, l’applicazione di una forzante impulsiva corrisponde ad una repentinamodifica delle condizioni iniziali di velocita del problema, in corrispondenza del tempo t = 0, pari a

∆x =f1m. (12.53)

Ne consegue che, intuitivamente, risolvere un problema di forzamento impulsivo corrisponde a risolvere ilproblema omogeneo, nel quale l’effetto dell’impulso si manifesta in una modifica delle condizioni iniziali.

12.4.2 Impulso

Un impulso e una funzione che per una durata tendente a zero assume un valore molto elevato, tendentead infinito, mentre e nulla al di fuori di quell’intervallo di tempo. Tuttavia, l’integrale nel tempo di talefunzione, su un dominio che comprenda l’intervallo in cui non e nulla, e finito.

Al di la della sua formalizzazione matematica, accennata nel seguito ma sostanzialmente lasciata acorsi successivi, si pensi ad un impulso come a qualche cosa che ha luogo in un tempo molto limitatorispetto alla scala dei tempi caratteristica del problema che si sta analizzando. Se cio e vero, l’espressioneprecisa dell’impulso in funzione del tempo non ha molta importanza, cio che conta e l’effetto che esso hasul sistema.

Come indicato in figura 12.9, si immagini che l’impulso, convenzionalmente definito all’istante t = 0,abbia forma rettangolare, ovvero sia nullo per t < −a/2 e t > a/2, e assuma il valore b per −a/2 <t < a/2, senza (per ora) precisare quanto valga per t = ±a/2. Questo equivale a descriverlo come unasequenza di due scalini di ampiezza uguale e segno opposto, distanziati di un tempo a.

L’integrale rispetto al tempo tra −∞ e +∞ dell’impulso cosı definito vale ab; se si assume conven-zionalmente che tale valore sia 1, si ottiene l’ampiezza dell’impulso b = 1/a. Quindi, se la durata a tendea 0, l’ampiezza tende ad infinito, ma l’integrale rimane finito.

E possibile immaginare altre funzioni con caratteristiche analoghe, ma piu regolari, come quelleillustrate in figura 12.10: un triangolo di base 2a e altezza b (funzione con continuita C0), la funzione(1 + cos(πt/a))b/2 in [−a, a] (funzione con continuita C1), ecc. Il loro limite per a→ 0 e lo stesso, comepure il loro integrale.

La funzione δ (t) si chiama “delta di Dirac”, e non e una vera e propria funzione, ma viene definitanell’ambito delle funzioni generalizzate o distribuzioni. Come anticipato, gode della proprieta

∫ +∞

−∞

δ (t) dt = 1, (12.54)

12-11

a

b

t

Figura 12.9: Approssimazione di un impulso come sequenza di due scalini.

2a

b

t

rettangolo

triangolo

(

1 + cos

(

2πt

a

))

b

2

Figura 12.10: Approssimazioni di un impulso.

e vale 0 per t 6= 0 mentre tende ad infinito per t = 0. La figura 12.11 mostra la rappresentazione graficadella funzione δ(t).

L’impulso puo essere interpretato come la derivata della funzione “scalino”, indicata con step (t)e rappresentata in figura 12.12. Quest’ultima e definita come il limite di una funzione infinitamentederivabile, che vale 0 per t → −∞ e 1 per t → +∞, che passa per 1/2 per t = 0, e che e disparirispetto a tale punto, ovvero step(−t) = 1− step(t). Dal momento che la funzione scalino, cosı definita,e infinitamente derivabile, anche l’impulso e infinitamente derivabile. Inoltre, l’impulso e pari rispettoall’origine, ovvero δ(−t) = δ(t).

Come approssimazione della funzione scalino, si consideri, per esempio, la funzione (1+ tanh(αt))/2,quando α → +∞. La figura 12.13 ne mostra l’andamento per alcuni valori di α. La sua derivata e(1− tanh2(αt))α/2, e al limite per α→ +∞ si comporta come le approssimazioni di impulso definite inprecedenza. La figura 12.14 ne mostra l’andamento per i medesimi valori di α.

t0

Figura 12.11: Funzione impulso: δ(t).

12-12

t0

1

Figura 12.12: Funzione scalino: step(t).

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

Time

α = 1

α = 10

α = 100

Figura 12.13: Funzione scalino approssimata come (1 + tanh(αt))/2.

12-13

0

10

20

30

40

50

-1 -0.5 0 0.5 1

Time

α = 1

α = 10

α = 100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

Time

α = 1

α = 10

α = 100

Figura 12.14: Impulso approssimato come derivata di (1 + tanh(αt))/2. Il grafico sopra riporta lafunzione, il grafico sotto ne riporta la normalizzazione a valore massimo unitario, per consentirne ilconfronto visivo.

12-14

t

t

fd0step(t)

f(t)

fc(t)fd0 = f(0+)− f(0−)

f(0+)

f(0−)

Figura 12.15: Funzione discontinua con salto.

Esercizio 12.1 Si propongano altre funzioni che approssimano la funzione scalino al tendere a +∞ delloro parametro che ne definisce la pendenza nell’origine.

Una funzione f(t) che presenta discontinuita con salto in t = 0 puo essere espressa come composizionedi una parte regolare, fc (t), a cui si aggiunge una costante fd0 moltiplicata per la funzione scalino, ovvero

f (t) = fc (t) + fd0step (t) , (12.55)

come illustrato in figura 12.15. La costante fd0 rappresenta la differenza tra i limiti destro e sinistrodella funzione discontinua, ovvero fd0 = f(0+) − f(0−). Questa funzione diventa derivabile, in sensogeneralizzato, in tutto il dominio:

d

dtf (t) =

d

dtfc (t) + fd0δ (t) , (12.56)

in quanto la derivata dello scalino e l’impulso. In base a ragionamenti analoghi, basati sull’uso dellafunzione “rampa”, indicata con ramp(t), si possono definire funzioni continue ma non derivabili in sensostretto.

Esercizio 12.2 Si mostri come una funzione continua, ma con una discontinuita con salto nella derivataprima, puo essere rappresentata mediante la funzione ramp(t).

L’impulso gode di altre proprieta interessanti. Una proprieta, nota come proprieta del campionamen-to, afferma che il prodotto tra la funzione δ (t) e una generica funzione f (t) e

f (t) δ (t) = f (0) δ (t) . (12.57)

Non ne viene data dimostrazione.

Un’altra, estremamente importante, e :

∫ +∞

−∞

f (t) δ (t) dt = f(0). (12.58)

12-15

Questo significa che integrare una qualsiasi funzione moltiplicata per un impulso equivale ad estrarne ilvalore per l’istante in cui l’impulso e definito. Per estrarre f(t) ad un istante arbitrario t0, basta valutarel’impulso in δ(t− t0). La proprieta diventa

∫ +∞

−∞

f (t) δ (t− t0) dt = f(t0). (12.59)

La proprieta si dimostra considerando che, siccome l’impulso e la derivata dello scalino, la derivazionedel prodotto di funzioni da

f (t) δ (t) = f (t)d

dtstep (t) =

d

dt

(

f (t) step (t))

− f ′ (t) step (t) . (12.60)

Se f (t) e regolare, il prodotto f (t) step (t) e pari a f (t) per t > 0, e a 0 per t < 0. Ne consegue chel’integrale

∫ +∞

−∞

f (t) δ (t) dt = f (t) step (t)

∣∣∣∣

+∞

−∞

−∫ +∞

−∞

f ′ (t) step (t) dt

= f (+∞)− 0− f (+∞) + f (0) = f (0) , (12.61)

dove∫ +∞

−∞

f ′ (t) step (t) dt = lima→0+

∫ +∞

a

f ′ (t) dt = f(+∞)− lima→0+

f(a) = f(+∞)− f(0). (12.62)

Se f (t) non e regolare, ma presenta una discontinuita con salto in t = 0, ovvero proprio nell’istantedi tempo in cui viene valutata dalla δ(t), e comunque possibile eseguire l’operazione, ed il risultato emolto interessante.

Si consideri l’espressione di f(t) data dalla (12.56); la proprieta in esame diventa

∫ +∞

−∞

f (t) δ (t) dt = f (t) step (t)

∣∣∣∣

+∞

−∞

−∫ +∞

−∞

(f ′c (t) + fd0δ (t)) step (t) dt

= f (+∞)− 0− fc (+∞) + fc (0)−1

2fd0

= fc (0) +1

2fd0 =

f(0+) + f(0−)

2, (12.63)

in quanto f (+∞) = fc (+∞)+fd0 . Ovvero, viene preso il valore della funzione che rappresenta la mediatra i limiti destro e sinistro, dal momento che fc(0) = f(0−) e fd0 = f(0+)− f(0−).

Questa dimostrazione fa uso della proprieta che si vuole dimostrare, dimostrata in precedenza perfunzioni regolari. Tuttavia la si sta applicando ad una funzione non regolare, step(t). Quindi la di-mostrazione e valida se si considera la funzione step(t) come limite di una funzione regolare, in base allasua definizione.

In alternativa, si puo rappresentare il dominio di integrazione come l’unione di due parti, che escludala discontinuita, ovvero

∫ +∞

−∞

f (t) δ (t) dt =

∫ 0−

−∞

f (t) δ (t) dt+

∫ +∞

0+f (t) δ (t) dt

= f (t) step (t)

∣∣∣∣

0−

−∞

−∫ 0−

−∞

f ′ (t) step (t) dt

+ f (t) step (t)

∣∣∣∣

+∞

0+−∫ +∞

0+f ′ (t) step (t) dt

=1

2f(0−)− 0− 0 + 0 + f (+∞)− 1

2f(0+)− f (+∞) + f

(0+)

=f (0+) + f (0−)

2, (12.64)

ovvero il medesimo risultato ottenuto in precedenza.

12-16

12.4.3 Generalizzazione

Come anticipato, l’impulso e un’astrazione matematica che rappresenta qualcosa di breve durata rispettoalla scala dei tempi del problema in esame, ma che lascia effetti non trascurabili.

Si consideri ora un generico sistema meccanico ad un grado di liberta,

mx+ rx+ kx = f (t) . (12.65)

La forzante f (t) sia costituita dall’impulso introdotto in precedenza, e dalla sua derivata:

f (t) = f1δ (t) + f2δ (t) . (12.66)

E lecito attendersi che la risposta x (t) sia anch’essa caratterizzata da discontinuita. In particolare, se ilsistema prima dell’impulso era a riposo, la risposta del sistema sara data da una funzione regolare xc(t)moltiplicata per uno scalino al tempo t, ovvero

x (t) = xc (t) step (t) . (12.67)

In base alle proprieta dello scalino, le sue derivate sono

x (t) = xc (t) step (t) + xc (t) δ (t) = xc (t) step (t) + xc (0) δ (t) (12.68a)

x (t) = xc (t) step (t) + xc (t) δ (t) + xc (0) δ (t) = xc (t) step (t) + xc (0) δ (t) + xc (0) δ (t) . (12.68b)

Sostituendo queste espressioni nella (12.65) si ottiene

m(

xc (t) step (t) + xc (0) δ (t) + xc (0) δ (t))

+ r (xc (t) step (t) + xc (0) δ (t)) + kxc (t) step (t) = f1δ (t) + f2δ (t) . (12.69)

Raccogliendo i termini omogenei si ottiene

(mxc (t) + rxc (t) + kxc (t)) step (t)

+ (mxc (0) + rxc (0)− f1) δ (t)

+ (mxc (0)− f2) δ (t) = 0. (12.70)

Siccome tale relazione deve essere vera qualunque sia t, occorre annullare indipendentemente i terminimoltiplicati per le funzioni step(t), δ(t) e δ(t). Si ricavano quindi le relazioni

mxc (t) + rxc (t) + kxc (t) = 0 (12.71a)

mxc (0) + rxc (0) = f1 (12.71b)

mxc (0) = f2. (12.71c)

La (12.71a) rappresenta un’equazione differenziale omogenea in xc (t), la soluzione del sistema a seguitodella forzante impulsiva. Ne consegue che la forzante impulsiva da luogo ad un movimento libero delsistema, analogo a quello che risulta da una perturbazione delle condizioni iniziali. Le (12.71c) e (12.71b)definiscono le condizioni iniziali su posizione e velocita,

xc (0) =f2m

(12.72a)

xc (0) =f1 − f2

r

mm

. (12.72b)

La risposta di un sistema ad una forzante impulsiva corrisponde al moto libero del medesimo sistema,dato dall’integrale generale della (12.65), calcolato a partire dalle condizioni iniziali fornite dalle (12.72).

12-17

Viene quindi formalizzata e generalizzata la conclusione, ottenuta intuitivamente all’inizio, che unaforzante impulsiva, come pure la sua derivata, equivalgono ad una perturbazione finita delle condizioniiniziali del sistema.

Dal punto di vista fisico, una forzante descritta mediante un impulso puo essere ritenuta rappre-sentativa di una sollecitazione applicata per una durata Tf ≪ 2π/

√

k/m. Ad essa corrisponde unadiscontinuita finita nella velocita, e quindi nell’energia cinetica del sistema.

La derivata dell’impulso, invece, non e altrettanto facilmente spiegabile in modo intuitivo. In basealla sua definizione, la si puo considerare come una sequenza di due impulsi, di segno opposto, separatida un tempo che tende a zero. Si tratta quindi di una doppietta di impulsi. Ad essa corrisponde unadiscontinuita finita nello spostamento, e quindi una discontinuita nell’energia potenziale. Inoltre, alladiscontinuita finita dello spostamento corrisponde un impulso di velocita, e quindi un impulso al quadratodi energia cinetica.

Esercizio 12.3 Si scriva la derivata prima dell’impulso ottenuto approssimando la funzione scalino come(1 + tanh(αt))/2. Se ne rappresenti il grafico per α→ +∞.

Esercizio 12.4 Si scriva l’espressione della soluzione (12.67) del problema della risposta impulsiva inbase alle condizioni iniziali definite dalle (12.72). Quindi la si sostituisca nella (12.65) per verificarneil soddisfacimento (suggerimento: per semplicita, conviene prima considerare il caso non smorzato, conr = 0).

Esercizio 12.5 In analogia con quanto svolto finora per la risposta impulsiva, si ricavi la risposta aduna forzante a scalino, f(t) = f0step(t). Si discuta in particolare la natura dell’equazione del moto chesi ottiene e la scelta delle condizioni iniziali.

Esercizio 12.6 Si calcoli la risposta di un sistema meccanico smorzato ad una sequenza di scalini diampiezza b e −b, rispettivamente a t = −a/2 e t = a/2, come indicato in figura 12.9. Quindi, si verifichiche al tendere di a a 0 si ottiene la risposta all’impulso.

12-18

Capitolo 13

Sistemi vibranti a piu gradi diliberta


13.1 Sistemi a piu gradi di liberta non smorzati

Per un sistema non smorzato con N gradi di liberta, le equazioni che ne governano il moto possono esseresempre scritte nella forma matriciale

[M ] x (t)+ [K] x (t) = f (t) (13.1)

dove

• [M ] e [K] sono rispettivamente le matrici quadrate di massa e di rigidezza di ordine N ;

• x (t) e f (t) sono i vettori di ordine N degli spostamenti e delle forze agenti, entrambi funzionedel tempo.

Si consideri, ad esempio, il sistema illustrato in Figura 13.1. Applicando il principio di sovrapposizionedegli effetti, ovvero calcolando le forze che agiscono sul sistema prima per x1 6= 0, x2 = 0 e poi quelle perx1 = 0, x2 6= 0 si possono facilmente determinare le equazioni di equilibrio dinamico delle due masse,

m1x1 + k1x1 + k2 (x1 − x2) = f1 (13.2a)

m2x2 + k3x2 + k2 (x2 − x1) = f2. (13.2b)

Queste possono essere riscritte come

[m1 00 m2

]x1x2

+

[k1 + k2 −k2−k2 k2 + k3

]x1x2

=

f1f2

(13.3)

ovvero nella forma della (13.1) con

Figura 13.1: Sistema dinamico a 2 gradi di liberta.

13-1

• la matrice di massa

[M ] =

[m1 00 m2

]

(13.4)

• la matrice di rigidezza

[K] =

[k1 + k2 −k2−k2 k2 + k3

]

(13.5)

• il vettore delle incognite

x =

x1x2

(13.6)

• ed il vettore dei termini noti

f =

f1f2

(13.7)

13.1.1 Moto libero: modi propri di vibrare

La soluzione del moto libero, per f = 0, sara del tipo

x (t) = X eλt (13.8)

dove X e un vettore di ordine X di ampiezze indipendenti dal tempo. Imponendo la soluzione (13.8)all’equazione differenziale otteniamo

(λ2 [M ] + [K]

)X eλt = 0 (13.9)

la quale presenta soluzione non banale, ovvero per X 6= 0, quando

det(λ2 [M ] + [K]

)= det

([λ2m1 + k1 + k2 −k2

−k2 λ2m2 + k2 + k3

])

= 0, (13.10)

che e il polinomio di grado 2N in λ

m1m2λ4 + (m1 (k2 + k3) +m2 (k1 + k2))λ

2 + k1k2 + k1k3 + k2k3 = 0 (13.11)

detto polinomio caratteristico, da cui, posti

a = m1m2

b = (m1 (k2 + k3) +m2 (k1 + k2))c = k1k2 + k1k3 + k2k3

(13.12)

si ottiene il polinomio di secondo grado in λ2

aλ4 + bλ2 + c = 0 (13.13)

le cui radici sono

λ21|2 = − b

2a+

√√√√

(

b

2a

)2

− c

a(13.14a)

λ23|4 = − b

2a−

√√√√

(

b

2a

)2

− c

a(13.14b)

13-2

Dal momento che per definizione le masse e le rigidezze sono positive, si ha sempre λ2j < 0, quindi isingoli autovalori sono a due a due immaginari e coniugati:

λ1|2 = ±iω1 (13.15a)

λ3|4 = ±iω2. (13.15b)

Questa proprieta ha valore generale: quando le matrici di massa [M ] e di rigidezza [K] sono definitepositive, le N radici del polinomio caratteristico in λ2 sono reali negative, quindi le 2N radici λ sonoimmaginarie coniugate.

Nei problemi di interesse per la meccanica la matrice di massa [M ] e sempre definita positiva; qualorala matrice di rigidezza fosse semi-definita, le corrispondenti radici λ sarebbero nulle. Questa eventualitae possibile quando al sistema e consentito un movimento rigido (ad esempio i 6 gradi di liberta di motorigido di un velivolo nello spazio) oppure quando il sistema rappresenta un meccanismo.

Sostituendo le radici nell’equazione di partenza si ottiene([K]− ω2

1 [M ])X1 = 0 (13.16)

e([K]− ω2

2 [M ])X2 = 0 (13.17)

che permettono di calcolare, a meno di una costante arbitraria, dipendente dalle condizioni iniziali, leforme modali Xj , o modi, del sistema associate a ogni frequenza propria ωj .

Nel caso in esame,[

−ω21m1 + k1 + k2 −k2

−k2 −ω21m2 + k2 + k3

]

1X1

1X2

1

=

00

(13.18)

Risolvendo ad esempio la prima equazione,(−ω2

1m1 + k1 + k2)

1X1 − k2 1X2 = 0 (13.19)

si ottiene la relazione tra le componenti 1X1 e 1X2 dell’autovettore, che risulta definito, ad esempio,

X1 =

1− ω2

1m1 + k1 + k2

k2

1X1 (13.20)

e analogamente

X2 =

1− ω2

2m1 + k1 + k2

k2

2X1 (13.21)

ove si e arbitrariamente posta unitaria la prima componente dell’autovettore, data l’intrinseca indeter-minazione della soluzione. Ad un risultato del tutto analogo si puo giungere risolvendo, ad esempio, laseconda equazione e ponendo unitaria la seconda componente dell’autovettore; infatti la matrice

[A] = λ2 [M ] + [K] (13.22)

e singolare qualora a λ si sostituisca un qualsiasi autovalore del problema; ne consegue che una1 equazionedel sistema e combinazione lineare delle altre.

Nel caso, ad esempio, che m1 = m2 = m e k1 = k2 = k3 = k, abbiamo che

ω1 =

√

k

m(13.23a)

ω2 =

√

3k

m(13.23b)

1Si suppone che le radici del polinomio caratteristico abbiano molteplicita pari esattamente a 1; questa ipotesi puo essererimossa, come verra illustrato nel seguito. Si veda in particolare la nota 3.

13-3

Figura 13.2: Forme modali e risposta del sistema dinamico a 2 gradi di liberta.

a cui corrispondono

X1 =

11

1X1 (13.24a)

X2 =

1−1

2X1 (13.24b)

La figura 13.2 mostra come al primo modo corrisponda un movimento in cui la molla di mezzo nonviene deformata; infatti, le due componenti dell’autovettore sono identiche. Di conseguenza, il sistema sicomporta come se le due masse fossero collegate rigidamente. Il secondo modo, al contrario, vede le duemasse muoversi in opposizione, per cui la molla centrale e deformata esattamente il doppio di quelle diestremita. Di conseguenza, e come se le due masse fossero disaccoppiate, e la molla centrale fosse messaa terra nel suo punto medio. Il moto generico avviene come combinazione di due movimenti armonici afrequenze tra loro incommensurabili (il loro rapporto e

√3, quindi un numero irrazionale).

Ritornando all’equazione (13.9) di partenza, se la si premoltiplica per l’inversa della matrice di massa[M ] si ottiene

(

λ2 [I] + [M ]−1

[K])

X eλt = 0 (13.25)

che e una forma del tutto analoga a

(γ [I]− [A]) V = 0 (13.26)

13-4

ovvero ad un problema agli autovalori in forma canonica, ove γ sono gli autovalori della matrice [A] eV sono i corrispondenti autovettori, posto γ = −λ2, [A] = [M ]−1[K] e V = X.

Nell’esempio iniziale si ha

[M ]−1

=

[1/m 00 1/m

]

(13.27)

e quindi la matrice

[A] = [M ]−1

[K] =

[2k/m −k/m−k/m 2k/m

]

(13.28)

che ne risulta e simmetrica; questo in generale non e piu vero per matrici [M ] e [K] meno banali, anchese, al costo di un cambio di base per le incognite, e possibile ottenere un problema agli autovalori nellaforma canonica della (13.26) con la matrice simmetrica2.

Gli autovalori della matrice (13.28) sono

γ1|2 =k

m, 3

k

m(13.33)

mentre gli autovettori, a meno di una costante, sono

V 1 =

−11

(13.34a)

V 2 =

11

(13.34b)

Esercizio 13.1 Si verifichi che gli autovalori della matrice nella forma della (13.25) sono anche auto-valori della matrice nella forma della (13.32).

13.1.2 Ortogonalita dei modi propri

Si puo ora dimostrare l’ortogonalita dei modi di vibrare. Se ω1 e ω2 sono due autovalori distinti di ungenerico problema omogeneo, e X1 e X2 sono i corrispondenti autovettori, si ha

(−ω2

1 [M ] + [K])X1 = 0 (13.35)

e

(−ω2

2 [M ] + [K])X2 = 0 . (13.36)

L’equazione (13.35) puo essere liberamente premoltiplicata per XT2 senza alterarne il valore:

XT2(−ω2

1 [M ] + [K])X1 = 0 (13.37)

2Dal momento che si assume che la matrice di massa sia simmetrica e definita positiva, e possibile decomporla nelprodotto di una matrice triangolare inferiore per la sua trasposta secondo Cholesky

[M ] = [L] [L]T (13.29)

quindi, operando il cambio di variabili

z = [L]T x (13.30)

il problema

[M ] x+ [K] x = 0 (13.31)

diventa

z+ [L]−1 [K] [L]−T z = 0 (13.32)

e quindi, assumendo che la matrice [K] sia simmetrica, anche la matrice [L]−1 [K] [L]−T rimane simmetrica.

13-5

da cui si ricava

XT2 [K] X1 = ω21 XT2 [M ] X1 (13.38)

Allo stesso modo, si puo moltiplicare la trasposta dell’equazione (13.36) per X1:

XT2(

−ω22 [M ]

T+ [K]

T)

X1 = 0 (13.39)

da cui si ricava, anche in considerazione della simmetria delle matrici [M ] e [K],

XT2 [K] X1 = ω22 XT2 [M ] X1 (13.40)

Quindi, per l’uguaglianza dei termini a primo membro delle (13.38) e (13.40), si ha

ω21 XT2 [M ] X1 = ω2

2 XT2 [M ] X1 (13.41)

ovvero(ω22 − ω2

1

)XT2 [M ] X1 = 0. (13.42)

Se ω2 6= ω1, cioe le frequenze proprie sono distinte3, deve valere la relazione

XT2 [M ] X1 = 0 (13.43)

e, di consequenza

XT2 [K] X1 = 0 (13.44)

Piu in generale, detti j e k gli indici di due modi, deve essere

XTk [M ] Xj = 0 (13.45a)

XTk [K] Xj = 0 (13.45b)

quando j 6= k; ovvero, i modi propri vibrare, associati a frequenze proprie distinte, sono ortogonalirispetto alla matrice di massa e rigidezza4.

Quando si pre- e post-moltiplica per lo stesso autovettore si ottiene

XTj [M ] Xj = mj (13.46a)

XTj [K] Xj = kj (13.46b)

dove mj e kj sono chiamate rispettivamente massa e rigidezza generalizzata, o massa e rigidezza modaleassociate al modo j-esimo.

Nell’esempio iniziale,

m1 =

11

T [m 00 m

]11

= 2m (13.47a)

m2 = 2m (13.47b)

k1 = 2k (13.47c)

k2 = 6k (13.47d)

3Nel caso in cui due o piu autovalori siano uguali, se e possibile individuare un numero di autovettori indipendenti parialla molteplicita degli autovalori coincidenti, come sempre avviene nei casi di interesse pratico per lo studio delle vibrazionidei sistemi meccanici, in cui le matrici di massa sono simmetriche e definite positive, o al piu semidefinite, gli autovettori,per la loro arbitrarieta, possono essere ortogonalizzati proprio imponendo le condizioni (13.43) e (13.44). Un tipico esempioin cui cio avviene e dato dai sistemi non vincolati, come i velivoli, che ammettono i sei spostamenti rigidi, ai quali e associatol’autovalore nullo con molteplicita 6. Un altro esempio e dato dai modi associati al movimento delle superfici di comandonel caso si consideri il velivolo a comandi liberi.

4Attenzione: i modi propri non sono ortogonali fra loro; dall’analisi si ottiene che XTj Xk = 0 se j 6= k per il

problema in forma canonica, in cui la matrice che moltiplica l’autovalore e l’identita, [I]. Ma il problema meccanico non ein forma canonica, quindi gli autovalori che ne risultano non sono in generale ortogonali rispetto a loro stessi.

13-6

La rigidezza e la massa modale tra loro stanno in un rapporto ben preciso, kj/mj = ω2j , ma per il resto

sono indeterminate; o meglio, il loro valore dipende dal valore arbitrariamente assegnato all’autovettore,il quale e determinato a meno di un fattore di scala. Se per esempio si sceglie di ridefinire l’autovettorej-esimo, Xj , come X′j = cjXj , si ottiene

m′j =

(

X′j)T

[M ] X′j = c2j XTj [M ] Xj = c2jmj (13.48a)

k′j =(

X′j)T

[K] X′j = c2j XTj [K] Xj = c2jkj . (13.48b)

Indipendentemente dal valore di cj , si ha k′j/m

′j = ω2

j , quindi la scalatura dell’autovalore non ha alcuneffetto sulla frequenza caratteristica di quel modo. Questo consente di scalare gli autovettori in modo damodificare convenientemente la massa e la rigidezza modali. Una scalatura usata spesso, detta a massaunitaria, consiste nel rendere la matrice delle masse modali pari alla matrice identita.

Esercizio 13.2 Si riscrivano gli autovettori del problema iniziale scalati a massa unitaria.

Esercizio 13.3 Si mostri come, in caso di autovalori coincidenti, e possibile ortogonalizzare gli autovet-tori corrispondenti.

13.2 Approccio modale

Cerchiamo ora un sistema di coordinate libere che disaccoppi contemporaneamente il sistema tantoinerzialmente quanto elasticamente, ovvero tale per cui le equazioni che, risolte, descrivano il moto delsistema siano disaccoppiate. Se costruiamo una matrice quadrata [ψ] le cui colonne siano costituite daimodi propri di vibrare, ovvero

[ψ] =

[

1X1 2X1

1X2 2X2

]

(13.49)

detta anche matrice modale, e definiamo la trasformazione

x (t) = [ψ] q (t) (13.50)

con q (t) detto vettore delle coordinate principali, il problema (13.1) diventa

[M ] [ψ] q+ [K] [ψ] q = f (13.51)

Se si premoltiplica5 la (13.51) per la trasposta della matrice modale (13.49), si ottiene

[ψ]T[M ] [ψ] q+ [ψ]

T[K] [ψ] q = [ψ]

T f (13.54)

Da quanto detto in precedenza, si vede che

[ψ]T[M ] [ψ] = [diag (mj)] (13.55a)

[ψ]T[K] [ψ] = [diag (kj)] (13.55b)

dove [diag (mj)] e [diag (kj)] sono matrici diagonali, ovvero tali per cui mjk e kjk sono nulli se j 6= k,mentre mj e kj sono rispettivamente la massa e la rigidezza associate al modo j-esimo.

5Questa operazione puo apparire un artifizio, ma ha una giustificazione piu profonda se si considera che l’equazione (13.1)puo essere ricondotta ad un principio variazionale e quindi ad una relazione del tipo

δ xT∑

F (x) = 0 (13.52)

per cui la trasformazione (13.50) viene applicata sia alle incognite da cui dipendono le forze F che alle loro variazionivirtuali, ovvero

δ qT [ψ]T∑

F ([ψ] q) = 0. (13.53)

13-7

Nell’esempio iniziale, si ha

[diag (mj)] =

[2m 00 2m

]

(13.56a)

[diag (kj)] =

[2k 00 6k

]

(13.56b)

quindi il problema diventa

[2m 00 2m

]q1q2

+

[2k 00 6k

]q1q2

=

f1 + f2f1 − f2

(13.57)

Si noti che le due equazioni sono disaccoppiate, ovvero ogni equazione dipende solo dalla propria incog-nita; l’accoppiamento tra i gradi di liberta fisici si e tradotto, a livello modale, in accoppiamento tra icorrispondenti termini noti.

Sostituendo uno ad uno gli autovalori ed i corrispondenti autovettori, l’equazione omogenea (13.9)risulta soddisfatta; ne consegue che, cosı come sono stati accostati gli autovettori a dare la matricemodale [ψ], e possibile accostare gli autovalori a dare la matrice diagonale dei quadrati delle frequenzeproprie

[diag

(ω2j

)]=

[ω21 00 ω2

2

]

(13.58)

tale per cui6

[K] [ψ]− [M ] [ψ][diag

(ω2j

)]= [0] (13.59)

La (13.59), se premoltiplicata per la trasposta della matrice modale (13.49), diventa

[ψ]T[K] [ψ]− [ψ]

T[M ] [ψ]

[diag

(ω2j

)]= [0] (13.60)

ovvero

[diag (kj)]− [diag (mj)][diag

(ω2j

)]= [0] (13.61)

Se la matrice di massa modale [diag (mj)] e definita positiva7, la sua inversa esiste; quindi la (13.61) puoessere riscritta, previa premoltiplicazione per l’inversa della matrice di massa modale, come

[diag (mj)]−1

[diag (kj)] =[diag

(ω2j

)](13.65)

6Si noti l’odine in cui vengono eseguiti i prodotti di matrici, essenziale perche ogni autovettore venga moltiplicato peril proprio autovalore.

7L’unico motivo per cui la matrice di massa, anziche essere definita positiva, puo essere semidefinita, e che ad un gradodi liberta non sia associata inerzia. Questa eventualita viene scartata nella presente trattazione perche in tale caso il gradodi liberta privo di massa puo essere eliminato staticamente, rendendo la nuova matrice di massa strettamente definitapositiva. Ad esempio: dato il problema

[

m 00 0

]

x1x2

+

[

k11 k12k21 k22

]

x1x2

=

f1f2

(13.62)

la cui matrice di massa e chiaramente semidefinita positiva in quanto tutti i minori principali sono positivi tranne uno che enullo, a condizione che la matrice [K] non sia singolare la seconda equazione puo essere usata per esplicitare x2 in funzionedi x1

x2 =f2 − k21x1

k22(13.63)

che, sostituito nella prima equazione, da

mx1 +

(

k11 − k12k21

k22

)

x1 = f1 −k12

k22f2 (13.64)

ovvero dal problema iniziale se ne ottiene uno di dimensioni inferiori ma con la matrice di massa definita positiva.

13-8

Nel caso in esame,

[diag (mj)]−1

[diag (kj)] =

[1/ (2m) 0

0 1/ (2m)

] [2k 00 6k

]

=

[k/m 00 3k/m

]

(13.66)

Questo suggerisce una scelta interessante per la normalizzazione dei modi propri, detta a massa unitaria;se si dividono i coefficienti del modo j-esimo per il valore

√mj , si ottiene:

[ψI ] = [ψ][diag

(√mj

)]−1(13.67)

A questo punto, le relazioni (13.55a) e (13.55b), attraverso la nuova matrice modale [ψI ], diventano

[ψI ]T[M ] [ψI ] =

[diag

(√mj

)]−1[ψ]

T[M ] [ψ]

[diag

(√mj

)]−1

=[diag

(√mj

)]−1[diag (mj)]

[diag

(√mj

)]−1= [I] (13.68a)

[ψI ]T[K] [ψI ] =

[diag

(√mj

)]−1[ψ]

T[K] [ψ]

[diag

(√mj

)]−1

=[diag

(√mj

)]−1[diag (kj)]

[diag

(√mj

)]−1

= [diag (mj)]−1

[diag (kj)] =[diag

(ω2j

)](13.68b)

ove si e sfruttato il fatto che[diag

(√mj

)]−T=[diag

(√mj

)]−1in quanto la matrice e diagonale; allo

stesso modo, l’ultimo passaggio che porta alla matrice di rigidezza modale e lecito perche il prodotto dimatrici diagonali e commutativo.

13.2.1 Risposta a forzanti armoniche

Analizziamo, ora, la risposta del generico sistema di Equazione 13.1 quando soggetto a forzanti armoniche

[M ] x (t)+ [K] x (t) = f eiωt (13.69)

che, a regime, ammette una soluzione del tipo

x (t) = x eiωt (13.70)

dove il vettore delle ampiezze di vibrazione x e soluzione di

([K]− ω2 [M ]

)x = f (13.71)

ovvero

x =([K]− ω2 [M ]

)−1 f (13.72)

che puo essere anche riscritta come

x = [H (ω)] f (13.73)

dove [H (ω)] e la matrice dell’ammettenza meccanica (in inglese, receptance matrix ) del sistema; equadrata, di ordine N , e ne costituisce il modello della risposta in frequenza. La sua inversa,

[Z (ω)] = [H (ω)]−1

(13.74)

e detta matrice dell’impedenza meccanica, e descrive la forza che il sistema oppone ad un dato movimento.Dalla definizione

[Z (ω)] = [K]− ω2 [M ] (13.75)

si ricava

[H (ω)] =([K]− ω2 [M ]

)−1(13.76)

13-9

Se si applica la trasformazione modale all’impedenza meccanica, si ottiene

[ψ]T[Z (ω)] [ψ] = [ψ]

T ([K]− ω2 [M ]

)[ψ]

= [diag (kj)]− ω2 [diag (mj)]

= [ψ]T[H (ω)]

−1[ψ] (13.77)

si inverta quindi la (13.77); si ottiene

([diag (kj)]− ω2 [diag (mj)]

)−1= [ψ]

−1[H (ω)] [ψ]

−T(13.78)

e quindi la [H (ω)] si ottiene come

[H (ω)] = [ψ]([diag (kj)]− ω2 [diag (mj)]

)−1[ψ]

T(13.79)

Dalla (13.79) si evince che la matrice [H (ω)] e simmetrica; se si utilizza la normalizzazione a massaunitaria dei modi, ovvero la matrice (13.67), la (13.79) diventa

[H (ω)] = [ψI ]([diag

(ω2j

)]− ω2 [I]

)−1[ψI ]

T= [ψI ]

[diag

(1/(ω2

j − ω2))]

[ψI ]T

(13.80)

ed il generico coefficiente e dato da

hjk (ω) =xj (ω)

fk (ω)= hkj (ω) =

xk (ω)

fj (ω)=

N∑

r=1

rXIj · rXIk

ω2r − ω2

(13.81)

da cui si nota come il sistema possa andare in risonanza qualora la pulsazione della forzante ω uguagliuna delle N frequenze ωr proprie del sistema vibrante.

Ritornando al sistema vibrante iniziale, risulta che risolvendo il sistema di equazioni lineari

h11 (ω) =−2k + ω2m

3k2 − 4kmω2 + ω4m2=

2k − ω2m

m2 (k/m− ω2) (3k/m− ω2)(13.82a)

h21 (ω) =k

3k2 − 4kmω2 + ω4m2=

k

m2 (k/m− ω2) (3k/m− ω2)(13.82b)

mentre, in termini modali, si ottiene

h11 (ω) =1

2m (k/m− ω2)+

1

2m (3k/m− ω2)=

2k − ω2m

m2 (k/m− ω2) (3k/m− ω2)(13.83a)

h21 (ω) =1

2m (k/m− ω2)− 1

2m (3k/m− ω2)=

k

m2 (k/m− ω2) (3k/m− ω2)(13.83b)

Come si vede dalla figura 13.3, ove e mostrato l’andamento del modulo di h11, non si commette ungrande errore se studiamo la risposta del sistema nell’intorno della prima frequenza propria considerandola risposta di un sistema ad un solo grado di liberta che abbia massa pari a m1 e rigidezza pari a k1.Analogo discorso si puo fare considerando la sola risposta dovuta alla seconda frequenza propria se lapulsazione della forzante e di valore non troppo dissimile da questa. Ovvero abbiamo verificato empiri-camente che pur essendo i sistemi fisici continui, purche le loro frequenze proprie siano ragionevolmenteseparate nel dominio delle frequenze, e lecito, nell’ipotesi che lo spettro della forzante sia limitato nellostesso dominio, considerare il contributo di un numero limitato di modi le cui frequenze proprie associatestanno nel dominio dello spettro della forzante. Ovvero: e possibile studiare la risposta dinamica aregime di un sistema continuo con un modello matematico caratterizzato da un numero discreto di gradidi liberta. Ne consegue, inoltre, che misurando sperimentalmente la receptance matrix, dalla rispostamisurata nell’intorno di una risonanza possiamo ricavare i parametri modali (massa modale o massageneralizzata mj e rigidezza modale o rigidezza generalizzata kj) cosı come il modo di vibrare.

13-10

Figura 13.3: Risposta modale del sistema dinamico a 2 gradi di liberta.

13.2.2 Considerazioni sull’utilizzo dell’approccio modale

Le considerazioni che stanno alla base dell’utilizzo pratico dell’approccio modale si basano principalmentesu aspetti computazionali:

1. la risposta a forzante armonica utilizzando la base di coordinate fisiche richiede l’inversione dellamatrice di impedenza meccanica, [Z(ω)],

[H (ω)] =([K]− ω2 [M ]

)−1. (13.84)

Se occorre calcolare la risposta a piu armoniche, ad esempio perche una forzante periodica e statadecomposta nella sommatoria di forzanti armoniche mediante sviluppo in serie di Fourier arrestatoad un certo ordine, si devono invertire tante matrici quante sono le armoniche, con una complessitacomputazionale che puo essere elevata (dell’ordine di n3 operazioni, a meno che una particolarestruttura delle matrici non consenta ottimizzazioni). Viceversa, l’approccio modale non richiedealcuna inversione, ma solo prodotti di matrici: si veda la (13.80);

2. se si usano tecniche esplicite di integrazione numerica, in genere il calcolo delle incognite (in questocaso le velocita) ad un dato istante di tempo e funzione delle loro derivate ad un tempo antecedentesecondo una formula del tipo8

x (t+∆t) = x (t)+∆t x (t) (13.85)

Il calcolo delle accelerazioni richiede l’inversione della matrice di massa:

x (t) = [M ]−1

(f − [K] x (t)) (13.86)

che invece viene evitata se si usa l’approccio modale, in quanto senza particolari normalizzazionidei modi l’accelerazione e

q (t) = [diag (1/mj)](

[ψ]T f − [diag (kj)] q (t)

)

(13.87)

mentre, se si usa la normalizzazione a massa unitaria, si ha

qI (t) =(

[ψI ]T f −

[diag

(ω2j

)]qI (t)

)

. (13.88)

Algoritmi piu sofisticati richiedono l’inversione di una combinazione lineare delle matrici di massa edi rigidezza, operazione in ogni caso banale se le matrici, proiettate in base modale, sono diagonali.

