MECCANICA RAZIONALE - Dipartimento di Matematicaponno/docs/MeccRaz/NOTE_MR.pdf · La nozione piu...

Note per il corso di

MECCANICA RAZIONALE—————A.A. 2014/2015

A. Ponno

28 gennaio 2015

Indice

1 Principi della meccanica newtoniana 5

1.1 Concetti di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Principi della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Esempi di dinamica del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1 Punto materiale non soggetto a forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.2 Punto materiale nel campo di gravita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.3 Particella carica in un campo elettrico uniforme e costante . . . . . . . . 13

1.3.4 Punto attaccato ad una molla ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.5 Particella carica in un campo magnetico uniforme e costante . . . . . . . 15

2 Introduzione ai vincoli 19

2.1 Meccanica del punto vincolato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Attrito statico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Attrito dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4 Reazioni nei punti di “fissaggio” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5 Reazioni in punti mobili di ancoraggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6 Reazioni di appoggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie 27

3.1 Concetti di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.1 Equazioni del primo ordine: n = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1.2 Equazioni del secondo ordine: n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 EDO lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.1 Proprieta generali delle EDO lineari a coefficienti costanti . . . . . . . . . 31

3.2.2 Soluzione generale dell’omogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.3 Oscillatore armonico smorzato e forzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.4 Battimenti e risonanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 Oscillazioni di sistemi di punti materiali 39

4.1 Piccoli spostamenti di sistemi di punti attorno all’equilibrio . . . . . . . . . . . . 39

4.2 Studio di un caso “semplice” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3

4 INDICE

5 Equazioni cardinali 455.1 Prima equazione cardinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2 Seconda equazione cardinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.3 Uso delle equazioni cardinali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.4 Equazioni cardinali della statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.5 Sistemi di forze applicate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.6 Solidi in appoggio ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6 Geometria delle masse I: baricentro 596.1 Proprieta di composizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.2 Simmetria materiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7 Lavoro ed energia 637.1 Teorema dell’energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637.2 Forze conservative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.3 Vincoli ideali: principio dei lavori virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8 Cinematica relativa e rigida 698.1 Legge di Newton in un sistema non inerziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698.2 Forze apparenti e loro effetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738.3 Cinematica rigida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

8.3.1 Moto rigido libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758.3.2 Moto rigido con punto fisso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

8.4 Forma e proprieta della matrice di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

9 Geometria delle masse II: momenti di inerzia 839.1 Teorema di Huygens-Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 839.2 Simmetrie materiali e assi principali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 849.3 Corpi piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 859.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Capitolo 1

Principi della meccanica newtoniana

1.1 Concetti di base

La meccanica Newtoniana e la scienza che studia il movimento dei corpi quando siano specificatele interazioni tra di essi. La nozione piu elementare di corpo e quella di punto materiale .Per punto materiale si intende un qualsiasi corpo le cui dimensioni siano trascurabili (cioesignificativamente piu piccole) rispetto a quelle caratteristiche del problema. Ad esempio, unanave in mezzo al mare puo essere (e di fatto viene) considerata un punto materiale se si devedeterminare la sua posizione, posizione che viene concretamente determinata tramite GPSda due numeri: la latitudine e la longitudine. Chiaramente, la stessa nave non puo esseretrattata come un punto materiale durante le manovre in porto. Allo stesso modo, i corpi celestisoggetti alla legge di gravitazione newtoniana possono essere trattati come puntiformi se si vuolecaratterizzarne il moto orbitale (ad esempio il moto di rivoluzione della terra intorno al sole odella luna intorno alla terra; notare che le orbite ellittiche nei due casi hanno semiassi maggiorimolto piu grandi dei raggi dei corpi coinvolti). D’altra parte, se ad esempio si vogliono studiarele maree terrestri (dovute all’azione gravitazionale congiunta di Luna e Sole sulla Terra), laTerra deve essere trattata come uno sferoide fluido, sebbene il fenomeno fisico sia dovuto allastessa legge di gravitazione che causa i moti orbitali.

I corpi (approssimabili o meno come punti materiali) sono caratterizzati da alcune grandezzefisiche intrinseche, fondamentali nella determinazione del moto del punto stesso. La prima e piuimportante di queste e la massa , definita da Newton stesso1 come la quantita di materia in essocontenuta. Di fatto una tale definizione non spiega cosa e la massa, ma solo cosa e il rapportotra le masse di due corpi. Oggi sappiamo che la materia ha struttura discreta ed e costituita,nello stato ordinario (cioe aggregato: solido liquido o gassoso), da atomi e/o da molecole, chesono aggregati di atomi. L’atomo a sua volta ha una struttura semplice: un nucleo centralecostituito da protoni e neutroni “circondato” da tanti elettroni quanti sono i protoni nel nucleo.La massa di un elettrone e di circa 10−27 grammi, quella del protone e del neutrone e tre ordinidi grandezza maggiore, circa 10−24 grammi. Ne segue che la massa degli atomi, delle molecolee dei corpi macroscopici e determinata quasi interamente dalla somma delle masse dei protonie dei neutroni contenuti nei nuclei degli atomi costituenti. Dunque una moderna definizione di

1“Principi Matematici di Filosofia Naturale”, parte generale, Definizione I.

5

6 CAPITOLO 1. PRINCIPI DELLA MECCANICA NEWTONIANA

massa richiede di spiegare cosa e la massa delle particelle elementari e perche alcune particellehanno massa e altre no. Tali quesiti sono oggetto di ricerca attuale nella fisica delle particelleelementari2. Un’altra proprieta intrinseca delle particelle elementari e quindi di tutti i corpie la carica elettrica . La carica di un corpo e determinata dalla somma (con segno) dellecariche della particelle elementari che lo costituiscono. In particolare, gli elettroni hanno caricanegativa −e e i protoni hanno carica +e, mentre i neutroni hanno carica elettrica nulla. Dunquegli atomi sono globalmente neutri, cosı come le molecole. I corpi macroscopici, a meno che nonsiano soggetti a trasferimenti di cariche elettriche in eccesso o difetto, sono globalmente neutri,con buonissima approssimazione. Questa e la ragione per cui a livello macroscopico l’interazioneelettrostatica “a distanza” tra i corpi e normalmente irrilevante rispetto a quella gravitazionale(si sottolinea “a distanza” perche nel caso di contatto tra corpi le interazioni elettrostatichedanno luogo a forze macroscopicamente rilevanti; vedi piu avanti). Cosa sia la carica elettrica,perche alcune particelle hanno carica e altre no, perche la carica occorra in natura solo inmultipli di carica dell’elettrone o frazioni specifiche di questa sono di nuovo quesiti oggetto diricerca attuale nella fisica delle particelle elementari.

La posizione di un punto materiale che si muove nello spazio euclideo D-dimensionale ED(D = 1, 2, 3) e data assegnando una funzione γ : t 7→ ~x(t) che ad ogni istante di tempo t chevaria in un dato intervallo reale associa il vettore ~x(t) ∈ ED, posizione del punto al tempot. Tale funzione e detta “curva” nello spazio D-dimensionale. In meccanica ci si riferisce atale curva anche come alla “legge oraria” del punto. La curva γ e detta regolare se tutte lecomponenti del vettore ~x(t) sono regolari, ad esempio almeno derivabili una o due volte concontinuita. La velocita media del punto tra gli istanti di tempo t e t + ∆t e definita dallaformula

∆~x

∆t≡ ~x(t+ ∆t)− ~x(t)

∆t.

E naturale allora considerare il limite di tale espressione per ∆t→ 0 che, se esiste, definisce lavelocita (istantanea) del punto materiale al tempo t:

~v(t) =d~x(t)

dt= ~x(t) ≡ lim

∆t→0

~x(t+ ∆t)− ~x(t)

∆t. (1.1)

Si osservi che ~v, d~x/dt e ~x sono tutte notazioni equivalenti per la stessa quantita, definita come illimite della velocita media. Si vede facilmente che il vettore ~v(t), se non e identicamente nullo, etangente alla curva γ nel punto ~x(t). Concretamente, il calcolo di ~v(t) si effettua per componenti.Infatti, in dimensione D = 3 ad esempio, poiche ~x(t) = x1(t)e1+x2(t)e2+x3(t)e3 =

∑3j=1 xj(t)ej

(e1, e2 ed e3 sono i versori della base canonica di E3), si ha

~v(t) =3∑j=1

lim∆t→0

∆xj(t)

∆tej =

3∑j=1

xj(t)ej =

x1(t)x2(t)x3(t)

.

Si procede analogamente in dimensione D = 2, 1. In questo modo, data la curva γ, resta definitaun’altra funzione a valori vettoriali t 7→ ~v(t). Si puo dunque considerare il tasso di variazione

2Vedi ad esempio http://en.wikipedia.org/wiki/Higgs boson; su tale tematica e stato assegnato il premioNobel per la Fisica nel 2013.

1.1. CONCETTI DI BASE 7

istantanea della velocita, cioe l’accelerazione (istantanea) del punto materiale al tempo t:

~a(t) =d~v(t)

dt= ~v(t) ≡ lim

∆t→0

~v(t+ ∆t)− ~v(t)

∆t.

Si faccia caso alle notazioni equivalenti che verrano usate per indicare l’accelerazione: ~a, d~v/dt,~v o, con riferimento alla posizione: d2~x/dt2 e ~x.

Esempio 1.1. Moto rettilineo uniforme: ~x(t) = ~x0 + ~v0t, con ~x0 e ~v0 vettori costanti (indi-pendenti dal tempo). In questo caso si vede facilmente (farlo e convincersene in tutti i modipossibili) che ~v(t) = ~v0, cioe la velocita istantanea del punto e indipendente dal tempo e pari a~v0. Inoltre ~a(t) = ~0, cioe l’accelearazione e identicamente nulla. Vedremo che tale tipo di motocaratterizza la dinamica dei punti materiali isolati rispetto a particolari sistemi di riferimento.

Esempio 1.2. Moto uniformemente accelerato: ~x(t) = ~x0+~v0t+12~a0t

2, con ~x0, ~v0 e ~a0 costanti.In questo caso si verifica facilmente (farlo) che ~v(t) = ~v0+~a0t e cioe la velocita varia linearmentenel tempo. L’accelerazione e invece ~a(t) = ~a0, cioe costante. Vedremo che compie questo tipodi moto un punto materiale nel campo di gravita oppure un punto materiale carico in un campoelettrico uniforme e costante.

Esempio 1.3. Moto elicoidale:

~x(t) =

x1(t)x2(t)x3(t)

=

R cos(ωt)R sin(ωt)

v0t

.

Si noti che la proiezione del moto sul piano x1, x2 e di tipo circolare uniforme: x21(t)+x2

2(t) = R2

e l’angolo θ(t) = ωt avanza a velocita costante, perche θ = ω; il periodo di tale moto circolare e2π/ω. La proiezione del moto lungo l’asse x3 e invece di tipo rettilineo uniforme: x3(t) = v0t,x3 = v0. Dunque il punto materiale gira attorno all’asse x3 mentre sale con velocita costante,percorrendo un’elica di passo x3(2π/ω)−x3(0) = 2πv0/ω. La velocita e l’accelerazione del motoelicoidale sono rispettivamente

~v(t) =

−ωR sin(ωt)ωR cos(ωt)

v0

,

~a(t) =

−ω2R cos(ωt)−ω2R sin(ωt)

0

.

Si noti che la proiezione di ~v sul piano x1, x2 e ortogonale alla proiezione della posizione ~x,mentre la proiezione dell’accelerazione ~a e antiparallela a quest’ultima. Si muove di motoelicoidale una particella carica in un campo magnetico uniforme e costante.


1.2 Principi della dinamica

Nel seguito per sistema di riferimento si intendera un sistema di coordinate fissato, tipicamentesolidale a qualche corpo, che serva a misurare la posizione dei punti materiali nello spazio fisico.Si noti che nella pratica, non sempre tale sistema e costituito da una terna di assi mutuamenteortogonali. Ad esempio, per misurare la posizione di un punto (aereo, satellite ecc..) rispettoalla Terra si usa un sistema di linee coordinate ortogonali ma curvilinee: la latitudine, lalongitudine e l’altitudine o quota (fare un disegno e rendersene conto).

I Principi della dinamica del punto materiale e dei sistemi di punti materiali, che vengonoenunciati e commentati nel seguito, sono le ipotesi fondamentali alla base di tutta la meccanicae poggiano tutti, in ultima analisi, su evidenze sperimentali.

Principio 1 (principio di inerzia). Esiste almeno un sistema di riferimento rispetto al qualeun punto materiale isolato ha accelerazione nulla.

Un modo equivalente di formulare il precedente Principio e di dire che esiste un riferimentoprivilegiato nel quale un punto isolato persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineouniforme. Abbiamo visto sopra che i moti rettilinei uniformi hanno accelerazione nulla; vedremosotto che vale anche il viceversa: i moti con accelerazione nulla sono rettilinei uniformi.

Per punto isolato si immagina, a livello ideale, di avere un solo punto nell’Universo. Inpratica si considera un oggetto sufficientemente lontano da altri oggetti o sistemi con i quali essopossa interagire. Un buon esempio e quello di un satellite per esplorazioni spaziali che viaggianello spazio vuoto, lontano da eventuali corpi celesti. In tale caso il riferimento privilegiato inquestione e quello solidale con le stelle molto lontane, le cosı dette “stelle fisse”.

Osserviamo che se esiste un riferimento privilegiato che soddisfa il primo Principio, allorane esistono infiniti: tutti quelli che si muovono di moto rettilineo e uniforme rispetto ad esso.Infatti, se S e il sistema privilegiato ed S ′ e un sistema che si muove di moto rettilineo uniformerispetto ad S con velocita ~v0 costante e arbitraria, allora le posizioni ~x(t) rispetto ad S e ~x′(t)rispetto ad S ′ di un punto materiale sono legate tra loro dalla relazione

~x′(t) = ~x(t)− ~v0t (1.2)

(si osservi che, senza perdita di generalita, si scelgono le origini ~0 di S, ~0′ di S ′ e lo zero deitempi in modo tale che ~0 = ~0′ per t = 0). Ne segue, derivando due volte la (1.2), che ~a′ = ~ae dunque se ~a = ~0 anche ~a′ = ~0. La classe di equivalenza dei sistemi che si muovono di motorettilineo e uniforme uno rispetto all’altro e che contiene il sistema privilegiato di cui al primoprincipio e detta classe dei sistemi di riferimento inerziali .

Per un punto materiale non isolato, che sia cioe in presenza di un sistema S di altri puntio corpi estesi, si suppone che l’azione del sistema su di esso si esplichi tramite un vettore ~F chechiamiamo forza esercitata da S sul punto materiale, o piu semplicemente forza agente sulpunto materiale. Tale definizione di forza e certamente vaga, ed e completata dal fondamentalePrincipio seguente.

Principio 2 (legge di Newton). In un sistema di riferimento inerziale, un punto materiale di

massa m, non isolato e soggetto ad una forza ~F , si muove secondo la legge

m~a = ~F . (1.3)

1.2. PRINCIPI DELLA DINAMICA 9

In pratica la forza ~F e quel vettore che, se noto, permette di determinare il moto del puntomateriale risolvendo l’equazione (1.3).

Esempio 1.4. Supponiamo che sia assegnata la funzione t 7→ ~F (t), cioe che la forza agente sul

punto sia nota ad ogni istante di tempo. Allora, integrando l’equazione di Newton m~x(t) = ~F (t)rispetto al tempo tra 0 e t si ottiene (verificarlo)

~v(t) = ~v(0) +1

m

∫ t

0

~F (s) ds , (1.4)

e integrando ancora una volta (tra 0 e t) si determina la posizione:

~x(t) = ~x(0) + ~v(0)t+1

m

∫ t

0

∫ s

0

~F (r) dr . (1.5)

Si osservi che nel caso particolare di forza ~F identicamente nulla si ottiene che un punto conaccelerazione nulla si muove di moto rettilineo e uniforme. Se invece ~F e costante si ottieneun moto uniformemente accelerato (verificare).

In generale la forza ~F non e nota come funzione del tempo, ma, tipicamente, e nota la suadipendenza dalla posizione, dalla velocita del punto e dal tempo. In tale caso l’equazione diNewton (1.3) non si risolve banalmente come nell’esempio precedente con due integrazioni.

Una volta stabilite le prime ipotesi di lavoro per la dinamica di un singolo punto materiale,si deve passare a considerare i sistemi di punti materiali. Il caso interessante piu elementaree ovviamente quello di un sistema isolato costituito da due punti materiali P e Q di massarispettivamente mP ed mQ in un sistema di riferimento inerziale. Dal secondo Principio segueche per entrambi i punti deve valere la legge di Newton (1.3), ovvero

mP~aP = ~FPQmQ~aQ = ~FQP

, (1.6)

dove ~FPQ e la forza che Q esercita su P , mentre ~FQP e la forza che P esercita su Q. L’ipotesi dilavoro fondamentale, contenuta nel Principio che segue, e che le due forze non possono essereindipendenti.

Principio 3 (principio di azione e reazione). Dati due punti materiali isolati P e Q, in unsistema di riferimento inerziale, la forza che Q esercita su P e uguale e contraria alla forzache P esercita su Q, ed e diretta lungo la retta per P e Q, cioe:

1. ~FPQ = −~FQP ;

2. ~FPQ ‖−→PQ.

Il terzo Principio della dinamica, appena formulato, si basa sul fatto che le due propireta chelo caratterizzano sono verificate dalle due forze fondamentali che agiscono su corpi massivi e/ocarichi, cioe la forza di attrazione gravitazionale (scoperta da Newton) e la forza di interazioneelettrostatica (scoperta da Coulomb). Infatti, dati due punti materiali P e Q di massa mP ed


mQ, carica qP e qQ, e posizione ~xP e ~xQ, la forza di attrazione gravitazionale che Q esercita suP e data da

~F(gr)PQ = −G mPmQ

|~xP − ~xQ|3(~xP − ~xQ) , (1.7)

dove G e una costante, detta “costante di gravitazione universale”, il cui valore dipende dalsistema di unita di misura. La forza elettrostatica che Q esercita su P e invece data da

~F(el)PQ = k

qP qQ|~xP − ~xQ|3

(~xP − ~xQ) , (1.8)

dove anche k e una costante dipendente dalle unita di misura scelte. Si noti che la forza(1.8) e repulsiva per cariche di segno uguale (qP qQ > 0) e attrattiva per cariche di segnoopposto (qP qQ < 0). Osserviamo che le altre due interazioni fondamentali note in Natura,ovvero l’interazione nucleare debole (responsabile di alcuni fenomeni radioattivi) e quella forte(responsabile della struttura interna dei protoni e dei neutroni e della coesione nucleare), sonosostanzialmente non modellizabili in termini di forze, nonche irrilevanti al livello macroscopicodi cui si occupa la meccanica classica.

Una volta stabilite le ipotesi relative alle coppie di punti, si deve passare a trattare i sistemiisolati costituiti da n (≥ 2) punti materiali. In questo caso sappiamo che per ogni punto delsistema vale la legge di Newton (1.3). Dunque

mi~ai = ~Fi , i = 1, 2 . . . , n , (1.9)

ovvero, per esteso, m1~a1 = ~F1

m2~a2 = ~F2...

mn~an = ~Fn

(1.10)

(si noti che in questo caso i punti materiali del sistema in esame sono numerati da 1 a n). La

seguente ipotesi sulla forma della forza ~Fi esercitata sull’i-esimo punto dai rimanenti n− 1 hacarattere essenzialmente sperimentale.

Principio 4 (principio di sovrapposizione delle forze). In un sistema di riferimento inerziale,dato un sistema isolato costituito da n punti materiali, la forza cha agisce sull’i-esimo punto ela somma delle forze che ognuno dei restanti n− 1 punti esercita su di esso:

~Fi =n∑j=1j 6=i

~Fij , (1.11)

dove ognuna delle ~Fij (la forza che il j-esimo punto esercita sull’i-esimo) soddisfa il principio

di azione e reazione: ~Fij = −~Fji e ~Fij ‖ ~xi − ~xj.

Dunque nei sistemi isolati i punti materiali interagiscono a coppie.

1.2. PRINCIPI DELLA DINAMICA 11

Esempio 1.5. Le equazioni di Newton per il sistema “Terra”, “Luna”, “Sole”, pensato comeisolato, sono

mT~aT = −GmTmS~xT−~xS|~xT−~xS |3

−GmTmL~xT−~xL|~xT−~xL|3

mL~aL = −GmLmS~xL−~xS|~xL−~xS |3

−GmLmT~xL−~xT|~xL−~xT |3

mS~aS = −GmSmT~xS−~xT|~xS−~xT |3

−GmSmL~xS−~xL|~xS−~xL|3

.

Una ulteriore ipotesi sulla struttura delle forze nei sistemi isolati e la seguente.

Principio 5 (principio di determinismo newtoniano). In un sistema di riferimento inerziale, leforze agenti su ciascuno dei punti materiali di un sistema isolato sono funzioni note delle posi-zioni e delle velocita di tutti i punti del sistema, ed eventualmente del tempo, e non dipendonoda derivate della posizione di ordine maggiore o uguale al secondo:

~Fi = ~Fi(~x1, . . . , ~xn;~v1, . . . , ~vn; t) .

Questa ipotesi, in linguaggio moderno, equivale ad assumere che, nota la dipendenza delleforze dai suoi argomenti, le equazioni di Newton mi~ai = ~Fi, i = 1, . . . , n, costituiscono unsistema di equazioni differenziali ordinarie che puo essere risolto in linea di principio per deter-minare la posizione di tutti i punti del sistema a qualsiasi istante di tempo, futuro o passato, sesono assegnate le posizioni e le velocita di tutti i punti ad un fissato istante di tempo. Per capirefacendo un esempio, si consideri in dimensione uno l’equazione mx = f(x, x, t). Supponiamonote le quantita x(0) ≡ x0 e x(0) ≡ v0. Allora, se t e sufficientemente piccolo, si puo espanderex(t) ad un ordine finito qualsiasi, ottenendo

x(t) = x0 + v0t+1

mf(x0, v0, 0)t2 +

1

m

[fx(x0, v0, 0)v0 +

+1

mfv(x0, v0, 0)f(x0, v0, 0) + ft(x0, v0, 0)

]t3 +O(t4) . (1.12)

Dunque la sola conoscenza di posizione e velocita iniziali e l’uso ripetuto dell’equazione per il cal-colo delle derivate successive sono sufficienti per calcolare la posizione ad un istante precedenteo successivo vicino a quello iniziale.

L’ulteriore ipotesi sulla struttura delle forze in sistemi isolati riguarda le proprieta diinvarianza rispetto a certe trasformazioni.

Principio 6 (principio di relativita galileiana). Dato un sistema isolato di n punti materiali

in un sistema di riferimento inerziale, le sue equazioni di Newton mi~ai = ~Fi sono invariantirispetto alle seguenti trasformazioni:

1. ~xi 7→ ~xi + ~ξ (i = 1, . . . , n), per ogni ~ξ (traslazione spaziale arbitraria);

2. ~xi 7→ R~xi (i = 1, . . . , n), per ogni matrice di rotazione R (rotazione spaziale arbitraria);

3. t 7→ t+ t0, per ogni t0 (traslazione temporale);

4. ~xi 7→ ~xi − ~V t, per ogni ~V (cambio di sistema di riferimento inerziale).


Si puo dimostrare che una conseguenza di tale Principio e che le forze ~Fi possono dipenderesolo dalle mutue differenze delle posizioni e delle velocita dei punti materiali e non possonodipendere esplicitamente dal tempo.

Un buon modello di forza tra due punti, che tenga conto anche del terzo e del quartoPrincipio, enunciati sopra, e il seguente:

~Fij = Φ(|~xi − ~xj|)(~xi − ~xj) ,

dove Φ(s) e una assegnata funzione di una variabile reale. Si osservi che in tutti gli ambiti dellafisica della materia non si usano mai forze di coppia dipendenti dalle velocita.

Esercizio 1.1. Si consideri l’equazione di Newton per un punto materiale:

m~x = ~F (~x, ~x, t) .

Si mostri che il sesto Principio implica, in questo caso, ~F = 0 identicamente, in accordo con ilprimo Principio (capire bene perche).

1.3 Esempi di dinamica del punto

Vediamo ora alcuni esempi di dinamica del singolo punto materiale.

1.3.1 Punto materiale non soggetto a forze

In questo caso ~F = ~0 identicamente e l’equazione di Newton e m~a = ~0, ovvero il punto haaccelerazione identicamente nulla. Questo e un caso particolare del caso generale (1.4)-(1.5)

con forza ~F (t) assegnata. Ponendo in tali formule ~F = ~0 (ovvero integrando due volte rispettoal tempo) si ottiene ~v(t) = ~v(0) e ~x(t) = ~x(0) + ~v(0)t, cioe il punto si muove di moto rettilineouniforme.

1.3.2 Punto materiale nel campo di gravita

.In approssimazione di terra piatta, la forza di gravita agente su un punto materiale e uni-

forme e costante, diretta verso il basso: ~F = −mgez, essendo g l’accelerazione di gravita e ez ilversore dell’asse z (cioe dell’asse (O, ez)). L’equazione di Newton corrispondente, che descrive ilmoto di un proiettile o di un qualsiasi oggetto in caduta libera, quando si trascuri la resistenzadell’aria, e m~a = −mgez, ovvero ~a = −gez, cioe il moto ha accelerazione uniforme e costante.Anche questo e un caso particolare di (1.4)-(1.5). Inserendo in tali formule ~F = −mgez siottiene ~v(t) = ~v(0)− gezt e

~x(t) = ~x(0) + ~v(0)t− gezt2

2. (1.13)

Dunque si ha un moto uniformemente accelerato. Si noti che la proiezione del moto sul piano(x, y) e di tipo rettilineo uniforme. Infatti, scrivendo la (1.13) per componenti e raccogliendo,

1.3. ESEMPI DI DINAMICA DEL PUNTO 13

si ha x(t)y(t)z(t)

=

x(0) + vx(0)ty(0) + vy(0)t

z(0) + vz(0)t− g t22

. (1.14)

Nel caso vx(0) = vy(0) = 0 il moto e rettilineo (non uniforme ovviamente), e si svolge lungouna retta parallela all’asse z. Se almeno una delle due componenti x o y della velocita inizialee diversa da zero, allora il punto si muove lungo un arco di parabola. Infatti, se vx(0) 6= 0,si puo sempre pensare di spostare l’origine delle coordinate in modo da farla coincidere con laposizione iniziale del punto, cosı che x(0) = y(0) = z(0) = 0. Inoltre, si possono ruotare gliassi coordinati in modo che vy(0) = 0. Allora dalla (1.14), prima componente, si puo ricavareil tempo in funzione della x, t = x/vx(0), e sostituirlo nell’ultima componente, ottenendo

z =vz(0)

vx(0)x− g

2v2x(0)

x2 ,

che e l’equazione di una parabola nel piano (x, z).

