Dinamica del punto materiale - IL SITO UFFICIALE DEGLI … · 2017-01-11 · 1 Dinamica del punto...

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Dinamica del punto materiale

Fr

Studia il moto e le cause che lo determinano

basata sui 3 principi fondamentali di NetwonScaricato da www.sunhope.it

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piano completamente “liscio”

Principio di inerzia alla Galileo (I legge della dinamica)

In assenza di forze o se la risultate delle forze è nulla:

• Se il corpo è a riposo vi rimane

• Se è in moto continuerà a procedere indefinitamente con velocità V constante.

Scaricato da www.sunhope.it

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Sistemi di riferimento inerziali

Vt

Il moto è relativo: i vettori posizione, velocità ed accelerazione dipendono dal sistema al quale viene riferito il moto della particella.

Nel sistema in moto relativo uniforme la legge del moto è la stessa che nel sistema fisso

Il tipo di moto è lo stesso!(cambiano le condizioni iniziali)

Sistemi inerzialiIn tutti i sistemi inerziali le proprietàdello spazio e del tempo sono identiche, come pure le leggi della meccanica.

Quando un corpo è soggetto a una forza risultante nulla i sistemi di riferimento rispetto ai quali la sua accelerazione è zero sono inerziali.


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Definizione di Forza

Un corpo è soggetto all’azione di una forza (derivante dalla sua interazione con gli altri corpi che lo circondano) ogni qual volta la sua velocità cambia nel tempo, ossia possiede un’accelerazione.

La molla tarata: agganciamo all’estremità di una molla un corpo. Se si tira l’altro estremo della molla in direzione parallela al piano la molla si allunga ed il corpo acquista una accelerazione nella direzione dell’asse della molla. A parità di allungamento L, l’accelerazione a è la stessa.

a

L

Che effetti produce la stessa forza a corpi diversi?


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II legge della dinamica

amF rr=

La accelerazione di un corpo è proporzionale alla risultante delle forze che agiscono su di esso ed inversamente proporzionale alla sua massa inerziale.

La massa di un corpo rappresenta la sua capacità di opporsi all’accelerazione che una data forza gli imprime…indipendentemente dalla intesità della stessa.

Fr 1ar

2ar 1

2

2

1

aa

mm

r

r

=

[ ]2

2

s m 1kg1Newton][

−

−

=

= MLTF


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Considerazioni sulla seconda legge di Newton

è una relazione vettoriale:tre equazioni scalari

Note le forze in funzione del tempo, della posizione, delle proprietà dei corpi interagenti (massa, carica, etc.), ci permette di determinare l’accelerazione dalla cinematica la legge oraria

Fx∑ = max

Fy∑ = may

Fz∑ = maz

amF rr=∑

ar

Devono essere prese in considerazione tutte le forze agenti sul corpo. Alcune forse agiscono a distanza mentre altre richiedono che ci sia contatto tra i corpi interagenti Scaricato da www.sunhope.it

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NNNFFF BxAxRx 2.52)37cos(30)45cos(40 =+=+=

NNsenNsenFFF ByAyRy 3.10)37(30)45(40 =−=+=

oRx

Ry

NN

FF

5.11)2.0arctan(

2.02.523.10)tan(

==

===

θ

θ

Applicazione

amF rr=∑

kgmb 500=

NFFF RyRx 5122 =+=r

2m/s1.0kg500N51

==aScaricato da www.sunhope.it

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Guida alla risoluzione dei problemi

1. Individuare il punto o i punti materiali di cui si deve studiare il moto;

2. Fissare il sistema di riferimento inerziale

3. Costruire il diagramma di corpo libero, individuando tutte le forze che agiscono sul corpo;

4. Applicare la II legge della dinamica a tutti i punti materiali.

5. Scomporla nelle tre equazioni scalari.


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cost

cost

=⇒=

⇒=

amFa

F

rr

r

v

Applicazioni dei principi della dinamica..

Moto uniforme

vcost0 0 =⇒= aF rr

Moto uniform. accelerato

Determiniamo l’espressione della forza o delle forze presenti.

Una forza è completamente definita quando si conosce qual è il corpo che la subisce e qual è il corpo che la genera


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III legge della dinamica

2112 FFrr

−=

Principio di azione e reazione: ogni qualvolta un corpo esercita una forza su di un secondo corpo, il secondo eserciterà una forza sul primo uguale e contraria.

