1 Parte I (Sensori) Stima sperimentale dei parametri in regime statico Se si vogliono stimare i...

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Parte I (Sensori) Stima sperimentale dei parametri in regime

statico

Se si vogliono stimare i parametri di un sensore in regime statico occorre disporre di un segnale in ingresso campione che viene fatto variare opportunamente. Inoltre, spesso, una data misura non viene ripetuta: si eseguono due sole misure, una per valori crescenti del misurando e una per valori decrescenti.

Si suppone che il valore del misurando non altera le caratteristiche statistiche dei residui!

Nel caso di un misuratore, i dati potrebbero essere quelli riportati in tabella.

Pressione diriferimento

Pressione misurata

kPa valori crescenti valori decrescenti0.000 -1.12 -0.691.000 0.21 0.422.000 1.18 1.653.000 2.09 2.484.000 3.33 3.625.000 4.50 4.716.000 5.26 5.877.000 6.59 6.898.000 7.73 7.929.000 8.68 9.1010.000 9.80 10.20

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Parte I (I sensori) Stima sperimentale dei parametri in regime

statico

In genere, si suppone che la curva di calibrazione sia una retta. Essa dovrà approssimare i dati reali nel miglior modo possibile, secondo un opportuno criterio. In genere si utilizza il metodo dei minimi quadrati; esso minimizza la somma dei quadrati degli scarti verticali tra dati reali e curva interpolante.

L’equazione della retta interpolante ha la forma:

essendo:

q mq bi0

q0 la variabile dipendenteqi la variabile indipendentem la pendenza della curvab l’intercetta con l’asse verticale.

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Parte I (I sensori)Stima sperimentale dei parametri in regime

statico

I parametri m e b vengono determinati minimizzando un opportuno funzionale costo. Ovvero imponendo che siano nulle le due derivate parziali rispetto a m e a b. Valgono le seguenti relazioni:

mN q q q q

N q q

bq q q q q

N q q

i o i o

i i

i o i o i

i i

22

2

22

essendo N il numero di coppie di misure disponibili.

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statico

La quantità:

sn

mq b qq i oo

2 21

rappresenta la deviazione standard di q0.Ovvero, il valore della deviazione standard ottenuta, supponendo che l’ingresso fosse mantenuto costante e si fosse fatta una serie di letture, nelle stesse condizioni sperimentali.

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staticoNel caso del sistema per la misura di pressione si ottengono i seguenti valori:

m = 1,08 b = -0,85 Kpasqo = 0.20 Kpa, sm = 0,0134 sb = 0.078 kPa

Se si assume per tali parametri una distribuzione di tipo gaussiano e si prende in considerazione il limite a 99.7% (± 3s), si possono dare per i parametri le seguenti stime:

m = 1,08 ± 0.04 b = -0,85 ± 0,24 kPa

Nel caso del nostro misuratore di pressione, si ottiene il grafico riportato

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statico

Nelle situazioni reali la grandezza nota è q0 e si vuole avere una stima della grandezza in ingresso In tale caso è necessario invertire l’equazione utilizzata per la determinazione dei parametri. La corrispondente deviazione standard viene data dalla formula:

sn

q b

mq

s

mqo

i

q

i

i2

2 2

2

1

Applicando tale relazione al nostro misuratore di pressione si ottiene sqi = 0.18kPa.

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statico

Spesso i limiti dell’errore sono dati in termini di di errore probabile ep. Esso è definito come:

ep = 0,674 s

L’intervallo ±ep contiene il 50% dei valori.

Il procedimento di taratura descritto permette di distinguere tra bias e imprecisone. Il bias è il termine che può essere rimosso, dopo la procedura di calibrazione.

Si può quindi definire la taratura come il processo che permette di rimuovere il bias e di definire quantitativamente l’imprecisione!

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statico

S i c o n s i d e r i u n a r e l a z i o n e l i n e a r e d e l t i p o : i

ii kxky

o v v e r o , i n f o r m a m a t r i c i a l e :

kxky s e s i i n d i c a c o n i l v e t t o r e d e i p a r a m e t r i s t i m a t i , l e c o r r i s p o n d e n t i s t i m e d e l l a y , s a r a n n o :

ˆkxky ˆ . M e n t r e l ’ e r r o r e a s s u m e l a f o r m a :

e k y k y k .

