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Meccanica

9. Dinamica del Punto Materiale

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Domenico GalliDipartimento di Fisica e Astronomia

22 febbraio 2017

Traccia

1. Primo Principio2. Secondo Principio3. Massa Inerziale4. Quantità di Moto5. Gravitazione e Moti Planetari6. Problema Fondamentale della Dinamica del Punto Materiale

D. Galli

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Meccanica – 9. Dinamica del Punto MaterialeI Principio II Principio Massa Quantità di Moto Gravitazione Problema Fondament.

Il Primo Principio. FormulazioneClassica

Detto anche principio di inerzia, descrive il moto di un punto materialenon soggetto a forze.

Formulato da Galileo Galilei (1564-1642).Formulazione classica: “Qualunque punto materiale, non soggetto adalcuna forza, o rimane in quiete oppure si muove di moto rettilineouniforme”.

“Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiterin directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare”.

È stata una fondamentale conquista scientifica, in quantoapparentemente contraddice l’esperienza comune:

Siamo abituati a pensare che sia necessario esercitare costantemente unaforza per mantenere un corpo in movimento (automobile, bicicletta, ecc.).

D. Galli

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Il Moto nella Fisica Pre-Galileiana

Leggi diverse per moti di “tipo” diverso.Aristotele (384-322 a.C.): impostazione errata, ma ritenuta valida peraltri 1900 anni, impedendo di fatto lo sviluppo della meccanica.

Moti naturali:I Moto verso il basso o verso l’alto (linea retta).I Moto degli astri (circolare).Moti violenti: si credeva che fosse F ∝ v.I Moto di un carro trainato. Maggiore è la forza applicata, maggiore è la velocità.I Lancio di un sasso in direzione orizzontale. Cessata la spinta della mano, si

attribuiva all’aria la causa di una spinta aggiuntiva che sospinge il corpo in avanticon forza decrescente.

D. Galli

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Il Moto nella Fisica Galileiana

Utilizzo del metodo scientifico;

Princìpi fondamentali che valgono per tutti i moti.

La comprensione del principio di inerzia è stata ostacolata dallapresenza, difficilmente eliminabile, di una forza: la forza di attrito.

Per comprendere le caratteristiche del moto in assenza di forze ènecessario effettuare esperimenti in condizioni di attrito via via menointenso ed estrapolarne i risultati alla condizione ideale di assenzadella forza di attrito.

D. Galli

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Esperimenti di Galileo: Piano Inclinato

Su di un piano inclinato in discesa un punto materiale accelera.

Su di un piano inclinato in salita un punto materiale decelera.

Cosa accade se il piano è orizzontale? Dovrebbe non accelerare nédecelerare, dunque muoversi di moto uniforme (in realtà decelera).

accelera decelera (?)

D. Galli

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Esperimenti di Galileo: Piani Orizzontalidi Scabrosità Variabile

Il punto materiale viene fatto scendere da un piano inclinato e poicontinua su di un piano orizzontale scabro.

Minore è la scabrosità del piano orizzontale, maggiore è il percorsodel punto.

Si deduce che lascabrosità del piano ècausa del rallentamento.

Se il piano fosseassolutamente liscio ilpunto continuerebbe amuoversi senza rallentare.

D. Galli

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Esperimenti di Galileo: Doppio PianoInclinato

Il punto scende, percorre il tratto orizzontale, poi risale,raggiungendo approssimativamente l’altezza iniziale (non laraggiunge esattamente a causa dell’attrito).

Diminuendo l’inclinazione del secondo piano aumenta la distanzaorizzontale percorsa.

Se il secondo piano èperfettamenteorizzontale, l’altezzainiziale non può maiessere raggiunta, e, inassenza di attrito, ilmoto del punto divieneperpetuo.

D. Galli

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Il Punto Materiale non Soggetto a Forze

Per studiare il moto di un punto non soggetto a forze occorre eliminaretutte le forze che agiscono su di esso:

Forze meccaniche (cordicelle che trainano, molle, ecc.). È sufficienteassicurarsi che non ci siano contatti meccanici.

Forze idrostatiche (spinta di Archimede). Assicurarsi che il puntomateriale non sia immerso in un liquido.

Vincoli: devono essere eliminati.

Attrito: devono essere eliminati strisciamenti e fluidi viscosi.

Forze di interazione: devono essere eliminate cariche elettriche emagneti. Occorre inoltre allontanarsi dalla Terra e da altri corpi celesti.

D. Galli

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Il Punto Materiale non Soggetto a Forze (II)

Fatto questo, abbiamo eliminato tutte le forze?

NO! Esiste un altro tipo di forza:Viaggiando in automobile, quando freniamo, ci sentiamo sospinti in avanti.Quando curviamo ci sentiamo sospinti all’esterno della curva.

Le forze che ci sospingono in avanti quando freniamo o all’esternoquando curviamo:

Non sono dovute né a una molla, né a un filo che tira, né a un vincolo, né aun fluido, né all’attrito, né alla gravità, neppure all’elettromagnetismo.Esistono nel SdR dell’automobile, ma non nel SdR della strada.Sono dette Pseudo-Forze (o Forze Inerziali o Forze Apparenti, oForze Fittizie o ancora Forze di d’Alambert).

D. Galli

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Il Punto Materiale non Soggetto a Forze (III)Esempi di Pseudo-Forze

Quando ci troviamo su di un’automobile che frena (accelerazioneopposta alla velocità, quindi diretta indietro) ci sentiamo sospinti inavanti (rispetto all’automobile):

Osservatore a terra: non c’è nessuna forza in avanti;Il passeggero tenderebbe a mantenere la stessa velocità mentre l’autodiminuisce la propria velocità.Il passeggero tenderebbe quindi a uscire dall’auto in avanti sfondando ilparabrezza;Tuttavia il passeggero è rallentato dalla forza indietro esercitatadall’attrito del sedile, dalle mani afferrate al volante o a una maniglia o dalvincolo della cintura di sicurezza.

