Terza Liceo Scienti co - francescosaitta.it · Punto materiale Uno dei concetti fondamentali della...

Corso di Fisica

Terza Liceo Scientifico

Questo libro e stato interamente scritto a Pordenone da Francesco Saitta, Docente di Matematica eFisica, c.d.c A049.

Un ringraziamento particolare va a Francesca Del Puppo, studentessa di Fisica all’universita di Trieste,per la sua accurata lettura delle note, le puntuali osservazioni ed i preziosi suggerimenti per la stesuradel testo attuale.

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Ultimo aggiornamento Ottobre 2018.

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Francesco Saitta, Pordenone Ottobre 2018 ii

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INDICE

Indice

0 Introduzione 1

1 Moti e Dinamica 31.1 Cinematica rettilinea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Moto rettilineo uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Moto rettilineo uniformemente accelerato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.3 Moto rettilineo vario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Cinematica bidimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.1 Moto parabolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2 Moto circolare uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.3 Moto armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 I principi della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.1 Primo principio della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.2 Secondo principio della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.3 Terzo principio della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.4 Sistemi di riferimento non inerziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4 Work and Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.1 Mechanical work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.2 Conservative forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4.3 Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4.4 Conservation of mechanical energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4.5 Work done by non-conservative forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.4.6 Problem Solving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.4.7 Power . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.4.8 The Feynman point of view . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.5 Meccanica dei fluidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.5.1 Fluidi in moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.5.2 Equazione di continuita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.5.3 Teorema di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.5.4 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2 Relativita Galileiana 512.1 Spazio e tempo nella fisica classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.1.1 Il carattere assoluto di spazio e tempo: Galilei e Newton . . . . . . . . . . . . . 522.1.2 Il concetto di spazio secondo Berkeley e Mach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.2 Legge di composizione delle posizioni e degli spostamenti . . . . . . . . . . . . . . . . 542.3 Legge di composizione delle velocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Francesco Saitta, Pordenone Ottobre 2018 iii

INDICE

2.4 Legge di composizione delle accelerazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.5 Trasformazioni di Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.5.1 Invarianza delle lunghezze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.6 Principio di relativita galileiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3 Quantita di moto ed urti 63

3.1 Teorema dell’impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2 Teorema di conservazione della quantita di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3 Descartes e Leibniz: dibattito sui principi di conservazione . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.4 Urti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.4.1 Urti completamente anelastici in una, due o tre dimensioni . . . . . . . . . . . 68

3.4.2 Urti elastici in una dimensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4.3 Urti elastici in due dimensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.5 Centro di massa e moto di sistemi di particelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4 Momento angolare e moto rotatorio 79

4.1 Momento d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.1.1 Rotazione di un punto materiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.1.2 Rotazione di un sistema di punti materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.1.3 Rotazione di un corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.2 Momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.3 Teorema di conservazione del momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.4 Dinamica rotazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.4.1 Lavoro dei momenti delle forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.4.2 Energia cinetica rotazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.4.3 Moti di un corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.5 Parallelismo tra dinamica traslatoria e rotatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.6 Equazioni cardinali della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5 Gravitazione universale 97

5.1 Le leggi di Keplero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.1.1 La prima legge di Keplero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.1.2 La seconda legge di Keplero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.1.3 La terza legge di Keplero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.2 La legge di gravitazione universale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.3 Il concetto di campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.3.1 Linee di campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.4 Il campo gravitazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.5 L’energia potenziale gravitazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.6 Pianeti e satelliti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.6.1 I satelliti artificiali della terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.7 Traiettorie ed energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Francesco Saitta, Pordenone Ottobre 2018 iv