1.3.3 Particella carica in un campo elettrico uniforme e costante

Un punto materiale dotato di carica elettrica q, sotto l’azione di un campo elettrico uniforme ecostante ~E0, e soggetto ad una forza q ~E0. L’equazione di Newton corrispondente e m~a = q ~E0.Questo e ancora un caso particolare di (1.4)-(1.5). Essendo la forza (e quindi l’accelerazione)uniforme e costante, come nel caso gravitazionale si avra un moto uniformemente accelerato,con traiettoria parabolica. Sostituendo ~F = q ~E0 in (1.4) e (1.5) si ottiene ~v(t) = ~v(0) + q

m~E0t e

~x(t) = ~x(0) + ~v(0)t+q

2m~E0t

2 .

1.3.4 Punto attaccato ad una molla ideale

Si consideri un punto materiale P di massa m attaccato all’estremo libero di una molla; l’altroestremo della molla e fissato all’origine O degli assi. Se ~xP indica la posizione del punto P ,allora la forza a cui e soggetto il punto e data da

~F =

−k(|~xP | − `)xP , |~xP | > ξc(+∞)xP , |~xP | ≤ ξc

(molla “reale”) . (1.15)

Qui k e la costante elastica della molla, ` e la lunghezza di riposo della molla, mentre ξc(< `)denota la lunghezza di compressione massima, data dal numero di spire per lo spessore del filocon il quale e realizzata la molla. Secondo la legge (1.15), una molla compressa in modo daavere una lunghezza minore di ξc esercita sull’estremo P una forza repulsiva idealmente infinita,il che indica che e impossibile comprimerla ulteriormente (nella pratica questo e possibile, acosto pero di deformare la molla stessa). Naturalmente una molla reale non puo neanche essereallungata arbitrariamente. Oltre una certa lunghezza di trazione massima (non prevista nella(1.15)) la molla prima oppone una resistenza molto alta ad un ulteriore allungamento, poi sideforma e infine si rompe, tutto cio dipendentemente dalle sue caratteristiche tecniche. Nel


seguito tutti questi effetti verranno trascurati. Inoltre, si supporra quasi sempre di avere a chefare con molle ideali, per le quali si suppone nulla la lunghezza di riposo, ponendo, per il puntomateriale P attaccato al suo estremo libero, una legge di forza della forma

~F = −k~xP (molla ideale) . (1.16)

Nel caso di due punti materiali P e Q connessi da una molla ideale di costante k, la forza cheQ esercita su P e data da

~FPQ = −k(~xP − ~xQ) , (1.17)

che si riduce alla (1.16) per ~xQ = ~0. Si noti che ~FQP = −~FPQ e che ~FPQ ‖−→QP = ~xP − ~xQ,

ovvero l’interazione dovuta ad una molla ideale verifica il terzo principio.Studiamo dunque la dinamica di un punto materiale di massa m attaccato all’estremo libero

di una molla ideale di costante elastica k, la cui equazione di Newton e m~a = −k~x. Dividendoper m, osservando che il rapporto k/m ha le dimensioni del quadrato di una frequenza (ovverodell’inverso di un tempo al quadrato) e ponendo

ω ≡√k

m, (1.18)

l’equazione ~x = −(k/m)~x = −ω2~x, per componenti, si scrive xyz

=

−ω2x−ω2y−ω2z

⇔

x = −ω2xy = −ω2yz = −ω2z

. (1.19)

Dunque si hanno tre equazioni identiche, ognuna delle quali coinvolge una sola coordinata delpunto materiale: risolta la prima, cioe

x = −ω2x , (1.20)

le altre due si risolvono immediatamente cambiando opportunamente nome alla variabile di-pendente. Vedremo tra poco che l’equazione (1.20), che si chiama equazione dell’oscillatorearmonico, e un’equazione differenziale ordinaria, che si risolve con tecniche note; anticipiamopero qui la sua soluzione in modo intuitivo. Cominciamo col considerare il caso particolareω = 1. Allora l’equazione (1.20) chiede di trovare una funzione t 7→ x(t) tale che la sua derivataseconda sia uguale e opposta alla funzione stessa. Due funzioni che soddisfano tale requisito so-no le funzioni armoniche cos(t) e sin(t), che dunque risultano essere due soluzioni dell’equazione(1.20) con ω = 1. A questo punto osserviamo che cos(ωt) e sin(ωt) soddisfano l’equazione (1.20)per qualsiasi valore di ω. Il passo ulteriore consiste nel notare che una combinazione linearedelle due soluzioni, con coefficienti arbitrari, e ancora una soluzione dell’equazione. Infatti siverifica immediatamente che

d2

dt2[a cos(ωt) + b sin(ωt)] = −ω2[a cos(ωt) + b sin(ωt)] .

In definitiva, una soluzione dell’equazione (1.20) e

x(t) = a cos(ωt) + b sin(ωt) . (1.21)


Ipotizziamo quindi che questa sia la soluzione piu generale possibile dell’equazione (1.20), ov-vero che non esista un’altra funzione di t che ne sia soluzione e sia (linearmente) indipendenteda cos(ωt) e sin(ωt) (in effetti questo si puo dimostrare: provare a cercare una soluzione del-l’equazione (1.20) sotto forma di serie di potenze di t con coefficienti incogniti). Chiamiamodunque la (1.21) soluzione generale dell’equazione dell’oscillatore armonico (1.20), e il moto daessa descritto moto armonico (unidimensionale). Notiamo che essa dipende da due costantiarbitrarie, ovvero dai parametri a e b, e che di fatto non si tratta di “una” soluzione, ma diuna famiglia a due parametri di soluzioni. Il valore effettivo di tali costanti viene univocamentedeterminato dalla specifica delle condizioni iniziali, ovvero dalla posizione e dalla velocita che ilpunto materiale ha ad un dato istante, per esempio t = 0. Siano allora x(0) = x0 e x(0) = v0x

le proiezioni lungo l’asse x della posizione e della velocita iniziali. Dalla (1.21) seguex0 = x(0) = a cos(0) + b sin(0) = a ;v0x = x(0) = −aω sin(0) + bω cos(0) = ωb ,

che determina la soluzione unica del problema ai valori iniziali (o problema di Cauchy) perl’equazione (1.20), cioe

x(t) = x0 cos(ωt) +v0x

ωsin(ωt) . (1.22)

Una volta determinata la x(t) corrispondente ai dati iniziali, la y(t) e la z(t) si scrivonoimmediatamente per analogia, ovvero

y(t) = y0 cos(ωt) +v0y

ωsin(ωt) , (1.23)

z(t) = z0 cos(ωt) +v0z

ωsin(ωt) . (1.24)

In definitiva, la soluzione in forma vettoriale dell’equazione di Newton ~x = −ω2~x e

~x(t) = ~x(0) cos(ωt) +1

ω~v(0) sin(ωt) , (1.25)

che descrive un moto armonico tridimensionale.

1.3.5 Particella carica in un campo magnetico uniforme e costante

In punto materiale dotato di carica elettrica q, sotto l’azione di un campo magnetico uniformee costante ~B0, e soggetto ad una forza ~F = q

c~v × ~B0, che si chiama forza di Lorentz ; c e la

velocita della luce nel vuoto. L’equazione di Newton da risolvere e pertanto m~a = qc~v × ~B0.

Dividendo per m, tenendo conto del fatto che ~a = ˙vecv e scegliendo ~B0 = B0ez (con B0 ≡ | ~B0|),tale equazione si riscrive nella forma

~v = ω ~v × ez , (1.26)

dove si e definita la cosı detta frequenza di ciclotrone

ω ≡ qB0

mc(1.27)


(si osservi che la quantita (1.27) ha le dimensioni dell’inverso di un tempo). Ponendo ~v =vxex + vyey + vz ez e svolgendo il prodotto vettoriale si puo riscrivere la (1.26) per componenti,ovvero vx

vyvz

=

ωvy−ωvx

0

⇔

vx = ωvyvy = −ωvxvz = 0

. (1.28)

Si noti che ora, a differenza del sistema (1.19), le prime due equazioni sono accoppiate e non sipossono risolvere indipendentemente l’una dall’altra. Per contro, la terza equazione e banale eimplica che vz(t) = vz(0), cioe la proiezione del moto lungo z e di tipo rettilineo uniforme. Perrisolvere il sottosistema dato dalle prime due equazioni in (1.28) osserviamo che, derivando laprima equazione rispetto a t e facendo uso della seconda, si ha

vx = ωvy = ω(−ωvx) = −ω2vx .

Dunque vx(t) soddisfa l’equazione dell’oscillatore armonico e di conseguenza deve avere la forma(1.21)

vx(t) = vx(0) cos(ωt) +vx(0)

ωsin(ωt)

(si verifichi la correttezza delle costanti di fronte al coseno e al seno). In quest’ultima espressionesi nota la presenza del dato iniziale vx(0), che apparentemente richiede la conoscenza (dellacomponente x) dell’accelerazione iniziale del punto. In realta questo problema non sussiste:dalla prima delle tre equazioni (1.28) segue che vx(0) = ωvy(0) (l’uguaglianza vale a qualsiasiistante di tempo, quindi in particolare per t = 0). Dunque si ha

vx(t) = vx(0) cos(ωt) + vy(0) sin(ωt) . (1.29)

Procedendo in modo analogo con la seconda equazione in (1.28) (cioe derivando e usando laprima equazione) si trova (verificarlo)

vy(t) = vy(0) cos(ωt)− vx(0) sin(ωt) . (1.30)

Si osservi che la proiezione della velocita sul piano (x, y) ruota con velocita angolare ω:(vx(t)vy(t)

)=

(cos(ωt) sin(ωt)− sin(ωt) cos(ωt)

)(vx(0)vy(0)

)≡ R(ωt)

(vx(0)vy(0)

),

avendo definito la matrice di rotazione R(ωt) (si verifichi che effettivamente detR = 1 e cheRRT = I2, I2 essendo la matrice identita 2 × 2). Si noti che il senso di rotazione e orario seω > 0, ovvero se q > 0 (ad esempio per un protone), e antiorario altrimenti (ad esempio per unelettrone). Riassumendo, la soluzione del sistema (1.28), per componenti, e vx(t)

vy(t)vz(t)

=

vx(0) cos(ωt) + vy(0) sin(ωt)vy(0) cos(ωt)− vx(0) sin(ωt)

vz(0)

.


Volendo calcolare la posizione della particella carica, basta integrare rispetto al tempo le trecomponenti della velocita, tenendo conto del fatto che ~x(t)−~x(0) =

∫ t0~v(s)ds. Per componenti,

si trova allora x(t)y(t)z(t)

=

x(0)y(0)z(0)

+

∫ t

0

vx(s)vy(s)vz(s)

ds =

=

x(0)y(0)z(0)

+

vx(0)ω

sin(ωt)− vy(0)

ωcos(ωt)

vy(0)

ωsin(ωt) + vx(0)

ωcos(ωt)

vz(0)t

+

vy(0)

ω

−vx(0)ω

0

. (1.31)

Si tratta di un moto elicoidale, con asse verticale di equazione x = x(0) + vy(0)/ω e y =y(0)− vx(0)/ω. Per convincersene, si noti che valgono le identita

vx(0)

ωsin(ωt)− vy(0)

ωcos(ωt) = R sin(ωt− φ) ;

vy(0)

ωsin(ωt) +

vx(0)

ωcos(ωt) = R cos(ωt− φ) ,

conR cosφ = vx(0)/ω ; R sinφ = vy(0)/ω ;

in particolare, quadrando e sommando le ultime due relazioni si ottiene

R =

√v2x(0) + v2

y(0)

ω. (1.32)

Allora la (1.31) si riscrive come segue x(t)y(t)z(t)

=

x(0) + vy(0)

ω

y(0)− vx(0)ω

z(0)

+

R sin(ωt− φ)R cos(ωt− φ)

vz(0)t

.

Da qui si vede chiaramente che

x(t)− [x(0) + vy(0)/ω]2 + y(t)− [y(0)− vx(0)/ω]2 = R2 ,

cioe la proiezione della traiettoria descritta dalla particella sul piano (x, y) e una circonferenzadi raggio R centrata nel punto di coordinate x = x(0) + vy(0)/ω, y = y(0)− vx(0)/ω, che sonoquindi le due coordinate dell’asse dell’elica. Il raggio (1.32) dell’elica in questione si chiamaraggio di Larmor.

Capitolo 2

Introduzione ai vincoli

Un vincolo e una restrizione di carattere geometrico sul moto, realizzata da un sistema di forze,dette appunto reazioni vincolari. L’esempio da tenere a mente e quello di un qualsiasi sistemache si muova lungo un piano orizzontale sotto l’azione della gravita. In questo caso la restrizionedi carattere geometrico consiste nel richiedere che il moto abbia luogo lungo il piano, mentrele reazioni vincolari sono date dal sistema di forze che il piano deve esercitare sul sistema perimpedirgli di cadere verso il basso. L’esempio piu semplice e quello di un punto materiale fermosu un piano orizzontale: sul punto agisce la forza peso ~F = −mgz e, affinche resti fermo, enecessaria una forza ~φ = −~F ; diversamente il punto sarebbe soggetto ad una forza totale nonnulla lungo la verticale e accelererebbe di conseguenza, scendendo o salendo rispetto al piano.La cosa importante da tenere a mente, quando si ha a che fare con problemi in presenza divincoli, e che le reazioni vincolari sono incognite del problema, alla pari delle variabilidi posizione del sistema.

Nel seguito ci concentriamo sul caso di un singolo punto materiale, estendendo successiva-mente l’analisi ai casi semplici di sistemi di punti. L’esempio classico e quello di un singolopunto materiale vincolato a muoversi lungo una curva o su di una superficie.

2.1 Meccanica del punto vincolato

L’equazione di Newton per un punto materiale vincolato a muoversi su di una superficie o lungouna curva nello spazio tridimensionale e

m~a = ~F + ~φ , (2.1)

avendo indicato con ~φ la reazione vincolare, ovvero la forza necessaria a tenere il punto at-taccato al vincolo, che nella pratica viene esercitata dal meccanismo con il quale il vincoloviene realizzato (ad esempio il sistema soffitto-tassello-gancio a vite per un oggetto appeso al

soffitto, oppure il sistema terreno-binario per un treno, ecc..). La forza ~F in (2.1) indica invecela forza attiva, ovvero la forza dovuta all’interazione del punto con altri punti o sistemi, e chesarebbe presente anche in assenza del vincolo (ad esempio la forza peso, la resistenza dell’aria,l’eventuale interazione con altri punti realizzata da molle, ecc..).

19

20 CAPITOLO 2. INTRODUZIONE AI VINCOLI

Consideriamo prima il caso di un punto materiale vincolato a muoversi su di una superficie.In questo caso la componente della forza totale ortogonale alla superficie deve essere nulla, inmodo che il punto materiale non possa accelerare ortogonalmente alla superficie stessa:

Fn + φn = 0 . (2.2)

In pratica, si considera il piano tangente alla superficie nel punto geometrico occupato al tempot dal punto materiale, e si considera un vettore ~n ortogonale a tale piano nel detto punto.Allora Fn = ~F · ~n e φn = ~φ · ~n e, di conseguenza, an = ~a · ~n = 0. Si osservi che l’equazione(2.2) non determina a priori la componente ortogonale alla superficie della reazione vincolare.

Infatti, la forza attiva ~F e una funzione vettoriale assegnata della posizione e della velocita delpunto materiale (ed eventualmente del tempo) e tali quantita sono incognite del problema. Perdeterminare queste ultime bisogna risolvere l’equazione di Newton (2.1) proiettata sul pianotangente alla superficie, cioe

m~at = ~Ft + ~φt , (2.3)

dove il pedice t denota proiezione sul piano tangente del vettore a cui si riferisce. Nell’equazione(2.3) compare la componente tangente alla superficie della reazione vincolare, ~φt. Questa ingenerale e una manifestazione dell’attrito da contatto tra punto materiale e superficie vincolaree, come vedremo tra poco, la legge per la sua determinazione e diversa a seconda che si con-sideri il punto fermo oppure in movimento rispetto alla superficie stessa. Il caso piu sempliceda trattare e quello di vincolo ideale, caratterizzato da assenza totale di attrito da contatto,per cui ~φt = ~0. In tale caso l’equazione (2.3) diviene m~at = ~Ft, che si puo risolvere per de-terminare la posizione del punto al variare del tempo. Successivamente si determina il valoredella componente normale Fn della forza attiva e, dalla (2.2) si ottiene φn = −Fn, risolvendocompletamente il problema.

Passiamo a considerare il caso di punto vincolato a muoversi lungo una curva. Qui ilmodo naturale di proiettare le forze e quindi l’equazione di Newton (2.1) e di considerare ilvettore tangente alla curva nel punto geometrico occupato dal punto materiale ad un datoistante, assieme al piano ortogonale alla curva nello stesso punto. Allora il punto materiale nonabbandona la curva se la sua accelerazione ortogonale alla curva stessa e nulla, cioe se

~Fn + ~φn = ~0 . (2.4)

Questa condizione differisce dalla (2.2) per il simbolo di vettore: la proiezione di un vettore suun piano ha due componenti, mentre la proiezione lungo una retta ne ha una. D’altra parte,la proiezione dell’equazione di Newton lungo la curva (cioe il suo prodotto scalare col vettoretangente ~t) e

mat = Ft + φt , (2.5)

dove il pedice t denota componente lungo ~t. Qui, a differenza della (2.3), manca il simbolodi vettore, per lo stesso motivo spiegato sopra. Come nel caso della superficie, la componentetangenziale della reazione φt e dovuta all’attrito da contatto punto-vincolo. Nel caso idealeφt = 0, mat = Ft determina il moto e la (2.4) determina la reazione vincolare. Osserviamo chenel caso di punto vincolato a muoversi su una curva piana vale quanto detto ma il simbolo divettore nella (2.4) sparisce: in questo caso il piano normale alla curva e sostituito da una rettanormale e la (2.4) ha una sola componente.

2.2. ATTRITO STATICO 21

2.2 Attrito statico

Nel caso di vincolo non ideale, in presenza di attrito dovuto al contatto tra punto materiale evincolo materiale, si deve distinguere il caso statico, in cui il punto materiale e fermo rispetto alvincolo (superficie o curva), da quello dinamico, nel quale il punto si muove rispetto al vincolo.Nel caso statico, per un punto materiale vincolato a muoversi lungo una curva e fermo rispettoad essa, vale la seguente legge di Coulomb-Morin dell’attrito statico:

|φt| ≤ fs|~φn| , (2.6)

dove fs e un parametro adimensionale detto coefficiente di attrito statico. Tale coefficientedipende ovviamente dai materiali coinvolti, dalla temperatura, dalla forma dettagliata dellesuperfici a contatto ecc.. Si osservi che, per quanto detto sopra, se la curva e piana il simbolodi vettore che compare a destra nella (2.6) scompare: |φt| ≤ fs|φn|. Nel caso di punto vincolatoa muoversi su una superficie e fermo rispetto ad essa la legge di Coulomb-Morin e sempre dellaforma (2.6), ma per quanto visto sopra il simbolo di vettore passa da destra a sinistra (cioe dalla

componente normale a quella tangenziale della reazione): |~φt| ≤ fs|φn|. Per quanto riguardail valore effettivo di fs, si tenga presente che ad esempio fs = 1 nel caso di contatto gommaasfalto asciutto, mentre fs = 0.7 se l’asfalto e bagnato.

Il tipico problema di statica del punto in presenza di attrito si risolve nel modo seguente. Sela forza attiva che compare nella legge di Newton (2.1) dipende dalla posizione e dalla velocita

del punto, cioe ~F = ~F (~x,~v), si pone in essa ~v = ~0 (il punto e fermo) e si cerano le posizionidel punto che annullano la forza totale, in modo che risulti ~a = ~0, cioe il punto non accelera(quindi resta fermo dov’e). Il problema diventa allora quello di risolvere il sistema di equazioni

~F (~x,~0) + ~φ = ~0 . (2.7)

In dimensione spaziale D, queste sono D equazioni scalari (quante sono le componenti deivettori coinvolti), mentre le incognite sono D + 2 o D + 1 se il punto e vincolato a muoversirispettivamente su una superficie o lungo una curva. Infatti si hanno D componenti dellareazione vincolare incognite, piu due incognite di posizione se il punto si muove su una superficieo piu una se il punto scorre lungo una curva. Dunque il sistema (2.7) contiene piu incogniteche equazioni. D’altra parte la legge di Coulomb-Morin (2.6) aggiunge una disuguaglianza alsistema di equazioni, con l’effetto di non determinare un solo valore (o un insieme discretodi valori) per le posizioni di equilibrio del punto materiale, ma un insieme continuo di valoripossibili.

Proposizione 2.1. Si consideri un punto materiale vincolato a muoversi lungo una curvapiana. Sia s0 un valore di equilibrio ideale dell’ascissa curvilinea che determina la posizionedel punto lungo la curva, con la condizione Fn(s0) 6= 0. Allora, in presenza di un “piccolo”coefficiente di attrito statico (0 < fs 1), si apre attorno ad s0 un piccolo intervallo diposizioni di equilibrio non ideale.

Dimostrazione. L’equazione vettoriale di equilibrio (2.7), nel caso di un punto vincolato amuoversi lungo una curva piana, ha due componenti:

Ft(s) + φt = 0Fn(s) + φn = 0

, (2.8)


dove s denota l’ascissa curvilinea del punto materiale (cioe la lunghezza dell’arco di curva cheha inizio da una origine fissata e termina nella posizione occupata dal punto). Nel caso ideale,senza attrito (fs = 0), si ha φt = 0 e le ascisse di equilibrio sono determinate dalla prima delleequazioni (2.8), cioe Ft(s) = 0, mentre la seconda equazione determina φn. Sia dunque s0 unaascissa di equilibrio ideale, tale che Ft(s0) = 0 e φn = −Fn(s0) 6= 0 (per ipotesi). Passando alcaso non ideale, dalla legge di Coulomb-Morin |φt| ≤ fs|φn|, sostituendo dalle (2.8) si ottiene

|Ft(s)| ≤ fs|Fn(s)| . (2.9)

Si consideri ora un intorno di s0 sull’asse s. Nella (2.9) si afferma che i valori di s compatibilicon l’equilibrio sono quelli per i quali il grafico di |Ft(s)| giace sotto al (o al piu coincido con il)grafico di fs|Fn(s)|. Poice Ft(s0) = 0, il grafico di |Ft(s)| presenta un minimo in s0, di tipo puntoangoloso nel caso di zero semplice, o di tipo regolare nel caso di zero di molteplicita maggioredi uno. D’altra parte, per ipotesi Fn(s0) 6= 0 e quindi Fn(s) 6= 0 in un intorno opportuno di s0

(si suppone qui che Fn(s) sia continua in s); dunque |Fn(s)| > 0 in tale intorno. Ora, l’effettodi un piccolo coefficiente di attrito a moltiplicare e quello di portare il grafico locale di fs|Fn(s)|a intersecare quello di |Ft(s)| in due punti di ascissa rispettivamente s1 < s0 e s2 > s0. Alloratutti i valori di s nell’intervallo [s1, s2] soddisfano la condizione (2.9) e sono quindi valori diequilibrio non ideale dell’ascissa curvilinea del punto materiale.

Si suggerisce di fare un disegno accurato e di convincersi graficamente della validita delleaffermazioni fatte nella dimostrazione precedente.

Osservazione 2.1. L’ipotesi Fn(s0) 6= 0 nella Proposizione 2.1 assicura l’esistenza generica diun intervallo di equilibrio per fs sufficientemente piccolo. Se Fn(s0) = 0 si possono presentare icasi: non esistenza di un intervallo, esistenza di un semi-intervallo destro o sinistro o esistenzadi un intervallo, dipendentemente dalla forma di Ft, Fn e dal valore di fs.

Osservazione 2.2. Quanto dimostrato nella Proposizione 2.1 vale anche nel caso di puntovincolato a muoversi lungo una curva non piana o su una superficie, con dimostrazione con-cettualmente identica. Si puo far vedere che la stessa conclusione vale per sistemi di punti deltutto generali.

Osservazione 2.3. Il fatto generale che, sotto opportune ipotesi, l’effetto dell’attrito staticosia quello di aprire continui di equilibri attorno alle posizioni isolate di equilibrio ideale, e diestrema importanza: nella pratica questo consente di riuscire a porre un oggetto o una strutturain equilibrio, commettendo errori di posizionamento tollerabili e senza doversi preoccupare diavere la non realistica precisione infinita che sarebbe invece richiesta in assenza di attrito.

