ESERCITAZIONI

DINAMICA PUNTO MATERIALE

Dott.ssa Silvia Rainò

Consigli generali per la risoluzione di

un problema

Disegnare il sistema fisico considerato : Se sono coinvolti più corpi ci si concentra sui singoli corpi (es.

casse tirate dalla fune)

Disegnare le forze in gioco in base alle indicazioni del problema

Definire un sistema di riferimento

Scrivere la II Legge della dinamica ( FTOT = ma) e scomporre successivamente le forze nelle componenti x,y (z) rispetto agli assi del sistema di riferimento scelto

Risolvere le equazioni

Esercizio 1

Quanta tensione deve sopportare una fune se viene usata per accelerare su un piano una cassa da 150 Kg ad 1.75 m/s2? (Ignorare l’ attrito) F=T=ma = 150 kg 1.75 m/s2 = 262.5 N

Quanta tensione invece deve sopportare se si vuole far accelerare una utilitaria di 12oo Kg da 0 a 108 Km/h in 10 s? v = v0 + at a=(v-v0)/t = 30/10 m/s2 = 3 m/s2

T=ma = 1200kg 3 m/s2= 3600 N

R.: 3200 N.

3

T

T

Esercizio 2

Durante una partita di calcio un pallone di massa 450 g giunge in prossimità della porta orizzontalmente con una velocità di 54 Km/h. Il portiere riceve la palla e la blocca in 0.10 s. Quale forza viene esercitata dal portiere sul pallone? Dati iniziali:

m=450 g = 0.45 kg

vi = 54 km/h = 15 m/s

vf = 0 m/s

t =0.1 s

Soluzione:

Moto uniformemente decelerato della palla: vf=vi+at a=-150m/s2

F=m|a| =0.45 kg 150 m/s2 = 67.5 N

diretta orizzontalmente e in verso opposto alla velocità della palla (a<0)

vi vf=0 F

a

Esercizio 3

Il rotore di una centrifuga ruota a 54 000 rpm (rotazioni al minuto). La cima di una provetta (perpendicolare all’ asse di rotazione) è a 6 cm dall’ asse di rotazione e il fondo è a 10 cm da esso.

a) Calcolare l’ accelerazione centripeta al fondo della provetta in unità di g

b) Se il contenuto della provetta ha una massa di 12 g, a che forza deve essere in grado di resistere il fondo della provetta?

Dati iniziali:

Frequenza f=54000 giri/min = 900 giri/sec

Rmin=6 cm = 0.06m

Rmax=10 cm = 0.10m

m=12g=0.012kg

Soluzione:

v=(2R)/T=(2/T)R=fR=9000.10=565.2m/s

a=v2/R=(90m/s)2/0.1m=3.2106m/s2=3.26103 g

Fcentr=macentr=0.012kg3.2106m/s2=3.8104N

Rmax

Rmin Fcentr

Esercizio 4

Un blocco di cemento di massa m = 225 kg, è inizialmente poggiato a terra. Mediante una fune verticale esso viene tirato verso l’ alto da una forza F costante di modulo F = 3.5 103 N. Determinare:

Accelerazione impressa al blocco

Intervallo di tempo richiesto perché esso venga sollevato all’ altezza h = 8.50 m

Dati iniziali:

M= 225 kg,

F= 3.5103N,

h=8.5 m

Soluzione:

Le forza che agiscono sul blocco sono la forza peso P e la forza esterna F.

P=mg=225 kg 9.8 m/s2= 2205 N < F

II principio dinamica: F+P=ma , entrambe dirette lungo l’asse verticale, perciò F-P=ma

a=(F-P)/m=(3500- 2205)N/225 kg = 5.7 m/s2

.

F

P

sm

a

htath

sm

73175

5822

2

1

2

2.

.

.

Esercizio 5

Supponiamo che una macchina effettui una curva a

velocità costante (si consideri valida l’ approssimazione di

moto circolare uniforme).

Determinare la velocità massima con cui l’auto può

affrontare una curva di raggio noto R.

Soluzione

Consideriamo un sistema di riferimento a 2 D in cui trascuriamo la

direzione tangenziale ( 2 D : 1 perpendicolare al suolo e l’ altra

diretta radialmente )

R

FA

N

P

Le forze agenti sono : • Forza peso P, • Forza normale N (strada), • Forza di attrito FA (strada) in approssimazione statica rende possibile la traiettoria circolare dell’auto lungo la curva Scomponendo le forze nelle 2 direzioni:

Direzione perpendicolare al suolo : N = mg

Direzione radiale: forza attrito = forza centripeta Fattrito = mac

ove ac = v2/R

L’ auto non slitta fino a quando non si supera il valore massimo della forza di attrito statico data da Fas mSN.

In formule :

mv2/R mSN

mv2/R mSmg =>

La velocità massima con cui l’auto può affrontare la curva senza slittare è:

gRsmv

gRsmmaxv

Esercizio 6

Due blocchi ben levigati di masse m1 ed m2, sono collegati mediante una sottile cordicella ed inizialmente fermi su un pavimento orizzontale liscio e con attrito trascurabile. Mediante una cordicella sottile collegata al blocco di massa m1,un bambino applica una forza F orizzontale e di intensità costante.

Trascurando le masse delle cordicelle determinare le espressioni della tensione T della cordicella che collega i due blocchi e dell’ accelerazione a assunta dal sistema nell’ intervallo di tempo in cui la forza agisce.

Eseguire una applicazione numerica con m1=800g, m2=500g ed F = 10 N.