INDICE

6 Termodinamica 1156.1 Teoria cinetica dei gas perfetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.1.1 Principio di equipartizione dell’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.2 First principle of thermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.2.1 Introduction to Thermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.2.2 Thermal Machines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.2.3 Internal Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.2.4 Heat capacities of gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.2.5 Mechanical work of gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.2.6 The first law of thermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.3 Rendimento delle macchine termiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.3.1 Macchina di Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.3.2 Macchina di Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1306.3.3 Macchina di Otto (motore 4 tempi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.3.4 Macchina Diesel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.3.5 Macchina Frigorifero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.4 Secondo principio della termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366.4.1 Enunciati di Clausius, Kelvin-Planck e loro equivalenza . . . . . . . . . . . . . 1366.4.2 Enunciato di Carnot ed entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Francesco Saitta, Pordenone Ottobre 2018 v

CAPITOLO 0. INTRODUZIONE

Capitolo 0

Introduzione

Questo corso nasce dall’idea di consegnare agli studenti uno strumento di lavoro gratuito, snello eflessibile. L’idea fondamentale e che queste note possano essere veicolo di uno studio dinamico, chevengano sottolineate, integrate dagli appunti presi in classe o dagli approfondimenti personali, anchemodificate nel corso degli anni per renderle sempre piu utili all’apprendimento della disciplina.

Le dispense sono pensate come inserite in un percorso di didattica collaborativa e multimediale:

• non vi si trovano schemi riassuntivi o formulari perche questi verranno chiesti agli studentidurante il corso all’interno di una piattaforma multimediale o semplicemente negli appuntipersonali;

• possono e devono essere affiancate ad una costante ricerca di fonti, materiali audio e video,simulazioni digitali ed attivita di laboratorio vere e proprie.

Gli esercizi, destinati a crescere in numero di anno in anno, non sono suddivisi nei paragrafi dellibro perche gli studenti siano stimolati a capire l’argomento specifico cui fanno riferimento, affinchel’esercizio non diventi atto puramente meccanico e relativo ad una certa formula, ma abbia una fortecomponente di discernimento e descrizione della realta. Anche gli esercizi verranno supportati da unaserie di attivita didattiche, esempi, compiti e test, forniti nella piattaforma digitale di classe.

Talvolta le costanti da utilizzare non sono esplicitate o presenti nel testo, cosı da stimolare gli studentialla loro ricerca, con i canali preferiti.

Alcune parti del testo, cosı come gli ultimi esercizi di ogni capitolo, sono in inglese; questo perabituare gli studenti all’utilizzo della lingua veicolare della scienza al di fuori dell’insegnamento dedi-cato. In relazione al programma della classe redatto dal consiglio di classe ad inizio anno, alcune partidi programma (tipicamente quelle gia scritte in inglese) potranno essere affrontate con alcune lezioniin lingua, in collaborazione con il/la docente di inglese.

Francesco Saitta, Pordenone Ottobre 2018 1

CAPITOLO 1. MOTI E DINAMICA

Capitolo 1

Moti e Dinamica

Ammesso - come visto ed ampiamente discusso gli scorsi due anni- che la fisica e la scienza chedescrive e predice i fenomeni naturali che avvengono nell’universo, la prima cosa che possiamo fare perdescrivere la realta che ci circonda e quella di studiare come si muovono i punti materiali e quali sianole cause del loro moto. Gli argomenti di questo capitolo sono gia stati affrontati nel corso del primobiennio di liceo: li riprendiamo all’inizio del secondo biennio per evidenziare ed approfondire alcuniaspetti concettuali e matematici utili per il proseguo del corso, in particolare la geometria analitica el’algebra vettoriale.Fu Galileo Galilei (Pisa, 1564 - Arcetri, 1642), l’ultimo dei filosofi naturali ed il primo dei fisici, astudiare in modo quantitativo la cinematica: la descrizione dei moti dal punto di vista geometrico,fatta senza prendere in considerazione le cause dei moti stessi. Questa semplificazione ha permesso epermette di schematizzare e descrivere anche sperimentalmente diverse situazioni concrete: lo stessoGalilei riuscı a verificare le leggi della cinematica in laboratorio, riuscendo a minimizzare gli effettireali di attrito non presi in considerazione dalla cinematica, che pur esistono. Nel corso dei suoi studilo scienziato pisano - come vedremo nel capitolo seguente con il principio di relativita galileiano -affronto anche il problema delle cause del moto, ed in qualche modo anticipo alcune delle leggi che oraconosciamo come i principi della dinamica, ma non le formalizzo mai in termini scientifici.La dinamica per come e conosciuta al giorno d’oggi affonda le sue radici negli studi di Isaac Newton(Woolsthorpe, 1642 - Londra, 1727), fisico e filosofo britannico, presidente della Royal Society, ilcui lavoro spazio dallo studio delle forze all’ottica, dalla gravitazione universale allo sviluppo dellamatematica infinitesimale. Newton studio dal punto di vista formale e matematico il problema dellecause del moto, riprendendo alcuni ragionamenti fatti da Galilei ed assumendo tutta la cinematicadel fisico pisano. Nella sua opera “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” (Newton, 1687),lo scienziato britannico esplicita le basi matematiche delle sue teorie ed enuncia i famosi tre principidella dinamica che fondano, assieme al lavoro di Galilei, tutta l’impostazione della meccanica e dellafisica dei seguenti due secoli.Riprendiamo dunque alcuni concetti fondamentali per la descrizione di cinematica e dinamica