2.3 Attrito dinamico

Consideriamo ora il caso di punto materiale vincolato a muoversi su una superficie, essendo ilpunto in moto ed essendo il vincolo non ideale. Allora per la reazione vincolare ~φ vale la leggedell’attrito dinamico:

~φt = −fd|φn|v , (2.10)

2.4. REAZIONI NEI PUNTI DI “FISSAGGIO” 23

dove v = ~v/|~v| denota il versore della velocita del punto materiale e fd e un parametro adi-mensionale detto coefficiente di attrito dinamico. Anche fd dipende dai materiali coinvolti eda numerosi altri dettagli. Inoltre, vale in generale fd ≤ fs. Ad esempio per il contatto tragomma e asfalto asciutto si ha fd = 0.8, mentre se l’asfalto e bagnato fd = 0.6; per il contattotra gomma e ghiaccio il valore di fd si abbassa notevolmente. Osserviamo che nel caso di puntovincolato a muoversi lungo una curva la legge (2.10) diviene

φt = −fd|~φn|sgn(s) , (2.11)

essendo s(t) l’ascissa curvilinea del punto al tempo t ed essendo sgn(x) la funzione “segno dix” tale che sgn(x) = −1 se x < 0 e sgn(x) = +1 se x > 0. Nel caso di curva piana vale la (2.11)senza il segno di vettore su φn a destra.

L’attrito dinamico costituisce spesso un effetto dannoso da ridurre al minimo; ad esempio,e noto a chiunque guidi un’automobile che si deve tenere d’occhio il livello dell’olio usatocome lubrificante per ridurre l’attrito tra le componenti interne del motore. D’altra parte, eanche noto che si devono sostituire gli pneumatici consumati perche altrimenti si riduce troppol’attrito dinamico con conseguente perdita di tenuta di strada e possibile aumento dei tempi diarresto (specie durante una frenata improvvisa a ruote bloccate).

2.4 Reazioni nei punti di “fissaggio”

Nel realizzare concretamente un dato sistema vincolato puo essere utile saper stimare a qualesollecitazione sono sottoposti alcuni punti di fissaggio specifici, realizzati concretamente tramitefermi, chiodi, cerniere ecc.. Tali meccanismi possono spesso (non sempre) essere consideratiidealmente come puntiformi e sono caratterizzati dalla condizione di essere in quiete sia quandoil sistema e in moto che quando e fermo in equilibrio. Allora la reazione vincolare in uno ditali punti di fissaggio del sistema si calcola trattando tale punto come un punto materiale delsistema, con massa eventualmente specificata, calcolando la forza totale che agisce su tale puntoe imponendo che sia nulla. Si faccia attenzione al fatto che tale operazione si esegue sia quandoil sistema e in equilibrio che quando si muove: si impone che i punti di fissaggio siano sempree comunque fermi.

Esempio 2.1. Un punto materiale di massa m e connesso ad un punto O del soffitto tramiteuna molla ideale di costante k; il punto materiale e libero di muoversi lungo la verticale, sottol’azione della gravita. Vogliamo calcolare la reazione vincolare nel punto di fissaggio O delsistema (in pratica stiamo calcolando a quale forza deve resistere il sistema gancio a vite -tassello - soffitto affinche il sistema molla - punto resti attaccato al soffitto e non cada giu).Se orientiamo l’asse x verticale verso il basso, con origine in O, il punto materiale appesosi muove in accordo alla legge di Newton mx = −kx + mg. Sia x(t) la soluzione di questaequazione. Il punto di fissaggio O, visto come punto materiale del sistema, e soggetto alla allareazione vincolare φO, alla forza +kx(t) dovuta all’interazione con il punto appeso e, nel casosia dotato di massa M non trascurabile, alla propria eventuale forza peso Mg. Dunque laforza totale agente su O e φO + kx(t) +Mg; imponendo che il punto Osia in quiete, si ottieneφO = −kx(t) −Mg. In particolare, se il punto appeso e in quiete, ovvero x = xeq = mg/k,allora φO = −(m+M)g, cioe la reazione in O si oppone alla forza peso complessiva del sistema.


2.5 Reazioni in punti mobili di ancoraggio

Un sistema di punti materiali puo interagire (ad esempio tramite molle, fili ecc..) con un puntoQ di massa mQ che si muove di moto assegnato: ~xQ(t) e una funzione vettoriale nota deltempo t. Ci si puo chiedere quale forza incognita e necessaria, a posteriori, per mantenere talemoto pre-assegnato. Tale forza e la reazione vincolare nel punto mobile di ancoraggio Q. Percalcolarla si dovra scrivere l’equazione di Newton per il punto Q (dotato o meno di massa),

cioe mQ~xQ = ~FQ + ~φQ, essendo ~FQ la forza attiva che viene esercitata su Q da tutti i punti

materiali del sistema e ~φQ la reazione incognita. Se ~FQ e nota, allora ~φQ = mQ~xQ − ~FQ; nel

limite di massa mQ nulla, ~φQ = −~FQ.

Esempio 2.2. Un punto materiale P di massa mP e collegato, tramite una molla ideale dicostante k, ad un punto Q di massa mQ che si muove di moto assegnato. L’equazione di

Newton per P e mP ~xP = −k(~xP − ~xQ), che puo essere risolta per ottenere ~xP (t). A questo

punto, dall’equazione di Newton per Q si ricava ~φQ = mQ~xQ − k(~xP − ~xQ), che contiene asecondo membro solo funzioni note.

2.6 Reazioni di appoggio

Il caso di vincolo di appoggio tipico e quello di un punto materiale che non puo attraversare unaassegnata superficie (ad esempio una persona che non puo scendere al di sotto del pavimentoma puo saltare sopra di esso). La reazione vincolare necessaria per realizzare tale vincolo deveessere diretta verso la regione dello spazio in cui il punto e confinato a muoversi. Nel casoideale, in assenza di attrito, la reazione e ortogonale alla superficie. Un modo di affrontarequesto problema e quello di trattare il vincolo come se fosse bilatero, cioe come se il puntodovesse restare attaccato alla superficie. Si calcola poi la reazione e se ne valuta il verso: sequesto e consistente con il vincolo di appoggio, cioe se la reazione e diretta verso il semispaziovoluto, si considera il punto appoggiato alla superficie. Nel momento in cui la reazione divienediretta verso il semispazio al quale il punto non puo accedere si considera il punto stessostaccato dalla superficie e si dice che si perde l’appoggio. Questo tipo di approccio e utilissimoper valutare la condizione di equilibrio dei corpi rigidi appoggiati su un piano orizzontale.

2.7 Esercizi

Esercizio 2.1. Si consideri un punto di massa m vincolato a muoversi su una superficie diequazione cartesiana z = f(x, y), sotto l’azione della forza peso ~F = −mgz, il vincolo essendo

ideale. Scrivere la condizione di idealita del vincolo ~φt = ~0 e la condizione di vincolo Fn+φn = 0(cioe an = 0), determinando ~φ in funzione della posizione del punto sulla superficie (cioe in

funzione di x e y). Scrivere l’equazione del moto m~at = ~Ft.

Esercizio 2.2. Si consideri un punto vincolato a muoversi su una curva piana di equazioney = f(x), sotto l’azione di una forza ~F = fx, f costante, il vincolo essendo ideale. Si scrivanola condizione di idealita del vincolo φt = 0 e la condizione di vincolo Fn +φn = 0 (cioe an = 0),

determinando ~φ in funzione di x. Si scriva l’equazione del moto mat = Ft.

2.7. ESERCIZI 25

Esercizio 2.3. Si consideri un punto vincolato a muoversi su una curva piana di equazioney = f(x), sotto l’azione della forza peso ~F = −mgy, il vincolo essendo ideale. Si scrivano lacondizione di idealita del vincolo φt = 0 e la condizione di vincolo Fn + φn = 0 (cioe an = 0),

determinando ~φ in funzione di x. Si scriva l’equazione del moto mat = Ft. Si determininole eventuali soluzioni di equilibrio dell’equazione del moto. Si studino le piccole oscillazionidel punto materiale attorno alle posizioni di equilibrio caratterizzate da derivata seconda di fpositiva. Determinare esplicitamente le corrispondenti reazioni vincolari.

Esercizio 2.4. Si consideri un punto materiale di massa m fermo su un piano inclinato diun angolo α rispetto al piano orizzontale, sotto l’azione della gravita, in presenza di attritostatico di coefficiente fs. Usando la legge di Coulomb-Morin si faccia vedere che la massimainclinazione del piano che consente al punto di restare fermo e determinata dalla disuguaglianzatgα ≤ fs.

Esercizio 2.5. Nel piano cartesiano (x, y), si consideri un punto materiale di massa m vinco-lato a muoversi lungo l’asse x. Il punto e connesso tramite una molla ideale di costante k1 alpunto di coordinate (0, a) e tramite una molla ideale di costante k2 al punto di coordinate (b, c).Sul sistema agisce la gravita. Si determinino le posizioni di equilibrio del punto materiale nelcaso ideale e nel caso non ideale con attrito statico di coefficiente fs.

Esercizio 2.6. Si consideri un punto materiale di massa m che scende lungo un piano inclinatodi un angolo α rispetto al piano orizzontale, sotto l’azione della gravita e in presenza di attritodinamico di coefficiente fd. Trovare la condizione su α e fd per cui il punto si arresta in tempofinito (si supponga il piano lungo quanto serve).

Capitolo 3

Introduzione alle equazioni differenzialiordinarie

In questo capitolo si discutono alcuni aspetti delle equazioni differenziali ordinarie, con parti-colare attenzione a quelli rilevanti per lo studio delle (piccole) oscillazioni dei sistemi di puntimateriali. In quanto segue la variabile indipendente reale t e sempre denominata “tempo”;questa restrizione interpretativa non toglie alcuna generalita ai concetti presentati.

3.1 Concetti di base

Un’Equazione Differenziale Ordinaria (EDO) di ordine n e una equazione della forma

f

(x(t),

dx(t)

dt, . . . ,

dnx(t)

dtn, t

)= 0 , (3.1)

dove f(y1, . . . , yn, t) e una assegnata funzione di n+1 variabili reali e l’incognita e una funzionedi una variabile reale t 7→ x(t). Si noti che quindi una equazione differenziale e definita dauna legge che pone in relazione il valore assunto da una funzione al tempo t con il valore cheassumono le sue derivate allo stesso istante t.

Le EDO di ordine n esplicitate rispetto alla derivata di ordine massimo, cioe della forma

dnx(t)

dtn= g

(x(t),

dx(t)

dt, . . . ,

dn−1x(t)

dtn−1, t

)(3.2)

si dicono in forma normale. Si noti, con riferimento al caso generale (3.1), che in questo casof(y1, . . . , yn, t) = yn− g(y1, . . . , yn−1, t). In queste note ci occupiamo esclusivamente di EDO (eloro sistemi) in forma normale. L’EDO in forma normale (3.2) si dice autonoma se la funzioneg a secondo membro non dipende esplicitamente dal tempo t (l’ultimo argomento).

27

28 CAPITOLO 3. INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE

3.1.1 Equazioni del primo ordine: n = 1

.

L’equazione generale del primo ordine in forma normale e della forma x = g(x, t). Ingenerale, assegnata la funzione g a secondo membro, tale equazione non si sa risolvere. Tuttavia,nel caso autonomo

x = g(x) , (3.3)

il problema della soluzione di tale equazione si sa ricondurre al problema del calcolo di integralie di inversione di funzioni, cioe un problema che si sa risolvere tramite tecniche note. Infatti,osserviamo preliminarmente che se x0 e uno zero qualsiasi di g, soddisfa cioe g(x0) = 0, allorax(t) = x0 per ogni t e soluzione dell’equazione (3.3). Riscriviamo ora l’equazione (3.3) comeuguaglianza tra forme differenziali1

dx

g(x)= dt .

Se x(0) = ξ e il valore assegnato alla funzione x all’istante t = 0, possiamo integrare l’ugua-glianza tra forme differenziali scritta sopra a sinistra tra ξ e x, a destra rispetto tra 0 e t,ottenendo:

hξ(x) ≡∫ x

ξ

ds

g(s)=

∫ t

0

dt′ = t .

Naturalmente l’intervallo di estremi ξ e x non deve contenere zeri di g. Dunque il problemaa questo livello consiste nel riuscire a calcolare l’integrale definito hξ(x), ovvero nel conoscereuna primitiva della funzione 1/g(x). Se si riesce a fare questo esplicitamente, allora la soluzionedell’equazione (3.3) con dato iniziale x(0) = ξ, e data da

x(t) = h−1ξ (t) ,

cioe dalla funzione inversa della hξ. Si osservi che deve valere l’identita hξ(0) = ξ.

Esempio 3.1. Si consideri l’equazione

x = cx ,

dove c e una data costante. Si ha g(x) = cx, che si annulla solo per x = 0. Se l’intervallo diestremi ξ e x non contiene lo zero

hξ(x) =

∫ x

ξ

ds

cs=

1

cln

(x

ξ

)= t ,

da cui segue che x(t) = h−1ξ (t) = ξect. Si noti che in questo caso la soluzione dell’equazione

differenziale esiste per ogni valore di t ∈ R ed e unica, cioe univocamente determinata dal valoreiniziale ξ = x(0) assegnato alla funzione; in particolare, se x(0) = ξ = 0 si ha x(t) = 0 per ognit.

1Tralasciamo volutamente ogni discussione inutile sul significato “reale” di tale scrittura.

3.1. CONCETTI DI BASE 29


x = x2 .

Si ha g(x) = x2, che si annulla per x = 0. Allora, se l’intervallo di estremi ξ e x non contienelo zero

hξ(x) =

∫ x

ξ

ds

s2=

1

ξ− 1

x= t ,

da cui segue che x(t) = h−1ξ (t) = ξ/(1−ξt). Anche qui si vede subito che la soluzione dell’equa-

zione e unica; in particolare, x(t) = 0 per ogni t se ξ = 0. D’altra parte, a differenza del casoprecedente, per ogni fissato valore di ξ 6= 0, la soluzione x(t) non e definita su tutto R, ma solosu un semi-intervallo infinito. Precisamente, se ξ > 0 la soluzione esiste finita nell’intervallo]−∞, 1/ξ[ e x(t)→ +∞ per t→ (1/ξ)−; se invece ξ < 0 la soluzione esiste finita nell’intervallo]ξ,+∞[ e x(t)→ −∞ per t→ (1/ξ)+.


x = x1/3 .

Qui g(x) = x1/3, che si annulla per x = 0. Dunque (come nei casi precedenti) x(t) = 0 perogni t e una soluzione dell’equazione, corrispondente al dato iniziale x(0) = 0. D’altra parte,se l’intervallo di estremi ξ e x non contiene lo zero si ha

hξ(x) =

∫ x

ξ

ds

s1/3=

3(x2/3 − ξ2/3

2= t ,

da cui segue x(t) = [2(t + ξ2/3)/3]3/2. Il limite di questa soluzione per x(0) = ξ → 0 ex(t) = (2t/3)3/2, che e un’altra soluzione dell’equazione data, che soddisfa x(0) = 0 e definitasu [0,+∞[. Dunque in questo caso, in corrispondenza del dato iniziale x(0) = 0 si hannoalmeno due soluzioni distinte e in realta si vede facilmente che se ne hanno infinite. Infatti,comunque preso t0 > 0, la funzione

x(t) =

0 , 0 ≤ t < t0[

2(t−t0)3

]3/2

, t ≥ t0

e ancora soluzione dell’equazione data e soddisfa la condizione x(0) = 0. Questo e un esempiodi perdita di unicita della soluzione.

3.1.2 Equazioni del secondo ordine: n = 2

L’EDO di ordine 2 piu generale (in forma normale) e della forma

x = g(x, x, t) . (3.4)

Siamo interessati a tale tipo di equazioni e a loro sistemi perche queste sono le equazioniche governano il moto di punti materiali soggetti a forze assegnate. Infatti, si puo pensare


all’equazione (3.4) come all’equazione di Newton che descrive il moto di un punto materialesulla retta, con g ≡ f/m, essendo f la forza agente sul punto. Facciamo notare che la singolaequazione del secondo ordine (3.4) e equivalente al seguente sistema di due equazioni del primoordine

x = vv = g(x, v, t)

. (3.5)

Osserviamo che una EDO di ordine n in forma normale si puo sempre scrivere come sistemaequivalente di n equazioni del primo ordine, dando semplicemente dei nomi alle derivate dellafunzione incognita a partire dalla derivata prima fino alla derivata di ordine n− 1.

L’EDO del secondo ordine (3.4), in generale, non si sa risolvere. Abbiamo pero visto unesempio di equazione risolubile, cioe quella dell’oscillatore armonico x = −ω2x. Quest’ultimaequazione fa parte di una classe importante di equazioni di ordine n che si sanno risolvere.

3.2 EDO lineari

L’EDO di ordine n in forma normale (3.2) si dice lineare se la funzione g a secondo membro euna funzione lineare dei suoi primi n− 1 argomenti. In questo caso l’equazione ha la forma

dnx

dtn= c0x+ c1

dx

dt+ · · ·+ cn−1

dn−1x

dtn−1+ cn , (3.6)

dove i coefficienti c0, . . . , cn possono dipendere dal tempo t. Nel caso in cui i coefficientic0, . . . , cn−1 sono indipendenti dal tempo e l’EDO (3.6) si dice lineare a coefficienti costanti,non omogenea se cn(t) 6= 0 e omogenea se cn = 0.

Esempio 3.4. L’EDO lineare del primo ordine (n = 1)

x = c0(t)x+ c1(t)

si risolve per ogni assegnata coppia di funzioni c0(t) e c1(t). In particolare, nel caso di coeffi-ciente costante c0, ponendo x(t) = ec0ty(t) e sostituendo si ottiene

c0ec0ty + ec0ty = c0e

c0ty + c1(t) ⇔ y = e−c0tc1(t) .

Integrando tra 0 e t si ottiene y(t) = y(0) +∫ t

0e−c0sc1(s)ds; tornando alla variabile x(t) e

osservando che x(0) = y(0) si ha infine

x(t) = ec0tx(0) + ec0t∫ t

0

e−c0sc1(s)ds .

Esempio 3.5. L’EDO lineare del secondo ordine (n = 2)

x = c0(t)x+ c1(t)x+ c2(t)

non si sa risolvere in generale. Nel caso di coefficienti costanti c0 e c1 si sa invece risolverel’equazione per ogni assegnata funzione c2(t). Nel seguito verra trattato in dettaglio il casofisicamente rilevante dell’oscillatore armonico smorzato e forzato, con c0 ≡ −ω2, c1 ≡ −2µ ec2(t) ≡ f(t), ovvero l’EDO del secondo ordine lineare, a coefficienti costanti, non omogenea

x = −ω2x− 2µx+ f(t) . (3.7)

3.2. EDO LINEARI 31

3.2.1 Proprieta generali delle EDO lineari a coefficienti costanti

Riportiamo di seguito le proprieta principali della EDO lineare (3.6) a coefficienti costanti

dnx

dtn= c0x+ c1

dx

dt+ · · ·+ cn−1

dn−1x

dtn−1+ f(t) . (3.8)

1. L’EDO lineare omogenea

dnx

dtn= c0x+ c1

dx

dt+ · · ·+ cn−1

dn−1x

dtn−1(3.9)

ammette sempre n soluzioni linearmente indipendenti x(1)(t), . . . , x(n)(t). La funzione

xom(t) ≡ a1x(1)(t) + · · ·+ anx

(n)(t) (3.10)

e soluzione dell’equazione (3.9) per ogni scelta dei parametri a1, . . . , an e si chiamasoluzione generale dell’omogenea.

2. Nel caso non omogeneo (3.8) la soluzione generale dell’equazione e della forma

x(t) = xom(t) + xp(t) , (3.11)

dove xom(t) e la soluzione dell’equazione omogenea (3.9) (che e indipendente da f(t)),mentre xp(t) e una soluzione particolare dell’equazione non omogenea (3.8) che dipendedal termine noto f(t) ma non dipende da parametri (costanti arbitrarie).

3. Se il termine noto f(t) dell’equazione (3.8) e della forma f(t) =∑

j fj(t) (dove la sommapuo correre su un numero finito o infinito di termini), allora la soluzione particolare

corrispondente xp(t) e della forma xp(t) =∑

j x(j)p (t), dove x

(j)p (t) e la soluzione particolare

dell’EDO non omogenea con termine noto fj, cioe

dnx

dtn= c0x+ c1

dx

dt+ · · ·+ cn−1

dn−1x

dtn−1+ fj(t) .

Questa proprieta, di grande utilita pratica, e nota come principio di sovrapposizione.

3.2.2 Soluzione generale dell’omogenea

Per risolvere l’equazione (3.8) si deve saper risolvere l’omogenea corrispondente (3.9) e sapertrovare la soluzione particolare. La soluzione dell’omogenea xom si trova cercando di determinarele n soluzioni linearmente indipendenti di cui essa e combinazione lineare. Tali soluzioni vengonoinizialmente cercate nella forma esponenziale x(t) = eλt. Il motivo di tale scelta e dettato dalfatto che djeλt/dtj = λjeλt, cioe che derivare j volte la funzione eλt equivale a moltiplicarla perλj. Allora si vede subito che eλt e soluzione della EDO se e solo se λ soddisfa l’equazione

λn − cn−1λn−1 − · · · − c0 = 0 , (3.12)


detta equazione caratteristica associata all’EDO omogenea (3.9); il polinomio che la defini-sce si dice polinomio caratteristico dell’EDO. In questo modo si riconduce il problema del-la soluzione di una equazione differenziale al problema standard della ricerca delle radici diun polinomio di grado n con assegnati coefficienti reali. Notiamo subito che se l’equazione(3.12) ammette n soluzioni distinte λ1, . . . , λn, allora le corrispondenti n funzioni esponenzialix(1)(t) = eλ1t, . . . , x(n)(t) = eλnt sono linearmente indipendenti (provare a dimostrarlo) e quindila soluzione generale dell’EDO omogena (3.9) e data da

x(t) =n∑j=1

ajeλjt . (3.13)

Si puo dimostrare che, se la radice λ dell’equazione (3.12) ha molteplicita 2 ≤ m ≤ n, ad essacorrisponde una soluzione della forma Pm−1(t)eλt, dove Pm−1(t) e un arbitrario polinomio int di grado m − 1, caratterizzato quindi da m parametri. Vedremo sotto un esempio del casopiu semplice possibile (n = m = 2). Tornando al caso di radici distinte (molto diffuso: sirifletta sul perche), osserviamo che la combinazione lineare (3.13) presenta un problema: deltutto in generale le radici del polinomio caratteristico sono complesse, dunque sono complessigli esponenziali corrispondenti e, in generale, risulta complessa la combinazione lineare (3.13),reali o complessi che siano i coefficienti aj. Per risolvere questo problema facciamo notarepreliminarmente che, essendo reali i coefficienti dell’equazione (3.9), lo sono di conseguenza icoefficienti del polinomio caratteristico in (3.12) e quindi, come si dimostra subito, se λ e unaradice di tale polinomio lo e anche la sua complessa coniugata λ. Ora, per ogni coppia di radicicomplesse e coniugate λ, λ la combinazione lineare

aeλt + aeλt = 2Re(aeλt + aeλt

)a coefficienti complessi e coniugati a, a e chiaramente reale. Ponendo a = a′+ ia′′, a = a′− ia′′,λ = λ′ + iλ′′ λ = λ′ − iλ′′ e sviluppando, si ottiene

aeλt + aeλt = (a′ + ia′′)e(λ′+iλ′′)t + (a′ − ia′′)e(λ′−iλ′′)t =

= eλ′t[a′(eiλ′′t + e−iλ

′′t)

+ ia′′(eiλ′′t − e−iλ′′t

)]=

= eλ′t [2a′ cos(λ′′t)− 2a′′ sin(λ′′t)] ≡

≡ eλ′t [A cos(λ′′t) +B sin(λ′′t)] , (3.14)

avendo fatto uso, nel terz’ultimo passaggio, delle formule di Eulero che connettono gli esponen-ziali di numeri immaginari puri con le funzioni trigonometriche, precisamente

cos θ =eiθ + e−iθ

2; sin θ =

eiθ − e−iθ

2i. (3.15)

Dunque, nel caso di n soluzioni distinte dell’equazione caratteristica (3.12), di cui le prime rλ1, . . . , λr reali e le rimanenti n− r λr+1, λr+1 . . . , λn+r

2, λn+r

2in (n− r)/2 coppie di complesse e

3.2. EDO LINEARI 33

coniugate, la soluzione generale dell’EDO omogenea (3.9), tenendo conto della (3.14), si scrive

xom(t) =r∑j=1

ajeλjt +

n+r2∑

j=r+1

(aje

λjt + ajeλjt)

=

=r∑j=1

ajeλjt +

n+r2∑

j=r+1

eλ′jt[Aj cos(λ′′j t) +Bj sin(λ′′j t)

], (3.16)

in cui, nella seconda riga, gli n coefficienti a1, . . . , ar, A1, B1, . . . , An+r2, Bn+r

2sono tutti reali.

3.2.3 Oscillatore armonico smorzato e forzato

Come esempio fondamentale di equazione lineare a coefficienti costanti (omogenea e non) di-scutiamo l’equazione dell’oscillatore armonico smorzato e forzato, cioe l’equazione di Newtondi un punto materiale di massa m che si muove su una retta, attaccato all’origine tramite unamolla ideale di costante elastica k, soggetto ad attrito viscoso del mezzo (ad esempio l’aria)caratterizzato da un coefficiente γ > 0 e soggetto ad una forza esterna dipendente dal tempoF (t). Tale equazione si scrive

mx = −kx− γx+ F (t) ,

ovvero, dividendo per la massa

x = −ω2x− 2µx+ f(t) , (3.17)

dove si sono definite la frequenza propria dell’oscillatore “libero”

ω ≡√k

m; (3.18)

il coefficiente di smorzamento

µ ≡ γ

2m(3.19)

e la forza per unita di massa

f(t) ≡ 1

mF (t) . (3.20)

Per quanto riguarda quest’ultima quantita, trattiamo il caso particolare di una forzante armo-nica, ovvero

f(t) = A cos(Ωt) +B sin(Ωt) + C , (3.21)

con A, B e C costanti arbitrarie. Per risolvere l’EDO (3.17) con la forza esterna della for-ma (3.21) risolviamo prima l’EDO omogenea ponendo f = 0 e cercando soluzioni in formaesponenziale, cioe x(t) = eλt. Si ottiene l’equazione caratteristica

λ2 + 2µλ+ ω2 = 0 , (3.22)

le cui due soluzioni sonoλ± = −µ±

√µ2 − ω2 . (3.23)

Si presentano quindi i seguenti tre casi.


