CINEMATICA

1. INTRODUZIONE .................................................................................... 22. TRAIETTORIA E LEGGE ORARIA ...................................................... 33. ESEMPIO DI CALCOLO DELLA LEGGE ORARIA IN FORMAPARAMETRICA......................................................................................... 74. VARI TIPI DI MOTO.............................................................................. 95. IL MOTO DI UN GRAVE.......................................................................106. IL MOTO CIRCOLARE.........................................................................127. IL MOTO ARMONICO..........................................................................148. MOTI OSCILLATORI SMORZATI ......................................................179. COMPOSIZIONE DEI MOVIMENTI....................................................1810. RELATIVITA’ GALILEIANA .............................................................2311. ACCELERAZIONE APPARENTE DI CORIOLIS...............................2512. LE TRE LEGGI DI KEPLERO ............................................................2513. IL DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE DI UNA SOLAVARIABILE ...............................................................................................2714. DERIVATE IMPORTANTI E REGOLE DI DERIVAZIONE..............2815. DERIVATE PARZIALI ........................................................................2916. GLI INTEGRALI PRINCIPALI ...........................................................3017. LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE ORDINARIE3118. LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI.....................................3219. EQUAZIONI DIFFERENZIALI SEPARABILI....................................3320. APPLICAZIONI DELLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI..................34

2

1. INTRODUZIONE

La cinematica consiste nello studio dei movimenti dal punto divista dei soli effetti misurabili, senza tenere in alcun conto le cause chetali effetti determinano. Quest’ultimo è il compito della dinamica. Noiconsidereremo essenzialmente il moto di un punto materiale, cioè diun punto matematico che è libero di cambiare la sua posizione infunzione del tempo. Le due grandezze fisiche basilari della cinematicasono dunque la posizione ed il tempo. Con queste due grandezze èpossibile costruire un certo numero di altre grandezze, dettegrandezze derivate, come ad esempio la velocità, l’accelerazione ecc.Mentre la posizione e’ ovviamente un vettore, il tempo invece è unoscalare. Infatti per determinare completamente la posizione di unpunto nello spazio sono necessarie tre misure (ad esempio trelunghezze cioè le tre coordinate cartesiane), mentre per determinarecompletamente l’istante di tempo in cui si verifica un fenomeno ènecessaria una sola misura (ad esempio con un cronometro).

In generale tutte le grandezze fisiche possono essere rappresentateda un ente matematico del tipo seguente:

a) un numero (scalare)b) un vettore (n componenti che dipendono da un solo indice)

1.

†

r v = vi[ ] = v1,v2,⋅ ⋅ ⋅,vn( )c) una matrice (piu’ componenti che dipendono da almeno due

indici

2.

†

M =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

am1 am2 . . . amn

Ê

Ë

Á Á Á Á Á Á

ˆ

¯

˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜

= aij[ ] ,i = 1,...,mj = 1,...,n

Ï Ì Ó

Più in generale si possono introdurre i tensori o gli spinori (questiultimi nella fisica microscopica).

Lo studio del moto di un corpo complesso (sia esso solido ofluido) può sempre essere effettuato considerando il moto di un certonumero di punti materiali che caratterizzano varie porzioni anchepiccolissime del corpo stesso.

3

2. TRAIETTORIA E LEGGE ORARIA

Studiamo il moto di un punto P nello spazio. Assumiamo che lageometria sia quella euclidea (cioè valga il teorema di Pitagora peresprimere la distanza) e che lo spazio sia una funzione continua deltempo. Allora possiamo parlare di traiettoria G del punto nello spaziousuale a tre dimensioni.

Sia G la traiettoria di un punto materiale, allora è possibilescrivere

3. r P =

r f t( )

la legge oraria in forma vettoriale. La (3) può essere espressa informa cartesiana,

4.

x = fx t( )

y = fy t( )

z = fz t( )

Ï

Ì Ô

Ó Ô

dove il parametro libero è il tempo t. Consideriamo per semplicitàun moto piano

q

G

X

Y

O

P

dsdy

dxa

fig.1

P0

Figure 1allora se d

r s è il vettore spostamento infinitesimo lungo latraiettoria del punto mobile (vettore tangente alla traiettoria G)

dr s = dx, dy( )

il suo modulo è

4

ds =

dxcosa

dove a è l'angolo tra la tangente alla traiettoria nel punto P el'asse x. L'equazione della traiettoria G nel piano si riduce allaseguente equazione cartesiana, dopo aver eliminato il parametrotempo t, y = f(x); derivando si ottiene:

dfdx

= tga =1 - cos2 a

cosaquadrando si ottiene:

dfdx

Ê Ë

ˆ ¯

2cos2 a = 1- cos2 a

cos2 a =1

1 +dfdx

Ê Ë

ˆ ¯

2

cioè

5. ds = 1 +

dfdx

Ê Ë

ˆ ¯

2dx

L'integrale della formula (5) permette di ottenere la legge oraria informa parametrica:

6. s = s t( )quando sia nota l'equazione della traiettoria; s è detta anche

coordinata curvilinea e rappresenta la distanza misurata lungo latraiettoria G del punto P dall'origine P0.