Osservatore sull’auto: è presente anche una pseudo-forza in avanti:Essa non produce moto in quanto è equilibrata dalla forza indietroesercitata dall’attrito del sedile, dalle mani afferrate al volante o a unamaniglia o dal vincolo della cintura di sicurezza.

D. Galli

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Il Punto Materiale non Soggetto a Forze (IV)Esempi di Pseudo-Forze

Quando ci troviamo su di un’automobile che curva (accelerazionecentripeta, verso il centro della curva) ci sentiamo sospinti (rispettoall’automobile) verso l’esterno della curva:

Osservatore a terra: non c’è nessuna forza verso l’esterno dellacurva:

Il passeggero tenderebbe a proseguire in linea retta mentre l’auto deviadalla linea retta verso l’interno della curva.Il passeggero tenderebbe quindi a uscire dall’auto lateralmente sfondandolo sportello esterno alla curva;Tuttavia il passeggero è trattenuto dalla forza centripeta (verso il centrodella curva) esercitata dall’attrito del sedile, dalle mani afferrate al volanteo a una maniglia o dal vincolo della cintura di sicurezza.

Osservatore sull’auto: è presente anche una pseudo-forza versol’esterno della curva (pseudo-forza centrifuga):

Essa non produce moto in quanto è equilibrata dalla forza centripeta(verso l’interno della curva) esercitata dall’attrito del sedile, dalle manidalle mani afferrate al volante o a una maniglia o dal vincolo della cinturadi sicurezza.

D. Galli

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Il Punto Materiale non Soggetto a Forze (V)

L’unica maniera per eliminare le pseudo-forze consiste nel porsi in unSdR in cui esse non siano presenti

Nel caso dell’automobile che frena o che curva occorre porsi nel SdRdella strada.

Chiamiamo Sistema di Riferimento Inerziale un SdR in cui non sonopresenti pseudo-forze:

Nel quale, di conseguenza, un punto materiale non soggetto a forze(forze meccaniche, idrostatiche, vincoli, forze di attrito e forze diinterazioni) o è in quiete o si muove di moto rettilineo uniforme.

Ma come possiamo sapere che esista almeno un SdR inerziale?

D. Galli

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Il Primo Principio. FormulazioneModerna

L’esistenza dei SdR inerziali non è affatto ovvia:Dati molti corpi, molto lontani gli uni dagli altri

In modo da annullare le forze meccaniche, idrostatiche, i vincoli, le forzedi attrito e le forze di interazione,

si può sempre trovare un SdR in cui un corpo qualunque, consideratoseparatamente dagli altri, sia in quiete o si muove con moto rettilineouniforme:

È sufficiente considerare un SdR animato con lo stesso moto del corpoconsiderato.

Nessuna considerazione logica ci può invece assicurare che esista ununico SdR in cui tutti questi corpi si muovano simultaneamente conmoto rettilineo uniforme.

Per tale motivo l’esistenza di un SdR inerziale è un principio fisico,derivato dall’esperienza, ed è l’essenza del principio di inerzia.

D. Galli

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Il Primo Principio. FormulazioneModerna (II)

Formulazione moderna del Primo Principio della Dinamica:

Esiste almeno un Sistema di Riferimento inerziale .

Alcuni commenti sull’enunciato:Il primo principio della dinamica descrive il moto di un puntomateriale in assenza di forze:

La formulazione classica pone l’enfasi sulle forze di attrito che perparecchi secoli hanno impedito una corretta comprensione dei principidella meccanica:I L’assenza di forze implica, in particolare, l’assenza delle forze di attrito.

La formulazione moderna pone l’enfasi sulle pseudo-forze:I L’assenza di forze implica, in particolare, l’assenza delle pseudo-forze.

Nella formulazione moderna è evidente che il primo principio non è uncaso particolare del secondo.

D. Galli

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Sistemi di Riferimento Inerziali

Principio di relatività ristretta o speciale : le leggi della fisica hannola stessa forma in due Sistemi di Riferimento in moto

Traslatorio (non rotatorio),

Rettilineo (non curvilineo),

Uniforme (non vario)

l’uno rispetto all’altro.Segue che, se esiste un SdR inerziale allora ne esistono infiniti:

Tutti i SdR in moto traslatorio rettilineo uniforme con velocità arbitrariarispetto al SdR inerziale dato.

D. Galli

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Sistemi di Riferimento Non-Inerziali

In un SdR non-inerziale, un punto materiale non soggetto a forze non simuove di moto rettilineo uniforme, perché subisce l’accelerazionecausata dalle pseudo-forze.

Le pseudo-forze che agiscono su di un corpo sono proporzionali allamassa del corpo.

Le pseudo-forze non hanno origine dall’interazione con un altro corpoe non diminuiscono allontanandosi da altri corpi.

D. Galli

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Sistemi di RiferimentoApprossimativamente Inerziali

Un’automobile che percorre alla velocità di 10 m/s (36 km/h) unacurva di raggio 20 m ha la componente normale dell’accelerazione paria 5 m/s2 rispetto al SdR Terrestre (fisso rispetto alla superficieterrestre), che possiamo considerare con buona approssimazioneinerziale.

A causa di tale accelerazione il SdR dell’automobile non è inerziale.

Tuttavia il SdR Terrestre ruota a causa della rotazione della Terraattorno al proprio asse, con accelerazione normale pari a circa0.02 m/s2.

A causa di tale accelerazione anche il SdR Terrestre non è perfettamenteinerziale, anche se si avvicina a un SdR inerziale assai più del SdRdell’automobile.

D. Galli

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Sistemi di RiferimentoApprossimativamente Inerziali (II)

Un SdR geocentrico — che non ruota come la Terra, ma ha gli assipuntati verso corpi celesti lontani con movimento trascurabile — siavvicina ancora di più a un SdR inerziale. Tuttavia la Terra ruotaattorno al Sole, con accelerazione normale pari a circa 0.006 m/s2.