1. Caso sovra-smorzato: µ > ω. Le due radici in (3.23) sono reali e negative (λ− < λ+ < 0)e la soluzione dell’omogenea (cioe della (3.17) con f = 0) e

xom(t) = aeλ−t + beλ+t = ae

(−µ−√µ2−ω2

)t+ be

(−µ+√µ2−ω2

)t. (3.24)

Si osservi che quando t→ +∞ xom(t)→ 0 senza compiere alcuna oscillazione.

2. Caso critico: µ = ω. Le due radici in (3.23) sono reali, coincidenti e negative: λ− = λ+ =−ω. In tale caso troviamo un solo esponenziale, cioe e−ωt e si verifica facilmente che l’altrasoluzione dell’omogenea e te−ωt (farlo). Dunque la soluzione generale dell’omogenea inquesto caso e

xom(t) = ae−ωt + bte−ωt = (a+ bt)e−ωt . (3.25)

Si osservi che la soluzione reale −µ = −ω dell’equazione caratteristica ha molteplicitadue (cioe si hanno due radici coincidenti) e la soluzione dell’omogenea e un polinomiodi primo grado, con due coefficienti arbitrari, che moltiplica un esponenziale. Anche inquesto caso quando t→ +∞ xom(t)→ 0 senza compiere alcuna oscillazione.

3. Caso sotto-smorzato: µ < ω. Le due radici caratteristiche in (3.23) sono complesse econiugate, ovvero

λ± = −µ± i√ω2 − µ2 . (3.26)

La corrispondente soluzione generale dell’omogenea, per quanto visto nel paragrafo pre-cedente, e

xom(t) = e−µt[a cos

(√ω2 − µ2 t

)+ b sin

(√ω2 − µ2 t

)], (3.27)

con a e b reali. Si osservi che anche in questo caso quando t → +∞ xom(t) → 0, ma ilcomportamento della soluzione e di tipo oscillatorio.

A questo punto cerchiamo la soluzione particolare dell’equazione (3.17) con forzante (3.21).Sfruttiamo il principio di sovrapposizione e cerchiamo una soluzione particolare della forma

xp(t) = x(1)p (t) + x(2)

p (t) + x(3)p (t) , (3.28)

dove x(1)p e la soluzione particolare dell’equazione (3.17) con f = A cos(Ωt), x

(2)p e la so-

luzione particolare dell’equazione (3.17) con f = B sin(Ωt) e x(3)p e la soluzione particolare

dell’equazione (3.17) con f = C. Iniziando da quest’ultimo caso, notiamo che l’equazione

x = −ω2x− 2µx+ C

ammette chiaramente una soluzione costante data da

x(3)p =

C

ω2(3.29)

(dimostrarlo). Per trovare la x(1)p , cerchiamo una soluzione dell’equazione

x = −ω2x− 2µx+ A cos(Ωt) (3.30)

3.2. EDO LINEARI 35

della forma x(t) = α cos(Ωt) + β sin(Ωt). Sostituendo quest’ultima espressione nell’equazioneappena scritta sopra si ottiene (verificarlo)[

(ω2 − Ω2)α + (2µΩ)β − A]

cos(Ωt) +[(ω2 − Ω2)β − (2µΩ)α

]sin(Ωt) = 0 .

Poiche cos θ e sin θ sono linearmente indipendenti, la precedente equazione implica che i duecoefficienti del coseno e del seno devono essere entrambi nulli, cioe i coefficienti α e β devonosoddisfare il seguente sistema lineare non omogeneo

(ω2 − Ω2)α + (2µΩ)β = A(ω2 − Ω2)β − (2µΩ)α = 0

,

la cui soluzione e data da (verificarlo)

α =A(ω2 − Ω2)

(ω2 − Ω2)2 + (2µΩ)2; β =

A(2µΩ)

(ω2 − Ω2)2 + (2µΩ)2.

Dunque la soluzione particolare dell’EDO (3.30) e

x(1)p (t) =

A(ω2 − Ω2)

(ω2 − Ω2)2 + (2µΩ)2cos(Ωt) +

A(2µΩ)

(ω2 − Ω2)2 + (2µΩ)2sin(Ωt) =

=A√

(ω2 − Ω2)2 + (2µΩ)2

[(ω2 − Ω2) cos(Ωt)√(ω2 − Ω2)2 + (2µΩ)2

+(2µΩ) sin(Ωt)√

(ω2 − Ω2)2 + (2µΩ)2

]=

=A√

(ω2 − Ω2)2 + (2µΩ)2cos(Ωt− φ) , (3.31)

dove, nell’ultimo passaggio, si e posto

cosφ =(ω2 − Ω2)√

(ω2 − Ω2)2 + (2µΩ)2; sinφ =

(2µΩ)√(ω2 − Ω2)2 + (2µΩ)2

. (3.32)

Dunque la risposta dell’oscillatore ad una sollecitazione armonica di data frequenza e ampiezza,cioe la soluzione particolare corrispondente, e data dalla stessa funzione armonica, con la stessafrequenza della sollecitazione, ma con un ritardo di fase e una ampiezza che dipendono dallafrequenza stessa della sollecitazione, dalla frequenza propria dell’oscillatore e dal coefficientedi smorzamento. Ci riferiamo all’angolo φ definito dalle (3.32) come al ritardo di fase perchela funzione coseno nella risposta (3.31), come funzione del tempo, e traslata a destra di unaquantita ∆t = φ/Ω rispetto alla funzione coseno della forzante in (3.30):

cos(Ωt− φ) = cos(Ω(t− φ/Ω)) = cos(Ω(t−∆t)) ,

cioe la risposta e in ritardo rispetto alla sollecitazione (ad esempio, partendo a t = 0, lasollecitazione e massima per la prima volta esattamente a t = 0, mentre la risposta e massimaper la prima volta a t = ∆t > 0). Il ritardo di fase φ, come funzione del coefficiente dismorzamento µ e della frequenza della forzante Ω, si comporta nel seguente modo (si facciariferimento alle formule (3.32)). Per µ → 0, cosφ → 1 e sinφ → 0, cioe φ → 0 e si dice che la


risposta e in fase con la forzante. Per µ → ∞, cosφ → 0 e sinφ → 1, cioe φ → π/2 e si diceche la risposta e in quadratura (di fase) con la forzante. Dunque, a frequenza della forzantefissata, il ritardo di fase cresce da zero a π/2 al crescere dell’attrito. Per quanto riguarda ladipendenza dalla frequenza, se in Ω → 0 si ha cosφ → 1 e sinφ → 0, cioe φ → 0. Invece, seΩ → ∞ si ha cosφ → −1 e sinφ → 0, cioe φ → π e si dice che la risposta e in opposizione difase (o in controfase) con la forzante. Dunque, a coefficiente di smorzamento fissato, il ritardodi fase cresce con la frequenza della forzante, passando da zero a π.

Per quanto riguarda l’ampiezza della risposta (3.31), essa e data dall’ampiezza A dellaforzante esterna moltiplicata per

1√(ω2 − Ω2)2 + (2µΩ)2

. (3.33)

Tale fattore d’ampiezza vale 1/ω2 per Ω = 0 ed e asintotico a 1/Ω2 per Ω→∞. Inoltre, si vedefacilmente (farlo) che il fattore d’ampiezza (3.33), come funzione di Ω assume valore massimo perΩ =

√ω2 − 2µ2 se ω >

√2µ; se invece ω <

√2µ il fattore e monotono decrescente. Si osservi che

nel caso di “piccolo” coefficiente di smorzamento µ (cioe µ ω) la frequenza della forzante allaquale si ha risposta massima e molto prossima alla frequenza propria ω, poiche

√ω2 − 2µ2 '

ω − µ2/ω; il valore massimo corrispondente del fattore (3.33) e ' 1/(2µΩ) (verificarlo). Lapresenza di un massimo abbastanza pronunciato della risposta ad una sollecitazione prossimaalla frequenza propria dell’oscillatore e un fenomeno fisico di fondamentale importanza, dettorisonanza; lo studieremo in dettaglio nel prossimo paragrafo, nel caso ideale di assenza diattrito.

Per concludere, si puo dimostrare in modo del tutto analogo a quanto fatto fino ad ora (farlonei dettagli) che alla forzante B sin(Ωt) corrisponde la soluzione particolare

x(2)p =

B√(ω2 − Ω2)2 + (2µΩ)2

sin(Ωt− φ) . (3.34)

Dunque la soluzione particolare (3.28) corrispondente alla forzante (3.21) e data da

xp(t) =A cos(Ωt− φ) +B sin(Ωt− φ)√

(ω2 − Ω2)2 + (2µΩ)2+C

ω2. (3.35)

Da quanto visto, applicando il principio di sovrapposizione, segue che se la forzante f nell’e-quazione (3.17) ha la forma

f(t) =∑j

[Aj cos(Ωjt) +Bj sin(Ωjt)] + C , (3.36)

dove la somma puo correre su un numero finito o infinito di indici, la soluzione generaledell’equazione dell’oscillatore armonico e data da

x(t) = xom(t) +∑j

Aj cos(Ωjt− φj) +Bj sin(Ωjt− φj)√(ω2 − Ω2

j)2 + (2µΩj)2

+C

ω2︸︷︷︸xp(t)

, (3.37)

3.2. EDO LINEARI 37

con xom(t) data dalla (3.24), dalla (3.25) o dalla (3.27) a seconda del caso, e con il j-esimoritardo di fase φj determinato da

cosφj =(ω2 − Ω2

j)√(ω2 − Ω2

j)2 + (2µΩj)2

; sinφj =(2µΩj)√

(ω2 − Ω2j)

2 + (2µΩj)2. (3.38)

Sono da sottolineare due aspetti. Il primo e che qualsiasi funzione f(t) puo essere approssimatabene quanto si vuole, in ogni intervallo di tempo fissato a priori, da una somma di funzionitrigonometriche come quella che compare a destra nella (3.36). Ne segue che la casistica trattatasopra ha carattere molto generale. Il secondo e che in presenza di attrito (µ > 0), anche piccolo,xom(t) → 0 per t → +∞. Quindi per l’oscillatore smorzato si ha sempre x(t) ∼ xp(t) pert → +∞: dopo un tempo caratteristico dell’ordine di 1/µ domina la componente particolaredella soluzione (che per tale ragione viene detta “risposta” dell’oscillatore).

3.2.4 Battimenti e risonanza

Ai fini di approfondire lo studio del fenomeno della risonanza e di metterne in evidenza gliaspetti piu caratteristici, consideriamo il caso di un oscillatore non smorzato sotto l’azione diuna forzante cosinusoidale di data frequenza e ampiezza, ovvero risolviamo l’equazione

x = −ω2x+ A cos(Ωt) . (3.39)

Cercando una soluzione particolare della forma B cos(Ωt) si trova subito B = A/(ω2 − Ω2) equindi la soluzione generale della EDO (3.39) e

x(t) = a cos(ωt) + b sin(ωt) +A

ω2 − Ω2cos(Ωt) . (3.40)

A questo punto determiniamo le costanti arbitrarie a e b in termini dei dati iniziali, ovverodella posizione x(0) ≡ x0 e della velocita x(0) ≡ v0 dell’oscillatore al tempo t = 0. Si trovaa = x0 − A/(ω2 − Ω2) e b = v0/ω, da cui, sostituendo in (3.40) segue

x(t) = x0 cos(ωt) +v0

ωsin(ωt) +

A

ω2 − Ω2[cos(Ωt)− cos(ωt)]︸︷︷︸

xA(t)

. (3.41)

In questo modo abbiamo separato la parte di soluzione dipendente dai dati iniziali e quelladipendente dalla sollecitazione esterna, cioe proporzionale ad A, che per comodita chiamiamoxA(t). Ora, per Ω non troppo vicina a ω, la soluzione (3.41) e una combinazione lineare difunzioni armoniche a due frequenze distinte e non c’e altro da aggiungere. D’altra parte, se Ωrisulta molto vicina a ω, xA(t) presenta un comportamento non banale: nel limite per Ω→ ω,a t fissato, tale componente e una forma indeterminata del tipo 0/0, che va risolta. Per farloriscriviamo la differenza di coseni nel modo seguente:

cos(Ωt)− cos(ωt) = 2 sin

(ω − Ω

2t

)sin

(ω + Ω

2t

).


Allora

xA(t) =A

ω2 − Ω2[cos(Ωt)− cos(ωt)] =

=2A

ω2 − Ω2sin

(ω − Ω

2t

)sin

(ω + Ω

2t

)=

=A

ω + Ω

[sin(ω−Ω

2t)

ω−Ω2

]sin

(ω + Ω

2t

)=

=A

2(ω − ε)

[sin(εt)

ε

]sin((ω − ε)t) , (3.42)

avendo posto nell’ultimo passaggio

ε ≡ ω − Ω

2. (3.43)

In questo modo, il limite che ci interessa, Ω→ ω, equivale al limite ε→ 0. Prima di calcolareil limite esattamente, osserviamo che se il modulo |ε| della semi-differenza delle due frequenzee molto piccolo, allora l’espressione xA(t) nella quarta riga in (3.42) consiste in una funzionearmonica oscillante rapidamente ad una frequenza molto prossima a ω, modulata in ampiezzada una funzione armonica che oscilla molto lentamente tra i due valori ±1/|ε| con frequenza |ε|(e quindi periodo 2π/|ε|). Questa modulazione lenta e rilevante dell’ampiezza delle oscillazioneveloce e detta fenomeno dei battimenti. Una delle sue manifestazioni tipiche e quella dellevibrazioni del vetro di una finestra sottoposta ad opportune sollecitazioni acustiche dall’esterno;in questo caso le vibrazioni veloci del vetro, modulate lentamente in ampiezza, si possono udirecon chiarezza. Il limite per ε→ 0 della (3.42) si calcola immediatamente:

limε→0

xA(t) =A

2ωt sin(ωt) . (3.44)

Dunque se la risonanza e esatta, cioe se la frequenza della forzante coincide esattamente conquella propria, la componente della soluzione che dipende dalla forzante e rappresentata daun’oscillazione armonica a frequenza propria con ampiezza crescente linearmente col tempo.Ovviamente questo tipo di risposta ad una sollecitazione esterna non puo durare molto a lungo:per t sufficientemente grande i massimi di |xA(t)| divengono talmente grandi da causare larottura fisica dell’oscillatore o la perdita di validita dell’approssimazione lineare sulle forzecoinvolte. Nella realta, cio che puo prevenire la rottura in risonanza delle strutture oscillantie l’attrito, che qui abbiamo trascurato. In presenza di (piccolo) attrito, la fenomenologia equella descritta sopra per t 1/µ, mentre da t ' 1/µ in poi si ha x(t) ' xp(t), i battimentiterminano e si ha una risposta asintotica della forma discussa nel paragrafo precedente, conampiezza limitata. Ovviamente la risonanza puo avere conseguenze disastrose anche in presenzadi attrito. Questo avviene se l’ampiezza asintotica della risposta, sebbene limitata, e comunquetroppo grande; un esempio e la proprio la rottura dei vetri sottoposti a opportune sollecitazioniacustiche.

Capitolo 4

Oscillazioni di sistemi di puntimateriali

4.1 Piccoli spostamenti di sistemi di punti attorno all’e-

quilibrio

Supponiamo che un dato sistema di n punti materiali di masse m1, . . . ,mn sia specificato dalleforze ~f1, . . . , ~fn indipendenti dal tempo. Il sistema e descritto allora dalle equazioni di Newton

m1~a1 = ~f1(~x1, . . . , ~xn, ~v1, . . . , ~vn)...

mn~an = ~fn(~x1, . . . , ~xn, ~v1, . . . , ~vn)

(4.1)

La soluzione di un sistema di questo tipo, cioe l’insieme di tutte le posizioni dei punti al variaredel tempo, quando vengano specificate le posizioni e le velocita di ogni punto al tempo t = 0,in generale non si sa trovare, se non per sistemi molto particolari. Una classe di soluzioni difondamentale importanza e quella degli equilibri. Si dice che il sistema descritto dalle equazioni(4.1) e in equilibrio se le velocita dei punti sono tutte nulle (~v1 = · · · = ~vn = ~0) e le posizionisoddisfano il sistema di equazioni

~f1(~x1, . . . , ~xn,~0, . . . ,~0) = ~0...~fn(~x1, . . . , ~xn,~0, . . . ,~0) = ~0

(4.2)

Dunque se un sistema di punti e in equilibrio i punti sono tutti fermi in posizioni tali che laforza totale a cui e soggetto ogni punto e nulla (e quindi lo e l’accelerazione, cioe la velocitaresta nulla). Per gli sviluppi che seguono e conveniente introdurre i vettori

~X ≡

~x1...~xn

=

X1...XN

; ~F ≡

~f1...~fn

=

F1...FN

(4.3)

39

40 CAPITOLO 4. OSCILLAZIONI DI SISTEMI DI PUNTI MATERIALI

che hanno N = nD componenti, essendo n il numero di punti materiali del sistema e D ladimensione dello spazio fisico in cui si muovono i punti (D = 1, 2, 3 a seconda dei casi). Intermini dei vettori (4.3) il sistema di equazioni di Newton (4.1) si scrive

M1X1 = F1(X1, . . . , XN , X1, . . . , XN)...

MNXN = FN(X1, . . . , XN , X1, . . . , XN)

⇔ M ~X = ~F ( ~X, ~X) , (4.4)

essendo M1 = · · · = MD = m1, MD+1 = · · · = M2D = m2, . . . , M(n−1)D = · · · = MnD = mn,e M la matrice diagonale N × N delle masse, i cui elementi sulla diagonale principale sonoM1, . . . ,MN . Il sistema di equazioni che determina le posizioni di equilibrio dei punti si scriveinvece

F1(X1, . . . , XN , 0, . . . , 0) = 0...FN(X1, . . . , XN , 0, . . . , 0) = 0

⇔ ~F ( ~X,~0) = ~0 . (4.5)

Ora vogliamo capire cosa succede se il sistema viene posto inizialmente in prossimita di unequilibrio, eventualmente sotto l’azione di sollecitazioni esterne. A tale scopo fissiamo unasoluzione del sistema (4.5), ovvero un vettore di posizioni di equilibrio

~Xeq ≡

X1...XN

(4.6)

tale che ~F ( ~Xeq,~0) = ~0, ovvero Fj(X1, . . . , XN , 0, . . . , 0) per ogni j = 1, . . . , N . Supponendoquindi che il sistema si muova “attorno” all’equilibrio, poniamo

~X(t) = ~Xeq + ~ξ(t) , (4.7)

dove ~ξ e anch’esso un vettore a N componenti. Sostituendo la traslazione (4.7) nel sistema diNewton (4.4) si ottiene il sistema equivalente

M~ξ = ~F ( ~Xeq + ~ξ, ~ξ ) . (4.8)

A questo punto si suppone che i vettori ~ξ e ~ξ siano “piccoli”, ovvero che il sistema si muovavicino all’equilibrio, senza allontanarsi troppo dalla configurazione spaziale che lo caratterizza,e comunque muovendosi lentamente. Sotto tale ipotesi si puo sviluppare secondo Taylor il lato

destro della (4.8) al primo ordine in ~ξ e ~ξ, trascurare i termini di grado superiore al primo estudiare la dinamica del sistema che ne risulta. A posteriori si verifica se l’ipotesi di prossimitaall’equilibrio e consistente o no. Scrivendo la j-esima componente del sistema (4.8) ed eseguendolo sviluppo si ottiene

Mj ξj = Fj(X1 + ξ1, . . . , XN + ξN , ξ1, . . . , ξN) = Fj(X1, . . . , XN , 0, . . . , 0) +

+N∑l=1

∂Fj∂Xl

(X1, . . . , XN , 0, . . . , 0)ξl +N∑l=1

∂Fj

∂Xl

(X1, . . . , XN , 0, . . . , 0)ξl =

= −N∑l=1

Kjlξl −N∑l=1

Gjlξl , (4.9)

4.1. PICCOLI SPOSTAMENTI DI SISTEMI DI PUNTI ATTORNO ALL’EQUILIBRIO 41

avendo definito, nell’ultimo passaggio, le due matrici N × N costanti K e G, con rispettivielementi

Kjl ≡ −∂Fj∂Xl

(X1, . . . , XN , 0, . . . , 0) ; (4.10)

Gjl ≡ −∂Fj

∂Xl

(X1, . . . , XN , 0, . . . , 0) . (4.11)

Il sistema lineare (4.9) si puo scrivere in forma vettoriale compatta

M~ξ = −K~ξ −G~ξ . (4.12)

Questo sistema di equazioni di Newton descrive i movimenti “liberi” che il sistema compieattorno all’equilibrio, finche gli spostamenti dei punti e le loro velocita restano sufficientemen-te piccoli. Nel caso in cui i punti materiali del sistema sono anche soggetti a forze esterneF1(t), . . . , FN(t) dipendenti solo dal tempo, il sistema di equazioni (4.12) si scrive

M~ξ = −K~ξ −G~ξ + ~F (t) (4.13)

(non si confonda la ~F appena scritta adesso con quella dipendente da posizioni e velocita usatasopra). Per quanto riguarda la matrice K, osserviamo che essa risulta spesso simmetrica, cioeKjl = Klj per ogni j, l = 1, . . . , N . Data la definizione (4.10), questo significa che

∂Fj∂Xl

(X1, . . . , XN , 0, . . . , 0) =∂Fl∂Xj

(X1, . . . , XN , 0, . . . , 0) (4.14)

per ogni j, l = 1, . . . , N . Tale condizione vale ad esempio se esiste una funzione sufficientementeregolare U(X1, . . . , XN) tale che

Fj(X1, . . . , XN , 0, . . . , 0) = − ∂U

∂Xj

(X1, . . . , XN) (4.15)

in un opportuno dominio contenente il punto di equilibrio (X1, . . . , XN); in questo caso lacondizione di simmetria (4.14) vale in tutto il dominio e, in particolare, nel punto di equilibrio.La funzione U , se esiste, si chiama energia potenziale e le forze corrispondenti (calcolate avelocita nulle) si dicono conservative, per una ragione che vedremo in seguito. Nel caso in cuiesista la funzione energia potenziale U , la matrice K coincide, per la (4.15) e la (4.10), con lamatrice delle derivate seconde della U , o matrice hessiana, calcolata nel punto di equilibrio:

Kjl =∂

∂Xl

∂U

∂Xj

(X1, . . . , XN) ≡ ∂2U

∂Xl∂Xj

(X1, . . . , XN) .

Il caso piu interessante, ai fini dello studio dei piccoli spostamenti del sistema attorno all’e-quilibrio, e quello in cui il punto di equilibrio (X1, . . . , XN) e un punto di minimo locale perla funzione U . Questo e vero se, ad esempio, la matrice hessiana di U calcolata all’equilibrio,cioe la matrice K, e definita positiva, ovvero ha tutti gli autovalori positivi (gli autovalori sonocertamente reali perche tale matrice e simmetrica).


4.2 Studio di un caso “semplice”

Il sistema lineare di EDO del secondo ordine (4.13) puo essere risolto sotto ipotesi molto generalisulle matrici M , K e G coinvolte. Qui ci limitiamo a studiare il caso “semplice” corrispondentealle ipotesi seguenti.

• M = mIN (essendo IN la matrice identita N×N): le masse dei punti materiali sono tutteuguali;

• K e simmetrica e definita positiva (vero se ad esempio il sistema ammette energia poten-ziale e il punto di equilibrio e di minimo per tale funzione);

• G = γIN : la dipendenza delle forze dalla velocita corrisponde al solo attrito viscoso, e siha lo stesso coefficiente di attrito viscoso su ogni punto del sistema.

Allora il sistema (4.13) si scrive

m~ξ = −K~ξ − γ~ξ + ~F (t) .

Dividendo tutto per m e definendo le quantita

A ≡ 1

mK ; µ ≡ γ

2m; ~f(t) ≡ 1

m~F (t) , (4.16)

si ottiene il sistema

~ξ = −A~ξ − 2µ~ξ + ~f(t) . (4.17)

Si osservi che la matrice A = K/m e simmetrica e definita positiva perche lo e K. Il modostandard di studiare il sistema (4.17) e quello di proiettarlo sulla base degli autovettori di A,che sono reali e mutuamente ortogonali (e normalizzabili, se necessario). Indichiamo dunquecon ~u(j) il j-esimo autovettore di A corrispondente al j-esimo autovalore ω2

j > 0:

A~u(j) = ω2j~u

(j) (j = 1, . . . , N) . (4.18)

Poiche ~u(1), . . . , ~u(N) costituiscono una base dello spazio euclideo N -dimensionale, i vettori ~ξ(t)

ed ~f(t) si scrivono in modo unico come combinazione lineare di questi, cioe esistono unici icoefficienti reali ξ1(t), . . . , ξN(t) e f1(t), . . . , fN(t) tali che

~ξ(t) = ξ1(t)~u(1) + · · ·+ ξN(t)~u(N) =N∑j=1

ξj(t)~u(j) ; (4.19)

~f(t) = f1(t)~u(1) + · · ·+ fN(t)~u(N) =N∑j=1

fj(t)~u(j) . (4.20)

Si faccia attenzione: ξ1, . . . , ξN e f1(t), . . . , fN(t) sono le componenti di ~ξ ed ~f nella base degliautovettori ~u(1), . . . , ~u(N) di A, mentre ξ1, . . . , ξN e f1, . . . , fN sono le componenti degli stessi

4.3. ESERCIZI 43

vettori nella base canonica. Sostituendo (4.19) e (4.20) in (4.17), e tenendo conto della (4.18)si ottiene

N∑j=1

¨ξj(t)~u(j) = −

N∑j=1

ω2j ξj(t)~u

(j) −N∑j=1

2µ ˙ξj(t)~u(j) +

N∑j=1

fj(t)~u(j) ,

che si puo riscrivere come

N∑j=1

[¨ξj + 2µ ˙ξj + ω2

j ξj − fj]~u(j) = ~0 .

