Parte I (introduzione)

Taratura degli strumenti (cfr: UNI 4546)

•Si parla di taratura in regime statico se lo strumento verrà utilizzato soltanto per misurare grandezze lentamente variabili.

•In regime dinamico gli ingressi variano velocemente e si ricorre (quando possibile) all’uso di equazioni lineari differenziali.

Cosa significa tarare uno strumento?

La taratura di uno strumento permette di determinare le caratteristiche metrologiche di un dispositivo per misurazione.

Alcune caratteristiche statiche possono agire come non-linearità sulle caratteristiche dinamiche. E’ necessario, quindi, ricorrere a dei metodi semi-empirici.

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Taratura degli strumenti (cfr: UNI 4546)

La taratura in regime statico di uno strumento è l’operazione durante la quale tutti gli ingressi, ad eccezione di uno, sono mantenuti costanti. L’ingresso preso in considerazione viene quindi variato in un dato intervallo, causando la variazione dell’uscita del sistema. Si ottiene in tal modo una calibratura, valida per le condizioni imposte per tutti gli altri ingressi!

Cosa significa tarare uno strumento?

La procedura può essere ripetuta cambiando l’ingresso preso in esame e quindi ottenendo una famiglia di relazioni ingresso-uscita

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Taratura degli strumenti (cfr: UNI 4546)

•Poiché gli altri ingressi devono essere mantenuti costanti, è necessario procedere alla loro misura.

•Per le grandezze d’influenza, i cui effetti su strumenti di buona qualità dovrebbero essere piccoli, non è necessario eseguire misure di precisione elevata.

•E’ necessario avere molta cura nella scelta degli strumenti utilizzati per la misura dell’ingresso del sistema. Una regola spesso usata suggerisce di usare durante la taratura uno strumento dieci volte più accurato (cfr. la riferibilità dei campioni) rispetto allo strumento da calibrare.

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Taratura degli strumenti (cfr: UNI 4546)

•Nella taratura di uno strumento è necessario tenere conto dei seguenti punti:

Esaminare la struttura dello strumento e identificare tutti i possibili ingressi

Decidere, con la maggiore precisione possibile, quali ingressi saranno significativi nell’applicazione per la quale si vuole calibrare lo strumento

Realizzare un sistema in grado di far variare la grandezza in esame nell’intervallo di valori considerato

Mantenere tutti gli ingressi, tranne quello preso in esame, costante e costruire il diagramma di taratura

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Taratura degli strumenti (cfr: UNI 4546)

Affinché si possa procedere alla calibratura di uno strumento è necessario eseguire delle misure sullo stesso, in regime di controllo statistico!

Ogni strumento ha un numero infinito di ingressi. Solo un sottoinsieme di essi influenza in modo significativo l’uscita. Si mantengono entro opportuni limiti solo le grandezze ritenute più importanti, mentre le altre sono lasciate libere. Se l’effetto cumulativo di tali grandezze ha l’aspetto di un segnale random, si dice che il sistema è sotto controllo statistico.

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Taratura degli strumenti (cfr: UNI 4546)

Si supponga, ad esempio di utilizzare un potenziometro e di registrare le seguenti proposte per la tensione in uscita.

I risultati cambiano profondamente se ripetiamo la campagna di misura in un ambiente termostatato!

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(*) Un po’ di statistica!

Si supponga di aver eseguito un numero n di misure sull’uscita di un processo, in condizioni nominalmente uguali, vogliamo verificare di aver operato in condizioni di regime statistico.

N pressione, kPa

1 10.02 2 10.20 3 10.26 4 10.20 5 10.22 6 10.13 7 9.97 8 10.12 9 10.09

10 9.90 11 10.05 12 10.17 13 10.42 14 10.21 15 10.23 16 10.21 17 9.98 18 10.10 19 10.04 20 9.81

Supponiamo, ad esempio, di volere tarare un misuratore di pressione e di aver eseguito 20 misure, in condizioni nominalmente uguali!