P

G

Y

Z

O

X

s

fig.2

P0

5

Figure 2

Nella fig.2 r s è il versore tangente alla traiettoria G nel punto

r P

r s =

r P s + ds( ) -

r P s( )

ds=

dr P

dsed essendo

r s ⋅ r s = 1 , allora derivando

d r s ⋅ r s ( )

ds= 2r s ⋅ dr s

ds= 0

e dunque il vettore dr s ds

è perpendicolare al versore r s cioè

perpendicolare alla traiettoria G. Possiamo allora costruire il versorenormale alla traiettoria G.

q

x

y

O

P

fig. 2a

s

s rq

r

Figure 3Si può dimostrare che in un moto circolare di raggio r ( fig. 3) si

ha:

7. dr s ds =

1r

Infatti:

6

x = rcosq

y = rsenq

Ï Ì Ó

inoltrer s = -senq, cosq( )ericordandoche

ds =dx

cosadove a =

p

2+q

si ottiene

ds =dx

senqmadx = -rsenqdq

dunque

ds = - rsenqdq

senq= -rdq

dunque derivandoil versorer s rispettoal suomod ulosi ottiene

dr s ds

= -1r

dr s dq

edessendodr s dq

= -d senq

dq, dcosq

dq

Ê Ë Á

ˆ ¯ ˜ = - cosq, senq( ) = -

1r

r r

ècioè un versoredirettoin sensooppostoal versoredirettocomer r .In conclusione abbiamodim ostratoche

dr s ds

=1r

r r

da cui deriva l'equazione (7). Il versore perpendicolare allatraiettoria è dunque

r t = r

dr s ds

dove r è il raggio di curvatura della traiettoria nel punto r P .

7

3. ESEMPIO DI CALCOLO DELLA LEGGE ORARIA INFORMA PARAMETRICA

Consideriamo la legge oraria in forma cartesiana del moto rettilineoed uniforme:

x = k ty = h t

Ï Ì Ó

Eliminando il parametro tempo t si ottiene

y =

hk

x

che è l'equazione di una retta con coefficiente angolare

tga =

hk

cioè

h = A sena

k = A cosaÏ Ì Ó

Y

XO

P

sy

x

fig.2b

a

Figure 4In questo caso assai semplice si ricava dalla fig. 4

s2 = x2 + y 2 = h2 + k2( )t2 = A2 t2

cioè la legge oraria in forma parametrica

s = A t

8

Si può però applicare l' equazione (5) sostituendo in essa:

dydx

=hk

ottenendo cioè

ds = 1 +

hk

Ê Ë

ˆ ¯

2dx

ed integrando

s =

h2 + k2

kx +B

essendo B una costante di integrazione, da cui

s =Ak

x +B

s = A t+ B

9

4. VARI TIPI DI MOTO

Velocità istantanea

r v = d

r P

dt=

dr P

dsdsdt

=dsdt

r s = v0r s , LT-1[ ]

da cui si deduce che r v è sempre tangente alla traiettoria ed inoltre

si è definita laVelocità oraria

v0 =

dsdt

, LT-1[ ]Velocità angolare

w =

dqdt

, T-1[ ]Accelerazione

r a = dr v

dt=

d2 r P

dt2 , LT-2[ ]

Accelerazione tangenziale

r a T =

dv0dt

, LT-2[ ]Accelerazione centripeta (normale)

ac =

v02

r, LT-2[ ]

Accelerazione angolare

dwdt

=d2qdt2 , T-2[ ]

Odografoè la descrizione del moto nello spazio vx, vy ,vz( ) delle velocità.

Moto Rettilineo Uniforme r v =

r C os tan te

Moto Accelerato Uniforme r a =

r C ostan te

Moto su di un piano

r v ¥

r P =

r C ostan te

10

5. IL MOTO DI UN GRAVECome applicazione della legge di Newton, che vedremo nel capitoloseguente, studiamo il moto di un grave, cioè di un corpo che si muovecon accelerazione costante

r g .