Poiche gli autovettori di A sono linearmente indipendenti, i coefficienti di quest’ultima combi-nazione lineare devono essere tutti nulli, devono cioe valere le N equazioni

¨ξj = −ω2j ξj − 2µ ˙ξj + fj (j = 1, . . . , N) . (4.21)

Troviamo quindi che il moto del sistema e descritto da N equazioni indipendenti di oscillatorearmonico smorzato e forzato. Ogni oscillazione indipendente ha luogo lungo uno degli autospazidi A. Si osservi che per risolvere le N EDO (4.21) si deve conoscere il j-esimo autovalore di A,

cioe ω2j e la j-esima componente di ~f nella base degli autovettori di A, cioe fj. Quest’ultima

si calcola moltiplicando scalarmente per ~u(j) l’identita ~f =∑

l fl~u(l) e sfruttando l’ortogonalita

degli autovettori di A, ottenendo

fj =~u(j) · ~f|~u(j)|2

. (4.22)

Una volta note le N soluzioni ξ(t) delle N equazioni (4.21) (ognuna della forma soluzione

generale dell’omogenea piu soluzione particolare), e noto il vettore ~ξ(t) e quindi e nota la

soluzione ~X(t) = ~Xeq + ~ξ(t) del problema di partenza.Il procedimento appena illustrato si chiama decomposizione in modi normali di oscillazione

del sistema; le coordinate ξ1, . . . , ξN si chiamano coordinate normali.

4.3 Esercizi

Esercizio 4.1. Si consideri il sistema costituito da due punti materiali di uguale massa m, chesi muovono lungo l’asse x. Tre molle ideali di costante k connettono un punto all’origine, i duepunti tra loro, e l’altro punto ad un punto fissato a destra dell’origine a distanza L. Vogliamodeterminare le ascisse x1(t) e x2(t) dei due punti materiali al tempo t (cioe il moto del sistema)e le reazioni vincolari in x = 0 e in x = L. Risolvere il problema in due modi: prima nel modostandard come indicato nella teoria svolta in precedenza e poi per somma e sottrazione delleequazioni del moto per gli spostamenti relativi ξ1 e ξ2.

Esercizio 4.2. Due punti materiali di masse rispettive m1 ed m2 (diverse!) sono vincolati amuoversi su un’asta inclinata rispetto al piano orizzontale di un angolo α, sotto l’azione dellagravita. I due punti sono connessi da una molla ideale di costante k. Si chiede di determinarela dinamica del sistema e le reazioni vincolari che agiscono sui due punti materiali (il vincolosi considera ideale).


Esercizio 4.3. Un punto materiale P di massa m e connesso ad un punto Q da una mollaideale di costante k e il punto P si muove lungo la verticale per Q, sotto l’azione della gravita.Il punto Q si muove di moto assegnato: se l’asse verticale diretto verso il basso e l’asse x, alloraxQ = A cos(Ωt). Si chiede di determinare il moto di P e di discutere in dettaglio cosa succedeal variare di Ω. Supponendo che Q abbia massa M , si calcoli la reazione vincolare in Q.

Esercizio 4.4. Un punto materiale P di massa m e connesso tramite N molle ideali a N puntiQ1, . . . , QN che si muovono di moto assegnato. In particolare, P e connesso a Qj da una mollaideale di costante kj e Qj si muove secondo la legge ~xj(t) = [Xj + Aj cos(Ωjt)] ~u

(j), essendoXj, Aj, Ωj e ~u(j) tre costanti e un vettore assegnati, per j = 1, . . . , N . Il punto e soggetto aduna forza di attrito viscoso di coefficiente γ. Si determini il moto del punto P . In particolare,si scriva la condizione di risonanza piena nel caso sotto-smorzato. Determinare le N reazionivincolari in Q1, . . . , QN .

Esercizio 4.5. Si consideri il sistema costituito da due punti materiali P1 e P2 di uguale massam e due molle ideali di costante k, tale che P1 e connesso tramite una delle molle ad un punto Ofissato sul “soffitto”, mentre P2 e connesso a P1 tramite l’altra molla (la sequenza dall’alto versoil basso e O-molla-P1-molla-P2). I due punti sono liberi di oscillare solo lungo l’asse verticale(asse x orientato verso il basso, con origine in O), sotto l’azione della gravita. Si determini laposizione di equilibrio del sistema e il moto di oscillazione che questo compie attorno ad essa.Si determini la reazione vincolare al tempo t in O.

Capitolo 5

Equazioni cardinali

Consideriamo un sistema di punti materiali descritti dalle equazioni di Newton

mP~aP = ~F(i)P + ~F

(e)P , (5.1)

dove l’indice P corre su tutti i punti del sistema (che possono essere in numero finito o infinito,

numerabile o meno), e la forza totale ~FP agente sul punto P e data dalla somma della forzatotale interna, dovuta all’interazione del punto P con tutti gli altri punti del sistema, con laforza totale esterna, dovuta all’interazione del punto P con tutto cio che e considerato esternoal sistema e contenente anche le eventuali reazioni vincolari agenti sul punto P . Per quantoriguarda la forza interna ~F

(i)P , su di essa facciamo due ipotesi. La prima e che valga il principio di

sovrapposizione, per il quale essa risulta data dalla somma delle forze dovute all’interazione delpunto P con ogni altro punto del sistema stesso. La seconda ipotesi e che per ogni interazionea due punti valga il principio di azione e reazione. In formule, assumiamo che

~F(i)P =

∑Q:Q 6=P

~fPQ ; (5.2)

~fPQ = −~fQP ; ~fPQ ‖−→QP = ~xP − ~xQ . (5.3)

Per quanto riguarda la forza esterna ~F(e)P non facciamo alcuna ipotesi particolare.

A partire dalle equazioni di Newton (5.1), e facendo uso delle ipotesi (5.2) e (5.3), deduciamoora due equazioni generali, le cosı dette equazioni cardinali della dinamica dei sistemi di puntimateriali, che descrivono il comportamento del sistema in blocco.

5.1 Prima equazione cardinale

Sommando vettorialmente le equazioni di Newton (5.1) si ottiene∑P

mP~aP =∑P

~F(i)P +

∑P

~F(e)P , (5.4)

il cui lato destro suggerisce le definizioni di risultante delle forze interne

~R(i) ≡∑P

~F(i)P (5.5)

45

46 CAPITOLO 5. EQUAZIONI CARDINALI

e di risultante delle forze esterne

~R(e) ≡∑P

~F(e)P . (5.6)

Per quanto riguarda il lato sinistro della (5.4) osserviamo che

∑P

mP~aP =d

dt

∑P

mP~vP =d2

dt2

∑P

mP~xP ,

che suggerisce la definizione di un punto geometrico G avente vettore posizione

~xG ≡∑

P mP~xP∑P mP

=∑P

mP

M~xP , (5.7)

detto centro di massa o baricentro del sistema di punti considerato; nella seconda uguaglianzaa destra della (5.7) si e definita la massa totale del sistema

M ≡∑P

mP . (5.8)

Si osservi che la posizione del baricentro G di un sistema di punti materiali risulta data dallacombinazione lineare, o somma pesata, dei vettori posizione dei punti del sistema, con il coef-ficiente P -esimo della combinazione, o peso, dato dalla frazione di massa contenuta nel puntoP ; dunque il baricentro tende ad essere piu vicino ai punti con massa maggiore. Si osservi cheil baricentro e un punto geometrico, non necessariamente coincidente con un punto materialedel sistema. Nel caso di N punti materiali aventi tutti la stessa massa, dalla (5.7) segue cheil baricentro del sistema ha posizione data dalla media aritmetica delle posizioni dei punti delsistema: ~xG =

∑P ~xP/N .

Esempio 5.1. Il baricentro di un sistema di N punti materiali di uguale massa, disposti su unacirconferenza ed equispaziati tra loro coincide con il centro della circonferenza (ci si convincadi questo fatto facendo esempi concreti e/o usando argomenti di simmetria).

Con le definizioni (5.5), (5.6) ed (5.7), l’equazione (5.4) si riscrive in forma compatta

M~xG = ~R(i) + ~R(e) , (5.9)

che ha la forma suggestiva di una equazione di Newton. Ora, affermiamo che, sotto le ipotesi(5.2) e (5.3) fatte sopra, cioe supponendo valido il principio di sovrapposizione e il principio diazione e reazione per le forze interne, si ha

~R(i) = ~0 . (5.10)

5.2. SECONDA EQUAZIONE CARDINALE 47

Dimostriamo questa affermazione. Dalla definizione (5.5), facendo uso della (5.2) e della (5.3)si ottiene

~R(i) =∑P

~F(i)P =

∑P

∑Q:Q 6=P

~fPQ =∑

P,Q:Q 6=P

~fPQ =

=1

2

∑P,Q:Q 6=P

~fPQ +1

2

∑P,Q:Q 6=P

~fPQ =

=1

2

∑P,Q:Q 6=P

~fPQ +1

2

∑Q,P :P 6=Q

~fQP =

=1

2

∑P,Q:Q 6=P

(~fPQ + ~fQP

)=

1

2

∑P,Q:Q 6=P

(~0) = ~0 .

Nel calcolo precedente, tra la prima e la seconda riga si e fatto uso dell’identita banale x =x/2 + x/2; tra la seconda e la terza riga si sono scambiati gli indici di somma P e Q nellaseconda somma, notando che

∑P,Q:Q6=P =

∑Q,P :P 6=Q; tra la terza e la quarta riga si sono

raccolti il fattore 1/2 e il simbolo comune di somma, per fare poi uso della prima delle dueipotesi (5.3) del terzo principio, ottenendo infine il risultato voluto.

Esempio 5.2. Il calcolo appena fatto si capisce considerando un sistema formato da tre puntimateriali, indicizzati con i numeri 1, 2, 3. In quel caso ~F

(i)1 = ~f12 + ~f13, ~F

(i)2 = ~f21 + ~f23 e

~F(i)3 = ~f31 + ~f32. Quindi

~R(i) = ~F(i)1 + ~F

(i)2 + ~F

(i)3 = (~f12 + ~f13) + (~f21 + ~f23) + (~f31 + ~f32) =

= (~f12 + ~f21) + (~f13 + ~f31) + (~f23 + ~f32) = ~0 +~0 +~0 = ~0 ,

avendo solo permutato i vari termini in modo da sommare a ogni termine il suo opposto.

Osservazione 5.1. Per annullare il risultante delle forze interne si e fatto uso solo della primadelle due ipotesi (5.3) del principio di azione e reazione.

Ponendo ~R(i) = ~0 nella (5.9) si ottiene la prima equazione cardinale della dinamica deisistemi di punti materiali:

M~xG = ~R(e) , (5.11)

secondo la quale la massa totale per l’accelerazione del baricentro e pari al risultante delle forzeesterne.

5.2 Seconda equazione cardinale

Con lo scopo di dedurre la seconda equazione cardinale della dinamica, moltiplichiamo ora ogniequazione di Newton (5.1) vettorialmente, da sinistra, per ~xP , ottenendo

~xP ×mP~aP = ~xP × ~F(i)P + ~xP × ~F

(e)P . (5.12)


La parte destra di questa equazione suggerisce le definizioni di momento della forza interna delpunto P

~M(i)P ≡ ~xP × ~F

(i)P (5.13)

e di momento della forza esterna del punto P

~M(e)P ≡ ~xP × ~F

(e)P . (5.14)

Per quanto riguarda invece il lato sinistro della (5.12), osserviamo che vale l’identita

d

dt(~xP ×mP~vP ) = ~xP ×mP~aP , (5.15)

che si dimostra facilmente applicando la regola di Leibniz e tenendo conto del fatto che ~vP ×mP~vP = ~0. La (5.15) suggerisce di definire la quantita

~LP ≡ ~xP ×mP~vP , (5.16)

detta momento angolare o momento della quantita di moto1 del punto P . Facendo uso delledefinizioni (5.13), (5.14), (5.16) e dell’identita (5.15), l’equazione (5.12) si riscrive

~LP = ~M(i)P + ~M

(e)P . (5.17)

A questo punto sommiamo su P e otteniamo∑P

~LP =∑P

~M(i)P +

∑P

~M(e)P , (5.18)

che chiama in modo naturale le definizioni di momento risultante delle forze interne

~M (i) ≡∑P

~M(i)P , (5.19)

momento risultante delle forze esterne

~M (e) ≡∑P

~M(e)P (5.20)

e momento angolare totale~L ≡

∑P

~LP . (5.21)

Tenendo conto delle tre definizioni appena date, la (5.18) si scrive in forma compatta

~L = ~M (i) + ~M (e) . (5.22)

1Il secondo nome deriva dal fatto che il prodotto mP~vP si chiama quantita di moto del punto P e che sichiama momento di un vettore riferito al punto P il prodotto vettoriale della posizione di P per il vettore stesso.

5.3. USO DELLE EQUAZIONI CARDINALI 49

Affermiamo ora che, supponendo valido il principio di sovrapposizione e il principio di azione ereazione per le forze interne, si ha

~M (i) = ~0 . (5.23)

Per dimostrarlo scriviamo il risultante dei momenti delle forze interne per esteso, usando insequenza le (5.19), (5.13), (5.2) e (5.3):

~M (i) =∑P

~M(i)P =

∑P

~xP × ~F(i)P =

=∑P

~xP ×

( ∑Q:Q6=P

~fPQ

)=

∑P,Q:Q 6=P

~xP × ~fPQ =

=1

2

∑P,Q:Q 6=P

~xP × ~fPQ +1

2

∑P,Q:Q 6=P

~xP × ~fPQ =

=1

2

∑P,Q:Q 6=P

~xP × ~fPQ +1

2

∑Q,P :P 6=Q

~xQ × ~fQP =

=1

2

∑P,Q:Q 6=P

(~xP × ~fPQ + ~xQ × ~fQP

)=

=1

2

∑P,Q:Q 6=P

[(~xP − ~xQ)× ~fPQ

]=

1

2

∑P,Q:Q 6=P

~0 = ~0 . (5.24)

Qui tra la penultima e l’ultima riga si e usata la prima delle ipotesi (5.3) del terzo principio,mentre nel penultimo passaggio dell’ultima riga si e usata la seconda ipotesi.

Ponendo ~M (i) = ~0 nell’equazione (5.22) si ottiene la seconda equazione cardinale delladinamica dei sistemi di punti materiali

~L = ~M (e) , (5.25)

secondo la quale la derivata rispetto al tempo del momento angolare totale e uguale al momentorisultante delle forze esterne.

5.3 Uso delle equazioni cardinali

Le equazioni cardinali della dinamica (5.11) e (5.25) sono identita cinematiche, prive in generaledi utilita pratica, a meno che non si restringa l’attenzione a sotto-classi di problemi specifici (co-me effettivamente faremo). Per capire il motivo di tale affermazione, si cominci con l’osservareche la posizione di un sistema di n punti materiali in dimensione spaziale D = 3 e determinatada 3n coordinate di posizione. D’altra parte le equazioni cardinali sono solo 6: 3 componentidella prima e 3 componenti della seconda. E quindi insensato a priori, in generale, speraredi usare le equazioni cardinali per ricostruire il moto dell’intero sistema. Questa affermazionerimane valida anche per n = 2, come vedremo sotto con un esempio.

D’altra parte, si potrebbe sperare di usare le equazioni cardinali per ricavare informazioniparziali sulla dinamica del sistema. Ad esempio, la prima equazione cardinale ha la forma di


una equazione di Newton: M~aG = ~R(e). Se ~R(e) fosse una funzione nota della posizione edella velocita del baricentro, ed eventualmente del tempo, cioe se fosse ~R(e)(~xG, ~xG, t), allora laprima equazione cardinale sarebbe effettivamente una equazione differenziale (vettoriale) chepotrebbe essere risolta con metodi noti per descrivere il moto del baricentro del sistema. Ingenerale pero il risultante delle forze esterne non e una funzione nota della posizione e dellavelocita del baricentro ed e determinato solo quando siano note le posizioni al tempo t di tuttii punti del sistema, nel qual caso la posizione del baricentro viene determinata semplicementedalla sua definizione (5.7). Per la seconda equazione cardinale si fanno considerazioni analoghe:in generale il momento risultante delle forze esterne non risulta essere una funzione del momentoangolare totale ed e determinato quando siano note le posizioni di tutti i punti del sistema altempo t.

Un caso importante in cui le equazioni cardinali della dinamica forniscono una informazionerilevante sul moto e quello dei sistemi isolati, per i quali si ha, per definizione, ~F

(e)P = ~0

per ogni P , che a sua volta implica ~R(e) = ~0 e ~M (e) = ~0. Allora dalla prima equazionecardinale (5.11) segue ~xG = ~0, cioe il baricentro del sistema si muove di moto rettilineo euniforme: ~xG(t) = ~xG(0) + ~xG(0)t. Dalla seconda equazione cardinale (5.25) segue invece

~L = ~0, ovvero ~L(t) = ~L(0): il momento angolare totale e costante, il suo valore (vettoriale)essendo determinato dal dato iniziale.

Il caso in cui le equazioni cardinali risultano necessarie e sufficienti per la descrizione delladinamica del sistema e quello del corpo rigido, definito come un sistema (finito o infinito) dipunti materiali le cui mutue distanze restano costanti durante il moto: |~xP − ~xQ| = cost. perogni coppia di punti (P,Q) del sistema. Si osservi che la posizione di un corpo rigido nellospazio tridimensionale e determinata da 6 parametri di posizione. Infatti, ad esempio, servono3 coordinate cartesiane per fissare la posizione di un qualsiasi punto P del corpo. Poi servonoaltre due coordinate per fissare la posizione di un secondo punto Q, che si puo muovere sullasfera di centro P e raggio |~xP − ~xQ|; tali coordinate sono ad esempio un angolo di longitudinee uno di latitudine. Infine, serve un angolo per determinare la rotazione del corpo attorno allaretta per P e Q. Quindi si devono determinare 6 parametri di posizione avendo a disposizione,come osservato sopra, 6 equazioni. Questo e naturalmente solo un argomento di plausibilita,che funziona per il corpo rigido ma non funziona per un sistema di due punti materiali. Sipuo dimostrare che le due equazioni cardinali della dinamica (5.11) e (5.25) costituiscono unsistema di equazioni differenziali che descrive completamente la dinamica del corpo rigido, anchein presenza di eventuali vincoli. La stessa affermazione vale, con le dovute modifiche del caso,per sistemi di corpi rigidi.

5.4 Equazioni cardinali della statica

Per un sistema di punti materiali in equilibrio, per il quale vale ~F(i)P + ~F

(e)P = ~0 per ogni P ,

valgono ovviamente le due equazioni cardinali della statica:

~R(e) = ~0 ; (5.26)

~M (e) = ~0 . (5.27)

5.5. SISTEMI DI FORZE APPLICATE 51

Queste si deducono immediatamente dalle equazioni cardinali della dinamica, ponendo ~xG = ~0

nella (5.11) e ~L = ~0 nella (5.25) (all’equilibrio qualsiasi quantita dipendente da posizioni evelocita dei punti materiali e costante, cioe indipendente dal tempo). Naturalmente, come nelcaso della dinamica, e per le stesse ragioni esposte sopra, le equazioni cardinali della staticasono del tutto inutili ai fini della determinazione della posizione di equilibrio e delle eventualireazioni vincolari per un sistema qualsiasi. Per contro, se ci si restringe al caso dei sistemidi corpi rigidi, le equazioni (5.26) e (5.27) diventano lo strumento standard con il quale sideterminano le configurazioni di equilibrio e le relative reazioni vincolari. In particolare, risultache un sistema di corpi rigidi e in equilibrio se per ogni corpo valgono le equazioni cardinalidella statica.

Nel risolvere problemi concreti puo essere utile sostituire alcuni corpi reali con corpi ideali chene costituiscono una buona approssimazione (quando e come dipendera dal problema specificostudiato). Tra questi corpi ideali ce ne sono due particolarmente usati, che sono l’asta ideale eil filo ideale. L’asta ideale e un’asta rigida di massa e sezione trascurabili sollecitata da forzeapplicate esclusivamente ai suoi estremi. L’asta e dunque rappresentata da un segmento diestremi A e B di assegnata lunghezza. All’equilibrio, se ~FA e ~FB sono le due forze applicateagli estremi dell’asta AB si ha

~R(e) = ~FA + ~FB = ~0 (5.28)

e, ponendo ad esempio l’origine in A

~M(e)A =

−→AA× ~FA +

−→AB × ~FB =

−→AB × ~FB = ~0 . (5.29)

Dunque ~FB = −~FA e ~FB ‖−→AB, cioe le due forze applicate agli estremi soddisfano le due

condizioni del principio di azione e reazione: sono uguali in modulo, di verso opposto e condirezione comune la retta per i due rispettivi punti di applicazione. Si dice anche che le due forzeapplicate (A, ~FA) e (B, ~FB) costituiscono una coppia di braccio nullo: una “coppia” soddisfa

per definizione la (5.28); il braccio della coppia e la quantita b ≡ |−→AB| sinα, essendo α(≤ π)

l’angolo tra−→AB e

−→F B (se vale la (5.29) ovviamente b = 0). Per un’asta rigida sono possibili

quindi solo due tipi di configurazioni di forze all’equilibrio. Una e quella in cui ~FA punta verso

B (ha il verso di−→AB) e ~FB punta verso A (ha il verso di

−→Ba), nella quale si dice che l’asta

lavora come “puntone”. Nell’altra configurazione, con forze girate, si dice che l’asta lavoracome “tirante”. Il filo ideale e invece un filo di massa e sezione trascurabili, inestensibile eperfettamente flessibile, che resiste solo a trazione, cioe lavora solo come tirante. Ai fini pratici,quando si ha a che fare con un tirante di massa trascurabile e assegnata lunghezza, l’asta idealee il filo ideale sono del tutto equivalenti.

5.5 Sistemi di forze applicate

Motivati dalle equazioni cardinali della statica, discutiamo in dettaglio alcune proprieta generalidei sistemi di punti materiali sotto l’azione di certe assegnate forze esterne. In particolare,vogliamo vedere sotto quali condizioni due sistemi di questo tipo possono essere consideratiequivalenti dal punto di vista delle equazioni cardinali, in modo che sipossa sostituire un sistemacomplicato di punti e forze con uno piu semplice ai fini del calcolo.


Si definisce sistema di forze applicate un insieme della forma (P, ~fP )P , dove P indica un

punto nello spazio e ~fP indica la forza in esso applicata. La notazione P e volutamenteaspecifica: P varia in un assegnato insieme di punti nello spazio2. Si definiscono quindi inmodo naturale il risultante

~R ≡∑P

~fP (5.30)

e il momento risultante rispetto al polo O

~MO ≡∑P

−→OP × ~fP (5.31)

del dato sistema di forze applicate. Si osservi che il momento risultante, a differenza delrisultante, dipende dalla scelta del “polo” di riferimento (cioe dell’origine rispetto alla qualesono definiti i vettori posizione dei punti). Spostando il polo da O a O′ si ha

~MO′ =∑P

−−→O′P × ~fP =

∑P

(−−→O′O +

−→OP)× ~fP =

=−−→O′O ×

∑p

~fP︸︷︷︸~R

+∑P

−→OP × ~fP︸︷︷︸~MO

,

cioe~MO′ = ~MO +

−−→O′O × ~R , (5.32)

che e la cosı detta formula di trasposizione del momento risultante.

Esempio 5.3. Il sistema di due forze applicate (P, ~f), (Q,−~f) si chiama “coppia”. Il risultantedella coppia e chiaramente nullo; il momento risultante rispetto ad un polo O e

~MO =−→OP × ~f +

−→OQ× (−~f) =

−→QP × ~f .

Si vede da qui, o dalla formula di trasposizione (5.32) con risultante nullo, che il momento diuna coppia e indipendente dal polo.

Consideriamo ora due sistemi di forze applicate (P, ~fP )P e (Q,~gQ)Q, con risultanti

~R =∑P

~fP ; ~S =∑Q

~gQ

e momenti risultanti (rispetto a uno stesso polo O)

~MO =∑P

−→OP × ~fP ; ~NO =

∑Q

−→OQ× ~gQ .

2Piu precisamente, assegnato un insieme B di punti nello spazio, si definisce su di esso una funzione a valorivettoriali P 7→ ~fP , che ad ogni punto P ∈ B associa una forza in esso applicata; il sistema di forze applicate(P, ~fP )P∈B e il grafico di tale funzione.

5.5. SISTEMI DI FORZE APPLICATE 53

I due sistemi si dicono equivalenti se hanno lo stesso risultante e lo stesso momento risultante,cioe ~R = ~S e ~MO = ~NO. Si osservi che se i due sistemi sono equivalenti per una data sceltadel polo O, lo sono per qualsiasi altra scelta O′. Infatti, dalla formula di trasposizione (5.32),passando da O a O′ otteniamo

~MO′ = ~MO +−−→O′O × ~R

e~NO′ = ~NO +

−−→O′O × ~S ,

dalle quali si vede subito che se ~R = ~S e ~MO = ~NO allora ~MO′ = ~NO′ .

Esempio 5.4. Qualsiasi sistema di forze applicate con risultante ~R e momento risultante ~MO

e equivalente al sistema di tre forze applicate

(O, ~R) , (P1, ~F ) , (P2,−~F ) , (5.33)

cioe: “risultante nel polo piu coppia opportuna”. Infatti, il risultante del sistema (5.33) e

evidentemente ~R, mentre il momento risultante rispetto al polo O e pari al momento risultante

della coppia, ovvero−−→P2P1 × ~F , che risulta uguale a ~MO scegliendo ad esempio P1, P2 e ~F nel

piano ortogonale a ~MO stesso, in modo che−−→P2P1, ~F e ~MO formino una terna destrorsa, con

|−−→P2P1||~F | = | ~MO|.