Parte I (introduzione)

(*) Un po’ di statistica!

E’ possibile ordinare i dati, dal più piccolo al più grande e contare il numero di campioni che entrano in un dato sottointervallo della grandezza in esame. E’ quindi possibile definire la quantità:

e tracciare un corrispondente istogramma o diagramma a barre.

Z

numerodi campioni inuna finestra numero totale di letture

ampiezza della finestra

/

Per il nostro esempio si ottiene il seguente grafico.

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(*) Un po’ di statistica!

L’area sottesa da ogni barra del digramma è pari alla probabilità che un dato cada nel corrispondente intervallo.

Aumentando il numero di dati e rendendo gli intervalli sempre più piccoli, si può ottenere un diagramma continuo. In tale caso limite, la funzione Z assume il nome di funzione di densità di probabilità. Si ha:

Spesso tale informazione è data in termini della funzione cumulativa di distribuzione: F x f x dx

x

( )

b

adxxfbxaP )(

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(*) Un po’ di statistica!

Tra tutte le possibili forme di funzione di distribuzione di probabilità, solo alcune sono di interesse pratico. La più importante è sicuramente la funzione di distribuzione gaussina.

22

2

2

1

x

exf

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(*) Un po’ di statistica!

Perché la distribuzione di probabilita gaussiana è così importante?

Perché, sebbene nessun processo possa fornire dati strettamente gaussiani, molti processi hanno delle caratteristiche che possono essere approssimate dal modello gaussiano!

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(*) Un po’ di statistica!

Dato un insieme di dati come è possibile stabilire se essi hanno una distribuzione ‘ragionevolmente’ gaussiana?

Esistono dei metodi, sia di natura euristica sia di tipo analitico, che ci permettono, con un certo rischio, di asserire se dei dati presentano una distribuzione gaussiana!

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(*) Un po’ di statistica!

Un metodo di tipo euristico utilizza il metodo del 4-plot della Explanatory Data Analysis (EDA). Esso analizza contemporaneamente quattro grafici diversi:

Run sequence plot (periodogramma);

Lag Plot (diagramma di dispersione);

Histogram (istogramma);

Normal Probability Plot (diagramma normale).

14

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(*) Un po’ di statistica!

Nel caso di una variabile a distribuzione normale si ottengono i seguenti grafici

15

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(*) Un po’ di statistica!

Nel caso di un processo a distribuzione oscillante si ottengono i seguenti grafici

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(*) Un po’ di statistica!

Per il nostro esempio numerico si ottengono i seguenti grafici.

P(x≤)=0.5

P(x≤)=84.1

m=10.11

s=0.14

Parte I (introduzione)

(*) Un po’ di statistica!

Il metodo precedentemente indicato permette di evidenziare forti deviazioni dal comportamento gaussiano. Un metodo di tipo analitico è il metodo del .

2

•Si ordinano i dati dal più piccolo al più grande e si dividono in gruppi.

•Non esiste una regola generale sul numero di gruppi. Si può dire, in generale, che è necessario avere a disposizione almeno 20 dati. Inoltre se il numero dei dati è compreso tra 20 e 40 allora si devonio formare gruppi di almeno 5 elementi. Per n>40 si deve cercare di formare gruppi con lo stesso numero di elementi. Determinado il numero di gruppi diversi dalla formula di Kendal-Stuart:

G N 187 10 4

..

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(*) Un po’ di statistica!

2•Si calcola la quantità definita come segue;

essendo:

n0 il numero di dati osservati realmente in ciascun gruppo

ne il numero di dati che si sarebbero osservati se il sistema fosse stato realmente gaussiano

n il numero di gruppi.

• Si determina, dai grafici disponibili, il valore minimo che deve avere l’indice per poter assicurare, in corrispondenza del grado di libertà dei dati, un determinato livello di confidenza che la distribuzione sia gaussiana.

2 0

2

1

n n

ne

ei

n

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(*) Un po’ di statistica!

Per il nostro misuratore di pressione, si ottengono i seguenti risultati