8La formula di integrazione numerica riportata corrisponde al metodo di Eulero esplicito e non e raccomandabile perquestioni di stabilita dell’algoritmo; viene qui utilizzata al solo fine di illustrare senza eccessivi tecnicismi le operazionirichieste per l’integrazione esplicita di sistemi dinamici.

13-11

Si noti tuttavia che questi vantaggi si pagano in qualche modo, perche l’approccio modale richiede co-munque l’estrazione di autovalori ed autovettori, operazione in generale relativamente costosa (dell’ordinedi n4). Occorre verificare quale strada e piu conveniente in funzione del tipo di risultato che si vuoleottenere. Ad esempio, l’approccio modale puo essere comunque conveniente nel caso le autosoluzionisiano gia disponibili, perche il loro calcolo era comunque richiesto per altri motivi.

13.2.3 Esempio: soluzione di equilibrio statico di un sistema libero

Si vuole applicare l’approccio modale all’esempio illustrato nel paragrafo 4.3.1. Il problema, in formamatriciale, e

[m 00 m

]x1x2

+

[k −k−k k

]x1x2

=

F0

(13.89)

Si consideri il problema agli autovalori che risulta dall’equazione omogenea associata:(

−ω2

[m 00 m

]

+

[k −k−k k

])x1x2

=

00

(13.90)

da cui si ricava l’equazione caratteristica

0 =(k − ω2m

)2 − k2

= ω2m(ω2m− 2k

)(13.91)

quindi gli autovalori sono:

ω21 = 0 (13.92a)

ω22 = 2

k

m(13.92b)

Si ricavi ora lo spostamento della seconda massa in funzione di quello della prima, alternativamente conil primo ed il secondo autovalore; si ottiene:

x1x2

1

=

1X1

1X2

q1 =

11

q1 (13.93a)

x1x2

2

=

2X1

2X2

q2 =

1−1

q2 (13.93b)

da cui si ricava la matrice dei modi

[ψ] =

[1 11 −1

]

(13.94)

Ora occorre ridurre le matrici di massa e di rigidezza, secondo le (13.55a), (13.55b), e il termine noto inbase modale:

[diag (mj)] = [ψ]T[M ] [ψ] =

[2m 00 2m

]

(13.95a)

[diag (kj)] = [ψ]T[K] [ψ] =

[0 00 4k

]

(13.95b)

[ψ]T F =

FF

(13.95c)

La (13.95b) mette in evidenza la singolarita della matrice [K].Il problema (13.90), trasformato secondo l’approccio modale, diventa quindi

2mq1 = F (13.96a)

2mq2 + 4kq2 = F (13.96b)

13-12

Figura 13.4: Assorbitore dinamico di vibrazioni usato su cavi dell’alta tensione.

ovvero si ottengono due equazioni disaccoppiate di cui la prima descrive un moto uniformemente acceler-ato, associato alla traslazione rigida dell’intero sistema, mentre la seconda descrive un tipico oscillatorearmonico non smorzato, associato alla vibrazione delle due masse attorno al baricentro.

Si calcoli, infatti, la posizione del baricentro relativa ai due modi (13.93a) e (13.93b):

xCG1 =

∑mj1Xjq1∑mj

= q1 (13.97a)

xCG2 =

∑mj2Xjq2∑mj

= 0 (13.97b)

dalla (13.97a) si deduce che la coordinata modale q1 esprime naturalmente il moto del baricentro delsistema; per l’ortogonalita dei modi propri attraverso la matrice di massa ne risulta la necessita che ilbaricentro non si sposti in conseguenza del moto secondo l’altro modo proprio.

E interessante notare come l’approccio modale abbia portato direttamente ed in modo naturale allascrittura delle due equazioni (4.43) e (4.52), ove si ponga q1 = xCG e q2 = ∆x, che nel paragrafo 4.3.1erano state dedotte attraverso una serie di ragionamenti all’apparenza specifici per il particolare problemain esame.

13.3 Applicazione: assorbitore dinamico

Il concetto su cui si basa l’assorbitore dinamico e quello di trasferire tutta l’energia introdotta in unsistema vibrante da un campo di forze, mandandone volutamente in una sorta di risonanza un particolare,mentre il resto del sistema e mantenuto in quiete.

E importante notare che l’assorbitore dinamico, come dice il nome stesso, non dissipa energia. Alcontrario, assorbe l’energia associata al movimento forzato a regime di un sistema, e la confina, sottoforma di energia cinetica e potenziale elastica, in una parte del sistema stesso.

13-13

Figura 13.5: Modello dell’assorbitore dinamico.

Nella figura e rappresentata la sospensione di una linea elettrica ad alta tensione. Ovvi problemiimpediscono di collegare il cavo a terra, ad esempio con un elemento dissipativo. D’altronde il bassosmorzamento del cavo e l’ampio spettro del vento incidente, oltre al fenomeno delle vibrazioni indotteper distacco di vortici, rendono molto probabile l’eccitazione in risonanza della campata.

Consideriamo il comportamento del cavo con l’assorbitore dinamico, considerando quest’ultimo, persemplicita, a un solo grado di liberta anzicha a quattro, ovvero ci si riconduca allo schema seguente dovem1 e k1 sono rispettivamente la massa e la rigidezza a flessione del cavo, mentre m2 e k2 sono quelle diuno dei due contrappesi. Essendo il sistema lineare, o come tale approssimabile, la forzante armonica euna delle componenti dello sviluppo in serie di Fourier dell’azione del vento.

Le equazioni di moto sono le soluzioni a regime del sistema

m1x1 + k1x1 + k2 (x1 − x2) = F0 sin (ωt) (13.98a)

m2x2 + k2 (x2 − x1) = 0 (13.98b)

Effettuiamo le seguenti sostituzioni

ω11 =

√

k1

m1(13.99a)

ω22 =

√

k2

m2(13.99b)

X0 =F0

k1(13.99c)

e imponiamo come soluzioni degli integrali particolari

x1 (t) = X1 sin (ωt) (13.100a)

x2 (t) = X2 sin (ωt) (13.100b)

otterremo

1 +k2

k1−(

ω

ω11

)2

X1 −k2

k1X2 = X0 (13.101a)

−X1 +

1−(

ω

ω22

)2

X2 = 0 (13.101b)

13-14

Figura 13.6: Risposta della massa 1 dell’assorbitore dinamico.

ovvero

X1

X0=

1−(

ω

ω22

)2

1 +k2

k1−(

ω

ω11

)2

1−(

ω

ω22

)2

− k2

k1

(13.102a)

X2

X0=

1

1 +k2

k1−(

ω

ω11

)2

1−(

ω

ω22

)2

− k2

k1

(13.102b)

Si nota immediatamente che per ω = ω22, pari alla frequenza propria del solo assorbitore dinamico messoa terra, X1/X0 si annulla9, mentre X2/X0 = −k1/k2, ovvero

k2X2 = −F0 = ω2m2X2 (13.103)

che ci permette, noto F0 e ω, ovvero nota la forzante, di determinare l’entita della massa m2 una voltafissata la massima freccia ammissibile X2 per il trefolo che regge la massa stessa. Le due frequenzeproprie del sistema dipendono, ovviamente, dal rapporto

µ =m2

m1(13.104)

13.4 Vibrazioni forzate smorzate

Come sappiamo esistono diversi tipi di smorzamento, quali il viscoso, l’isteretico, quello dovuto ad attritocoulombiano, quello aerodinamico, ecc. E in generale difficile valutare quale tipo di smorzamento agiscain una particolare struttura; spesso il fenomeno dissipativo e dovuto alla presenza contemporanea di piudi tipi di smorzamento. In molti casi, tuttavia, lo smorzamento e piccolo e possono essere fatte alcuneipotesi semplificative.

Il sistema di equazioni di equilibrio dinamico per il sistema vibrante di figura 13.7 e dato da

[m1 00 m2

]x1x2

+

[c1 + c2 −c2−c2 c2 + c3

]x1x2

+

[k1 + k2 −k2−k2 k2 + k3

]x1x2

=

f1f2

9Infatti, per tale frequenza, si annullano i due zeri della funzione di trasferimento tra la forzante X0 e lo spostamentodella massa 1, X1. Si noti che e improprio dire che l’assorbitore viene fatto funzionare in risonanza, perche, dal momentoche viene montato sul sistema, non e piu definita una sua frequenza propria indipendente, ma, dato che aggiunge un gradodi liberta al sistema su cui viene montato, il sistema risultante ha una frequenza propria in piu, che pero dipende dallecaratteristiche dinamiche dell’insieme.

13-15

Figura 13.7: Sistema vibrante a 2 gradi di liberta smorzato.

(13.105)

ovvero

[M ] x+ [C] x+ [K] x = f (13.106)

13.4.1 Smorzamento proporzionale

Si ha il cosiddetto smorzamento proporzionale se la matrice [C] puo essere scritta come

[C] = α [M ] + β [K] (13.107)

con i casi particolari per cui α = 0 o β = 0. Quindi il termine ‘proporzionale’ si riferisce al fatto che lamatrice di smorzamento [C] e proporzionale alle matrici di massa e di rigidezza.

In tutti e tre i casi si dimostra facilmente che la matrice modale (13.49) del sistema conservativoassociato, ovvero quello senza smorzamento, che diagonalizza tanto la matrice di massa [M ] quantoquella di rigidezza [K], rende diagonale anche la matrice [C].

Infatti, nel caso piu generale di equazione (13.107)

[ψ]T[C] [ψ] = [ψ]

T(α [M ] + β [K]) [ψ] = α [diag (mj)] + β [diag (kj)] = [diag (cj)] (13.108)

quindi il problema (13.106), in coordinate principali, diventa

[diag (mj)] q+ [diag (cj)] q+ [diag (kj)] q = [ψ]T f (13.109)

che rappresenta un set di N equazioni disaccoppiate, tante quanti sono i gradi di liberta del sistema, deltipo

mj qj + cj qj + kjqj = XTj f (13.110)

dove Xj e il j-esimo autovettore del sistema conservativo associato.L’equazione, che risolta fornisce la legge del moto di un sistema ad un grado di liberta forzato, mette

in luce che, a meno di una costante arbitraria, la forzante e data dal lavoro che le restanti forze agentisul sistema compiono per il j-esimo modo di vibrare.

Le frequenze proprie del sistema sono date da

ωDi = ωj

√

1− ξ2j (13.111a)

ωj =

√

kj

mj(13.111b)

ξj =cj

2mjωj=

α

2ωj+βωj

2(13.111c)

mentre la contrazione della soluzione avviene con le ampiezze che decrescono esponenzialmente con leggedel tipo e−ξjωjt, e il generico termine della matrice di trasferimento vale

hjk (ω) = hkj (ω) =

N∑

r=1

rXj · rXk

kr −mrω2 + iωcr(13.112)

13-16

Il modello di smorzamento proporzionale viene essenzialmente introdotto perche, per strutture debol-mente smorzate, consente di utilizzare le forme modali ottenute per il sistema conservativo ad un costocomputazionale decisamente inferiore a quello necessario nel caso di smorzamento generico, illustrato nelseguito.

Un’analisi puramente qualitativa di questo modello mostra che se l’idea di forze dissipative pro-porzionali alle forze elastiche puo essere plausibile, in quanto le forze elastiche sono proporzionali alladeformazione e quindi a movimenti relativi, l’idea di forze dissipative proporzionali alle forze d’inerzialascia abbastanza perplessi, in quanto le forze d’inerzia sono proporzionali alle accelerazioni assolute, equindi a movimenti assoluti. Per cui si arriva all’assurdo che su di un sistema non vincolato, sottopostoad un movimento rigido, agisce uno smorzamento strutturale di tipo viscoso.

In conclusione, la scelta di questo tipo di smorzamento va vista soprattutto come un espediente perintrodurre in modo computazionalmente vantaggioso una dissipazione che di caso in caso deve esseretarata per risultare globalmente equivalente a quella rilevata sperimentalmente per un dato sistemadebolmente smorzato.

13.4.2 Smorzamento isteretico

Nel caso di smorzamento isteretico o strutturale, abbiamo gia visto nel Capitolo 12 che l’energia dissipatain un ciclo e indipendente dalla pulsazione, ma dipende solo dalla ampiezza di vibrazione, ovvero, neldominio delle frequenze10,

− [M ]ω2 x+ iη

ω[K]ω x+ [K] x = f (13.113)

ove si e usata la matrice proporzionale

[C] =η

ω[K] (13.114)

per rendere la proporzionalita dello smorzamento dalla rigidezza, attraverso il coefficiente η, ma nondalla frequenza. Ne risulta l’equazione

(−ω2 [M ] + (1 + iη) [K]

)x = f (13.115)

nella quale la dissipazione e ottenuta “sfasando” le forze elastiche di un angolo tan−1 η. In coordinateprincipali si ottiene

(−ω2 [diag (mj)] + (1 + iη) [diag (kj)]

)q = [ψ]

T f (13.116)

ovvero un set di N equazioni disaccoppiate, tante quanti sono i gradi di liberta del sistema, del tipo

−ω2mjqj + (1 + iη) kjqj = XTj f (13.117)

dove Xj e il j-esimo autovettore del sistema conservativo associato.

Ovviamente

λ2j = − kjmj

(1 + iη) = −ω2j

√

1 + η2ei tan−1 η (13.118)

mentre il generico termine della matrice di trasferimento vale

hjk (ω) = hkj (ω) =

N∑

r=1

rXj · rXk

kr −mrω2 + iηkj(13.119)

10Questo tipo di smorzamento non e rappresentabile nel dominio del tempo, perche da luogo ad un sistema dalcomportamento non causale.

13-17

13.4.3 Smorzamento viscoso generico

Quando la matrice di smorzamento non e proporzionale alla matrice di massa e/o a quella di rigidezza, lamatrice modale (13.49) del sistema conservativo associato non diagonalizza la matrice di smorzamento.Si puo tuttavia ottenere un sistema disaccoppiato nel modo seguente. Il set di N equazioni differenzialidel secondo ordine e convertito in un set di 2N equazioni differenziali del primo ordine, assegnando nuovevariabili (chiamate variabili di stato) a ciascuna delle coordinate libere originali e delle loro derivate neltempo

[m1 00 m2

]x1x2

−[m1 00 m2

]x1x2

=

00

(13.120a)[m1 00 m2

]x1x2

+

[c1 + c2 −c2−c2 c2 + c3

]x1x2

+

[k1 + k2 −k2−k2 k2 + k3

]x1x2

=

f1f2

(13.120b)

ovvero

0 0 m1 00 0 0 m2

m1 0 c1 + c2 −c20 m2 −c2 c2 + c3

x1x2x1x2

+

−m1 0 0 00 −m2 0 00 0 k1 + k2 −k20 0 −k2 k2 + k3

x1x2x1x2

=

00f1f2

(13.121)

Sostituendo

x1 = z1 (13.122a)

x2 = z2 (13.122b)

x1 = z1 = z3 (13.122c)

x2 = z2 = z4 (13.122d)

x1 = z3 (13.122e)

x2 = z4 (13.122f)

otteniamo

0 0 m1 00 0 0 m2

m1 0 c1 + c2 −c20 m2 −c2 c2 + c3

z3z4z1z2

+

−m1 0 0 00 −m2 0 00 0 k1 + k2 −k20 0 −k2 k2 + k3

z3z4z1z2

=

00f1f2

(13.123)

ovvero

[A] z+ [B] z = g (13.124)

con

[A] =

[[0] [M ][M ] [C]

]

(13.125a)

[B] =

[− [M ] [0][0] [K]

]

(13.125b)

g =

0f

(13.125c)

Si noti che le matrici [A] e [B] sono simmetriche, ancorche non piu definite positive; gli autovalori delproblema omogeneo associato sono direttamente gli autovalori del problema meccanico, e sono in generaleo reali o complessi coniugati.

13-18

Si consideri ancora il problema di figura 13.7, con m1 = m2 = m, c1 = c2 = c3 = c, k1 = k2 = k3 = k.In questo caso particolare di smorzamento proporzionale si ottiene, dal calcolo degli autovalori e degliautovettori

[diag (ωj)] =

3c+√9c2 − 12mk

2m0 0 0

03c−

√9c2 − 12mk

2m0 0

0 0c+

√c2 − 4mk

2m0

0 0 0c−

√c2 − 4mk

2m

(13.126)

e

[ψ] =

−3c+√9c2 − 12mk

2m−3c−

√9c2 − 12mk

2m

c+√c2 − 4mk

2m

c−√c2 − 4mk

2m3c+

√9c2 − 12mk

2m

3c−√9c2 − 12mk

2m

c+√c2 − 4mk

2m

c−√c2 − 4mk

2m

− 1 −1 1 1

1 1 1 1

(13.127)

Si noti che gli autovalori sono o reali, se i radicandi sono positivi, o complessi coniugati, se i radicandisono negativi; inoltre, le prime e le ultime due righe della matrice degli autovettori soddisfano la relazione

[ψ1|2

]=[ψ3|4

][diag (ωj)] (13.128)

che traduce la condizione

x1 = z1 (13.129a)

x1 = z1 = z3 = ωjx1 (13.129b)

x2 = z2 (13.129c)

x2 = z2 = z4 = ωjx2 (13.129d)

mentre le ultime due righe della matrice degli autovettori contengono gli autovettori del sistema conser-vativo di partenza, come atteso dal momento che la matrice di smorzamento e proporzionale.

Nel caso invece generale, di smorzamento non proporzionale, i modi propri smorzati esistono, manon sono piu identici a quelli del sistema conservativo e vi sono differenze di fase (non piu 0 o π) tra lecomponenti delle coordinate libere. I modi sono quindi complessi e in generale non sono piu definibilipunti nodali (aventi componente nulla dello spostamento).

Esercizio 13.4 Dato il problema omogeneo associato alla (13.106) si dimostri che non puo avere au-tovettori X reali associati agli eventuali autovalori complessi coniugati.

13.5 Dal continuo al discreto

Lo studio delle vibrazioni di sistemi continui, ad esempio dei modi propri di vibrare di una trave, vieneaffrontato in modo abbastanza simile a quello descritto in questo capitolo per i sistemi discreti a piugradi di liberta, a partire dalle equazioni differenziali alle derivate parziali che descrivono la dinamica delcontinuo. Questa trattazione esula dallo scopo del corso di Dinamica dei Sistemi Aerospaziali; tuttavia,dal momento che sono evidenti i punti di contatto tra i due argomenti, viene qui introdotto, in mododel tutto qualitativo, il problema della discretizzazione dei problemi continui, che consente di superare ilimiti della trattazione analitica qualora il problema non sia risolvibile in forma chiusa.

In particolare, si illustra come, attraverso una discretizzazione sia pure grossolana del problemacontinuo, sia possibile stimare le sue frequenze proprie con accuratezza via via crescente.

13-19

Figura 13.8: Torsione di una trave omogenea incastrata.

Si consideri la sola torsione della trave rettilinea di figura 13.8, di lunghezza L e di rigidezza GJ edinerzia Jp torsionali uniformi, incastrata all’estremo x = 0 e libera all’estremo x = L. Dal momento chesi tratta di un sistema continuo, possiede infiniti gradi di liberta e quindi infiniti modi di vibrare.

L’equilibrio alla rotazione attorno all’asse di un concio infinitesimo di trave afferma che la derivatadel momento torcente equilibra le coppie torcenti distribuite

d

dxMt =M ′

t = µ (13.130)

Il momento torcente e legato alla derivata prima dell’angolo di rotazione attorno all’asse

Mt = GJd

dxθ = GJθ′ (13.131)

le coppie torcenti distribuite, in presenza di solo movimento di rotazione attorno all’asse, per effetto dipiccole perturbazioni della posizione di equilibrio, per il principio di d’Alembert sono date dalla coppiadi inerzia distribuita,

µ = −Jpθ (x, t) (13.132)

quindi l’equazione differenziale alle derivate parziali che governa le piccole perturbazioni della torsionedi una trave uniforme rispetto alla posizione di equilibrio e

GJθ′′ + Jpθ = 0 (13.133)

Senza presentare i dettagli della soluzione analitica del problema, lo studio delle vibrazioni del continuo,una volta applicate le condizioni al contorno di rotazione nulla all’estremo incastrato, θ (0) = 0, emomento torcente nullo all’estremo libero, GJθ′ (L) = 0, ci dice che le sue pulsazioni proprie sono

ωk =(π

2+ kπ

)√

GJ

JpL2(13.134)

ed i corrispondenti modi sono

θk (x) = sin((π

2+ kπ

) x

L

)

(13.135)

Quindi, posto

φ =

√

GJ

JpL2(13.136)

la pulsazione associata al primo modo, la cui forma e un quarto di onda di seno, e

ω1 =π

2φ ∼= 1.57φ (13.137)

Per poter stimare i modi propri di vibrare di questo problema, si puo immaginare di trasformarlo inqualche modo da continuo a discreto, per ricondurlo in una forma nota; ad esempio, si puo pensare disuddividere la trave in due parti, come illustrato in figura 13.9, e di associare le rispettive inerzie alle

13-20

rotazioni dei due estremi. Siccome il primo e incastrato, solo l’inerzia associata al secondo, pari a JpL/2,dara luogo ad una coppia associata all’accelerazione angolare dell’estremo libero. La rotazione relativatra i due estremi dara luogo ad una coppia elastica dovuta alla rigidezza torsionale dell’intera trave,GJ/L. Ne risulta l’equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti

JpL

2θL +

GJ

LθL = 0 (13.138)

la cui costante caratteristica e

ω =√2

√

GJ

JpL2=

√2φ (13.139)

mentre la forma associata e una variazione lineare dell’angolo θ da 0 a θL. Dal momento che il problemae stato approssimato in maniera piuttosto grossolana, non ci aspettiamo una particolare accuratezza,soprattutto in virtu del fatto che la differenza tra la forma corretta e quella approssimata del modo ecosı notevole; tuttavia, si nota che il rapporto tra

√2 ∼= 1.41 e π/2 ∼= 1.57 e pari a 0.90, quindi l’errore

commesso e solo del 10% rispetto alla soluzione analitica (13.137).

Si consideri ora un modello leggermente piu raffinato, come illustrato in figura 13.10, in cui la trave edivisa in tre parti, e si considerino, come incognite, la rotazione di mezzeria e quella dell’estremo libero.L’inerzia associata alla rotazione di mezzeria sara la meta dell’inerzia polare della trave, mentre quellaassociata alla rotazione di estremita sara pari ad un quarto. La rigidezza delle molle torsionali sara inveceil doppio della rigidezza iniziale, in quanto la lunghezza degli spezzoni di trave e la meta della lunghezzaoriginaria.

Si ottengono le equazioni

JpL

20

0JpL

4

θL/2θL

+

2GJ

L/2− GJ

L/2

− GJ

L/2

GJ

L/2

θL/2θL

=

00

(13.140)

ovvero

JpL

4

[2 00 1

]θL/2θL

+GJ

L/2

[2 −1−1 1

]θL/2θL

=

00

(13.141)

e, infine,

[2 00 1

]θL/2θL

+ 8φ

[2 −1−1 1

]θL/2θL

=

00

(13.142)

Le radici del polinomio caratteristico sono

ω = 2

√

2±√2φ (13.143)

Figura 13.9: Modello ad un grado di liberta per la torsione di una trave omogenea incastrata.

13-21

Figura 13.10: Modello a due gradi di liberta per la torsione di una trave omogenea incastrata.

di cui la minore e pari a circa 1.53φ, con un errore rispetto alla soluzione analitica (13.137) inferiore al3%. La forma modale e data da una spezzata, ovvero da una funzione che varia linearmente da 0 a θL/2e quindi a θL, in cui

θL/2 =1√2θL (13.144)

che, caso fortuito, posta unitaria la rotazione all’estremo libero per entrambe le forme, e esattamenteuguale alla soluzione analitica: sin (π/4) = 1/

√2.

L’altra radice da una stima della pulsazione del secondo modo di vibrare, che sara decisamente piugrossolana rispetto a quella del primo (circa il 22% di errore). Al raffinarsi della suddivisione, e quindi alcrescere del numero dei gradi di liberta del modello discreto approssimato, la stima della prima pulsazionepropria, e via via di quelle immediatamente successive, diventa sempre piu accurata.

13-22

Capitolo 14

Rappresentazione agli stati disistemi vibranti e modelliapprossimati

Generato il 10 settembre 2012La rappresentazione agli stati di un sistema dinamico consiste nella scrittura di un problema differen-

ziale nella forma

x = [A] x+ [B] u (14.1a)

y = [C] x+ [D] u (14.1b)

ove la relazione dinamica tra ingresso u e uscita y dipende da una relazione differenziale lineare.Qualsiasi sistema lineare di equazioni differenziali, di qualsiasi ordine, puo essere rappresentato in questaforma a seguito di opportune trasformazioni.

Se la matrice [D] e nulla, non vi e termine di trasmissione diretta, e il sistema si dice strettamente

proprio. E sempre possibile descrivere un sistema proprio come combinazione di un termine di trasmis-sione diretta tra ingresso e uscita e di un sistema strettamente proprio, quindi lo studio di quest’ultimocaso e sufficiente per lo studio del caso piu generale.

La capacita di rappresentare un sistema dinamico generico nella forma agli stati consente di studiarnele caratteristiche ed il comportamento mediante le tecniche sviluppate nell’ambito della teoria dei sistemi.

La formulazione agli stati e considerata parte di un approccio “moderno” alla teoria dei sistemi, natoe fiorito nella seconda meta del ventesimo secolo, in contrapposizione ad un approccio “classico”mediantefunzioni di trasferimento formulate nel dominio di Laplace, fiorito nella prima meta dello stesso secolo.

I due approcci sono quasi perfettamente analoghi in quanto a contenuti, ma presentano vantaggi esvantaggi diversi, che li rendono complementari. La conoscenza di entrambi gli approcci e la capacita diutilizzare il piu vantaggioso a seconda dell’ambito di applicazione e delle esigenze di analisi costituisconoimportanti strumenti.

Le implicazioni relative all’opportunita di utilizzare o meno la formulazione agli stati vengono lasciatead altri corsi per i quali l’argomento e centrale1. In questo capitolo si vogliono soprattutto presentare letecniche per descrivere problemi tipici della dinamica dei sistemi aerospaziali mediante tale formalismo.

I paragrafi da 14.1 a 14.3 sono da intendersi come un ripasso di teoria dei sistemi nei domini deltempo e di Laplace.

14.1 Rappresentazione agli stati nel dominio del tempo

Dalla teoria dei sistemi e noto che la soluzione ad un problema di questo tipo e data dalla combinazionelineare di una soluzione dipendente dalle condizioni iniziali x0, in assenza di forzamento (u = 0),

1Si rammenta che la formulazione agli stati di sistemi dinamici e stata discussa nell’ambito del corso di Fondamenti diAutomatica, al quale si rimanda per approfondimenti e rigore delle formalizzazioni.

14-1

e da una dipendente dall’ingresso u (u = u(t) 6= 0). La prima va sotto il nome di integralegenerale, mentre la seconda va sotto il nome di integrale particolare.

14.1.1 Integrale generale

La soluzione dell’integrale generale ha la forma

xg = e[A](t−t0) x0 . (14.2)

Si ricorda che la funzione esponenziale di matrice e definita come

e[A](t−t0) =

∞∑

k=0

1

k![A]

k(t− t0)

k. (14.3)

E immediato verificare che

d

dte[A](t−t0) =

d

dt

(∞∑

k=0

1

k![A]

k(t− t0)

k

)

=

∞∑

k=0

k

k![A]

k(t− t0)

k−1

= [A]

∞∑

k=0

1

(k − 1)![A]

k−1(t− t0)

k−1

= [A] e[A](t−t0)

= e[A](t−t0) [A] , (14.4)

da cui risulta che la (14.2) soddisfa la (14.1a) per u = 0.La soluzione dell’integrale generale tende ad annullarsi se il sistema descritto dalla matrice [A] e

asintoticamente stabile2. Questo si verifica quando gli autovalori λi della matrice, in generale reali ocomplessi coniugati in quanto la matrice e reale, hanno parte reale negativa.

Esponenziale di matrice

La (14.3) rappresenta la definizione di esponenziale di matrice. Tuttavia, la definizione come serienon rappresenta uno strumento pratico per il suo calcolo (si veda [4] per una discussione completasull’argomento).

Se invece, qualora sia possibile, si opera una decomposizione spettrale della matrice [A], si ottiene

[A] = [V ] [diag (λ)] [V ]−1, (14.5)

ove [diag (λ)] e una matrice diagonale contenente gli autovalori λi della matrice [A], mentre la matrice[V ] contiene i rispettivi autovettori, vi.

La (14.3) diventa cosı

e[A](t−t0) =

∞∑

k=0

1

k!

(

[V ] [diag (λ)] [V ]−1)k

(t− t0)k

= [V ]

∞∑

k=0

1

k!([diag (λ)] (t− t0))

k[V ]

−1

= [V ][

diag(

eλ(t−t0))]

[V ]−1. (14.6)

2Si ricorda che a rigore la stabilita puo essere valutata per le singole soluzioni, e non per i sistemi. Fanno eccezione, tragli altri, i sistemi lineari tempoinvarianti.

14-2

14.1.2 Integrale particolare

La soluzione dell’integrale particolare e data dall’integrale di convoluzione tra l’ingresso u (t) e lasoluzione e[A]t, ovvero

xp (t− t0) =

∫ t

t0

e[A](t−τ) [B] u (τ) dτ . (14.7)

Esercizio 14.1 Si verifichi la proprieta commutativa della convoluzione, tale per cui

∫ t

0

e[A](t−τ) [B] u (τ) dτ =

∫ t

0

e[A]τ [B] u (t− τ) dτ . (14.8)

Suggerimento: si operi il cambio di variabile η = t− τ .

Anche in questo caso, ricordando l’espressione della derivata dell’integrale

d

dt

∫ b(t)

a(t)

f (t− τ) dτ =

∫ b(t)

a(t)

d

dtf (t− τ) dτ + f (b(t))

d

dtb(t)− f (a(t))

d

dta(t), (14.9)

e immediato verificare che

d

dtxp (t− t0) =

∫ t

t0

[A] e[A](t−τ) [B] u (τ) dτ + [B] u (t) . (14.10)

Siccome [A] e costante e quindi puo essere portata fuori dal segno di integrale, l’ultima espressionecorrisponde alla (14.1a).

Ricordando la (12.58), e supponendo per semplicita che il sistema abbia un solo ingresso u e chequindi la matrice [B] sia formata da una sola colonna, la risposta ad un ingresso sotto forma di Delta diDirac u(t) = δ(t− t0) e

x (t− t0) =

∫ t

t0

e[A](t−τ) [B] δ (τ) dτ = e[A](t−t0) [B] . (14.11)

Quindi la funzione e[A](t−t0) [B] rappresenta la risposta impulsiva del sistema in termini di stato. Nel mo-mento in cui, anziche soltanto lo stato x, si considera anche la relazione di uscita y data dalla (14.1b),si ottiene la funzione

h (t− t0) = [C] e[A](t−t0) [B] + [D] δ (t− t0) , (14.12)

che rappresenta la risposta impulsiva del sistema.

14.2 Rappresentazione agli stati nel dominio di Laplace

La rappresentazione agli stati assume forme particolarmente significative quando viene valutata neldominio di Laplace:

s x = [A] x+ [B] u (14.13a)

y = [C] x+ [D] u , (14.13b)

ove si sono supposte per semplicita condizioni iniziali nulle. La soluzione del problema forzato diventa

y =(

[C] (s [I]− [A])−1

[B] + [D])

u . (14.14)

14-3

14.3 Realizzazione agli stati di una funzione di trasferimento

Una generica funzione di trasferimento razionale strettamente propria, caratterizzante un semplice sis-tema a singolo ingresso e singola uscita (Single-Input Single-Output, SISO), esprimibile come

n∑

i=0

aiy(n−i) =

n∑

i=1

biu(n−i), (14.15)

con a0 = 1, puo essere realizzata agli stati in varie forme. Con y(i) si indica la derivata di ordine i dellafunzione y. La sua rappresentazione nel dominio di Laplace e

y =

∑ni=1 bis

n−i

∑ni=0 ais

n−iu, (14.16)

oppure

y =

∑ni=1 bis

n−i

sn +∑ni=1 ais

n−iu (14.17)

per sottolineare che a0 = 1 per definizione.

Esercizio 14.2 Si mostri come una funzione di trasferimento non strettamente propria possa essereespressa come somma di una funzione strettamente propria e di un termine di trasmissione diretta.

Il motivo per cui una funzione e realizzabile in molteplici forme e legato alla constatazione che larealizzazione agli stati richiede piu coefficienti (n2 per [A], n sia per [B] che per [C], per un totale din2 + 2n) di quanti presenti nella forma razionale di Eq. (14.15), ovvero al piu 2n.

Questa semplice considerazione sottintende un’altra considerazione: la forma razionale non contieneeventuali cancellazioni tra poli e zeri coincidenti, ne eventuali dinamiche nascoste, ovvero non raggiungi-bili o non osservabili. Quindi la forma agli stati consente di considerare nei modelli anche quegli aspettiche non contribuiscono direttamente alla relazione ingresso-uscita, ma possono essere presenti nella fisicadi un problema, con conseguenze potenzialmente non trascurabili sul suo comportamento dinamico.

Quanto detto vale anche per sistemi a ingresso multiplo e a uscita multipla (Multi-Input Multi-Output, MIMO), a patto di considerare le ai come matrici quadrate di ordine ny × ny, e le bi comematrici rettangolari di ordine ny × nu. In questo caso, si avrebbe

n∑

i=0

[ai]

y(n−i)

=

n∑

i=1

[bi]

u(n−i)

, (14.18)

con [a0] = [I], e

y =

(n∑

i=0

[ai] sn−i

)−1( n∑

i=1

[bi] sn−i

)

u . (14.19)

14.3.1 Invarianza di una rappresentazione agli stati

Una rappresentazione agli stati e invariante rispetto ad una trasformazione degli stati che sia invertibile.Data una trasformazione

x = [T ] x′ (14.20)

invertibile, tale per cui

x′ = [T ]−1 x , (14.21)

14-4

il sistema (14.1) diventa

x′ = [T ]−1

[A] [T ] x′+ [T ]−1

[B] u (14.22a)

y = [C] [T ] x′+ [D] u . (14.22b)

Si consideri ora, in analogia con la (14.14), la rappresentazione nel dominio di Laplace della (14.22),

y =

(

[C] [T ](

s [I]− [T ]−1

[A] [T ])−1

[T ]−1

[B] + [D]

)

u

=

(

[C] [T ](

s [T ]−1

[T ]− [T ]−1

[A] [T ])−1

[T ]−1

[B] + [D]

)

u

=

(

[C] [T ](

[T ]−1

(s [I]− [A]) [T ])−1

[T ]−1

[B] + [D]

)

u

=(

[C] [T ] [T ]−1

(s [I]− [A])−1

[T ] [T ]−1

[B] + [D])

u

=(

[C] (s [I]− [A])−1

[B] + [D])

u . (14.23)

La (14.23) e identica alla (14.14), quindi una trasformazione invertibile dello stato non cambia la relazionetra ingresso e uscita.

14.3.2 Raggiungibilita ed osservabilita

Definizione di raggiungibilita:

Un sistema, per essere raggiungibile, deve consentire di portare, in un tempo finito arbi-trario, il suo stato x dal valore iniziale x0 ad un qualsiasi valore desiderato, attraversoun’opportuna scelta degli ingressi u tra l’istante iniziale e quello finale.

Spesso la raggiungibilita e denominata controllabilita. Definizione di osservabilita:

Perche un sistema sia osservabile, il moto di ogni suo stato, a partire da un qualunque valoreiniziale x0, deve poter essere rilevato in un tempo finito attraverso le uscite y, in assenzadi forzamento u.

Le nozioni di raggiungibilita e osservabilita sono generali3, ovvero si applicano a sistemi lineari anchetempovarianti o, in caso di sistemi non lineari, si applicano alla loro linearizzazione attorno ad unasoluzione di riferimento.

Per i sistemi lineari tempo-invarianti, esistono criteri di verifica particolarmente semplici. Si definis-cono le matrici di raggiungibilita

[Kr] =[

[B] , [A] [B] , [A]2[B] , . . . [A]

n−1[B]

](14.24)

e osservabilita

[Ko] =

[

[C]T, [A]

T[C]

T,(

[A]T)2

[C]T, . . .

(

[A]T)n−1

[C]T

]

, (14.25)

con n pari al numero degli stati. Il sistema si dice raggiungibile se la matrice [Kr] ha rango pieno, e sidice osservabile se la matrice [Ko] ha rango pieno.

Si noti che, se il sistema ha nu ingressi e ny uscite, le matrici [Kr] e [Ko] hanno ordine rispettivamenten × (n · nu) e n × (n · ny). Ne consegue che il loro rango non puo essere maggiore di n, la dimensionepiu piccola. Tuttavia, e possibile che abbiano rango inferiore a n, nel qual caso il sistema sarebberispettivamente non raggiungibile o non osservabile.

3Esistono anche definizioni meno stringenti, che vengono riportate per completezza. Si parla di stabilizzabilita quandoun sistema e raggiungibile, oppure i suoi stati non raggiungibili sono asintoticamente stabili. Si parla di rilevabilita (ininglese detectability) quando un sistema e osservabile, oppure i suoi stati non osservabili sono asintoticamente stabili.

14-5

14.3.3 Verifica intuitiva del criterio di osservabilita

La definizione di osservabilita dice che qualunque sia lo stato iniziale x0, deve poter essere rilevatoattraverso le uscite y in un tempo finito, in assenza di forzamento u. Questo significa che l’uscitadovuta all’integrale generale,

y = [C] e[A]t x0 , (14.26)

deve essere non-nulla qualunque sia x0.Se esiste un vettore x0 = z tale per cui la (14.26) e identicamente nulla, ovvero

[C] e[A]t z ≡ 0 , ∀ z 6= 0 , (14.27)

allora anche tutte le derivate di y devono essere identicamente nulle. Ne consegue che

y = [C] [A] e[A]t z = 0 (14.28a)

y = [C] [A]2e[A]t z = 0 (14.28b)

...

y(n−1)

= [C] [A]n−1

e[A]t z = 0 . (14.28c)

Perche questo sia vero qualunque sia t, compreso t = 0, il vettore z deve essere ortogonale a tutte le

matrici [C] [A]k, con k = 0, n− 1. Ma questo e possibile solo se la matrice [Ko] ha rango minore di n.

Un ragionamento analogo puo essere svolto per il criterio di raggiungibilita. Si puo anche notare chedato un sistema

xo = [Ao] xo+ [Bo] uo (14.29a)

yo = [Co] xo (14.29b)

che sia osservabile, ovvero tale per cui [Ko] abbia rango pieno, si ottiene un sistema

xr = [Ar] xr+ [Br] ur (14.30a)

yr = [Cr] xr (14.30b)

sicuramente raggiungibile ponendo [Ar] = [Ao]T , [Br] = [Co]

T , [Cr] = [Co]T , dal momento che la matrice

di raggiungibilita [Kr] di quest’ultimo sistema e strutturalmente identica alla matrice di osservabilita delproblema precedente.

14.4 Rappresentazione agli stati di problemi meccanici

La rappresentazione agli stati di problemi meccanici richiede di esprimere l’equazione

[M ] z+ [R] z+ [K] z = f (14.31)

mediante la quadrupla di matrici [A], [B], [C], [D].

14.4.1 Oscillatore armonico smorzato

Si consideri il caso di un oscillatore armonico smorzato, oggetto principale di studio del capitolo 5. Il suomoto e descritto dall’equazione

mz + rz + kz = f. (14.32)

14-6

La realizzazione agli stati piu intuitiva consiste nel definire w = z e quindi

x =

wz

(14.33a)

u = f (14.33b)

[A] =

[−r/m −k/m

1 0

]

(14.33c)

[B] =

[1/m0

]

(14.33d)

[C] =[0 1

]. (14.33e)

Si considerino gli autovalori del sistema, radici del polinomio caratteristico

det (λ [I]− [A]) = λ2 + λr/m+ k/m = 0. (14.34)

Essi sono

λ = − r

2m±√( r

2m

)2

− k

m. (14.35)

Il polinomio caratteristico e ovviamente identico a quello che si ottiene considerando direttamentel’equazione di secondo grado originaria.

