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CinematicadelpuntoConsideriamo il moto di una particella: per particella siintende sia un corpo puntiforme, sia un qualunquecorpo esteso che si muove come una particella, ovveroogni sua parte si muove solidalmente nella stessadirezione e con la stessa velocità.La cinematica non si preoccupa del perché del moto edelle sue variazioni (accelerazione, cambio di direzione,decelerazione), ma semplicemente della descrizione deiparametri del moto in funzione del tempo.Inizialmente consideriamo moti rettilinei, cioè cheseguono una linea retta.Parametri della cinematica

spostamento,velocità,accelerazione

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SpostamentoFissiamo sulla retta lungo cui avviene il moto un punto chechiamiamo origine, automaticamente otteniamo due versipositivo (da sx a dx) e negativo (da dx a sx).

Una particella che muovendosi passa dalla posizione x1 allaposizione x2 compie uno spostamento definito come

Dx positivo moto in verso positivo, Dx negativo motoin verso negativo. Lo spostamento dipende solo dal puntoiniziale e dal punto finale.

O xpositivonegativo

∆𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

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VelocitàGraficodellafunzionex(t) (leggeoraria)

Dimensioni[v]=[L][T]-1Unitàdimisuradellavelocitàm/s

Velocitàmedia

𝒗( =∆𝒙∆𝒕 =

𝒙 𝒕𝟐 − 𝒙 𝒕𝟏𝒕𝟐 − 𝒕𝟏

=𝒙𝟐 − 𝒙𝟏𝒕𝟐 − 𝒕𝟏

Velocitàistantanea

𝒗 𝒕 = lim∆𝒕→𝟎

𝒙 𝒕𝟐 − 𝒙 𝒕𝟏𝒕𝟐 − 𝒕𝟏

=𝒅𝒙𝒅𝒕

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La velocità rappresenta la pendenza media della curvax(t) nell’intervallo determinato dai punti di coordinate(x1,t1) e (x2,t2). La velocità media ha sempre lo stessosegno dello spostamento (Dt è sempre > 0).

𝒗( =∆𝒙∆𝒕 =

𝟔𝒎𝟑𝒔 = 𝟐

𝒎𝒔

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AccelerazioneAccelerazionemedia

L’accelerazione istantanea è la pendenza della curva v(t)nel punto di ascissa t e rappresenta la rapidità divariazione del vettore velocità.

𝒂( =𝒗 𝒕𝟐 − 𝒗 𝒕𝟏

𝒕𝟐 − 𝒕𝟏=∆𝒗∆𝒕

Dimensioni[a]=[L][T]-2Unitàdimisuradell’accelerazionem/s2

Accelerazionemedia

𝒂 𝒕 = lim∆𝒕→𝟎

∆𝒗∆𝒕 =

𝒅𝒗𝒅𝒕 =

𝒅𝟐𝒙𝒅𝒕𝟐

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MotirettilineiinunadimensioneDalla dipendenza dal tempo di velocità e accelerazioneidentifichiamo tre tipi di moto rettilineo• moto rettilineo uniforme

• moto rettilineo uniformemente accelerato𝒂 𝒕 = 𝒂 𝒕𝟎 = 𝒂𝟎

𝒗 𝒕 = 𝒗𝟎 + 𝒂𝟎 𝒕 − 𝒕𝟎𝒙 𝒕 = 𝒙𝟎 + 𝒗𝟎 𝒕 − 𝒕𝟎 +

𝟏𝟐𝒂𝟎 𝒕 − 𝒕𝟎

𝟐

𝒗𝟐 𝒕 = 𝒗𝟎𝟐 + 𝟐𝒂𝟎 𝒙 − 𝒙𝟎• moto rettilineo vario

𝒗 𝒕 = 𝒗𝟎 + ∫ 𝒂 𝒕 𝒅𝒕𝒙 𝒕 =𝒕𝟐𝒕𝟎

𝒙𝟎 + ∫ 𝒗 𝒕 𝒅𝒕𝒕𝟐𝒕𝟎

𝒗 𝒕 = 𝒗 𝒕𝟎 = 𝒗𝟎 = 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆𝒙 𝒕 = 𝒙 𝒕𝟎 + 𝒗𝒐 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒙𝟎 + 𝒗𝟎 𝒕 − 𝒕𝟎

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MotoindueetredimensioniPassando a moti in più dimensioni si realizza che per definire inmodo univoco posizione, velocità e accelerazione di una particellaabbiamo bisogno di conoscere qualcosa di più del semplice valorenumerico (modulo) di ciascuna quantità → posizione,accelerazione e velocità sono quantità vettoriali e per definirledevo conoscerne ilmodulo, la direzione e il verso

𝒓 𝒕 , 𝒗 𝒕 , 𝒂 𝒕Vettore posizione �⃗� 𝐭 è il vettoreche congiunge l’origine del sistema diriferimento scelto, con il punto in cuisi trova l’oggetto il cui moto vogliamostudiare.

