DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE

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20/03/2017

I 3 PRINCIPI DELLA DINAMICA

PRIMO PRINCIPIO

Esiste una categoria di sistemi di riferimento detti inerziali

dotati della seguente proprieta: per essi e nulla l’accelera-

zione di un qualunque punto materiale non soggetto a forze.

L’enunciato originale e: Ogni corpo persiste nel suo stato

di quiete o di moto rettilineo uniforme finche forze esterne

ad esso applicate non lo costringono a mutare tale stato.

Per semplicita consideriamo il concetto di forza come un

concetto primitivo. La forza e la manifestazione delle azioni

che gli altri punti materiali esercitano sul punto materiale P,

su cui stiamo concentrando la nostra attenzione.

2

L’esperienza dimostra che l’intensita delle azioni (= forze)

che gli altri punti materiali esercitano su P diminuisce allon-

tanando questi punti da P. Se le distanze sono sufficiente-

mente grandi possiamo considerare P come non soggetto a

forze.

Tutti gli osservatori (= sistemi di riferimento) che nelle pre-

dette condizioni misurano un’accelerazione nulla per P sono

inerziali. Tutti gli osservatori che vedono P o fermo o ani-

mato da moto rettilineo uniforme sono inerziali.

Fissato in particolare un osservatore che vede P fermo,

questo osservatore sara inerziale. Tutti gli altri osservatori

che si muovono di moto rettilineo uniforme rispetto a questo

osservatore sono inerziali e solo questi.3

SECONDO PRINCIPIO

La forza e una grandezza fisica vettoriale. Se il punto P

e soggetto alle azioni dei corpi circostanti, sara soggetto a

molteplici forze Fi.

Se su P agiscono N forze, si puo definire risultante R delle

N forze applicate a P la seguente somma vettoriale

R =N∑i=1

Fi . (1)

Enunciato del Secondo Principio: Per un osservatore iner-

ziale esiste una relazione di proporzionalita diretta tra la

risultante R delle forze agenti su P e l’accelerazione a di P.

4

Vale

R = M a , (2)

dove la costante di proporzionalita M prende il nome di

massa inerziale ed ha le dimensioni di una massa ([M ] = kg).

Dalla (2), che rappresenta la formulazione quantitativa del

Secondo Principio, si ricavano le unita di misura della forza.

Si ha [F ] = kg m s−2. Nel S.I. la forza che conferisce

l’accelerazione unitaria alla massa unitaria e il Newton (N).

Quindi N = kg m s−2.

5

TERZO PRINCIPIO

Se il punto materiale A esercita la forza FBA sul punto ma-

teriale B, allora B esercita su A una forza FAB uguale ed

opposta. Vale

FAB = −FBA . (3)

Risulta opportuno osservare che le forze FAB e FBA risultano

applicate a corpi diversi. Le rette d’azione delle due forze

devono coincidere (Terzo Principio in Forma Forte).

6

APPLICAZIONE: FORZA CENTRIPETA

Come prima applicazione delle leggi appena enunciate, si

propone il caso di un corpo di massa M che descrive con

moto a velocita costante v una circonferenza di raggio R e

centro C.

Si tratta di un moto circolare uniforme, dotato quindi di

un’accelerazione normale alla traiettoria. E l’accelerazione

centripeta, orientata verso il centro C e data da

acentr =v2

R. (4)

7

In base al Secondo Principio dovra esistere una forza Fcentr,

detta forza centripeta, la quale, applicata sul corpo e diretta

verso C, lo constringera a percorrere una siffatta traiettoria.

Il modulo di questa forza vale

Fcentr = Mv2

Roppure Fcentr = M ω2 R , (5)

dove ω = v/R e la velocita angolare.

Esercizio Un disco “33 giri” di diametro D = 30 cm e posato

sul piatto del giradischi che ruota compiendo 33 giri ogni

minuto primo. Una pallina di stucco di massa M = 0.3 g

e appiccicata sull’orlo del disco. Determinare la velocita

angolare del disco, la velocita e accelerazione della pallina.