Per questo sistema il problema dell’osservabilita e della raggiungibilita non si pone, in quanto sappi-amo dalla fisica che si tratta di un sistema in realta ad un solo grado di liberta, quindi un forzamentoapplicato al grado di liberta non puo non eccitarlo, e la misura scelta e direttamente il grado di libertastesso. E tuttavia interessante verificare il calcolo delle matrici di raggiungibilita e osservabilita; si ottiene

[Kr] =

[1/m −r/m2

0 1/m

]

(14.36a)

[Ko] =

[0 11 0

]

, (14.36b)

e quindi il sistema e raggiungibile e osservabile (anche in assenza di smorzamento, per r = 0, e addiritturaanche in assenza della molla, per k = 0).

14.4.2 Forma canonica di controllabilita

Tra le infinite realizzazioni possibili, un caso importante e rappresentato dalla forma canonica di con-trollabilita, o forma canonica di raggiungibilita,

x1x2x3. . .xn

=

−a1 −a2 −a3 . . . −an1 0 0 00 1 0 0...

. . ....

0 0 0 . . . 0

x1x2x3...xn

+

100...0

u (14.37a)

y =[b1 b2 b3 . . . bn

]

x1x2x3...xn

. (14.37b)

Il nome esprime il fatto che la matrice di raggiungibilita e intrinsecamente triangolare superiore, con icoefficienti diagonali unitari, e quindi la raggiungibilita e strutturalmente garantita indipendentementedai coefficienti della funzione originaria.

Esercizio 14.3 Si scriva la matrice di raggiungibilita [Kr] della forma canonica di raggiungibilita.

14-7

Bilanciamento. E opportuno ricordare che spesso le matrici che si ottengono mediante canoniciz-zazione sono mal condizionate. Puo essere vantaggioso scalarle mediante algoritmi di bilanciamento chescalano gli stati e l’ingresso in modo da migliorare il condizionamento sia per quanto riguarda la fattor-izzazione della matrice [A] che l’estrazione dei suoi autovalori. Si vedano ad esempio le funzioni balancedi Matlab e Octave, e le funzioni dgebal e dggbal di LAPACK.

Il bilanciamento consiste nel calcolare una matrice di trasformazione [T ] che consenta di esprimeregli stati x come

x = [T ] x . (14.38)

A questo punto, il problema diventa

˙x

= [T ]−1

[A] [T ] x+ [T ]−1

[B] u (14.39a)

y = [C] [T ] x+ [D] u . (14.39b)

La scalatura [T ] viene scelta in modo che la matrice bilanciata [T ]−1

[A] [T ] abbia la norma di righe ecolonne dello stesso ordine di grandezza.

Ad esempio, si consideri la matrice [A] associata ad un oscillatore armonico non smorzato di frequenzacaratteristica pari a ω0 = 10 radianti/s, realizzato in forma canonica di raggiungibilita, ovvero

octave:1> A = [0 -100; 1 0]

A =

0 -100

1 0

octave:2> [T, AA] = balance(A)

T =

8 0

0 1

AA =

0.00000 -12.50000

8.00000 0.00000

Anche per un problema cosı semplice una scalatura e opportuna. Essa consiste nel dividere il primo statoper 8. Per ragioni di efficienza, la funzione balance effettua la scalatura utilizzando potenze di 2.

Oscillatore armonico smorzato

Si consideri il problema descritto dall’equazione (14.32). La sua realizzazione in forma canonica dicontrollabilita e molto simile a quella presentata nelle (14.33), ottenuta in modo del tutto intuitivo.

Si riscriva infatti tale equazione nella forma

z +r

mz +

k

mz = 0 f +

1

mf

↑ ↑ ↑ ↑ ↑1 a1 a2 b1 b2

. (14.40)

14-8

In base alle (14.37) ne risultano le matrici

u = f (14.41a)

[A] =

[−r/m −k/m

1 0

]

(14.41b)

[B] =

[10

]

(14.41c)

[C] =[0 1/m

]. (14.41d)

La differenza principale rispetto alla scrittura intuitiva delle (14.33) sta nel fatto che ora la divisioneper m compare nella matrice [C] anziche nella [B]. Di conseguenza gli stati non assumono il significatodi posizione e velocita, ma di integrale della quantita di moto e quantita di moto. Data la specificitadi questo caso, per cui il coefficiente b1 e sempre zero, nulla vieta di considerare la forma presentatanelle (14.33).

Generico sistema meccanico

Si ottiene il risultato desiderato con una minima rielaborazione4 della forma canonica di controllabilita,ovvero

u = f (14.43a)

[A] =

[

− [M ]−1

[R] − [M ]−1

[K][I] [0]

]

(14.43b)

[B] =

[

[M ]−1

[0]

]

(14.43c)

[C] =[[0] [I]

]. (14.43d)

Si noti che e richiesta l’inversione della matrice di massa del problema. Tale operazione puo essere onerosaper problemi di grandi dimensioni. In tali casi, dal momento che il problema puo essere formulato inmodo che la matrice di massa sia simmetrica definita positiva, puo essere opportuno riformulare laformalizzazione agli stati considerando prima una decomposizione di Cholesky della matrice, tale per cui

[M ] = [L] [L]T, (14.44)

ove [L] sia una matrice triangolare inferiore. Si ponga poi w = [L]T z. A questo punto, il problema

di equazione (14.31) puo essere riformulato come

[L] [L]T z+ [R] [L]

−T[L]

T z+ [K] [L]−T

[L]T z = f

[L] w+ [R] [L]−T w+ [K] [L]

−T w = fw+ [L]

−1[R] [L]

−T w+ [L]−1

[K] [L]−T w = [L]

−1 f . (14.45)

4Una realizzazione secondo la forma canonica avrebbe la matrice [A] data dalla (14.43b), mentre le matrici [B] e [C]sarebbero

[B] =

[

[I][0]

]

[C] =[

[0] [M ]−1]

. (14.42)

Anche in questo caso gli stati perderebbero il significato fisico di spostamenti e velocita; per questo motivo puo esserepreferibile utilizzare la forma modificata.

14-9

Le matrici [L]−1

[R] [L]−T

e [L]−1

[K] [L]−T

sono simmetriche per costruzione se anche le matrici [R] e[K] lo sono. La rappresentazione agli stati diventa

u = f (14.46a)

[A] =

[

− [L]−1

[R] [L]−T − [L]

−1[K] [L]

−T

[I] [0]

]

(14.46b)

[B] =

[

[L]−1

[0]

]

(14.46c)

[C] =[

[0] [L]−T

]

. (14.46d)

14.4.3 Forma canonica di osservabilita

Un altro caso importante e rappresentato dalla forma canonica di osservabilita,

x1x2x3. . .xn

=

−a1 1 0 . . . 0−a2 0 1 0−a3 0 0 0...

. . ....

−an 0 0 . . . 0

x1x2x3...xn

+

b1b2b3...bn

u (14.47a)

y =[1 0 0 . . . 0

]

x1x2x3...xn

. (14.47b)

Il nome esprime il fatto che la matrice di osservabilita e intrinsecamente triangolare superiore, con icoefficienti diagonali unitari, e quindi l’osservabilita e strutturalmente garantita indipendentemente daicoefficienti della funzione originaria.

Esercizio 14.4 Si scriva la matrice di osservabilita [Ko] della forma canonica di osservabilita.

Oscillatore armonico smorzato

Si consideri il problema descritto dall’equazione (14.32). Ricordando la (14.40), la sua realizzazione informa canonica di osservabilita e

u = f (14.48a)

[A] =

[−r/m 1−k/m 0

]

(14.48b)

[B] =

[0

1/m

]

(14.48c)

[C] =[1 0

](14.48d)

Anche questa forma puo essere ottenuta in modo relativamente intuitivo, definendo

mw = mz + rz (14.49)

e quindi

mw + kz = f. (14.50)

14-10

Le matrici di raggiungibilita e osservabilita sono

[Kr] =

[0 1/m

1/m 0

]

(14.51a)

[Ko] =

[1 −r/m0 1

]

, (14.51b)

a conferma che il problema e strutturalmente osservabile e, nel caso specifico, raggiungibile.

14.5 Risposta a forzanti specifiche

14.5.1 Risposta impulsiva

In aggiunta a quanto gia illustrato nella sezione 12.4 si consideri un generico sistema, rappresentato aglistati, in cui, senza ledere la generalita, sia presente un solo ingresso u(t) impulsivo u(t) = f1δ(t− t1). Lasoluzione generale data dalla (14.7), con t1 > t0, diventa

xp(t− t0) =

∫ t

t0

e[A](t−τ) [B] f1δ(τ − t1) dτ = step(t− t1)e[A](t−t1) [B] f1, (14.52)

che, come gia notato nella sezione 12.4, corrisponde all’integrale generale dato dalla (14.2) in cui lecondizioni iniziali siano x0 = [B]f1.

Esercizio 14.5 A partire dalla (14.52) si valuti la risposta del sistema meccanico descritto da mx+rx+kx = f0δ(t− t1) con condizioni iniziali x(t0) = 0 e x(t0) = 0, con t1 > t0.

14.5.2 Risposta a scalino

Si consideri una forzante a scalino, ovvero una forza che ha valore nullo per t < t1 e valore costante paria f0 per t > t1, senza che occorra specificarne il valore al tempo t1. Si consideri un generico sistema,rappresentato agli stati, in cui, senza ledere la generalita, sia presente un solo ingresso u(t) a scalino divalore f0 al tempo t1. La soluzione generale data dalla (14.7), con t1 > t0, diventa

xp(t− t0) =

∫ t

t0

e[A](t−τ) [B] f0step(τ − t1) dτ = step(t− t1)

∫ t

t1

e[A](t−τ) dτ [B] f0, (14.53)

ove la funzione step(t− t1) e stata introdotta per imporre che la soluzione sia considerata solo per t ≥ t1,mentre per t < t1 la soluzione e nulla per causalita5. Si consideri il cambio di variabile τ = η+ t, per cuidτ = dη; si ottiene

xp(t− t0) = step(t− t1)

∫ 0

t1−t

e−[A]η dη [B] f0 = −step(t− t1)(

[A]−1

e−[A]η)∣∣∣

0

t1−t[B] f0

= −step(t− t1) [A]−1(

[I]− e[A](t−t1))

[B] f0. (14.54)

Perche la risposta sia definita occorre che [A] non sia singolare. Se gli autovalori della matrice [A] hannoparte reale negativa, per t→ ∞ si ottiene la soluzione statica

limt→∞

xp(t− t0) = − [A]−1

[B] f0, (14.55)

data direttamente dalla (14.1a) per u costante a transitorio esaurito, ovvero per x = 0. L’uscitaa transitorio esaurito e quindi

y = − [C] [A]−1

[B] + [D] . (14.56)

Esercizio 14.6 A partire dalla (14.54) si valuti la risposta del sistema meccanico descritto da mx+rx+kx = f0step(t− t1) con condizioni iniziali x(t0) = 0 e x(t0) = 0, con t1 > t0.

5Siccome per t < t1 l’ingresso e nullo, anche l’uscita deve essere nulla.

14-11

14.6 Approssimazioni

In questo paragrafo sono presentate le definizioni di alcune forme di approssimazione di sistemi dinamicila cui applicazione puo essere utile nel caso in cui siano valide opportune ipotesi, in base alle quali ladinamica del sistema, o una sua porzione, siano trascurabili ai fini dell’analisi che si intende effettuare.

Alcune definizioni saranno fornite in modo intuitivo, sia perche la loro formalizzazione richiede stru-menti relativamente sofisticati che non e opportuno introdurre in questo contesto, sia perche spesso lascelta di quando utilizzare un’approssimazione e quanto spingerla sono soggettive e spesso basate suconsiderazioni empiriche.

14.6.1 Approssimazione statica

Si ha un’approssimazione cosiddetta statica (o stazionaria) quando la dinamica del sistema viene in-teramente trascurata. Si consideri la soluzione a regime, ovvero a transitorio esaurito, di un sistemadinamico asintoticamente stabile, soggetto ad un ingresso costante u (t) = u0. Questo significa chela soluzione e costituita dal solo integrale particolare, dal momento che l’integrale generale in caso distabilita asintotica si annulla a condizione di lasciar trascorrere un tempo sufficientemente lungo.

In caso di ingresso costante, l’integrale particolare e dato da una soluzione costante; ovvero, posto

0 = [A] x+ [B] u0 , (14.57)

si ricava x che, sostituito nella relazione di uscita, da

y = − [C] [A]−1

[B] u0 . (14.58)

Si noti che la matrice [A] deve essere invertibile; questa condizione e verificata in caso di stabilitaasintotica, perche in tale caso tutti gli autovalori di [A] devono avere parte reale negativa, e quindi sonodiversi da zero6.

Si ipotizzi ora un processo in cui l’ingresso u non e piu costante, ma varia lentamente. Se lavariazione e sufficientemente lenta e regolare, si puo pensare di suddividerla in tratti costanti, raccordatida scalini. In tale caso, la risposta sara data da sequenze di integrali particolari costanti, analoghi a quelloappena determinato, raccordati da integrali generali che tengono conto della variazione improvvisa dicondizioni al contorno.

Se il tempo necessario perche l’integrale generale si annulli e piccolo rispetto alla durata del singolotratto in cui e stato discretizzato l’ingresso, allora si puo ridurre la lunghezza dei tratti, affinando la dis-cretizzazione. Se l’ingresso e sufficientemente regolare, questo comporta salti piu piccoli nelle condizionial contorno, e cosı via, fino a rendere di nuovo continuo l’ingresso.

Ne risulta, in modo intuitivo, che la regolarita dell’ingresso fornisce un termine di paragone da con-frontare con la rapidita di annullamento dell’integrale generale. Se l’ingresso e sufficientemente regolare,la dinamica del sistema non viene eccitata, e quindi e sufficiente considerare un’approssimazione staticadel sistema stesso,

y (t) s= − [C] [A]

−1[B] u (t) , (14.59)

dove cons= si e indicata una uguaglianza non in senso stretto, ma mediante approssimazione stazionaria.

Approssimazione statica: interpretazione nel dominio di Laplace

Se si considera la trasformata di Laplace della rappresentazione agli stati, l’approssimazione staticaconsiste nel valutare l’uscita per s = 0. Dalla (14.14) si ottiene

y (s)s=0 = − [C] [A]−1

[B] u (s) (14.60)

che, antitrasformata di nuovo nel dominio del tempo, da la (14.59).

6Si ricordi che una matrice e invertibile quando il suo determinante non e nullo, e il determinante di una matrice e parial prodotto di tutti i suoi autovalori.

14-12

Approssimazione stazionaria con ingresso instazionario

In alcuni contesti, il fatto che l’ingresso u (t) dipenda dal tempo porta a chiamare impropriamentequasi-stazionaria l’approssimazione stazionaria appena descritta. Questo non e corretto, perche lanon-stazionarieta, ovvero la variabilita nel tempo, e solo dell’ingresso. La dinamica del sistema vieneinteramente trascurata.

Si consideri per esempio un sistema dinamico molto semplice, costituito dalle forze aerodinamichestazionarie,

F =1

2ρv2SCf (α) , (14.61)

la cui dipendenza dall’angolo di incidenza α e confinata nel generico coefficiente Cf , che puo esserescomposto in Cl e in Cd proiettando la forza in direzione rispettivamente perpendicolare e parallela allavelocita relativa ~v, di cui v e il modulo. Il modello di forze aerodinamiche descritto dal coefficiente Cfe puramente stazionario, in quanto non dipende dalla storia di α ma solo dal suo valore istantaneo,nell’ipotesi che ogni transitorio si sia esaurito.

Se ad esempio la velocita relativa ~v e combinazione di un vento asintotico v∞ in una direzione fissata,e di un movimento del corpo, h, perpendicolare al vento relativo, l’angolo di incidenza istantaneo e

α = θ − tan−1

(

h

v∞

)

, (14.62)

dove θ rappresenta l’orientazione del corpo rispetto alla direzione del vento relativo.Se si considera l’angolo di incidenza dato dalla (14.62) nel modello di forze aerodinamiche dato dal-

la (14.61) si compie una forzatura, in quanto la (14.61) e un modello stazionario delle forze aerodinamiche,mentre α puo variare nel tempo (per via del termine h, nel caso di moto vario), e quindi viola l’ipotesidi stazionarieta.

L’approssimazione puo divenire accettabile se la variazione di α e sufficientemente lenta da consentiredi trascurare il transitorio della dinamica delle forze aerodinamiche che causerebbe. Il modello delle forzerimane tuttavia puramente stazionario, nonostante l’ingresso instazionario.

14.6.2 Approssimazione quasi-stazionaria

L’approssimazione quasi-stazionaria consiste nell’approssimare la convoluzione con la funzione esponen-ziale della (14.7) mediante uno sviluppo in serie di Taylor, arrestato all’ordine desiderato, nell’ipotesi chei transitori siano sufficentemente veloci da poter essere trascurati.

In alternativa, si consideri la (14.1a). La sua derivata da

x = [A] x+ [B] u , (14.63)

nell’ipotesi che l’ingresso sia sufficientemente regolare da poter essere derivato, e che la sua derivata sianota. E possibile sostituire la (14.1a) nella (14.63), da cui si ottiene

x = [A] ([A] x+ [B] u) + [B] u . (14.64)

In analogia con il caso dell’approssimazione statica, nell’ipotesi che l’ingresso e la sua derivata sianosufficientemente regolari rispetto al tempo necessario per annullare l’integrale generale, si trascuri laderivata seconda dello stato, x. Si ottiene

y (t) qs1= − [C] [A]

−1[B] u (t) − [C] [A]

−2[B] u (t) , (14.65)

che rappresenta un’approssimazione quasi-stazionaria del primo ordine. In analogia con l’uguaglianza

mediante approssimazione stazionaria, indicata cons=, con

qs1= si vuole indicare una uguaglianza mediante

approssimazione quasi-stazionaria del primo ordine.

Esercizio 14.7 Si verifichi come, scrivendo la convoluzione nella forma dell’esercizio 14.1 con la forzanteu(t − τ) sviluppata in serie di Taylor rispetto a t, l’integrazione della forma risultante consenta diriottenere la (14.65).

14-13

L’operazione puo essere ripetuta arrestandosi ad ordini piu elevati. Ad esempio, se si deriva ulterior-mente la (14.63) e si eseguono le opportune sostituzioni, si ottiene

y (t) qs2= − [C] [A]

−1[B] u (t) − [C] [A]

−2[B] u (t) − [C] [A]

−3[B] u (t) , (14.66)

che rappresenta un’approssimazione quasi-stazionaria del second’ordine.

In generale, la sequenza di derivazioni puo essere continuata a piacere. Tuttavia, al crescere del-l’ordine, sono richieste via via derivate di ordine superiore dell’ingresso, la cui disponibilita puo essereproblematica, oltre a non avere un chiaro significato fisico.

Si noti come in questo caso la dinamica del sistema venga in parte recuperata mediante la dinamicadell’ingresso (le sue derivate), attraverso opportune matrici − [C] [A]

−n[B] fra loro indipendenti.

Approssimazione quasi-stazionaria: interpretazione nel dominio di Laplace

Se si considera la trasformata di Laplace della rappresentazione agli stati, l’approssimazione quasi-stazionaria consiste nel valutare lo sviluppo in serie di Taylor della funzione di trasferimento, arrestatoall’ordine dell’approssimazione, per s = 0.

Si ricorda che la derivata dell’inversa di una matrice [M ] rispetto ad un generico parametro scalare se data dalla relazione

d

ds

(

[M ]−1)

= − [M ]−1

(d

ds[M ]

)

[M ]−1. (14.67)

Esercizio 14.8 Si verifichi la relazione (14.67).

Da questa relazione, con alcune manipolazioni, si ricava

dj

dsj

(

[C] (s [I]− [A])−1

[B])

= j! (−1)j[C] (s [I]− [A])

−j−1[B] . (14.68)

Lo sviluppo in serie di Taylor della (14.14) attorno a s = 0 da quindi

y (s) ∼=(

− [C] [A]−1

[B]− s [C] [A]−2

[B]− . . .− sk [C] [A]−k−1

[B])

u (s) (14.69)

Questa puo essere riscritta come

y (s) ∼= − [C] [A]−1

[B] u (s) − [C] [A]−2

[B] s u (s) − . . .− [C] [A]−k−1

[B] sk u (s) , (14.70)

ove si e messa in evidenza, mediante moltiplicazione per sj , la derivazione dell’ingresso. Questa relazione,antitrasformata di nuovo nel dominio del tempo, da

y (t) qs-k= −

∑

j=0,k

[C] [A]−j−1

[B]

u(j) (t)

, (14.71)

ovvero la formula dell’approssimazione quasi-stazionaria dedotta in precedenza, compresa l’approssi-mazione stazionaria intesa come approssimazione quasi-stazionaria di ordine 0. Con u(j)(t) si indicala derivata j-esima dell’ingresso.

Esempio: oscillatore armonico

Si consideri il caso dell’oscillatore armonico in forma canonica di osservabilita dato dalle (14.48). Sisupponga che il forzamento avvenga mediante cedimento imposto v della base, ovvero che f = kv + rv.Si noti che, per r 6= 0, occorre conoscere a priori la derivata prima del moto della base.

14-14

Oscillatore armonico non smorzato. Si consideri innanzitutto il caso non smorzato, ovvero conr = 0. L’approssimazione stazionaria e data da

zs= −

[1 0

][

0 1−k/m 0

]−1 [0

1/m

]

kv = v. (14.72)

L’approssimazione stazionaria non puo che consistere in uno spostamento del corpo identico a quello delvincolo, in assenza di forze dinamiche che lo contrastino.

L’errore commesso puo essere agevolmente valutato rispetto alla frequenza della forzante considerandoche la risposta a forzante armonica di questo sistema e

z (jΩ) =1

1− Ω2/ω20

v (jΩ) , (14.73)

ove ω0 =√

k/m. Se ne deduce che l’approssimazione stazionaria corrisponde a trascurare il contributodelle forze d’inerzia, cosa lecita fintanto che 0 ≤ Ω ≪ ω0.

Si consideri ora un’approssimazione quasi-stazionaria del primo ordine. Si ottiene

zqs1= v −

[1 0

][

0 1−k/m 0

]−2 [0

1/m

]

kv = v. (14.74)

L’aggiunta di un termine del primo ordine non comporta alcun cambiamento nell’approssimazione. Cioe in qualche misura atteso, perche non vi sono contributi del primo ordine alla dinamica del sistema.

Si consideri infine un’approssimazione quasi-stazionaria del secondo ordine. Si ottiene

zqs2= v −

[1 0

][

0 1−k/m 0

]−3 [0

1/m

]

kv = v − v/ω20 . (14.75)

In frequenza, questa approssimazione diventa

z (jΩ) =(1 + Ω2/ω2

0

)v (jΩ) . (14.76)

Il miglioramento che introduce rispetto alle precedenti puo essere valutato considerando che la (14.73)puo essere riscritta come

z (jΩ) =

(

1 +Ω2/ω2

0

1− Ω2/ω20

)

v (jΩ) , (14.77)

che mette in luce come compaia un termine del secondo ordine in Ω. L’approssimazione quasi-stazionariadel second’ordine tende alla (14.77) per 0 ≤ Ω ≪ ω0.

Oscillatore armonico smorzato. In questo caso, l’approssimazione stazionaria e data da

zs= −

[1 0

][

−r/m 1−k/m 0

]−1 [0

1/m

]

(kv + rv) = v +r

kv. (14.78)

In frequenza, questo corrisponde a

z (jΩ) = (1 + 2jξΩ/ω0) v (jΩ) . (14.79)

L’errore commesso puo essere agevolmente valutato rispetto alla frequenza della forzante considerandoche la risposta a forzante armonica di questo sistema e

z (jΩ) =1 + 2jξΩ/ω0

1− Ω2/ω20 + 2jξΩ/ω0

v (jΩ) , (14.80)

14-15

ove ω0 =√

k/m e ξ = r/(2√km). Se ne deduce che l’approssimazione stazionaria corrisponde non

solo a trascurare il contributo delle forze d’inerzia, cosa lecita fintanto che 0 ≤ Ω ≪ ω0, ma anche asopravvalutare il contributo delle forze viscose, dal momento che, se Ω2/ω2

0 e trascurabile, allora la (14.80)si riduce all’unita, mentre l’approssimazione stazionaria da una risposta complessa e quindi sfasata.

Si consideri ora un’approssimazione quasi-stazionaria del primo ordine. Si ottiene

zqs1= v +

r

kv −

[1 0

][

−r/m 1−k/m 0

]−2 [0

1/m

]

(kv + rv) = v − r2

k2v. (14.81)

In frequenza, questo diventa

z (jΩ) =(1 + 4ξ2Ω2/ω2

0

)v (jΩ) . (14.82)

L’errore rispetto all’espressione esatta della risposta in frequenza contiene a numeratore un termineΩ2/ω2

0 , oltre a termini di ordine superiore, che sono trascurabili quando 0 ≤ Ω ≪ ω0. Cio che piu contae che la presenza del contributo quasi-stazionario rende l’approssimazione puramente reale, e quindielimina lo sfasamento spurio introdotto dall’approssimazione stazionaria.

Non conviene spingersi oltre, dal momento che un’approssimazione quasi-stazionaria del second’ordinerichiederebbe la conoscenza della derivata terza dello spostamento del vincolo,

...v .

Esempio: forze aerodinamiche

Si ipotizzi di poter esprimere, mediante un modello agli stati, la dinamica delle forze aerodinamiche infunzione di un ingresso dipendente dal tempo. In questo caso, l’uscita y rappresenta le forze aerodi-namiche in senso lato, mentre l’ingresso u rappresenta la condizione al contorno cinematica, ad esempiol’angolo di incidenza effettivo in un problema bidimensionale associato ad un corpo aerodinamico rigido.

Come illustrato nella (14.62), la dipendenza dal tempo dell’ingresso α in un semplice modello comequello rappresentato dal coefficiente Cf della (14.61) puo essere legato al movimento del sistema, descrittoda rotazione θ e spostamento trasversale h.

Una volta nota la quadrupla, qualora il tipo di analisi lo giustifichi, e possibile ricavarne model-li approssimati, mediante approssimazione statica o quasi-stazionaria. In quest’ultimo caso, convienearrestarsi al prim’ordine, in quanto, se si considera la linearizzazione dell’angolo di incidenza

α ∼= θ − h

v∞, (14.83)

l’ingresso u = α e proporzionale a θ e h. L’approssimazione quasi-stazionaria del prim’ordine richiedeinfatti la conoscenza dell’ingresso fino alla derivata prima, che contiene θ e h. Nella descrizione delladinamica di un sistema meccanico, di solito le incognite cinematiche compaiono fino alla derivata seconda,per via delle forze d’inerzia. Quindi conviene arrestare l’ordine dell’approssimazione al piu a quel valoreche richiede la derivata massima delle incognite cinematiche che sia gia disponibile.

Il generico coefficiente aerodinamico diventa cosı

Cf (t)qs1= − [C] [A]

−1[B]α (t)− [C] [A]

−2[B] α (t)

= − [C] [A]−1

[B]

(

θ − h

v∞

)

− [C] [A]−2

[B]

(

θ − h

v∞

)

=[

0 1v∞

[C] [A]−2

[B]] θ

h

+[

− [C] [A]−2

[B] 1v∞

[C] [A]−1

[B]]

θ

h

+[

− [C] [A]−1

[B] 0]θh

. (14.84)

14-16

Se si considera per esempio un problema del tipo

[M ]

θ

h

+ [R]

θ

h

+ [K]

θh

=

ml

, (14.85)

dove

m =1

2ρv2SLCm (14.86a)

l =1

2ρv2SCl (14.86b)

sono rispettivamente il momento aerodinamico e la portanza, la loro rappresentazione quasi-stazionariadel prim’ordine mediante la (14.84) porta a scrivere

(

[M ] +1

2ρv2S

[0 −L/v∞ [Cm] [Am]

−2[Bm]

0 −1/v∞ [Cl] [Al]−2

[Bl]

])θ

h

+

(

[R] +1

2ρv2S

[[Cm] [Am]

−2[Bm] −L/v∞ [Cm] [Am]

−1[Bm]

[Cm] [Am]−2

[Bm] −1/v∞ [Cl] [Al]−1

[Bl]

])θ

h

+

(

[K] +1

2ρv2S

[[Cm] [Am]

−1[Bm] 0

[Cl] [Al]−1

[Bl] 0

])θh

=

m0

l0

, (14.87)

dove si e sfruttato il fatto che la (14.84) dipende dal movimento della struttura, θ e h, e dalle loro derivatefino al secondo ordine.

Quindi l’approssimazione porta a contributi formalmente analoghi a rigidezze, smorzamenti e inerziedi natura aerodinamica. Senza voler entrare nel significato fisico di questi contributi, dal punto di vistadella modellazione le approssimazioni (quasi-)stazionarie consentono quindi di estendere l’utilizzo dimodelli e tecniche di analisi gia note ed impiegate per la dinamica strutturale a problemi di interazione.

Nota a margine: la scrittura diretta della quadrupla del sistema e piuttosto complessa, se non im-possibile. Per questo motivo non vengono forniti esempi. Di solito viene ricavata mediante tecnichespecifiche di identificatione basate sulla minimizzazione dell’errore nella rappresentazione nel dominio diLaplace di modelli aerodinamici instazionari di cui e nota o calcolabile la rappresentazione analitica oper lo meno numerica [5].

14.6.3 Residualizzazione degli stati “veloci”

Nel giustificare l’approssimazione stazionaria, si e introdotta l’idea di confrontare i tempi di annullamentodell’integrale generale con la regolarita dell’ingresso.

In realta i sistemi meccanici, ad esempio le grandi strutture metalliche, sono caratterizzate da com-portamento dinamico particolare: i movimenti liberi sono molto poco smorzati, e coprono un ampiointervallo di frequenze. Lo smorzamento strutturale presente, anche se piccolo, e sufficiente a rendere ilcomportamento della struttura asintoticamente stabile.

Quindi e lecito attendersi che i movimenti liberi a frequenze piu basse, ω0l, vengano eccitati dall’in-gresso, nel momento in cui Ω ≈ ω0l, rispondendo quindi dinamicamente, mentre i movimenti liberi afrequenze piu alte, ω0v, per cui vale ancora Ω ≪ ω0v, vengano sı eccitati, ma solo staticamente.

Si supponga ora di essere in grado di partizionare gli stati del problema in “lenti”, xl, le cuifrequenze caratteristiche ω0l siano in qualche modo confrontabili con quelle dell’ingresso, e “veloci”,xv. Il problema diventa

xlxv

=

[[All] [Alv][Avl] [Avv]

]xlxv

+

[[Bl][Bv]

]

u (14.88a)

y =[[Cl] [Cv]

]

xlxv

(14.88b)

14-17

A questo punto, in base alle considerazioni precedenti, si trascuri la dinamica degli stati veloci, ponendoxv r

= 0, dove r= indica approssimazione per residualizzazione della dinamica veloce. L’equazione

degli stati veloci diventa quindi algebrica:

0 r= [Avl] xl+ [Avv] xv+ [Bv] u . (14.89)

Da quest’ultima e immediato ricavare il valore degli stati veloci,

xv r= − [Avv]

−1[Avl] xl − [Avv]

−1[Bv] u , (14.90)

che, sostituiti nell’equazione degli stati lenti e in quella dell’uscita, danno

xl r=(

[All]− [Alv] [Avv]−1

[Avl])

︸︷︷︸

[Ar]

xl+(

[Bl]− [Alv] [Avv]−1

[Bv])

︸︷︷︸

[Br]

u (14.91a)

y r=(

[Cl]− [Cv] [Avv]−1

[Avl])

︸︷︷︸

[Cr]

xl+(

− [Cv] [Avv]−1

[Bv])

︸︷︷︸

[Dr]

u . (14.91b)

Come si puo notare, da un sistema strettamente proprio, mediante residualizzazione degli stati velocise ne e ottenuto uno proprio, in cui compare il termine di trasmissione diretta [Dr] relativo agli statiresidualizzati.

Esistono numerosi criteri e tecniche, dal punto di vista matematico, che consentono di operare lascelta di quali stati eliminare. Esse si basano in genere su considerazioni di ottimalita della base ridottache si ottiene. Tra queste vale la pena di citare la selezione in base alla frequenza dei modi propri, l’usodi spazi di Krylov con controllo sull’errore residuo, l’uso del troncamento bilanciato [6].

Esempio: residualizzazione della dinamica veloce di un sistema libero in coordinate modali

Si consideri l’esempio delle due masse non vincolate e collegate da una molla, discusso nel paragrafo 13.2.3.Utilizzando la forma canonica di controllabilita, si ottiene

u = f (14.92a)

[A] =

0 0 0 00 0 0 −2k/m1 0 0 00 1 0 0

(14.92b)

[B] =

1/(2m)1/(2m)

00

(14.92c)

[C] =

[0 0 1 10 0 1 −1

]

. (14.92d)

Sono state usate le matrici ottenute mediante l’approccio modale. Questo consente di utilizzare agevol-mente le frequenze caratteristiche per partizionare gli stati in “lenti” e “veloci”.

Nel caso in esame, si considerano“lenti” gli stati associati al moto libero del sistema, che ha frequenzanulla, mentre quelli associati al moto relativo tra le due masse, che ha frequenza ω0 =

√

2k/m, sonoconsiderati “veloci”. Si ottiene:

[All] =

[0 01 0

]

[Alv] =

[0 00 0

]

(14.93a)

[Avl] =

[0 00 0

]

[Avv] =

[0 −2k/m1 0

]

(14.93b)

[Bl] =

[1/(2m)

0

]

[Bv] =

[1/(2m)

0

]

(14.93c)

[Cl] =

[0 10 1

]

[Cv] =

[0 10 −1

]

. (14.93d)

14-18

Il sistema residualizzato diventa

[Ar] =

[0 01 0

]

(14.94a)

[Br] =

[1/(2m)

0

]

(14.94b)

[Cr] =

[0 10 1

]

(14.94c)

[Dr] =

[1/(4k)−1/(4k)

]

. (14.94d)

Si noti come la dinamica non dipenda in alcun modo dalla molla k (infatti [Avl] e [Alv] sono nulle). Ilsuo effetto sul moto delle due masse e puramente statico, attraverso il termine di trasmissione diretta[Dr].

Esempio: residualizzazione della dinamica veloce di un sistema libero in coordinate fisiche

Si consideri un sistema topologicamente analogo al precedente, ma costituito da due masse diverse, conm2 ≫ m1. Si considerino direttamente le posizioni delle due masse quali coordinate libere. Si consideri,come uscita, l’azione interna nella molla, definita come N = k (z1 − z2).

Utilizzando la forma canonica di controllabilita, si ottiene

u = f (14.95a)

[A] =

0 0 −k/m1 k/m1

0 0 k/m2 −k/m2

1 0 0 00 1 0 0

(14.95b)

[B] =

1/m1

000

(14.95c)

[C] =[0 0 k −k

]. (14.95d)

L’uso delle coordinate fisiche rende difficile decidere quali stati possano essere considerati “veloci”, quindiresidualizzabili staticamente, e quali debbano invece essere considerati “lenti”, di cui e necessario preser-vare la dinamica. In questo caso specifico, intuitivamente occorre preservare la dinamica degli stati a cuie associata la massa piu grande, ovvero la seconda.

Si ottiene:

[All] =

[0 −k/m2

1 0

]

[Alv] =

[0 k/m2

0 0

]

(14.96a)

[Avl] =

[0 k/m1

0 0

]

[Avv] =

[0 −k/m1

1 0

]

(14.96b)

[Bl] =

[00

]

[Bv] =

[1/m1

0

]

(14.96c)

[Cl] =[0 −k

][Cv] =

[0 k

]. (14.96d)

Il sistema residualizzato diventa

[Ar] =

[0 01 0

]

(14.97a)

[Br] =

[1/m2

0

]

(14.97b)

[Cr] =[0 0

](14.97c)

[Dr] =[1]. (14.97d)

14-19

Si noti come la dinamica non dipenda in alcun modo dalla molla k, ma soltanto dalla massa m2 che, peripotesi, e grossolanamente equivalente alla massa totale. Questo modello e tanto piu “sbagliato” quantopiu e violata l’ipotesi m2 ≫ m1.

Inoltre c’e una trasmissione diretta tra l’ingresso f e l’azione interna nell’asta, pari esattamente a 1.La misura dell’azione interna non dipende quindi dalla dinamica, ed e pari alla forza stessa.

Una immediata conseguenza di questa approssimazione e che il movimento complessivo del sistemarisulta errato. Infatti, il sistema dovrebbe muoversi di moto uniformememte accelerato con accelerazionea = f/(m1+m2), mentre l’accelerazione dovuta all’approssimazione e a

r= f/m2. Inoltre, l’azione interna

dovrebbe essere N = fm2/(m1 +m2), ma l’approssimazione restituisce Nr= f .

Si consideri ora lo stesso problema, ovvero con m2 ≫ m1, in coordinate modali. Le frequenzecaratteristiche e i rispettivi modi propri sono

ω21 = 0 X1 =

11

(14.98a)

ω22 = k

m1 +m2

m1m2X2 =

−m2/m1

1

(14.98b)

Le matrici diventano

[A] =

0 0 0 00 0 0 −k (m1 +m2) /(m1m2)1 0 0 00 1 0 0

(14.99a)

[B] =1

m1 +m2

1−100

(14.99b)

[C] =

[0 0 1 −m2/m1

0 0 1 1

]

(14.99c)

A seguito del partizionamento in stati lenti e veloci, e della residualizzazione statica di questi ultimi, siottiene

[Ar] =

[0 01 0

]

(14.100a)

[Br] =1

m1 +m2

[10

]

(14.100b)

[Cr] =

[0 10 1

]

(14.100c)

[Dr] =1

k (1 +m1/m2)2

[1

−m1/m2

]

. (14.100d)

La forza nella molla e data da

F = k (x2 − x1) = − 1

1 +m1/m2(14.101)

ovvero differisce da quella applicata per la parte equilibrata dalla massam1 sotto forma di forza d’inerzia.

Esempio: residualizzazione della dinamica veloce di un motore elettrico in CC

Si consideri il modello di motore elettrico in corrente continua che trascina una coppia resistente dipen-dente dalla velocita angolare descritta nel paragrafo 9.3.

14-20

Dopo aver linearizzato il problema attorno alla condizione di regime ω = θ0, i = i0 in funzione dellatensione di alimentazione ea imposta, si ottiene l’equazione differenziale lineare

d

dt

∆ω∆i

=

[−2rω0/J K/J−K/La −Ra/La

]∆ω∆i

+

0

∆ea/La

. (14.102)

Si supponga che l’uscita sia y = ω.

In genere, la dinamica della parte elettrica del sistema e piu “veloce” di quella della parte meccanica.Se questa ipotesi e fondata, allora si puo considerare “lento” lo stato associato alla parte meccanica, ω, e“veloce” quello associato alla parte elettrica, i. Questo consiste nel porre di/dt

r= 0. Dalla seconda riga

della (14.102) si ottiene

∆ir= − K

Ra∆ω +

1

Ra∆ea (14.103)

che, sostituito nella prima riga della (14.102), da

∆ωr= −

(2rω0

J+

K2

JRa

)

∆ω +K

JRa∆ea. (14.104)

Al medesimo risultato si giunge considerando

[All] = −2rω0

J[Alv] =

K

J(14.105a)

[Avl] = −K

La[Avv] = −Ra

La(14.105b)

[Bl] = 0 [Bv] =1

La(14.105c)

[Cl] = 1 [Cv] = 0, (14.105d)

per cui il sistema residualizzato diventa

[Ar] = −(2rω0

J+

K2

JRa

)

(14.106a)

[Br] =K

JRa(14.106b)

[Cr] = 1 (14.106c)

[Dr] = 0. (14.106d)

Gli autovalori della matrice del problema (14.102) sono

λ = −(rω0

J+

Ra2La

)

±√(rω0

J− Ra

2La

)2

− K2

JLa. (14.107)

Se Ra/La ≫ rω0/J (dinamica della parte elettrica molto piu “veloce” di quella della parte meccanica),diventano

λ =

−∞

−(

2rω0

J+

K2

JRa

)

. (14.108)

Il secondo e pari al coefficiente caratteristico che si ottiene con la residualizzazione, dato dalla (14.106a).

14-21

14.6.4 Accelerazione dei modi

Con il nome di “accelerazione dei modi” (o, a volte, “modi di accelerazione”), si intende la soluzione diun problema statico dettagliato per il quale le sollecitazioni dinamiche siano ottenute dall’analisi di unmodello approssimato. Come illustrato nel seguito, questo corrisponde ad una residualizzazione staticadella dinamica degli stati ritenuti “veloci” rispetto alla banda passante del forzamento.