A causa di tale accelerazione anche il SdR geocentrico non èperfettamente inerziale, anche se si avvicina a un SdR inerziale assai piùdel SdR Terrestre.

Il SdR delle stelle fisse — che non orbita come la Terra attorno alSole, ma ha l’origine nel centro del Sole e gli assi puntati verso corpicelesti lontani con movimento trascurabile — si avvicina ancora di più aun SdR inerziale. Tuttavia il Sole ruota attorno al centro della ViaLattea, con accelerazione normale pari a circa 2 · 10−10 m/s2.

A causa di tale accelerazione anche il SdR delle stelle fisse non èperfettamente inerziale, anche se si avvicina a un SdR inerziale assai piùdel SdR Geocentrico.

D. Galli

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Sistemi di RiferimentoApprossimativamente Inerziali (III)

All’epoca di Newton si riteneva che il SdR delle stelle fisse fosse unSdR inerziale.

Oggi sappiamo che le stelle fisse non sono del tutto “fisse” per cuianche nel SdR delle stelle fisse sono presenti pseudo-forze, perquanto di piccola entità.

Oggi il concetto di SdR Inerziale non è più legato alle stelle fisse.Il concetto di SdR Inerziale è oggi legato alla semplicità delle leggifisiche nel riferimento:

Un SdR Inerziale è un SdR in cui sono assenti le pseudo-forze.

Un SdR si avvicina a un SdR inerziale tanto più quanto più sonotrascurabili in esso le pseudo-forze.

D. Galli

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L’Origine delle Pseudo-Forze

Perché in alcuni SdR le pseudo-forze non sono presenti, mentre inaltri esse sono presenti?

In fondo, se chiamiamo O′x′y′z′ un SdR inerziale e Oxyz un SdR cheaccelera rispetto a O′x′y′z′, per il Principio di Relatività:

Se è vero che il SdR Oxyz accelera rispetto al SdR O′x′y′z′,È parimenti vero che il SdR O′x′y′z′ accelera rispetto al SdR Oxyz.

Perché le pseudo-forze sono assenti in O′x′y′z′ e non in Oxyz?Non potevano piuttosto essere assentiin Oxyz e non in O′x′y′z′?

Che cosa ha di “speciale”il SdR inerziale O′x′y′z′

affinché in esso non sianopresenti le pseudo-forze?

D. Galli

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L’Origine delle Pseudo-Forze (II)

La risposta di Newton (1642-1727), che oggi sappiamo essere sbagliata,fu che il SdR inerziale è privilegiato in quanto si trova in quiete (o in mototraslatorio rettilineo uniforme) rispetto a un presunto “spazio assoluto”o “etere”:

Per Newton le pseudo-forze hanno origine da un’accelerazionerispetto al presunto “spazio assoluto”.

Contrariamente a Newton, Mach (1838-1916) era fortemente convintoche lo “spazio assoluto” non esistesse:

Ipotizzò che le pseudo-forze avessero origine dall’accelerazionemedia rispetto alla totalità delle masse nell’universo;

Come conseguenza, un’anisotropia della distribuzione della massanell’Universo, dovrebbe causare un’anisotropia delle pseudo-forze.

D. Galli

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L’Origine delle Pseudo-Forze (III)

Nella Teoria della Relatività Generale (Einstein, 1915) la risposta èun’evoluzione del punto di vista di Mach:

Il SdR inerziale è determinato dai campi gravitazionali locali chehanno origine da tutta la materia dell’Universo, vicina e lontana:

La materia lontana contribuisce “in ritardo” per la velocità finita dipropagazione delle interazioni;Il SdR inerziale è un SdR “in caduta libera” nel campo gravitazionalelocale:I Solidale a un qualunque corpo che si muova sotto l’azione del solo campo

gravitazionale locale;

Tuttavia, una volta che ci si è posti in un SdR inerziale, le leggi delmoto non sono più affette dalla distribuzione della massa nell’Universo.

D. Galli

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L’Origine delle Pseudo-Forze (IV)

Il problema dell’origine delle pseudo-forze è un problema ancoraaperto della Fisica Moderna.

Sono stati progettati e realizzati raffinati esperimenti, ma ancora irisultati sperimentali non hanno la precisione sufficiente per dareuna risposta definitiva.

Si cerca ancora di verificare se un’anisotropia della distribuzionedella massa nell’Universo, causi un’anisotropia delle pseudo-forze.

D. Galli

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Il Secondo Principio

Secondo Principio della Dinamica, detto anche Legge di Newton oLegge Fondamentale della Dinamica:

In un SdR inerziale, un punto materiale, sottoposto a una o più forze~F1, . . . ~Fn, si muove con accelerazione ~a, vettorialmenteproporzionale alla risultante ~R =

∑ni=1

~Fi di tali forze:

~R = m~a

dove m è un coefficiente scalare di proporzionalità (detto massainerziale) caratteristico del punto materiale considerato eindipendente dalla sua posizione e dal suo stato di moto.

Poiché sperimentalmente ~R e ~arisultano avere sempre lo stesso verso,segue che m > 0 .Se m non fosse costante l’espressione~R = m~a non sarebbe corretta.

D. Galli

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Misura Dinamica della Forza

Misura statica della forza:Cordicella e dinamometro:

Misura della deformazione di un corpo elastico.

Misura dinamica della forza:

Se su di un punto materiale, di massa m nota, agisce una forzasconosciuta ~F , tale forza può essere determinata a partire dallaconoscenza della massa m e dell’accelerazione ~a:

~F = m~a

D. Galli

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Breve Storia dell’Unità di Misura dellaMassa Inerziale

L’unità di misura della massa nel Sistema internazionale è il chilogrammo(simbolo kg).