I l m e t o d o d e i m i n i m i q u a d r a t i m i n i m i z z a l a s o m m a d e i q u a d r a t i d e g l i e r r o r i :

ˆxxˆyxˆ2yy

ˆxxˆyxˆˆxyyy

ˆxyˆxyyyyy

eekeˆJ

TTTTT

TTTTTT

TT

T2

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staticoP e r a v e re u n e s t re m o d e l f u n z io n a le d e v e e s s e re :

xxxxyx2J TTTTTT

0xx2xy2 TTT o v v e ro :

1TTT xxxyˆ

.

yxxxˆ T1T

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statico

Si supponga di avere un sistema retto dall’equazione non lineare in x1 e x2 :

221 23 xxseny

for i=1:201,

for j=1:63;

y(i,j)=3*sin(x1(i))+2*x2(j)^2;

end

end

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statico

L’uscita assume il seguente andamento:

mesh(y)

Aggiungiamo quindi del rumore:

yr=y+.2*(rand(601,63)-.5);

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statico

Per poter applicare il metodo dei minimi quadrati è necessario costruire organizzare opportunamente i dati for i=1:201,

for j=1:63,

yrv((i-1)*201+j)=yr(i,j);

uv((i-1)*201+j,1)=sin(x1(i));

uv((i-1)*201+j,2)=(x2(j)^2);

end

end

Si può quindi procedere alla stima dei parametri

par=inv(uv'*uv)*uv'*yrv

par =

3.0009

1.9981

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statico

E’ possibile quindi procedere alla simulazione dell’uscita del sistema:

E’ possibile stimare anche l’errore:

for i=1:201, for j=1:63; ys(i,j)=par(1)*sin(x1(i))+par(2)*x2(j)^2; endend

mesh(yr-ys)

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dinamico

Per determinare le caratteristiche dinamiche di un sensore, per via sperimentale, occorre adottare strategie diverse, in accordo con l’ordine del sistema. I casi più comuni sono:

•Sistema di ordine zero;

•Sistema del primo ordine;

•Sistema del secondo ordine.

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dinamico

Sistema di ordine zero

Per i sistemi di ordine zero la risposta a una sollecitazione in ingresso è istantanea e l’unico parametro dinamico coincide con la sensibilità (si ricordi che stiamo supponendo che il sistema sia lineare). Questa è stata determinata durante la fase di caratterizzazione statica.

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dinamico

Sistema del primo ordine

Per i sistemi del primo ordine occorre determinare la sensibilità k e la costante di tempo .

La sensibilità viene determinata mediante la calibrazione statica del dispositivo;

E’ possibile stimare la costante di tempo determinando l’istante di tempo in cui la risposta al gradino raggiunge il 63.2% del valore di regime. Tale metodo tuttavia risente dell’incertezza nella determinazione dell’istante t=0 e non consente in ogni caso di verificare se il sistema è realmente del primo ordine.

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dinamico


Si preferisce, pertanto, analizzare i dati della risposta al gradino in forma semilogaritmica. Si ha, infatti:

/

/

/

1

1

t

t

t

ekx

y

ekx

kxy

ekxy

E definendo la quantità:

t

kx

yZ e

1log

Si ha:

1

dt

dZ

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dinamico


Quindi riportando Z come grafico di t, si ottiene una linea retta, la cui pendenza è proprio -1/La stima della costante di tempo risulta più accurata perché basata sull’uso di tutti i punti disponibili. Inoltre, se i dati sperimentali sono prossimi a una retta si ha la certezza che il sistema è proprio del primo ordine…..

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dinamico


.....1 /tekxy

t=.01:.01:10;y=5*(1-exp(-t./.3));plot(t,y)

20


dinamico


Z=log(1-y/5);plot(t,Z)

....1log.....t

kx

yZ e

polyfit(t,Z,1)

ans =

-3.3334 0.0001

>> 1/ans(1)

ans =

-0.3000

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dinamico


Una verifica ancora più forte si può ottenere operando nel dominio della frequenza:

•Si sollecita il sistema con un segnale sinusoidale a frequenza lentamente variabile;

•Si tracciano i diagrammi del modulo e della fase, in scala semilogaritmica;

Se il sistema è realmente del primo ordine il diagramma dei moduli avrà il classico andamento di un filtro passa basso, con pendenza del diagramma di 20 dB/decade ad alte frequenze e il digramma delle fasi tenderà asintoticamente a -90°.