Si consideri un generico problema a piu gradi di liberta

[M ] x+ [K] x = f (14.109)

caratterizzato da scale delle dinamiche proprie molto diverse tra loro, tali per cui, in presenza di forza-mento f con banda relativamente limitata rispetto alle dinamiche piu veloci del sistema, sia lecita unaresidualizzazione statica di queste ultime.

Anche se non e strettamente necessario, tale residualizzazione, specialmente a fini illustrativi, puorisultare molto efficace se si descrivono i gradi di liberta x su base modale, ovvero x = [ψ]q. Sisuddividano i modi in “lenti”, [ψl], e “veloci”, [ψv], con [ψ] = [[ψl][ψv]]. Usando l’approccio modale ilproblema diventa

[[diag(mil)] [0]

[0] [diag(miv)]

]qlqv

+

[[diag(kil)] [0]

[0] [diag(kiv)]

]qlqv

=

[ψl]T f

[ψv]T f

(14.110)

e, a seguito della residualizzazione statica della dinamica dei modi veloci, ovvero posto qv r= 0,

[[diag(mil)] [0]

[0] [0]

]qlqv

+

[[diag(kil)] [0]

[0] [diag(kiv)]

]qlqv

r=

[ψl]T f

[ψv]T f

.

(14.111)

Questa approssimazione e accettabile nel momento in cui le frequenze caratteristiche degli stati veloci,ωiv =

√

kiv/miv, sono molto piu grandi dell’estremo superiore della banda di frequenze che caratterizzala forzante f. A questo punto la soluzione e

x = [ψl] ql+ [ψv] qv = [ψl] ql+ [ψv] [diag(kiv)]−1

[ψv]T f , (14.112)

ove ql risulta dall’integrazione della dinamica dei gradi di liberta lenti, mentre i gradi di liberta velocisono risolti direttamente in quanto associati alle equazioni algebriche che costituiscono il secondo bloccodella (14.111).

Questo approccio richiede un cambiamento completo di base, e quindi la conoscenza di [ψl] e [ψv], ilcui calcolo, per problemi con un elevato numero di gradi di liberta, puo essere molto oneroso. Siccomeil calcolo di un sottoinsieme dei modi propri di vibrare puo essere relativamente piu efficiente7, sarebbeutile poter ottenere lo stesso risultato della (14.112) avendo a disposizione soltanto i modi lenti, ovvero[ψl].

Si consideri ora il problema dato dalla (14.109) in cui le forze d’inerzia, in linea con l’approssimazionedata dalla residualizzazione statica della dinamica degli stati veloci, siano espresse in funzione dei solistati lenti, quindi fin = −[M ][ψl]ql, a dare

[K] x = f − [M ] [ψl] ql , (14.113)

da cui

x = [K]−1

(f − [M ] [ψl] ql) . (14.114)

Siccome la matrice di rigidezza modale si puo esprimere come

[diag (ki)] = [ψ]T[K] [ψ] , (14.115)

7Ad esempio utilizzando metodi iterativi per il calcolo degli autovalori quali il metodo delle potenze a blocchi o il metododi Lanczos.

14-22

f2

k1 k2m1 m2

x1x2

Figura 14.1: Esempio di applicazione dell’accelerazione dei modi.

l’inversa della matrice di rigidezza e

[K]−1

= [ψ] [diag (ki)]−1

[ψ]T= [ψl] [diag (kil)]

−1[ψl]

T+ [ψv] [diag (kiv)]

−1[ψv]

T. (14.116)

La (14.114) diventa quindi

x = [ψ] [diag (ki)]−1

[ψ]T(f − [M ] [ψl] ql)

= [ψl] [diag (kil)]−1

[ψl]T(f − [M ] [ψl] ql)

+ [ψv] [diag (kiv)]−1

[ψv]T(f − [M ] [ψl] ql) ; (14.117)

ma, per l’ortogonalita dei modi propri rispetto alla matrice di massa, nell’ultimo termine a destradell’espressione precedente si ha [ψv]

T [M ][ψl] = [0], quindi la (14.114) puo essere scritta come

x = [ψl] [diag (kil)]−1(

[ψl]T f − [diag (mil)] ql

)

+ [ψv] [diag (kiv)]−1

[ψv]T f . (14.118)

A partire dal primo blocco della (14.111), si puo scrivere

[ψl]T f − [diag (mil)] ql = [diag (kil)] ql , (14.119)

che, sostituito nella (14.118), da di nuovo la (14.112).Quindi la soluzione del problema (14.109) mediante residualizzazione statica della dinamica degli

stati veloci corrisponde ad integrare prima le equazioni del moto degli stati lenti, data dal primo bloccodella (14.111), e quindi risolvere il problema statico dato dalla (14.113) in cui le forze d’inerzia sonoportate a secondo membro e scritte in funzione dei soli stati lenti, come illustrato dalla (14.114). Questaprocedura richiede la semplice fattorizzazione della matrice di rigidezza8, in aggiunta al calcolo dei soliautovettori [ψl], o di una opportuna base di spostamenti da considerarsi lenti, anziche il calcolo di tuttigli autovettori. Si noti infine che la dimostrazione riportata sopra si avvale dell’ortogonalita degli au-tovettori rispetto alle matrici di massa e di rigidezza; tuttavia, l’approssimazione del problema medianteaccelerazione dei modi rimane valida qualunque sia la base scelta, come dimostrato nell esercizio 14.9.

Esercizio 14.9 Scelto un sottospazio arbitrario [Hl] delle coordinate x, che non soddisfa il criteriodi ortogonalita rispetto alle matrici di massa e di rigidezza, lo si utilizzi come base di coordinate gener-alizzate “lente” applicando l’approssimazione dell’accelerazione dei modi. Dato il complemento [Hv] di[Hl], tale per cui [H] = [[Hl][Hv]] rappresenta una base completa, si scriva l’equazione del moto nellenuove coordinate, si residualizzino staticamente quelle veloci e si ricavi la soluzione x in funzione dellecoordinate lente ql e della residualizzazione di quelle veloci, qv. Si verifichi che la soluzione peraccelerazione dei modi e coincidente.

Si consideri per esempio il sistema illustrato in figura 14.1, costituito da una massa m1 collegata altelaio da una molla k1, e da una seconda massa m2, confrontabile con m1, connessa alla prima da unamolla k2 molto piu rigida dell’altra, k2 ≫ k1. Le equazioni del moto sono

[m1 00 m2

]x1x2

+

[k1 + k2 −k2−k2 k2

]x1x2

=

f1f2

. (14.120)

8A condizione che la matrice [K] non sia singolare; se lo fosse, questo significa che tra i gradi di liberta sono presentimovimenti rigidi. Quindi occorre rendere il problema staticamente determinato, imponendo opportune condizioni di vincoloche rimuovano i movimenti rigidi senza alterare la soluzione statica in termini di azioni interne.

14-23

A partire dall’equazione omogenea associata alle equazioni del moto, si possono calcolare i modi propridi vibrare del problema,

ω21|2 =

1

2

(k2m2

+k1 + k2m1

)

∓ 1

2

√(k2m2

+k1 + k2m1

)2

− 4k1m1

k2m2

. (14.121)

Il sistema sia soggetto ad una forzante armonica di frequenza Ω confrontabile con quella del primomodo, applicata alla seconda massa; siccome k2 ≫ k1, la frequenza del primo modo e circa ω1

∼=√

k1/(m1 +m2). A questo punto si puo considerare veloce la coordinata associata al secondo modo divibrare. Ne consegue che l’equazione del modo lento da come risultato

ql (jΩ) =2XI1

ω21 − Ω2

f2, (14.122)

ove 2XI1 e l’elemento del primo modo associato allo spostamento della massa m2, avendo assunto per imodi propri la normalizzazione a massa unitaria.

La soluzione diventa quindi

x (jΩ) r=

(

XI1 2XI1

ω21 − Ω2

+ XI2 2XI2

ω22

)

f2. (14.123)

Questa soluzione mette in luce come il primo modo risponda dinamicamente, mentre il secondo rispondestaticamente, in quanto il termine esatto 1/(ω2

2 − Ω2) e sostituito da 1/ω22 , nell’ipotesi che ω

22 ≫ Ω2.

Se si considerano, per esempio, m1 = m2 = 1 kg, k1 = (2π)2 N/m, k2 = 100k1 N/m, si ha ω1 = 4.44radian/s e ω2 = 88.97 radian/s, con XI1 = 0.70534; 0.70887 e XI2 = 0.70887;−0.7034, f2 = 1N e Ω = 5 radian/s. Si ottiene

x (jΩ) =

(0.499990.50250

1

19.690− Ω2+

−6.3167e−056.2852e−05

)

(14.124)

e quindi

x (j5) =

(−0.094158−0.094630

+

−6.3167e−056.2852e−05

)

=

−0.094221−0.094567

. (14.125)

Si noti che il contributo alla soluzione dato dal modo veloce e di alcuni ordini di grandezza inferiore inmodulo a quello dato dal modo lento. Tuttavia, l’azione interna nella molla k2, data da N = k2(x2 −x1), calcolata con il solo modo lento e pari a Nl = k2[−1 1]XI1ql, e quindi Nl = 0.0035355k2ql =

−4.7197e−04k2 N, mentre il contributo del modo veloce e Nvr= k2[−1 1]XI2qv = 1.2602e−04k2 N.

Di conseguenza, la somma dei due contributi da N = Nl +Nvr= −3.4595e−04k2 N. Come confronto, la

soluzione esatta e N = −3.4555e−04k2 N. Si puo quindi notare come la residualizzazione statica delladinamica degli stati veloci possa portare ad una soluzione molto piu accurata rispetto alla loro sempliceeliminazione.

Le figure 14.2 e 14.3 mostrano lo spostamento delle masse 1 e 2, rispettivamente, per effetto dellaforza applicata alla massa 2. La soluzione esatta, ottenuta dal calcolo della risposta in frequenza di unsistema a due gradi di liberta, e confrontata con la soluzione di:

• un modello semplificato, corrispondente a considerare solo la risposta del modo a frequenza piubassa (indicata come “modo #1” nella legenda), quindi x = Xlql, con ql dato dalla (14.122);

• un modello semplificato consistente nella residualizzazione statica del modo piu veloce (indicatacome “acc. modi, modale” nella legenda), secondo la (14.123);

• un modello semplificato ottenuto definendo due forme di spostamento generalizzate X1 = 1; 1,corrispondente ad uno spostamento in cui la molla 2 non si deforma, e X2 = 0; 1, corrispon-dente ad uno spostamento in cui la molla 1 non si deforma (indicata come “acc. modi, arbitraria”nella legenda); il modo in cui la molla 2 non si deforma e considerato “lento” (vi corrisponde un

14-24

1e-07

1e-06

1e-05

1e-04

1e-03

1e-02

1e-01

1e+00

1e+01

1 10 100

ampi

ezza

, m/N

massa 1

esattomodo #1

acc. modi, modaleacc. modi, arbitrario

-180

-90

0

1 10 100

fase

, deg

frequenza, radian/s

Figura 14.2: Diagramma di Bode della funzione di trasferimento tra la forza applicata alla massa 2 e lospostamento della massa 1.

14-25

1e-07

1e-06

1e-05

1e-04

1e-03

1e-02

1e-01

1e+00

1e+01

1 10 100

ampi

ezza

, m/N

massa 2

esattomodo #1


-180

-90

0

1 10 100

fase

, deg

frequenza, radian/s

Figura 14.3: Diagramma di Bode della funzione di trasferimento tra la forza applicata alla massa 2 e lospostamento della massa 2.

14-26

1e-05

1e-04

1e-03

1e-02

1e-01

1e+00

1e+01

1e+02

1e+03

1 10 100

ampi

ezza

, N/N

azione interna molla 2

esattomodo #1


-180

-90

0

1 10 100

fase

, deg

frequenza, radian/s

Figura 14.4: Diagramma di Bode della funzione di trasferimento tra la forza applicata alla massa 2 el’azione interna nella molla 2.

valore√

(X1T [K]X1)/(X1T [M ]X1) = 4.44 radian/s), mentre l’altro e considerato“veloce”

(√

(X2T [K]X2)/(X2T [M ]X2) = 62.83 radian/s); si noti pero che le matrici di massa e dirigidezza corrispondenti alle nuove variabili non sono diagonali, in quanto la trasformazione noncorrisponde ai modi propri.

Si puo notare come tutti i modelli diano risultati sostanzialmente equivalenti per frequenze inferiori aquella del primo modo di vibrare, mentre il loro comportamento si differenzia tra loro e da quello esattoman mano che la frequenza si avvicina a quella del secondo modo di vibrare. Questo e consistente conl’osservazione che in prossimita di un modo di vibrare la risposta e dominata dal contributo alla soluzionedato dal modo stesso, e tutti i modelli descrivono accuratamente il primo modo di vibrare.

La figura 14.4, invece, mostra l’azione interna nella molla 2, mettendo in evidenza come un modello ot-tenuto per troncamento del modello esatto, quello indicato come“modo #1”, non sia in grado di ottenereil comportamento statico corretto, mentre vi riescono perfettamente entrambi i modelli ottenuti medianteresidualizzazione statica della dinamica degli stati veloci. Quindi la residualizzazione puo non portaremiglioramenti significativi alla qualita del movimento del sistema, qualora esso sia sostanzialmente de-scritto dalla dinamica a bassa frequenza. Tuttavia puo portare significativi miglioramenti alla qualitadelle azioni interne, qualora la dinamica a bassa frequenza non sia in grado di descriverle accuratamente.

Questo esempio mostra anche come la base degli stati lenti non debba essere necessariamente costituitada soli modi propri di vibrare. In pratica conviene spesso utilizzare alcuni modi propri per descrivere ilgrosso del movimento libero, in quanto rappresentano una base molto efficiente per la sua descrizione alle

14-27

frequenze nella banda che caratterizza la forzante, arricchendo pero la base con altre forme, linearmenteindipendenti dai modi scelti, che contribuiscano ad incrementare l’efficacia della base ridotta nel descriverele caratteristiche del problema che sono di interesse per l’analisi. La discussione di questi aspetti travalicatuttavia i limiti del corso.

14-28

Capitolo 15

Sistemi immersi in campi di forza


15.1 Sistemi ad un grado di liberta

15.1.1 Freno a disco

Si consideri un freno a disco come quello illustrato in figura 15.1 e si supponga che la rigidezza e lo smorza-mento del vincolo della pinza in direzione verticale siano ks ed rs, e mp sia la sua massa. Esercitando

Figura 15.1: Freno a disco.

una forza N sulla pinza, nascera una forza frenante su ogni lato del disco disco, la cui somma e pari a

F = 2Nf (15.1)

diretta in verso opposto alla velocita periferica relativa del disco, mentre la pinza del freno sara sottopostaa una forza uguale e opposta. Ricordiamo che il coefficiente di attrito f varia in funzione della velocitarelativa tra i due corpi che strisciano con una legge che ha l’andamento di figura 7.3, riportata a pagina 7-4.Scrivendo l’equilibrio alla traslazione in direzione verticale (approssimabile alla direzione della velocitaperiferica Vr del disco nella zona di contatto tra questo e le pastiglie) otteniamo

−mpx− rsx− ksx+ 2Nf (Vr) = 0 (15.2)

15-1

dove il coefficiente di attrito f(x) = f(Vr(x)), nelle zone in cui e ragionevolmente regolare, e localmenteapprossimabile con il suo sviluppo in serie di Taylor arrestato al prim’ordine,

f (x) ∼= f(Vr(x0)) +df

dx

∣∣∣∣x=x0

(x− x0) = f(Vr0) +df

dVr

∣∣∣∣Vr=Vr0

dVrdx

∣∣∣∣x=0

x

= f(Vr0)−df

dVr

∣∣∣∣Vr=Vr0

x, (15.3)

in quanto Vr = V − x, e la condizione di linearizzazione si riferisce a x0 = 0, per cui Vr(x0) = Vr0 = V edVr/dx = −1. Quindi, sostituendo la (15.3) nella (15.2), si ottiene

−mpx− rsx− ksx+ 2N

(

f (Vr0)−df

dVr

∣∣∣∣Vr=Vr0

x

)

. (15.4)

L’equazione (15.4) diventa

mpx+

(

rs + 2Ndf

dVr

∣∣∣∣Vr=Vr0

)

x+ kx = 2Nf (Vr0) (15.5)

Esistono regioni, nel diagramma di figura 7.3, in cui, per Vr che tende a zero, la pendenza della curvadel coefficiente di attrito dinamico e negativa, per cui, in tali regioni, sara sempre possibile trovare valoridella forza N per la quale il coefficiente di smorzamento complessivo

r = rs + 2Ndf

dVr

∣∣∣∣Vr=Vr0

< 0; (15.6)

in tali casi rischiano di innescarsi oscillazioni autoeccitate. Il fenomeno e fortemente non-lineare, inquanto non appena la velocita relativa si allontana dal tratto di curva a pendenza fortemente negativalo smorzamento torna ad essere dissipativo.

15.1.2 Campo di forze aerodinamico

Analogamente, un sistema vibrante ad un grado di liberta investito da una vena fluida puo dare originea forme di instabilita. Supponiamo ora un generico corpo in moto verticale1 con relativa traslazione xrispetto alla sua posizione di equilibrio.

Figura 15.2: Composizione delle velocita di vento V∞ e corpo x.

L’ala verra investita da una velocita relativa Vr, la cui composizione e illustrata in figura 15.2, dimodulo

|Vr| =√

V 2∞ + x2 (15.7)

1In aeroelasticita spesso per indicare lo spostamento di un profilo alare in direzione perpendicolare alla direzione delvento asintotico si usa il simbolo h, che deriva da heave, il nome con cui in inglese si indica tale movimento, detto ancheplunge.

15-2

Figura 15.3: Decomposizione della forza aerodinamica.

con anomalia

α = tan−1

(x

V∞

)

(15.8)

rispetto alla direzione della vena indisturbata V∞. L’anomalia rappresenta un vero e proprio angolo diincidenza cinematico, dovuto alla composizione della velocita assoluta del corpo con la velocita del ventoasintotico.

Sul profilo alare, quindi, si genera una forza aerodinamica F che e opportuno decomporre in portanza(L come lift, perpendicolare al vento relativo Vr) e di resistenza (D come drag, diretta come il ventorelativo Vr) che nel caso di ala ferma saranno dirette come nella parte sinistra di figura 15.3 e varrannorispettivamente2:

L =1

2ρV 2SCL (α) (15.10)

D =1

2ρV 2SCD (α) (15.11)

dove ρ e la densita del fluido, mentre S e la superficie di riferimento rispetto alla quale sono stati calcolatii coefficienti adimensionali CL e CD, dei quali e stata messa in evidenza la dipendenza3 dall’angolo diincidenza α.

Nel caso di profilo in traslazione con velocita x, le forze di resistenza e portanza agiscono come nellaparte destra di figura 15.3 e valgono rispettivamente:

L =1

2ρV 2

r SCL (α− α) (15.12)

D =1

2ρV 2

r SCD (α− α) , (15.13)

in quanto l’angolo di incidenza effettivo e dato dalla somma, con segno, dell’angolo α, dovuto al caletta-mento del profilo, e dell’angolo α, dovuto alla velocita di traslazione x, che va sottratto al precedente.

2Spesso si dice che la forza aerodinamica F e

F =1

2ρV 2SCF . (15.9)

In realta la forza aerodinamica F e data dall’integrale degli sforzi esercitati dal fluido sul contorno del corpo immerso nelfluido stesso. L’espressione sopra riportata nasce dal fatto che, in base al teorema π di Buckingham, e possibile metterein evidenza la dipendenza della forza F da tre parametri dimensionali (nel caso specifico la densita ρ, la velocita V e lalunghezza attraverso cui si esprime la superficie S), in modo da esprimerla in forma adimensionale attraverso un coefficienteCF che dipenda solo da altri parametri adimensionali, come l’angolo di incidenza, il numero di Mach, di Reynolds, ed altri(si veda anche la nota 3).

3I coefficienti possono dipendere anche da altri parametri adimensionali caratteristici; fra questi, vale sicuramente lapena di menzionare i numeri di Reynolds e di Mach, che esprimono gli effetti legati alla viscosita e alla comprimibilita delfluido. In genere, pero, queste dipendenze non influenzano direttamente i fenomeni dinamici di interesse, perche nel corsodi questi fenomeni il loro valore varia di poco, o addirittura rimane costante.

15-3

Spesso, in aeroelasticita, la velocita di riferimento e la densita vengono riassunte nella pressionedinamica di riferimento

q =1

2ρV 2

r (15.14)

Questo consente di studiare agevolmente i fenomeni dinamici a parita di numero di Mach, che dipendedalla velocita Vr ma anche dalla quota, a cui e associata la densita ρ e quindi la celerita del suono.

Superficie aerodinamica di automobile da corsa

Venendo a un esempio pratico, uno dei profili alari usati nel recente passato nello sport automobilistico4

era il NACA 0009, che veniva montato posteriormente, collegato direttamente ai portamozzi delle ruotemotrici tramite due bracci verticali. L’angolo d’incidenza statico α comunemente usato era di circa14ocosı da farlo lavorare in prossimita del minimo (massimo negativo) del coefficiente di portanza CL eottenere la massima deportanza possibile (circa 1.2) indipendentemente dalla velocita di avanzamentoV della vettura. Il corrispondente CD legato alla resistenza passiva della sola ala era circa 0.12 perquell’angolo di attacco. A una certa velocita V , costante, trascurando l’effetto degli spoiler anteriori,la sospensione posteriore sara compressa rispetto alla posizione indeformata per effetto non solo dellaquota parte del peso della vettura che su di essa si scarica, ma anche per effetto della deportanza e dellaresistenza agenti sull’ala posteriore.

L’equilibrio alla rotazione della vettura rispetto all’asse anteriore, nell’ipotesi che il baricentro sia ameta tra gli assi, da

NRl =Wl

2+Dh− Ll, (15.15)

dove NR e la forza che agisce sulla sospensione, W e il peso, L la forza deportante, D la resistenza,l la distanza tra gli assi e h l’altezza dell’alettone rispetto al suolo. Da questa relazione si ricava unoschiacciamento statico della sospensione posteriore5

x0 =NRks

(15.16)

dove ks indica la rigidezza della sospensione posteriore (per semplicita supponiamo i montanti dell’alarigidi).

4Si noti che il profilo NACA 0009 e simmetrico; siccome le superfici aerodinamiche delle automobili da corsa devonoessenzialmente fornire deportanza, in applicazioni moderne si usano soprattutto ali a profilo non simmetrico, spesso aprofili multipli, montate con la concavita verso l’alto, e fornite di vari dispositivi (spesso fissi e dettati piu da considerazioniregolamentari che da effettive ragioni ingegneristiche di efficacia ed efficienza) volti ad aumentare il coefficiente di portanzamassimo (negativo).

5A seguito di uno schiacciamento della sola sospensione posteriore e lecito domandarsi se la vettura subisca anche unmovimento di beccheggio, che a rigore modificherebbe l’angolo di calettamento del profilo alare. Non c’e contraddizione trail trascurarne l’effetto sull’angolo di calettamento e il considerarne l’effetto dovuto alla velocita di traslazione del profiloalare in direzione verticale perche una elevata rigidezza della sospensione puo dare luogo a significative velocita verticalicon trascurabili rotazioni di beccheggio.

Figura 15.4: Auto da corsa.

15-4

Figura 15.5: Caratteristiche del profilo alare NACA 0009

15-5

Consideriamo, ora, il moto traslatorio lungo la verticale della sala posteriore completa di ala, su cuiagisce, trascurando l’effetto della coppia aerodinamica, la forza aerodinamica per effetto della velocitaVr, dovuta sia alla velocita V di avanzamento, sia alla velocita x di vibrazione.

Scrivendo l’equazione di equilibrio alla traslazione verticale della sola sospensione posteriore, alacompresa, avremo, con ovvio significato dei simboli non definiti:

−msx− rsx− ksx− 1

2ρV 2

r SCD (α− α) sin α+1

2ρV 2

r SCL (α− α) cos α = 0 (15.17)

Le componenti delle forze di resistenza e portanza possono essere linearizzate; dal momento che eragionevole ritenere x piccolo rispetto alla velocita di avanzamento V , la (15.7) diventa

Vr ∼= V (15.18)

e conseguentemente

sin α ∼= α ∼=x

V(15.19)

cos α ∼= 1 (15.20)

per cui la (15.17) diventa

−msx− rsx− ksx− 1

2ρV SCD (−α+ α) x+

1

2ρV 2SCL (−α+ α) = 0 (15.21)

A loro volta, i coefficienti di portanza e resistenza possono essere linearizzati secondo Taylor nell’intornodella posizione statica di α = α0 = −12o, ovvero:

CL (α− α) ∼= CL (α)− dCL (α)

dα

∣∣∣∣∣α=α0

α = CL (α0)−dCL (α)

dα

∣∣∣∣∣α=α0

x

V(15.22)

CD (α− α) ∼= CD (α)− dCD (α)

dα

∣∣∣∣∣α=α0

α ∼= CD (α0)− 0 · xV

(15.23)

tenendo anche in conto del piccolo valore numerico della derivata del coefficiente di resistenza rispettoall’angolo d’incidenza, dCD/dα ∼= 0. Sostituendo le (15.22, 15.23) nella (15.21) si ha:

−msx− rsx− ksx+1

2ρV 2SCL (α0)−

1

2ρV S

(

dCL (α)

dα

∣∣∣∣∣α=α0

+ CD (α0)

)

x = 0 (15.24)

ovvero

msx+

(

rs +1

2ρV S

(

dCL (α)

dα

∣∣∣∣∣α=α0

+ CD (α0)

))

x+ ksx =1

2ρV 2SCL (α0) (15.25)

Per il profilo scelto, in prossimita dell’angolo di incidenza di riferimento considerato la pendenza dellacurva statica6 del coefficiente di portanza, come riportato in figura 15.5, e negativa e molto maggioredel coefficiente di resistenza, per cui il contributo di origine aerodinamica allo smorzamento del sistemae instabilizzante, ed esistera sempre una velocita V di avanzamento della vettura al di sopra della qualela soluzione di equilibrio statico x0 nel cui intorno il problema e stato linearizzato diventa instabile.

6Si noti che la curva riportata in figura 15.5 si riferisce a misure statiche di coefficienti di forza (e momento) che, per gliangoli di incidenza di interesse per questo problema, includono condizioni di stallo. In tali condizioni, il valore dei coefficientiin genere dipende non solo dall’angolo di incidenza, ma anche dalla sua storia temporale; ovvero, le curve presentano unaisteresi tanto piu marcata quanto piu sono rapide le variazioni di angolo di incidenza. Per questo motivo, a rigore, l’analisisvolta in questo paragrafo e valida solo per fenomeni sufficientemente lenti da poter essere considerati stazionari dal puntodi vista dell’aerodinamica. Per ulteriori chiarimenti sul concetto di approssimazione stazionaria si veda la nota 9.

15-6

Infatti se, per un dato α0

dCL (α)

dα

∣∣∣∣∣α=α0

+ CD (α0) < 0 (15.26)

allora esiste un valore di V per cui

req = rs +1

2ρV S

(

dCL (α)

dα

∣∣∣∣∣α=α0

+ CD (α0)

)

< 0 (15.27)

Di conseguenza, le radici del polinomio caratteristico dell’equazione

msx+ reqx+ ksx = 0 (15.28)

ovvero

λ1|2 = − req2ms

±√(req2ms

)2

− ksms

(15.29)

se, come probabile, hanno discriminante negativo, e quindi sono complesse coniugate, hanno sicuramenteparte reale positiva; se viceversa hanno discriminante positivo e quindi sono reali e distinte, almeno unaradice e sicuramente maggiore di zero.

Siccome l’origine dell’instabilita e legata ad una nonlinearita del legame tra il coefficiente aerodinamicoe l’angolo di incidenza, per effetto di un fenomeno complesso come lo stallo, non e possibile ricavare daqueste considerazioni alcuna informazione sulla stabilita del problema nel suo insieme, se non l’instabilitadella soluzione di equilibrio statico. A volte, condizioni di instabilita di questo tipo, dovute ad effetti nonlineari che insorgono in problemi altrimenti lineari e stabili, risultano in una evoluzione della soluzioneda equilibrio statico ad un ciclo limite, ovvero ad una soluzione di equilibrio dinamico periodico, conun’ampiezza limitata ma finita. Un fenomeno di questo tipo e il cosiddetto flutter da stallo.

15.2 Sistemi vibranti a 2 gdl perturbati nell’intorno della po-sizione di equilibrio

Estendiamo ai sistemi a 2 gdl quanto gia visto per i sistemi a un solo grado di liberta, andando a valutarela stabilita delle soluzioni di equilibrio statico di sistemi di questo tipo.

Le equazioni di equilibrio dinamico per il sistema di figura 15.6 sono

mx+ rxx+ kxx = Fx (x, y, x, y) (15.30a)

my + ry y + kyy = Fy (x, y, x, y) (15.30b)

dove i termini Fx e Fy dovuti al campo di forze sono funzioni non lineari di x e y e delle loro derivaterispetto al tempo. In linea di principio tali forze possono dipendere da derivate di ordine arbitrario dellecoordinate libere (ad esempio, in figura 15.30, fino al secondo ordine). Senza ledere la generalita, nelseguito si considera la dipendenza soltanto fino al primo ordine.

Il sistema di equazioni (15.30) puo essere riscritto in forma matriciale come

[M ] z+ [R] z+ [K] z = F (z , z) (15.31)

15-7

Figura 15.6: Sistema a 2 gdl immerso in un campo di forze.

con

z =

xy

(15.32)

F (z , z) =

Fx (x, y, x, y)Fy (x, y, x, y)

(15.33)

[M ] =

[m 00 m

]

(15.34)

[R] =

[rx 00 ry

]

(15.35)

[K] =

[kx 00 ky

]

(15.36)

Del sistema potremo calcolare una7 posizione di equilibrio statico, se esiste, definita da

[K] z0 = F (z0 , 0) (15.37)

ovvero con z = z0 e z = 0, e quindi, nell’intorno di tale soluzione, linearizzare il campo di forze

F (z , z) ∼= F (z0 , 0)+[∂ F∂ z

]

z0,0

(z − z0) +[∂ F∂ z

]

z0,0

z (15.38)

ma

[∂ F∂ z

]

z0,0

=

∂Fx

∂x

∂Fx

∂y∂Fy

∂x

∂Fy

∂y

z0,0

= − [KF ] (15.39a)

[∂ F∂ z

]

z0,0

=

∂Fx

∂x

∂Fx

∂y∂Fy

∂x

∂Fy

∂y

z0,0

= − [RF ] (15.39b)

Indicando con il vettore z gli spostamenti a partire dalla posizione di equilibrio statico

z = z0+ z (15.40)

il sistema di equazioni differenziali di partenza puo essere riscritto come

[M ]z+ ([R] + [RF ])

z+ ([K] + [KF ]) z = 0 (15.41)

7Dato che le equazioni non sono lineari, possono esistere piu soluzioni di equilibrio statico, o nessuna.

15-8

ovvero, con ovvio significato dei simboli,

[M ]z+ [RT ]

z+ [KT ] z = 0 (15.42)

Si ottiene un sistema di equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti la cui soluzionee del tipo

z (t) =Zeλt (15.43)

dove λ sono le radici di

(λ2 [M ] + λ [RT ] + [KT ]

) Zeλt = 0 (15.44)

Analizziamo separatamente i vari casi che possono presentarsi.

15.2.1 Campo di forze puramente posizionale

In questo caso il sistema si riduce a

[M ]z+ [R]

z+ [KT ] z = 0 (15.45)

ovvero, trascurando lo smorzamento strutturale [R], in genere limitato, si ottiene

[M ]z+ [KT ] z = 0 (15.46)

da cui si ha il problema agli autovalori

(λ2 [M ] + [KT ]

) Zeλt = 0 (15.47)

Essendo la matrice [M ] reale, simmetrica e definita positiva, tutti i suoi minori principali dominantisono positivi, ovvero

p1 = m11 > 0; p2 = m11m22 −m12m21 > 0 (15.48)

Analogamente cio vale per la matrice [K]

p1 = k11 > 0; p2 = k11k22 − k12k21 > 0 (15.49)

Per quanto riguarda la matrice [KF ], possono presentarsi due casi:

• il campo di forze e conservativo, per cui

∂Fx∂y

=∂Fy∂x

(15.50)

e la matrice [KF ] risulta simmetrica;

• il campo di forze non e conservativo, per cui

∂Fx∂y

6= ∂Fy∂x

(15.51)

e la matrice [KF ] non risulta simmetrica;

In entrambi i casi, tuttavia, i valori di λ sono comunque le radici del polinomio

m11m22λ4 + (m11kT22 +m22kT11)λ

2 + (kT11kT22 − kT12kT21) = 0 (15.52)

ovvero

aλ4 + bλ2 + c = 0 (15.53)

15-9

con

a = m11m22 (15.54a)

b = m11kT22 +m22kT11 (15.54b)

c = kT11kT22 − kT12kT21. (15.54c)

Le generiche radici sono date dalla relazione

λ21|2,3|4 = − b

2a±√(b

2a

)2

− c

a(15.55)

ove a > 0 dal momento che la matrice di massa e definita positiva.

Campo di forze conservativo

Si possono presentare due casi:

• la matrice [KT ] e definita positiva, ovvero

p1 = kT11 > 0; p2 = kT11kT22 − k2T12 > 0 (15.56)

con b > 0 e c > 0, in quanto kT21 = kT12 perche il campo di forze e conservativo. Le radici delpolinomio caratteristico (15.55) risultano essere

λ21|2,3|4 < 0, (15.57)

essendo nella (15.55)

c

a> 0, (15.58)

per cui i quattro autovalori sono tutti immaginari, come illustrato in figura 15.7(a), e il moto liberorisultante e semplicemente stabile; e realistico pensare che si annulli per effetto dell’inevitabilesmorzamento strutturale, fin qui trascurato.

• la matrice [KT ] non e definita positiva, ovvero o

p1 = kT11 < 0 (15.59)

oppure

p2 = kT11kT22 − k2T12 < 0 (15.60)

oppure entrambe le condizioni sono verificate. Nell’ipotesi che p2 < 0 avremo che nella (15.55)

a

c< 0 (15.61)

e quindi

λ21|2 > 0 (15.62a)

λ23|4 < 0. (15.62b)

La prima radice porta a due valori di λ reali ed opposti, come illustrato in figura 15.7(b), chedanno luogo per la soluzione positiva a un fenomeno di instabilita statica (divergenza) essendo lasoluzione data dalla (15.43). La stessa condizione si puo verificare per p1 < 0.

15-10

(a) Stabile per c/a > 0. (b) Instabile per c/a < 0.

Figura 15.7: Autovalori di un sistema conservativo.

Campo di forze non conservativo

Accade che

∂Fx∂y

6= ∂Fy∂x

(15.63)

e la matrice [KT ] risulta non simmetrica.Ricordando che le radici del polinomio caratteristico sono date dalla (15.55), ovvero

λ21|2,3|4 =1

2a

(

−b±√∆)

(15.64)

con

∆ =

(b

2a

)2

− c

a(15.65)

se risulta che

∆ < 0 (15.66)

si ottiene

λ21|2,3|4 =1

2a

(

−b± i√

|∆|)

=e∓i tan

−1(|∆|/b)

2a

√

b2 + |∆| = e∓iα

2a

√

b2 + |∆| (15.67)

e quindi

λ1|2 = ±

√

1

2a

√

b2 + |∆|eiα/2 = ±

√

1

2a

√

b2 + |∆|(

cos

(

α

2

)

+ i sin

(

α

2

))

= ± (ψ1 + iψ2) (15.68)

λ3|4 = ±

√

1

2a

√

b2 + |∆|e−iα/2 = ±

√

1

2a

√

b2 + |∆|(

cos

(

α

2

)

− i sin

(

α

2

))

= ± (ψ1 − iψ2)

(15.69)

Le radici sono illustrate in figura 15.8(a). Ricordando la soluzione generale (15.43), sappiamo che, comepiu volte mostrato, ciascuna coppia di radici coniugate, quando vengono imposte le condizioni iniziali,fornisce una soluzione puramente reale

z (t) =Z1

e(ψ1+iψ2)t+conj

(Z1

)e−(ψ1+iψ2)t+

Z2

e(ψ1−iψ2)t+conj

(Z2

)e−(ψ1−iψ2)t (15.70)

15-11

(a) Instabile per ∆ < 0. (b) Instabile per matrice [RT ] nondefinita.

Figura 15.8: Autovalori di un sistema non conservativo.

delle quali quella con parte reale positiva e esponenzalmente espansiva (instabile), mentre l’altra e espo-nenzialmente contrattiva (asintoticamente stabile). Ovvero il moto libero risultante e ellittico e instabilecon pulsazione ψ2. Il fenomeno, in aeroelasticita, prende il nome di flutter.

Se invece

∆ > 0 (15.71)

e

c < 0 (15.72)

si avra b <√∆ e quindi, essendo

λ21|2,3|4 =1

2a

(

−b±√∆)

(15.73)

avremo due soluzioni reali opposte e due immaginarie coniugate, con quella reale positiva che portaalla divergenza, in analogia con quanto illustrato in figura 15.7(b) per la possibile instabilita dei sistemiconservativi.

Gli altri casi portano a soluzioni armoniche stabili, differenti solo nei valori delle frequenze proprieda quello gia trattato nel caso di campo di forze conservativo.

Banale e poi il caso in cui la matrice [RT ] sia definita negativa, o non definita, come illustratoin figura 15.8(b). Il sistema sara soggetto a fenomeni di instabilita dinamica, con ampiezze crescentiesponenzialmente nel tempo.

15.2.2 Instabilita aeroelastica della “sezione tipica”

La dinamica di un corpo aerodinamico deformabile immerso in un fluido rappresenta un problema dinotevole complessita. Tuttavia, l’essenza dei fenomeni che lo coinvolgono puo essere descritta efficace-mente da un modello piuttosto semplice e tuttavia rappresentativo di sistemi di particolare importanzain aeronautica e in meccanica in genere, detto “sezione tipica”. Questo modello, descritto in figura 15.9,e costituito da un profilo alare che si muove nel suo piano; di esso si considerano solo i gradi di liberta ditraslazione in direzione perpendicolare alla corrente asintotica e di rotazione attorno all’asse di beccheg-gio. In prima approssimazione, puo essere ritenuto rappresentativo di un’ala ad elevato allungamentosenza freccia, o della sezione di un ponte sospeso, o di una superficie aerodinamica di automobile dacorsa.

15-12

Figura 15.9: Sezione tipica: profilo alare immerso in un fluido, soggetto a in moto piano.

Le equazioni semplificate8 che descrivono la dinamica del sistema di figura 15.9 sono:

mx+ rxx+ kxx = L cosψ +D sinψ (15.74a)

Jθ + rxl2θ + kxl

2θ =M (15.74b)

dove ψ e l’angolo tra la velocita relativa Vr della vena e la direzione della corrente indisturbata V∞,supposta costante, mentre l e la distanza di entrambi i complessi molla-smorzatore dal punto a cui eriferita la rotazione.

Esercizio 15.1 Si ricavino le equazioni del moto (15.74).

Si noti che, nel puro moto rotatorio, ogni punto della superficie del profilo possiede una velocita ditrascinamento diversa, quindi la velocita relativa Vr varia da punto a punto del profilo. Non sarebbequindi lecito utilizzare l’approssimazione stazionaria9 delle forze aerodinamiche, dal momento che questa

8Le equazioni qui riportate, per semplicita, si basano sull’assunto che il punto nel piano della sezione a cui si riferisconole coordinate libere sia simultaneamente il baricentro ed il centro di taglio della sezione tipica. Di conseguenza, le matrici dimassa e di rigidezza sono diagonali, cosa abbastanza rara e, d’altra parte, non sempre desiderabile nelle normali costruzioniaeronautiche.