O

Y

X

v0

rx'

y'

V

XV XG

YVy

x

a

g

Figure 5

r r = x,y( )r v 0 = v0x ,v0y( )r a = r g = 0, -g( )

tga =v0yv0x

angolodi alzo( )l'accelerazione diventa:

11

d2r r dt2 =

r g cioè

d2xdt2 = 0

d2ydt2 =

ddt

dydt

Ê Ë Á

ˆ ¯ ˜ = - g

Ï

Ì Ô Ô

Ó Ô Ô

,

dxdt

= v0x

d dydt

Ê Ë Á

ˆ ¯ ˜ = - gdt

Ï

Ì Ô Ô

Ó Ô Ô

,x = v0xtdydt

= - g t+ v0y

Ï

Ì Ô

Ó Ô ,

x = v0xt moto a velocità cos tan te

y = -12

gt2 +v0yt moto ad accelerazione costan te

Ï

Ì Ô

Ó Ô

Eliminando il parametro t si ottiene l'equazione cartesiana dellatraiettoria:

y = -

g2 v0x

2 x2 +v0y

v0xx

che rappresenta una parabola rivolta verso il basso. Si calcolafacilmente la gittata XG, come intercetta con l'asse x:

XG =

2 v0xv0y

gSi può calcolare anche l'angolo di alzo corrispondente alla massimagittata, infatti si ha:

XG =

2 v0x v0y

g=

v0x v0y + v0x v0y

g=

v2 sena cosa +cosasena( )g

=v2

gsen2a

che è massima per a=p/4.Si calcolano facilmente anche le coordinate del vertica V:

xV =v0xv0y

g

y V =v0

2

2gsen2a

Ï

Ì

Ô Ô

Ó

Ô Ô

da cui si ricava che la massima altezza si raggiunge per un angolo dialzo a=p/2.Si può ancora operare una traslazione di coordinate nel vertice V:

¢ x = x -xV¢ y = y-y V

Ï Ì Ó

allora l'equazione della traiettoria diventa

¢ y = -

g2v0x

2 ¢ x 2

12

6. IL MOTO CIRCOLARE

Il moto circolare è un moto piano in cui la traiettoria è unacirconferenza di raggio R,

r P = R( ) .

q-R R x

yv

O x

y

P ( x , y )

fig.3

Figure 6L'equazione oraria nella rappresentazione cartesiana è

8.

x = R cosq t( )y = R senq t( )

Ï Ì Ó

derivando rispetto al tempo si ottiene la velocità puntuale

vx = - Rsenq t( )dqdt

vy = Rcosq t( ) dqdt

Ï

Ì Ô

Ó Ô

cioè

9.

vx = - Rw senq t( )vy = Rw cosq t( )

Ï Ì Ó

Nel primo quadrante l'equazione della traiettoria in formacartesiana è y = R2 - x2 , l'equazione (5) diventa allora

13

ds = 1 +2x

2 R 2 - x 2

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

2

dx

= 1 +x 2

R 2 - x 2 dx

=R 2

R 2 - x 2 dx

=1

1 -xR

Ê Ë Á

ˆ ¯ ˜

2 dx

=1

1 - cos 2 q t( )dx

= -dx

senq t( )il segno meno deriva dal fatto che in figura ad un incremento di s

corrisponde un decremento di x. Si calcola il modulo della velocitàistantanea

v =

dsdt = -

1senq t( )

dxdt = -

v x

senq t( )sostituendo vx dalla prima equazione (1.5) si ottiene

10. v = wRVerifichiamo ora che il vettore posizione

r P èsempre ortogonale al

vettore velocità r v . Calcoliamo a questo scopo il prodotto scalare

r P ⋅ r v = xv x + yvy = - wR 2 cos q senq + wR 2 senq cos q = 0

Derivando la velocità (eq. 9) rispetto al tempo si ottienel'accelerazione

11.

ax = - R dwdt

senq - Rw cos qdqdt

a y = R dwdt

cos q - Rwsenqdqdt

Ï

Ì Ô Ô

Ó Ô Ô

ax = - R dwdt

senq + w 2 cos qÊ Ë Á

ˆ ¯ ˜

a y = R dwdt

cos q + w 2 senqÊ Ë Á

ˆ ¯ ˜

Ï

Ì Ô Ô

Ó Ô Ô

14

Si calcola il modulo dell'accelerazione

r a = ax2 + ay

2 = R dwdt

Ê Ë

ˆ ¯

2

+ w4

Nota 1 : se il moto è uniforme dwdt = 0

, alloraa = Rw 2

cioèa = wvNota 2 : dall’eq. (11) si può decomporre l'accelerazione secondo

due componenti r a = r a centripeta +

r a tan genziale

essendo

12. ax

centripeta = - w 2R cosq

aycentripeta = - w2 Rsenq

Ï Ì Ó

13. ax

tan genziale = -dwdt

R senq

aytangenziale =

dwdt

R cosq

Ï

Ì Ô

Ó Ô

da cui si calcolano i moduli

r a centripeta = Rw 2

r a tan genziale = R dwdt

Ï

Ì Ô

Ó Ô

Dimostriamo che l'accelerazione centripeta così definita è sempreperpendicolare alla velocità , cioè è sempre diretta verso il centro dellacirconferenza