Tra i sistemi di forze applicate risultano particolarmente interessanti i sistemi di forze ap-plicate parallele, della forma (P, fP u)P , con le fP costanti assegnate e u versore assegnato. Ilrisultante di tale sistema e

~R =∑P

fP u =

(∑P

fP

)u ≡ R u , (5.34)

mentre il momento risultante rispetto ad O e

~MO =∑P

−→OP × fP u =

(∑P

fP−→OP

)× u . (5.35)

Se R =∑

P fP 6= 0, dividendo e moltiplicando il lato destro della precedente uguaglianza perR stesso si ottiene

~MO =

(∑P fP−→OP∑

P fP

)× ~R ≡

−→OC × ~R . (5.36)

Il punto C, di vettore posizione definito nella precedente relazione (somma pesata delle posizionidei punti P con pesi le fP ), si chiama centro del sistema di forze applicate parallele. Il sistemadi forze applicate parallele con risultante non nulla e equivalente alla singola forza applicata(C, ~R).

Esempio 5.5. Il classico esempio di forze applicate parallele e quello delle forze peso, ovvero(P,−mPgz)P . Questo sistema e equivalente alla forza applicata (G,−Mgz), dove M =∑

P mP e la massa totale e il centro G del sistema e dato dal baricentro:

−→OG =

∑P (−mPg)

−→OP∑

P (−mPg)=

∑P mP

−→OP∑

P mP

. (5.37)


5.6 Solidi in appoggio ideale

Sia S un solido (corpo rigido) appoggiato sul piano orizzontale z = 0 (cioe il piano x, y) inassenza di attrito, e sia A ≡ A ∈ S : zA = 0 l’insieme dei suoi punti di appoggio. L’insiemeA dei punti di appoggio puo essere finito o infinito (numerabile o meno). L’appoggio inassenza di attrito statico e detto appoggio ideale, ed e caratterizzato dall’assenza di componentiorizzontali delle reazioni vincolari applicate nei punti di appoggio.

Si definisce poligono di appoggio del solido S il poligono convesso dei suoi punti di appoggio,ovvero la regione poligonale chiusa Pa ⊂ z = 0 che ha per vertici alcuni dei punti di appoggio,che contiene tutti gli altri (internamente o sul bordo) e tale che per ogni coppia di punti di Pa

il segmento che li unisce e interamente contenuto in Pa. Si osservi che assegnati due punti P1

e P2, il segmento (orientato) che li unisce ha equazione parametrica

−→OP (λ) = (1− λ)

−−→OP1 + λ

−−→OP2 , (5.38)

con 0 ≤ λ ≤ 1, in modo che P (0) = P1 e P (1) = P2. La convessita del poligono di appoggiorichiede che P (λ) ∈Pa per ogni coppia di punti P1, P2 ∈Pa.

Esempio 5.6. Se A consiste di due punti, Pa e costituito dal segmento che li unisce (estremiinclusi); se i punti sono tre, non allineati, Pa e costituito dal triangolo con vertici nei tre punti(incluso il perimetro).

Esempio 5.7. Per un tavolo con gambe a sezione circolare, A e idealmente costituito dall’u-nione di quattro cerchi (le basi di appoggio delle gambe); il perimetro del poligono di appoggioPa si ottiene passando uno spago attorno alla base delle gambe e compiendo un giro completo.

Il solido S e soggetto a due sistemi di forze applicate. Il primo e il sistema di carichi(P,−qP z)P∈S , con qP > 0 per ogni P . Nel caso “libero” qP = mPg, cioe il sistema di carichiconsiste nelle sole forze peso dei punti materiali del solido; in generale qP ≥ mPg. Il sistema dicarichi e equivalente alla sola forza applicata (Cq, ~Q), dove il centro dei carichi Cq ha posizione

−−→OCq =

∑P∈S qP

−→OP∑

P∈S qP, (5.39)

mentre il risultante ~Q e dato da

~Q = −

(∑P∈S

qP

)z ≡ −Qz . (5.40)

Si definisce centro di pressione del solido appoggiato S la proiezione C∗ sul piano di ap-poggio del centro Cq del sistema di carichi. In pratica, poiche il piano di appoggio e z = 0,se Cq = (X, Y, Z) allora C∗ = (X, Y, 0). Il secondo sistema di forze a cui e soggetto S e ilsistema di reazioni vincolari di appoggio (A, φAz)A∈A , con φA ≥ 0 per ogni A (e certamente

φA > 0 per qualche A). Il sistema di reazioni e equivalente alla sola forza applicata (Ca, ~Φ),dove il centro Ca delle reazioni di appoggio ha posizione

−−→OCa =

∑A∈A φA

−→OA∑

A∈A φA, (5.41)

5.6. SOLIDI IN APPOGGIO IDEALE 55

mentre il risultante ~Φ delle reazioni e dato

~Φ =

(∑A∈A

φA

)z ≡ Φz . (5.42)

Osserviamo ora che Ca ∈ Pa, cioe il centro del sistema di reazioni appartiene al poligono diappoggio. Si consideri infatti una qualsiasi sequenza di punti A,A′, A′′, · · · ∈ A , con corrispon-denti reazioni φA, φA′ , φA′′ , . . . . Il centro C ′ del sistema di due reazioni (A, φA), (A′, φA′) haposizione

−−→OC ′ =

φA−→OA+ φA′

−−→OA′

φA + φA′=

φAφA + φA′

−→OA+

φA′

φA + φA′

−−→OA′ , (5.43)

ed e quindi della forma (5.38) (i coefficienti della combinazione lineare sono non negativi e asomma uno). Allora C ′ appartiene al segmento AA′ che a sua volta, per convessita, appartienetutto al poligono di appoggio Pa; quindi C ′ ∈Pa. Si aggiunga ora il terzo punto A′′. Il centroC ′′ del sistema di tre reazioni (A, φA), (A′, φA′), (A

′′, φA′′) ha posizione

−−→OC ′ =

φA−→OA+ φA′

−−→OA′ + φA′′

−−→OA′′

φA + φA′ + φA′′=

=(φA + φA′)

−−→OC ′ + φA′′

−−→OA′′

φA + φA′ + φA′′=

=φA + φA′

φA + φA′ + φA′′

−−→OC ′ +

φA′′

φA + φA′ + φA′′

−−→OA′′ , (5.44)

dove nel secondo passaggio si e fatto uso della (5.43). Il vettore posizione di C ′′ e della forma(5.38), quindi C ′′ appartiene al segmento C ′A′′. Essendo C ′ e A′′ appartenenti a Pa tutto ilsegmento C ′A′′ appartiene a Pa e, di conseguenza, C ′′ ∈Pa. Per un numero finito di punti diappoggio questo procedimento fornisce il centro delle reazioni Ca in un numero finito di passi.Se invece A e infinito numerabile il procedimento porta a Ca al limite. E evidente che Ca,costruito in questo modo, appartiene a Pa, poiche appartiene a Pa il centro costruito ad ognipasso. Il caso in cui A e infinito non numerabile e piu difficile da trattare ma si riconduce alcaso numerabile. Vale il seguente teorema.

Teorema 5.1 (sul centro di pressione). Un solido in appoggio ideale e in equilibrio se e solo seil centro di pressione appartiene al poligono di appoggio (S e in equilibrio ⇔ C∗ ∈Pa).

Dimostrazione. Sappiamo che S e in equilibrio se e solo se sono soddisfatte le equazionicardinali della statica. La prima e

~R(e) = ~Q+ ~Φ = −Qz + Φz = ~0 ,

soddisfatta se e solo se Q = Φ cioe se e solo se∑P∈S

qP =∑A∈A

φA , (5.45)


che e sempre vera con una opportuna scelta delle reazioni. La seconda equazione cardinaledella statica, scegliendo C∗ come polo, e

~M(e)C∗

=−−−→C∗Ca × ~Φ = ~0 , (5.46)

essendo−−−→C∗Cq × ~Q = ~0 poiche

−−−→C∗Cq ‖ ~Q. Tenendo conto del fatto che

−−−→C∗Ca ⊥ ~Φ, e che

ovviamente ~Φ 6= ~0, l’equazione (5.46) puo essere soddisfatta se e solo se−−−→C∗Ca = ~0, cioe se e

solo se C∗ = Ca ∈Pa.

5.7 Esercizi

Esercizio 5.1. Risolvere esplicitamente le equazioni cardinali della dinamica nel caso di unsistema di punti materiali soggetti, come forze esterne, alla sola forza peso: ~F

(e)P = −mPgz.

Esercizio 5.2. Si considerino N elettroni, di carica elettrica “−e” e massa m, soggetti, comeforze esterne, alla Forza di Lorentz dovuta ad un campo magnetico uniforme e costante B0z:~F

(e)P = − e

c~vP × B0z. Si scriva e si risolva la prima equazione cardinale della dinamica del

sistema. Si scriva la seconda equazione cardinale e se ne consideri la componente z, mostrandoche essa implica una legge di conservazione (cioe l’esistenza di una costante del moto).

Esercizio 5.3. Si consideri un sistema costituito da due aste ideali identiche AB e BC, dilunghezza L, con un estremo comune in B. I due estremi A e C sono bloccati in modo che sial’asta AB che l’asta BC sono inclinate di un angolo α rispetto alla retta per A e C. In B eapplicata una forza ~F complanare alle aste. Scrivere la condizione di equilibrio del sistema edeterminare le reazioni vincolari in A e in C.

Suggerimento: risolvere prima con le equazioni cardinali della statica e poi scomponendo laforza lungo le direzioni delle due aste.

Osservazione: se si sostituiscono le aste ideali con due fili ideali di lunghezza L non cambianulla finche la forza ~F e tale che entrambi i fili lavorano come tiranti.

Esercizio 5.4. Si consideri un sistema costituito da due punti materiali di massa m1 ed m2

collegati da una molla ideale di costante k. Determinare il moto del sistema.Suggerimento: scrivere e risolvere le due equazioni cardinali della dinamica; scrivere e

risolvere l’equazione per lo spostamento relativo.

Esercizio 5.5. In un piano verticale, un’asta rigida AB di lunghezza L e massa M e poggiata aterra in A e alla parete in B. L’appoggio in B e privo di attrito, mentre in A si ha attrito staticodi coefficiente fs. Sia α(< π/2) l’angolo di inclinazione dell’asta rispetto al piano orizzontale.Sul sistema agisce la gravita. Determinare le reazioni vincolari in A e in B; determinare ilvalore minimo dell’angolo di inclinazione affinche l’asta sia in equilibrio.

Esercizio 5.6. Una sfera rigida di raggio R e massa M e poggiata contro un gradino di altezzah < R. Siano C il punto di appoggio della sfera sul pavimento e A il punto di appoggio dellasfera sullo spigolo del gradino. La sfera e spinta contro il gradino con una forza orizzontale ~Fapplicata ad altezza R+ r rispetto al punto C (−R+h < r < R). Sul sistema agisce la gravita.

Calcolare le reazioni vincolari in C e A; determinare il valore minimo di |~F | necessario a farstaccare la sfera da terra facendo perno in A.

5.7. ESERCIZI 57

Esercizio 5.7. Un’asta rigida OC di massa M e lunghezza L e appoggiata sul piano orizzontalenei punti A e B, tali che 0 < xA < xB < L. Un carico q > 0 agisce nell’estremo C dell’asta,oltre alla gravita. Determinare le reazioni in A e in B e le condizioni che devono esseresoddisfatte dal carico affinche il sistema sia in equilibrio. Ricavare le condizioni di equilibriofacendo uso del teorema sul centro di pressione.

Esercizio 5.8. Una gru e schematizzata da un sistema composto da tre aste rigide (piu uncontrappeso opportuno). La prima asta, OA, di lunghezza a, giace lungo l’asse x (xO = 0,xA = a), apoggiata negli estremi O e A, senza attrito. La seconda asta parte dal centro dellaprima, parallela all’asse y. La terza e incernierata sull’estremo superiore della seconda, dispostaorizzontalmente nel piano x, y; l’avambraccio, cioe la porzione che va dalla cerniera all’estremopiu lontano (a destra) ha lunghezza L. La gru, di massa totale M , porta un carico q = mg, diascissa x (a < x < L). Il baricentro della gru scarica ha ascissa xG = γ, 0 < γ < a. Facendouso del teorema sul centro di pressione, determinare l’intervallo di variabilita di x affinche lagru sia in equilibrio; determinare poi il valore massimo per la massa del carico m affinche lagru possa sfruttare tutta la lunghezza dell’avambraccio. Ripetere l’analisi precedente facendouso delle equazioni cardinali della statica e determinando, in particolare, le reazioni di appoggioin O e in A.

Esercizio 5.9. Un modello di arco e costituito da cinque punti materiali di uguale massam, disposti nel piano verticale x, y. Il primo punto al vertice e collegato ai due punti vicini(disposti simmetricamente piu in basso, uno a sinistra e uno a destra) tramite due aste idealiuguali di lunghezza fissata e inclinate ognuna di un angolo α rispetto all’asse x. Ognuno dei duepunti in questione e collegato a sua volta ad un altro punto, poggiato a terra (cioe sull’asse x),tramite un’asta ideale di lunghezza fissata inclinata di un angolo β rispetto all’asse x (l’angolodi inclinazione e per definizione quello minore o uguale a π/2). Assegnato α, determinare ilvalore di β affinche il sistema sia in equilibrio. Determinare il valore delle reazioni vincolarinei punti di appoggio.

Capitolo 6

Geometria delle masse I: baricentro

6.1 Proprieta di composizione

Sia dato un sistema di punti materiali, o “corpo” C e sia mP la massa del generico puntoP ∈ C . Ricordiamo che C ha massa totale

M =∑P∈C

mP (6.1)

e baricentro G di posizione

−→OG =

∑P∈C mP

−→OP

M. (6.2)

Siano ora C1,C2 due sottocorpi costituenti una partizione di C :

C1 ∪ C2 = C ; C1 ∩ C2 = ∅ . (6.3)

Per ognuno di essi possiamo definire una massa totale e un baricentro:

M1 =∑P∈C1

mP ; M2 =∑P∈C2

mP ; (6.4)

−−→OG1 =

∑P∈C1

mP−→OP

M1

;−−→OG2 =

∑P∈C2

mP−→OP

M2

; (6.5)

Vale la seguente proposizione.

Proposizione 6.1 (Teorema di composizione del baricentro). Per ogni partizione del corpo Cin due sottocorpi C1,C2 si ha

−→OG =

M1−−→OG1 +M2

−−→OG2

M1 +M2

. (6.6)

Dimostrazione. Tenendo conto delle definizioni (6.4)-(6.5) e delle proprieta (6.3) si trova

M1 +M2 =∑P∈C1

mP +∑P∈C2

mP =∑

P∈C1∪C2

mP =∑P∈C

mP = M ;

59

60 CAPITOLO 6. GEOMETRIA DELLE MASSE I: BARICENTRO

M1

−−→OG1 +M2

−−→OG2 =

∑P∈C1

mP

−→OP +

∑P∈C2

mP

−→OP =

∑P∈C1∪C2

mP

−→OP =

∑P∈C

mP

−→OP .

Il rapporto di queste due quantita e quindi dato da

M1−−→OG1 +M2

−−→OG2

M1 +M2

=

∑P∈C mP

−→OP

M=−→OG .

La proposizione appena dimostrata risulta utilissima se si e in grado di calcolare o deter-minare la posizione del baricentro dei due sottocorpi costituenti la partizione. Si osservi chedalla formula (6.6) segue che il baricentro G e posizionato sul segmento G1G2, piu vicino albaricentro del sottocorpo piu massivo. Si noti anche che quanto detto per una partizione indue sottocorpi vale per una partizione costituita da un arbitrario numero di sottocorpi. Infatti,dati C1 e C2, si puo eseguire una partizione in due sottocorpi di uno di essi o di entrambi edapplicare a tale partizione i ragionamenti appena fatti. Ne risulta allora una partizione a treo a quattro sottocorpi del corpo iniziale C ; il procedimento si puo quindi iterare per dare unapartizione complessiva del corpo iniziale in un numero arbitrario di sottocorpi. In definitiva, seC1, . . . ,Cn costituiscono una qualsiasi partizione di C in n sottocorpi, cioe soddisfano

C1 ∪ · · · ∪ Cn = C ; Ci ∩ Cj = ∅ se i 6= j ,

e M1, . . . ,Mn, G1, . . . , Gn denotano le rispettive masse e i rispettivi baricentri (con definizioneovvia), si ha

−→OG =

∑ni=1Mi

−−→OGi∑n

i=1Mi

.

6.2 Simmetria materiale

Se definisce piano (o retta) di simmetria materiale di un corpo C un piano “geometrico” π(una retta “geometrica” r) che puo contenere punti di C e tale che per ogni punto P ∈ C dimassa mP non appartenente a π (r) esiste un punto P ′ ad esso speculare rispetto a π (r)1 diuguale massa: mP ′ = mP .

Si noti che, in generale, non basta la simmetria geometrica: se anche per un punto soltantonon sul piano ne esiste uno ad esso speculare ma di massa diversa, allora il piano in questionee un piano di simmetria geometrica ma non e un piano di simmetria “materiale”. Nel casodi corpi continui nella definizione data sopra si deve sostituire la condizione di uguaglianzadelle masse dei punti speculari con l’uguaglianza della densita: ρ(P ) = ρ(P ′). In particolare,per corpi omogenei, cioe di densita costante (indipendente dal punto), la simmetria materialeequivale a quella geometrica. Vale la seguente importantissima proposizione.

Proposizione 6.2. Se il corpo C ammette un piano π (una retta r) di simmetria materiale,allora il suo baricentro G appartiene a π (r).

1P ′ e speculare a P rispetto a π (r) se il segmento PP ′ e ortogonale a π (r) e interseca π (r) nel suo puntomedio.

6.3. ESERCIZI 61

Dimostrazione. Consideriamo la partizione di C costituita da tutti gli eventuali punti di Cappartenenti a π (r) e da tutte le coppie di punti speculari rispetto a π (r). Il baricentro deipunti di C appartenenti a π (r) giace, ovviamente, su π (r). Inoltre, poiche da mP = mP ′ segueche

mP−→OP +mP ′

−−→OP ′

mP +mP ′=

−→OP +

−−→OP ′

2,

il baricentro di ogni coppia di punti speculari P, P ′ si trova sul punto medio del segmento PP ′ equindi appartiene a π (r). Dunque il baricentro di ogni sottocorpo della partizione appartiene aπ (r) e quindi per composizione il baricentro di C , che ha posizione data da una combinazionelineare delle posizioni dei baricentri dei sottocorpi, appartiene a π (r).

Un corollario immediato della precedente proposizione e che se C ammette due piani (rette)π e π′ (r e r′) di simmetria materiale, allora il baricentro G di C appartiene alla loro inter-sezione π ∩ π′ (r ∩ r′). Analogamente, se C ammette un piano π e una retta r di simmetriamateriale, allora G ∈ π ∩ r (la dimostrazione di questi fatti e del tutto ovvia). Ne segue cheper un corpo piano (lastra o piastra continua, sistema discreto di punti, ecc..) due rette di sim-metria materiale individuano la posizione del baricentro, mentre per un corpo tridimensionaleil baricentro e individuato da tre piani di simmetria materiale, da tre rette oppure da un pianoe una retta ad esso trasversale. In questo modo si dimostra, senza fare alcun calcolo, che ilbaricentro di una lastra piana di forma ad esempio rettangolare, circolare o poligonale regolaresi trova nel centro geometrico della lastra stessa. Analogamente si dimostra che il baricentrodi una sfera omogenea piena, di un guscio sferico omogeneo, di un parallelepipedo omogeneo abase poligonale regolare, di un cilindro omogeneo, ecc.., giace nel centro dell’oggetto stesso.

6.3 Esercizi

Esercizio 6.1. Disegnare lo schema di una gru con contrappesi e carico. Usando la composizio-ne e la simmetria, senza eseguire calcoli, individuare graficamente la posizione del baricentro.

Esercizio 6.2. Calcolare la posizione del baricentro di una sfera omogenea di Raggio R edensita ρ, nella quale sia stata scavata una cavita sferica di raggio r, centrata a distanza d dalcentro geometrico della sfera (d+r < R). Calcolare la posizione del baricentro nel caso in cui lacavita viene riempita omogeneamente con materiale di densita ρ′. Procedere per composizione:la sfera piena puo essere vista come unione di quella cava e della sferetta estratta.

Esercizio 6.3. Calcolare la posizione del baricentro di una lastra circolare omogenea di RaggioR e densita ρ, nella quale sia stato praticato un foro circolare di raggio r, centrato a distanzad dal centro geometrico della lastra (d+ r < R). Calcolare la posizione del baricentro nel casoin cui il foro viene riempito omogeneamente con materiale di densita ρ′.

Esercizio 6.4. Calcolare la posizione del baricentro di una lastra quadrata omogenea di massaM , lato a, con tre punti materiali di massa m ciascuno, di cui due attaccati ai due verticidi uno dei lati e il terzo attaccato al centro di uno dei due lati adiacenti al primo. Procedereusando la definizione e poi usando la composizione.

62 CAPITOLO 6. GEOMETRIA DELLE MASSE I: BARICENTRO

Esercizio 6.5. Calcolare la posizione del baricentro di una lastra quadrata omogenea di lato a,con un foro quadrato di lato b e centro C situato su un asse della lastra a distanza d dal centro.Trattare anche il caso in cui il centro C del foro e situato sulla diagonale della lastra.

Capitolo 7

Lavoro ed energia

7.1 Teorema dell’energia cinetica

Consideriamo un sistema di punti materiali il cui moto e descritto dalle equazioni di Newton

mP~aP = ~fP , (7.1)

al variare di P nel sistema. Moltiplicando scalarmente l’equazione (7.1) per ~vP , e tenendo contodel fatto che

~vP · ~aP = ~vP · ~vP =d

dt

(~vP · ~vP

2

)=

d

dt

|~vP |2

2,

si ottiened

dt

(mP |~vP |2

2

)= ~fP · ~vP .

La quantita tra parentesi a sinistra si chiama energia cinetica del punto materiale P , mentrequella a destra, il prodotto scalare di forza e velocita, e la potenza istantanea della forza appli-cata al punto P . Sommando l’ultima equazione su P e definendo l’energia cinetica (totale) Kdel sistema di punti come

K ≡∑P

mP |~vP |2

2, (7.2)

si ottiene l’identita

K =∑P

~fP · ~vP , (7.3)

ovvero: la derivata dell’energia cinetica e pari alla potenza istantanea totale delle forze agentisul sistema. Integrando la (7.3) rispetto al tempo tra t1 e t2 si ottiene

∆K ≡ K(t2)−K(t1) =

∫ t2

t1

∑P

~fP · ~vPdt , (7.4)

cioe: la variazione di energia cinetica in un dato intervallo di tempo e pari all’integrale su taleintervallo della potenza istantanea. Tenendo ora conto del fatto che ~vPdt = d~xP (e la definizione

63

64 CAPITOLO 7. LAVORO ED ENERGIA

di velocita istantanea scritta in forma differenziale), si definisce la forma differenziale

δL ≡∑P

~fP · d~xP , (7.5)

che si chiama lavoro infinitesimo compiuto dalle forze agenti sul sistema nello spostamentoinfinitesimo d~xP. Indichiamo ora con γ il cammino (la curva) che connette i punti ~xP (t1)e ~xP (t2) nello spazio delle configurazioni del sistema, ovvero

γ : t 7→ ~xP (t) , t ∈ [t1, t2] ,

essendo ~xP (t) la soluzione del sistema di equazioni di Newton (7.1) corrispondente a unassegnato dato iniziale ~xP (0), ~vP (0). L’identita (7.4) si puo quindi riscrivere come

∆K =

∫γ

δL , (7.6)

ovvero: la variazione di energia cinetica e pari al lavoro compiuto dalle forze agenti sul sistemalungo il cammino γ. Le identita (7.3), (7.4) e (7.6) sono formulazioni equivalenti del cosı detto“teorema dell’energia cinetica”.

7.2 Forze conservative

In generale, cioe per una scelta qualsiasi del sistema di forze, il lavoro infinitesimo (7.5) non eun differenziale esatto, cioe non e il differenziale totale di una funzione delle posizioni dei puntimateriali del sistema. Equivalentemente, il lavoro totale

∫γδL dipende dall’intero cammino γ

e non solo dai due punti estremi ~xP (t1) e ~xP (t2), ovvero l’integrale∮δL su un qualsiasi

cammino chiuso non e necessariamente nullo. Si vede facilmente che la forma differenziale δLe esatta, cioe e il differenziale totale di una funzione definita nello spazio delle configurazioni,se e solo se esiste una funzione U(~xP) tale che, per ogni P

~fP = − ∂U

∂~xP= −∇PU , (7.7)

ovvero fPj = −∂U/∂xPj per ogni j = 1, . . . , D e per ogni P . Infatti se esiste U verificante la(7.7) allora

δL = −∑P

∂U

∂~xP· d~xP = −dU = d(−U) ,

cioe δL e il differenziale totale di −U . Viceversa, se δL = dL (cioe se la forma differenziale che

definisce il lavoro infinitesimo e esatta), allora ~fP = ∂L/∂~xP e quindi esiste la funzione U = −L,definita dall’integrale di δL = dL lungo un cammino qualsiasi che connette una origine fissatacon un punto generico dello spazio delle configurazioni. La funzione U di cui sopra si chiamaenergia potenziale del sistema ed e chiaramente definita a meno di una costante arbitraria. Leforze che verificano la condizione (7.7) si dicono conservative, perche in tale caso il teoremadell’energia cinetica assume la forma di una legge di conservazione. Infatti, se δL = −dU si ha

∆K = −∫γ

dU = −∫ t2

t1

Udt = −U(t2) + U(t1) ≡ −∆U ,

7.3. VINCOLI IDEALI: PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI 65

ovvero ∆(K + U) = 0, che implica la legge di conservazione

K(~vP) + U(~xP) = E , (7.8)

dove E e una costante il cui valore e fissato dai dati iniziali: E ≡ K(~vP (0))+U(~xP (0)). Lafunzione H ≡ K + U , somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale, si chiama energiatotale del sistema e la legge di conservazione (7.8), cioe H = E, si chiama legge di conservazionedell’energia.