9Con il termine approssimazione stazionaria si intende che di un modello dinamico si considera solo la parte statica,ovvero si assume che il sistema risponda istantaneamente ad un ingresso con la sola risposta statica. Per fare un esempiomeccanico, e come se di un sistema ad un grado di liberta, retto dall’equazione

mx+ rx+ kx = f, (15.75)

a condizione che sia asintoticamente stabile, si considerasse solo la parte

kx ∼= f (15.76)

Questa approssimazione e sicuramente drastica in assoluto, ma puo essere ritenuta ragionevole, ad esempio, se il sistemaviene forzato da una forzante armonica di frequenza ω ≪

√

k/m.Le forze aerodinamiche, al pari delle forze meccaniche ed in totale analogia con i sistemi elettro- ed idromeccanici studiati

nei paragrafi precedenti, sono descrivibili sotto forma di sistemi dinamici, che, ad esempio, per un profilo alare consentono didescrivere i coefficienti di forza e momento in funzione della storia temporale dell’angolo di incidenza. In altre parole, sonodescritte dall’uscita di un sistema dinamico il cui ingresso e l’angolo di incidenza. Per molte applicazioni pratiche, ogni voltache la dinamica dell’aerodinamica e caratterizzata da costanti di tempo molto piu piccole di quelle degli ingressi, nel nostrocaso legati al movimento della struttura e quindi, in prima battuta, alle frequenze proprie del sistema meccanico, il sistemadinamico che descrive le forze aerodinamiche puo essere approssimato nella forma stazionaria, ovvero considerandone solola parte statica.

La stima delle costanti di tempo delle forze aerodinamiche si basa sul concetto di frequenza ridotta; ovvero, nell’ipotesiche la rilevanza della dinamica dell’aerodinamica che interessa il corpo sia legata al tempo in cui una particella di fluidointeragisce con il corpo stesso, ovvero alla lunghezza caratteristica del corpo nella direzione del flusso (la corda c per unprofilo alare, o meglio la semicorda secondo una certa letteratura) divisa per la velocita di riferimento del flusso (V∞),si definisce la frequenza ridotta come il numero adimensionale che esprime il rapporto tra la pulsazione del movimento equesta misura caratteristica della velocita dell’aerodinamica:

frequenza ridotta = k =ωc

2V∞(15.77)

15-13

Figura 15.10: Composizione delle velocita del vento V∞ e del corpo x a dare l’angolo di incidenzacinematico ψ.

presuppone l’esistenza di un angolo di incidenza definito per tutto il profilo; senonche, e possibile di-mostrare che riferendosi alla velocita di trascinamento di un punto P1 del profilo alare, in genere vicinoal bordo d’attacco10, posto a una certa distanza b1 dall’asse di rotazione, e possibile utilizzare ancoral’approssimazione stazionaria.

In pratica, per il calcolo delle forze aerodinamiche, si utilizza l’angolo di incidenza instazionariocalcolato con la velocita relativa di P1.

L’approssimazione stazionaria e comunemente accettata per frequenze ridotte inferiori a 0.01, ma c’e chi fa salire questonumero fino a 0.1 ed oltre.

10Alcuni autori, utilizzando la teoria dei profili sottili applicata ad una lamina piana in moto oscillatorio armonico, fannocadere questo punto a 3/4 della corda, quindi in posizione opposta al centro aerodinamico che, per la medesima teoria, cadead 1/4 della corda. Tuttavia, i risultati ottenuti in questo modo sono a volte in contrasto con l’evidenza sperimentale. Lamotivazione sostanziale e legata al fatto che l’approssimazione stazionaria delle forze e del momento aerodinamico non e ingrado di descriverne la dipendenza dalla sola velocita di rotazione del profilo, perche non contiene l’informazione associataa questo ingresso; sono necessarie approssimazioni di ordine superiore, ad esempio l’approssimazione quasi-stazionaria.

Quest’ultima parte dalla definizione dei coefficienti aerodinamici come risposta di un sistema dinamico

CA (s) = H (s)α (s) (15.78)

Se la soluzione di interesse e caratterizzata da una bassa frequenza ridotta, e ragionevole supporre che uno sviluppo in seriedi Taylor attorno alla frequenza nulla possa descriverne, in prima battuta, la dinamica. Quindi

H (s) ∼= H (0) +∂H

∂s

∣

∣

∣

∣

s=0

s+1

2

∂2H

∂s2

∣

∣

∣

∣

s=0

s2 (15.79)

Si verifica che la parte reale della funzione complessa H (s) e simmetrica rispetto all’asse immaginario, mentre la parteimmaginaria e antisimmetrica; quindi, se la funzione e regolare nell’intorno di 0, la si puo valutare in 0 assieme alle suederivate rispetto a s, ottenendo numeri reali. Ma quando si moltiplica la (15.79) per α (s), si ha che sα (s) nel dominiodel tempo corrisponde a α (t), mentre s2α (s) nel dominio del tempo corrisponde a α (t); quindi, dal momento che lafunzione di trasferimento H e le sue derivate sono costanti in quanto valutate a frequenza nulla, l’approssimazione dellarelazione (15.78) ottenuta mediante la (15.79) puo essere rappresentata nel dominio del tempo come

CA (t) ∼= H (0)α (t) +∂H

∂s

∣

∣

∣

∣

s=0

α (t) +1

2

∂2H

∂s2

∣

∣

∣

∣

s=0

α (t) (15.80)

Se ci si ferma al termine di ordine 0 si ottiene l’approssimazione stazionaria; le approssimazioni ottenute considerandotermini di ordine superiore vanno sotto il nome generale di approssimazione quasi-stazionaria.

L’errore che si ottiene considerando anche l’effetto dell’incidenza associata a θ nell’approssimazione stazionaria eessenzialmente dovuto al fatto che si sta scrivendo qualcosa del tipo

CA (t) ∼= H (0)

(

α (t) +b1

V∞θ (t)

)

(15.81)

che, come si puo notare, e ben diverso dalla (15.80) arrestata al primo ordine: innanzitutto θ e solo una porzione di α,inoltre manca completamente l’informazione su ∂H/∂s. Cio nonostante, l’uso della (15.81) per frequenze ridotte moltopiccole da una parte e ritenuto accettabile, dall’altra e desiderabile perche consente di introdurre smorzamento di naturaaerodinamica anche sulla coordinata libera di rotazione, pur conoscendo soltanto i coefficienti aerodinamici stazionari. Peruna formalizzazione del concetto di approssimazione di modelli dinamici si rimanda al capitolo 14.

15-14

Varra quindi

Vt = x+ b1θ (15.82)

Vr =

√

V 2∞ +

(

x+ b1θ)2

(15.83)

ψ = − tan−1

(

x+ b1θ

V∞

)

(15.84)

Se si considerano piccole perturbazioni di x e θ attorno all’equilibrio, valgono le consuete approssimazioni

sinψ = sin

(

− x+ b1θ

Vr

)

∼= − x+ b1θ

V∞(15.85)

cosψ =V∞

Vr∼= 1 (15.86)

L’angolo di incidenza che si utilizza per il calcolo dei coefficienti aerodinamici secondo l’approssimazionestazionaria e quindi, ad ogni istante di tempo, dato dalla somma dell’angolo di incidenza cinematicaψ, ottenuto considerando l’angolo formato dalla velocita relativa, per composizione della velocita ditraslazione del corpo e della velocita del vento, con una direzione di riferimento sul corpo, e dell’angolodi incidenza geometrica θ, legato alla rotazione della linea di riferimento rispetto al vento asintotico,ovvero

α = ψ + θ ∼= − x+ b1θ

V∞+ θ (15.87)

per cui il sistema di equazioni differenziali che descrive il moto della sezione tipica diventa

[m 00 J

]x

θ

+

[rx 00 rxl

2

]x

θ

+

[kx 00 kxl

2

]xθ

=1

2ρV 2

r S

CL (α) cosψ + CD (α) sinψ

cCM (α)

,

(15.88)

dove ai coefficienti di portanza e resistenza si aggiunge il coefficiente di momento CM rispetto al punto acui e riferita la rotazione θ, mentre la corda c viene aggiunta per una corretta dimensionalizzazione delmomento aerodinamico.

Dopo aver linearizzato attorno alla posizione di equilibrio, che per semplicita si assume essere α = 0,e considerando un profilo simmetrico quale il NACA0009 di figura 15.11, per il quale i coefficienti diportanza e di momento rispetto al centro aerodinamico sono nulli per α = 0, mentre il coefficiente diresistenza presenta un minimo, si ottiene:

CL (α) cosψ + CD (α) sinψ ∼==0

︷︸︸︷

CL (0)+

≈2π︷︸︸︷

dCL

dα

∣∣∣∣∣α=0

α− CD (0)x+ b1θ

V∞(15.89a)

CM (α) ∼= CM (0)︸︷︷︸

=0

+dCM

dα

∣∣∣∣∣α=0

α (15.89b)

Sostituendo ad α la sua espressione (15.87) in funzione delle coordinate libere, e riordinando i terminidelle equazioni, le forze di campo linearizzate possono essere scritte, in forma matriciale, come

FM

= −1

2ρV 2

∞S

1

V∞

(CL/α + CD (0)

) b1

V∞

(CL/α + CD (0)

)

c

V∞CM/α

cb1

V∞CM/α

x

θ

− 1

2ρV 2

∞S

[0 −CL/α0 −cCM/α

]xθ

(15.90)

15-15

Figura 15.11: Curve CL-α, CD-α e CM -α del profilo NACA 0009.

15-16

dove per praticita si e usata la notazione C/α ≡ dC/dα, per cui

[RT ] =

rx +1

2ρV∞S

(CL/α + CD (0)

) 1

2ρV∞Sb1

(CL/α + CD (0)

)

1

2ρV∞ScCM/α rxl

2 +1

2ρV∞Sb1cCM/α

(15.91)

[KT ] =

kx −1

2ρV 2

∞SCL/α

0 kxl2 − 1

2ρV 2

∞ScCM/α

(15.92)

Instabilita legate allo smorzamento aerodinamico

Dall’analisi delle matrici (15.91, 15.92) si deduce la possibilita di avere instabilita dinamica per il gradodi liberta di spostamento (tipicamente associato alla flessione dell’ala) se

rx +1

2ρV∞S

(CL/α + CD (0)

)< 0, (15.93)

mentre il profilo sarebbe instabile per quanto concerne il grado di liberta torsionale se

rxl2 +

1

2ρV∞Sb1cCM/α < 0. (15.94)

Se nessuna delle condizioni (15.93, 15.94) e verificata, la matrice [RT ] risulta definita positiva a condizioneche il suo determinante sia positivo, ovvero

rx

(

rxl2 +

(1

2ρV∞S

)2(l2(CL/α + CD(0)

)+ b1cCM/α

)

)

> 0. (15.95)

Come e noto, per i profili alari normalmente usati si ha CL/α > 0 (pari a circa 2π) per piccoliangoli di incidenza, lontano dall’incidenza di stallo. Sempre nell’ipotesi di angoli di incidenza lontani daquello di stallo, il coefficiente di momento, quando e riferito al centro aerodinamico del profilo, ovveroCM = CMCA, per definizione non dipende dall’angolo di incidenza; quindi, per piccoli angoli di incidenzaCMCA/α ≡ 0. Se viceversa il punto al quale sono riferite le coordinate libere si trova in posizione arretratarispetto al centro aerodinamico, detta e la distanza tra tale punto ed il centro aerodinamico, il coefficientedi momento CM nel generico punto di riferimento si ricava dalla relazione

1

2ρV 2ScCM (α) =

1

2ρV 2ScCMCA +

1

2ρV 2SeCL (α) (15.96)

e quindi, dato che ci occorre solo la sua derivata rispetto all’angolo di incidenza,

CM/α =e

cCL/α (15.97)

in quanto, come affermato in precedenza, CMCA/α ≡ 0 per definizione di centro aerodinamico. Neconsegue che un’instabilita associata ad un eventuale smorzamento aerodinamico negativo e improbabile,ma il fenomeno potrebbe avvenire per profili con elevata sezione frontale (ad esempio, travi a semplice odoppio T, ecc.).

Flutter

Tuttavia, analizzando la matrice [KT ], dove si e fatto uso della (15.97), il termine

kT22 = kxl2 − 1

2ρV 2

∞ScCM/α = kxl2 − 1

2ρV 2

∞SeCL/α (15.98)

15-17

(a) Coalescenza lungo l’asse immagi-nario di due frequenze proprie che si di-partono in direzione perpendicolare al-l’asse dando luogo ad una soluzioneinstabile (flutter).

(b) Qualora sia presente smorzamento, leradici non coalescono, ma evolvono in di-rezioni diverse; il flutter potrebbe anche nonavere luogo.

Figura 15.12: Coalescenza, al crescere della velocita V∞, di due frequenze proprie; per semplicita sonomostrate solo le radici con parte immaginaria positiva.

della matrice di rigidezza mostra come le forze aerodinamiche possano modificare la frequenza propriatorsionale del profilo alare riducendola al crescere della velocita, mentre quella flessionale, dipendente dakT11, rimane sostanzialmente costante.

Per cui se, come di solito si verifica per le normali costruzioni aerodnautiche, la frequenza propriatorsionale nel vuoto e piu alta di quella flessionale, e il centro aerodinamico si trova piu avanti (ingenere al 25–27% della corda) rispetto all’asse di rotazione della sezione (dal 25% della corda per lepale di elicottero fino al 35–45% per velivoli commerciali), vi sara sempre una velocita V∞ per cui ledue frequenze diverranno molto prossime, dando luogo al fenomeno del flutter per coalescenza delledue pulsazioni, come illustrato in figura 15.12(a); nella realta, la presenza di smorzamento sia di naturastrutturale che soprattutto di natura aerodinamica potra spostare il fenomeno ad una velocita piu elevata,o addirittura inibirlo, in quanto gli autovalori tenderanno a comportarsi come in figura 15.12(b): non vie una vera e propria coalescenza degli autovalori, che rimangono sempre distinti, ma semplicemente unavvicinamento lungo la direzione immaginaria, a cui puo seguire un allontanamento lungo la direzionereale.

Divergenza aeroelastica

Il coefficiente kT22 consente anche di mettere in luce un’altra forma di instabilita aeroelastica, che siottiene quando la velocita V∞, e quindi la pressione dinamica, assume un valore tale per cui kT22 = 0

1

2ρV 2

∞ =kxl

2

SeCL/α(15.99)

In tale caso la matrice [KT ] diventa singolare, e quindi si ha una condizione di stabilita statica indifferente,ovvero una condizione di limite di stabilita a frequenza nulla.

Questo fenomeno va sotto il nome di divergenza aeroelastica, e la velocita a cui avviene si chiamavelocita di divergenza. E evidente che se la frequenza del modo flessionale e inferiore a quella del modotorsionale nel vuoto, al crescere della velocita V∞ la frequenza torsionale intersechera quella flessionaleprima di annullarsi, e quindi la condizione di flutter viene tipicamente incontrata prima di quella didivergenza. Per questo motivo, nelle tipiche costruzioni aeronautiche la condizione di divergenza rara-mente diventa critica, mentre quella di flutter e spesso determinante nelle scelte di progetto. Tuttaviala semplice riduzione di rigidezza torsionale dovuta alla presenza delle forze aerodinamiche puo influen-zare significativamente il comportamento sia statico che dinamico del velivolo gia a velocita decisamenteinferiori a quella di divergenza, ad esempio sotto forma di fenomeni quali l’inversione dei comandi.

15-18

Appendice A

Cenni di dinamica del corpo rigidonello spazio


A.1 Introduzione

In questo capitolo si richiama la dinamica del corpo rigido nello spazio. Lo studio di questo argomen-to e alla base della dinamica di sistemi di vario tipo e complessita. Ne viene presentata nel seguitol’applicazione alla modellazione dei giroscopi meccanici, come quello illustrato in figura A.1.

Figura A.1: Il giroscopio (Applied Dynamics - F.C. Moon 1998) applicato alla misura del rateo diimbardata (yaw rate) di un velivolo (immagine del velivolo da http://www.lucytravels.com).

Questi strumenti consentono la misura indiretta della velocita angolare di un corpo rigido rispettoad un sistema di riferimento inerziale. Questa misura e fondamentale per la realizzazione dei sistemidi navigazione inerziale (Inertial Measurement Unit, IMU), che sono alla base non solo dei sistemi di

A-1

navigazione strumentale dei velivoli e dei veicoli spaziali, ma anche di numerosi altri sistemi di ausilio allacondotta dei veicoli, quali i sistemi di controllo della stabilita dei veicoli (Electronic Stability Control,ESC, dei quali il piu famoso e quello sviluppato da Bosch e Mercedes-Benz e noto come ElektronischesStabilitatsprogramm, ESP).

I giroscopi meccanici presentano alcuni svantaggi che ne sconsigliano l’uso nei moderni sistemi dinavigazione inerziale, soppiantati da sistemi laser per applicazioni ad alta precisione (e costo) o da sistemimicro-elettro-meccanici (Micro-Electro Mechanical Systems, MEMS) per applicazioni a bassa precisione(e costo; la carenza di precisione viene compensata dalla fusione di misure diverse). La teoria alla basedei giroscopi meccanici presenta tuttavia un indubbio interesse didattico, storico ma anche applicativo.

A.2 Dinamica del corpo rigido nello spazio

Al fine di fornire uno strumento per la valutazione della dinamica del corpo rigido, che permetta dipassare in modo generale alla dinamica nello spazio, si vogliono formulare alcune considerazioni alla basedell’analisi dinamica di sistemi multicorpo nello spazio.

A.2.1 Richiami di calcolo vettoriale in notazione matriciale

La posizione di un punto P nello spazio e identificabile mediante un vettore. Se si utilizza un sistema diriferimento cartesiano ortogonale caratterizzato dalla terna destrorsa ~i, ~j, ~k, le componenti del vettoresono le sue coordinate. Le coordinate del vettore possono venire organizzate in forma matriciale. Einfatti possibile passare da un vettore (P −O) nella forma:

(P −O) = px~i+ py~j + pz~k (A.1)

alla forma matriciale alternativa:

(P −O) =

pxpypz

(A.2)

Prodotto scalare

Il prodotto scalare tra due vettori (P −O) e (Q−O), indicato come (P −O)× (Q−O), e lo scalare

(P −O)× (Q−O) = pxqx + pyqy + pzqz. (A.3)

Utilizzando il formalismo matriciale si ottiene

(P −O)× (Q−O) =

pxpypz

T

qxqyqz

= pxqx + pyqy + pzqz. (A.4)

Si noti come il primo vettore, (P−O), sia stato trasposto, in modo da rendere lecito il prodotto matricialetra un vettore riga e un vettore colonna di pari lunghezza1.

Prodotto vettore

Il prodotto vettore di due vettori (P − O) e (Q− O), indicato come (P − O) ∧ (Q− O), e un vettore dicomponenti:

(P −O) ∧ (Q−O) =

∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~kpx py pzqx qy qz

∣∣∣∣∣∣

= (pyqz − pzqy)~i+ (pzqx − pxqz)~j + (pxqy − pyqx)~k. (A.5)

1Si ricordi che il prodotto tra matrici richiede che la matrice a sinistra abbia numero di colonne pari al numero di righedella matrice a destra.

A-2

Al medesimo risultato si arriva definendo la matrice antisimmetrica2 [(P −O) ∧ ],

[(P −O) ∧ ] =

0 −pz pypz 0 −px−py px 0

, (A.6)

costruita a partire dal primo vettore nel prodotto di Eq. (A.5), e calcolando poi il prodotto matrice-vettore

(P −O) ∧ (Q−O) = [(P −O) ∧ ] (Q−O)

=


qxqyqz

=

pyqz − pzqypzqx − pxqzpxqy − pyqx

. (A.7)

Proprieta dell’algebra vettoriale

L’algebra vettoriale presenta utili proprieta, che nel formalismo matriciale possono assumere una formanotevole. Le piu importanti e utili, facilmente verificabili3, sono:

~p× ~q = ~q × ~p pT q = qT p (A.8a)

~p ∧ ~q = −~q ∧ ~p [p ∧ ] q = − [q ∧ ] p (A.8b)

~r × (~p ∧ ~q) = −~q × (~p ∧ ~r) [p ∧ ]T= − [p ∧ ] (A.8c)

~p ∧ ~q ∧ ~r = ~q (~p× ~r)− (~q × ~p)~r [p ∧ ] [q ∧ ] = q pT − qT p [I] (A.8d)

~0 = ~p ∧ ~q ∧ ~r + ~q ∧ ~r ∧ ~p 0 = [p ∧ ] [q ∧ ] r+ [q ∧ ] [r ∧ ] p+ ~r ∧ ~p ∧ ~q + [r ∧ ] [p ∧ ] q (A.8e)

(~p ∧ ~q) ∧ ~r = ~p ∧ ~q ∧ ~r − ~q ∧ ~p ∧ ~r [([p ∧ ] q) ∧ ] = [p ∧ ] [q ∧ ]− [q ∧ ] [p ∧ ]

= ~q (~p× ~r)− ~p (~q × ~r) = q pT − p qT (A.8f)

Si ricordi che l’associativita del prodotto vettore e da destra, ovvero

~p ∧ ~q ∧ ~r = ~p ∧ (~q ∧ ~r) . (A.9)

Nei casi dubbi, si consiglia l’uso delle parentesi come nella (A.9).

Esercizio A.1 Verificare le proprieta descritte nelle (A.8), utilizzando sia la notazione vettoriale chequella matriciale.

A.2.2 Cinematica del punto materiale nello spazio

Per definire la cinematica di un corpo rigido, si puo fare riferimento ai moti relativi. In particolare eutile definire il moto di un generico punto P in funzione della sua posizione all’interno del corpo, e delmoto rigido del corpo stesso.

Posizione di un punto solidale ad un corpo rigido

Si definisca la posizione del punto P rispetto all’origine O, data dal vettore (P −O). Tale posizione puoessere descritta come la somma della posizione di P rispetto ad un polo Q arbitrario ma solidale con ilcorpo rigido, (P −Q), e della posizione del polo Q rispetto all’origine, (Q−O), ovvero

(P −O) = (P −Q) + (Q−O) . (A.10)

Se il corpo a cui appartengono i punti P e Q e rigido, la loro distanza ‖P −Q‖ non cambia. Tuttavia,per effetto della rotazione rigida del corpo, puo cambiare l’orientazione del vettore (P − Q) rispetto alsistema di riferimento inerziale.

2Una matrice [A] e antisimmetrica quando la sua trasposta e uguale al suo opposto, [A]T = − [A].3Alcune delle proprieta illustrate nelle (A.8) sono ovvie, altre richiedono manipolazioni non banali. Non ne viene data

dimostrazione perche esula dagli scopi del corso.

A-3

Velocita di un punto solidale ad un corpo rigido

La velocita del punto P si ottiene dalla derivata rispetto al tempo della (A.10),

~vP =d

dt(P −O) =

d

dt(P −Q) +

d

dt(Q−O) . (A.11)

Il primo termine a secondo membro della (A.11), d(P − Q)/dt, rappresenta un cambiamento di orien-tazione del vettore (P − Q), il cui modulo e costante per l’ipotesi di corpo rigido. Il secondo terminea secondo membro della (A.11), d(Q − O)/dt, rappresenta la velocita assoluta del punto Q, ~vQ. Diconseguenza, la (A.11) puo essere riscritta come

~vP = ~vQ + ~r (A.12)

dove ~r = (P −Q).Siccome per la definizione di corpo rigido il vettore posizione ~r non varia in modulo, la sua derivata

rispetto al tempo e legata alla sola variazione di direzione, che secondo le relazioni di Poisson (si veda lanota 3 di pagina 1-6) risulta essere pari a:

d

dt(P −Q) = ~r = ~ω ∧ ~r. (A.13)

La (A.12) puo essere infine scritta come

~vP = ~vQ + ~ω ∧ ~r, (A.14)

che rappresenta la velocita del punto P in funzione del moto rigido del corpo al quale P e solidale,espresso da ~vQ e ~ω. E comodo esprimere la (A.14) nella forma del tutto analoga

~vP = ~vQ − ~r ∧ ~ω, (A.15)

sfruttando la proprieta del prodotto vettore ~ω ∧ ~r = −~r ∧ ~ω, illustrata nella (A.8b), grazie alla quale epossibile esprimere con notazione matriciale la velocita del punto P ,

vP = vQ − [r ∧ ] ω =[[I] − [r ∧ ]

]

vQω

, (A.16)

in forma lineare rispetto alla velocita vQ e alla velocita angolare ω del corpo rigido.

Accelerazione di un punto solidale ad un corpo rigido

L’accelerazione del punto P , ottenuta per derivazione dal vettore velocita, sara allora data da:

~aP = ~aQ + ~ω ∧ ~r + ~ω ∧ (~ω ∧ ~r) . (A.17)

L’analoga espressione con notazione matriciale e

aP = aQ − [r ∧ ] ω+ [ω ∧ ] [ω ∧ ] r

=[[I] − [r ∧ ]

]

aQω

+ [ω ∧ ] [ω ∧ ] r . (A.18)

Si noti che la matrice che moltiplica da sinistra l’accelerazione aQ e l’accelerazione angolare ω e lamedesima della (A.16).

Esercizio A.2 Utilizzando le proprieta (A.8), mettere in luce come il termine centrifugo delle (A.17,A.18), contenente la velocita angolare ~ω (o ω), sia diretto rispetto al vettore ~r (o r).

L’algebra vettoriale e uno strumento molto potente e sintetico per descrivere la cinematica (e ladinamica) nello spazio, ma a volte male si presta alla scrittura di espressioni di facile implementazionein codici di calcolo, specialmente nel caso di generalizzazione a sistemi con piu corpi rigidi. Al contrariol’algebra matriciale, anche se puo sembrare meno intuitiva e meno adatta alla soluzione manuale disemplici problemi, meglio si presta alla scrittura di codici di calcolo numerico, grazie alla sua piu agevolesistematizzazione: la costruzione delle equazioni risolventi si riduce a sequenze di prodotti tra matrici etra matrici e vettori opportunamente costruiti. In ogni caso le due notazioni sono, inevitabilmente, deltutto equivalenti, e verranno utilizzate indifferentemente nel seguito.

A-4

A.2.3 Descrizione delle rotazioni

In generale, un vettore p puo essere proiettato da un sistema di riferimento ad un altro mediante unatrasformazione lineare, che consiste nella moltiplicazione per una matrice di rotazione, [R]:

p′′ = [R] p′ . (A.19)

Ortonormalita

Le matrici di rotazione godono di alcune proprieta notevoli. La piu importante e la ortonormalita: l’inver-sa della matrice e uguale alla sua trasposta. Questa proprieta si desume da una semplice constatazione:il prodotto scalare tra due vettori non dipende dal sistema di riferimento in cui sono espressi.

Si considerino due vettori, p e q, espressi in un dato sistema di riferimento, indicato con unsingolo apice. Se entrambi i vettori sono proiettati in un altro sistema di riferimento, indicato con dueapici, tramite la matrice di rotazione [R],

p′′ = [R] p′ (A.20a)

q′′ = [R] q′ , (A.20b)

il loro prodotto scalare deve rimanere invariato. Ne risulta

p′T q′ = p′′T q′′ = p′T [R]T[R] q′ . (A.21)

Se ne deduce che [R]T[R] = [I] e quindi

[R]−1

= [R]T. (A.22)

Rotazioni attorno agli assi coordinati

La descrizione delle numerose proprieta delle matrici di rotazione, e di come queste possano essere piuo meno efficientemente parametrizzate in funzione dei numerosi tipi di parametri esula dallo scopo diquesto corso. Viene solamente proposta la costruzione delle matrici di rotazione associate a rotazioniattorno ad uno degli assi coordinati del sistema di riferimento iniziale.

[R]x =

1 0 00 cosα − sinα0 sinα cosα

[R]y =

cosβ 0 sinβ0 1 0

− sinβ 0 cosβ

[R]z =

cos γ − sin γ 0sin γ cos γ 00 0 1

.

(A.23)

Dal punto di vista del calcolo numerico queste trasformazioni corrispondono a rotazioni di Givens in unospazio a tre dimensioni. Esse sono alla base di numerosi algoritmi per la trasformazione di matrici, adesempio la decomposizione QR.

Sequenze di rotazioni

E bene ricordare che le rotazioni non si sommano; viceversa, la rotazione corrispondente ad una sequenzadi rotazioni si ricava moltiplicando le relative matrici di rotazione.

Occorre prestare attenzione al fatto che ogni rotazione viene riferita all’orientazione risultante dallacombinazione delle rotazioni precedenti. La figura A.2 mostra la dipendenza dell’orientazione finale dallasequenza con cui sono effettuate le rotazioni intermedie. Ad esempio, una rotazione di 90 gradi attornoall’asse z come quella descritta da [R]z porta l’asse x finale ad allinearsi all’asse y iniziale (da A a B). Diconseguenza, una successiva rotazione attorno all’asse x finale (da B a C) avverrebbe attorno a quelloche inizialmente era l’asse y. Se la sequenza delle rotazioni venisse invertita, e quindi si eseguisse primauna rotazione attorno all’asse x (da A a D), seguita da una rotazione attorno all’asse z (da D a E),l’orientazione finale del corpo sarebbe diversa da quella ottenuta nel primo caso.

A-5

x

x x

yy

y

z

z

z

x

y

z z

y

xA

ED

BC

Figura A.2: Sequenza di rotazioni.

Rotazione e velocita angolare

E utile considerare come la velocita angolare ω si ricavi dalla derivazione della matrice di rotazione.Siccome una rotazione non modifica la lunghezza di un vettore, ma al piu ne cambia l’orientazione, questovale anche per i versori di un sistema di riferimento. Per questo motivo, in base alle relazioni di Poissonillustrate nella nota 3 di pagina 1-6, la derivata rispetto al tempo di una matrice di rotazione da

[

R]

= [ω ∧ ] [R] . (A.24)

Dalla (A.24) e immediato notare come[

R]

[R]T= [ω ∧ ] . (A.25)

Si premoltiplichi ora la (A.24) per [R]T:

[R]T[

R]

= [R]T[ω ∧ ] [R] . (A.26)

E relativamente semplice verificare che

[R]T[ω ∧ ] [R] =

[(

[R]T ω

)

∧]

= [ω ∧ ] , (A.27)

dove ω = [R]T ω e la velocita angolare ω, definita nel sistema assoluto, proiettata quindi nel

sistema di riferimento definito dalla matrice [R] mediante premoltiplicazione per [R]T.

Le matrici di rotazione verranno usate nel seguito per formulare nel modo piu conveniente i problemidi dinamica dei corpi rigidi nello spazio.

Esercizio A.3 Si verifichi la (A.24). (Suggerimento: si derivi la relazione [R] [R]T

= [I] rispetto altempo).

Esercizio A.4 Si verifichi la (A.27). (Suggerimento: si derivi la relazione [R]T[R] = [I] rispetto al

tempo, e la si confronti con la precedente).

Esercizio A.5 A partire dalla (A.24), si ricavi la velocita angolare dalle matrici di rotazione descrittenella (A.23) e dalle loro derivate temporali.

Esercizio A.6 Come si potrebbe definire la variazione virtuale di orientazione, da utilizzare per scrivereil lavoro virtuale di una coppia?

A.2.4 Forze e coppie d’inerzia

L’accelerazione del generico punto P , data dalla (A.18), e pesata dalla densita che il materiale di cui ecostituito il corpo ha nel punto P , da la forza d’inerzia elementare che agisce sul corpo nel punto P ,

d~Fi = −ρ~aPdV. (A.28)

A-6

Forza d’inerzia

L’integrale della (A.28) sul volume V da la forza d’inerzia complessiva che agisce sul corpo, ricordando

che ~aQ, ~ω e ~ω non dipendono dalla posizione del punto P ,

~Fi = −∫

V

ρ~aPdV = −∫

V

ρ(

~aQ − ~r ∧ ~ω + ~ω ∧ ~ω ∧ ~r)

dV

= −(∫

V

ρdV

)

︸︷︷︸

m

~aQ +

(∫

V

ρ~rdV

)

︸︷︷︸

~sQ

∧~ω − ~ω ∧ ~ω ∧(∫

V

ρ~rdV

)

︸︷︷︸

~sQ

= −(

m~aQ − ~sQ ∧ ~ω + ~ω ∧ ~ω ∧ ~sQ)

, (A.29)

ove e stato messo in evidenza il momento statico rispetto al polo Q, ~sQ. In notazione matriciale, ilmomento statico e

sQ =

∫

V

ρ r dV =

∫

V

ρ

xyz

dV. (A.30)

Si ricordi che il vettore ~r (o r) e costante in modulo, ma cambia direzione al variare dell’orientazionedel corpo. Sempre in notazione matriciale, la (A.29) diventa

Fi = − (m aQ − [sQ ∧ ] ω+ [ω ∧ ] [ω ∧ ] sQ) . (A.31)

Il polo Q puo essere opportunamente scelto in modo da annullare il momento statico ~sQ (o sQ). Ilpunto che soddisfa questo requisito e il baricentro del corpo rigido, G. In tale caso, se si pone Q = G,la (A.31) diventa semplicemente

Fi = −m aG , (A.32)

dove aG e l’accelerazione del baricentro G. La (A.32) mostra come, per quanto riguarda la forzad’inerzia, il caso tridimensionale non si discosti da quanto anticipato nel caso piano: essa e direttamenteproporzionale all’accelerazione attraverso la massa.

Coppia d’inerzia

Il momento dell’azione d’inerzia (A.28) rispetto al polo generico Q e

~CiQ = −∫

V

ρ~r ∧ ~aPdV = −∫

V

ρ~r ∧(

~aQ − ~r ∧ ~ω + ~ω ∧ ~ω ∧ ~r)

dV (A.33)

Dal momento che, per le (A.8),

~r ∧ ~ω ∧ ~ω ∧ ~r = −~ω ∧ ~r ∧ ~r ∧ ~ω, (A.34)

la (A.33) diventa

~CiQ = −(∫

V

ρ~rdV

)

︸︷︷︸

~sQ

∧~aQ +

∫

V

ρ(

~r ∧ ~r ∧ ~ω + ~ω ∧ ~r ∧ ~r ∧ ~ω)

dV (A.35)

Usando la notazione vettoriale e relativamente piu complicato4 esprimere il contributo alla coppia d’in-erzia dato dal secondo integrale a secondo membro isolando la velocita e l’accelerazione angolare, che

4Occorre infatti definire un operatore ⊗ tale per cui ~r ⊗ ~r diventa un tensore doppio, il cui contributo all’espressionedella coppia e analogo a quello dato dal termine r rT usato nella notazione matriciale.

A-7

non dipendono dalla posizione del punto P . Usando invece la notazione matriciale, la (A.35) diventa

CiQ = −[(∫

V

ρ r dV)

∧]

︸︷︷︸

[sQ∧]

aQ+(∫

V

ρ [r ∧ ] [r ∧ ] dV

)

︸︷︷︸

−[JQ]

ω+ [ω ∧ ]

(∫

V

ρ [r ∧ ] [r ∧ ] dV

)

︸︷︷︸

−[JQ]

ω ,

(A.36)

ove nell’ultimo termine a destra si e fatto uso della rappresentazione matriciale della (A.34) e si e messain evidenza la matrice dei momenti d’inerzia [JQ], valutata rispetto al polo Q. Il momento d’inerzia e5

[JQ] = −∫

V

ρ [r ∧ ] [r ∧ ] dV = −∫

V

ρ

0 −z yz 0 −x−y x 0

0 −z yz 0 −x−y x 0

dV

=

∫

V

ρ

y2 + z2 −xy −xz−yx z2 + x2 −yz−zx −zy x2 + y2

dV =

Ixx −Ixy −Ixz−Iyx Iyy −Iyz−Izx −Izy Izz

. (A.37)

Si ricordi che la matrice dei momenti d’inerzia [JQ] e il momento statico sQ, essendo costruiti medi-ante integrazione sul volume di una relazione che contiene il vettore r, in generale variano al variaredell’orientazione del corpo.

Esercizio A.7 Si esprimano il momento statico sQ e la matrice d’inerzia [JQ] in un sistema diriferimento solidale con il corpo, descritto dalla matrice di rotazione [R].

Esercizio A.8 Si calcoli la derivata rispetto al tempo di momento statico e matrice d’inerzia.

Esercizio A.9 Si calcoli la derivata rispetto al tempo di momento statico e matrice d’inerzia consideran-do la loro espressione in un sistema di riferimento solidale con il corpo, come da esercizio A.7.

Se la coppia d’inerzia e riferita al baricentro G, la (A.36) diventa

CiG = − [JG] ω − [ω ∧ ] [JG] ω . (A.38)

Usando la notazione matriciale, le forze e le coppie d’inerzia possono venire espresse quindi come

FiCiQ

= −([

m [I] [sQ ∧ ]T

[sQ ∧ ] [JQ]

] [aQω

]

+

[

[ω ∧ ] [sQ ∧ ]T

[ω ∧ ] [JQ]

]

ω)

= −([

m [I] [sQ ∧ ]T

[sQ ∧ ] [JQ]

] [aQω

]

− [(

[sQ ∧ ]T ω

)

∧]

[([JQ] ω) ∧ ]

ω)

(A.39a)

che se riferite al baricentro divengono

Fi = −m aG (A.40a)

CiG = − [JG] ω − [ω ∧ ] [JG] ω = − [JG] ω+ [([JG] ω) ∧ ] ω . (A.40b)

La coppia d’inerzia nel caso tridimensionale si differenzia dal caso piano in quanto in generale puodipendere non solo dall’accelerazione angolare, ma anche dalla velocita angolare ~ω. Questo traduce, adesempio, il fenomeno per cui un moto rotatorio a velocita angolare anche costante puo dare luogo acoppie d’inerzia attorno ad assi diversi da quello di rotazione. Quello che succede e che l’accelerazionecentripeta dovuta alla velocita angolare puo dare luogo a forze d’inerzia che hanno braccio non nullorispetto all’asse o al polo di rotazione, e quindi a coppie d’inerzia anche in assenza di accelerazione.

Esercizio A.10 Verificare la (A.34).

5Si noti che la matrice dei momenti di inerzia e simmetrica e definita positiva. A volte, in letteratura, i terminiextra-diagonali sono definiti con segno opposto rispetto a quello indicato nella (A.37).

A-8

Esercizio A.11 La matrice dei momenti d’inerzia [JQ] per definizione e simmetrica definita positi-va. Tuttavia queste proprieta non sono direttamente desumibili dalla definizione data nella (A.36). Siverifichi la simmetria e la positiva definizione della matrice [JQ].

Esercizio A.12 Si valuti la potenza associata alle coppie d’inerzia (si consideri ad esempio la (A.40b)).

Esercizio A.13 Si valutino le forze e le coppie d’inerzia dovute ad un moto puramente rotatorio attornoall’asse z (~ω = ωz~k, ~ω = ωz~k) passante per il baricentro di un corpo rigido.

A.2.5 Geometria delle masse

Come gia notato in precedenza, le equazioni del moto possono essere ricavate attraverso diversi pro-cedimenti, fra loro equivalenti. La scelta di un particolare procedimento puo essere vantaggiosa nelmomento in cui comporta una semplificazione o un minore sforzo nel giungere a risultati che devononecessariamente essere analoghi.

Matrice di inerzia nell’espressione dell’energia cinetica

Nel caso del formalismo di Lagrange, il contributo alle equazioni del moto dato dalle forze di inerzia siricava a partire dall’energia cinetica. L’energia cinetica associata al movimento di un corpo rigido nellospazio e

T =1

2

∫

V

ρ~vP × ~vPdV =1

2

∫

V

ρ (~vQ − ~r ∧ ~ω)× (~vQ − ~r ∧ ~ω) dV. (A.41)

Anche in questo caso, la notazione vettoriale risulta meno intuitiva nel momento in cui occorre considerareil termine associato al momento d’inerzia.

Usando la notazione matriciale,

T =1

2

∫

V

ρ vP T vP dV =1

2

∫

V

ρ (vQ − [r ∧ ] ω)T (vQ − [r ∧ ] ω) dV

=1

2

∫

V

ρ vQT vQ dV − 1

2

∫

V

ρ ωT [r ∧ ]T vQ dV

− 1

2

∫

V

ρ vQT [r ∧ ] ωdV +1

2

∫

V

ρ ωT [r ∧ ]T[r ∧ ] ω dV (A.42)

Siccome la velocita del punto di riferimento, o polo, Q, ovvero vQ e la velocita angolare del corporigido ω non dipendono dalla posizione all’interno del corpo, r, possono essere portati fuori dagliintegrali. La (A.42) diventa

T =1

2vQT

(∫

V

ρdV

)

︸︷︷︸

m

vQ −1

2ωT

(∫

V

ρ [r ∧ ]TdV

)

︸︷︷︸

[sQ∧]T

vQ

− 1

2vQT

(∫

V

ρ [r ∧ ] dV

)

︸︷︷︸

[sQ∧]

ω+ 1

2ωT

(∫

V

ρ [r ∧ ]T[r ∧ ] dV

)

︸︷︷︸

[JQ]

ω . (A.43)

E agevole verificare come la massam, il momento statico [sQ ∧ ] e il momento d’inerzia [JQ] corrispondanoa quelli ottenuti nel paragrafo precedente. L’energia cinetica puo essere scritta come

T =1

2

vQω

T [m [I] [sQ ∧ ]

T

[sQ ∧ ] [JQ]

]vQω

. (A.44)

Nel caso particolare in cui il punto Q coincida con il baricentro G del corpo, l’espressione (A.44)dell’energia cinetica diventa

T =1

2m vGT vG+

1

2ωT [JG] ω , (A.45)

A-9

ovvero il noto teorema di Konig, ove la matrice dei momenti di inerzia [JG] e ora riferita al baricentro6.