Punto materiale Uno dei concetti fondamentali della meccanica e il concetto di punto materiale.Con punto materiale si intende un corpo le cui dimensioni si possono trascurare nella descrizione delsuo moto. E ben chiaro che questa possibilita dipende dalle condizioni concrete di questo o quell’altroproblema. Per esempio, i pianeti possono esser considerati punti materiali quando si studia la lororivoluzione intorno al sole, ma, naturalmente, non quando si considera la loro rotazione.(Landau eLifshitz, 1999a).



Sistemi di riferimento Per poter definire la posizione di un punto materiale in modo quantitativodobbiamo definire un riferimento rispetto al quale farlo. Chiedendoci ad esempio la posizione di Lucaall’interno della classe qualcuno potra rispondere “e un posto davanti a me” oppure “il posto davantialla cattedra” o ancora “nella fila centrale il terzo banco dal fondo a sinistra”: in ogni caso la rispostaprevede un riferimento al luogo in cui ci si trova. La scelta che gli scienziati fanno per poter definire laposizione di punti materiali e quella di definire dei sistemi di coordinate; il piu utilizzato, che useremoanche noi durante tutto il corso di fisica e il sistema di riferimento cartesiano: un sistema dirette orientate perpendicolari tra loro all’interno delle quali definire la posizione di un punto materialecome vettore con coordinate sulle rette, una se il problema e unidimensionale, due se bidimensionale,tre se tridimensionale. In figura (1.1) vediamo un esempio di posizione rispettivamente nello spazio ,nel piano e nella retta.

(a) Punto in 3D (b) Punto in 2D (c) Punto in 1D

Figura 1.1: Posizione di un punto materiale in un riferimento cartesiano.

Variabili cinematiche Le variabili cinematiche di interesse per lo studio dei moti sono i vettoriposizione ~s(t), velocita ~v(t) ed accelerazione ~a(t). A seconda della dimensione di riferimento delproblema naturalmente si tratta di vettori in una, due o tre dimensioni.Il vettore posizione e il vettore che identifica la posizione del punto materiale nello spazio: ha comecoordinate le coordinate del punto stesso. La posizione di un punto materiale in SI si misura in metri.Il vettore velocita viene definito a partire dalla velocita media ~vm = ~∆s/∆t: la velocita media tra dueistanti t2 e t1 e data dallo spostamento1 effettuato tra i due istanti e il tempo trascorso (la differenzatra i due istanti). La velocita istantanea invece rappresenta la velocita in un certo istante: possiamopensare che la velocita istantanea sia la velocita media tra due istanti molto vicini (l’intervallo di tempodeve essere trascurabile rispetto al fenomeno che si sta considerando); dal punto di vista matematicosi puo dire che la velocita istantanea e il limite per ∆t che tende a zero della velocita media, come sivedra nel corso di matematica parlando di analisi matematica e limiti. Per quanto ci riguarda quandoscriveremo d anziche ∆ intenderemo considerare un intervallo molto piccolo rispetto al fenomenoconsiderato; per cui scrivendo v = ∆s/∆t parleremo di velocita media, scrivendo v = ds/dt parleremodi velocita istantanea, e cosı con tutte le altre grandezze ottenibili come rapporto tra variazioni dialtre quantita. La velocita di un punto materiale in SI si misura in metri al secondo.