Il tavolo esercita una forza sul libro

Il libro esercita una forza di reazione sul tavolo


Forza peso e massa

Osservazione di Galileo:Tutti i corpi, se lasciati liberi, sono attratti verso il suolo con la stessa accelerazione “g”

Forza di attrazione gravitazionale (tra terra e corpo):

gmamP rrr==

Attenzione a non confondere “peso” con “massa”

Il nostro “peso” è la forza con cui veniamo spinti verso il basso P

La nostra “massa” ègPm =

Consideriamo il sistema di riferimento terreste inerziale.

La massa ha ovunque lo stesso valore, il peso cambia invece se fosse sulla luna piuttosto che sulla terra.


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La reazione Vincolare

⇒= 0arIl corpo è fermo su di un tavolo cioè in equilibrio:

II legge di Newton: la forza complessiva agente sul corpo deve essere nulla.

Il tavolo esercita una forza uguale e contraria alla forza peso, in modo tale che la forza risultante che agisce sul corpo sia nulla.

N

mg

Nr

Le reazioni vincolari si manifestano ogni qual volta c’è un vincolo ossia un impedimento al moto del corpo. Può avere una componente normale o parallela al vincolo

gmNgmN rrrr−=⇒=+ 0


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Forza di attrito radente (attrito statico)

Proviamo a mettere in moto il corpo m inizialmente fermo esercitando una forza Fa , m si muove solo se

NF sA μ> =sμ

=N

0=a

0≠a

coeff. d’attrito statico Dipende dalla superficie

Dipende dalla massa del corpo e dalle condizioni di vincolo

NF sA μ≤

NF sA μ>

La Forza di attrito è la componente parallela al vincolo della Reazione Vincolare. Si parla di attrito statico se non c’è scorrimento tra il corpo e la superficie su cui il corpo è poggiato.


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Se il corpo è già in moto

NF datt μ=

maFF attA =−

maNF dA =− μ

sd μμ <

1...... <sd μμ e

Sempre!!

Forza di attrito radente (attrito dinamico)

x:

=dμ coefficiente di attrito dinamico


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Se si taglia la corda in un punto qualsiasi la parte a destra del taglio eserciterà su quella a sinistra una forza di modulo pari alla tensione e viceversa. Il valore della tensione è lo stesso in ogni punto.

Tensione dei fili

i -1 i i+1

+T -T-T+T

Corda inestensibile di massa trascurabile

00 :statica =⇒== ∑∑ FamF xfune


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|FB | = |− T| |FA |= |T| |FB|= |− F A|= |T|

FA ed FB forze applicate nei due estremi per tendere il filo FBFA T -T

T forza esercitata agli estremi dal filo teso

Tensione dei fili

Caso filo teso in moto:INESTENDIBILE tutti i punti si muovono con la stessa accelerazione

Filo privo di massa ⇔ m = 0 ⇒ ma = 0 ⇒ T èancora la stessa in ogni punto, come nel caso statico!Scaricato da www.sunhope.it

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Tensione dei fili

Corda inestensibile di massa trascurabile

Corpo m

Tr

Fune

Tr

Fr

La fune tira il corpo mcon una tensione T

III legge di Newton il corpo m tira la fune con una forza uguale ed opposta alla tensione T

TFamTF xfune =⇒==− 0 fune

mFmTamaT xx //:corpo ==⇒=

La fune ideale trasmette la forza da una estremità all’altra: la forza applicata alla fune è uguale a quella che la fune applica al

Fr


Carrucole Ideali

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Carrucole ideali (piccolo raggio e piccola massa, senza attriti) cambiano la direzione della tensione ma non l’intensità.


1919

gm r1

gm r2

Tr

Tr N

r

ϑ

Diagramma di corpo libero

m1=10kg e m2=20kg.1ar

2ar x1

y1

y2

( ) ammgsenmmamgmT

)( 2112

22

+=−−=

ϑ

222222 amTgmamTgm =−⇒=+rrr

⎩⎨⎧

==−

⇒=++Ngm

amgsenmTamNgmT

ϑϑ

cos1

111111rrrr

( )

gsenmm

mmT

mmgsenmma

)1()(

)(

21

21

21

12

ϑ

ϑ

++

=

+−

=

Applicazione


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gm r1

gm r2

Tr

Tr N

r

ϑ

Diagramma di corpo libero

m1=10kg e m2=20kg.1ar

2ar x1

y1

y2

( ) ammgsenmmamgmT

)( 2112

22

+=−−=

ϑ

222222 amTgmamTgm =−⇒=+rrr

⎩⎨⎧

==−

⇒=++Ngm

amgsenmTamNgmT

ϑϑ

cos1

111111rrrr

( )

gsenmm

mmT

mmgsenmma

)1()(

)(

21

21

21

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ϑ

ϑ

++

=

+−

=

Applicazione


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p

at

a

an

moto vario

maF =r

nt amamF rrr+=

nt uR

mudtdmF rr 2vv

+=

Ft determina la variazione del modulo della velocità

Fn determina la variazione della direzione della velocità

Fn si chiama forza centripeta

Applicazioni dei principi della dinamica..