r v ⋅ r a centripeta = Rw senq w2 R cosq - Rw cosq w 2 R senq = 0

Dimostriamo che l'accelerazione tangenziale così definita è sempreperpendicolare alla posizione

r P , cioè è sempre tangente alla

traiettoria

r P ⋅ r a = R cosq R dw

dtsenq + R senq R dw

dtcosq = 0

Nota 3 : nel caso di un moto circolare uniforme dwdt

= 0Ê Ë

ˆ ¯

sopravvive soltanto l'accelerazione centripeta .

7. IL MOTO ARMONICO

Una applicazione del moto circolare uniforme e’ il moto armonico.Il moto armonico e’ un moto oscillante attorno ad un centro lungouna determinata direzione.

15

Figure 7Esso è rappresentato dal moto del punto H lungo il diametro

quando il punto P si muove lungo la circonferenza di raggio R conmoto circolare uniforme q = w t + q0. L’equazione del moto armonicoe’ dunque:

x = R cos(w t + q0).q0 e’ la costante di fase e rappresenta l’angolo a cui si trova il

punto P al tempo t=0, R si chiama ampiezza delle oscillazioniarmoniche e rappresenta il massimo valore di x; la velocità angolare wdel punto P è detta pulsazione o frequenza angolare . Si chiamaperiodo la durata di un'oscillazione completa; esso si indica con T e simisura ad esempio in secondi. Si chiama frequenza il! numero dioscillazioni compiuti nell'unità di tempo; essa si indica generalmentecon il simbolo n e si misura in hertz (Hz = numero di oscillazioni alsecondo).

n = 1 / T = w / 2pIl valore istantaneo della posizione (x), viene chiamato

elongazione.Calcoliamo il tempo T (periodo) al quale il punto H ritorna nella

stessa posizione dopo un giro completo del punto P.cos(w (t+T) + q0)=cos(w t + q0+2p)

da cui,T = 2p / w.

16

Figure 8L’importanza dei moti oscillanti è evidente quando si consideri la

loro diffusione nei fenomeni naturali: il pendolo, il trasporto delcalore nei mezzi materiali, il moto sotto l’effetto di una molla, lapropagazione delle onde elettromagnetiche ecc.

Figure 9

17

Nel paragrafo successivo vedremo che un moto circolare si puo’considerare anche come la composizione di due moti armonici.

Calcoliamo l’accelerazione nel moto armonico:

†

x•

= -w R sen wt( )

x••

= -w2Rcos wt( )

x••

= -w2xL’accelerazione è dunque proporzionale all’elongazione.

L’importanza di tale relazione sarà evidente quando si introdurrà laseconda legge di Newton, che dice che la forza è proporzionaleall’accelerazione. L’ultima delle equazioni precedenti è chiamataequazione armonica.

8. MOTI OSCILLATORI SMORZATI

La formula dei moti oscillatori smorzati è:x = R cos(w t + q0) exp(-t/t0)

questi moti sono l’equivalente del moto armonico quando però ilraggio R diminuisce nel tempo con legge ad esempio esponenziale.Tali moti si presentano ad esempio nelle oscillazioni in un mezzomateriale reale cioè viscoso. Nei mezzi materiali si manifestano delleforze di attrito che si oppongono al moto. Il pendolo reale si comportacome un oscillatore smorzato per via dell’attrito con l’aria che neriduce l’ampiezza di oscillazione al passare del tempo.

Figure 10Calcoliamo l’accelerazione nel moto oscillatorio smorzato.

18

†

x = Rcos wt( )e-at

x•

= -R w sen(wt)+a cos wt( )( )e-at

da cui si ricava

w R sen wt( )e-at = - x•+ax

derivando ancora si ottiene

x••

= R 2aw sen wt( )+ a2 -w2( )cos wt( ){ }in conclusione :

x••

= - w2 +a2( )x - 2a x•

Il primo termine del secondo membro rappresenta l’oscillazionearmonica con pulsazione w’ = sqrt(w2+a2), mentre il secondo terminerappresenta lo smorzamento proporzionale alla velocità.