1Ricordiamo che in fisica il concetto di spostamento e diverso dal pensiero intuitivo di spazio percorso. Lo spostamentoe la differenza tra due vettori posizione in due istanti diversi. Risulta cosı che se il punto materiale in considerazioneparte dal punto A e dopo un certo percorso torna al punto A stesso avra percorso una certa quantita di spazio, ma lospostamento risulta essere il vettore nullo



Il vettore accelerazione viene definito a partire dall’accelerazione media ~am = ~∆v/∆t: l’accelerazionemedia tra due istanti t2 e t1 e data dalla differenza dei vettori velocita tra i due istanti e il tempotrascorso (la differenza tra i due istanti). Analogamente al caso della velocita l’accelerazione istantaneae il limite per ∆t che tende a zero dell’accelerazione media: e l’accelerazione media calcolata tra dueistanti di tempo molto vicini tra loro, tali che la differenza tra i due istanti sia molto piu piccolarispetto al fenomeno considerato.

Traiettoria Si definisce traiettoria l’insieme dei punti dello spazio percorsi dal punto materiale.Essa e quindi il percorso che il punto materiale descrive durante il fenomeno considerato; per quantodetto in precedenza e importante sottolineare come la lunghezza della traiettoria non corrispondanecessariamente con lo spostamento del punto materiale ne con lo spazio percorso; ad esempio unpunto materiale che si muova in linea retta in avanti per 2 m, poi indietro per 3m, poi ancora in avantiper 1m avra percorso 6m, fatto spostamento nullo e la traiettoria un segmento di lunghezza 3m.

Legge oraria Si definisce legge oraria la relazione tra posizione del punto materiale e tempo tra-scorso. E una funzione reale di variabile reale nel caso di un problema unidimensionale, una funzionevettoriale in due o tre dimensioni negli altri casi, per studiare i quali basta considerare il vettore ~s(t)nelle sue componenti, ognuna delle quali sara una funzione reale di variabile reale. Per quanto ci riguar-da studieremo nel dettaglio il caso unidimensionale, in cui la legge oraria e semplicemente data dallafunzione s(t), e bidimensionale in cui si avra ~s(t) = (x(t), y(t)) o altrimenti scritto ~s(t) = x(t)x+y(t)y)con x e y i versori2 degli assi cartesiani.

1.1 Cinematica rettilinea

I moti piu semplici da descrivere sono i moti che avvengono lungo una retta, in cui le variabili cine-matiche posizione, velocita ed accelerazione sono vettori in una dimensione, descrivibili quindi comescalari: positivi se il verso e concorde all’asse scelto, negativi se il verso e discorde. Particolarmente ef-ficace per la descrizione di questo moto e il diagramma orario, un grafico cartesiano che rappresentain ascissa il tempo ed in ordinata la posizione del punto materiale. A differenza della traiettoria, cheresta sempre una retta o un segmento se consideriamo il moto rettilineo tra due particolari istanti ditempo, il diagramma orario rappresenta la legge oraria e permette di ricavare informazioni importantisu velocita ed accelerazione, come vedremo nel paragrafo 1.1.3.