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dinamico


Se il sistema è realmente del primo ordine il diagramma dei moduli avrà il classico andamento di un filtro passa basso, con pendenza del diagramma di 20 dB/decade ad alte frequenze e il digramma delle fasi tenderà asintoticamente a -90°.

I diagrammi asintotici permetteranno, inoltre, di determinare il valore della costante di tempo break=1/2fbreak.

23


dinamicoSistema del secondo ordine

Si consideri un sistema del secondo ordine. Per esso si può sempre scrivere:

1/2/

2;;

22

20

1

2

012

2

2

nni

o

on

o

o

ioooo

ss

Ks

q

q

aa

a

a

a

a

bK

qbqadt

dqa

dt

qda

infatti….

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dinamico….infatti, si consideri il seguente sistema massa molla:

MK

B

M

K

K

B

K

B

K

B

sK

M

NmKK

KsBKMs

K

KBsMss

f

x

fxKBsMs

dt

xdMxK

dt

dxBf

amforze

s

s

ss

n

ns

ns

s

ss

s

si

o

ios

oos

oi

22;

2;

2

;1

;/1

1//

/11

12

22

2

2

2

25



La sensibilità può ancora essere stimata durante il processo di calibrazione statica. Gli altri parametri vengono determinati invece con metodi diversi in accordo con il valore del coefficiente di smorzamento (cfr. sistemi sottosmorzati e sistemi sovrasmorzati). Nel caso di un sistema sottosmorzato si ha:

2

2

2

1arcsin

11sin1

te

Kq

qn

t

i

on

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dinamico

….e il massimo della risposta vale:

1

log

1;11

log

;

log

1

;1

log;

1

2

2

2

22

2

2

2

2

2

1

1

2

2

Aa

Aa

Aa

A

aAeAqa

eAq

e

e

e

eoMAX

oMAX

Abbiamo cosi determinato, dai dati sperimentali il valore del coefficiente di smorzamento.

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dinamico

Per determinare la pulsazione n, basta determinare due passaggi successivi per lo zero della parte periodica della risposta:

T

kTt

kt

T

kTt

kt

t

n

n

n

n

n

n

n

2

2

2

2

2

2

2

1

2

21

;1

;21

21

;1

;01sin

Abbiamo cosi determinato, dai dati sperimentali il valore della pulsazione.

NB:la stima risulterà più accurata se si considerano N cicli.

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Nel caso di sistemi sovrasmorzati conviene riscrivere la risposta come:

21

/

12

2/

12

1 ;121

tt

i

o eeKq

q

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Definiamo:

Se il sistema è del secondo ordine e si traccia Rpi in scala semilogaritmica si ottiene per valori grandi di t, una retta,

Infatti….

1001

i

opi Kq

qR

30



…infatti…

1

21

/

12

2

/

12

1/

12

2

100

:

100

tpi

ttpi

eR

hasigrandeementesufficienttpere

eeR

Che in scala semilogaritmica è una retta.

1) Indichiamo con P1 il punto in cui tale asintoto incontra l’asse di Rpi. Si ha, inoltre:

0368.01

10021

11 pipi R

eR

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dinamico

2) Sottraiamo dalla retta Rpi, ciò corrisponde ad isolare il contributo del secondo esponenziale. In scala semilogaritmica dovremo quindi ottenere una seconda retta.

Il valore iniziale di tale contributo sarà individuato dal punto

100368.0368.0

100

12

2

12

PP

saràtpere

PP

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E’ possibile individuare i parametri del sistema anche utilizzando la risposta in frequenza (sistema sottosmorzato):

33



E’ possibile individuare i parametri del sistema utilizzando la risposta in frequenza (sistema sovrasmorzato):

NB: le informazioni sono state ottenute utilizzando esclusivamente il diagramma dei moduli. Se è disponibile anche il diagramma delle fasi è possibile avere un’ulteriore verifica del valore dei parametri stimati.

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