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𝒗( =∆𝒓∆𝒕

∆𝒓 = 𝒓𝟐 − 𝒓𝟏

La velocità vettoriale media è parallela alvettore ∆�⃗�

velocitàvettorialemedia

𝒗 = 𝐥𝐢𝐦∆𝒕→𝟎

∆𝒓∆𝒕 =

𝒅𝒓𝒅𝒕

velocitàvettorialeistantanea

La velocità vettoriale istantanea è unvettore parallelo al vettore spostamentoinfinitesimo d �⃗� , quindi ha sempre ladirezione della tangente alla traiettoria.

𝒗(

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Infineperl’accelerazioneavremo

Il vettore accelerazione è parallelo alla variazione istantanea divelocità ed è diretto sempre verso la concavità della curva, non è,in generale, né tangente, né ^ alla traiettoria. Va notato che peravere un’accelerazione è sufficiente avere una variazione delvettore velocità ® una variazione della direzione del vettorevelocità dà origine ad un’accelerazione (moto circolare uniforme)

𝒂( =∆𝒗∆𝒕 =

𝒗𝟐 − 𝒗𝟏𝒕𝟐 − 𝒕𝟏

accelerazionevettorialemedia

𝒂 = 𝐥𝐢𝐦∆𝒕→𝟎

∆𝒗∆𝒕 =

𝒅𝒗𝒅𝒕

accelerazionevettorialeistantanea

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Motirettilineiinpiùdimensione• moto rettilineo uniforme

• moto rettilineo uniformemente accelerato𝒂 𝒕 = 𝒂 𝒕𝟎 = 𝒂𝟎

𝒗 𝒕 = 𝒗𝟎 + 𝒂𝟎 𝒕 − 𝒕𝟎

𝒓 𝒕 = 𝒓𝟎 + 𝒗𝟎 𝒕 − 𝒕𝟎 +𝟏𝟐𝒂𝟎 𝒕 − 𝒕𝟎

𝟐

• moto rettilineo vario

𝒗 𝒕 = 𝒗𝟎 + D 𝒂 𝒕 𝒅𝒕𝒕𝟏

𝒕𝟎

𝒓 𝒕 = 𝒓𝟎 + D 𝒗 𝒕 𝒅𝒕𝒕𝟏

𝒕𝟎

𝒗 𝒕 = 𝒗 𝒕𝟎 = 𝒗𝟎 = 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆𝒓 𝒕 = 𝒓 𝒕𝟎 + 𝒗𝒐 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒓𝟎 + 𝒗𝒐 𝒕 − 𝒕𝟎

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EsercizioUn oggetto puntiforme viene lanciato verso l’alto con velocitàiniziale v0 = 98 m/s parallela e concorde all’asse delle y. Il lancioavviene da un’altezza y0 = 100 m. Se l’accelerazione di gravità vale g= 9.8 m/s2 ed è antiparallela all’asse delle y, determinare:• il tempo tmax necessario a raggiungere l’apice della traiettoria,• la quota massima ymax ,• il tempo tf necessario a percorrere l’intera traiettoria• e la velocità vf con cui l’oggetto tocca terra.

Dati v0 = 98 j m/sy0 = 100 mg = -9.8 j m/s2

Richieste tmaxymaxtfvf

y

y0

ymax

v0

vf

g

O

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Se y = ymax ® t = tmax e vmax = 0. Infatti ogni volta che si haun’inversione nella direzione del moto, la velocità si annulla. Ilmoto avviene con accelerazione costante g, quindi si tratta di unmoto rettilineo uniformemente accelerato in una dimensione.

Postot0 =0,siottiene

Ricordandochevmax =0otteniamo

Quindiperymax siha

𝒗 = 𝒗𝟎 + 𝒂 𝒕 − 𝒕𝟎

𝒕 =𝒗 − 𝒗𝟎𝒂 𝒕𝒎𝒂𝒙 =

𝒗𝒎𝒂𝒙 − 𝒗𝟎𝒂

𝒕𝒎𝒂𝒙 = −𝒗𝟎𝒂 =

𝒗𝟎𝒈 =

𝟗𝟖𝒎𝒔𝟗. 𝟖𝒎𝒔𝟐

= 𝟏𝟎𝒔

𝒚𝒎𝒂𝒙 = 𝒚𝟎 + 𝒗𝟎 𝒕𝒎𝒂𝒙 − 𝒕𝟎 + 𝟏𝟐𝒂 𝒕𝒎𝒂𝒙 − 𝒕𝟎 𝟐

𝒚𝒎𝒂𝒙 = 𝒚𝟎 + 𝒗𝟎𝒕𝒎𝒂𝒙 −𝟏𝟐𝒈𝒕𝒎𝒂𝒙

𝟐 = 𝟓𝟗𝟎𝒎

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All’istantefinaletf sihayf =0

tf1 corrisponde all’istante ipotetico in cui l’oggetto sarebbe dovutopartire se il moto avesse avuto inizio da y0 = 0.Vediamo ora la velocità di impatto al suolo