Determinare inoltre la forza centripeta applicata alla pallina.8

Il raggio e R = D/2 = 0.15 m. La frequenza f e la velocita

angolare sono date da

f =33

60 s= 0.55 Hz ; ω = 2 π f = 3.46 rad s−1 . (6)

La velocita di P e

v = ω R = 0.52m

s, (7)

mentre l’accelerazione centripeta e

acentr = ω2 R = 1.79m

s2. (8)

Infine la forza centripeta su P e M acentr = 3 · 10−4 kg ·

1.79 m s−2 = 5.37 · 10−4 N . E una forza adesiva.

9

LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE - PESO

In base alla legge della gravitazione universale due punti ma-

teriali di masse M e m posti alla distanza d l’uno dall’altro

si attraggono con una forza F diretta lungo la loro congiun-

gente ed avente un’intensita data da

F = Gm M

d2, (9)

proporzionale quindi al prodotto m ·M tra le masse ed in-

versamente proporzionale al quadrato della distanza inter-

posta. Nella (9) la costante G di Cavendish vale G =

6.673 · 10−11 m3 kg−1 s−2.

10

Si puo dimostrare che la (9) vale anche nel caso che la massa

M sia estesa, purche abbia simmetria sferica. In tal caso M

va pensata concentrata nel suo centro C e d va intesa come

distanza tra m (puntiforme) ed il centro C.

Per peso P della massa m s’intende l’intensita della forza

gravitazionale che la Terra esercita su m.

La massa della Terra e M ∼= 5.97 · 10+24 kg ed il raggio

terrestre medio e RT∼= 6.37 · 10+6 m. Con questi valori

inseriti nella (9) si ottiene per il peso P di m la seguente

espressione

11

P = Gm M

R2T

= m g , (10)

dove g e il modulo, calcola-

to sulla superficie terrestre, del-

l’accelerazione di gravita

g =G M

R2T

=6.673 · 10−11 · 5.97 · 10+24(

6.37 · 10+6)2 m

s2∼= 9.81

m

s2. (11)

Ove necessario, il peso P di un corpo va trattato come una

forza e quindi si scrivera P = m g, dove l’accelerazione di

gravita e un vettore che, rispetto alla verticale locale (assi

z1 e z2 di figura), punta verso il basso.

12

PESO E MOTI UNIFORMEMENTE ACCELERATI

Anche in base alle considerazioni precedentemente svilup-

pate, si puo considerare il vettore g accelerazione di gravita

praticamente uniforme sulla superficie terrestre in una re-

gione ristretta rispetto al valore di RT . Pertanto un corpo

di massa m sara soggetto ad una forza peso

P = m g (12)

praticamente uniforme in tutta la regione considerata. Nel

caso il peso sia l’unica forza applicata al corpo, si applichera

il Secondo Principio al moto del corpo come segue

R = m a → m g = m a → a = g , (13)

13

dove l’ultimo passaggio richiede l’identificazione tra la massa

gravitazionale e quella inerziale (!!!).

In conclusione, nei casi in cui la forza peso risulti essere

l’unica forza applicata ad un corpo ed il moto avvenga su

“piccole distanze”, si avranno moti uniformemente accele-

rati con accelerazione g.

Moti di questo tipo sono stati trattati nella parte di Cine-

matica.

14

SATELLITI IN ORBITA CIRCOLARE

Visto da un osservatore inerziale (quindi, non ruotante), il

moto di un satellite che percorre un’orbita circolare attorno

alla Terra appare come un moto circolare uniforme. Siano

T il periodo, r il raggio dell’orbita e m la massa del satellite.

La forza di gravita agente sulla massa m con intensita

F = Gm M

r2(14)

e la forza centripeta che impone al satellite il moto circolare

uniforme con accelerazione an = ω2 r = 4 π2

T2 r.

Il Secondo Principio della dinamica si

scrive

Gm M

r2= m

4 π2

T2r , (15)

dove la massa m puo essere eliminata.15

Si ottengono le seguenti relazioni che intercorrono tra pe-

riodo T e raggio r dell’orbita

T = 2 π

√√√√ r3

G Me r =

G M T2

4 π2

13

. (16)

Per un’orbita alla quota di 100 km sulla superficie terrestre

si ha r = RT + 1.0 · 10+5 m = 6.47 · 10+6 m. La prima

delle (16) fornisce come valore del periodo T ∼= 5180 s ∼=

86 minuti primi.