Energia cinetica nel formalismo di Lagrange

L’utilizzo dell’espressione (A.45) dell’energia cinetica nel formalismo di Lagrange richiede una certacautela, perche il momento d’inerzia [JG] dipende dall’orientazione del corpo, e il legame tra questa e lavelocita angolare ω non e riducibile in modo semplice alla relazione tra le coordinate Lagrangiane qe le loro derivate q.

E tuttavia possibile dimostrare che, espressa la velocita angolare del corpo nella forma

ω =

[∂ ω∂ q

]

q (A.47)

in funzione della derivata rispetto al tempo delle coordinate Lagrangiane q, il contributo dell’energiacinetica associata alla rotazione del corpo alle equazioni del moto generalizzate rispetto alle coordinateq si ottiene nella forma

[∂ ω∂ q

]T

([ω ∧ ] [JG] ω+ [JG] ω) = Qq , (A.48)

ove Qq sono le forze generalizzate che compiono lavoro per una variazione virtuale delle coordinate

libere q, posto tale lavoro pari a δL = δ qT Qq. Si noti bene che le Qq non sono neces-sariamente momenti in senso stretto, in quanto sono coniugate alle variazioni virtuali dei parametri dirotazione δ q, e non a rotazioni virtuali.

Matrice d’inerzia nella scrittura di quantita di moto e momento delle quantita di moto

E inoltre possibile definire la quantita di moto e il momento delle quantita di moto come

QΓQ

=

[

m [I] [sQ ∧ ]T

[sQ ∧ ] [JQ]

]vP ω

(A.49)

che, se riferiti al baricentro G del corpo, diventano

Q = m vG (A.50a)

ΓG = [JG] ω . (A.50b)

La derivata rispetto al tempo delle (A.50) fornisce di nuovo le (A.40), ovvero le forze e le coppie diinerzia relative al corpo rigido per un movimento riferito al baricentro. Quest’ultimo e anche il polo acui e riferito il momento.

Esercizio A.14 Si verifichi che la derivata delle (A.50) fornisce le (A.40).

6La matrice di inerzia riferita al baricentro consente una ulteriore semplificazione. Si osservi come, in generale, datauna arbitraria velocita angolare ω, il corrispondente momento delle quantita di moto ΓG = [JG] ω sia un vettorenon parallelo a ω, ovvero non e garantito che esista uno scalare γ tale per cui ΓG = γ ω. Se si ipotizza che esistanoparticolari valori di ω, detti ω, tali per cui il corrispondente

ΓG

risulta parallelo a ω attraverso un coefficiente diproporzionalita γ, si ottiene

γ ω = [JG] ω (A.46)

La (A.46) e un problema agli autovalori in forma canonica, tipo [A] x = λ x, la cui soluzione sono i tre valori di γ,detti momenti principali d’inerzia, per cui esistono altrettante direzioni u = ω / ‖ω‖, mutuamente ortogonali, chedefiniscono l’orientazione del sistema di riferimento principale d’inerzia (gli assi principali d’inerzia) rispetto al sistemadi riferimento in cui e espressa la matrice [JG]. Dal momento che la matrice [JG] e simmetrica definita positiva, i suoiautovalori, ovvero i momenti principali d’inerzia, sono reali e positivi.

A-10

A.2.6 Applicazione al caso piano

Applicando al caso piano quanto appena illustrato nel caso generale, occorre considerare solo le prime dueequazioni (equilibrio alla traslazione nelle direzioni x e y del piano) e l’ultima (equilibrio alla rotazioneattorno all’asse z), in funzione delle rispettive componenti del moto. Si definisca la matrice di massa

[M ] =

m 0 −m (yG − yQ)0 m m (xG − xQ)

−m (yG − yQ) m (xG − xQ) JQ

(A.51)

con

m =

∫

V

ρdV (A.52a)

JQ =

∫

V

(x2 + y2

)dV (A.52b)

per cui l’energia cinetica assume la forma

T =1

2

xQyQωz

T

[M ]

xQyQωz

, (A.53)

con xQ e yQ a indicare le componenti della velocita del punto Q nelle direzioni x e y del piano e ωz aindicare la velocita di rotazione attorno all’asse z. L’energia cinetica riferita al baricentro e

T =1

2m(x2G + y2G

)+

1

2JGω

2z , (A.54)

avendo indicato con xG e yG le componenti del vettore velocita del baricentro del corpo rigido. Infine,la forza e la coppia d’inerzia risultano:

FixFiyCizQ

= − [M ]

xQyQωz

−

m (xG − xQ)m (yG − yQ)

0

ω2z (A.55)

che, se riferite al baricentro, si riducono a

FixFiyCizQ

= −

mxGmyGJGωz

(A.56)

A.3 Fenomeni giroscopici

In assenza di forzanti e di dissipazioni, un corpo in rotazione idealmente tende a mantenere invariato ilsuo momento delle quantita di moto. Si possono intuitivamente distinguere due tipi di variazione delmomento delle quantita di moto. Un tipo e costituito da una variazione della sua entita. A questo tipo divariazione si oppone l’inerzia, ad esempio, del volano di un motore quando viene accelerato. Questo tipodi variazione richiede che sia compiuto un lavoro, perche ad una variazione del momento delle quantitadi moto corrisponde una variazione dell’energia cinetica del corpo.

Un altro tipo e costituito da una variazione della direzione del momento delle quantita di moto, cheinfatti e un vettore. Quando si cerca di cambiare l’orientazione di un corpo in rotazione, questo generadelle coppie, legate all’inerzia, ovvero alla tendenza a contrastare il cambiamento del suo stato di moto.Una variazione di direzione del momento delle quantita di moto che non ne comporti una variazione dientita puo non richiedere che sia compiuto un lavoro, perche e possibile che avvenga senza variazione dienergia cinetica.

Per studiare questo fenomeno, conviene scrivere le coppie d’inerzia che nascono quando l’orientazionedel corpo cambia con una velocita angolare imposta.

A-11

A.3.1 Coppia d’inerzia in un sistema di riferimento relativo

Si consideri innanzitutto la (A.40b), ricordando che la matrice dei momenti d’inerzia [JG] dipende dal-l’orientazione del corpo. Si supponga il corpo vincolato in modo che il proprio baricentro non si possaspostare. Il moto rigido consentito dai vincoli e costituito da una variazione arbitraria dell’orientazionedel corpo.

Inerzia indipendente dall’orientazione del corpo

In generale, e possibile scegliere un sistema di riferimento solidale con il corpo, nel quale la matrice deimomenti d’inerzia sia costante e pari a

[JG]. La velocita angolare del corpo, espressa in un sistema di

riferimento inerziale, sia ω. La velocita angolare puo essere espressa nel sistema di riferimento solidalecon il corpo moltiplicandola per la trasposta della matrice di rotazione [R], che esprime l’orientazione

del corpo rispetto al sistema di riferimento inerziale, ovvero ω = [R]T ω.

La (A.40b), proiettata nel sistema di riferimento del corpo moltiplicandola per la trasposta dellamatrice di rotazione [R],

[R]T CiG = − [R]

T[ω ∧ ] [R]

[JG]ω −

[JG][R]

T ω (A.57)

fornisce le coppie d’inerzia nel sistema di riferimento del corpo.E lecito domandarsi che cosa si ottenga derivando la velocita angolare nel sistema di riferimento

solidale con il corpo, ω. Si derivi l’espressione ω = [R] ω rispetto al tempo. Si ottiene

ω = [ω ∧ ] [R] ω+ [R]ω. (A.58)

Si noti come il primo termine a secondo membro possa essere ricondotto a [ω ∧ ] ω = 0. Diconseguenza, vale la relazione

ω= [R]

T ω , (A.59)

secondo la quale la derivata della velocita angolare nel sistema di riferimento solidale con il corpo consentedi ottenere l’accelerazione angolare nel medesimo sistema7.

Ricordando inoltre la relazione (A.27),

[R]T[ω ∧ ] [R] =

[(

[R]T ω

)

∧]

= [ω∧] , (A.60)

qui riscritta per comodita, si ottiene

[R]T CiG = − [ω∧]

[JG]ω −

[JG] ω. (A.61)

Velocita angolare nel sistema solidale con il corpo

Le relazioni precedenti sono di relativamente facile uso e possono essere applicate in un qualsiasi sistemadi riferimento avendo naturalmente l’accortezza di esprimere tutte le quantita nello stesso sistema.

Si consideri ad esempio un corpo rigido messo in rotazione rispetto ad un suo asse z con velocitaangolare Φ, detta velocita di nutazione o di spin. Dal punto di vista fisico, si puo immaginare il corporotante rispetto ad una cassa, alla quale e collegato mediante due perni lungo l’asse z comune a corpo ecassa. La rotazione tra corpo e cassa e data dalla matrice di rotazione

[R]corpo-cassa =

cosΦ − sinΦ 0sinΦ cosΦ 00 0 1

. (A.62)

7Si noti bene che

ω

e l’accelerazione angolare assoluta proiettata in un sistema di riferimento solidale con il corpo,cosı come ω e la velocita angolare assoluta proiettata in un sistema di riferimento solidale con il corpo; non sono innessun caso grandezze relative che, nell’ipotesi di corpo rigido, per definizione sarebbero necessariamente nulle.

A-12

La velocita angolare tra corpo e cassa, sia in un sistema di riferimento solidale con il corpo che in unosolidale con la cassa, e quindi

ωcorpo-cassa =

00

Φ

. (A.63)

Si ipotizzi ora di applicare una rotazione alla cassa, e di conseguenza al corpo ad essa vincolato, rispettoad un asse fisso perpendicolare al precedente, ad esempio l’asse x,

[R]cassa-telaio =

1 0 00 cosΨ − sinΨ0 sinΨ cosΨ

, (A.64)

con velocita Ψ, detta di precessione,

ωcassa-telaio =

Ψ00

, (A.65)

ove con telaio si intende un sistema di riferimento inerziale8.La velocita angolare del corpo nel sistema di riferimento inerziale e data dalla velocita tra corpo

e cassa, ωcorpo-cassa, proiettata nel sistema di riferimento inerziale mediante la matrice di rotazione[R]cassa-telaio, a cui si aggiunge la velocita angolare tra cassa e telaio, ωcassa-telaio,

ωcorpo-telaio = [R]cassa-telaio ωcassa-telaio︸︷︷︸

ωcassa-telaio

+ [R]cassa-telaio [R]corpo-cassa ωcorpo-cassa︸︷︷︸

ωcorpo-cassa

=

Ψ

−Φ sinΨ

Φ cosΨ

. (A.66)

Viceversa, la velocita angolare proiettata nel sistema di riferimento del corpo e data dalla (A.66) premolti-plicata per la matrice di rotazione che porta dal sistema di riferimento inerziale al sistema di riferimentodel corpo,

ωcorpo-telaio = [R]Tcorpo-cassa [R]

Tcassa-telaio ωcorpo-telaio

= [R]Tcorpo-cassa [R]

Tcassa-telaio ωcassa-telaio

︸︷︷︸

ωcassa-telaio

+ [R]Tcorpo-cassa ωcorpo-cassa

︸︷︷︸

ωcorpo-cassa

=

Ψ cosΦ

−Ψ sinΦ

Φ

. (A.67)

La derivata della velocita angolare fornisce l’accelerazione angolare. Se quest’operazione viene ap-plicata alla velocita angolare nel sistema di riferimento inerziale, ω, si ottiene l’accelerazione angolarenel sistema di riferimento inerziale, ω. Si supponga ora, per semplicita, che anche la velocita Ψ siacostante. Questo corrisponde a considerare una condizione di moto a regime. Nella realta cio non si ver-ifichera se non in casi particolari; tuttavia, se l’accelerazione Ψ fosse limitata, il suo effetto sulle coppied’inerzia potrebbe essere considerato alla stregua di un disturbo. Dalla derivazione della (A.67) si ricava

ω

corpo-telaio=

−ΨΦ sinΦ

−ΨΦ cosΦ0

, (A.68)

8Si noti che la cosiddetta ‘messa a terra’ non corrisponde esattamente ad un sistema inerziale, in quanto la Terra e sogget-ta al proprio moto rotatorio, e al moto di rivoluzione attorno al Sole. Mentre quest’ultimo ha velocita angolare decisamentebassa rispetto alle applicazioni di interesse (2π radianti/anno), la velocita di rotazione della Terra (2π radianti/giorno,pari a circa 7.3 · 10−5 radianti/s) puo non essere trascurabile in applicazioni che richiedano particolare precisione, tanto daessere considerata nei sistemi di navigazione inerziale per uso aeronautico.

A-13

avendo supposto che la velocita di rotazione Φ sia mantenuta costante dai motori che mettono in rotazioneil corpo, e che Ψ sia costante per la durata dell’analisi.

Coppia giroscopica nel sistema di riferimento solidale con il corpo

Dalla (A.61), nell’ipotesi che il sistema solidale con il corpo sia anche principale d’inerzia e quindi lamatrice dei momenti d’inerzia

[JG]sia diagonale,

[JG]=

I1 0 00 I2 00 0 I3

, (A.69)

si ricava

[R]T CiG = −

0 −Φ −Ψ sinΦ

Φ 0 −Ψ cosΦ

Ψ sinΦ Ψ cosΦ 0

I1 0 00 I2 00 0 I3

Ψ cosΦ

−Ψ sinΦ

Φ

−

I1 0 00 I2 00 0 I3

−ΨΦ sinΦ

−ΨΦ cosΦ0

. (A.70)

Sviluppando i prodotti matriciali e ricordando che per corpi cilindrici a base circolare per simmetria si hache I1 = I2 = I (momento d’inerzia rispetto ad un qualunque asse contenuto nel piano x–y), si ottiene

[R]T CiG1

=

I3 sinΦI3 cosΦ

0

ΨΦ. (A.71)

Si puo avere una piu immediata interpretazione fisica della coppia d’inerzia proiettandola sul sistema diriferimento della cassa,

[R]Tcassa-telaio CiG = [R]corpo-cassa [R]

T CiG =

0I30

ΨΦ. (A.72)

La coppia che nasce e detta coppia giroscopica. Si noti come la coppia sia proporzionale al prodottodelle due velocita angolari. Si noti anche che la coppia e attorno all’asse y, mentre la velocita angolarecon cui varia l’orientazione della cassa e attorno all’asse x del sistema di riferimento solidale con la cassastessa. Ne consegue che la coppia giroscopica agisce con 90 gradi di sfasamento rispetto al movimento diprecessione.

Applicazioni della coppia giroscopica

Questa coppia e sfruttata in numerose applicazioni, quali ad esempio alcuni strumenti di misura divelocita o di posizione angolari, e le piattaforme inerziali.

Si noti anche come, controllando la velocita Ψ di precessione, e possibile variare l’intensita dellacoppia giroscopica permettendo l’applicazione di una coppia di controllo, anche di elevata entita, perpen-dicolarmente al piano Ψ–Φ. Tale principio e utilizzato nei cosiddetti giroscopi per momenti di controllo(Control Moment Gyros, CMG), utilizzati per il controllo dell’assetto dei satelliti (figura (A.3).

Tale coppia puo essere inoltre fonte di perturbazioni e sollecitazioni strutturali significative. Unfenomeno giroscopico di esperienza comune e legato alla guida di biciclette e motocicli (figura A.4).Questi veicoli, in velocita, devono essere inclinati attorno all’asse di rollio per consentirne la conduzionelungo una traiettoria circolare, per far sı che la combinazione di forza centrifuga e peso, applicata nelbaricentro, passi per la linea di contatto tra le ruote e il terreno. Il passaggio dalla posizione verticale aquella inclinata richiede di cambiare l’orientazione dell’asse di rotazione delle ruote, che si comportanocome veri e propri giroscopi.

A-14

Figura A.3: Un Control Moment Gyro (CMG) della ECP: a sinistra il sistema reale, a destra il modellofisico.

Figura A.4: Effetto della coppia giroscopica sulla forcella anteriore di una motocicletta (Prof. V.Cossalter).

A-15

Durante il transitorio con cui il veicolo viene inclinato, nascono coppie giroscopiche che tendono aruotare le ruote attorno ad un asse verticale. Inoltre, durante la percorrenza di una curva di piccoloraggio ad alta velocita, nasce una coppia giroscopica diretta come l’asse di rollio del veicolo.

Si pensi infine alla coppia associata al moto di un’elica e di un motore che tende a imbardare inrichiamata e a picchiare o cabrare in virata. Tale coppia provoca significative sollecitazioni al castellomotore. Nel caso di velivoli con un numero pari di motori, essi vengono fatti ruotare contro-rotanti acoppie, equilibrando cosı tali effetti sul volo, lasciando inalterato lo stato di sollecitazione sui castellimotore.

Esercizio A.15 Si dimostri la (A.60). (Suggerimento: si consideri la rotazione del prodotto di duevettori generici.)

Esercizio A.16 Si verifichi la (A.72) utilizzando la (A.40b), ovvero scrivendo la coppia giroscopica inun sistema di riferimento inerziale, per poi proiettarla nel sistema di riferimento solidale con la cassa.

Esercizio A.17 Si calcoli la coppia giroscopica che si scarica sul castello motore di un velivolo monomo-tore ad elica durante una richiamata a velocita di beccheggio costante. Come e possibile compensare questacoppia in volo?

Esercizio A.18 Si calcoli la coppia giroscopica che si scarica sul castello motore di un velivolo monomo-tore ad elica durante una virata corretta, ad angolo di rollio (bank) costante. Come e possibile compensarequesta coppia in volo?

Esercizio A.19 I motori a getto risentono delle coppie giroscopiche? Il loro moto ne risente? Nel caso,quali parti del motore ne sono influenzate?

A.3.2 Misura della velocita di rotazione: il giroscopio

Nel paragrafo precedente si sono valutate le coppie d’inerzia che nascono quando viene cambiata l’orien-tazione di un corpo in rotazione. Tali coppie, espresse ad esempio dalla (A.72) in un sistema di riferimentosolidale con quella che era stata chiamata cassa, che ruota con velocita angolare di precessione Ψ, e che asua volta contiene il corpo in rotazione con velocita angolare di spin Φ, sono proporzionali ad entrambele velocita angolari. Se il corpo viene mantenuto in rotazione a velocita di spin Φ costante, e quest’ultimae nota, allora una misura della coppia consente di misurare la velocita di precessione Ψ.

Nel caso di un giroscopio applicato ad un velivolo (o ad un qualsiasi veicolo, terrestre o navale ospaziale), la cassa e rappresentata dal velivolo stesso, a cui il giroscopio e rigidamente collegato.

Misura della deformazione di una molla

Una misura di coppia si puo ottenere indirettamente consentendo alla coppia di deformare la strutturaa cui e collegata, e misurando la deformazione che ne consegue. Come si e visto, per una velocita diprecessione attorno ad un asse ortogonale a quello di spin si ottiene una coppia attorno ad un asseortogonale sia a quello di spin che a quello di precessione.

Si immagini quindi di consentire la rotazione del corpo rotante rispetto alla cassa anche attorno adun asse ortogonale sia a quello di spin che a quello di precessione, mediante l’introduzione di un supportomobile. Il supporto mobile porta i perni di collegamento con il corpo rotante, consentendone cosı larotazione attorno all’asse di spin. Il supporto mobile, a sua volta, e collegato alla cassa mediante perniche ne consentono la rotazione ϑ rispetto alla cassa attorno ad un asse perpendicolare agli altri due. Talerotazione sara consentita, ma contrastata da un sistema di molle che consenta di limitarla per coppielegate alla combinazione di velocita di spin e di precessione a cui l’intero sistema puo essere soggetto9.

Per semplicita si consideri una condizione stazionaria, in cui la rotazione attorno a questo asse, ϑ, siagia avvenuta e si mantenga costante, come illustrato nella figura A.5. Non ci interessa quindi la velocitacon cui tale movimento avviene, ma solo l’effetto che la sua presenza ha sulla coppia di natura giroscopica

9Le molle devono essere abbastanza cedevoli da consentire una rotazione misurabile a seguito delle coppie centrifugherelative alle velocita che si intende misurare (sensibilita dello strumento), ma sufficientemente rigide da mantenere larotazione limitata per le coppie centrifughe relative alla massima velocita angolare che si intende misurare (fondo scala).

A-16

Figura A.5: Corpo rigido in moto rotatorio rispetto a due assi.

espressa dalla (A.72). Alla luce di quanto verra formalizzato nel Capitolo 14.6, questo corrisponde asupporre che la rotazione ϑ si adegui molto rapidamente alla coppia giroscopica, tanto da far ritenereaccettabile una approssimazione stazionaria del comportamento dello strumento.

L’orientazione tra corpo e cassa diventa ora

[R]corpo-cassa =

cosϑ 0 sinϑ0 1 0

− sinϑ 0 cosϑ

︸︷︷︸

rotazione della cassa

cosΦ − sinΦ 0sinΦ cosΦ 00 0 1

︸︷︷︸

rotazione di spin

, (A.73)

mentre l’orientazione della cassa rimane quella indicata dalla (A.64). Quindi la velocita angolare dellospinner, nel sistema di riferimento solidale con il corpo, e

ωcorpo-telaio =

Ψ cosΦ cosϑ

−Ψ sinΦ cosϑ

Ψ sinϑ+ Φ

. (A.74)

La sua derivata fornisce l’accelerazione angolare nel sistema di riferimento solidale con il corpo,

ω

corpo-telaio=

−ΦΨ sinΦ cosϑ

−ΦΨ cosΦ cosϑ0

. (A.75)

La coppia d’inerzia che ne risulta e

[R]T CiG = −

I1 0 00 I2 00 0 I3

−ΦΨ sinΦ cosϑ

−ΦΨ cosΦ cosϑ0

−

0 −(

Ψ sinϑ+ Φ)

−Ψ sinΦ cosϑ(

Ψ sinϑ+ Φ)

0 −Ψ cosΦ cosϑ

Ψ sinΦ cosϑ Ψ cosΦ cosϑ 0

I1 0 00 I2 00 0 I3

Ψ cosΦ cosϑ

−Ψ sinΦ cosϑ

Ψ sinϑ+ Φ

(A.76)

Sviluppando i prodotti matriciali e ponendo i momenti I1 = I2 = I per simmetria, si ottiene:

[R]T CiG =

sinΦcosΦ0

(

I3ΦΨ + (I3 − I) Ψ2 sinϑ)

cosϑ. (A.77)

A-17

Se si proietta la coppia nel sistema di riferimento solidale con la cassa, usando la (A.73), si ottiene

[R]Tcassa-telaio CiG = [R]corpo-cassa [R]

T CiG =

010

(


cosϑ. (A.78)

Confrontando la (A.78) con la (A.72) si puo notare come la presenza di un angolo ϑ perturbi la coppiagiroscopica della (A.72) di un termine che e quadratico nella velocita di precessione.

Esercizio A.20 Si verifichi la (A.78) utilizzando la (A.40b), ovvero scrivendo la coppia giroscopica inun sistema di riferimento inerziale, per poi proiettarla nel sistema di riferimento solidale con la cassa.

Equazione del moto del giroscopio

Il giroscopio si ottiene aggiungendo al sistema una molla di rigidezza K, tale da dare una coppia elasticaproporzionale alla rotazione ϑ che si opponga alla coppia giroscopica. E lecito attendersi che sia presenteanche una certa dissipazione, descritta mediante un elemento viscoso di caratteristica C, utile a smorzarele oscillazioni della rotazione ϑ. Non e detto che la molla e lo smorzatore siano lineari; questa ipotesi vienefatta per semplicita espositiva. E evidente che una loro eventuale non-linearita complica l’equazione delmoto, e di conseguenza la taratura dello strumento. Infine, l’inerzia della parte mobile quando soggettaad una accelerazione angolare ϑ e prossima10 a I, l’inerzia dello spinner attorno ad un asse perpendicolarea quello di spin.

L’equazione di equilibrio alla rotazione dello spinner attorno all’asse che consente la rotazione ϑ e

Iϑ+ Cϑ+Kϑ =(


cosϑ. (A.79)

Se si suppone che l’angolo ϑ rimanga limitato (‖ϑ‖ ≪ 1), allora e lecito considerare l’approssimazionecosϑ ∼= 1, sinϑ ∼= ϑ. La (A.79) diventa

Iϑ+ Cϑ+(

K − (I3 − I) Ψ2)

ϑ = I3ΦΨ. (A.80)

In condizioni stazionarie, e quindi per ϑ = 0, ϑ = 0, la misura e data da

ϑ =I3ΦΨ

K − (I3 − I) Ψ2. (A.81)

La sensibilita della misura e data dalla relazione ∂ϑ/∂Ψ,

∂ϑ

∂Ψ=

I3Φ

K − (I3 − I) Ψ2

(

1 +2 (I3 − I) Ψ2

K − (I3 − I) Ψ2

)

. (A.82)

Si noti come, per una velocita di rotazione Ψ della cassa sostenuta e non piccola, la misura dell’angoloϑ possa risultare falsata. Questo errore, intrinseco nella natura inerziale della relazione tra le coppiecentrifughe che deformano la molla, e la velocita angolare che si desidera misurare, si aggiungono agliinevitabili altri errori di misura.

Note sulla misura delle variazioni di assetto

La misura di velocita angolare che si ricava da un giroscopio puo essere utilizzata per valutare le variazionidi assetto di un veicolo rispetto ad un sistema di riferimento inerziale.

L’assetto del veicolo viene ricostruito a partire dalla misura di velocita angolare in un sistema di rifer-imento solidale con il veicolo (la cassa nella trattazione precedente). Quindi la ricostruzione dell’assettodel veicolo richiede l’integrazione della misura di velocita angolare.

10 Ad essa occorre aggiungere l’inerzia della struttura necessaria a vincolare lo spinner alla cassa, qui supposta trascurabile.

A-18

Ω

β

f

xG

Figura A.6: Modello semplificato di pala di elicottero.

Questa operazione e soggetta ad errori di vario tipo, sia istantanei che nel tempo. Ad esempio,un’errata inizializzazione del calcolo puo portare ad un errore sistematico sull’assetto. Inoltre, un erroresistematico sulla misura puo portare al fenomeno cosiddetto della deriva (drift in inglese), ovvero ad unerrore sull’assetto che cresce almeno linearmente nel tempo.

Per questo motivo, di solito misure di questo tipo, ricostruite mediante integrazione numerica,richiedono la correzione periodica della deriva mediante altre misure indipendenti, con cui compen-sare gli errori. Per una trattazione piu approfondita di questi problemi si rimanda il lettore a testi dinavigazione.

A.4 Esercizio: pala rigida di elicottero nel vuoto

Si consideri un modello estremamente semplificato di pala di elicottero, illustrato in Figura A.6. Esso ecostituito da un corpo aerodinamico assimilabile ad un’ala di grande allungamento, collegata ad un mozzorotante attorno all’asse ~k a velocita angolare costante Ω mediante una cerniera, nota come cerniera diflappeggio (flap hinge), perpendicolare sia all’asse di rotazione che all’asse della pala stessa. La velocitaangolare Ω e mantenuta costante in prima approssimazione da un sistema di controllo dell’alimentazionedei motori detto FADEC (Full Authority Digital Engine Control).

La presenza di una cerniera di flappeggio e tipica dei rotori cosiddetti articolati. Esistono altri tipidi rotori, detti hingeless, nei quali il moto di flappeggio delle pale, fondamentale per l’aeromeccanica deirotori, e consentito dalla deformazione elastica della zona di radice della pala stessa, o del suo supporto.Questo consente di ridurre il numero di parti che costituiscono il mozzo e di eliminare o drasticamenteridurre le esigenze di lubrificazione associate a cerniere convenzionali.

Di solito, la connessione con il mozzo delle pale di rotori articolati con piu di due pale presenta ancheuna cerniera di ritardo (lead-lag hinge), il cui asse e perpendicolare a quello della pala e a quello dellacerniera di flappeggio. Anche la funzione di quest’ultima cerniera, nei rotori hingeless, e svolta dalladeformazione elastica della zona di radice della pala, o del suo supporto.

Infine, le pale presentano di solito un cuscinetto di passo (pitch bearing) che consente di variare ilpasso, e quindi l’incidenza, della pala. In particolari tipi di rotori, detti bearingless, la rotazione checonsente la variazione di passo della pala e ottenuta mediante deformazione della zona di radice dellapala.

Per semplicita, la cerniera di ritardo e il cuscinetto di variazione passo non sono considerati nel seguitodi questo esercizio.

L’analisi della dinamica del moto di flappeggio della pala richiede la definizione di alcuni sistemi diriferimento, illustrati in Figura A.7.

Soluzione mediante equilibri dinamici. Il sistema di riferimento solidale con l’albero, e quindirotante rispetto ad un sistema solidale con l’elicottero a velocita angolare Ω, e descritto dalla matrice di

A-19

elicottero

albero

pala

x

x

x

y

y

y

z

z

z

−β

ψ

Figura A.7: Sistemi di riferimento definiti ed utilizzati sull’elicottero (immagine dell’elicottero tratta dahttp://www.midisegni.it/disegni/vari/elicottero.gif).

rotazione

[R]a→e =

cosψ − sinψ 0sinψ cosψ 00 0 1

, (A.83)

ove ψ = Ωt definisce la posizione azimutale della pala in funzione del tempo. La sua derivata rispetto altempo, ricordando la (A.24), da11

˙[R]a→e =

00Ω

∧

[R]a→e = [R]a→e

00Ω

∧

. (A.84)

La posizione della cerniera, in un sistema di riferimento rotante con il mozzo, e

xf =

f00

, (A.85)

ove f e il cosiddetto offset della cerniera di flappeggio. Questo parametro e molto importante nei rotoriarticolati, come si vedra nel seguito. La posizione del baricentro della pala, nel sistema di riferimentosolidale con la pala che ha origine nella cerniera di flappeggio, e

xG =

xG00

. (A.86)

Il movimento di flappeggio della pala rispetto al mozzo avviene attraverso la cerniera di flappeggio.L’angolo di cui la pala ruota e detto angolo di flappeggio, β, ed e positivo quando la pala “sale” (sinoti che, considerando la regola della mano destra, se l’asse della pala a flappeggio nullo e ~i e quellodi rotazione del rotore e ~k, la rotazione β cosı definita corrisponde ad una rotazione negativa attornoall’asse ~j).

La rotazione della pala e descritta dalla matrice

[R]f→a =

cos(−β) 0 sin(−β)0 1 0

− sin(−β) 0 cos(−β)

. (A.87)

11Si ricordi che [R] = [ω ∧ ][R] = [R][ω ∧ ], con ω = [R]T ω; nel caso in esame, ω = ω perche la rotazione avvieneattorno ad un asse fissato.

A-20

La sua derivata rispetto al tempo da12

˙[R]f→a =

0

−β0

∧

[R]f→a = [R]f→a

0

−β0

∧

. (A.88)

La velocita angolare della pala, nel sistema di riferimento inerziale, e

ω =

00Ω

+ [R]a→e

0

−β0

. (A.89)

Nel sistema di riferimento solidale con l’albero questa velocita angolare diventa

[R]Ta→e ω = [R]

Ta→e

00Ω

+

0

−β0

=

00Ω

+

0

−β0

=

0

−βΩ

. (A.90)

La derivata rispetto al tempo della (A.89) da

ω =

00

Ω

+

00Ω

∧

[R]a→e

0

−β0

+ [R]a→e

0

−β0

= [R]a→e

Ωβ

−βΩ

, (A.91)

da cui, siccome per ipotesi Ω e costante,

[R]Ta→e ω =

Ωβ

−β0

. (A.92)

La scrittura delle equazioni del moto attraverso la velocita e l’accelerazione angolare nel sistemadi riferimento solidale con l’albero richiede la scrittura della matrice di inerzia in tale riferimento.Nell’ipotesi che tale matrice, in un sistema di riferimento solidale con la pala, sia

[JG]=

JpG 0 00 JfG 00 0 JlG

, (A.93)

con JpG ≪ JfG < JlG∼= JfG + JpG , la sua espressione nel sistema di riferimento solidale con l’albero e

[JG] = [R]f→a

[JG][R]

Tf→a

=

(cos2(−β)JpG + sin2(−β)JlG

)0 − cos(−β) sin(−β) (JpG − JlG)

0 JfG 0− cos(−β) sin(−β) (JpG − JlG) 0

(sin2(−β)JpG + cos2(−β)JlG

)

. (A.94)

La coppia d’inerzia rispetto al baricentro, nel sistema di riferimento solidale con l’albero, e quindi

CiG = −

0

−βΩ

∧

[JG]

0

−βΩ

− [JG]

0

−β0

= −

(JfG +

(cos2(−β)− sin2(−β)

)(JpG − JlG)

)Ωβ

− cos(−β) sin(−β) (JpG − JlG) Ω2 − JfG β

−2 cos(−β) sin(−β) (JpG − JlG) Ωβ

(A.95)

12Si veda la nota 11.

A-21

La posizione, la velocita e l’accelerazione angolare del baricentro della pala, nel sistema di riferimentoassoluto, sono

xG = [R]a→e (xf + [R]f→a xG)

= [R]a→e

f + xG cos (−β)0

−xG sin (−β)

(A.96a)

xG = [R]a→e

00Ω

∧

(xf + [R]f→a xG) + [R]f→a

0

−β0

∧

xG

= [R]a→e

sin (−β)xGβ(f + xG cos (−β)) Ω

cos (−β)xGβ

(A.96b)

xG = [R]a→e

00Ω

∧

00Ω

∧

(xf + [R]f→a xG)

+ 2

00Ω

∧

[R]f→a

0

−β0

∧

xG

+ [R]f→a

0

−β0

∧

0

−β0

∧

xG+

0

−β0

∧

xG

= [R]a→e

− (f + xG cos (−β)) Ω2 − cos (−β)xGβ2 + sin (−β)xGβ2 sin (−β)xGΩβ

sin (−β)xGβ2 + cos (−β)xGβ

(A.96c)

La loro proiezione nel sistema di riferimento solidale con l’albero, mediante premoltiplicazione per [R]Ta→e,

consiste nel rimuovere la matrice [R]a→e.La forza d’inerzia nel sistema di riferimento solidale con l’albero e

[R]Ta→e Fi = −m

(

[R]Ta→e xG

)

= −m

−Ω2 (f + cos(−β)xG)00

+

0

2Ωβ sin(−β)xG0

+

−β2 cos(−β)xG0

β2 sin(−β)xG

+

sin(−β)βxG0

cos(−β)βxG

(A.97)

Il momento della forza d’inerzia rispetto al punto in cui e collocata la cerniera di flappeggio, nelsistema di riferimento solidale con l’albero, e

([R]f→a xG) ∧(

[R]Ta→e Fi

)

= −m

2 sin2(−β)x2GΩβΩ2 sin(−β)xG (f + cos(−β)xG)− x2Gβ

2 sin(−β) cos(−β)x2GΩβ

(A.98)

Quindi il momento di tutte le forze, ovvero delle sole inerzie e delle reazioni vincolari Cp e Cl, rispettoal punto in cui e collocata la cerniera di flappeggio, e

(JfG +

(cos2(−β)− sin2(−β)

)(JpG − JlG) + 2 sin2(−β)mx2G

)Ωβ

− sin(−β)(cos(−β)

(JpG − JlG −mx2G

)−mxGf

)Ω2 −

(JfG +mx2G

)β

−2 cos(−β) sin(−β)(JpG − JlG −mx2G

)Ωβ

=

Cp0Cl

(A.99)

La coppia si annulla ∀t per β = 0, β = 0, β = 0, che quindi rappresenta una soluzione di equilibriostatico. Se si considerano piccole oscillazioni attorno a tale soluzione, si possono approssimare sin(−β) ∼=

A-22

−β e cos(−β) ∼= 1. Si ottiene quindi

(JfG − β2

(JpG − 2mx2G

)− JlG

)Ωβ

−β (JlF − JpG +mxGf) Ω2 − JfF β

β(JpG − JlG − 2mx2G

)Ωβ

∼=

Cp0Cl

, (A.100)

ove con JlF = JlG + mx2G e JfF = JfG + mx2G si sono rispettivamente indicati i momenti d’inerzia diritardo e di flappeggio rispetto al punto in cui e collocata la cerniera di flappeggio.

La seconda equazione, che rappresenta l’equilibrio della pala alla rotazione attorno all’asse di flappeg-gio, e analoga all’equazione di un oscillatore armonico non smorzato, la cui inerzia sia pari all’inerzia diflappeggio della pala attorno all’asse di flappeggio, JfF , e la cui rigidezza sia pari a (JlF − JpG +mxGf) Ω

2.Siccome JlF

∼= JfF + JpG , la rigidezza e essenzialmente proporzionale a (1 +mxGf/JfF ) JfFΩ2. Se la

pala avesse densita uniforme lungo l’apertura, pari a m/R, e spessore trascurabile, il baricentro sarebbea xG = R/2, e il momento d’inerzia rispetto alla cerniera di flappeggio sarebbe JfF = mR2/3, quindila rigidezza sarebbe pari a (1 + 3/2f/R) JfFΩ

2. Questa espressione mette in luce l’effetto di incrementoche in prima approssimazione l’offset f della cerniera di flappeggio ha sulla rigidezza dovuta alla forzacentrifuga.

Soluzione mediante equazioni di Lagrange. Si consideri l’energia cinetica associata alla pala. Sic-come l’energia cinetica e un invariante scalare, la sua scrittura non dipende dal sistema di riferimentoin cui sono espresse le velocita e le caratteristiche inerziali del sistema, purche si usino grandezze co-erenti. Si sceglie quindi di scrivere sia la velocita del baricentro (equazione (A.96b)) che la velocitaangolare (equazione (A.90)) e le caratteristiche di inerzia baricentriche (equazione (A.94)) nel sistema diriferimento solidale con l’albero.

L’energia cinetica della pala e

Ec =1

2m xGT xG+

1

2ωT [JG] ω (A.101)

La velocita del baricentro della pala e

xG =

sin(−β)xGβ(f + cos(−β)xG) Ω

cos(−β)xGβ

(A.102)

L’energia cinetica della pala diventa quindi

Ec =1

2m(

x2Gβ2 + (f + cos(−β)xG)2 Ω2

)

+1

2

(

JfG β2 +

(sin2(−β)JpG + cos2(−β)JlG

)Ω2)

(A.103)

L’applicazione del formalismo di Lagrange richiede di calcolare

∂Ec

∂β= mx2Gβ + JfG β (A.104a)

d

dt

(∂Ec

∂β

)

=(mx2G + JfG

)β (A.104b)

∂Ec∂β

= − sin(−β)(cos(−β)

(JpG − JlG −mx2G

)−mxGf

)Ω2. (A.104c)

L’equazione del moto della pala che ne risulta,(mx2G + JfG

)β − sin(−β)

(cos(−β)

(JlG − JpG +mx2G

)+mxGf

)Ω2 = 0, (A.105)

e quindi identica alla seconda riga della (A.99).

Esercizio A.21 Nell’ipotesi che l’angolo di flappeggio β sia piccolo, e quindi valga l’approssimazionecos(−β) = 1, sin(−β) = −β, qual’e la frequenza della coppia scaricata sui supporti?

A-23

x0

x1x2

y0

y1, y2

z0, z1

z2

ϕ

ϑ

Ω

G

O

Figura A.8: Descrizione dell’orientazione della trottola.

A.5 Esercizio: trottola

Questo problema e costituito da una “trottola”, ovvero da un corpo con simmetria di rotazione che ruoticon velocita elevata attorno al proprio asse di simmetria e sia vincolato a terra in un punto O, distintodal baricentro G e posto lungo l’asse di simmetria ad una distanza L, da una cerniera sferica, ovvero daun vincolo che impedisce lo spostamento del punto senza impedire in alcun modo le rotazioni.

Quando l’asse di simmetria e inclinato rispetto alla verticale il peso esercita una coppia rispetto alpolo O; questa puo essere bilanciata da una coppia giroscopica se il corpo, oltre a ruotare attorno all’assedi spin, ruota anche rispetto ad un asse verticale con velocita angolare opportuna.