1.1.1 Moto rettilineo uniforme

Diremo che un punto materiale si trova in uno stato di moto rettilineo uniforme se la sua velocitamedia e sempre uguale alla velocita istantanea, ed ha modulo costante, v. In questa situazione siricavano le seguenti leggi per la posizione e la velocita:

s(t) = v(t− t0) + s0 (1.1.1)

v(t) = v (1.1.2)

Per ricavare la legge oraria in questo caso basta applicare la definizione di velocita media in questasituazione:

2Ricordiamo che un versore e un vettore di modulo unitario adimensionale, che indica quindi solamente una dire-zione ed un verso. In generale un versore si ottiene come rapporto tra un vettore ed il suo modulo: v)~v/v. Nel casobidimensionale cartesiano si avra per le due direzioni principali x = (1, 0), y = (0, 1).



v = vm =∆s

∆t=

=s(t)− s0

t− t0=⇒ v(t− t0) = s(t)− s0

=⇒ v(t− t0) + s0 = s(t)

Nel rappresentare la legge oraria nel diagramma orario (t,s) riconosciamo l’equazione di una rettacon coefficiente angolare v ed intercetta s0, come rappresentato in figura (1.2); la rappresentazionedella legge per la velocita e invece molto piu semplice, essendo la velocita costante nel tempo, comerappresentato nella figura (1.3). E interessante notare come la legge oraria si puo ottenere grafi-

(a) v > 0 pendenza positiva (b) v = 0 pendenza nulla (c) v < 0 pendenza negativa

Figura 1.2: Diagramma orario del moto rettilineo uniforme. Le grandezze sono intese essere misuratein SI: spazio in metri, tempo in secondi, velocita in metri al secondo.

Figura 1.3: Rappresentazione cartesiana della legge della velocita nel moto rettilineo uniforme. Legrandezze sono intese essere misurate in SI: spazio in metri, tempo in secondi, velocita in metri alsecondo.

camente a partire dalla legge della velocita nel seguente modo: lo spostamento effettuato dal punto



materiale s(t)− s0 e l’area sottesa dalla curva v(t) nel grafico di velocita, come mostrato dalla figura(1.4). Questa regola - che verra dimostrata dall’analisi matematica e lo studio delle derivate - si puoassumere come regola generale della cinematica.

Figura 1.4: Relazione tra spazio percorso e grafico della velocita.

1.1.2 Moto rettilineo uniformemente accelerato

Diremo che un punto materiale si trova in uno stato di moto rettilineo uniformemente accelerato se lasua accelerazione media e sempre uguale alla sua accelerazione istantanea, ed ha modulo costante, a.In questa situazione si ricavano le seguenti leggi per la posizione e la velocita:

s(t) =1

2a(t− t0)2 + v0(t− t0) + s0 (1.1.3)

v(t) = a(t− t0) + v0 (1.1.4)

L’equazione della velocita e ricavabile in modo analogo alla legge oraria del moto rettilineo uniforme.Per quanto riguarda la legge oraria invece dobbiamo ricorrere alla regola grafica vista nel paragrafoprecedente, come rappresentato in figura (1.5): lo spostamento effettuato s(t) − s0 e dato quindidall’area del trapezio di altezza (t − t0), base maggiore v(t) = a(t − t0) + v0 e base minore v0.Il grafico della legge oraria rappresenta una parabola, come gia parzialmente visto in matematicanella risoluzione di disequazioni di secondo grado e come si vedra nel corso di matematica studiandogeometria analitica. Il segno dell’accelerazione definisce la concavita della parabola: ad accelerazionepositiva corrisponde concavita verso l’alto e ad accelerazione negativa concavita verso il basso; adaccelerazione sempre maggiore corrisponde una parabola sempre piu schiacciata verso l’asse delleordinate, ad accelerazione minore una parabola sempre piu schiacciata verso l’asse delle ascisse. Glialtri parametri contribuiscono alla forma della parabola nei modi che verranno studiati nel corso dimatematica e che possono essere testati con semplici prove fatte usando carta millimetrata e penna osoftware di geometria dinamica (geogebra ad esempio).