Il raggio dell’orbita geostazionaria si ottiene dalla seconda

delle (16) ponendo T = 24 h = 86400 s. Si ottiene r =

4.223 · 10+7 m, cui corrisponde un’orbita alla quota h =

r −RT = 3.586 · 10+7 m sopra la superficie terrestre.

16

REAZIONE VINCOLARE - PIANO ORIZZONTALE

Si consideri un corpo soggetto al suo peso P ed appoggiato

su di un piano orizzontale che lo sostiene. Il corpo ha ac-

celerazione nulla, quindi la risultante R delle forze ad esso

applicate sara nulla (II Principio). Questo si spiega con la

presenza di una forza vincolare N che il piano esercita sul

corpo impedendogli di cadere. Si impone

P + N = 0 , (17)

la cui componente z da

−m g+N = 0 → N = m g . (18)

Ne discende che la reazione vincolare N e diretta verso l’alto

e vale in modulo m g.17

PIANO INCLINATO SENZA ATTRITO

Si consideri un corpo di massa m che scivola senza incontrare

attrito giu per un piano inclinato. L’inclinazione rispetto

all’orizzontale e dell’angolo θ.

Su di esso agiscono il peso m g e la

reazione vincolare N, che e perpen-

dicolare al piano. Si imposta

N +m g = m a (19)

che, proiettata sugli assi x e z opportunamente orientati, da

m g sin(θ) = m ax ; N −m g cos(θ) = m az . (20)

Si ricava N = m g cos(θ) (poiche az = 0 !) e ax = g sin(θ).

E un moto uniformemente accelerato giu per il piano.18

MOLLA: COMPRESSIONE E ALLUNGAMENTO

Si consideri una molla di lunghezza a riposo x0, disposta

orizzontalmente (lungo l’asse x) e fissata per un’estremita

ad una parete rigida come in figura. Se un agente esterno

applica all’estremita libera A della molla una forza F∗ diretta

lungo l’asse x, l’ascissa di A passera da x0 ad x. Sia ∆x =

x− x0 la conseguente deformazione. Se vale ∆x > 0 si ha

un allungamento, se vale ∆x < 0

si ha una compressione. In regime

lineare vale la legge di Hooke nella

forma

F ∗x = k ∆x , (21)

dove k e la costante elastica della molla ([k] = N/m).19

SISTEMA MASSA + MOLLA

Adesso s’intende determinare la legge del moto di una massa

m che viene fissata all’estremo libero A della molla. Per una

deformazione ∆x della molla, la stessa subisce l’azione di

una forza F ∗x = k ∆x ad opera della massa m. Per il III

Principio la molla esercita sulla massa m una forza uguale

(in modulo) ed opposta F = −F∗, la cui componente x

vale Fx = −k ∆x. E una forza elastica di richiamo verso la

posizione x0 di equilibrio (vedere disegno).

Il II Principio della Dinamica per il

moto di m da

R = N +m g + F = m a , (22)

dove vale N +m g = 0 poiche il moto e lungo x.

20

La componente x della (22) si riduce a

md2x(t)

dt2= −k ∆x →

d2∆x

dt2= −

k

m∆x (23)

poiche, essendo x0 una costante, vale l’uguaglianza

d2∆x

dt2=

d2 [x(t)− x0]

dt2=

d2x(t)

dt2. (24)

In base alle considerazioni presentate nella Cinematica del

punto materiale, l’equazione (23) prevede per la deformazione

∆x (e, quindi, per l’estremita A della molla) un moto ar-

monico avente pulsazione ω, periodo T e frequenza f dati

da

ω =

√√√√ km

; T = 2 π

√m

k; f =

1

2 π

√√√√ km. (25)

21

Il sistema massa + molla rappresenta un semplice esempio

di oscillatore armonico, il cui moto e armonico attorno alla

posizione di equilibrio x0. La legge oraria puo essere scritta

come

x(t) = x0 + α cos(ω t) + β sin(ω t) . (26)

La soluzione contiene le quantita α e β, che possono es-

sere determinate in base alle condizioni iniziali x(0) e vx(0)

(posizione e velocita di m al tempo t = 0). Si ha

α = x(0)− x0 e β =vx(0)

ω. (27)

Si dimostrera che l’ampiezza delle oscillazioni di m attorno

ad x0 e data da√α2 + β2.