In questo esercizio si cerca di trovare una condizione di moto stazionario, in cui la velocita di spin,l’angolo di nutazione e la velocita di precessione siano costanti. Per fare questo si scrivono le equazionidel moto del corpo, si impongono le condizioni di stazionarieta sopra enunciate, e si verifica se e possibiletrovarne valori di angoli e velocita angolari che garantiscano il soddisfacimento delle equazioni.

Descrizione del movimento. Si consideri un corpo con simmetria di rotazione, che abbia matriced’inerzia rispetto al baricentro

[J]=

Ix 0 00 Ix 00 0 Iz

. (A.106)

L’orientazione del corpo, come illustrato in figura A.8, e definita dalla sequenza di rotazioni:

• angolo di precessione, ϕ, che consiste in una rotazione attorno all’asse z del sistema di riferimentofisso,

[Rϕ] =

cosϕ − sinϕ 0sinϕ cosϕ 00 0 1

, (A.107)

che porta dal sistema x1y1z1 al sistema fisso x0y0z0;

A-24

• angolo di nutazione, ϑ, corrispondente ad una rotazione attorno all’asse y del sistema di riferimentoche segue il moto di precessione,

[Rϑ] =

cosϑ 0 sinϑ0 1 0

− sinϑ 0 cosϑ

, (A.108)

che porta dal sistema x2y2z2 al sistema x1y1z1;

• angolo di spin, ψ, corrispondente ad una rotazione del corpo attorno all’asse di simmetria, ovveroall’asse z del sistema di riferimento che segue il moto di nutazione,

[Rψ] =

cosψ − sinψ 0sinψ cosψ 00 0 1

, (A.109)

che porta dal sistema solidale con il corpo al sistema x2y2z2.

La posizione del baricentro e lungo l’asse z2 del sistema definito da [Rϑ], ad una distanza L dal puntofisso O.

Equazioni del moto mediante il formalismo di Lagrange di IIo tipo. La scrittura delle equazionidi Lagrange di IIo tipo richiede la lagrangiana, che a sua volta richiede energia cinetica e potenziale. Laloro scrittura richiede

Il sistema di riferimento piu opportuno per scrivere le equazioni del moto e quello di nutazione, alquale si arriva a partire dal sistema di riferimento globale mediante la rotazione [Rϑ]

T [Rϕ]T .

La velocita angolare del corpo nel sistema di riferimento assoluto si ricava dalla relazione

[ω ∧ ] =[

R]

[R]T, (A.110)

con [R] = [Rϕ][Rϑ][Rψ], ovvero

[ω ∧ ] =[

Rϕ

]

[Rϕ]T+ [Rϕ]

[

Rϑ

]

[Rϑ]T[Rϕ]

T+ [Rϕ] [Rϑ]

[

Rψ

]

[Rψ]T[Rϑ]

T[Rϕ]

T

= [ωϕ ∧ ] + [Rϕ] [ωϑ ∧ ] [Rϕ]T+ [Rϕ] [Rϑ] [ωψ ∧ ] [Rϑ]

T[Rϕ]

T, (A.111)

con

ωϕ =

00ϕ

ωϑ =

0

ϑ0

ωψ =

00Ω

. (A.112)

La velocita angolare corrispondente e

ω = ωϕ+ [Rϕ] ωϑ+ [Rϕ] [Rϑ] ωψ . (A.113)

La si proietti nel sistema di riferimento di nutazione mediante la rotazione [Rϑ]T [Rϕ]

T ; siccome le

rotazioni sono tutte attorno ad assi fissi, si ha [Rϕ]T ωϕ = ωϕ e [Rϑ]

T ωϑ = ωϑ, per cui

[Rϑ]T[Rϕ]

T ω = ω = [Rϑ]T ωϕ+ ωϑ+ ωψ =

−ϕ sinϑ

ϑϕ cosϑ+Ω

. (A.114)

La posizione del baricentro rispetto al polo O, nel sistema di riferimento di nutazione13, e

xϑ =

00L

. (A.115)

13La posizione del baricentro non dipende dalla rotazione [Rψ ], dal momento che [Rψ ]xϑ = xϑ.

A-25

Nel sistema di riferimento assoluto, la posizione e

x = [Rϕ] [Rϑ] xϑ . (A.116)

La velocita del baricentro, considerando il vincolo, e

x = [ωϕ ∧ ] [Rϕ] [Rϑ] xϑ + [Rϕ] [ωϑ ∧ ] [Rϑ] xϑ . (A.117)

La sua proiezione nel sistema di riferimento di nutazione e

[Rϑ]T[Rϕ]

T x = v = [Rϑ]T[ωϕ ∧ ] [Rϑ] xϑ + [ωϑ ∧ ] xϑ

=[(

[Rϑ]T ωϕ+ ωϑ

)

∧]

xϑ =

ϑLsinϑϕL

0

. (A.118)

Si considerino le equazioni di Lagrange di secondo tipo; l’energia cinetica e

T =1

2m vT v+ 1

2ωT

[J]ω

=1

2

(

mL2ϑ2 +mL2 sin2 ϑϕ2 + Ix sin2 ϑϕ2 + Ixϑ

2 + Iz (ϕ cosϑ+Ω)2)

=1

2

(

I∗x sin2 ϑϕ2 + I∗xϑ

2 + Iz (ϕ cosϑ+Ω)2)

, (A.119)

con I∗x = Ix+mL2, ovvero il momento d’inerzia attorno all’asse x2 valutato rispetto al polo O. L’energia

potenziale e

V = mgzG = mgL cosϑ. (A.120)

Il problema ha 3 gradi di liberta; a partire dalla lagrangiana L = T − V , dato che non ci sonosollecitazioni esterne, e possibile scrivere le equazioni del moto associate ad ognuno di essi:

• si consideri ψ, ricordando che si e posto Ω = ψ; si ottiene

∂L

∂ψ= Iz (ϕ cosϑ+Ω) (A.121a)

d

dt

(∂L

∂ψ

)

= Iz

(

ϕ cosϑ− ϕϑ sinϑ+ Ω)

(A.121b)

∂L

∂ψ= 0 (A.121c)

da cui l’equazione del moto

Iz

(

ϕ cosϑ− ϕϑ sinϑ+ Ω)

= 0; (A.122)

• si consideri ora ϑ; si ottiene

∂L

∂ϑ= I∗xϑ (A.123a)

d

dt

(∂L

∂ϑ

)

= I∗xϑ (A.123b)

∂L

∂ϑ= I∗x sinϑ cosϑϕ

2 − Iz (ϕ cosϑ+Ω) ϕ sinϑ+mgL sinϑ (A.123c)


I∗xϑ− (I∗x − Iz) sinϑ cosϑϕ2 + IzΩϕ sinϑ−mgL sinϑ = 0; (A.124)

A-26

• si consideri infine ϕ; si ottiene

∂L

∂ϕ= I∗x sin

2 ϑϕ+ Iz (ϕ cosϑ+Ω) cosϑ (A.125a)

d

dt

(∂L

∂ϕ

)

=(I∗x sin

2 ϑ+ Iz cos2 ϑ)ϕ+ Iz cosϑΩ + 2 (I∗x − Iz) cosϑ sinϑϑϕ− Iz sinϑϑΩ

(A.125b)

∂L

∂ϕ= 0 (A.125c)


(I∗x sin

2 ϑ+ Iz cos2 ϑ)ϕ+ Iz cosϑΩ + 2 (I∗x − Iz) cosϑ sinϑϑϕ− Iz sinϑϑΩ = 0. (A.126)

Nell’ipotesi che ϑ, ϕ e Ω siano costanti, le equazioni in ψ e ϕ sono identicamente soddisfatte.L’equazione in ϑ, viceversa, diventa

− (I∗x − Iz) sinϑ cosϑϕ2 + IzΩϕ sinϑ−mgL sinϑ = 0. (A.127)

Questa equazione e soddisfatta per ϑ = 0 + kπ e, per ϑ 6= π/2 + kπ, quando

ϕ =IzΩ±

√

(IzΩ)2 − 4mgL (I∗x − Iz) cosϑ

2 (I∗x − Iz) cosϑ(A.128)

o, per I∗x − Iz = 0 o ϑ = π/2 + kπ, quando

ϕ =mgL

IzΩ. (A.129)

Perche queste soluzioni siano accettabili, nel caso della (A.128) occorre che I∗x − Iz 6= 0 e che (IzΩ)2 −

4mgL(I∗x − Iz) cosϑ ≥ 0, mentre nel caso della (A.129) e sufficiente che Ω 6= 0.Si noti inoltre che se I∗x − Iz < 0 le due radici della (A.128) hanno segno diverso, mentre nel caso

contrario hanno lo stesso segno. Di conseguenza e possibile riconoscere due tipi di precessione, una“avanzante” e una “retrocedente”; identificano rispettivamente una condizione di funzionamento in cui lavelocita di spin e una frazione della velocita di precessione si sommano, e una in cui si sottraggono.

La figura A.9 mostra la traiettoria del baricentro di una trottola per condizioni iniziali che cor-rispondono ad un moto di precessione “retrocedente” positiva, sia nominali che a seguito di una piccolaperturbazione. Nel secondo caso, gli angoli e le velocita angolari oscillano attorno alla soluzione che siottiene nel primo caso.

Esercizio A.22 Si scriva l’equazione di equilibrio della trottola attorno all’asse di nutazione mediantegli equilibri dinamici.

Esercizio A.23 Si scrivano le equazioni del moto della trottola mediante il Principio dei Lavori Virtuali.(Nota: come si definisce la rotazione virtuale per cui compiono lavoro le coppie?)

Esercizio A.24 Si calcoli la forza di reazione scaricata a terra nel punto O.

A-27

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 -0.4-0.2

0 0.2

0.4

0.6

0.8

1

z

nominaleperturbata

x

y

z

Figura A.9: Traiettoria del baricentro della trottola per condizioni iniziali di precessione “retrocedente”positiva.

A-28

Appendice B

Esempi di azionamenti idraulici


In questa appendice vengono presentati esempi di azionamenti idraulici.

B.1 Valvola a doppio getto controllata da un motore elettricoin corrente continua e accoppiata ad un attuatore lineare

Il completamento dell’esempio di azionamento idraulico presentato nel capitolo 11 richiederebbe la model-lazione della valvola distributrice e del suo sistema di attuazione. Se si astrae dal sistema di attuazionedel pistone della valvola distributrice, generalmente di tipo elettrico o misto elettroidraulico, la relativamodellazione non e dissimile da quella del cilindro attuatore, ragion per cui non dovrebbe essere difficilecompletare l’esempio precedente fino a contenere tutti i suoi componenti. Una corretta formulazionenecessita pero di un approfondimento, non tanto concettuale ma preminentemente associato ad alcunidettagli, che richiederebbe un’estensione che mal si concilia con le finalita esemplificative della nostrapresentazione. Si preferisce pertanto completare l’esempio facendo riferimento ad una valvola di controllodel flusso a flappeggio, quale quella schematizzata in figura B.1.

B-1

Figura B.1: Valvola a doppio getto (da Merritt, [2]).

B.1.1 Nomenclatura

Siano:

A1 sezione di trafilamento tra valvola e alimentazioneA2 sezione di trafilamento tra valvola e pistoneAe sezione di trafilamento tra le camere del pistone e l’esternoAg sezione del getto tra le camere della valvola e la camera del flapAi sezione di trafilamento tra le camere del pistoneAp area del pistoneCe0 coefficiente di efflusso tra valvola e alimentazioneCe1 coefficiente di efflusso tra valvola e pistoneCeg coefficiente di efflusso tra valvola e camera del flapCele coefficiente di trafilamento tra le camere del pistone e l’esternoCeli coefficiente di trafilamento tra le camere del pistoneDg diametro del getto tra valvola e flapF forza esterna agente sul pistonei corrente elettrica nel motorekf rigidezza molla di richiamo flapKm costante caratteristica del motore elettricoL induttanza del motore elettricoLp lunghezza del pistoneM massa del pistonePa pressione di alimentazionePc1 pressione camera 1 pistonePc2 pressione camera 2 pistonePe pressione esternaPs pressione di scaricoPv1 pressione camera 1 valvolaPv2 pressione camera 2 valvola

B-2

R resistenza elettrica del motorerp smorzamento del pistone di natura non idraulicarf smorzamento del flap di natura non idraulicaV1 volume camera 1 del pistoneV2 volume camera 2 del pistoneVc tensione di alimentazione del motoreVv volume camere della valvolaxf spostamento del flapxf0 spostamento massimo del flapxp spostamento del pistoneβ modulo di comprimibilita volumetricaρ densita del fluidoθf angolo di rotazione del flap

B.1.2 Equazioni

Le equazioni necessarie alla scrittura della parte idraulica del problema sono:

a) bilancio di portata:

(Av)entrante − (Av)uscente =dV

dt+V

β

dP

dt(B.1)

ovvero la differenza tra la portata volumetrica in entrata ed in uscita e data dalla derivata temporaledel volume della camera e dalla variazione di densita del fluido;

b) perdite di carico laminari:

Q = CelA0∆P (B.2)

c) perdite di carico turbolente:

Q = CeA0

√2

ρ∆P (B.3)

in realta e piu corretto scrivere

Q = CeA0

√2

ρ|∆P |sign (∆P ) (B.4)

tuttavia, in questo esempio, si assume nota la direzione in cui il flusso avviene;

d) teorema di Bernoulli :

P +1

2ρv2 = costante (B.5)

Le equazioni che descrivono il problema sono:

1. bilancio di portata della camera 1 dell’attuatore

2. bilancio di portata della camera 2 dell’attuatore

3. bilancio di portata della camera 1 della valvola

4. bilancio di portata della camera 2 della valvola

5. equazione di moto del pistone

6. equazione di moto del flap

7. equazione del motore elettrico

B-3

B.1.3 Incognite

Le incognite sono:

i) la posizione del pistone, xp, e le sue derivate

ii) l’angolo di rotazione del flap, θf , e le sue derivate

iii) la pressione nella camera 1 del pistone, P1c, e le sue derivate

iv) la pressione nella camera 2 del pistone, P2c, e le sue derivate

v) la pressione nella camera 1 della valvola, P1v, e le sue derivate

vi) la pressione nella camera 2 della valvola, P2v, e le sue derivate

vii) la corrente applicata al motore, i.

B.1.4 Bilancio di portata della camera 1 del pistone

Il volume della camera 1 del pistone e V1 = xpAp; il bilancio di portata comprende:

• la variazione di densita dovuta alla comprimibilita,V1P1c

β

• la variazione di volume della camera dovuta allo spostamento del pistone, xpAp

• il flusso entrante dalla camera 1 della valvola, di tipo turbolento, Ce1A1

√

2

ρ(P1v − P1c)

• il flusso di trafilamento verso la camera 2 del pistone, di tipo laminare, CeliAi (P1c − P2c)

• il flusso di trafilamento verso l’esterno, di tipo laminare, CeleAe (P1c − Pe)

L’equazione diventa:

Apxpβ

P1c = −xpAp + Ce1A1

√2

ρ(P1v − P1c)− CeliAi (P1c − P2c)− CeleAe (P1c − Pe) (B.6)

B.1.5 Bilancio di portata della camera 2 del pistone

I termini che compaiono in questa equazione sono analoghi a quelli dell’equazione precedente; il volumeora e V2 = Ap (Lp − xp) L’equazione diventa:

Ap (Lp − xp)

βP2c = xpAp − Ce1A1

√2

ρ(P2c − P2v) + CeliAi (P1c − P2c)− CeleAe (P2c − Pe) (B.7)

si noti che la variazione di volume dovuta al movimento del pistone e l’opposto del caso precedente. Sinoti tuttavia che i flussi verso la valvola e tra le due camere cambiano segno.

B.1.6 Bilancio di portata della camera 1 della valvola

Si suppone nulla la variazione di volume della camera. Il bilancio e quindi costituito dai flussi:

• variazione di densita del fluido,VvP1v

β

• portata di alimentazione, di tipo turbolento, Ce0A0

√

2

ρ(Pa − P1v)

B-4

• portata verso la camera 1, di tipo turbolento, Ce1A1

√

2

ρ(P1v − P1c)

• portata uscente verso il flap; si assuma che il getto verso il flap sia un cilindro; in prossimita dellasuperficie del flap, il getto si apre in direzione radiale. La superficie attraverso la quale il gettofluisce e quindi πDg (xf0 − xf ), ovvero la circonferenza del getto per la distanza dell’ugello dal flap.Questa distanza teorica, in genere, e corretta da un coefficiente determinato sperimentalmente, chetiene conto della effettiva geometria del getto. Il flusso e quindi

CegπDg (xf0 − xf )

√2

ρ(P1v − Ps) (B.8)

L’equazione diventa

VvβP1v = Ce0A0

√2

ρ(Pa − P1v)− Ce1A1

√2

ρ(P1v − P1c)

− CegπDg (xf0 − xf )

√2

ρ(P1v − Ps)

B.1.7 Bilancio di portata della camera 2 della valvola

Analogamente, nell’altra camera della valvola si ottiene:

VvβP2v = Ce0A0

√2

ρ(Pa − P2v) + Ce1A1

√2

ρ(P2c − P2v)

− CegπDg (xf0 + xf )

√2

ρ(P2v − Ps)

Si noti come anche in questo caso la portata dalla camera del pistone a quella della valvola abbia cambiatosegno, come pure e cambiato l’effetto dello spostamento della valvola nel calcolo della superficie di efflusso.

B.1.8 Equazione di moto del pistone

Il pistone ha massa M , un generico smorzamento r, e gli e applicata una sollecitazione esterna F cherappresenta il carico che deve vincere (ad esempio, una molla, o la forza aerodinamica su una superficiemobile, o il peso di un carrello di atterraggio). Sulle due superfici esposte nelle camere dell’attuatoreagiscono le forze dovute alla pressione, Ap (P1c − P2c). Si noti che in linea di principio le due areepotrebbero essere diverse. La sua equazione di moto e un equilibrio alla traslazione del pistone stesso,che diventa:

Mxp + rpxp = Ap (P1c − P2c) + F (B.9)

B.1.9 Equazione di moto del flap

La valvola a flap e costituita da una lamina incernierata ad un estremo, che si puo avvicinare ad unodei due diffusori ruotando attorno al punto di cerniera, comandata da un motore. La sua equazionedi moto e un equilibrio alla rotazione attorno al punto di cerniera. Il momento d’inerzia rispetto allacerniera e Jc = Jcg +mL2

cg; Tipicamente la rotazione e contrastata da una molla di rigidezza kf , e nelcaso in esame e controllata da un motore elettrico in corrente continua, la cui coppia e Kmi. La forzadi origine idraulica agente sulla valvola puo essere stimata usando il teorema di Bernoulli, ovvero unbilancio di quantita di moto in direzione perpendicolare al flap; la somma di pressione statica e dinamicaall’uscita dalla valvola, in prima approssimazione, e uguale alla pressione esercitata sul flap, quindi laforza esercitata sul flap e data dalla somma di pressione statica e dinamica all’uscita dalla valvola perl’area del tubo di flusso:

F1 = AgP1f = Ag

(

P1v +1

2ρv21g

)

(B.10)

B-5

all’uscita dalla camera 1 della valvola verso il flap il fluido ha pressione P1v e velocita v1g; quest’ultimasi ricava dalla portata attraverso l’ugello, dalla camera 1 della valvola verso la camera del flap, quinditra P1v e Ps:

v21g =

(Q1v

Ag

)2

=32C2

eg

ρD2g

(xf0 − xf )2(P1v − Ps)

Tipicamente questo valore viene corretto empiricamente per tenere conto di effetti dovuti alla effettivageometria del getto. Quindi le forze di natura idraulica agenti sul flap sono:

F1 =πD2

g

4P1v + 4πC2

eg (xf0 − xf )2(P1v − Ps)

F2 =πD2

g

4P2v + 4πC2

eg (xf0 + xf )2(P2v − Ps)

Lo spostamento della valvola e xf = d tan θf . L’equazione del flap diventa:

Jθf + rf θf + kfθf = Kmi+ d (F2 − F1) (B.11)

B.1.10 Equazione del motore elettrico

L’equazione del motore elettrico in corrente continua e:

Ldi

dt+Ri+Kmθf = ea (B.12)

dove ea e la tensione alla quale viene alimentato per controllarne la posizione.

B.1.11 Linearizzazione

Vi sono contributi non lineari del tipo:

• tan θ

• xy

• √cx

la cui linearizzazione e

• tan θ ∼= ∆θ per θ0 = 0

• xy ∼= x0y0 + y0∆x+ x0∆y

• √cx ∼= √

cx0 +∆x/(2√x0)

Ad esempio, la linearizzazione dei termini di portata attraverso le perdite di carico turbolente,

Q = CeA0

√2

ρ(Pa − Pb) (B.13)

porta ad una forma

Q+∆Q = CeA0

√2

ρ

(√

(Pa0 − Pb0) +∆Pa −∆Pb

2√

(Pa0 − Pb0)

)

(B.14)

Si noti che quando la differenza tra le due pressioni diminuisce, il denominatore del coefficiente delleperturbazioni di pressione tende ad annullarsi, rendendo singolare il problema. Questo fenomeno, dalpunto di vista fisico, non ha corrispondenza, in quanto, al diminuire della differenza di pressione, laportata diminuisce. Quindi, a parita di sezione, la velocita del fluido diminuisce e con essa il numero diReynolds, fino al punto in cui il moto diventa laminare. In caso di moto laminare, quindi, il coefficientedella perturbazione di pressione e praticamente costante.

B-6

B.1.12 Comportamento del sistema

Durante il funzionamento normale, quando il pistone e in equilibrio il flusso di fluido da e verso le camere emolto limitato, in teoria nullo. In realta rimane un piccolo efflusso dovuto alle perdite; sicuramente questoefflusso sara in entrata nella camera del pistone a pressione piu alta, mentre nell’altra camera dipende daquale tra le perdite interna ed esterna prevale. All’interno della valvola, invece, c’e un continuo ricircolodi fluido dai condotti di alimentazione verso la pressione di scarico che, in un sistema pressurizzato, ecomunque superiore alla pressione atmosferica. Quando, mentre il pistone e in equilibrio, si sposta il flap,si altera la sezione di efflusso delle perdite di carico tra ugelli di efflusso e flap stesso. In particolare, lacamera della valvola verso cui il flap si sposta vedra ridurre la sezione e quindi la portata, mentre l’altravedra aumentare sezione e portata. Di conseguenza, la pressione nella prima camera aumenta, mentrenella seconda diminuisce. Le camere omonime del pistone vedono variare allo stesso modo le rispettivepressioni, quindi il pistone non e piu in equilibrio e inizia a spostarsi (nel modello illustrato nel disegno)in direzione opposta a quella del flap. Se la valvola viene nuovamente portata in posizione di equilibrio,il flusso da e verso le camere del pistone si annulla, quindi il pistone si arresta nella nuova posizione. Laposizione del flap che da equilibrio puo essere diversa da caso a caso, perche la forza che il pistone devereagire, F , puo dipendere dalla posizione.

In ogni caso, la linearizzazione in condizioni di equilibrio del pistone, quella di maggiore interesseper lo studio della dinamica del sistema, differisce comunque da punto a punto perche nelle equazionidi bilancio di portata per le camere del pistone c’e una dipendenza esplicita del coefficiente legato allacomprimibilita del fluido dalla posizione del pistone. Si puo verificare che, dal punto di vista dinamico,la condizione in genere piu critica per la stabilita del sistema si ha quando il pistone e centrato, ovveroxp = Lp/2 e V1 = V2. In questa condizione, lo smorzamento del sistema idromeccanico e minimo. Sinoti che, in condizioni di equilibrio, ovvero quando le derivate temporali si annullano, non c’e alcunadipendenza esplicita delle equazioni dalla posizione del pistone. Infatti, ad una data posizione dellavalvola, possono corrispondere infinite posizioni del pistone. Di conseguenza, controllando la posizionedel flap e possibile al piu controllare la velocita del pistone. Per controllarne la posizione, occorre legarela posizione del flap (o meglio, la tensione di alimentazione del motore) ad una misura di posizione delpistone. Occorre, in altre parole, retroazionare il flap con la misura della posizione del pistone.

B.2 Attuatore collegato ad un sistema dinamico

Viene presentata la modellazione di un attuatore idraulico che aziona un sistema dinamico rappresen-tativo di una generica superficie mobile di un velivolo, ad esempio un alettone ma, fatte le dovuteconsiderazioni, anche l’azionamento del passo collettivo di un elicottero.

TODO

B-7

Appendice C

Procedure per l’impostazione e lasoluzione dei problemi

Generato il 10 settembre 2012Questo capitolo vuole rappresentare un breve compendio di quanto gia illustrato nei capitoli prece-

denti, finalizzato all’impostazione e alla soluzione di problemi.L’obbiettivo non e tanto facilitare il superamento della prova scritta, quanto cercare di fornire un

metodo che consenta allo studente di comprendere e sistematizzare le fasi necessarie ad affrontare untipico problema di dinamica.

Il metodo consta di due fasi:

• comprensione e scrittura del problema

– analisi cinematica

– scrittura delle equazioni del moto

– scrittura delle relazioni costitutive

• soluzione del problema

Le tre sottofasi di comprensione e scrittura del problema sono correlate; in molti casi conviene svolgerlein parallelo.

Paradossalmente, la fase di soluzione del problema e la meno critica, in quanto di solito si riduceall’utilizzo di metodi standard in base al tipo di problema.

C.1 Comprensione e scrittura del problema

C.1.1 Analisi cinematica

L’analisi cinematica del problema consiste nel:

• comprendere quanti sono i gradi di liberta del problema;

• scegliere i gradi di liberta piu convenienti;

• comprendere quali variabili cinematiche sono necessarie o semplicemente agevolano la definizionedel problema;

• scrivere le relazioni cinematiche tra le variabili e i gradi di liberta scelti.

L’analisi cinematica puo limitarsi alle sole variabili cinematiche che partecipano alla scrittura delleequazioni e delle relazioni costitutive. Tuttavia, un’analisi piu approfondita e dettagliata puo agevolarela comprensione della natura del problema.

Non esiste una semplice formula per l’individuazione e la scelta dei gradi di liberta di un sistema.

C-1

C.1.2 Scrittura delle equazioni del moto

La scrittura delle equazioni del problema deve rispondere innanzitutto alla domanda:

quali equazioni del moto occorre scrivere per risolvere il problema?

La seconda domanda e

quale metodo conviene utilizzare per scriverle efficacemente?

Il metodo usato, di per se, dovrebbe essere ininfluente, dal momento che qualunque metodo deve portarealle stesse equazioni, o a set di equazioni equivalenti. In alcuni casi, la scelta del metodo rende la scritturapiu semplice, o a “prova di errore” (per quanto sia possibile).

Di solito, quando possibile, si sceglie di utilizzare il formalismo di Lagrange, o comunque qualchemetodo riconducibile alla meccanica analitica e quindi al principio dei lavori virtuali, per il semplicemotivo che, una volta scritta correttamente la cinematica, e riconosciute tutte le forze attive che parte-cipano al problema, si ottengono direttamente e “a prova di errore” (concettuale) le equazioni del motoconiugate alle coordinate libere (equazioni di Lagrange del secondo tipo). Questo consente di risponderealla prima domanda:

le equazioni che occorre scrivere sono quelle coniugate alle coordinate libere.

L’approccio appena delineato non e piu valido nel caso in cui i vincoli non siano ideali. In questocaso compaiono forze che dipendono dalle reazioni vincolari e che contemporaneamente compiono lavoroper spostamenti virtuali. Un tipico esempio sono le forze dovute all’attrito radente, o la coppia che daresistenza al rotolamento.

Occorre scrivere un set ulteriore di equazioni di equilibrio, indipendenti da quelle coniugate allecoordinate libere, sufficiente a calcolare a priori le reazioni vincolari necessarie1. Le reazioni cosı calcolatepossono dipendere dalla cinematica, ovvero dalle q e dalle loro derivate, anche se ancora incognite, dalmomento che verranno poi utilizzate nelle relazioni costitutive per concorrere alla scrittura delle equazionidel moto. Questo consente di estendere la risposta alla prima domanda:

le equazioni che occorre scrivere sono quelle coniugate alle coordinate libere, piu un numerodi equazioni di equilibrio pari al numero di reazioni vincolari necessarie ad esprimere leforze di reazione che compiono lavoro.

Soprattutto quando si usino gli equilibri dinamici, ma in ogni caso, e di grande aiuto tracciare ilcosiddetto diagramma di corpo libero, ovvero un disegno in cui il corpo o i corpi di cui e costituito ilsistema viene svincolato, con i vincoli sostituiti dalle reazioni vincolari, e tutte le forze attive vengonomesse in evidenza. Questo diagramma consente di individuare tutti i punti la cui cinematica occorrescrivere per valutarne posizione, velocita ed eventualmente accelerazione e spostamento virtuale. Siconsiglia caldamente di tracciare il diagramma di corpo libero indipendentemente dal metodo che si usaper scrivere le equazioni del moto.

C.1.3 Scrittura delle relazioni costitutive

La scrittura delle relazioni costitutive da un certo punto di vista e la parte piu semplice: noto il tipo diforza, e quindi il principio fisico da cui dipende, e sufficiente procurarsi le variabili cinematiche da cuidipende. La criticita di questa fase consiste appunto nello scegliere il principio fisico da cui dipende laforza in questione.

1Esistono tecniche alternative (equazioni di Lagrange del primo tipo) che, attraverso il formalismo dei moltiplicatori diLagrange, consentono di scrivere simultaneamente le equazioni del moto e le equazioni da cui ricavare le reazioni vincolarirelative ai vincoli non ideali.

C-2

C.1.4 Mettiamo tutto insieme

Indipendentemente dalla sequenza scelta, la scrittura del problema consiste nell’unire le fasi descritte inprecedenza, qui riassunte nella loro essenza.

• L’analisi cinematica consiste nello scegliere i gradi di liberta, ovvero le coordinate libere q, e nelloscrivere le variabili cinematiche x in funzione di queste, x = x (q). Cio implica la conoscenza anchedelle derivate e delle variazioni virtuali delle variabili cinematiche, se richieste nella procedura disoluzione, per semplice derivazione o perturbazione virtuale:

x =∂x

∂qq +

∂x

∂t(C.1a)

x =∂x

∂qq + 2

∂2x

∂t∂qq +

∂2x

∂t2(C.1b)

δx =∂x

∂qδq. (C.1c)

• La scrittura delle equazioni del moto consiste nello scrivere relazioni di equilibrio tra le forze(generalizzate) agenti sul sistema, δxT

∑

i fi = 0, con δx definito al punto precedente in funzionedella variazione virtuale delle coordinate libere.

• La scrittura delle relazioni costitutive consente di sostituire ad ogni forza fi la sua espressione infunzione delle variabili cinematiche e delle loro derivate, fi = fi (x, x, x), e quindi, in ultima analisi,delle coordinate libere e delle loro derivate, fi = fi (q, q, q).

C.2 Soluzione del problema

Questa e un’altra storia. . .

C-3

Appendice D

Breviario ad (ab)uso degli studenti

Questa appendice racchiude alcune nozioni utili agli studenti per aumentare le probabilita di non superarel’esame.

D.1 Primo Principio della Dinamica dei Sistemi Aerospaziali

Qualunque sia la natura del sistema, in presenza di attrito dinamico di coefficiente fd, il modulo dellaforza resistente e definito come

T = fdN (D.1)

ove N , la componente della reazione vincolare normale alla superficie di scorrimento, secondo il PrimoPrincipio della Dinamica dei Sistemi Aerospaziali, e sempre e comunque

N = mg (D.2)

o, nel caso in cui la superficie di scorrimento sia inclinata di un angolo α rispetto all’orizzontale,

N = mg cosα (D.3)

Per nessuna ragione N puo essere ricavata a partire da una equazione di equilibrio.Nota: almeno il 25% degli svolgimenti di ogni tema d’esame vede l’applicazione del Primo Principio.Nota: N = mg anche se il problema e nel piano orizzontale (visto veramente in uno scritto della

prova del 16 Febbraio 2010).

D.2 Teorema dell’ininfluenza delle forze d’inerzia

Enunciato: un corpo, spinto verso l’alto a velocita costante da una forza uguale ed opposta al peso,al cessare della stessa scende immediatamente. La dimostrazione e lasciata alla curiosita del lettore.

Nota: sentito davvero ad un orale.

Esercizio D.1 Dimostrare il teorema dell’ininfluenza delle forze d’inerzia.

D.2.1 Corollario della viralita del moto uniforme

Una parte di un meccanismo arbitrariamente complesso si muova di moto uniforme (per esempio unamanovella ruoti a velocita costante). Allora, indipendentemente dalla complessita cinematica del mec-canismo, tutte le forze di inerzia si annullano, anche qualora il moto uniforme di una parte si traducain moto vario di altre parti del sistema (per esempio la biella trascinata dalla manovella e il corsoiotrascinato dalla biella in un glifo).

Esercizio D.2 Con riferimento all’esempio della manovella in moto a velocita angolare costante, siverifichi come il corollario non sia vero a rigore neppure per la manovella stessa: le forze d’inerzia sonoveramente nulle?

D-1

D.2.2 Lemma della singolarita della distribuzione delle masse.

Si consideri un’asta uniforme di lunghezza L. Si calcolino le azioni interne in un punto qualsiasi, postoa distanza x da un estremo. Le forze di inerzia sono applicate nel baricentro, e quindi agiscono solosulla porzione di asta che contiene il baricentro. Quando l’asta e tagliata nel baricentro, la meta a cui siapplicano le forze di inerzia non e definita.

Esercizio D.3 Si calcolino le forze di inerzia di un’asta uniforme soggetta a moto vario dopo averlasezionata in due parti in un punto arbitrario. Si faccia tendere tale punto al baricentro dell’asta integra.

D.2.3 Corollario dell’incompatibilita tra regime e forze d’inerzia

Qualora in una frase compaia l’espressione “a regime”, cio necessariamente implica che le forze d’inerziasiano nulle per tutto il resto dell’esercizio.

Esercizio D.4 Si calcoli la risposta a regime di un sistema descritto dall’equazione

mx+ rx+ kx = f(t) (D.4)

quando sia forzato armonicamente, ovvero f = fejΩt.

Svolgimento (sconsigliato): siccome nel testo compare l’espressione “a regime”, l’equazione diventa

rx+ kx = fejΩt (D.5)

Da qui di solito ci si incarta in tentativi di trovare un’espressione plausibile per x, eventualmente scrivendofrasi del tipo “non sono in grado di concludere per mancanza di tempo”.

Ri-svolgimento (corretto): l’espressione “a regime” va inteso nel senso di “a transitorio esaurito”.Si ricorda infatti che la soluzione di equazioni differenziali lineari e costituita dalla combinazione diun integrale generale, soluzione dell’equazione omogenea associata al problema non omogeneo, e di unintegrale particolare, associato al termine noto specifico. La soluzione omogenea viene determinataimponendo il raccordo tra il valore all’istante iniziale dell’integrale particolare e le condizioni iniziali delproblema. Se il sistema e asintoticamente stabile (si puo parlare di stabilita del sistema anziche dellasoluzione solo perche si tratta di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti), allora l’integralegenerale e destinato ad annullarsi asintoticamente; ne consegue che “a regime”, ovvero a transitorioesaurito, rimane solo l’integrale particolare,

x =(−Ω2m+ jΩr + k

)−1f (D.6)

D.2.4 Sull’opportunita di considerare due volte le forze d’inerzia

L’(ab)uso del teorema dell’energia cinetica consente di commettere un errore piuttosto frequente. Questoteorema dice che“la derivata rispetto al tempo dell’energia cinetica e uguale alla potenza delle forze attive,escluse quelle di inerzia”. Se si trascura la invero secondaria postilla sulle forze di inerzia, si ottiene ilTeorema dell’(abuso del teorema dell’)Energia Cinetica, il quale afferma che“la derivata rispetto al tempodell’energia cinetica e (quasi) uguale alla potenza delle forze attive (incluse quelle di inerzia)”.

Esercizio D.5 Si utilizzi il summenzionato teorema per scrivere l’equazione del moto di un puntomateriale libero, soggetto ad una forza arbitraria.

Soluzione (sbagliata): l’energia cinetica e T = m~v × ~v/2; la potenza delle forze attive (incluse

quelle di inerzia) e Π = ~F × ~v −m~a× ~v. La derivata dell’energia cinetica da T = m~a× ~v. Ne consegue

m~a× ~v = ~F × ~v −m~a× ~v

da cui si ricava(

2m~a− ~F)

× ~v = 0,

ovvero la nota relazione ~F = 2m~a.

D-2

D.3 Lemma della crasi tra definizioni diverse

Spesso, uno stesso principio o fenomeno puo essere enunciato in modi diversi. In questi casi, i diversimodi possono essere sintetizzati prendendo a caso un po’ da uno e un po’ da un altro.

Esercizio D.6 Illustrare l’ipotesi di Reye mischiando la definizione in termini sia di lavoro che dipotenza delle forze di attrito, avendo cura di cadere in contraddizione almeno una volta.

D.4 Teorema del calcolo delle frequenze caratteristiche di siste-mi meccanici descritti da equazioni disaccoppiate (o della“ammuina”)

Le frequenze caratteristiche di un sistema meccanico si calcolano trovando le radici del polinomio carat-teristico, che si ottiene imponendo l’annullamento del determinante della matrice

[Z] = −ω2 [M ] + [K] (D.7)

Se le matrici [M ] e [K] sono diagonali, il determinante di [Z] e costituito dal prodotto dei coefficientidiagonali kii−ω2mii, e quindi si annulla quando si annulla ciascun coefficiente della diagonale. Malgradocio, occorre ogni volta:

• scrivere per intero il polinomio caratteristico

• raccogliere i coefficienti del polinomio per ogni potenza pari dell’incognita ω

• se possibile, calcolarne le radici

• evitare di accorgersi che queste sono semplicemente e rispettivamente ω2i = kii/mii.

Questo consente di:

1. non ammettere che probabilmente, se le matrici sono diagonali, e stato commesso qualche errorenel loro calcolo; se si sono svolti tutti quei passaggi, significa che non ci si e accorti che le matricierano diagonali, e quindi l’errore e stato commesso in buona fede;

2. introdurre errori in un risultato altrimenti banale.

Nota: se le matrici [K] e [M ] sono entrambe diagonali,

1. si ha un occhio incredibile nella scelta dei gradi di liberta; oppure

2. e stato commesso un errore.

Nota alla nota: questo non implica che matrici non diagonali siano sempre corrette.

D.5 Esercizio: trova l’errore

Questa sezione propone una serie di esercizi sbagliati, nei quali si richiede di trovare e spiegare l’errore.Tutti gli esercizi sono ispirati a risposte realmente viste in prove scritte (mutatis mutandis).

Esercizio D.7 Data una ruota di massa m, raggio R e inerzia J , rotolante lungo un piano inclinato diun angolo α trascinata da una fune inestensibile e priva di massa, parallela al terreno, calcolare:

1. la reazione al contatto tra ruota e terreno;

2. la tensione nella fune.

Svolgimento:

D-3

Risposta 1) L’equilibrio alla traslazione in direzione parallela al terreno e −RT −mg sinα−mx = 0, da cui lacomponente tangenziale della reazione tra ruota e terreno e RT = −mx−mg sinα.

Risposta 2) L’equilibrio alla traslazione in direzione parallela al terreno e T − mg sinα − mx = 0, da cui latensione nella fune e T = mx+mg sinα.

Si e fatto uso del Teorema dell’Omissione dell’Incognita che si Preferisce non Considerare per Renderepiu Semplici i Calcoli.

Il risultato corretto e:

1. dall’equilibrio alla rotazione della ruota attorno al proprio centro si ottiene RT = J/R2x

2. dall’equilibrio alla traslazione della ruota lungo la direzione tangente al piano si ricava T = (m +J/R2)x+mg sinα.

Esercizio D.8 Vero o falso?

1

a

b+ 1

=b

a+ 1 (D.8)

Falso. Il risultato si ottiene a seguito dell’utilizzo del Metodo del Passaggio Inutile e Non Richiesto perComplicare un Risultato in Origine Semplice.

Il risultato corretto e

1

a

b+ 1

=1

a

b+ 1

, (D.9)

ovvero meglio non rigirare troppo le formule senza che sia strettamente necessario; se lo si fa, si stiaalmeno attenti.