Esempio 7.1. Per un punto materiale non soggetto a forze si conserva l’energia cinetica H =K = m|~v|2/2.

Esempio 7.2. Per un punto materiale che si muove lungo la verticale, soggetto alla propriaforza peso, −mg = −dU/dz implica U(z) = mgz; quindi si conserva l’energia totale H =mv2/2 +mgz.

Esempio 7.3. Nel moto armonico unidimensionale, −kx = −dU/dx implica U = kx2/2;quindi si conserva l’energia totale H = (mv2 + kx2)/2. L’insieme di livello H = E nel pianox, v e una ellisse di semiassi

√2E/k e

√2E/m, che viene percorsa in senso orario.

7.3 Vincoli ideali: principio dei lavori virtuali

Consideriamo un sistema di punti materiali soggetto a vincoli, le cui equazioni di Newton sono

mP~aP = ~F(a)P + ~φP , (7.9)

avendo separato nella forza agente sul punto P il contributo della forza attiva ~F(a)P da quello della

reazione vincolare ~φP . I vincoli considerati possono essere fermi o in movimento; si considerasolo il caso di vincoli bilateri (ed esempio punto vincolato a muoversi su una superficie).

Si definisce spostamento virtuale infinitesimo δ~xP ogni spostamento infinitesimo del puntoP compatibile con i vincoli “bloccati” (tenuti fermi). Nel caso di vincoli in movimento δ~xP 6=d~xP = ~vPdt, cioe lo spostamento virtuale del punto P non e uno spostamento “possibile” delpunto. Si consideri ad esempio un punto materiale vincolato a muoversi su un pavimento chesale con velocita costante v0 lungo la verticale (persona in ascensore). In tale caso si ha d~xP =~v‖dt+v0zdt, essendo ~v‖ la “reale” velocita istantanea del punto parallela al pavimento. D’altraparte, per definizione, δ~xP = ~u‖dt, dove ~u‖ e una qualsiasi velocita parallela al pavimento.

Quindi d~xP − δ~xP = (~v − ~u)dt + v0zdt, che e sempre diverso da ~0 se v0 6= 0. D’altra parte, sev0 = 0, allora d~xP = δ~xP con la scelta ~u = ~v.

Per un singolo punto vincolato ad una superficie δ~xP e un qualsiasi vettore (infinitesimo) sulpiano tangente alla superficie nel punto P . In questo caso sappiamo che l’idealita del vincolo,cioe l’assenza di attrito, e espressa dalla ortogonalita di ~φP alla superficie nel punto P , ovvero da~φP · δ~xP = 0: il lavoro compiuto dalla reazione lungo ogni spostamento virtuale (infinitesimo) enullo. Per analogia, la caratterizzazione dei vincoli (bilateri) ideali per sistemi generali di puntimateriali e data dalla seguente ipotesi:


Dato un sistema di punti materiali soggetti a vincoli bilateri ideali, il lavoro totale compiu-to dalle reazioni vincolari lungo ogni spostamento virtuale (infinitesimo) dell’intero sistema enullo:

δL(v) ≡∑P

~φP · δ~xP = 0 . (7.10)

Ora, dal sistema di equazioni di Newton (7.9) si ricava ~φP = mP~aP − ~F(a)P che, inserita nella

(7.10) fornisce ∑P

(mP~aP − ~F

(a)P

)· δ~xP = 0 ∀δ~xP , (7.11)

relazione nota come principio di d’Alambert e punto di partenza per la meccanica lagrangiana.In sostanza, con una opportuna scelta di spostamenti virtuali indipendenti, la (7.11) permettedi ricavare equazioni del moto “libere” da reazioni vincolari incognite, che vengono poi calcolatea posteriori. Nel caso particolare della statica, il principio di d’Alambert (7.11) diventa il cosıdetto principio dei lavori virtuali :

δL(a)eq ≡

∑P

~F(a)P · δ~xP = 0 ∀δ~xP , (7.12)

che esprime l’annullarsi del lavoro compiuto dalle forze attive lungo ogni spostamento virtualeinfinitesimo rispetto all’equilibrio. Si noti che le forze attive comprendono, in generale, sia leforze interne che le forze esterne. Il principio dei lavori virtuali (7.12) viene utilizzato in praticaper calcolare le reazioni vincolari, facendo uso di un trucco. Dato un sistema di punti soggettoa vincoli, si “libera” un vincolo e si promuove a forza attiva la reazione che il vincolo esercitava.Si considerano quindi degli spostamenti virtuali del sistema tali che la (7.12) fornisca un sistemadi equazioni lineari per la forza attiva (ex reazione vincolare) incognita.

7.4 Esercizi

Esercizio 7.1. Trovare l’espressione dell’energia totale H (conservata) per una coppia di puntimateriali P e Q, di masse rispettive mP ed mQ, collegati da una molla ideale di costante k esoggetti alla propria forza peso.

Esercizio 7.2. Trovare l’espressione dell’energia totale H (conservata) per due punti materialidi uguale massa m appesi in serie lungo la verticale, secondo lo schema molla-punto-molla-pinto,le due molle essendo ideali e di uguale costante k.

Esercizio 7.3. Trovare l’espressione dell’energia totale H (conservata) per N elettroni inte-ragenti (repulsione coulombiana) e soggetti ad un campo magnetico uniforme e costante B0z.Suggerimento: calcolare la potenza delle forze di Lorentz.

Esercizio 7.4. Facendo uso del principio dei lavori virtuali calcolare le reazioni di appoggio diuna trave OC di lunghezza L, massa M , appoggi in A e B tali che 0 < xA < xB < L e caricoq in C.

7.4. ESERCIZI 67

Esercizio 7.5. Considerare una leva all’equilibrio, cioe un’asta AB incernierata nel punto O(fulcro) tale che il segmento OA e lungo a e il segmento OB e lungo b. L’asta e soggetta alle

forze (A, ~FA), (B, ~FB) e alla reazione (O, ~φO). Si determini la condizione di equilibrio dellaleva facendo uso del principio dei lavori virtuali. Si liberi il fulcro e, sempre facendo uso delprincipio dei lavori virtuali, si calcoli la reazione in O. Si analizzi il problema facendo uso delleequazioni cardinali della statica.

Capitolo 8

Cinematica relativa e rigida

8.1 Legge di Newton in un sistema non inerziale

Sia S un sistema di riferimento inerziale in cui e fissata una terna ortonormale (O, e1, e2, e3). Siconsideri un sistema di riferimento S ′ che si muove rispetto a S di moto qualsiasi. In S ′ e fissatauna terna ortonormale (O′, e′1, e

′2, e′3) (O e O′ sono le rispettive origini delle due terne; si ricorda

che un asse nello spazio - cioe una retta orientata - e individuato da una coppia punto-vettore).I versori di base di S sono fissi, cioe indipendenti dal tempo, mentre i versori di base di S ′ sonomobili, cioe dipendono dal tempo. Senza perdita di generalita si puo sempre pensare che labase fissa sia quella canonica. Sia P un punto materiale di massa m che si muove nello spazio.La dinamica di P nel sistema S e descritta dall’equazione di Newton m~a = ~f , essendo ~f(~x, ~x, t)la risultante delle forze agenti su P . Vogliamo capire se e come si modifica tale legge se il motodel punto P viene osservato nel sistema mobile (e in generale non inerziale) S ′. La motivazioneper tale studio nasce dalla necessita di spiegare la natura di certe forze che si manifestano neisistemi non inerziali: le cosı dette forze apparenti (cioe forze non riconducibili alla interazionetra corpi). Introduciamo a tale scopo i seguenti tre vettori in S (espressi cioe come combinazionilineari dei vettori di base ej, j = 1, 2, 3):

•−→OP ≡ ~x = x1e1 + x2e2 + x3e3;

•−−→O′P ≡ ~x′ = x′1e1 + x′2e2 + x′3e3;

•−−→OO′ ≡ ~r = r1e1 + r2e2 + r3e3.

Vale ovviamente−→OP =

−−→OO′ +

−−→O′P , ovvero

~x = ~r + ~x′ . (8.1)

D’altra parte, il vettore−−→O′P puo essere scritto nella base di S ′, con coordinate X1, X2 e X3.

Allora deve valere l’identita

x′1e1 + x′2e2 + x′3e3 = X1e′1 +X2e

′2 +X3e

′3 ⇔

3∑j=1

x′j ej =3∑j=1

Xj e′j .

69

70 CAPITOLO 8. CINEMATICA RELATIVA E RIGIDA

Moltiplicando scalarmente da sinistra per ei si ottiene

x′i =3∑j=1

(ei · e′j)Xj ≡3∑j=1

RijXj ,

dove si e introdotta la matrice R(t), 3× 3, il cui elemento ij (riga i, colonna j) e definito da

Rij(t) ≡ ei · e′j(t) . (8.2)

Dunque l’identita (8.1) si riscrive (in S)

~x = ~r +R ~X , (8.3)

dove~X ≡ X1e1 +X2e2 +X3e3 . (8.4)

Si noti che il vettore ~X appena definito e il vettore−−→O′P scritto in S ′ hanno le stesse componenti,

ma in due basi diverse. Si dimostra facilmente che la matrice R(t) definita in (8.2) e, per ognit fissato, una matrice ortogonale o, piu precisamente, una matrice di rotazione, cioe soddisfa lecondizioni

RTR = I3 ; detR = 1 . (8.5)

Infatti vale

(RTR)ik =3∑j=1

(RT )ijRjk =3∑j=1

RjiRjk =3∑j=1

(ej · e′i)(ej · e′k) =

= e′i ·

(3∑j=1

eiei

)· e′k = e′i ·

(3∑j=1

eieTi

)e′k = e′i · I3e

′k =

= e′ie′k = (I3)ik , (8.6)

dove nell’ultimo passaggio si e tenuto conto della ortonormalita dei versori di base in S ′. Lacondizione RTR = I3 (equivalente a RRT = I3) definisce le matrici ortogonali 3 × 3. Questehanno determinante di modulo unitario: det(RTR) = (detR)2 = det I3 = 1. E naturalesupporre che a qualche istante di tempo, ad esempio a t = 0, la base di S ′ coincida con quelladi S, e che il moto di ogni asse di S ′ sia continuo, in modo che sia continua la dipendenza daltempo di R(t). Allora detR(0) = 1 e quindi detR(t) = 1 per ogni t, essendo detR una funzionecontinua degli elementi di R: detR(t) e una funzione continua che puo assumere solo due valori,ovvero ±1; se a t = 0 vale +1 non puo “saltare” al valore −1. Le matrici di rotazione sonodefinite appunto come il sotto-gruppo delle matrici ortogonali 3× 3 con determinante +1.

Vogliamo ora ricavare l’equazione di Newton per il vettore ~X, cosa che si ottiene derivando

rispetto al tempo l’identita (8.3) due volte ed esplicitando m ~X in funzione di tutti gli altritermini. Derivando una prima volta la (8.3) otteniamo

~x = ~r + R ~X +R ~X = ~r +R(RT R ~X + ~X

). (8.7)

8.1. LEGGE DI NEWTON IN UN SISTEMA NON INERZIALE 71

Ora, si vede facilmente che la matrice A ≡ RT R introdotta nell’ultimo passaggio sopra eantisimmetrica. Infatti, derivando rispetto al tempo l’identita RTR = I3, si ottiene

RTR +RT R = 0 ⇔ RTR = −RT R ,

da cui segue cheAT = (RT R)T = RTR = −RT R = −A .

Una matrice antisimmetrica 3 × 3 e univocamente determinata da tre parametri, cioe daglielementi di matrice che non giacciono sulla diagonale principale (quelli su tale diagonale sononulli); pertanto A e necessariamente della forma

A =

0 −Ω3 Ω2

Ω3 0 −Ω1

−Ω2 Ω1 0

. (8.8)

L’azione di A su un qualsiasi vettore ~u = u1e1 + u2e2 + u3e3 e data da

A~u =

0 −Ω3 Ω2

Ω3 0 −Ω1

−Ω2 Ω1 0

u1

u2

u3

=

Ω2u3 − Ω3u2

Ω3u1 − Ω1u3

Ω1u2 − Ω2u1

= ~Ω× ~u ,

avendo definito il vettore ~Ω ≡ Ω1e1+Ω2e2+Ω3e3. Si osservi che A~Ω = ~0, cioe ~Ω e l’autovettore diA corrispondente all’autovalore nullo. Il vettore ~Ω(t) si chiama velocita angolare di S ′ rispettoa S, misurata in S ′. L’introduzione di tale vettore permette di riscrivere la (8.7) nel modoseguente:

~x = ~r +R[~Ω× ~X + ~X

]. (8.9)

Derivando ancora una volta rispetto al tempo otteniamo

~x = ~r + R[~Ω× ~X + ~X

]+R

[~Ω× ~X + ~Ω× ~X + ~X

]=

= ~r +R[RT R

(~Ω× ~X + ~X

)+ ~Ω× ~X + ~Ω× ~X + ~X

]=

= ~r +R[~Ω×

(~Ω× ~X + ~X

)+ ~Ω× ~X + ~Ω× ~X + ~X

]=

= ~r +R[~Ω×

(~Ω× ~X

)+ ~Ω× ~X + 2~Ω× ~X + ~X

]. (8.10)

Riscrivendo quest’ultima identita ~x − ~r = R[· · · ] e moltiplicando da sinistra per RT , isoliamo

la parentesi quadra [· · · ] = RT (~x − ~r). Lasciando a sinistra solo ~X e portando tutti gli altritermini nella parentesi quadra a destra dell’uguale otteniamo

~X = RT ~x−RT ~r − ~Ω× ~X − ~Ω×(~Ω× ~X

)− 2~Ω× ~X .

A questo punto moltiplichiamo per la massa m del punto materiale e teniamo conto del fattoche m~x = ~f(~x, ~x, t), ottenendo la legge di Newton

m ~X = ~F + ~Fit + ~Fir + ~Fcen + ~FCor , (8.11)


dove~F ( ~X, ~X, t) ≡ RT ~f

(~r +R ~X, ~r +R

[~Ω× ~X + ~X

], t)

(8.12)

e la forza “reale” agente in S su P e misurata in S ′;

~Fit ≡ −mRT ~r (8.13)

e la forza di inerzia traslazionale, dovuta all’accelerazione traslazionale di S ′ rispetto a S;

~Fir ≡ −m~Ω× ~X (8.14)

e la forza di inerzia rotazionale, dovuta all’accelerazione rotazionale di S ′ rispetto a S;

~Fcen ≡ −m~Ω×(~Ω× ~X

)(8.15)

e la forza centrifuga;~FCor ≡ −2m~Ω× ~X (8.16)

e la forza di Coriolis.

Esempio 8.1. Supponiamo O′ = O e e′ = e, cioe S ′ ruota rispetto a S intorno all’asse comune(O, e3). La matrice R(t) in questo caso ha la forma

R(t) =

cos θ(t) − sin θ(t) 0sin θ(t) cos θ(t) 0

0 0 1

,

essendo θ(t) l’angolo di rotazione in funzione del tempo. Per quanto riguarda la matrice A e

la velocita angolare ~Ω si ha:

A = RT R =

0 −θ 0

θ 0 00 0 0

; ~Ω = θe3 =

00

θ

.

La forza di inerzia traslazionale ~Fit = −RT ~r in questo caso e nulla, poiche ~r =−−→OO′ = ~0. La

forza di inerzia rotazionale, legata all’accelerazione angolare, e

~Fir = −m~Ω× ~X = −mθ(X1e2 −X2e1) ; (8.17)

la forza centrifuga e

~Fcen = −m~Ω× (~Ω× ~X) = mθ2(X1e1 +X2e2) , (8.18)

mentre la forza di Coriolis e

~FCor = −2m~Ω× ~X = −2mθ(X1e2 − X2e1) . (8.19)

8.2. FORZE APPARENTI E LORO EFFETTI 73

8.2 Forze apparenti e loro effetti

Le forze di inerzia ~Fit e ~Fir, la forza centrifuga ~Fcen e la forza di Coriolis ~FCor, definite in (8.13)-(8.16), sono dette forze apparenti perche sono dovute al solo moto di S ′ rispetto a S e nonsono riconducibili alle forze agenti sul punto materiale nel sistema inerziale S. Si osservi che seS ′ si muove di moto rettilineo uniforme rispetto a S, cioe r = ~0 e ~Ω = ~0, allora tutte le forzeapparenti si annullano. Si osservi anche che le forze di inerzia e la forza centrifuga agiscono sul

punto materiale anche se questo non si muove rispetto a S ′, ovvero anche se ~X = ~0. La forzadi Coriolis agisce invece solo in presenza di moto relativo del punto rispetto al sistema mobileS ′. Esaminiamo brevemente le caratteristiche e gli effetti di ognuna delle quattro forze.

La forza di inerzia traslazionale (8.13) e dovuta all’accelerazione “in blocco” di S ′ rispettoa S. Per comprenderne gli effetti fisici si consideri il caso semplice di in cui S ′ si muove di mototraslatorio accelerato rispetto a S, con ~r(t) = r(t)e1 e e1 = e′1. Allora R = I3 e ~Fit = −mre1,cioe la forza apparente ha verso opposto a quello dell’accelerazione di S ′. E questo ad esempioil caso in cui ci si trova all’interno di un veicolo (sistema S ′) che, senza girare, accelera o frena(rispetto alla strada S). Si spiega cosı perche si e soggetti ad una spinta “all’indietro” se ilveicolo accelera, o a una spinta “in avanti” se il veicolo frena.

La forza di inerzia rotazionale (8.14) e dovuta alla “accelerazione angolare”, ovvero alla non

uniformita della rotazione: ~Ω 6= ~0. Per capirne l’effetto, si consideri il caso in cui il puntomateriale si trova su una pedana circolare che ruota attorno al proprio asse verticale (si vedal’esempio 8.1). Supponiamo che a t = 0 la pedana sia ferma e che il punto si trovi in posizione~X(0) = de1. Allora, quando a t = 0+ la pedana inizia a ruotare in senso antiorario, Ω = θ > 0,

sul punto agisce una forza ~Fir = −mΩde2 che tende a spingere il punto “indietro” rispetto alverso di rotazione. In generale, a qualsiasi istante di tempo, la forza e diretta lungo la tangentein P al cerchio passante per P e centrato nel centro della pedana.

Per quanto riguarda la forza centrifuga (8.15) si ha

~Fcen ≡ −m~Ω×(~Ω× ~X

)= −m

[~Ω(~Ω · ~X)− ~X(~Ω · ~Ω)

]= m|~Ω|2

[~X − Ω(Ω · ~X)

],

essendo Ω = ~Ω/|~Ω| il versore della velocita angolare. Esaminando l’ultima parentesi quadra

scritta sopra si capisce che si tratta della componente vettoriale di ~X ortogonale a ~Ω, chepossiamo indicare con ~X⊥. Dunque

~Fcen = m|~Ω|2 ~X⊥

e quindi la forza centrifuga e diretta perpendicolarmente all’asse di rotazione, con verso “uscen-te” rispetto a questo. La manifestazione piu comune di tale forza e la spinta che si subisce versol’esterno della curva all’interno di un veicolo che sterza deviando dal moto rettilineo.

La forza di Coriolis (8.16), come detto sopra, si manifesta solo in presenza di moto relativodel punto materiale rispetto al riferimento S ′. Nell’esempio della pedana rotante, si vede chela forza di Coriolis, la cui espressione esplicita e data in (8.19), “spinge verso destra” rispettoalla direzione del moto quando Ω = θ > 0, mentre spinge verso sinistra se Ω < 0. Effetti moltoimportanti della forza di Coriolis si hanno sui sistemi in moto sulla superficie terrestre. La Terrae chiaramente un sistema di riferimento non inerziale. Infatti, essa si muove rispetto alle “stelle


fisse” ruotando attorno al proprio asse, girando attorno al Sole e muovendosi solidalmente allaGalassia di cui fa parte. Di tutti i moti considerati, quello piu rilevante ai fini della meccanicaterrestre e certamente la rotazione attorno all’asse Sud-Nord, in verso antiorario (da Ovest versoEst), con un periodo T = 2π/Ω = 24 ore. Per un punto materiale che si muove sulla superficieterrestre, si vede facilmente che la forza di Coriolis spinge verso destra (rispetto alla direzionedel moto) nell’emisfero boreale (Nord) e verso sinistra nell’emisfero australe (Sud). Questofatto si verifica immediatamente considerando moti lungo i meridiani in entrambe le direzioni(Sud-Nord e Nord-Sud), per i quali la Forza di Coriolis risulta tangenziale al meridiano localepassante per il punto materiale in moto. Per un moto con componente longitudinale non nulladella velocita si trova che c’e sempre una componente della forza di Coriolis che spinge versodestra, tangenzialmente alla sfera, nell’emisfero boreale, e verso sinistra nell’emisfero australe.Fenomeni noti legati alla spinta direzionale della forza di Coriolis sono ad esempio, nell’emisferoboreale, l’erosione maggiore della sponda destra dei grandi fiumi e il consumo maggiore del latodestro dei binari di treni a lunga percorrenza.

Uno degli effetti macroscopici della forza di Coriolis su scala terrestre e la formazione deicicloni, ovvero perturbazioni atmosferiche caratterizzate dal moto rotatorio di masse d’ariaattorno a zone di bassa pressione. La forza locale (per unita di volume) agente sulla massad’aria, trascurando l’attrito, e

~f = −∇p− 2ρ~Ω× ~v (8.20)

dove∇p e il gradiente di pressione locale e ρ e la densita di massa locale dell’aria. La componentedi forza −∇p spinge l’aria a muoversi ortogonalmente alle isobare (linee di livello della pressione:curve lungo le quali p e costante) verso il centro di bassa pressione. Nell’emisfero boreale la

forza di Coriolis −2ρ~Ω × ~v devia il flusso d’aria verso destra rispetto alla direzione di moto.Si raggiunge una situazione stazionaria quando la forza totale (8.20) si annulla, cioe quando laforza di Coriolis bilancia perfettamente il gradiente di pressione: l’aria circola quindi lungo leisobare in senso antiorario. L’effetto dell’attrito, qui trascurato, genera un moto spiraleggianteverso l’occhio del ciclone. Nell’emisfero australe i cicloni sono caratterizzati da circolazioneoraria.

8.3 Cinematica rigida

Dato un corpo rigido C che si muove rispetto ad un sistema di riferimento inerziale S, conside-riamo un sistema di riferimento S ′ solidale con C . Allora un qualsiasi punto del corpo rigido ein quiete rispetto a S ′:

~XP = ~0 , ∀P ∈ C . (8.21)

Il moto del corpo rigido, come gia detto, e compltamente determinato dalle equazioni cardinalidella dinamica. In particolare, la prima equazione descrive il moto del baricentro del corpoquando sia noto il risultante delle forze esterne. Il moto rotatorio del corpo e invece descrittodalla seconda equazione cardinale, opportunamente riscritta nel sistema S ′ solidale con il corpo.Nel seguito ci occupiamo di tale riscrittura in due casi: quello di moto libero (cioe non vincolato)e quello di moto con un punto fisso (appartenente o no al corpo).

8.3. CINEMATICA RIGIDA 75

Ricordiamo che la seconda equazione cardinale della dinamica, scritta in S, e

~= ~m(e)O , (8.22)

dove ~=∑

P ~xP×mP ~xP e il momento angolare totale, mentre ~m(e)O =

∑P ~xP× ~f

(e)P e il momento

risultante delle forze esterne applicate al corpo. Si noti che qui usiamo lettere minuscole perindicare il momento angolare totale e il momento risultante delle forze esterne riferiti a S,mentre si fara uso di lettere maiuscole per indicare le stesse quantita riferite al sistema solidaleS ′ (come gia fatto in cinematica relativa). Per scrivere il momento angolare totale in S ′ abbiamobisogno di riferire a tale sistema la posizione e la velocita di ogni punto del corpo. A tale scoposcriviamo le equazioni (8.3) e (8.9) per ogni punto P ∈ C e teniamo conto della condizione(8.21), ovvero

~xP = ~r +R ~XP , (8.23)

~xP = ~r +R(~Ω× ~XP ) . (8.24)

Allora, il momento angolare totale del corpo C e dato da

~ =∑P∈C

~xP ×mP ~xP =∑P∈C

[~r +R ~XP

]×mP

[~r +R(~Ω× ~XP )

]=

= ~r ×M~r +R

(∑P∈C

mp~XP

)× ~r + ~r ×R

[~Ω×

(∑P∈C

mP~XP

)]+

+∑P∈C

mPR ~XP ×R(~Ω× ~XP ) , (8.25)

dove M =∑

P∈C mP e la massa totale del corpo. In due dei quattro termini che costituiscono

l’espressione di ~ compare la somma∑

P∈C mP~XP . Il legame di tale quantita con ~r e con il

baricentro del corpo si ottiene moltiplicando per mP la (8.23), sommando su P e ricordandoche ~xG =

∑P∈C mP~xP/M , cosı che

M~xG = M~r +R∑P∈C

mP~XP . (8.26)

A questo punto ci concentriamo separatamente sui due casi di moto libero e di moto con puntofisso.