22

LAVORO

Si consideri una forza F costante applicata ad un punto

materiale P. Se P si sposta dalla posizione A alla posizione

B andando incontro allo spostamento ∆r = rB − rA, si dice

che la forza F esegue su P il lavoro LA→B dato da

LA→B = F ·∆r = F ∆r cos θ , (28)

dove θ e l’angolo compreso tra F e ∆r. Se F non e costante,

si suddivide la traiettoria che P percorre andando da A a B

in tanti (N) piccoli spostamenti ∆ri lungo i quali si ap-

prossima che la forza assuma i valori Fi (costanti sui ∆ri

corrispondenti). Il lavoro globale e dato dalla somma

LA→B∼=

N∑i=1

Fi ·∆ri → LA→B =∫ BA

F · dr . (29)

23

L’unita di misura del lavoro e il Joule = Newton ·metro. Il

simbolo di Joule e J, da cui [L] = J = kg m2 s−2).

Nella semplice situazione (28) di forza costante il segno di

L dipende da cos θ. In particolare, nel caso di spostamento

parallelo alla forza si ha L = F∆r mentre nel caso di sposta-

mento antiparallelo si ha L = −F∆r. Per spostamenti per-

pendicolari a F il lavoro e nullo.

Esercizio Una valigia ha massa m = 10 kg. Calcolare il

lavoro necessario per sollevarla di 1.5 m, per abbassarla di

1.5 m, per farla cadere di 2 m e per trasportarla in orizzon-

tale di 100 m. Calcolare il lavoro che la forza peso esegue

in corrispondenza degli stessi spostamenti cui la valigia va

incontro.24

LAVORO PER ALLUNGARE UNA MOLLA

Sia data una molla di lunghezza a riposo x0 e costante ela-

stica k. Un agente esterno che voglia estendere la molla

dalla lunghezza x0 alla lunghezza xB deve applicare una forza

variabile F∗ diretta lungo la direzione positiva dell’asse x e

data da

F ∗x(x) = k ∆x = k (x− x0) . (30)

Il lavoro L0→B che l’agente esterno

deve eseguire tramite F∗ e dato

dall’integrale

L0→B =∫ xBx0

F ∗x(x) dx =1

2k (xB−x0)2

(31)al cui valore si puo risalire valutando l’area A della figura.

25

Si puo verificare che l’espressione (31) da anche il lavoro

necessario per comprimere la molla dalla lunghezza x0 ad

una lunghezza xB < x0.

TEOREMA DELL’ENERGIA CINETICA

Dalla Cinematica si ricava, nel caso di moto 1D uniforme-

mente accelerato con accelerazione ax0, la relazione

ax0 (x− x0) =1

2v2x −

1

2v2x0 (32)

tra accelerazione, spazio percorso e velocita. Considerando

un percorso da xA a xB e tenendo conto che nel caso 1D

vale v2x = v2, questa relazione puo essere riscritta, previa

moltiplicazione per la massa m di P, come

1

2m v2

B −1

2m v2

A = m ax (xB − xA) . (33)

26

Nella (33) il termine m ax puo essere interpretato grazie al

II Principio come la componente x della risultante R delle

forze applicate su P e, quindi, vista la definizione (28) e

considerato il fatto che la situazione considerata e 1D, si

puo interpretare l’intero termine m ax (xB − xA) come il

lavoro eseguito dalla risultante R (costante !) su P nel suo

spostamento da A a B. Le conclusioni tratte dalla (33)

sono applicabili ad un contesto piu generale del caso 1D

qua richiamato.Si puo enunciare il Teorema dell’energia cinetica, denomi-

nato anche Teorema delle forze vive, come segue: il lavoro

della risultante delle forze applicate su P uguaglia la varia-

zione (= incremento) dell’energia cinetica di P. Cioe

L(R)A→B = ∆K = KB −KA , (34)

27

dove la quantita K e definita da

K =1

2m v2 (35)

e viene chiamata energia cinetica della massa m. E il lavoro

che m puo eseguire arrestandosi. Si ha [K] = J.Come semplice applicazione del teorema ap-

pena enunciato, si considera il punto mate-

riale P di massa m che, sotto l’azione del suo

peso m g, passa dalla quota zA alla quota zB.