D-4

Appendice E

Soluzione esercizi

Capitolo 2

Soluzione es. 2.2

L’energia cinetica del corpo e T = m(x2 + y2)/2, mentre l’energia potenziale e V = mgy. L’equazione divincolo puo essere formulata come y cosα− x sinα = 0. La lagrangiana aumentata corrispondente e

L =1

2m(x2 + y2

)−mgy − (y cosα− x sinα)λ

Si ottiene

d

dt

(∂L

∂x

)

− ∂L

∂x= mx− sinαλ = 0

d

dt

(∂L

∂y

)

− ∂L

∂y= my +mg + cosαλ = 0

d

dt

(∂L

∂λ

)

− ∂L

∂λ= y cosα− x sinα = 0

Per la riduzione ad una equazione pura si puo procedere come segue:

• si derivi due volte l’equazione di vincolo rispetto al tempo, in modo da ottenere

y cosα− x sinα = 0

• dalle due equazioni di equilibrio si esplicitino x e y,

x =1

msinαλ

y = −g − 1

mcosαλ

• e li si sostituiscano nella derivata seconda dell’equazione di vincolo,

−(

g +1

mcosαλ

)

cosα−(

1

msinαλ

)

sinα = 0

• da questa relazione si espliciti il moltiplicatore λ,

λ = −mg cosα

E-1

• lo si sostituisca nelle equazioni di equilibrio,

mx = −mg cosα sinα

my = −mg sin2 α.

Queste due equazioni sono solo formalmente indipendenti; in realta basta risolverne una, rispettivamentein funzione della coordinata x o y, e usare l’equazione di vincolo per calcolare l’altra coordinata.

Se si considera una nuova coordinata q parallela al piano inclinato, si ha x = q cosα e y = q sinα;e immediato verificare che le due equazioni “pure” ottenute sono in realta la stessa equazione una voltasostituite le x e y in funzione di q, ovvero x = q cosα e y = q sinα, con cui si ottiene due volte

mq = −mg sinα.

Soluzione es. 2.3

La guida scambia con il corpo una reazione diretta perpendicolarmente alla guida stessa, ove α = dy/dxe la pendenza locale della guida.

Equilibri dinamici. La reazione Φ ha componente verticale Φy = Φcosα e componente orizzontaleΦx = −Φsinα. Ne consegue che la componente orizzontale e

Φx = −Φy tanα = −Φydy

dx.

Le equazioni di equilibrio alla traslazione in direzione orizzontale e verticale danno

−mx+Φx + f(t) = 0

−my +Φy −mg = 0.

La componente verticale dell’accelerazione si calcola in funzione della componente orizzontale del motocome

y =dy

dxx

y =dy

dxx+

d

dx

(dy

dxx

)

x =dy

dxx+

d2y

dx2x2.

Dall’equilibrio in direzione verticale si ricava Φy,

Φy = mg +my

Sfruttando l’espressione di Φx in funzione di Φy si puo eliminare per sostituzione la reazione vincolaredall’equazione di equilibrio in direzione orizzontale,

−m(

1 +

(dy

dx

)2)

x−mdy

dx

d2y

dx2x2 −mg

dy

dx+ f(t) = 0,

ottenendo cosı un’equazione pura del moto.Nel caso in esame, y = y0 sin(2πx/L), quindi

dy

dx= y0

2π

Lcos

(2πx

L

)

d2y

dx2= −y0

(2π

L

)2

sin

(2πx

L

)

.

E-2


m

(

1 +

(

y02π

Lcos

(2πx

L

))2)

x−my20

(2π

L

)3

cos

(2πx

L

)

sin

(2πx

L

)

x2

= f(t)−mgy02π

Lcos

(2πx

L

)

Principio dei lavori virtuali. La componente orizzontale di uno spostamento virtuale della massae δx. La componente verticale e δy = (dy/dx)δx. Il lavoro virtuale delle forze attive e

δL = δxf(t)− δxmx− δymg − δymy = δx

(

f(t)−mx− dy

dx(mg +my)

)

.

Sostituendo l’espressione di y, per l’arbitrarieta dello spostamento virtuale δx si ottiene direttamentel’equazione pura del moto scritta in precedenza. Il calcolo della reazione vincolare puo essere svolto aposteriori utilizzando per esempio l’equilibrio alla traslazione in direzione verticale scritto in precedenza,ove y e noto dall’equazione del moto (anche se sarebbe piu corretto scrivere un equilibrio alla traslazionein direzione perpendicolare alla guida).

Teorema dell’energia cinetica. Il teorema dell’energia cinetica puo essere utilizzato per scriveredirettamente l’equazione del moto perche il sistema ha un solo grado di liberta e i vincoli sono fissi (nondipendono esplicitamente dal tempo), quindi l’atto di moto e compatibile con i vincoli a tempo fissato.

L’energia cinetica del sistema e

T =1

2m~v × ~v =

1

2m(x2 + y2

).

La sua derivata rispetto al tempo da

dT

dt= m (xx+ yy) = m

(

x+ ydy

dx

)

x.

La potenza delle forze attive, escluse quelle di inerzia, e

Π = f(t)x−mgy =

(

f(t)−mgdy

dx

)

x.

Dall’uguaglianza dT/dt = Π si ricava

m

(

x+ ydy

dx

)

x =

(

f(t)−mgdy

dx

)

x.

Eliminando la velocita x e sostituendo y si ottiene di nuovo l’equazione pura del moto scritta in prece-denza. La reazione vincolare si puo ricavare in modo analogo al caso del principio dei lavori virtuali.

Equazioni di Lagrange di IIo tipo. All’energia cinetica calcolata in precedenza si sottraggal’energia potenziale associata al peso, mgy, a dare la Lagrangiana

L =1

2m(x2 + y2

)−mgy.

Il lavoro virtuale delle forze attive rimanenti e δL = δxf(t). Si ottiene

∂L

∂x= mx+my

dy

dx

d

dt

(∂L

∂x

)

= mx+mydy

dx+my

d2y

dx2x

∂L

∂x= my

dy

dx−mg

dy

dx= my

d2y

dx2x−mg

dy

dxQ = f(t)

E-3

Si ottiene quindi

mx+mydy

dx+

myd2y

dx2x−

myd2y

dx2x+mg

dy

dx= f(t),

ovvero, dopo alcune semplificazioni e sostituendo l’espressione di y, di nuovo l’equazione pura del mototrovata in precedenza. La reazione vincolare si puo ricavare in modo analogo al caso del principio deilavori virtuali.

Equazioni di Lagrange di Io tipo. Si consideri la Lagrangiana scritta in precedenza e aumentatadall’equazione di vincolo y − y(x) = 0 moltiplicata per l’incognita di reazione λ, ove y e considerata allastregua di una coordinata libera mentre y(x) e il valore imposto dalla presenza della guida. Si ottiene

L =1

2m(x2 + y2

)−mgy + λ (y − y(x)) .

Si applichi il formalismo di Lagrange in funzione delle tre variabili x, y e λ, considerando anche il lavorovirtuale δL = δxf(t). Si ottiene

∂L

∂x= mx

d

dt

(∂L

∂x

)

= mx∂L

∂x= −dy

dxλ Qx = f(t)

∂L

∂y= my

d

dt

(∂L

∂y

)

= my∂L

∂y= −mg + λ Qy = 0

∂L

∂λ= 0

d

dt

(∂L

∂λ

)

= 0∂L

∂λ= y − y(x) Qλ = 0

ovvero

mx+dy

dxλ = f(t)

my − λ = −mg0 = y − y(x).

Il moltiplicatore λ assume il significato di componente verticale della reazione vincolare (si confrontinole equazioni appena scritte con gli equilibri dinamici).

Per arrivare all’equazione pura del moto si puo esplicitare λ dalla seconda equazione e sostituirlo nellaprima, dopo aver ricavato y dalla derivata seconda della terza equazione. La reazione vincolare si ricavadirettamente dalla seconda equazione esplicitata rispetto a λ, una volta noto il movimento.

Capitolo 13

Soluzione es. 13.3

Se due autovalori ωi e ωj sono uguali, pur avendo autovettori distinti, la relazione

(ω2i − ω2

j

)XTj [M ] Xi = 0 (E.1)

e verificata anche se gli autovettori non sono ortogonali, e quindi in generale e possibile che

XTj [M ] Xi 6= 0. (E.2)

Questa relazione puo essere utilizzata per imporre l’ortogonalizzazione degli autovettori. Per esempio,si scelga di preservare Xi; se la (E.2) e vera occorre modificare Xj affinche sia ortogonale a Xiattraverso la matrice di massa. Si scelga di scrivere

X′j = Xj − α Xi , (E.3)

E-4

ovvero di combinare linearmente Xj con Xi attraverso il coefficiente incognito α, in modo da sot-trarre a Xj un vettore di ampiezza incognita allineato con Xi. Si imponga ora l’ortogonalita traX′j e Xi attraverso la matrice di massa,

XTi [M ](

Xj − α Xi)

= 0, (E.4)

da cui si ricava

XTi [M ] Xi︸︷︷︸

mi

α = XTi [M ] Xj . (E.5)

Siccome la matrice di massa e definita positiva, mi > 0, quindi e possibile esplicitare α:

α =XTi [M ] XjXTi [M ] Xi

. (E.6)

A questo punto X′j sostituisce l’autovettore originario Xj .

Capitolo 14

Soluzione es. 14.1

Si consideri, come suggerito, un cambio di variabile η = t− τ ; ne consegue τ = t− η e dτ = dη. Quindila convoluzione diventa

x (t) =

∫ t

0

e[A](t−τ) [B] u (τ) dτ =

∫ 0

t

e[A](η) [B] u (t− η) (−dη)

A questo punto, data l’arbitrarieta della variabile di integrazione η, la si puo ribattezzare τ ; inoltre,invertendo gli estremi di integrazione, l’integrale cambia segno, per cui si ottiene

x (t) =

∫ t

0

e[A](τ) [B] u (t− τ) dτ ,

ovvero quanto si voleva verificare.

Soluzione es. 14.2

Si consideri una funzione di trasferimento non strettamente propria definita come

y =b0s

n +∑ni=1 bis

n−i

sn +∑ni=1 ais

n−iu

(e strettamente propria se b0 = 0). A numeratore si sommi e si sottragga∑

i=1,n aisn−i moltiplicato per

b0; si ottiene

y =b0s

n +∑ni=1 bis

n−i + b0(∑n

i=1 aisn−i)− b0

(∑ni=1 ais

n−i)

sn +∑ni=1 ais

n−iu

=b0(sn +

∑ni=1 ais

n−i)+∑ni=1 bis

n−i − b0(∑n

i=1 aisn−i)

sn +∑ni=1 ais

n−iu

=

(

b0 +

∑ni=1 (bi − b0ai) s

n−i

sn +∑ni=1 ais

n−i

)

u.

Quindi il termine di trasmissione diretta b0u si somma ad una funzione di trasferimento strettamentepropria i cui coefficienti del numeratore sono b′i = bi − b0ai.

E-5

Soluzione es. 14.6

Il problema in esame puo essere realizzato agli stati come

[A] =

[0 1

−ω20 −2ξω0

]

[B] =

[0

1/m

]

con ω0 =√

k/m e ξ = r/rc = r/(2√km). L’inversa della matrice [A] e

[A]−1

=

[−2ξ/ω0 −1/ω2

0

1 0

]

.

La valutazione dell’esponenziale di matrice si puo ricavare a partire dalla sua decomposizione spettrale,

[A] = [X] [Λ] [X]−1,

con

[Λ] =

[σ + jω 0

0 σ − jω

]

[X] =

[1 1

σ + jω σ − jω

]

e σ = −ω0ξ e ω = ω0

√

1− ξ2. L’esponenziale diventa

e[A](t−t1) = [X] e[Λ](t−t1) [X]−1,

con

e[Λ](t−t1) =

[e(σ+jω)(t−t1) 0

0 e(σ−jω)(t−t1)

]

.

Dal momento che l’esponenziale della matrice deve essere moltiplicata per [B], e sufficiente valutarnel’ultima colonna, ovvero

e[A](t−t1) [B] =eσ(t−t1)

m

sin(ω(t− t1))

ωσ

ωsin(ω(t− t1)) + cos(ω(t− t1))

.

Quindi si ha

(

[I]− e[A](t−t1))

[B] =1

m

−eσ(t−t1)sin(ω(t− t1))

ω

1− eσ(t−t1)

(

σ

ωsin(ω(t− t1)) + cos(ω(t− t1))

)

e infine

−step(t− t1) [A]−1(

[I]− e[A](t−t1))

[B] =step(t− t1)

k

1 + eσ(t−t1)

(

σ

ωsin(ω(t− t1))− cos(ω(t− t1))

)

ω20eσ(t−t1)

sin(ω(t− t1))

ω

.

E relativamente agevole verificare come questa soluzione corrisponda alla soluzione statica meno lasoluzione dell’integrale generale trovata per altra via nella sezione 5.3.

E-6

Soluzione es. 14.7

Si consideri la convoluzione

x (t)p =∫ t

0

e[A]τ [B] u (t− τ) dτ

Si sviluppi l’ingresso in serie di Taylor rispetto a τ ; senza ledere la generalita ci si puo arrestare al primotermine:

u (t− τ) ∼= u (t) − d u (t)dτ

τ

L’integrale di convoluzione diventa

x (t)p ∼=∫ t

0

e[A]τ [B]

(

u (t) − d u (t)dτ

τ

)

dτ

=

∫ t

0

e[A]τ dτ [B] u (t) −∫ t

0

e[A]τ τ dτ [B]d u (t)

dτ

Il primo integrale da semplicemente

∫ t

0

e[A]τ dτ = [A]−1

e[A]τ∣∣∣

t

0= [A]

−1(

e[A]t − [I])

.

Il secondo integrale puo essere risolto mediante integrazione per parti: la derivata di prodotto di funzionici dice che f ′g = (fg)′ − fg′, per cui, posto f ′ = e[A]τ e g = τ , per cui f = [A]−1e[A]τ e g′ = 1, si ottiene

∫ t

0

e[A]τ τ dτ = [A]−1(

e[A]τ τ)∣∣∣

t

0− [A]

−1∫ t

0

e[A]τ dτ = [A]−1

e[A]tt− [A]−2(

e[A]t − [I])

.

Di conseguenza,

x (t)p ∼= [A]−1(

e[A]t − [I])

[B] u (t) −(

[A]−1

e[A]tt− [A]−2(

e[A]t − [I]))

[B]d u (t)

dτ

Se la dinamica del sistema e abbastanza piu veloce rispetto alla variabilita dell’ingresso, tutti i terminiesponenziali che risultano dagli integrali di convoluzione si annullano molto rapidamente al crescere di t,quindi si ottiene

x (t)p ∼= [A]−1(

e[A]t − [I]

)

[B] u (t) −(

[A]−1

e[A]tt− [A]−2(

e[A]t − [I]

))

[B]d u (t)

dτ

= − [A]−1

[B] u (t) − [A]−2

[B]d u (t)

dτ,

e quindi

y (t) = − [C] [A]−1

[B] u (t) − [C] [A]−2

[B]d u (t)

dτ

che e quanto si voleva verificare. Arrestando lo sviluppo in serie di Taylor a termini di ordine superioresi ottiene la formula dell’approssimazione quasi-stazionaria dell’ordine desiderato.

Soluzione es. 14.9

Si consideri x = [H]q, con [H] = [[Hl][Hv]] e q = ql; qv. L’equazione del moto

[M ] x+ [K] x = f (E.7)

E-7

nelle nuove coordinate diventa[mll mlv

mTlv mvv

]qlqv

+

[kll klvkTlv kvv

]qlqv

=

HTl f

HTv f

(E.8)

dove per semplicita di notazione d’ora in avanti si omettono le parentesi che indicano semplicementematrici e vettori. Se si approssima qv

r= 0, dal secondo blocco si ricava

qv = k−1vv

(HTv f −mT

lv ql − kTlvql), (E.9)

che, sostituito nel primo blocco da(mll − klvk

−1vv m

Tlv

)ql +

(kll − klvk

−1vv k

Tlv

)ql =

(HTl − klvk

−1vv H

Tv

)f (E.10)

Il risultato e

x = Hlql +Hvk−1vv

(HTv f −mT

lv ql − kTlvql)

= Hvk−1vv H

Tv f −Hvk

−1vv m

Tlv ql +

(Hl −Hvk

−1vv k

Tlv

)ql. (E.11)

La matrice di rigidezza nelle nuove coordinate e data dalla relazione

k = HTKH (E.12)

da cui

K = H−T kH−1 (E.13)

e quindi

K−1 = Hk−1HT (E.14)

con, per il lemma di inversione delle matrici,

k−1 =

[ (kll − klvk

−1vv k

Tlv

)−1 −(kll − klvk

−1vv k

Tlv

)−1klvk

−1vv

−k−1vv k

Tlv

(kll − klvk

−1vv k

Tlv

)−1k−1vv + k−1

vv kTlv

(kll − klvk

−1vv k

Tlv

)−1klvk

−1vv

]

(E.15)

e quindi

K−1 = Hl

(kll − klvk

−1vv k

Tlv

)−1HTl

−Hl

(kll − klvk

−1vv k

Tlv

)−1klvk

−1vv H

Tv

−Hvk−1vv k

Tlv

(kll − klvk

−1vv k

Tlv

)−1HTl

+Hvk−1vv H

Tv +Hvk

−1vv k

Tlv

(kll − klvk

−1vv k

Tlv

)−1klvk

−1vv H

Tv (E.16)

Il problema formulato come accelerazione dei modi e

x = K−1 (f −MHlql) (E.17)

ovvero

x = Hl

(kll − klvk

−1vv k

Tlv

)−1HTl (f −MHlql)

−Hl

(kll − klvk

−1vv k

Tlv

)−1klvk

−1vv H

Tv (f −MHlql)

−Hvk−1vv k

Tlv

(kll − klvk

−1vv k

Tlv

)−1HTl (f −MHlql)

+Hvk−1vv H

Tv (f −MHlql)

+Hvk−1vv k

Tlv

(kll − klvk

−1vv k

Tlv

)−1klvk

−1vv H

Tv (f −MHlql)

=(Hl −Hvk

−1vv k

Tlv

) (kll − klvk

−1vv k

Tlv

)−1 (HTl f −mllql

)

+(

Hvk−1vv +

(Hvk

−1vv k

Tlv −Hl

) (kll − klvk

−1vv k

Tlv

)−1klvk

−1vv

) (HTv f −mT

lv ql)

(E.18)

E-8

Siccome

HTl f −mllql = kllql + klvqv =

(kll − klvk

−1vv k

Tlv

)ql − klvk

−1vv m

Tlv ql + klvk

−1vv H

Tv f (E.19)

si ottiene

x =(Hl −Hvk

−1vv k

Tlv

) (kll − klvk

−1vv k

Tlv

)−1 ((kll − klvk

−1vv k

Tlv

)ql − klvk

−1vv m

Tlv ql + klvk

−1vv H

Tv f)

+(

Hvk−1vv −

(Hl −Hvk

−1vv k

Tlv

) (kll − klvk

−1vv k

Tlv

)−1klvk

−1vv

) (HTv f −mT

lv ql)

=(Hl −Hvk

−1vv k

Tlv

)ql

−(Hl −Hvk

−1vv k

Tlv

) (kll − klvk

−1vv k

Tlv

)−1klvk

−1vv m

Tlv ql

+(Hl −Hvk

−1vv k

Tlv

) (kll − klvk

−1vv k

Tlv

)−1klvk

−1vv H

Tv f

+Hvk−1vv H

Tv f

−Hvk−1vv m

Tlv ql

−(Hl −Hvk

−1vv k

Tlv

) (kll − klvk

−1vv k

Tlv

)−1klvk

−1vv H

Tv f

+(Hl −Hvk

−1vv k

Tlv

) (kll − klvk

−1vv k

Tlv

)−1klvk

−1vv m

Tlv ql

= Hvk−1vv H

Tv f −Hvk

−1vv m

Tlv ql +

(Hl −Hvk

−1vv k

Tlv

)ql (E.20)

ovvero cio che si voleva dimostrare.

Appendice A

Soluzione es. A.1

• Equazione (A.8a): si consideri la rappresentazione vettoriale ~v = vx~i+ vy~j + vz~k; si ottiene

~p× ~q =(

px~i+ py~j + pz~k)

×(

qx~i+ qy~j + qz~k)

= pxqx + pyqy + pzqz

~q × ~p =(

qx~i+ qy~j + qz~k)

×(

px~i+ py~j + pz~k)

= qxpx + qypy + qzpz

in quanto il prodotto scalare tra versori differenti da 0 (~i×~j = ~j×~k = ~k×~i = 0) mentre il prodotto

scalare di un versore per se stesso da 1 (~i×~i = ~j ×~j = ~k × ~k = 1).

Si consideri la notazione matriciale v = [vx, vy, vz]T ; si ottiene

p × q =px py pz

T

qxqyqz

= pxqx + pyqy + pzqz

q × p =qx qy qz

T

pxpypz

= qxpx + qypy + qzpz

• Equazione (A.8b): si consideri la notazione vettoriale; si ha:

~p ∧ ~q =

∣∣∣∣∣∣

px py pzqx qy qz~i ~j ~k

∣∣∣∣∣∣

= (pyqz − pzqy)~i+ (pzqx − pxqz)~j + (pxqy − pyqx)~k

~q ∧ ~p =

∣∣∣∣∣∣

qx qy qzpx py pz~i ~j ~k

∣∣∣∣∣∣

= (qypz − qzpy)~i+ (qzpx − qxpz)~j + (qxpy − qypx)~k.

I due risultati sono chiaramente uno l’opposto dell’altro.

E-9

Si consideri ora la notazione matriciale; si ha

[p ∧ ] q =


qxqyqz

=

pyqz − pzqypzqx − pxqzpxqy − pyqx

[q ∧ ] p =

0 −qz qyqz 0 −qx−qy qx 0

pxpypz

=

qypz − qzpyqzpx − qxpzqxpy − qypx

I due risultati sono chiaramente uno l’opposto dell’altro.

• Equazione (A.8c): si consideri la notazione vettoriale; sfruttando la relazione ~p ∧ ~q calcolata inprecedenza, si ha

~r × (~p ∧ ~q) =(

rx~i+ ry~j + rz~k)

×(

(pyqz − pzqy)~i+ (pzqx − pxqz)~j + (pxqy − pyqx)~k)

= rx (pyqz − pzqy) + ry (pzqx − pxqz) + rz (pxqy − pyqx)

Si potrebbe procedere come nei casi precedenti, cioe sviluppare la forma ~q × (~p ∧ ~r) e verificareche il risultato e l’opposto di quanto ottenuto (viene lasciato al lettore come esercizio). Si osserviinvece che l’ultima espressione puo essere raccolta altrimenti, ovvero

rx (pyqz − pzqy) + ry (pzqx − pxqz) + rz (pxqy − pyqx)

= −qx (pyrz − pzry)− qy (pzrx − pxrz)− qz (pxry − pyrx) .

Ma l’espressione a destra dell’uguale non e altro che il risultato di −~q × (~p ∧ ~r).Si consideri ora la notazione matriciale; la relazione [p∧]T = −[p∧] e dovuta al fatto che percostruzione [p∧] e antisimmetrica.

Per quanto riguarda la relazione usata per enunciare la proprieta con la notazione vettoriale, siconsideri il fatto che rT [p∧]q e uno scalare, quindi e identico alla sua trasposta:

rT [p ∧ ] q = qT [p ∧ ]T r .

Ma la matrice [p∧] e antisimmetrica, quindi

rT [p ∧ ] q = qT [p ∧ ]T r = −qT [p ∧ ] r .

• Equazione (A.8d): viene lasciata alla curiosita del lettore.

• Equazione (A.8e): viene lasciata alla curiosita del lettore.

• Equazione (A.8f): viene lasciata alla curiosita del lettore.

Soluzione es. A.2

Si consideri la notazione vettoriale. Del termine centrifugo ~a = ~ω ∧ (~ω ∧ ~r) si consideri il termine traparentesi, ~v = ~ω ∧ ~r. Questo, per costruzione, e normale sia a ~r che a ~ω. Di conseguenza, ~ω ∧ ~v eortogonale a ~ω e ~v. Questo significa che ~a giace nel piano normale a ~v ed e normale a ~ω. Questo piano,per costruzione, contiene anche ~r. Se ne conclude che ~a e diretto come la porzione di ~r perpendicolare a~ω (con verso opposto).

Nel caso piano, in cui per costruzione ~ω e perpendicolare a ~r, il vettore ~a e diretto come ~r, e ha versoopposto.

Si consideri la notazione matriciale. Il termine centrifugo a = [ω∧][ω∧]r puo essere riscritto comea = (ωωT −ω2[I])r, ove si e posto ω2 = ωT ω. L’effetto della matrice ωωT −ω2[I] puoessere separato in due contributi: il primo, ωωT , attraverso il prodotto scalare ωT r estrae laparte di r diretta come ω e la moltiplica per il modulo di ω stesso; quindi moltiplica il tutto di

E-10

nuovo per ω, dando luogo ad un vettore diretto come ω e avente modulo pari alla lunghezza dellacomponente di r diretta come ω per il modulo di ω al quadrato. Il secondo contributo, −ω2[I],da luogo ad un vettore diretto come r il cui modulo e pari al modulo di r per il modulo di ω alquadrato. L’insieme dei due contributi consiste quindi nella sola porzione di r perpendicolare a ωmoltiplicata per l’opposto del quadrato del modulo di ω stesso.

Anche in questo caso, se si considera un problema piano, r e per definizione perpendicolare a ω;di conseguenza a = −ωT ωr.

Per completezza, e per evidenziare la generalita di questa operazione mediante il formalismo matri-ciale, si propone un’ulteriore interpretazione. Si ridefinisca la velocita angolare ω come ω = ωn,in cui si separa il modulo ω dal versore n, diretto come ω e di modulo unitario. Il termine centrifugoa = [ω∧][ω∧]r = (ωωT − ω2[I])r puo essere riscritto come a = −ω2([I]− nnT )r.

La matrice [P ] = [I]−nnT e un proiettore (ortogonale), ovvero un’entita che proietta un vettore inun sottospazio del suo spazio di definizione. In questo caso il sottospazio e dato dalle direzioni ortogonalia n. I proiettori ortogonali godono delle proprieta

• [P ]T = [P ]

• [P ]2 = [P ]

E immediato verificarle entrambe.Il vettore r puo essere decomposto in una parte diretta come n ed una ortogonale ad n, ovvero

r = rnn+ rmm, con nT m = 0. Ne consegue che

a = [P ] r=(

[I]− n nT)(

rn n+ rm m)

= rn n+ rm m − rn n nT n︸︷︷︸

1

−rm n nT m︸︷︷︸

0

= rm m

L’operazione puo essere estesa a spazi di dimensione arbitraria e alla proiezione in sottospazi di dimensioniarbitrarie purche inferiori.

Soluzione es. A.3

La generica matrice di rotazione [R] e ortonormale, ovvero [R]T [R] = [R][R]T = [I]. Si derivi rispetto altempo la seconda relazione,

d

dt

(

[R] [R]T)

= ˙[R] [R]T+ [R] ˙[R]

T= [0] .

Siccome [R] ˙[R]T= ( ˙[R][R]T )T , se ne deduce che

˙[R] [R]T= −

(˙[R] [R]

T)T

,

ovvero che la trasposta di [R] ˙[R]Te uguale al suo opposto. Ma questo implica che [R] ˙[R]

Tsia esprimibile

come [ω∧], ovvero come la matrice prodotto vettore di un vettore ω, che assume il significato di velocitaangolare.

Soluzione es. A.4

In analogia con l’esercizio precedente, la derivazione di [R]T [R] da

d

dt

(

[R]T[R])

= ˙[R]T[R] + [R]

T ˙[R] = [0] ,

E-11

da cui si ricava

[R]T ˙[R] = [v ∧ ] ,

dove v e un generico vettore1. Si consideri ora

[v ∧ ] = [v ∧ ] [R]T[R] = [R]

T ˙[R] [R]T[R] = [R]

T[ω ∧ ] [R] .

Se ne deduce che v = [R]T ω = ω.

Soluzione es. A.5

Si consideri la prima delle matrici della (A.23). Dalla sua derivazione rispetto al tempo si ottiene

d

dt

1 0 00 cosα − sinα0 sinα cosα

= α

0 0 00 − sinα − cosα0 cosα − sinα

.

Dal prodotto della derivata per la trasposta della matrice stessa si ottiene

α

0 0 00 − sinα − cosα0 cosα − sinα

1 0 00 cosα sinα0 − sinα cosα

= α

0 0 00 0 −10 1 0

da cui si ricava ω = [0, 0, α]T , ovvero un vettore il cui modulo e α e la cui direzione e data dall’asse x.In modo analogo si calcola la velocita angolare associata alle rimanenti due matrici della (A.23).

Soluzione es. A.7

Il momento statico sQ e la matrice d’inerzia [JQ] risultano dagli integrali della (A.36),

sQ =

∫

V

ρ r dV

[JQ] =

∫

V

ρ [r ∧ ] [r ∧ ]TdV .

Il vettore r puo essere espresso in funzione del suo valore in un sistema di riferimento solidale con ilcorpo come r = [R]r, da cui

sQ =

∫

V

ρ [R] r dV = [R]

∫

V

ρ r dV = [R] sQ

[JQ] =

∫

V

ρ [([R] r) ∧ ] [([R] r) ∧ ]TdV =

∫

V

[R] ρ [r ∧ ] [R]T[R] [r ∧ ]

T[R]

TdV

= [R]

∫

V

ρ [r ∧ ] [r ∧ ]TdV [R]

T= [R]

[JQ][R]

T.

Soluzione es. A.8

Il momento statico sQ varia al variare dell’orientazione del corpo. Essendo definito rispetto al poloQ, non risente di una pura traslazione del corpo, ma soltanto di una rotazione rispetto a tale polo.Di conseguenza, definito un valore rispetto ad una orientazione di riferimento, sQ, e una matricedi rotazione [R] dall’orientazione di riferimento a quella corrente, il momento statico nell’orientazionecorrente e

sQ = [R] sQ .1E evidente che anche v sara legato in qualche modo alla velocita angolare.

E-12

La sua derivata rispetto al tempo e quindi

sQ = [ω ∧ ] [R] sQ = [ω ∧ ] sQ .

La matrice di inerzia, allo stesso modo, risente solo di una rotazione rigida rispetto al polo Q. Diconseguenza, definito un valore di riferimento [JQ], la matrice di inerzia nell’orientazione corrente e

[JQ] = [R][JQ][R]

T.

A questa considerazione si puo arrivare in diversi modi; qui si preferisce una considerazione ‘operativa’.L’energia cinetica associata alla rotazione di un corpo rigido non dipende dal sistema di riferimento, e uninvariante scalare del moto. Nella configurazione corrente, essa e ωT [JQ]ω/2. Nella configurazione diriferimento, per la quale ω = [R]T ω, si ha ωT [JQ]ω/2. Le due espressioni devono essere uguali,per cui si ottiene

1

2ωT

[JQ]ω =

1

2ωT [R]

[JQ][R]

T ω =1

2ωT [JQ] ω ,

da cui, per l’arbitrarieta di ω, si ricava [JQ] = [R][JQ][R]T . La sua derivata e quindi

[

JQ

]

= [ω ∧ ] [R][JQ][R]

T+ [R]

[JQ][R]

T[ω ∧ ]

T= [ω ∧ ]

[

JQ

]

+[

JQ

]

[ω ∧ ]T.

Soluzione es. A.9

Il momento statico sQ e la matrice d’inerzia [JQ] in un sistema di riferimento solidale con il corpo sonocostanti per definizione; di conseguenza la loro derivata e nulla.

Soluzione es. A.10

Usando la notazione vettoriale e applicando la (A.8b)

~r ∧ ~ω ∧ ~ω ∧ ~r = ~r ∧ (~ω ∧ (~ω ∧ ~r))= − (~ω ∧ (~ω ∧ ~r)) ∧ ~r.

Quindi, applicando ripetutamente la (A.8f) e la (A.8b),

− (~ω ∧ (~ω ∧ ~r)) ∧ ~r = −~ω ∧ (~ω ∧ ~r) ∧ ~r + (~ω ∧ ~r) ∧ ~ω ∧ ~r= −~ω ∧ ~ω ∧ ~r ∧ ~r + ~ω ∧ ~r ∧ ~ω ∧ ~r +

((((((((

(~ω ∧ ~r) ∧ (~ω ∧ ~r)= −

(((((((~ω ∧ ~ω ∧ (~r ∧ ~r)− ~ω ∧ ~r ∧ ~r ∧ ~ω

E forse piu intuitivo usare la notazione matriciale anziche quella vettoriale; in questo caso, l’obbiettivoe dimostrare che

[r ∧ ] [ω ∧ ] [ω ∧ ] r = − [ω ∧ ] [r ∧ ] [r ∧ ] ω .

Si consideri la proprieta (A.8d), qui riscritta per comodita:

[a ∧ ] [b ∧ ] = b aT − aT b [I] .

La si usi per sostituire il contributo [ω∧][ω∧] con ωωT − ωT ω[I], ovvero

[r ∧ ] [ω ∧ ] [ω ∧ ] r = [r ∧ ] ω ωT r − ωT ω [r ∧ ] r︸︷︷︸

0

.

E-13

Il contributo ωT r e scalare, quindi puo essere riscritto come rT ω. Il contributo [r∧]ω ri-cordando la proprieta di antisimmetria del prodotto vettore puo essere invece riscritto come −[ω∧]r;quindi

[r ∧ ] [ω ∧ ] [ω ∧ ] r = [r ∧ ] ω ωT r= − [ω ∧ ] r rT ω .

A questo punto, e possibile aggiungere arbitrariamente un contributo del tipo rT r[I][ω∧]ω inquanto identicamente nullo; si ottiene

[r ∧ ] [ω ∧ ] [ω ∧ ] r = [r ∧ ] ω ωT r= − [ω ∧ ] r rT ω= − [ω ∧ ]

(

r rT − rT r [I])

ω= − [ω ∧ ] [r ∧ ] [r ∧ ] ω .

Soluzione es. A.11

La verifica della simmetria e immediata: la matrice di inerzia, nella (A.36), e definita come

[JQ] = −∫

V

ρ [r ∧ ] [r ∧ ] dV .

Grazie alla proprieta di antisimmetria della matrice che esprime il prodotto vettore, questa si puoriscrivere

[JQ] =

∫

V

ρ [r ∧ ] [r ∧ ]TdV .

Siccome il prodotto di una matrice per la sua trasposta da una matrice simmetrica, la [JQ] e simmetricaper costruzione.

Verificare che la matrice di inerzia sia definita positiva richiede una trattazione piu elaborata. Unadelle proprieta delle matrici definite positive consiste nell’avere tutti gli autovalori positivi. Come de-scritto nella nota 6 di pagina A-10, gli autovalori della matrice di inerzia sono i momenti principali diinerzia, ovvero i momenti di inerzia calcolati rispetto agli assi principali di inerzia. Siccome un cambia-mento di orientazione non cambia le proprieta invarianti di una matrice, quali gli autovalori, non si ledela generalita se ci si riferisce fin dall’inizio al sistema di riferimento principale d’inerzia. In questo casospeciale la matrice d’inerzia, data da

[JQ] =

∫

V

ρ [r ∧ ] [r ∧ ]TdV =

∫

V

ρ

y2 + z2 −xy − xz−yx z2 + x2 −yz−zx −zy x2 + y2

dV ,

ha i coefficienti extra-diagonali identicamente nulli. Siccome la densita ρ e positiva, i coefficienti diagonalisono positivi per costruzione, perche integrali di funzioni sempre positive (tranne che in un insiemelimitato di punti; ma la matrice non puo essere semidefinita perche cio implicherebbe che almeno duedimensioni siano nulle, ad esempio che il corpo sia un segmento di retta).

Soluzione es. A.12

Si consideri l’espressione delle coppie d’inerzia data dalla (A.40b). L’espressione della potenza e

Π = ωT CiG = ωT (− [JG] ω − [ω ∧ ] [JG] ω) .

Si noti pero che ωT [ω∧] = 0T (perche? lo si verifichi), quindi

Π = −ωT [JG] ω .Si verifichi che l’espressione trovata e l’opposto della derivata rispetto al tempo dell’energia cineticaassociata alla rotazione, ωT [JG]ω/2.

E-14

Soluzione es. A.13

La (A.40a) ci dice che le forze d’inerzia sono nulle, in quanto il baricentro, che per ipotesi si trova sull’assedi rotazione, ha accelerazione nulla. La (A.40b), nell’ipotesi che il sistema di riferimento in cui e espressala matrice dei momenti di inerzia [JG] non sia principale d’inerzia, ci dice che le coppie d’inerzia sono

CiG = −

−IxzG−IyzGIzzG

ωz −

IyzG−IxzG

0

ω2z .

Soluzione es. A.14

La derivata della (A.50a) e immediata:

Q

= m vG .

La derivata della (A.50b) comporta anche la derivazione rispetto al tempo della matrice di inerzia, ovvero

ΓG

= [JG] ω+[

JG

]

ω .

La derivata della matrice d’inerzia e[

JG

]

= [ω ∧ ] [JG] + [JG] [ω ∧ ]T;

la sua sostituzione nella derivata del momento delle quantita di moto comporta un prodotto [ω∧]T ω,che e nullo per definizione. Si ottiene cosı

ΓG

= [JG] ω+ [ω ∧ ] [JG] ω .

Dal momento che Fi = −Q e CiG = −ΓG, si riottengono le (A.40).

Soluzione es. A.15

La soluzione e gia stata data come soluzione dell’esercizio A.4. Viene qui proposta una dimostrazionealternativa. Una rotazione in generale rappresenta un cambiamento del ‘punto di vista’ rispetto alquale si guarda una relazione tra vettori, non la natura dei vettori ne della relazione. Si consideri ilprodotto vettore tra ω e un generico vettore v, espresso nello stesso sistema di riferimento del primo.L’operazione da

z = [ω ∧ ] v .

La stessa operazione puo essere svolta come sequenza di operazioni che portano entrambi i vettori ω ev in un altro sistema di riferimento, mediante moltiplicazione per [R], e poi riportano il risultato nelsistema di riferimento iniziale mediante moltiplicazione per [R]T , ovvero

ω = [R] ωv = [R] vz = [ω ∧ ] vz = [R]

T z .

Quindi z = [ω∧]v = [R]T [ω∧][R]v, ovvero, per l’arbitrarieta di v, [([R]T ω)∧] = [R]T [ω∧][R].

E-15

Soluzione es. A.16

La velocita angolare tra il corpo e il telaio nel sistema di riferimento inerziale (A.66) e

ω =

Ψ

−Φ sinΨ

Φ cosΨ

.

La sua derivata e

ω =

Ψ

−Φ sinΨ

Φ cosΨ

−

0cosΨsinΨ

ΨΦ.

In condizioni nominali, Ψ = Φ = 0, quindi

ω = −

0cosΨsinΨ

ΨΦ.

La matrice d’inerzia nel sistema solidale con il corpo, [J ] = diag(I, I, I3) rimane inalterata quando lasi trasforma nel sistema di riferimento della cassa; quando la si trasforma nel sistema di riferimento deltelaio, si ottiene

[JG] =

1 0 00 cosΨ − sinΨ0 sinΨ cosΨ

I 0 00 I 00 0 I3

1 0 00 cosΨ sinΨ0 − sinΨ cosΨ

=

I 0 00 I cos2 Ψ+ I3 sin

2 Ψ (I − I3) cosΨ sinΨ0 (I − I3) cosΨ sinΨ I sin2 Ψ+ I3 cos

2 Ψ

La coppia d’inerzia nel sistema di riferimento inerziale diventa

CiG =

0cosΨsinΨ

I3ΨΦ

La sua proiezione nel riferimento solidale con la cassa da di nuovo la (A.72).

E-16

Bibliografia

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[2] H. E. Merritt, Hydraulic Control Systems. New York: John Wiley & Sons, 1967.

[3] I. Newton, “Philosophiae naturalis principia mathematica,” 1687.

[4] C. Moler and C. V. Loan, “Nineteen dubious ways to compute the exponential of a matrix, twenty-fiveyears later,” SIAM Review, vol. 45, no. 1, pp. 3–49, 2003.

[5] M. Bianchin, G. Quaranta, and P. Mantegazza, “State space reduced order models for the staticaeroelasticity and flight mechanics of flexible aircrafts,” in Proceeding of the XVII Congresso NazionaleAIDAA, (Rome, Italy), AIDAA, September 15–19 2003.

[6] W. H. A. Schilders, H. A. van der Vorst, and J. Rommes, Model order reduction: theory, researchaspects and applications. Berlin, Heidelberg: Springer, 2008.

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DinamicadeiSistemiAerospaziali (DSA) · 3 Cinematica e dinamica dei sistemi di corpi rigidi 3-1 ......

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