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Applicazioni….

Curva sopraelevata


Moto armonico semplice

t

( )txA

A−

( ) ( )0sin ϑω += tAtx definisce il moto armonico semplice

pulsazione iniziale fase

moto del fasemotodelampiezza

0

0

===+=

ωϑ

ϑωtA

0 , iniziali condizioni ϑA

( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )txTtx

tAtATtATtx

T

=+

+=++=++=+

=

000 sin2sinsin

2

ϑωϑπωϑωωπ T è il periodo!!


Moto armonico

( ) ( ) ( ) ( )00 cosvsin ϑωωϑω +==⇒+= tAdtdxttAtx

( ) ( )02

2

sinv ϑωω +−=== tAdt

dxdtdta

( )tx

t

t

t

( )tv

( )ta

2T

x e v in quadratura di fase

differenza di π/2 (v anticipa x)

x e a sono in opposizione di fase

differenza di πScaricato da www.sunhope.it

Moto armonico

( ) ( )0sin ϑω += tAtx ( ) ( )0cosv ϑωω +== tAdtdxt

( )( )⎩

⎨⎧

====

00

00

cosv0vsin0

ϑωϑ

AAxx

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

=

2

202

02

0

00tan

ω

ωϑ

vxA

vx

⇒−= xa 2 :inoltre ω

022

2

=+ xdt

xd ωEquazione differenziale

del moto armonico

Dalle condizioni iniziali


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Il pendoloTammg ⋅=⋅− θsin

NammgT ⋅=⋅− θcos

2

2

dtdLat

θ=

Lv2

=Na

θθ sin2

2

Lg

dtd

−=

Lvmcos

2⋅=⋅− θmgTIn caso di θ piccolo:

02

2

=⋅+ θθLg

dtd

( )ϕωθθ +⋅= tsin0Lg

=ω

Moto antiorario

Eq. Differenziale moto armonico

Θ0 è l’ampiezza e ϕ la fase

La pulsazione


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( )ϕωωθθ+= t

dtd cos0

( )ϕωωθθ+=== tL

dtdL

dtds cosv 0

( )ϕωθθ +⋅= tsin0

Il pendolo

Velocità angolare e lineare

( )ϕωθθ +⋅== tLLs sin0

Legge oraria

La velocità è max quando il corpo passa per la verticale Θ = 0 e nulla agli estremi delle oscillazioni.


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gLT π

ωπ 22

==Non dipende dalla massa e dell’ampiezza

Tensione del filo:⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅=

LvgmTd

2

cosθ

Tensione massima

Tensione minima

In condizioni dinamiche

In condizioni statiche mgTs =

La Td > TS perché oltre ad equilibrare il peso deve fornire la f. centripeta per far percorrere al pendolo la traiettoria circolare

Il pendolo

Periodo:


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xuKx F rr−= K = costante elastica

xu r

xu r

Forza elastiche

Si definisce forza elastica una forza di direzione costante con verso rivolto sempre ad un punto O, chiamato centro e con modulo proporzionale alla distanza da O.

Assunto l’asse x la direzione della F:

Nella pratica viene applicata tramite una molla e indicheremo con:

l0 la lunghezza a riposo

x la deformazione = l – l0


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Forza elastiche

KmT π

ωπ 22

==

0xmk

dtxd2

=+

Eq. moto armonico

Con pulsazione

)cos(x(t) φω += tA

xmK

mF

dxxda −=== 2

2

mK

=ω


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Forza di attrito viscoso

vmF rrλ−=

Moto in un fluido

dtdmmammg vv ==− λ

∫∫ =−

⇒−=tdtg

dtd

0

v

0 λvgdvvv λ

( )[ ] t=− v0λvgln1

λ ( ) ( )tegt λ

λ−−= 1v

Il moto tende ad una velocità costanteScaricato da www.sunhope.it

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