Si ottiene

1

2m v2

B −1

2m v2

A = −m g (zB − zA) , (36)

il che implica vB < vA. Dalla (36) si ha zB = zA +v2A−v

2B

2g e,

quindi, (zB)max = zA +v2A

2 g per vB = 0.

28

FORZE CONSERVATIVE

Una forza e una forza conservativa quando il lavoro che essa

esegue nello spostamento del suo punto di applicazione dal

punto A al punto B dipende solo dalle coordinate di A e di

B, ma non dal percorso seguito.

In questi casi esiste una funzione del posto U = U(r), detta

energia potenziale, la cui diminuzione da il lavoro eseguito

dalla forza conservativa. Per la forza F conservativa vale

L(F)A→B =

∫ BA

F · dr = UA − UB = −∆U , (37)

dove U e l’energia potenziale di F ed il termine UA − UB =

U(rA) − U(rB) rappresenta la diminuzione subita da U nel

passaggio da A a B. Si ha [U ] = J.29

In linea di principio le forze conservative rappresentano un

mezzo per effettuare investimenti energetici in quanto se

eseguiamo un lavoro positivo contro una forza conservativa,

detto lavoro viene immagazzinato sotto forma di energia

potenziale e possiamo successivamente recuperarlo.

Questo punto di vista conduce ad un’intuitiva definizione di

energia potenziale. Sia F una forza conservativa e sia F∗ =

−F la forza che applichiamo per contrastare F. Si arriva

alla seguente definizione di incremento di energia potenziale,

equivalente alla (37),

UB − UA = −∫ BA

F · dr =∫ BA

F∗ · dr = L(F∗)A→B . (38)

La (38) dice che l’incremento di U e uguale all’investimento

energetico L(F∗)A→B che abbiamo eseguito.

30

Nel caso in cui si considera come forza conservativa il peso

m g della massa m, la forza che noi dobbiamo applicare ad

m per contrastare il peso e F∗ = −m g = −m (−g) k = m g k

(k = versore dell’asse z, orientato verso l’alto). In questo

caso la (38) diventa

UB − UA =∫ zBzA

m g dz = m g zB −m g zA , (39)

da cui discende la seguente espressione per l’energia poten-

ziale gravitazionale di m

U(z) = m g z asse z rivolto verso l′alto . (40)

Anche la forza di richiamo di una molla e conservativa. La

corrispondente energia potenziale, grazie alla (31), vale

U(x) =1

2k (∆x)2 =

1

2k (x− x0)2 . (41)

31

CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA

L’applicazione del teorema dell’energia cinetica al caso in

cui sulla massa m agisce il peso ha portato alla relazione

1

2m v2

B −1

2m v2

A = −m g (zB − zA) (42)

che puo essere riscritta come

1

2m v2

A +m g zA =1

2m v2

B +m g zB . (43)

Questa, usando le definizioni di energia cinetica e potenziale

K =1

2m v2 ; U(z) = m g z , (44)

diventa

KA + UA = KB + UB . (45)

32

Questa relazione stabilisce nel caso delle forze gravitazionali

il principio della conservazione dell’energia meccanica, prin-

cipio la cui validita e ampiamente estendibile a moltissime

situazioni.

Per un punto materiale P si definisce energia meccanica (to-

tale) la quantita

ETOT = K + U , (46)

somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale di P.

Qualora su P agiscono esclusivamente forze conservative, si

e in grado di affermare che l’energia meccanica (totale) di P

si conserva durante il suo moto, purche nell’energia poten-

ziale U della (46) vengano sommate tutte le energie poten-

ziali associate a tutte le forze (conservative !) agenti su

P.33

In presenza di vincoli fermi e lisci (senza attrito), sul punto

materiale agiscono anche forze normali (esempio: reazione

normale N del piano inclinato) le quali non eseguono lavoro.

La loro presenza puo essere ignorata nel calcolo di ETOT .Pertanto, nel caso su P agiscano solo forze conservative, la

conservazione dell’energia meccanica totale di P quando P

passa da A a B si scrive

∆ETOT = ETOTB −ETOTA = 0 → ETOTA = ETOTB . (47)

Se entrano in gioco anche forze non conservative, l’ener-

gia meccanica di P non si conservera, ma si trasformera in

altre forme di energia di tipo non meccanico. Una serie di

passaggi riportati nelle slides successive porta alla relazione

L(n.c.)A→B = ∆ETOT = ETOTB − ETOTA , (48)

dove L(n.c.)A→B e il lavoro delle forze non conservative.