Caduta dei gravi

Il tipico moto rettilineo uniformemente accelerato che possiamo osservare in natura e la caduta di unoggetto da una certa altezza. Ogni oggetto lasciato cadere da una certa altezza, nell’ipotesi in cui sipossano trascurare tutti gli effetti di attrito dell’aria sull’oggetto stesso, si muove di moto rettilineouniformemente accelerato con un’accelerazione - che chiameremo accelerazione di gravita - approssi-mativamente costante in prossimita della superficie terrestre di modulo pari a g = 9, 81m/s2, direzione



(a) Costruzione della legge oraria (b) a > 0 concavita verso l’alto (c) a < 0 concavita verso il basso

Figura 1.5: Moto rettilineo uniformemente accelerato.

lungo la congiungente tra la posizione iniziale dell’oggetto ed il centro della terra e verso che punta alcentro della terra.

L’analisi di Galileo Galilei sulla caduta dei gravi fu sicuramente uno dei primissimi esempi di ap-plicazione del metodo scientifico, con cui il fisico pisano segno il passaggio tra la filosofia naturale e lafisica. La leggenda dice che Galilei per verificare l’ipotesi secondo cui la velocita di un grave in cadutalibera e direttamente proporzionale al tempo di caduta e non dipende dalla massa o dalla forma delgrave stesso, come invece doveva essere secondo la teoria Aristotelica del moto, avrebbe lasciato cadereuna serie di oggetti dalla torre di Pisa. Non siamo certi che questo esperimento sia stato realmenteeffettuato, ma di certo Galilei ha lasciato molti scritti all’interno dei quali giustifica in modo logico lesue affermazioni (Galilei (1592, 1638, 1632)); in particolare nell’ultimo di questi scritti alla giornataterza lo scienziato pisano descrisse l’esperimento con cui verifico la sua ipotesi, utilizzando un pianoinclinato ed un orologio ad acqua: “In un regolo, o voglian dir corrente, di legno, lungo circa 12 brac-cia, e largo per un verso mezo bracio e per l’altro 3 dita, si era in questa minor larghezza incavatoun canaletto, poco piu largo d’un dito; tiratolo drittissimo, e, per averlo ben pulito e liscio, incollatovidentro una carta pecora zannata e lustrata al possibile, si faceva in esso scendere una palla di bronzodurissimo, ben rotondata e pulita; costituito che si era il detto regolo pendente, elevando sopra il pianoorizontale una delle sue estremita un braccio o due ad arbitrio, si lasciava (come dico) scendere peril detto canale la palla, notando, nel modo che appresso diro, il tempo che consumava nello scorrerlotutto, replicando il medesimo atto molte volte per assicurarsi bene della quantita del tempo, nel qualenon si trovava mai differenza ne anco della decima parte d’una battuta di polso. Fatta e stabilitaprecisamente tale operazione, facemmo scender la medesima palla solamente per la quarta parte dellalunghezza di esso canale; e misurato il tempo della sua scesa, si trovava sempre puntualissimamenteesser la meta dell’altro: e facendo poi l’esperienze di altre parti, esaminando ora il tempo di tutta lalunghezza col tempo della meta, o con quello delli duo terzi o de i 3/4, o in conclusione con qualunquealtra divisione, per esperienze ben cento volte replicate sempre s’incontrava, gli spazii passati esser tradi loro come i quadrati e i tempi, e questo in tutte le inclinazioni del piano, cioe del canale nel quale sifaceva scender la palla; dove osservammo ancora, i tempi delle scese per diverse inclinazioni manteneresquisitamente tra di loro quella proporzione che piu a basso troveremo essergli assegnata e dimostratadall’Autore. Quanto poi alla misura del tempo, si teneva una gran secchia piena d’acqua, attaccata inalto, la quale per un sottil cannellino, saldatogli nel fondo, versava un sottil filo d’acqua, che s’andava



ricevendo con un piccol bicchiero per tutto ’l tempo che la palla scendeva nel canale e nelle sue parti:le particelle poi dell’acqua, in tal guisa raccolte, s’andavano di volta in volta con esattissima bilanciapesando, dandoci le differenze e proporzioni de i pesi loro le differenze e proporzioni de i tempi; equesto con tal giustezza, che, come ho detto, tali operazioni, molte e molte volte replicate, gia mai nondifferivano d’un notabil momento.”