Il grammo, pari a 11000 di chilogrammo, fu definito nel 1795 come la

massa di un centimetro cubo di acqua al punto di fusione (0 ◦C).Poiché gli scambi commerciali spesso riguardano oggetti ben piùmassivi di un grammo ed essendo un campione costituito di acquascomodo e instabile, sorse l’esigenza di creare un campione piùmassivo del grammo e basato su di un manufatto metallico.Nella realizzazione del primo prototipo di chilogrammo, nel 1799, siscelse di riferirsi al volume di un litro (ovvero 1 dm3) di acqua nel suostato di densità più stabile, cioè alla temperatura di 4 ◦C, alla quale ladensità dell’acqua è massima.Il prototipo, di puro platino, aveva una massa pari alla massa di1.000 028 dm3 di acqua a 4 ◦C, fu ratificato come Kilogramme desArchives e rimase in vigore per novant’anni.

D. Galli

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Breve Storia dell’Unità di Misura dellaMassa Inerziale (II)

Dal 1889 il chilogrammo è stato definito come la massa di un nuovomanufatto, denominato International Prototype Kilogram (IPK),costituito di platino-iridio (lega 90%-10%) a forma di cilindro circolareretto, con altezza pari al diametro (per minimizzare la superficierispetto al volume) ed entrambi pari a 39.17 mm.

Il prototipo è conservato presso il Bureau International des Poids etMésures a Sèvres, vicino a Parigi.

Nell’anno 2017 questa definizione di chilogrammo è ancora in vigore.

Il campione, a causa dell’inevitabile accumulazione di contaminantisulla superficie, è soggetto a una variazione di massa dell’ordine di1 µg all’anno.

Il chilogrammo si riferisce quindi alla massa del campione subito dopoil lavaggio, il quale deve essere eseguito con un procedimento bendefinito.

D. Galli

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Breve Storia dell’Unità di Misura dellaMassa Inerziale (III)

Dal 2018, in seguito alla ridefinizione del sistema internazionale, ilchilogrammo sarà invece definito fissando la costante di Planck h,misurata in J · s, ovvero in kg m2 s−1, al valore numerico:

h = 6.626 069 57× 10−34 J · s = 6.626 069 57× 10−34 kg m2 s−1

per cui il chilogrammo risulta definito come:

1 kg =h

6.626 069 57× 10−34m−2 s =

h

6.626 069 57× 10−34⎧⎪⎪⎪⎪⎩

299 792 458

cs−1⎫⎪⎪⎪⎪⎭2

s =

=299 792 4582

6.626 069 57× 10−34 · 9 192 631 770

h

c2 TCs=

= 1.475521529 . . .× 1040h

c2 TCs

dove c è la velocità della luce nel vuoto e TCs è il periodo dioscillazione della radiazione elettromagnetica emessa dagli atomi di133Cs in una particolare transizione.

D. Galli

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Breve Storia dell’Unità di Misura dellaMassa Inerziale (IV)

Si noti che, seguendo questo procedimento si definisce innanzituttol’unità di misura J · s = kg m2 s−1, con la quale si misura il momentoangolare e l’azione. Successivamente, da questa definizione e dalladefinizione di secondo e di metro, si perviene alla definizione dichilogrammo.

Il valore numerico 6.626 069 57× 10−34 kg m2 s−1 assegnato allacostante di Planck è tale che — nel momento in cui si adotta la nuovadefinizione — il chilogrammo differisca dalla massa dell’IPK meno diuna parte su 108 (la massima precisione ottenuta fino a ora nellamisura di h), onde garantire la continuità tra le vecchie e le nuovemisure di massa.

In seguito, un eventuale miglioramento della precisione della misura dih non ne modificherà il valore numerico, bensì renderà più precisa ladefinizione di chilogrammo.

D. Galli

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Unità di Misura della Forza

L’unità di misura della forza (e in particolare del peso ovvero dellaforza-peso) nel Sistema Internazionale è il Newton (simbolo N):

Corrisponde alla forza la quale, agendo su di una massa di 1 kg, leimprime un’accelerazione di 1 m/s2.

Nel deprecato Sistema Tecnico, invece, la forza si misura inchilogrammi-forza (simbolo kgf):

Corrisponde alla forza la quale, agendo su di una massa di 1 kg, leimprime un’accelerazione di 9.80665 m/s2.

Conversioni:

1 kgf = 9.80665 N

1 N = 0.101972 kgf

D. Galli

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Densità

Si definisce densità la massa per unità di volume:

La densità può essere riferita a un volume finito (densità media):

ρm =m

V

oppure a un volume elementare, cioè infinitesimo (densità puntuale):

ρ =dm

dV

Nel Sistema Internazionale la densità si misura in kg/m3.

D. Galli

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Dimensioni e Unità di Misura

Nel Sistema Internazionale (SI) sono definite 7 unità di misurafondamentali:

L’unità di lunghezza (L) cioè il metro (m);

L’unità di tempo (T ) cioè il secondo (s);

L’unità di massa (M) cioè il chilogrammo (kg);

L’unità di intensità di corrente elettrica (I) cioè l’Ampère (A).

L’unità di temperatura (Θ) cioè il kelvin (K);

L’unità di quantità di materia (N) cioè la mole (mol);

L’unità di intensità luminosa (J) cioè la candela (cd);

Tutte le altre unità di misura si dicono derivate, in quanto sono espressein termini delle 7 unità fondamentali.

