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• La meccanica è la parte della fisica che studia il movimento dei corpi e le cause che lo generano. Essa si divide in tre parti:

– Cinematica: essa studia il moto dei corpi senza interessarsi alle cause che lo generano

– Statica: studia l’equilibrio dei corpi

– Dinamica: prende in esame le cause (forze) che generano il moto

• Corpi puntiformi e corpi estesi: lo studio dei corpi puntiformi è meno difficile. L’approssimazione a corpo puntiforme è valida solo se le dimensioni dell’oggetto sono piccole rispetto alle lunghezze coinvolte.

– Es. automobile piccola quando si considerano spostamenti elevati rispetto alla sua dimensione

– Es. la terra nella sua orbita attorno al sole

• Moto di traslazione e rotazione : i corpi anche estesi in traslazione si comportono come corpi puntiformi perche tutti i punti del copro seguono lo stesso moto. Non è vero per il moto di rotazione !

• Dire che un oggetto è in quiete o in moto ha senso solo se si fissa precedentemente un sistema di riferimento (SR)

Cinematica del punto

Traiettoria, vettore posizione, velocità e accelerazione

• Traiettoria è linea che unisce tutte le posizioni occupate dal punto al trascorrere del tempo.

C

A

x0

y

OM(t1)OM(t2=t1+dt)

dOM(t)

Vettore posizione

Vettore velocitadt

tOMdv

)(

)(tOM

Il vettore velocità esprime la variazione del vettore posizione durante un intervallo di tempo. La sua direzione è qualla della variazione di posizione, quindi la tangente alla traiettoria.

Il vettore accelerazione esprime la variazione del vettore velocità durante un intervallo di tempo. La sua direzione è qualla della variazione della velocità.

C

A

x0

y

v(t1)v(t2=t1+dt)

dv(t)

Vettore velocità

Vettore accelerazionedt

tvda

)(

)(tv

• Velocità media è il rapporto fra lo spazio Δs percorso da un corpo in un intervallo di tempo Δt e questo stesso intervallo di tempo

2 1

2 1

m

S S SV

t t t

• Velocità istantanea: è la velocita media del punto materiale relativa ad un intervallo di tempo piccolissimo, al limite tendente a zero.

2 1 2 1

2 1

2 1

lim limis t

t t t t

S S S dSV

t t t d t

• Accelerazione media è il rapporto fra la variazione di velocità Δv percorso da un corpo in un intervallo di tempo Δt e questo stesso intervallo di tempo

2 1

2 1

m

V V Va

t t t

Dimensioni [a] = [L]/[T2]

Unità di misura m/s2

• Accelerazione istantanea: analogamente alla velocità istantanea:

2 1 2 1

2 1

2 1

lim limis t

t t t t

V V V dVa

t t t d t

Moto del ascensore

posizione

velocità

accelerazione

Accelerazione costante

• Moto rettilineo uniforme quando percorre una linea retta con velocità costante: accelerazione nulla.

• Moto uniformemente accelerato : accelerazione costante

; 0m edia inst m edia ist

V V const a a

m edia ist

a a const

v0 : velocità a t=0, condizione iniziale.

Esempio : caduta libera, accelerazione gravitazionale costante g : 9.81 m/s2 g.

dt

tdva

)(

00

0

)( vtavdtatv

t

dt

tdxv

)(0 00

)( xtvtx

x0 : velocità a t=0, condizione iniziale.

00

2

0

00

2

1)()( xtvtaxdtvtatx

t

Verificare le dimensioni !!

0 0

0

t

V V ad t V const

t

dtvxtx

0

0)(

Caduta libera

• Velocità finale raggiunta a terra :

y=0

• Tempo di caduta

y0=h

hgtygtty

vtgtv

ga

2

0

2

0

2

1

2

1)(

)( ; V0 = 0

g

hthgt

hgttyo

2

2

1

2

10)(

0

2

0

2

0

Indipendente della massa !Trascurrato la frizione dell’aria.

ghtv

g

hgtgtv

2)(

2)(

0

00

• Altezza massima h raggiunta da un corpo lanciato verso l’alto : quando la veolcita divento =0.

y0=0

yf

http://www.claudiocancelli.it/web_education/fisica/moto_rettilineo.swfAnimazioni

Caduta libera : oggetto lansciato verso l’alto.

00

2

0

2

1)(

)(

ytvgtty

vgttv

ga

=0

g

vhtvgthty

g

vt

vgttv

hhh

h

hh

22

1)(

0)(

2

0

0

2

0

0

t

y

Moto uniformemente accelerato : eliminare il tempo !

)(2

2)()(22

1

2

1)(

2)()(

0

2

0

2

0

2

00

2

0

00

2

0

22

0

2

0

xxavv

tavatxxatvatxx

xtvattx

tavatvvvattv

Moto in due e tre dimensioni

x

y

1V

2V

2V

1V

x

y

1r

2r

2 1r r

In 2 o 3 dimensioni, i vettori posizione, velocità e accelerazioneistantanea si scompongono a componenti cartesiane :

ˆˆ ˆ( )

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( )

x y z

yx z

x y z

yx z

x y z

r t ir jr kr

drdr drV iV jV kV i j k

d t d t d t

dVdV dVa t ia ja ka i j k

d t d t d t

Moto uniformamente accelerato nel piano:moto di un proiettile

y

0V

Accelerazione istantanea

0 yV

( ) 0;

( ) ;

ˆ ˆ ˆ( )

x

y

x y

a t

a t g

a t ia ja gj

Velocità istantanea

0

0

0 0

( ) ;

( )

ˆ ˆ ˆ ˆ( )

x x

y y

x y x y

V t V

V t V gt

V t iV jV iV j V gt

Esempio : proiettile lansciato in una direzione non parallela all’accelerazione terrestre.

0 0

2

0 0

( )

1( )

2

ˆ ˆ( ) ( ) ( )

x

y

x t x V t

y t y V t g t

r t ix t jy t

Posizione istantanea

0 0

0 0

co s

s in

x

y

V V

V V

Il moto horizontale è indipendente di quelloverticale.

gay

x

Eliminanto il tempo ed utilizzando le componenti della velocità in funzione dell’angolo si ottiene

y

0V

0 yV

2

22

0

2

2

00

0

cos2)(tan

2

1

xV

gxy

xV

gx

V

Vy

xx

y

Quando il proiettile rimbalsa a terra ? Per y=0, a una distanza R (Gittata):

2

0

00

2

10 gttV

tVxxR

y

x

2

00

0

0

2

1

xx

y

x

V

Rg

V

RV

V

Rt

)2sin(

2

0

g

VR

x

Il proiettile colpisce sempre il bersaglio….

Il proiettile e lanciato in direzione del bersaglio. Nel momento in cui e lanciato, il bersaglio e lasciato e commincia a cadere. In quale istante ilproiettile colpisce il bersaglio ? Per t=vop/roB. Perche sia il proiettile cheil bersaglio sono sottomessi alla gravita, in modo indipendente dellamassa.

0 V0

2

2

1tg

tVr PB 00

BB rr

Moto relativo

BA

BABA

BABA

BABA

BABA

aa

dt

Vd

dt

Vd

dt

Vd

VVV

dt

Rd

dt

Rd

dt

Rd

RRR

B sistema di riferimento in traslazioneuniforme rispetto al sistema di riferimento A con la velocita VBA

RBA posizione del origine del sistema B rispetto al sistema A

Le velocita si compongono secondo leggi del addizione vettorialeL’accelerazione e’ la stessa in tutti sistemi diriferimento in moto di traslazione uniforme unorispetto al’altro.