9. COMPOSIZIONE DEI MOVIMENTI

Il problema della composizione dei movimenti è cosìschematizzabile : noti il moto di un punto P e di un osservatore O’rispetto ad un osservatore O considerato fisso, determinare latraiettoria del punto P rispetto all'osservatore mobile O’ ( vedasifig.11).

fig.4

O

P

z

y

x

R

rV

z 'y '

o '

r '

x '

Figure 11

19

Sia r r =

r f t( )

l'equazione oraria del punto P rispetto ad O , sia inoltre r R =

r F t( )

l'equazione oraria dell'osservatore O’ rispetto ad O. Allora per lacomposizione galileiana (vettoriale) dei moti , l'equazione del moto diP rispetto ad O’ è

r r ' =

r r -r R =

r f t( ) -

r F t( )

cioè proiettando sugli assi cartesiani ( per semplicità su di unpiano)

x ' = f x t( ) - Fx t( )y ' = f y t( ) - Fy t( )

Ï Ì Ó

ed eliminando il parametro tempo t si ottieney ' = Y x '( )

che rappresenta l'equazione della traiettoria di P rispettoall'osservatore O’.

1° Esercizio Il punto P sia in quiete rispetto ad Ox = Ry = 0

Ï Ì Ó

q

-R R x

y

O

x'

y'

O'P

fig.5

Figure 12L'osservatore O' si muova rispetto ad O di moto circolare ed

uniforme con velocità angolare w = costante , dunqueFx = R cos w t( )Fy = Rsen w t( )

Ï Ì Ó

20

L'equazione del moto di P rispetto ad Ò è dunquex ' = f x - Fx = R 1 - cos w t( )( )y ' = f y - Fy = - Rsen w t( )

Ï Ì Ó

che rappresnta la traiettoria di fig.13 , cioè la circonferenza dipartenza traslata lungo l'asse x di un tratto pari al raggio R.

R x'

y'

O

fig.6

2R

Figure 13L’osservatore O’ dunque vede il punto P muoversi di moto

circolare con traiettoria che passa per l’origine e con la stessa velocitàangolare.

2° Esercizio Studiamo la composizione di due moti armonicicon la stessa frequenza. Il punto P si muova di moto armonico lungoy rispetto ad O

O O' x' x

y'

y

P

fig.7

Figure 14

21

f x = 0

f y = R y cos w t + f y( )Ï Ì Ô

Ó Ô

con ampiezza R , pulsazione w e costante di fase fy. L'osservatoreO’ si muova rispetto ad O di moto armonico lungo l'asse x

Fx = Rx cos w t + f x( )Fy = 0

Ï Ì Ô

Ó Ô con ampiezza Rx , la stessa pulsazione w e costante di fase fx.

L'equazione del moto di P rispetto ad O’ è dunque

x ' = f x - Fx = - Rx cos w t + f x( )y ' = f y - Fy = R y cos w t + f y( )

Ï Ì Ô

Ó Ô

Nota 1 : Se la differenza di fase è nulla fx = fy, allora latraiettoria si riduce ad una retta di equazione

y ' =Ry

Rx

x '

con coefficiente angolare pari al rapporto tra le ampiezze dioscillazione di P e di Ò rispetto ad O .

Nota 2 : Se la differenza di fase è p2

cioè fx = fy - p2

allora latraiettoria diventa

x ' = - Rx cos w t( )y ' = Rxsen w t( )

Ï Ì Ó

(dove per semplicità si è posto fx = 0 ) una ellisse con semiassirispettivamente Rx e Ry . La traiettoria poi si riduce ad unacirconferenza se i due moti armonici hanno la stessa ampiezza.

Nota 3 : Nel caso più generale in cui siano diverse sia le costantidi fase che le ampiezze , si ottengono le classiche Figure di Lissajousmostrate in fig.15.

22

X

YO

X

YO

X

YO

X

YO

X

YO

X

YO

X

YO

X

YO

X

YO

fig.8

Figure 15

23

10. RELATIVITA’ GALILEIANA

Galileo per primo scoperse un fenomeno che è intrinseco a tutti imovimenti e che prende il nome di RELATIVITÀ dei moti. Galileoscoperse che alcune caratteristiche del moto dipendono strettamentedall’osservatore. In primo luogo la traiettoria di un punto mobilecambia a secanda dell’osservatore. Galileo, nel Dialogo sopra i duemassimi sistemi del mondo , discute il famosissimo esperimento dellanave:

Rinserratevi con qualche amico nella maggior stanza che sia sotto covertadi alcun gran navilio, e quivi fate d'aver mosche, farfalle e simili animalettivolanti; siavi anche un gran vaso d'acqua e dentrovi de' pescetti; sospendasianche in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vada versandodell'acqua in un altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e standoferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti conpari velocità vanno verso tutte le parti della stanza: i pesci si vedranno andarnotando indifferentemente per tutti i versi; le stille cadenti entreranno tuttenel vaso sottoposto. [...] Osservate che avrete diligentemente tutte questecose, perché niun dubbio ci sia che mentre il vascello sta fermo non debbansucceder così, fate muovere la nave con quanta si voglia velocità; che (pur cheil moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscereteuna minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quellipotrete comprendere se la nave cammina o pure sta ferma [...] le gocciolecadranno come prima nel vaso inferiore, senza caderne pur una verso poppa,benché mentre la gocciola è per aria, la nave scorra molti palmi; i pesci nellalor acqua non con più fatica noteranno verso la precedente che verso lasusseguente parte del vaso [...] e finalmente le farfalle e le moschecontinueranno i loro voli indifferentemente verso tutte le parti . . .

Qui è messo in evidenza il fatto che un osservatore sulla nave inmoto vede i movimenti degli oggetti in modo diverso da unosservatore sulla terra (vedasi figura).

24

Siano O ed O' due osservatori con gli stessi orologi e sia P il puntomateriale di cui essi studiano il moto. Sia

r V la velocità con cui

l'osservatore O' si muove rispetto ad O, allora

r V = d

r R

dtPoichè vale la relazione di somma dei vettori (riferendosi alla fig.

11)1.

r R + r r ' -

r r =r 0

si ottiene la relazione notevole, derivando membro a membrorispetto al tempo:

dr r 'dt

=dr r dt

-dr R

dtcioè

2. r v ' =

r v -r V

dove r v = velocità del punto P misurata dall'osservatore O

r v ' = velocità del punto P misurata dall'osservatore O'.Nel caso in cui il sistema di riferimento O' si muova di moto

rettilineo ed uniforme r V = costante, allora l'equazione (1) diventa :

3. r r ' =

r r - tr V

L'equazione (2) è la legge di composizione delle velocità diGalileo, mentre l'equazione (3) è la legge di trasformazione di Galileo.

Derivando rispetto al tempo l'equazione (2) si ottiene la legge dicomposizione delle accelerazioni :

4. r a ' =

r a -r A

dove

r A = d

r V

dt è l'accelerazione con cui O' si muove rispetto ad O e

si chiama accelerazione apparente.

25

11. ACCELERAZIONE APPARENTE DI CORIOLIS

Consideriamo due osservatori: O (x,y,z) fermo ed O’(x’,y’,z’) cheruota rispetto ad O attorno all’asse z’=z con velocita’ angolarecostante w diretta come l'asse z. . Sia P un punto che si muova convelocita’ radiale costante rispetto ad O. Vogliamo dimostrare cherispetto all’osservatore ruotante O’ il punto P si muove di motoaccelerato. Tale accelerazione, che e’ apparente perchè indottasoltanto dal moto dell’osservatore O’, si chiama accelerazione diCoriolis ed è proporzionale alla velocità con cui P si muove rispettoad O ed alla velocità angolare con cui O’ si muove sempre rispetto adO. Questa accelerazione apparente si verifica ad esempio sulla Terrache e’ in moto rotatorio attorno al suo asse polare.Risulta dunque che il punto P, che si muove di moto rettilineouniforme rispetto all’osservatore O, si muove di moto acceleratorispetto ad O’, con accelerazione proporzionale alla sua velocità edalla velocità angolare con cui O’ ruota. Il doppio di aO’ si chiamaaccelerazione di Coriolis. Si dimostra facilmente che l’accelerazione diCoriolis è perpendicolare al vettore velocità v’ misurato da O’, oltreche al vettore velocità angolare. Infatti:

Possiamo dunque concludere che:

†

r a o. =r w ƒ

r v '

12. LE TRE LEGGI DI KEPLERO

Le tre leggi sperimentali che regolano il moto planetario sono stateenunciate all’inizio del XVII secolo dall’astronomo tedesco GiovanniKeplero.

Le leggi furono formulate su base empirica a partire dai datiraccolti dall’astronomo danese Tycho Brahe, e solo con la teoria dellagravitazione universale di Isaac Newton trovarono una soddisfacente

†

r v '= R(q)

r v =

vx cosq + vysenq

-vxsenq + vy cosq

Ê

Ë Á Á

ˆ

¯ ˜ ˜

ed e' facile dimostrare che :r a o' •

r v '= 0

26

spiegazione teorica. Negando l’antichissimo principio secondo cui ipianeti si muovevano attorno al Sole su orbite circolari.

La prima legge di Keplero afferma che essi orbitano attorno al Solepercorrendo traiettorie ellittiche delle quali il Sole occupa uno deifuochi.