D. Galli

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Dimensioni e Unità di Misura (II)

Esempi di grandezze derivate:

Grandezza Dimensione SI Unità SI Simbolo

Velocità [v] = LT−1 metro al secondo m/s

Accelerazione [a] = LT−2 metro al secondo quadrato m/s2

Forza [F ] = [ma] =MLT−2 newton N = kgm/s2

Densità [ρ] =[mV

]=ML−3 chilogrammo per metro cubo kg/m3

Quantità di moto [Q] = [mv] =MLT−1 chilogrammo metro al secondo kgm/s

Pressione [p] =[FS

]=ML−1T−2 pascal Pa = N/m2

Lavoro, energia [W ] = [Fs] =ML2T−2 joule J = Nm

Potenza [P ] =[Wt

]=ML2T−3 watt W = J/s

D. Galli

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Massa e Peso

In assenza di aria, tutti i corpi, in prossimità della superficieterrestre, cadono con la medesima accelerazione pari a circa:g = 9.80665 m/s2:

Varia lievemente, in realtà, da luogo a luogo, in relazione alla latitudine,all’altitudine, ecc.

Per il II principio della dinamica ~F = m~a, e dunque, in particolare perquanto riguarda la forza peso (detta anche semplicemente peso):

Fp =∥∥∥~Fp∥∥∥ = m‖~g‖ = mg

Dunque, essendo l’accelerazione di gravità indipendente dalla massadei corpi, segue che il modulo della forza peso è proporzionale allamassa.

D. Galli

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Massa e Peso (II)

Ricordiamo tuttavia che la massa è uno scalare mentre il peso (oforza-peso) è un vettore applicato.

Inoltre la massa di un corpo è la stessa ovunque, a qualunquelatitudine, sulla Terra come sulla Luna.Il peso, invece, varia con l’accelerazione gravitazionale g, dunquevaria lievemente con la latitudine e sulla Luna è circa 1

6 del peso sullaTerra:

Un grave che ha massa 60 kg sulla Terra, ha massa 60 kg anche sulla Luna.Lo stesso grave ha peso 588 N (cioè 60 kgf) sulla Terra a 45◦ di latitudine,ma ha peso circa 100 N (cioè 10 kgf) sulla Luna.

D. Galli

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Quantità di Moto e Impulso

Si definisce quantità di moto ~Q di un punto materiale il prodotto:

~Q = m~v

Per un sistema materiale qualsiasi (costituito da n punti materiali) èinvece la somma vettoriale:

~Q =n∑i=1

mi ~vi

Derivando rispetto al tempo l’espressione per il punto materiale, siottiene:

~Q =d

dt(m~v ) = m

d~v

dt+

dm

dt~v = m~a+

dm

dt~v

D. Galli

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Quantità di Moto e Impulso (II)

Se la massa m è costante, si ha:

dm

dt= 0 ⇒ ~Q =

d

dt(m~v ) = m~a+

dm

dt~v = m~a

Per cui il secondo principio della dinamica si può scrivere:

~R = ~Q (II principio – Legge di Newton)

In realtà questa espressione è più generale dell’espressione ~R = m~a evale anche nel caso in cui la massa m varia nel tempo.

D. Galli

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Quantità di Moto e Impulso (III)

Se integriamo la relazione ~R = ~Q rispetto al tempo nell’intervallo [t1, t2],otteniamo:

~F =d ~Q

dtt2∫t1

~F dt =

t2∫t1

d ~Q

dtdt =

î~Qót2t1

= ~Q (t2)− ~Q (t1)

Si definisce impulso di una forza ~F nell’intervallo di tempo [t1, t2], laquantità:

~IÄ~F , [t1, t2]

ä=

t2∫t1

~F dt

D. Galli

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Quantità di Moto e Impulso (IV)

La precedente relazione:

~IÄ~F , [t1, t2]

ä= ~Q (t2)− ~Q (t1)

è detta Teorema dell’Impulso.

L’impulso della forza risultante agente su di un punto materiale,relativo a un dato intervallo di tempo, è uguale alla corrispondentevariazione della sua quantità di moto.

D. Galli

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Quantità di Moto e Impulso (V)Il Colpo di un Martello

Applicazione del Teorema dell’Impulso:

~IÄ~F , [t1, t2]

ä=

∫ t2

t1

~F dt = ~Q (t2)− ~Q (t1)

A parità di variazione di quantità di moto (da un istante prima a unistante dopo il colpo):

Se l’acciaio è più rigido, e dunque si deforma di meno, l’urto (cioè ilcontatto) dura per un intervallo di tempo minore e perciò la forzaesercitata è maggiore.Un martello di piombo, che si deforma molto, esercita una forza piccolanel colpire.

Acciaiomeno rigido Acciaio

più rigido

D. Galli

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Leggi di Keplero

Le forze gravitazionali, con cui tutti i corpi si attraggono l’un l’altro,furono studiate dapprima con misura dinamica e soltanto oltre unsecolo più tardi con misura statica.

Il moto dei pianeti, osservato con grande precisione e riferito allestelle fisse (descrizione più semplice) fu riassunto da Keplero in 3leggi empiriche (cioè leggi descrittive, che riassumono l’osservazione).

Dalle caratteristiche del moto dei pianeti, riassunte dalle leggi diKeplero, ricavando l’accelerazione e dunque effettuando una misuradinamica della forza, Newton fu in grado di ricavare una legge assaipiù generale (Legge della Gravitazione Universale).

D. Galli

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Leggi di Keplero (II)

Le leggi di Keplero descrivono soltanto il moto dei pianeti e di altricorpi in orbita.

La legge di Newton contiene le leggi di Keplero ma descrive, peresempio, anche il moto di un sasso che cade sulla Terra lungo laverticale, o il peso di un corpo in quiete.Leggi di Keplero:1. I pianeti si muovono su orbite ellittiche, di cui il Sole occupa uno dei due

fuochi (N.B.: le orbite giacciono su di un piano).2. La velocità areolare dei pianeti rispetto al Sole è costante.3. I quadrati dei tempi di rivoluzione dei pianeti sono proporzionali ai cubi dei

semiassi maggiori delle ellissi corrispondenti.

D. Galli

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Forze Centrali

Dalla seconda legge di Keplero si trova che la forza ~FSP che il Soleesercita sui pianeti è una forza centrale:

Ovvero una forza diretta lungo la congiungente Sole-pianeta ~rSP .