Il modulo di vf risulta negativo perché il vettore velocità è rivoltoverso il basso.Soluzionealternativa

𝒚𝒇 = 𝒚𝟎 + 𝒗𝟎𝒕𝒇 −𝟏𝟐𝒈𝒕𝒇

𝟐

𝟎 = 𝟏𝟎𝟎 + 𝟗𝟖𝒕𝒇 −𝟏𝟐𝟗. 𝟖𝒕𝒇

𝟐𝒕𝒇𝟏 = −𝟎. 𝟗𝟔𝒔𝒕𝒇𝟐 = 𝟐𝟎. 𝟗𝟔𝒔

𝒗𝒇 = 𝒗𝟎 − 𝒈𝒕𝒇 = 𝟗𝟖 − 𝟗. 𝟖 L 𝟐𝟎. 𝟗𝟔 = −𝟏𝟎𝟕. 𝟒𝟏𝒎𝒔O𝟏

𝒗𝟐 = 𝒗𝟎𝟐 + 𝟐𝒂 𝒚 − 𝒚𝟎 , 𝒚𝒎𝒂𝒙 → 𝒗𝒎𝒂𝒙 = 𝟎𝒗𝟎𝟐 − 𝟐𝒈 𝒚𝒎𝒂𝒙 − 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎

𝒚𝒎𝒂𝒙 = 𝟏𝟎𝟎 +𝟗𝟖𝟐

𝟐 L 𝟗. 𝟖 = 𝟏𝟎𝟎 + 𝟒𝟗𝟎 = 𝟓𝟗𝟎𝒎

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Vediamooravf

Procedendo in questo modo perdiamo l’informazione sul versodella velocità finale.SceltaalternativadelsistemadiriferimentoPrendiamo ora y0 = 0 e yf = -100 mPer il calcolo di tmax non cambia nulla, invece per ymax abbiamo

Vediamoadessotf

𝒗𝒇𝟐 = 𝒗𝟎𝟐 − 𝟐𝒈 𝒚𝒇 − 𝒚𝟎 , 𝒚𝒇 = 𝟎

𝒗𝒇 = 𝒗𝒇𝟐𝟏 𝟐⁄

= 𝟗𝟖𝟐 + 𝟐 L 𝟗. 𝟖 L 𝟏𝟎𝟎 𝟏 𝟐⁄ = 𝟏𝟎𝟕. 𝟓𝟒𝒎𝒔O𝟏

𝒚𝒎𝒂𝒙 = 𝟎 + 𝟗. 𝟖 L 𝟏𝟎 −𝟏𝟐𝟗. 𝟖 L 𝟏𝟎𝟎 = 𝟒𝟗𝟎𝒎

𝒚𝒇 = 𝒚𝟎 + 𝒗𝟎𝒕𝒇 −𝟏𝟐𝒈𝒕𝒇

𝟐

−𝟏𝟎𝟎 = 𝟎 + 𝟗𝟖𝒕𝒇 −𝟏𝟐𝟗. 𝟖𝒕𝒇

𝟐𝒕𝒇𝟏 = −𝟎. 𝟗𝟔𝒔𝒕𝒇𝟐 = 𝟐𝟎. 𝟗𝟔𝒔

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Infinepervf otteniamo

Notasuitempi

Si osserva che il tempo necessario per andare da y = 0 a ymax è lostesso necessario per andare da ymax a y = 0 le due parti del motosono quindi simmetriche.

𝒗𝒇𝟐 = 𝒗𝟎𝟐 − 𝟐𝒈 𝒚𝒇 − 𝒚𝟎𝒗𝒇𝟐 = 𝟗𝟖𝟐 − 𝟐 L 𝟗. 𝟖 −𝟏𝟎𝟎 − 𝟎

𝒗𝒇 = 𝟏𝟎𝟕. 𝟓𝟒𝒎𝒔O𝟏

𝒕𝒄𝒂𝒅𝒖𝒕𝒂 = 𝒕𝒇𝟐 − 𝒕𝒎𝒂𝒙 = 𝟏𝟎. 𝟗𝟔𝒔 = 𝒕𝒎𝒂𝒙 − 𝒕𝒇𝟏 = 𝒕𝒔𝒂𝒍𝒊𝒕𝒂