Nella direzione orizzontale, il II principio della dinamica applicato ai corpi m1 ed m2 dà:

F-T=m1a

T=m2a

Sommando membro e membro le due equazioni a sistema ottengo:

F=(m1+m2)a a= F/(m1+m2)=10N/1.3kg=7.69 m/s2

T=m2a=0.5kg7.69m/s2=3.85N

m2 m1

F T T

Esercizio 7

Un autocarro sta trasportando una cassa di 3200 Kg contenenti macchinari pesanti. Se il coefficiente di attrito statico tra cassa e pianale è ms=0.65, qual è la massima decelerazione con cui il guidatore può frenare giungendo ad uno stop senza che la cassa si proietti contro la cabina di guida?

Dati iniziali: M=3200kg

ms=0.65

Soluzione: FasmsN

N=mg

2

maxas 89650F smgamamg ss /.. mm

v

a

Fa

Carrucola

T

T

P

P

m1g-T = m1a

m2g-T = -m2a

Supponiamo: • massa della carrucola e della fune trascurabili; • fune inestensibile. Scriviamo il II principio della dinamica per m1 ed m2:

a =m1 - m2

m1 + m2

g

T =2m1m2

m1 + m2

g

Se m1=m2 il moto avviene a velocità costante (a=0). Macchina di Atwood

Piano inclinato senza attrito

opo

Forze : reazione normale N e forza peso mg Proiettiamo le componenti delle forze lungo le direzioni parallela e perpendicolare al piano

mamgsinθ

0mgcosθN

mg sinq i -mg cosq j

N

q

q

Dalla seconda equazione si deduce che il corpo si muove sul piano inclinato con accelerazione a=gsenq. L’accelerazione a dipende SOLO dall’inclinazione del piano, non dalla massa dell’oggetto

Piano inclinato con attrito

opo

Forze : • reazione normale N, • forza di attrito FA • forza peso mg Proiettiamo le componenti delle forze lungo la direzione parallela al piano e perpendicolare al piano

Piano inclinato con attrito

Piano inclinato con attrito

Osservazione : se il pacco rimane fermo sul piano inclinato, la forza di attrito Fa è di tipo statico e l’accelerazione a=0. Le equazioni divengono:

0Fmgsenθ

mgcosθμNμF

mgcosθN

as

ssas

La condizione affinché un corpo rimanga in quiete in presenza di attrito statico è F Fas F msN, ovvero:

mg sin(q) < Fas mg sinq < msmgcosq tan(q)<mS

0mgcosθμmgsenθ

mgcosθμNμF

mgcosθN

s

ssas

Esercizio 8

Due masse uguali, collegate da un filo sono disposte come in figura. L’ angolo q vale 30 gradi, il coefficiente di attrito massa-piano è m=0.4.

Al tempo t =0 il sistema viene lasciato libero di muoversi e si osserva che la massa sospesa scende. Determinare l’ accelerazione del corpo sul piano inclinato.

Cosa accade dopo che il corpo tocca terra? Discutere il moto del corpo sul piano inclinato.

R.: 0.75 m/s2

q

1

2

Soluzione esercizio 8

q

1 2

Dati iniziali:

q=30°

m=0.4 t=0 vin=0

y

x

y mg

T

T

N

mg Fattr

T+mg=ma Corpo 1:

Corpo 2: T+mg+N+Fattr=ma

In base alla descrizione del problema il corpo 1 scende verso il basso, il

corpo 2 sale lungo il piano inclinato

a

a

Scegliamo i sistemi di riferimento lungo i cui assi scomporre le forze

q

y

x

y mg

T T N

mgcosq

Fattr

Per semplicità rappresento i

due corpi come puntiformi e

scompongo le equazioni

lungo gli assi

1: mg+T=ma mg-T=ma

2: T+mg+N+Fattr=ma T-Fattr-mgsenq=ma

mgcosq=N

mgsenq

q

mg-T=ma

T-Fattr-mgsenq=ma

mgcosq=N

Quanto vale la forza di attrito?

Fattr = mN = m mgsenq (utilizzando la terza equazione del sistema)

mg-T=ma

T-m mgcosq-mgsenq=ma

T=mg-ma

mg-ma-m mgcosq-mgsenq=ma

q

y

x

y mg

T T N

mgcosq

Fattr

mgsenq

q

g-m gcosq-gsenq=2a a=1/2g(1-m cosq-senq)=0.75m/s2

Esercizio 9

Un’ autovettura ha delle ruote molto logore ed il conducente intende parcheggiare la macchina su di una strada sterrata in pendenza. Se il coefficiente di attrito statico fra pneumatici e superficie stradale è ms=0.5, qual è il massimo angolo d’ inclinazione che la superficie stradale può avere perché la macchina possa rimanere parcheggiata senza slittare?

Soluzione esercizio 9

La condizione affinché l’auto di massa m rimanga in quiete è:

F Fattr

ove F è la somma delle forze

che agiscono nella direzione

del piano inclinato

Dalla seconda legge della dinamica, scomponendo le forze agenti

nelle direzioni x,y, si ha:

q

mg

N Fattr

mgcosq

mgsenq y

x

0mgsenθ-Nμ

0mgcosθN

s

0mgsenθ-mgcosθμ

mgcosθN

s

Dunque, nel nostro caso

F=mgsenq componente della forza peso nella direzione del piano

inclinato, che deve equilibrare la forza di attrito statico

Di conseguenza si deve verificare che:

mgcosθμmgsenθFF sattr

cosθμsenθ s

50tgθμtgθ s .

4550θ ).(arctg