Infatti, per la costanza della velocità areolare, risulta:1

2~rSP ∧ ~vP = ~A ≡ cost.

per cui, derivando membro a membro rispetto al tempo, si ottiene:1

2~vP ∧ ~vP︸︷︷︸

~0

+1

2~rSP ∧ ~aP = ~0 ⇒ ~rSP ∧ ~aP = ~0 ⇒ ~rSP ‖ ~aP

Perciò la forza ~FSP = mP ~aP , avendo la stessa direzionedell’accelerazione, è anch’essa diretta come il vettore posizionale ~rSP .

~FSP ‖ ~rSP

D. Galli

44


Legge di Gravitazione UniversaleDipendenza dalla Distanza

Dalla prima e seconda legge di Keplero si trova anche che la forza ~FSPche il Sole esercita sui pianeti ha modulo inversamente proporzionale alquadrato della distanza.

Conviene utilizzare le coordinate cilindriche (r, ϕ, z) e la base di versoricilindrica {ır, ıϕ, k}.L’equazione dell’ellisse di semiassi α (maggiore) e β (minore) edeccentricità e si scrive, in coordinate cilindriche:

r (ϕ) =α(1− e2

)1− e cosϕ

e i 3 parametri α, β ed e sono legatidalla relazione:

α2Ä1− e2

ä= β2

D. Galli

45


Legge di Gravitazione Universale (II)Dipendenza dalla Distanza

Per la seconda legge di Keplero la velocità Areolare ~A è costante,per cui è costante anche il suo modulo A:

1

2r2ϕ = A ≡ cost.

Inoltre, durante un periodo T del moto di rivoluzione, l’area TAspazzata dal vettore posizionale ~rSP è pari all’area dell’intera ellisse,pari a παβ:

T A = παβ ⇒ T1

2r2ϕ = παβ

Ricaviamo quindi:

r2ϕ =2π

Tαβ ⇒ ϕ =

2π

T

αβ

r2

D. Galli

46


Legge di Gravitazione Universale (III)Dipendenza dalla Distanza

Determiniamo ora la componente azimutale aϕ = 2rϕ+ rϕdell’accelerazione.

Dalla relazione r2ϕ ≡ cost., derivando membro a membro rispetto altempo, otteniamo:

d(r2ϕ

)dt

= 0 ⇒ 2 r r ϕ+ r2ϕ = r (2 r ϕ+ r ϕ) = r aϕ = 0

quindi, essendo r 6= 0:

aϕ = 0

come ci attendevamo, trattandosi di unaforza centrale e considerando labase cilindrica con origine in S.

D. Galli

47


Legge di Gravitazione Universale (IV)Dipendenza dalla Distanza

Determiniamo ora la componente radiale ar = r − rϕ2

dell’accelerazione.

Il secondo termine si scrive:

−r ϕ2 = −rÅ

2π

T

αβ

r2

ã2= −4π2

T 2

α2β2

r3

Determiniamo ora il primo termine r a partire dall’equazione dell’ellisse:

r (ϕ) =α(1− e2

)1− e cosϕ

Derivando rispetto al tempo:

r = − α(1− e2

)(1− e cosϕ)2

e (sinϕ) ϕ = − r2

α (1− e2)e (sinϕ) ϕ =

= −r2ϕ e sinϕ

α (1− e2)= −2π

Tαβ

e sinϕ

α (1− e2)D. Galli

48


Legge di Gravitazione Universale (V)Dipendenza dalla Distanza

Derivando nuovamente rispetto al tempo, otteniamo:

r = −2π

Tαβ

e cosϕ

α (1− e2)ϕ = −2π

Tαβ

e cosϕ

α (1− e2)2π

T

αβ

r2=

= −4π2

T 2

α2β2

r2e cosϕ

α (1− e2)La componente radiale dell’accelerazione vale quindi:

ar = r − rϕ2 = −4π2

T 2

α2β2

r2

ñe cosϕ

α (1− e2)+

1

r

ô=

= −4π2

T 2

α2β2

r2

ñe cosϕ

α (1− e2)+

1− e cosϕ

α (1− e2)

ô=

= −4π2

T 2

α2β2

r21

α (1− e2)= −4π2

T 2

α2

r2α2(1− e2

)α (1− e2)

= −4π2

T 2

α3

r2

dove abbiamo utilizzato la relazione β2 = α2(1− e2

).

D. Galli

49


Legge di Gravitazione Universale (VI)Dipendenza dalla Distanza

Otteniamo quindi:

ar = −4π2

T 2

α3

r2

Infine dall’espressione nella base cilindrica ~a = ar ır + aϕ ıϕ + az kpossiamo determinare il vettore accelerazione ~aP del pianeta:

~aP = −4π2

T 2

α3

r2ır

e la forza ~FSP = mP~aP che il Sole esercita sul pianeta.

~FSP = −mP4π2

T 2

α3

r2ır

Come si può osservare, tale forza ha moduloinversamente proporzionale al quadrato della distanza.

D. Galli

50


Legge di Gravitazione Universale (VII)Dipendenza dalla Massa

Nell’espressione:

~FSP = −mP4π2

T 2

α3

r2ır = −mP

k

r2SPrSP

il fattore k = 4π2

T 2 α3 contiene il rapporto tra il cubo del semiasse

maggiore α dell’ellisse e il quadrato del tempo di rivoluzione T , che,per la terza legge di Keplero (T 2 ∝ α3) è lo stesso per tutti i pianeti.

Per il III Principio della Dinamica, che introdurremo più avanti, laforza che il Sole esercita sul pianeta è opposta alla forza che il pianetaesercita sul Sole.

