U.Gasparini, Fisica I1 Cinematica Studio puramente descrittivo del moto dei corpi, indipendentemente...

U.Gasparini, Fisica I 1

CinematicaStudio puramente descrittivo del moto dei corpi, indipendentementedalle cause (=> forze) che determinano le variazioni dello stato di moto(=> accelerazioni = variazione di velocità)

Cinematica “scalare”: - studia il moto unidimensionale - necessita di quantità “scalari”, esprimibili cioè da un’ unica funzione del tempo

Cinematica “vettoriale”: - studia il moto in due o più dimensioni - necessita di “quantità vettoriali”


-Punto materiale ( astrazione) : oggetto privo di dimensioni (concretamente: oggetto le cui dimensioni sono trascurabili rispetto a quelle delle regioni di spazio in cui si muove o, meglio, rispetto alle dimensioni tipiche entro cui variano apprezzabilmente le quantità che ne determinano il moto )

La descrizione del moto presuppone la definizione di un “sistema di coordinate”: - scelta di un punto arbitrario dello spazio detto “origine” - scelta di un sistema di “assi coordinati” lungo i quali misurare le distanze e/o rispetto ai quali misurare le posizioni angolari

Punto materiale, sistema di riferimento


“traiettoria”

0 x(to) x(t1) x(t3) x(t2) x(t4)….. x

x(t) (“diagramma orario”)

tt0 t1 t2 t3 t4

x0=x(t0)x1

x3

x2

x4

Grafico della legge del moto:

Origine

Moto unidimensionale


• “Coordinata curvilinea” s(t) :– spazio percorso al tempo t lungo la

“traiettoria”

luogo geometrico dei punti dellospazio occupati dal punto materialedurante il moto

Po

P(t)s(t)

Velocità scalare media tra due istanti t1 e t2=t1+t

s(t)

t

“legge del moto”

t1 t2

s(t1)

s(t2)

ts

t

s

t

tsttsvm

)()( 11

Coordinata curvilinea e velocità scalare media


t

s(t)

(t)v(t) = tan((t))

Nota la funzione v(t), la legge del moto s(t) si ottiene perintegrazione:

ds = v(t) dt

dt

tds

t

tsttstv

t

)()()(lim)(

0

t

t

dttvtsts0

')'()()( 0

t

t

s

s

dttvtstsdss00

')'()()( 0

(dimensione : [v] = m/s) :

Velocità scalare istantaneaE’ la derivata rispetto al tempo della coordinata curvilenea s(t):


t

t

t

v(t)

v(t)

to t1 t2 t3 t4 t5

to

t

t

t

t

dttvtsts0

')'()()( 0

5

00 )()()(

ii ttvtsts

2

00 )()()(

ii ttvtsts

to t1 t2

v(t)

Integrazione della velocità


Accelerazione scalare istantanea :

Nota la funzione a(t), la velocità v(t) si ottiene perintegrazione:

Accelerazione scalare media :

dv = a(t) dt

t

v

t

tvttvam

)()( 11

2

2

0

)()()()()(lim)(

dt

tsd

dt

tds

dt

d

dt

tdv

t

tvttvta

t

t

t

v

v

dttatvtvdvv00

')'()()( 0

t

t

dttatvtv0

')'()()( 0

Accelerazione

(dimensione : [a] = m/s2)


accelerazione costante: a(t) = a

t

a(t)

a

t0

velocità:

t

v(t)

v0

posizione:

s0

tan = a

tan(t0) = v0

t

s(t)

t0

)(')'()()( 000

0

ttavdttatvtvt

t

')'(')'()()(00

0000 dtttavsdttvtstst

t

t

t

2000 )(

2

1)( ttattvs

Moto rettilineo uniformemente accelerato

moti la cui legge oraria è una funzione periodica f (t) del tempo:

f t T f t( ) ( ) esiste una costante T tale che : t

“periodo”f t( )

t

T

t0 t T0 f t( )0

Teorema di Fourier:una qualsiasi funzione periodica è esprimibile come una serie di termini sinusoidali:

f t a a m t b m tm mm

( ) sin( ) cos( )

01

“sviluppo in seriedi Fourier” di f(t)

dove:

2

T“frequenza fondamentale”

aT

f t m t dtm

T

2

0

( ) sin( ) bT

f t m t dtm

T

2

0

( ) cos( )

aT

f t dtT

0

0

1 ( ) “valor medio”

“coefficienti di Fourier”:

Moti periodici


Moto con legge oraria: x t A t( ) sin( )

“ampiezza” “pulsazione” “fase”

x(t)

t

A

-A

x

A

( )

sin

0

Periodo T:

T 2

x t T A t T x t A t( ) sin[ ( ) ] ( ) sin[ ] t

T 2 Fase: x t A( ) sin 0 arcsin( ( ) / )x A0

posizione iniziale

“Frequenza”:

1

2T

Moto armonico


Posizione:

Accelerazione:

A

-A

TT/2t x

0.-A A

spostamentonullo: x=0

velocitàmassima

accelerazione nulla

A

A

A

A

x t A t( ) sin

v tdx t

dtA t( )

( )cos

Velocità:

a tdv t

dtA t( )

( )sin 2

d x t

dtA t x t

2

22 2( )

sin ( )

d x t

dtx t

2

22 0

( )( )

Equazione differenziale del moto armonico:

spostamentomasimo: x=A

velocitànulla: v=0

accelerazione massima (in modulo): a = -2A

Velocità e accelerazione in un moto armonico


Nella legge oraria: x t A t( ) sin( ) le costanti di integrazione A e sono determinate dalle“condizioni iniziali” (posizione e velocità iniziali del moto).

Esempi:

i) posizione iniziale : x t X

v t

( )

( ) .

0 0

0 00

velocità iniziale nulla: 0. X 0

v0 0

x t A X( ) sin 0 0v t A( ) cos 0 0

A X 0

0 2cos . /

la soluzione particolare che corrisponde alle condizioni iniziali specificate è:

tXtXtx cos)2/sin()( 00

l’ampiezza dell’oscillazione coincide con lo spostamento iniziale dall’origine

t

x t X t( ) cos 0 X 0

X 0

varia A

varia

x t( )

Condizioni iniziali e costanti di integrazione


ii) posizione iniziale nulla:velocità iniziale :

x t

v t v

( ) .

( ) .

0 0

0 00

0. x

v 0

x t A

v t A v

( ) sin .

( ) cos

0 0

0 0

sin . cos

0 1

0A v

0

0

.

/A v x tv

t( ) sin 0

t

x tv

t( ) sin 0

x t( )

v0 /

v0 /

l’oscillazione avviene con ampiezza A = v0 /

v0

v0

Condizioni iniziali: esempi


In generale, per una qualsiasi legge oraria x(t) soluzione di un’equazione differenziale in cui compare la accelerazione d x t

dt

2

2

( ), le condizioni iniziali

sulla posizione e la velocità determinano le costanti di integrazione

Esempio: moto di un grave uniformemente accelerato dalla gravità : d y t

dtg

2

2

( )

soluzione generale:

y t v t dt gt A dt( ) ( ) ( )

v tdy t

dtgdt gt A( )

( )

y t gt At B( ) 1

22

con A,B costanti di integrazione

Condizioni iniziali: y t y

v t v

( )

( )

0

00

0

A v

B y

0

0

soluzione particolare:y t gt v t y( )

1

22

0 0

t

y t( )

y0

varia B

varia A

Soluzione generale dell’equazione del moto


Moto armonico: proiezione sugli assi ortogonali di un moto circolare uniforme

la velocità angolare costante del moto circolare

costituisce la pulsazione del moto armonico:

(t)

Py

x

x(t) = Rcos[ (t)] = = R cos[ t + ]

(t) = t +

R

Proiezione su assi ortogonali di un moto circolare uniforme

dt

td )(


si verifica in presenza di una decelerazione di tipo “viscoso”,ossia proporzionale alla velocità :

a tdv t

dtkv t( )

( )( )

dv t

vkdt

( ) dv

vk dt

v

v t

0 0

lnv

vkt

0

/

00)( tkt evevtv

t

tan

dv

dtkv e kv

v

t

kt

t0

0 0 00

v e0 /

v0

v t k v e( / ) 1 01 1/ k “costante di tempo”

dello smorzamento

è l’intersezione con l’asse dei tempi della retta tangente alla curva al tempo t = 0 :v t( )

Per t : v t v e v( ) . 5 0 006 005

0

v t( )

Moto smorzato esponenzialmente


x t x v t dt x v e dt xv

ke

tkt

tkt t( ) ( )

0

0

0 0

0

00

0

x t xv

ke kt( )

00 1

x t( )

x0

x

x v k

( )

/

0 0

t

0. x0x v k0 0 /

v 0

x

Spazio percorso in un moto smorzato esponenzialmente :

dv t

dta kv t

( )( )

termine costante (es: g)dv t

a kv tdt

( )

( )

1

k

dw t

wdt

( )

Posto: w t a kv t( ) ( ) dw kdv

lnw

wkt

0

w t w e kt( )

0

a kv t a kv e kt ( ) ( )0v t

a

k

a

kv e kt( ) ( )

0

v ta

kv

a

ke kt( ) ( )

0

v t( )

v0

v a k /

t“velocità limite” : v v t a k

t

lim ( ) / (indipendente da v0 )

Moto accelerato in presenza di un attrito viscoso:

termine di attrito viscoso(proporzionale alle velocità)

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