La seconda legge stabilisce che la retta (il raggio vettore) checongiunge un pianeta al Sole descrive aree uguali in tempi uguali; ciòsignifica che ogni pianeta percorre più rapidamente i tratti di orbitapiù vicini al Sole.

Infine, la terza legge afferma che il rapporto tra il cubo delladistanza media, d, di un pianeta dal Sole e il quadrato del suo periododi rivoluzione è costante; cioè il rapporto d3/t2 è lo stesso per tutti ipianeti.

Assumiamo in prima approssimazione che la traiettoria di unpianeta sia circolare col sole nel centro e raggio R.

Verifichiamo la seconda e la terza legge dalle proprietà del motocircolare.

Seconda Legge.

Poiche’ l’area descritta dal raggio vettore dopo un angolo q e’:

†

A = pR2 q2p

=12

R2q

e poiché il moto e’ circolare uniforme:

q = w tcon velocità angolare w costante, allora:

†

A =wR2

2t ,

quindi il raggio vettore del pianeta percorre aree uguali in tempiuguali.

Terza Legge.

Poichè nell’approssimazione del moto circolare l’unicaaccelerazione che agisce sul pianeta è quella centripeta ac :

ac = R w2,

Per la legge di Newton il l’accelerazione e’ proporzionale allaforza (in questo caso la forza di gravità) e dunque è inversamenteproporzionale al quadrato del raggio:

†

ac ÷1

R2

27

si ricava dunque:

†

Rw2 ÷1

R2 ,

R3 ÷1

w2 ÷T 2

essendo w inversamente proporzionale al periodo.E’ importante notare che in realtà Newton ricavò la sua legge

proprio partendo dalle leggi di Keplero, ipotizzando l’esistenza diuna forza gravitazionale che doveva essere inversamenteproporzionale al quadrato della distanza.

13. IL DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE DI UNASOLA VARIABILE

Figure 16Consideriamo una funzione y = f(x) rappresentata nel piano (x,y).Si ottiene:

†

Df = tga ⋅ Dx

dunque passando al limite per DxÆ0 si ottiene:

28

†

Df Æ dfDx Æ dxtga Æ f '

essendo f ‘ la derivata della funzione f nel punto x. Dunque:

†

df = f ' dx

df prende il nome di differenziale della funzione f nel punto x erappresenta di quanto varia f al variare di una quantità infinitesimadella variabile x.

14. DERIVATE IMPORTANTI E REGOLE DIDERIVAZIONE

formula notevole del differenziale:d(f g) = f dg + g df

f’(x) > 0 funzione crescente

f’(x) < 0 funzione decrescente

Formula di integrazione per parti.

Dalla formula di derivazione del prodotto di due funzioni f e g

(fg)'=f'g+fg'si ottiene

29

da cui

15. DERIVATE PARZIALI

Consideriamo una funzione di due variabili

f(x,y)

Se fissiamo il valore di una delle due variabili, ad esempio x=xo,la funzione viene a dipendere dalla sola variabile y e dunque ha sensocalcolarne la derivata ordinaria rispetto a y:

†

∂f x, y( )∂y

È

Î Í

˘

˚ ˙

x=xo≡

df x0, y( )dy

il primo membro si chiama derivata parziale di f rispetto a y nelpunto x0.

30

Figure 17Si può allora definire il differenziale di una funzione di due variabilinel modo seguente:

†

df =∂f∂x

dx +∂f∂y

dy

e più in generale:

†

df x1, x2,..., xn( ) = Si=1,n∂f∂xi

dxi

Esempi.

16. GLI INTEGRALI PRINCIPALI

†

a dx = a xÚa f x( )Ú dx = a f x( )Ú dxu + v( )Ú dx = u dx + v dxÚÚ1x

Ú dx = ln x

xnÚ dx =xn+1

n +1, n ≠ -1

31

†

exdxÚ = ex

eaxdxÚ =1a

eax

baxdxÚ =1

a lnbbax ,b > 0

†

sen ax( ) dxÚ = -1a

cos ax( )

cos ax( ) dxÚ =1a

sen ax( )

tan ax( ) dxÚ = - ln cos ax( )[ ]

†

x eaxdxÚ =ax -1

a2 eax

x e-x2dxÚ = -

12

e-x2

17. LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ALLE DERIVATEORDINARIE

Un’equazione differenziale ordinaria è sempre rappresentabilenella forma:F(x,y,y’,…,y(n)) = 0,

dove y(x) è una funzione incognita della variabile indipendente xed y(i) e’ la derivata ordinaria di ordine i-esimo.

