ERRORE STATICO - cumacini.altervista.org · Considerazioni sul GUADAGNO ’AN LLO L(s) ... L lim L...

)()(1

)(

)()(1

)()()()()()()()()()(

sHsG

sX

sHsG

sGsXsHsXsYsHsXsXsXsE RET

E(s) Y(s)X(s)

G(s)G(s)

H(s)H(s)

Alimentazione di potenza

ERRORE STATICOERRORE STATICO

1

Per errore statico si intende lo scostamento, a regime, della variabile controllata Y(s) dal valore desiderato.

Tale scostamento è in relazione con il segnale errore E(s) uscente dal nodo di confronto: essi hanno lo stesso valore percentuale.

E’ allora possibile svolgere i calcoli sul segnale errore E(s).

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YRET(s)

Il calcolo dell’errore a regime richiede il calcolo del limite

dove è richiesta la conoscenza della funzione e(t), cioè della antitrasformata di E(s).

E’ possibile evitare la antitrasformazione ricorrendo al teorema del valore finale:

e sostituendo l’espressione di E(s):

Osservazioni: la precisione statica dipende quindi dal

Valore del segnale di ingresso X(s)

Guadagno d’anello G(s)•H(s)

2

e(t) et

r

lim

E(s)s lime(t) lim0

st

re

L(s)1

X(s)slim

H(s)G(s)1

X(s)slim

00

ssre


Considerazioni sul GUADAGNO GUADAGNO D’ANELLOD’ANELLO L(s) = G(s)L(s) = G(s)•H•H(s)(s)

)s(D

)s(N

s

1)s(H)s(G)s(L

n

)s(D

)s(N)s(L'

e ricavare la costante

LST = valore statico del guadagno d’anello

I sistemi con retroazione sono classificati in tipi, in funzione del numero di poli nulli presenti

nel guadagno d’anello:

n = 0 sistema tipo 0n = 1 sistema tipo 1n = 2 sistema tipo 2………

3

)s(D

)s(Nlim)s(LlimL

0s

'

0sST


In assenza di ritardi finiti, le funzioni di trasferimento sono razionali, cioè si presentano come rapporto tra polinomi:

Ai fini del calcolo dell’errore statico conviene porre:

Considerazioni sul SEGNALE SEGNALE DIDI INGRESSO x(t)INGRESSO x(t)

Le prestazioni a regime dipendono anche dalla forma del segnale d’ingresso. In alcuni sistemi il

segnale di ingresso non ha una forma prestabilita, per cui si caratterizza la precisione statica

considerando segnali con forma standard (canonica).

Ingresso a gradinos

XX(s) X)t(x 0

0

X0

t

Ingresso a rampa tX)t(x 0 2

0

s

X)s(X

X0 t

t

Ingresso a parabolaX0 t

2

t

2

0 tX)t(x 3

0

s

X2)s(X

4


n = 0 Guadagno d’anello:)s(D

)s(N)s(L

ST

0

0s

0

0

0sr

L1

X

)s(D

)s(Nlim1

X

)s(L1

s

X

slime

Calcolo dell’ERRORE a regime:

Ingresso a rampa

Ingresso a parabola

Ingresso a gradino

)s(Lss

Xlim

)s(L1

s

X

slime 0

0s

2

0

0sr

)s(Lss

X2lim

)s(L1

s

X2

slime22

0

0s

3

0

0sr

Errore di accelerazione

Errore di velocità

Errore di posizione

5

SISTEMA SISTEMA TIPO 0TIPO 0 )s(L1

X(s)slime

0sr

Prof. Capuzzimati Mario - ITIS “Magistri Cumacini” - ComoPrecisione a regime: sistemi tipo 0

SISTEMA SISTEMA TIPO 0TIPO 0

Ingresso a gradinoErrore di posizione

Ingresso a rampaErrore di velocità

Ingresso a parabolaErrore di accelerazione

6

0

0

1

X

HLy

ST

r


Errore assoluto

sull’uscita del sistema

Errore assoluto sull’uscita del sistema si

ricava dividendo quello sul nodo di

confronto er per il guadagno statico

della fdt di retroazione H0:

0

re

Hyr

STss

rL

X

sDs

sNss

X

sL

s

X

se 00

0

2

0

0

)(

)(lim

)(1lim


n = 1 Guadagno d’anello:

Ingresso a rampa

Ingresso a parabola

Ingresso a gradino

)s(D

)s(N

s

1)s(L

0

)s(D

)s(N

s

1lim1

X

)s(L1

s

X

slime

0s

0

0

0sr


Errore di velocità

Errore di posizione

)s(D

)s(N

s

1ss

Xlim

)s(L1

s

X2

slime22

0

0s

3

0

0sr

7

Calcolo dell’ERRORE

)s(L1

X(s)slime

0sr



8




0

0

HL

Xy

ST

r


0

Errore assoluto

sull’uscita del sistemaErrore assoluto sull’uscita del sistema si




0

re

Hyr

n = 2 Guadagno d’anello:

Ingresso a rampa

Ingresso a parabola

Ingresso a gradino

)s(D

)s(N

s

1)s(L

2

0

)s(D

)s(N

s

1lim1

X

)s(L1

s

X

slime

20s

0

0

0sr

0

)s(D

)s(N

s

1ss

Xlim

)s(L1

s

X

slime

2

0

0s

2

0

0sr


Errore di velocità

Errore di posizione

ST

0

2

22

0

0s

3

0

0sr

L

X2

)s(D

)s(N

s

1ss

Xlim

)s(L1

s

X2

slime

9

Calcolo dell’ERRORE



10





0

02

HL

Xy

ST

r


00

0

Errore assoluto

sull’uscita del sistema

Errore assoluto sull’uscita del sistema si




0

re

Hyr

TABELLA RIASSUNTIVATABELLA RIASSUNTIVA

INGRESSO TIPO DI SISTEMA

x(t) X(s) 0 1 2

Gradino

0 0

Rampa

0

Parabola

2

0 tX

tX0

0X

3

0

s

X2

2

0

s

X

s

X0

ST

0

L1

X

ST

0

L

X

ST

0

L

X2

11

NB: le espressioni che appaiono in

tabella si riferiscono ai valori assoluti

calcolati rispetto al segnale errore er :

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Errore di posizione

Errore di velocità


E(s) Y(s)X(s)

H(s)H(s)

Alimentazione di potenza

1s6s5s

1023 A(s)A(s)

Dati:

x(t) = 4 V

YID = 86

1) Dimensionare il ramo di retroazione

2) Calcolare il guadagno A0 del convertitore di potenza in modo da avere un errore a regime al 5%

3) Verificare la stabilità del sistema ricorrendo al metodo di Routh, nell’ipotesi che il convertitore sia caratterizzato da una risposta istantanea.

ESERCIZIO ESERCIZIO Traccia

12

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ESERCIZIO ESERCIZIO Soluzione

1) Dimensionare il ramo di retroazione

Si calcola il valore statico di H(s):

2) Calcolare il guadagno statico A0 del convertitore di potenza in modo da avere un errore a regime al 5%

L’incognita A0 è nascosta all’interno dell’espressione dell’errore a regime e precisamente nella

costante LST.

Il sistema è di tipo 0, l’ingresso è un gradino, dalla specifica risulta MAXr

ST

0r e

L1

Xe

13

0465.086

4

Y

XH

ID

RIF0

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La costante LST risulta:

mentre l’errore massimo ammissibile è :

Per il calcolo di A0 occorre dunque risolvere la disequazione:

La cui soluzione conduce a A0 40.9

2.0405.0eMAXr

465.0AH10A)s('LlimL 0000s

ST

2.0465.0A1

4

0

3) Verificare la stabilità del sistema ricorrendo al metodo di Routh

Occorre valutare il comportamento dinamico del ramo di retroazione e del convertitore di potenza.Si ipotizza che siano entrambi privi di fenomeni dinamici, cioè che presentino una risposta immediata.

• H(s) = H0

• A(s) = A0

Si deve calcolare l’equazione caratteristica dell’intero sistema, ma prima occorre assegnare un valore al guadagno A0 del convertitore:

Ipotesi A0 = 41.

L’equazione risulta:

Tabella di Routh:

1 6

5 20.1

1.98

20.1

Non essendoci variazioni di segno nella prima colonna, il sistema risulta stabile.

Infatti le soluzioni risultano:

S1 = - 4.639S2 = - 0.181 + j 2.072S3 = - 0.181 – j 2.072

01.20s6s5s 23

14

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Esercizio IPOTESI: Precisione dell’1%

Ripetere i calcoli relativi ai punti 2) e 3)

Calcolo equazione caratteristica:

Tabella di Routh:

0100s6s5s 23

1 6

5 100

-14

100

Essendoci variazioni di segno nella prima colonna, il sistema risulta instabile.

Soluzioni dell’equazione caratteristica:S1 = - 6.465S2 = 0.732 + j 3.864S3 = 0.732 – j 3.864

15

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SOLUZIONE

A0 212.9 Ipotesi: A0 = 213

SOLUZIONE

Per il calcolo si parte dal vincolo della stabilità: con la tabella di Routh si individua il valore

massimo per A0, con tale valore si calcola l’errore assoluto e infine quello percentuale.

Calcolo equazione caratteristica:

Tabella di Routh:

Dal calcolo risulta: A0 62.36

Ipotesi: A0 = 62

L’errore a regime minimo per il sistema

risulta pari al

3.35%.3.35%.

1 6

5 1 + A0 0.465

5.8 – A0 0.093

1 + A0 0.465

16

0465.0A1s6s5s 0

23

NB: E’ possibile aumentare la precisione e anche migliorare il comportamento in transitorio

introducendo la regolazione PID.

Esercizio Calcolare la precisione massima consentita dal sistema


ESERCIZIO ESERCIZIO da svolgere 11

17

E(s)Y(s)

X(s)

1s5s2

322

02.0

• Calcolare l’errore di posizione rispetto ad un ingresso di 4 V

• Verificare la stabilità del sistema (Metodo di Routh)


18

E(s)Y(s)

X(s)

02.0

)1s5s2(s

322


• Calcolare l’errore di velocità rispetto all’ingresso x(t) = 0.12 t




19

E(s)Y(s)

X(s)


• Calcolare l’errore di velocità rispetto all’ingresso x(t) = 0.12 t

• Calcolare l’errore di accelerazione rispetto all’ ingresso x(t) = 0.03 t2


02.0

)1s5s2(s

3222



Esercizi Esercizi Soluzioni

20

ESERCIZIO 1

• Errore di posizione: er = 2.44 ( er% = 61 )

• Verifica di stabilità: STABILE.

ESERCIZIO 2

• Errore di posizione: 0 ( er% = 0 )

• Errore di velocità: 0.19

• Verifica di stabilità: STABILE.

ESERCIZIO 2

• Errore di posizione: 0 ( er% = 0 )

• Errore di velocità: 0

• Errore di accelerazione: 0.094

• Verifica di stabilità: INSTABILE.


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