8.3.1 Moto rigido libero

Nel caso di moto rigido libero, cioe in assenza di vincoli, e conveniente scegliere l’origine O′

del sistema solidale S ′ coincidente con il baricentro G del corpo. Quindi O′ = G, ~r =−−→OO′ =−→

OG = ~xG e dalla (8.26) segue che∑

P∈C mP~XP = ~0. Dunque la il momento angolare totale,

dato dalla (8.25), si semplifica perdendo due termini e diventa

~= ~xG ×M~xG +R

[∑P∈C

mP~XP × (~Ω× ~XP )

]. (8.27)


Osserviamo che nel riscrivere il quarto termine della (8.25), ovvero il secondo della (8.27), sie tenuto conto del fatto che per ogni coppia di vettori ~u e ~v e ogni matrice di rotazione Rsi ha R(~u × ~v) = R~u × R~v (intuitivamente ovvio: il ruotato del prodotto e il prodotto deiruotati). Osserviamo inoltre che la somma su P in parentesi quadre a destra della (8.27) puo

essere considerata come una funzione lineare di ~Ω (verificarlo per esercizio), il che ci porta aintrodurre la definizione

JG~Ω ≡∑P∈C

mP~XP × (~Ω× ~XP ) , (8.28)

dove JG e detta matrice (o tensore) di inerzia del corpo C relativa al baricentro G. Si noti chela matrice di inerzia definita in (8.28) e riferita al baricentro del corpo perche, con la scelta

fatta, O′ = G e quindi R ~XP =−−→O′P =

−→GP , ovvero ~XP = RT−→GP : le posizioni dei punti del

corpo su cui si somma sono riferite al baricentro. Osserviamo qui che, per la condizione (8.21),la matrice di inerzia JG e indipendente dal tempo.

Analizzeremo tra poco le proprieta della matrice di inerzia JG. Qui puntiamo a riscriverela seconda equazione cardinale (8.22) in S ′. Prima di tutto, usando la definizione (8.28), ilmomento angolare totale assume l’espressione compatta

~= ~xG ×M~xG +RJG~Ω . (8.29)

Derivando rispetto al tempo tale espressione, uguagliando a ~m(e)O e ricordando che RT R~ξ = ~Ω×~ξ

per ogni vettore ~ξ, otteniamo

~xG ×M~xG +R[JG ~Ω + ~Ω× JG~Ω

]= m

(e)O . (8.30)

Dalla prima equazione cardinale sappiamo che M~xG = ~R(e); inoltre, dalla formula di trasposi-zione dei momenti si ha

~m(e)O − ~xG × ~R(e) = ~m

(e)G ,

per cui si puo riscrivere la (8.30) isolando la parentesi quadra come segue

JG ~Ω + ~Ω× JG~Ω = ~M(e)G , (8.31)

dove ~M(e)G ≡ RT ~m

(e)O e il momento risultante delle forze esterne rispetto al polo nel baricentro

G, con componenti nel sistema S ′. L’equazione vettoriale (8.31), equivalente a un sistema ditre equazioni differenziali non lineari del primo ordine, si chiama equazione di Eulero per ladinamica libera del corpo rigido. Una volta calcolata la matrice di inerzia JG e noto il momentorisultante ~M

(e)G , l’equazione di Eulero ha per incognita la velocita angolare ~Ω del corpo. Nota

~Ω e nota la matrice RT R e da questa si ricostruisce la matrice di rotazione R(t) che, assiemealla posizione ~xG(t) del baricentro del corpo (determinata dalla prima equazione cardinale),fornisce la posizione del corpo rigido nello spazio al tempo t.

Esempio 8.2. Come esempio di moto rigido libero consideriamo il caso di un corpo rigidosoggetto alla propria forza peso: in ogni punto P del corpo agisce la forza −mPgz. La primaequazione cardinale della dinamica e M~xG = −Mgz, dalla quale si ottiene immediatamente il

8.3. CINEMATICA RIGIDA 77

moto del baricentro (farlo). Per quanto riguarda il momento risultante delle forze esterne siha:

~m(e)G =

∑P

−→GP × (−mPgz) = −

(∑P

mP−→GP

)gz = −

−→GGMgz = ~0 .

Quindi ~M(e)G = RT ~m

(e)G = ~0 e la rotazione del sistema e descritta dall’equazione di Eulero

omogenea

JG ~Ω + ~Ω× JG~Ω = ~0 . (8.32)

8.3.2 Moto rigido con punto fisso

Nel caso in cui il corpo rigido C si muova in modo tale che un particolare punto, appartenenteo meno al corpo stesso, sia fisso in S, conviene far coincidere l’origine O del sistema inerziale

S e l’origine O′ del sistema solidale S ′ con tale punto. Allora si ha ~r =−−→OO′ = ~0, quindi ~r = ~0

e dunque il momento angolare totale, dato dalla (8.25), perde tre termini e diventa

~= R∑P∈C

mP~XP × (~Ω× ~XP ) . (8.33)

Anche qui conviene introdurre la matrice di inerzia JO relativa al punto O, tale che

JO~Ω ≡∑P∈C

mP~XP × (~Ω× ~XP ) . (8.34)

Osserviamo che la differenza con la definizione (8.28) di JG e il punto rispetto al quale sono

prese le posizioni dei punti del corpo: per JO si ha R ~XP =−→OP , mentre per JG e R ~XP =

−→GP .

Si faccia quindi attenzione al fatto che la ~XP che compare nella somma a destra della (8.28)non e la stessa che compare nella somma a destra della (8.34). Tenendo conto della definizione(8.34) si puo riscrivere il momento angolare (8.33) in forma piu compatta

~= RJO~Ω . (8.35)

Ora, poiche JO e indipendente dal tempo, la seconda equazione cardinale della dinamica (~ =

~m(e)O ) diventa R

[JO ~Ω + ~Ω× JO~Ω

]= ~m

(e)O , ovvero

JO ~Ω + ~Ω× JO~Ω = ~M(e)O , (8.36)

essendo ~M(e)O = RT ~m

(e)O il momento risultante delle forze esterne relativo a O in S ′. La (8.36)

e l’equazione di Eulero per la dinamica del corpo rigido con punto fisso O. Si noti che inquesto caso il momento ~M

(e)O puo contenere termini dovuti alle reazioni vincolari che agiscono

sul sistema per mantenere fisso in S il punto O, con l’esclusione dei termini dovuti a reazioniapplicate esattamente in O. Un esempio di quest’ultimo caso e quello della trottola classica, conpunto O di appoggio su piano scabro ideale. La reazione esercitata dal piano di appoggio sullatrottola si applica in O e consiste di una componente verticale che si oppone alla forza peso edi una componente tangente al piano che impedisce lo scivolamento del punto di appoggio.


8.4 Forma e proprieta della matrice di inerzia

Si e visto che la rotazione libera o con punto fisso di un corpo rigido e descritta dalle equazionidi Eulero (8.31) o (8.36), identiche in forma. In tali equazioni la matrice di inerzia riferita aduno specifico punto gioca il ruolo di matrice dei coefficienti: essa va calcolata una volta pertutte per poter risolvere le equazioni del moto. Ricordiamo che la matrice di inerzia del corporigido C , relativa al punto Q e definita da

JQ~Ω ≡∑P∈C

mP~XP × (~Ω× ~XP ) ; (8.37)

dove R ~XP =−→QP e abbiamo in mente Q = G (baricentro) nel caso di moto libero, oppure

Q = O, nel caso di moto con punto fisso O. Per eliminare ~Ω dalla definizione di JQ svolgiamoil doppio prodotto vettoriale in (8.37), ottenendo

JQ~Ω =∑P∈C

mP

[| ~XP |2~Ω− ~XP ( ~XP · ~Ω)

]=∑P∈C

mP

[| ~XP |2I3 − ~XP

~XTP

]~Ω ,

dove I3 e la matrice identita 3× 3 e si e tenuto conto del fatto che ~XP · ~Ω = ~XTP~Ω (il prodotto

scalare di due vettori e un prodotto righe per colonne tra uno dei due vettori considerato comeriga, cioe matrice 1 × 3, e l’altro considerato come colonna, cioe matrice 3 × 1). Dunque, se

indichiamo con XP , YP e ZP le tre componenti del vettore ~XP , si ha

JQ =∑P∈C

mP

[| ~XP |2I3 − ~XP

~XTP

]=∑P∈C

mP

Y 2P + Z2

P −XPYP −XPZP−XPYP X2

P + Z2P −YPZP

−XPZP −YPZP X2P + Y 2

P

. (8.38)

In un qualsiasi sistema solidale S ′, con origine in Q, questa e la forma della matrice di iner-zia. Notiamo immediatamente una proprieta importantissima: La matrice di inerzia JQe simmetrica (JQ = JTQ). Questo si controlla “a vista” nell’espressione esplicita riportata a

destra in (8.38), oppure notando che da IT3 = I3 e ( ~XP~XTP )T = ~XP

~XTP segue subito JTQ = JQ.

Ricordiamo ora (vedi corso di algebra lineare e geometria) che la conseguenza fondamentaledella simmetria di JQ e che esiste un particolare riferimento solidale S ′ rispetto al quale JQrisulta diagonale. Piu precisamente, esiste una matrice ortogonale T (T TT = TT T = I3) taleche

T TJQT = J ′Q =

I1 0 00 I2 00 0 I3

≡ diag(I1, I2, I3) (8.39)

(si dice anche che JQ e ortogonalmente simile alla matrice diagonale J ′Q). Concretamente, risultache gli elementi sulla diagonale principale di J ′Q sono gli autovalori di JQ, mentre la matrice delcambio di base T ha per colonne i tre corrispondenti autoversori mutuamente ortonormali:

JQu(j) = Iju

(j) ⇒ T =

u(1)1 u

(2)1 u

(3)1

u(1)2 u

(2)2 u

(3)2

u(1)3 u

(2)3 u

(3)3

. (8.40)

8.4. FORMA E PROPRIETA DELLA MATRICE DI INERZIA 79

le tre rette (Q, u(1)), (Q, u(2)) e (Q, u(3)), ovvero i tre autospazi mutuamente ortogonali di JQ,sono dette assi principali di inerzia del corpo C relativi al punto Q. Gli assi principali di inerziarelativi al baricentro (cioe nel caso Q = G) sono detti assi centrali di inerzia. La matrice diinerzia diagonalizzata J ′Q e invece detta matrice principale di inerzia (del corpo C relativa alpunto Q), o matrice centrale di inerzia nel caso Q = G.

Gli elementi diagonali di J ′Q, ovvero gli autovalori di JQ, sono calcolabili in linea di princi-pio come gli zeri del polinomio caratteristico di JQ: det(JQ − λI3) = 0. Noti i tre autovalori, itre corrispondenti autoversori si possono calcolare risolvendo il sistema lineare a sinistra della(8.40). Tuttavia tale strada e sostanzialmente impercorribile dal punto di vista computazionale.Supponiamo invece, per il momento, di conoscere i tre autoversori di JQ, ovvero i tre assi prin-cipali di inerzia; allora conosciamo la matrice T . Con tale matrice operiamo la trasformazione(8.39)

J ′Q = T TJQT =∑P∈C

mP

[| ~XP |2T TT − T T ~XP

~XTP T]

=

=∑P∈C

mP

[| ~XP |2I3 − (T ~XP )(T ~XP )T

]=∑P∈C

mP

[| ~X ′P |2I3 − ~X ′P ( ~X ′P )T

]=

=∑P∈C

mP

(Y ′P )2 + (Z ′P )2 −X ′PY ′P −X ′PZ ′P−X ′PY ′P (X ′P )2 + (Z ′P )2 −Y ′PZ ′P−X ′PZ ′P −Y ′PZ ′P (X ′P )2 + (Y ′P )2

. (8.41)

dove si e tenuto conto dell’ortogonalita di T e si e introdotto il vettore ~X ′P ≡ T T ~XP , di

coordinate X ′P , Y ′P , Z ′P e modulo quadrato | ~X ′P |2 = |T T ~XP |2 = | ~XP |2. La (8.41) mostra chela matrice principale di inerzia J ′Q, calcolata adoperando le posizioni trasformate dei punti~X ′P = T T ~XP , e identica in forma a JQ. D’altra parte sappiamo che J ′Q deve essere diagonale,per cui deve essere ∑

P∈C

mPX′PY′P =

∑P∈C

mPX′PZ′P =

∑P∈C

mPY′PZ′P = 0 .

Di conseguenza si ha

J ′Q =∑P∈C

mP

(Y ′P )2 + (Z ′P )2 0 00 (X ′P )2 + (Z ′P )2 00 0 (X ′P )2 + (Y ′P )2

. (8.42)

Ora, si riconosce subito che (Y ′P )2 + (Z ′P )2 e la distanza al quadrato del punto P del corpodall’asse X ′, ovvero dall’asse principale di inerzia (Q, u(1)); analogamente (X ′P )2 + (Z ′P )2 e(X ′P )2 + (Y ′P )2 sono rispettivamente le distanze al quadrato di P dagli assi Y ′ e Z ′, ovverodagli assi principali di inerzia (Q, u(2)) e (Q, u(3)). Questa caratterizzazione degli elementi diJ ′Q motiva la definizione seguente.

Definizione 8.1. Si definisce momento di inerzia del corpo rigido C rispetto ad una retta r laquantita

IC (r) ≡∑P∈C

mPd2(P ; r) , (8.43)

dove d(P, r) e la distanza del punto P dalla retta r.


Dunque gli elementi di J ′Q (gli autovalori di JQ) sono i momenti di inerzia del corpo rispettoai tre assi principali di inerzia relativi al punto Q:

I1 = IC (Q, u(1)) =∑P∈C

mPd2(P ; (Q, u(1))) =

∑P∈C

mP [(Y ′P )2 + (Z ′P )2] ; (8.44)

I1 = IC (Q, u(2)) =∑P∈C

mPd2(P ; (Q, u(2))) =

∑P∈C

mP [(X ′P )2 + (Z ′P )2] ; (8.45)

I1 = IC (Q, u(3)) =∑P∈C

mPd2(P ; (Q, u(3))) =

∑P∈C

mP [(X ′P )2 + (Y ′P )2] . (8.46)

Se sono noti i tre assi principali di inerzia e la distribuzione di massa di un corpo, allora ilcalcolo dei tre momenti principali di inerzia (8.44)-(8.46) e piu semplice del calcolo standarddegli zeri del polinomio caratteristico. Vedremo in seguito come si puo individuare a priori, inalcuni casi, un asse principale di inerzia senza eseguire calcoli.

Dalla (8.42), ovvero dalle (8.44)-(8.46), vediamo che la matrice di inerzia JQ e definitapositiva , ovvero ha tutti gli autovalori positivi (un momento di inerzia, per come e definito,non puo risultare negativo). Equivalentemente, come e noto dall’algebra lineare, la formaquadratica associata a JQ, calcolata lungo un qualsiasi versore u, deve risultare positiva:

u · JQu > 0 ∀u . (8.47)

E istruttivo considerare piu in dettaglio tale forma quadratica. Si trova

u · JQu = u ·∑P∈C

mP

[| ~XP |2 − ~XP

~XTP

]u =

∑P∈C

mP

[| ~XP |2|u|2 − (u · ~XP )( ~XT

P u)]

=

=∑P∈C

mP

[| ~XP |2 − (u · ~XP )2

]=∑P∈C

mPd2(P ; (Q, u)) =

= IC (Q, u) , (8.48)

ovvero la forma quadratica associata a JQ e calcolata lungo u risulta essere pari al momentodi inerzia del corpo rispetto all’asse (Q, u). La non negativita di tale quantita e ovvia, mentreesiste un solo caso in cui essa puo essere nulla: quello di corpo unidimensionale formato dapunti tutti allineati lungo la retta ((Q, u)). In tale caso le distanze dei punti del corpo dallaloro retta di appartenenza sono nulle ed e nullo quindi il momento di inerzia rispetto all’assedel corpo (gli altri due momenti principali sono invece positivi). Escluso quindi il caso di corpolineare, che ha sempre un momento principale di inerzia nullo su tre, qualsiasi corpo rigido hai tre momenti principali di inerzia positivi.

E istruttivo tornare all’equazione di Eulero e riscriverla con la matrice di inerzia diagona-lizzata, per componenti. Per semplicita consideriamo il caso omogeneo (8.32), rilevante per lacaduta dei gravi. Ponendovi JG = diag(I1, I2, I3), si trova

I1Ω1 + (I3 − I2)Ω2Ω3 = 0

I2Ω2 + (I1 − I3)Ω1Ω3 = 0

I3Ω3 + (I2 − I1)Ω1Ω2 = 0

. (8.49)

8.5. ESERCIZI 81

Tale sistema di tre equazioni differenziali e risolvibile per qualunque dato iniziale in termini dicerti integrali particolari e di certe funzioni speciali, ma la deduzione di tale soluzione generalenon e affatto semplice. Un caso in cui la soluzione del sistema di Eulero (8.49) e elementaree quello in cui si hanno (data una particolare simmetria del corpo) due momenti principali diinerzia uguali. Ad esempio, se I1 = I2, dalla terza delle equazioni (8.49) segue che Ω3 = 0, cioeΩ3(t) = Ω3(0). Inserendo tale condizione nelle prime due equazioni (assieme a I1 = I2) si trova

Ω1 = (1− γ)Ω3(0)Ω2

Ω2 = −(1− γ)Ω3(0)Ω1, γ ≡ I3

I1

. (8.50)

Derivando rispetto al tempo la prima equazione e tenendo conto della seconda si trova subito

Ω1 = −ω2Ω1 , ω ≡ |(1− γ)Ω(0)| ; (8.51)

se invece si deriva prima la seconda equazione si trova una equazione identica a quest’ultimaper Ω2. L’equazione (8.51) si risolve immediatamente. Si dimostra facilmente che il vettoreΩ⊥, di componenti Ω1 e Ω2, ruota rigidamente con velocita angolare ω. Questo e il fenomenodi precessione della velocita angolare nel sistema solidale che caratterizza, ad esempio, il motodi una moneta (ideale) lanciata in aria.

8.5 Esercizi

Esercizio 8.1. Si consideri un punto materiale P di massa m vincolato a muoversi senzaattrito lungo l’asse e′1 solidale con una pedana che ruota uniformemente intorno al proprio asse

in senso antiorario. Qui O = O′, e3 = e′3 e ~Ω = Ωe3, Ω > 0. Il punto P e connesso all’origine Otramite una molla ideale di costante k ed e soggetto alla propria forza peso. Scrivere l’equazionedi Newton per il punto P nel sistema solidale con la pedana, determinare il moto di P e leeventuali reazioni vincolari agenti su di esso.

Esercizio 8.2. Un anello di raggio R ruota attorno ad un suo asse diametrale disposto lungola verticale, con velocita angolare costante. Un punto materiale P di massa m e vincolatoa muoversi senza attrito sull’anello, soggetto alla propria forza peso. Scrivere l’equazione diNewton per P in un sistema solidale con l’anello e determinare le razioni vincolari agenti su diesso in funzione della sua posizione e della sua velocita. Determinare le posizioni di equilibriodel punto P sull’anello, caratterizzandole in base alla loro stabilita rispetto a piccoli spostamentirispetto ad esse (linearizzare l’equazione del moto attorno alle posizioni di equilibrio e vederequando si hanno moti oscillatori).

Esercizio 8.3. Risolvere completamente il sistema (8.50), dimostrando che che il vettore(Ω1,Ω2)T ruota uniformemente con velocita angolare ω (definita in (8.51)). Suggerimento:dimostrare preliminarmente che Ω2

1 + Ω22 e costante.

Capitolo 9

Geometria delle masse II: momenti diinerzia

Come si e visto in precedenza, per poter scrivere l’equazione di Eulero e di fondamentaleimportanza saper determinare gli assi principali di inerzia di un corpo relativi ad un dato punto,per poi calcolare i relativi momenti principali di inerzia. Prima di mostrare come la presenzadi simmetrie materiali aiuti a individuare gli assi principali di alcuni oggetti, premettiamo unsemplice teorema di interesse pratico per il calcolo dei momenti di inerzia.

9.1 Teorema di Huygens-Steiner

Consideriamo un corpo C , una qualsiasi retta rG passante per il baricentro del corpo e unaqualsiasi retta r parallela a rG. Siano M la massa del corpo e d la distanza tra r 4 e rG. Ilseguente teorema connette il momento di inerzia di C rispetto a r con quello rispetto a rG.

Teorema 9.1 (Huygens-Steiner).

IC (r) = IC (rG) +Md2 (9.1)

Dimostrazione. Si scelga un sistema di riferimento con origine O ∈ r, e sia l’asse Z coincidentecon la stessa retta r. Sia poi l’asse X passante per O, ortogonale a rG e orientato da O versorG. Infine l’asse Y passa per O ed e ortogonale ai primi due. Il baricentro G ∈ rG del corpo,in tale riferimento, ha ascissa XG =

∑P mPXP/M = d e ordinata YG = 0. Notiamo che la

distanza del generico punto P ∈ C dalla retta rG e (d−XP )2 +Y 2P , mentre la distanza di P da

r e X2P + Y 2

P . Si ha

IC (rG) =∑P∈C

mP [(d−XP )2 + Y 2P ] =

=∑P∈C

mP (X2P + Y 2

P ) +Md2 − 2d∑P∈C

mPXP =

= IC (r)−Md2 . (9.2)

Il precedente teorema e noto anche come teorema di “trasposizione dei momenti di inerzia”.

83

84 CAPITOLO 9. GEOMETRIA DELLE MASSE II: MOMENTI DI INERZIA

9.2 Simmetrie materiali e assi principali

Come per la determinazione del baricentro, la presenza di eventuali simmetrie materiali di undato corpo aiuta a individuare uno o piu assi principali di inerzia relativi ad un assegnato punto.

Proposizione 9.1. Se Π e un piano di simmetria materiale per C allora ogni retta r ortogonalea Π e asse principale di inerzia relativo al punto Q = r ∩ Π.

Dimostrazione. Vogliamo dimostrare che se r = (Q, u) allora JQu = Iu. Scegliamo un riferi-mento tale che l’asse Z coincide con la retta r, cosı che Π coincide con il piano (X, Y ). L’originedelle coordinate e in Q = r ∩Π e u = Z. Per l’ipotesi di simmetria materiale, i punti del corpoC o appartengono a Π, e quindi hanno “quota” ZP = 0, oppure si presentano in coppie specu-lari (P, P ′) di punti con uguale massa mP , quota ZP = −ZP ′ 6= 0 e stessa ascissa e ordinata.Risulta quindi ∑

P∈C

XPZP =∑P∈Π

XPZP +∑

coppie(P,P ′)

XP (ZP + ZP ′) = 0 .

Analogamente si mostra che∑

P YPZP = 0. Dunque JQ ha forma esplicita

JQ =∑P∈C

mP

Y 2P + Z2

P −XPYP 0−XPYP X2

P + Z2P 0

0 0 X2P + Y 2

P

, (9.3)

da cui segue immediatamente che il versore

Z =

001

e autovettore di JQ. Piu precisamente si trova

JQZ =

[∑P∈C

mP (X2P + Y 2

P )

]Z .

Dunque la retta (Q, Z) e asse principale di inerzia per C .

Un corollario non banale della precedente proposizione e il seguente, che riportiamo senzadimostrazione.

Proposizione 9.2. Se Π e Π′ sono due piani di simmetria materiale per C , allora r = Π∩Π′

e asse principale di inerzia per C .

Esempio 9.1. Le precedenti proposizioni permettono di determinare immediatamente gli assicentrali di inerzia di una sfera omogenea (di densita costante). In tale caso infatti, postal’origine del riferimento nel centro geometrico della sfera (che coincide con il suo baricentro),due qualsiasi dei tre piani coordinati, ad esempio i piani (X,Z) e (Y, Z) sono di simmetriamateriale. Gli assi Y e X, ortogonali rispettivamente al primo e al secondo piano, sono dunquecentrali di inerzia. L’intersezione dei due piani, che e l’asse Z, e il terzo asse centrale.

9.3. CORPI PIANI 85

9.3 Corpi piani

Consideriamo un corpo piano C . Possiamo scegliere un riferimento tale che il piano del corpocoincide con il piano (X, Y ), in modo che ZP = 0 per ogni P ∈ C . Allora certamente il pianodel corpo e un piano di simmetria materiale, cosı che qualsiasi retta ortogonale al piano delcorpo e asse principale di inerzia. Questo si puo vedere anche guardando la forma esplicitadella matrice di inerzia:

JQ =∑P∈C

mP

Y 2P −XPYP 0

−XPYP X2P0

0 0 X2P + Y 2

P

.

Si vede subito che il versore hatZ e autoversore di JQ. Passando alla forma diagonale J ′Q, lacondizione ZP = 0 per ogni P si mantiene, e quindi si ha

J ′Q =∑P∈C

mP

(Y ′P )2 0 00 (X ′P )2

0 0 (X ′P )2 + (Y ′P )2

.

Dunque per un corpo piano vale sempre

I3 = I1 + I2 . (9.4)

9.4 Esercizi

Esercizio 9.1. Si calcoli il momento di inerzia di una sfera omogenea di raggio R rispetto adun qualsiasi suo asse centrale di inerzia. Suggerimento: fare uso di coordinate polari sferiche.

Esercizio 9.2. Si consideri una lastra circolare omogenea di raggio R. Si determinino i treassi centrali di inerzia e i relativi momenti di inerzia. Suggerimento: fare uso di coordinatepolari piane.

Esercizio 9.3. Ripetere l’esercizio precedente per una lastra rettangolare di lati a e b.

Esercizio 9.4. Ripetere l’esercizio precedente per un cilindro omogeneo di raggio R e altezza he per un parallelepipedo a base rettangolare di lati a e b e altezza h.

Esercizio 9.5. Si consideri una lastra circolare piana e omogenea di raggio R. Fissato un puntoQ a distanza d(< R) dal centro O della lastra, si determinino gli assi principali di inerzia dellalastra relativi a Q e la relativa matrice di inerzia J ′Q. Suggerimento: fare uso del teorema diHuygens-Steiner.

Esercizio 9.6. Si consideri una lastra circolare piana e omogenea di raggio R, con un forocircolare di raggio a centrato nel punto C posto a distanza d dal centro O della lastra (con lacondizione di inclusione totale del foro: d + a < R). Determinare la terna centrale di inerziadella lastra e la relativa matrice J ′G. Suggerimento: pensare alla lastra piena come unione diquella forata e del disco asportato per praticarvi il foro.

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