Poiché la forza è proporzionale alla massa del pianteta mP , perconsiderazioni di simmetria, deve essere anche proporzionale allamassa del Sole mS . La costante k deve quindi contenere la massa delSole mS . Potremo quindi scrivere:k = γ mS

D. Galli

51


Legge di Gravitazione Universale (VIII)Universalità

Otteniamo quindi la legge:

~FSP = −γ mP mS

r2SPrSP

Newton suppose che questa forza attrattivasi esercitasse non soltanto tra Sole epianeti, ma anche tra qualunque coppiadi corpi materiali.

~F12 = −γ m1m2

r212r12 = −γ m1m2

r312~r12

Legge di Gravitazione Universale (Newton): Qualsiasi punto materialeP1, di massa m1, esercita su qualunque altro punto materiale P2, dimassa m2, una forza attrattiva diretta lungo la congiungente dei duepunti, di modulo direttamente proporzionale alle due masse einversamente proporzionale al quadrato della distanza dei due punti.

D. Galli

52


Legge di Gravitazione Universale (IX)Universalità

Nella Legge di Gravitazione Universale di Newton:

~F12 = −γ m1m2

r212r12 = −γ m1m2

r312~r12

γ è una costante universale, che dipende soltanto dalle unità dimisura: .

Nel Sistema Internazionale γ = 6.67408 · 10−11 m3 kg−1 s−2.La Legge di Gravitazione Universale di Newton è più generale (e piùimportante) delle leggi di Keplero:

Descrive il moto dei pianeti lungo orbite ellittiche;Descrive anche la caduta dei gravi lungo la verticale.

Lo studio dinamico di Newton, basato sulle leggi di Keplero, nonconsentiva tuttavia di determinare la costante γ.Per determinare γ è necessario eseguire una misura statica dellaforza di attrazione gravitazionale:

Tale misura fu eseguita da Cavendish circa 100 anni dopo.D. Galli

53


Esperimento di Cavendish

Henry Cavendish (1731-1810) eseguì per la prima volta nel 1798 unamisura statica della forza di gravità, con cui fu possibile determinare ilvalore della costante gravitazionale γ e dedurre una stima della massaterrestre mT , fino ad allora sconosciuta.

Filo di torsione: presenta elasticità di torsione:

M (u) = −k ϕ

dove k è detto costante elastica di torsione.

Se si torce il filo di un angolo ϕ le forze elastiche generano una coppiadi momento assiale M (u).

filo di torsione

uD. Galli

54


Esperimento di Cavendish (II)

Esperimento di Cavendish: manubrio, con due sferette di piombo P1

e P2 di massa nota alle estremità, appeso a un filo di torsione (con knoto):

Si avvicinano le 2 sfere S1 e S2, pure di piombo, di massa nota;Si osserva l’angolo ϕ di rotazione del manubrio, da esso si calcola ilmomento assiale della coppia di forze e si risale alla forza.

Ripetendo più volte l’esperimento, con masse diverse e distanzediverse, si può determinare la costante gravitazionale γ.

filo di torsione

uD. Galli

55


Esperimento di Cavendish (III)

Conosciuto γ si può determinare la massa della Terra.

Poiché la forza peso esercitata su di un punto materiale di massa msulla superficie della Terra è:

~Fp = m~g

e per la legge di gravitazione universale si deveavere anche, detto RT il raggio terrestre (la primamisura si deve a Eratostene, 240 a. C.) e mT lamassa della Terra:

~Fp = γmT m

R2T

RT

si avrà, di conseguenza:

mg = γmT m

R2T

⇒ mT =R2T g

γ≈ 5.9737 · 1024 kg

filo di torsione

u

D. Galli

56


Massa Inerziale e Massa Gravitazionale

La massa inerziale m(i), che compare nel Secondo Principio dellaDinamica:

~F = m(i)~a

ha un significato concettualmente diverso dal significato della massagravitazionale m(g), che compare nella Legge di GravitazioneUniversale:

~F12 = −γ m(g)1 m

(g)2

r212r12

La massa inerziale m(i) è la “resistenza” opposta da un corpo sottopostoa una forza a modificare la propria velocità;La massa gravitazionale m(g) è la capacità di un corpo di attrarre altricorpi (massa gravitazionale attiva) o la capacità di un corpo di essereattratto da altri corpi (massa gravitazionale passiva).

D. Galli

57


Massa Inerziale e Massa Gravitazionale (II)

Non c’è ragionamento logico né calcolo matematico che ci consentadi concludere che m(g) ∝ m(i).

Tuttavia osserviamo che l’accelerazione con cui cade un corpo nelvuoto ha modulo:

a =F

m(i)=

1

m(i)γm

(g)T m(g)

R2T

= γm

(g)T

R2T

m(g)

m(i)

per cui, se non valesse rigorosamente la proporzionalitàm(g) ∝ m(i), corpi di massa diversa cadrebbero, nel vuoto, conaccelerazione diversa.Poiché, sperimentalmente, questo fenomeno non si osserva,possiamo concludere che m(g) ∝ m(i).

Se m(g) e m(i) sono misurate con le stesse unità di misura, risultam(g) = m(i).

D. Galli

58


Equazioni Differenziali Ordinarie

Sono equazioni nelle quali l’incognita è una funzione f (nelleequazioni algebriche l’incognita è un numero):

f : t 7−→ x = f(t), f : R −→ R,

L’equazione coinvolge la funzione f , la variabile indipendente t e lederivate di diverso ordine della funzione f :

F⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩t, f (t) , f (t) , f (t) ,

...f (t) , . . . ,

(n)

f (t)⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

= 0, F : Rn+2 −→ R

Esempio (oscillatore armonico smorzato e forzato)

x (t) +λ

mx (t) +

k

mx (t)− F0

mcos (ω t) = 0

D. Galli

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Equazioni Differenziali Ordinarie (II)

I teoremi di Eulero e di Peano-Picard garantiscono, sotto certecondizioni, l’esistenza e l’unicità della soluzione del problema diCauchy, ovvero di un’equazione differenziale, date le condizioni iniziali:

F⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩t, f (t) , f (t) , f (t) ,

...f (t) , . . . ,

(n)

f (t)⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

= 0,

f (t) = x0,0

f (t) = x0,1

f (t) = x0,2

· · ·(n−1)f (0) = x0,n−1

D. Galli

60


Forze Dipendenti da Posizione, Velocitàe Tempo

Esistono forze che dipendono dalla posizione occupata dal puntomateriale (forze posizionali), come la forza di gravità, la forzaelettrostatica, la forza elastica esercitata da una molla, ecc.