Un teorema fondamentale afferma che esiste una funzioney(c1,…,cn;x) che dipende da n costanti arbitrarie c i (i=1,…,n) dettaintegrale-generale, che verifica identicamente l’uguaglianza precedente.

Se si assume una n-pla di valori ben definiti per ci, alloral’integrale generale si chiama più propriamente integrale particolaredell’equazione differenziale. Un modo per determinare le n costantiarbitrarie, cioè per passare dall’integrale generale all’integraleparticolare, consiste nel definire n equazioni di vincolo, cioè ncondizioni iniziali:

32

dove x0 è detto valore iniziale della variabile indipendente ed yisono n parametri noti. Le condizioni iniziali permettono dideterminare i valori delle costanti arbitrarie.

18. LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI

Le equazioni lineari del tipo:

an(x)y(n)(x)+an-1(x) y (n-1)(x)+ . . . +a1(x)y’(x)+a0(x)y(x) = Q(x)

sono dette equazioni differenziali lineari. Dove ai(x) e Q(x) sonofunzioni note.

Se tutte le funzioni ai sono costanti, allora si ottiene la seguenteequazione differenziale lineare a coefficienti costanti:

any(n)(x)+an-1y (n-1)(x)+ . . . +a1y’(x)+a0y(x) = Q(x)

Esiste un teorema che afferma che l’integrale generale di taleequazione si può ottenere risolvendo l’equazione algebricacaratteristica, che si ottiene sostituendo alle derivate le potenze di unavariabile complessa z con la convenzione che la funzione y sia laderivata di ordine zero della funzione stessa:

anzn+an-1z n-1+ . . . +a1z+a0 = 0.

L’equazione caratteristica ammette sempre n soluzioni (zeri) nelcampo complesso zi (i=1,…,n), per il teorema fondamentaledell’algebra. Allora l’integrale generale dell’equazione differenzialelineare omogenea (Q=0) è:

yO(c1,…,cn;x) = c1 exp(z1x) + c2 exp(z2x) + . . . + cn exp(znx).

Essendo ci (i=1,…,n) le n costanti arbitrarie.L’integrale generale dell’equazione non omogenea (Q(x) ≠ 0) è

allora

yG(x) = y(c1,…,cn;x) + f0(x),

†

y' x0( ) = y1..

y(n) x0( ) = yn

Ï

Ì

Ô Ô

Ó

Ô Ô

33

essendo f0(x) un qualsiasi integrale particolare dell’equazionelineare a coefficienti costanti non omogenea.

Esempio:Consideriamo l’equazione differenziale lineare a coefficienti

costanti omogenea:y”+y = 0

L’equazione caratteristica e’:z2+1 = 0

e gli zeri sono:z 1,2 = ± i

dunque l’integrale generale e’:

y = c1 eix + c2 e

-ix

E’ facile verificare che l’equazione di partenza ammette anche iseguenti integrali particolari:

y = cos xy = sen x

Ricordando che dalla formula di Eulero si ha la seguenterappresentazione complessa delle funzioni seno e coseno:

Si ottiene che il coseno è l’integrale particolare che corrispondealle seguenti costanti

c1=c2=1/2ed il seno corrisponde invece alle seguenti costanti

c1 = i/2 ; c2 = - i/2

19. EQUAZIONI DIFFERENZIALI SEPARABILI

Le equazioni differenziali del tipo:

dy/dx = h(x)g(y)

si chiamano separabili (perchè si possono portare al primomembro tutti i termini che dipendono solamente dalla variabiledipendente y ed al secondo membro tutti i termini che dipendono

†

cos x =eix + e-ix

2

senx =eix - e-ix

2i

34

soltanto dalla variabile indipendente x) e sono facilmente integrabiliperchè diventano:

g(y) = 0, che fornisce la soluzione costante e

(1/g(y)) dy = h(x) dxin cui i due membri possono essere integrati separatamente.Esempio:

y’ - xy = 0La soluzione y=0 e’ la soluzione costante e separando le variabili si

ha:

†

1y

dyÚ = x dxÚ

ln y =12

x2 + ln y0

y = y0e12

x2

20. APPLICAZIONI DELLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI

1. Il decadimento degli atomi radioattivi.a. I nuclei degli atomi dei materiali radioattivi decadono,

cioe’ si trasformano in altri nuclei, ad una frequenza chee’ proporzionale al numero totale di atomi di talesostanza, cioe’ (essendo k una costante di decadimentopositiva):

dN(t)/dt = -k N(t)b. Tale equazione differenziale si può integrare mediante

la separazione delle variabili,c. dN/N = -k dtd. dunque: ln N = -kt +lnN0 essendo N0 il numero costante

di atomi presenti al tempo t=0.e. In definitiva: N=N0 exp(-kt)