34

NON CONSERVAZIONE DI ETOT

Nell’enunciato del Teorema delle forze vive

L(R)A→B = ∆K = KB −KA , (49)

il lavoro L(R)A→B della risultante R delle forze agenti su P puo

essere scritto come somma di due contributi

L(R)A→B = L

(c.)A→B + L

(n.c.)A→B , (50)

uno dovuto alle forze conservative e l’altro dovuto alle forze

non conservative. Si puo scrivere quindi

L(n.c.)A→B = KB −KA − L

(c.)A→B . (51)

35

Applicando la definizione di energia potenziale alla parte con-

servativa Rc. della risultante delle forze su P si ottiene

L(c.)A→B =

∫ BA

Rc. · dr = UA − UB = −∆U , (52)

dove con U s’intende la somma delle energie potenziali re-

lative a tutte le forze conservative agenti su P (l’energia

potenziale globale dovuta a tante forze conservative e la

somma di tutte le singole energie potenziali dovute ad ogni

singola forza conservativa).

Usando la (51) e la (52) si arriva a

L(n.c.)A→B = KB −KA + UB − UA = ETOTB − ETOTA , (53)

che coincide con la (48).

36

CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA

NEL SISTEMA MASSA + MOLLA

Si e visto che il sistema massa+molla va incontro a moto

oscillatorio dove l’elongazione della molla (∆x)(t) = x(t)−x◦segue la legge oraria

(∆x)(t) = α cos(ω t) + β sin(ω t) . (54)

Al tempo t = 0 si ha

(∆x)(0) = α e v(0) =

d(∆x)(t)

dt

t=0

= β ω . (55)

Considerata la definizione di energia potenziale elastica

U =1

2k (∆x)2 , (56)

37

l’energia meccanica del sistema massa+molla diventa

ETOT =1

2m v2(t) +

1

2k (∆x)2(t) . (57)

Questa quantita si conserva durante le oscillazioni ed e

uguale al valore che essa assume al tempo t = 0. Consi-

derate le (55), la quantita ETOT , costante durante il moto,

puo essere scritta anche come

ETOT =1

2m v2(0)+

1

2k (∆x)2(0) =

1

2m β2 ω2+

1

2k α2 . (58)

Ricordando che vale ω =√km, la (58) diventa ETOT =

12 k (α2 + β2). Questa espressione per la costante del moto

energia meccanica totale del sistema massa+molla dimostra

che l’ampiezza delle oscillazioni del moto armonico e data

[vedi (56)] da√α2 + β2.

38

39

POTENZA

Se la forza F esegue il lavoro ∆L in un tempo ∆t, si definisce

la potenza P (media) erogata da F come

P =∆L

∆t. (59)

Restringendo opportunamente la base di tempo su cui si

fa il calcolo, si puo arrivare ad una definizione di potenza

istantanea. Se il lavoro e fatto dalla forza F applicata su

un punto materiale animato dalla velocita v, allora si puo

scrivere dL = F · dr = F · v dt (vedere appunti sul lavoro) e

quindi la potenza istantanea P erogata da F diventa

P =F · dr

dt=

F · v dt

dt= F · v . (60)

40

Nel caso in cui P indichi la potenza di R, la risultante appli-

cata al punto materiale (P = R · v), si conclude che il moto

e accelerato se P > 0 (a · v > 0, l’energia cinetica K sta

crescendo) e decelerato se P < 0 (a ·v < 0, l’energia cinetica

K sta diminuendo).La potenza e misurata in Watt = Joule/secondo ([P ] =

W ). Dalla definizione (59) di potenza discende che una

potenza costante P applicata per un tempo ∆t corrisponde

all’erogazione di un’energia P ∆t. Ne deriva la familiare

(non SI) unita di misura Wh con i relativi multipli (kWh).

Si ha 1 kWh = 3600 s 103 W = 3.6 MJ.Esercizio - Determinare la forza propulsiva applicata dalle

eliche ad un motoscafo che viaggia a 25 km/h sapendo che

il motore eroga una potenza P = 70 kW con un rendimento

ai fini della propulsione del 75%.41