Altre forze dipendono dalla velocità del punto materiale, come laresistenza viscosa, la resistenza idraulica, la forza magnetica, ecc.

Altre ancora dipendono esplicitamente dal tempo, come quellaesercitata dal dispositivo in figura.

D. Galli

61


Forze Dipendenti da Posizione, Velocitàe Tempo (II)

Una dipendenza implicita della forza dal tempo è una dipendenzamediata dalla posizione ~r e/o dalla velocità ~v. Essa consiste in:

Una dipendenza della forza ~F dalla posizione ~r e/o dalla velocità ~v;Una variazione nel tempo della posizione ~r o della velocità ~v.~F = ~F (~v )

~v = ~v (t)

}⇒ ~F = ~F

Ä~v (t)

äUna dipendenza esplicita della forza dal tempo, invece, non èmediata dalla modificazione della posizione o della velocità nel tempo:

~F = ~F (t)

Quando la dipendenza dal tempo è esplicita, la forza varia nel tempoanche se posizione e velocità restano invariate.

D. Galli

62


Forze Dipendenti da Posizione, Velocitàe Tempo (III)

Nel caso più generale la dipendenza di una forza dal tempo si puòscrivere:

~F = ~FÄ~r (t) , ~v (t) , t

äe la sua derivata totale rispetto al tempo si scrive:

d~F

dt=∂ ~F

∂x

dx

dt+∂ ~F

∂y

dy

dt+∂ ~F

∂z

dz

dt+∂ ~F

∂vx

dvxdt

+∂ ~F

∂vy

dvydt

+∂ ~F

∂vz

dvzdt︸︷︷︸

dipendenza implicita

+∂ ~F

∂t︸︷︷︸dipendenzaesplicita

Se la dipendenza ~F = ~F (~r,~v, t) è nota, dal II principio della dinamica sipuò calcolare l’accelerazione:

~a =1

m~F (~r,~v, t)

D. Galli

63


Problema Fondamentale

Il problema che consiste nel prevedere il moto di un punto materialesottoposto a forze conosciute, in un prestabilito Sistema di Riferimento,si chiama problema fondamentale della dinamica del punto materiale.

Più precisamente, il problema fondamentale della dinamica del puntomateriale consiste, a partire dalla conoscenza delle forze:

~F = ~F (~r,~v, t)

e della posizione e velocità iniziali:

~r (0) = ~r0, ~v (0) = ~v0,

nel determinare la funzione vettoriale del moto del punto materiale:

~r = ~r (t)

D. Galli

64


Problema Fondamentale (II)

Nella base cartesiana, il problema fondamentale della dinamica del puntomateriale consiste, a partire dalla conoscenza delle forze:

Fx =Fx (x, y, z, vx, vy, vz, t)

Fy =Fy (x, y, z, vx, vy, vz, t)

Fz =Fz (x, y, z, vx, vy, vz, t)

e della posizione e velocità iniziali:x (0) = x0

y (0) = y0

z (0) = z0

,

x (0) = v0x

y (0) = v0y

z (0) = v0z

nel determinare la funzione vettoriale del moto del punto materiale:x = x (t)

y = y (t)

z = z (t)

D. Galli

65


Problema Fondamentale (III)

Per affrontare il problema, si utilizza il Secondo Principio della Dinamica~F = m~a per ricavare l’accelerazione:

~F = ~FÄ~r (t) , ~v (t) , t

ä⇒ ~a =

1

m~FÄ~r (t) , ~v (t) , t

äe si ottiene così, nella base cartesiana:

x (t) =1

mFxÄx (t) , y (t) , z (t) , x (t) , y (t) , z (t) , t

äy (t) =

1

mFyÄx (t) , y (t) , z (t) , x (t) , y (t) , z (t) , t

äz (t) =

1

mFzÄx (t) , y (t) , z (t) , x (t) , y (t) , z (t) , t

äSi tratta di un sistema di 3 equazioni differenziali del II ordine le cui incognitesono le 3 funzioni:

x = x (t)

y = y (t)

z = z (t)

D. Galli

66


Problema Fondamentale — CasoUnidimensionale

Nel caso particolare in cui il punto materiale sia si muova lungo unaretta si ha una sola equazione del II ordine, con due condizioni iniziali.

Scelta, come asse x, la retta lungo la quale si muove il puntomateriale, si ottiene:

x (t) =1

mFxÄx (t) , x (t) , t

ä{x (0) = x0

x (0) = v0x

D. Galli

67


Problema Fondamentale — Caso Unidimensio-nale — Forza Indipendente dalla Posizione

Nel caso ancor più particolare di un punto materiale che si muove lungo unaretta, soggetto a una forza indipendente dalla posizione, il sistema diviene:

x (t) =1

mFxÄx (t) , t

ä{x (0) = x0

x (0) = v0x

e si può ridurre a una sola equazione differenziale del I ordine in vx = x: vx (t) =1

mFxÄvx (t) , t

ävx (0) = v0x

Determinata vx (t), la funzione del moto si ottiene per integrazione diretta:

x (t) = x (0) +

t∫0

vx (t) dt

D. Galli

68


Domenico GalliDipartimento di Fisica e Astronomia

[email protected]://www.unibo.it/sitoweb/domenico.galli

https://wiki-lhcb.bo.infn.it/bin/view/GalliDidattica

D. Galli

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Meccanica – 9. Dinamica del Punto Materiale

Meccanica - 9. Dinamica del Punto Materiale -...

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