1.1.3 Moto rettilineo vario

Diremo che un punto materiale si trova in uno stato di moto rettilineo vario se caratterizzato davariabili cinematiche s(t), v(t), a(t) che non necessariamente restano costanti nel tempo. In generalerecuperando le considerazioni fatte nei paragrafi precedenti potremo dire che la variazione di velocitav(t)− v0 e ottenibile come l’area sottostante la curva a(t) nel piano cartesiano (t, a), la variazione diposizione s(t)− s0 come l’area sottostante la curva v(t) nel piano cartesiano (t, v).In questo paragrafo affronteremo il problema opposto: conoscendo il diagramma orario capiremo comeottenere informazioni su velocita ed accelerazione del punto materiale. Consideriamo ad esempio unpunto materiale il cui moto sia descritto dalle figure (1.6).

Diagramma orario La prima figura mostra il diagramma orario che rappresenta il moto del puntomateriale: possiamo certamente dire che per circa un secondo il punto materiale si muove in avanti(quindi con velocita positiva), poi per circa due secondi, dal secondo uno al secondo tre invece si muoveall’indietro (con velocita negativa quindi), infine riparte in avanti passando per l’origine poco dopo ilquarto secondo.

Velocita Applicando la definizione di velocita media tra due punti possiamo vedere dalla secondafigura come il modulo della velocita possa essere ricavato come il rapporto tra la variazione di posizione∆s = s(t)− s0 ed il tempo trascorso ∆t = t− t0: la velocita media tra i punti s(tA) ed s(tB) e dunquela pendenza della retta secante il diagramma orario nei punti A e B. La velocita istantanea diventadunque la pendenza della retta secante il diagramma orario nel caso in cui i due punti A e B sianomolto vicini tra loro, al punto di non essere distinguibili l’uno dall’altro: e dunque la pendenza dellaretta tangente alla curva nel punto in questione! Diventa cosı evidente che tutti i punti in cui latangente al diagramma orario e parallela all’asse delle ascisse sono punti in cui la velocita e nulla:osservando attentamente il grafico potremo dedurre che questi punti sono tutti i massimi o i minimidella curva: definiamo un punto P = (xP , yP ) della curva come massimo se tutti i punti piu viciniad esso, sia a destra che a sinistra, hanno ordinata minore di yP , minimo invece se i punti piu vicinihanno ordinata maggiore di yP .

Accelerazione L’accelerazione e una variazione di velocita: partendo da quest’idea intuitiva di ac-celerazione possiamo capire come l’accelerazione del punto materiale sia legata alla concavita dellacurva, come mostrato nella terza figura del moto vario. Se la velocita diminuisce la curva tendera a”piegarsi” verso il basso dando origine ad una concavita verso il basso, se invece la velocita aumentaaccadra il contrario. Come per il caso della velocita, queste affermazioni al momento piuttosto qualita-tive troveranno una dimostrazione matematica formale verra fatta nel contesto dell’analisi matematicae dello studio delle derivate.

1.2 Cinematica bidimensionale

La cinematica bidimensionale si fonda sul principio di indipendenza delle azioni simultaneeche afferma come se il moto di un punto materiale avviene in piu dimensioni, esso puo essere sempre



(a) diagramma orario (b) velocita (c) accelerazione

Figura 1.6: Moto vario.

scomposto in componenti indipendenti l’una dall’altra. Esso puo essere quindi studiato attraverso lesue componenti , che noi assumeremo sempre essere coordinate cartesiane; il moto risultante sara ilmoto del punto materiale la cui posizione e descritta dal vettore

~s(t) = x(t)x+ y(t)y.

La rappresentazione grafica della legge oraria diventa dunque una rappresentazione in tre dimensioni,o una rappresentazione delle leggi orarie delle singole componenti: per questo motivo utilizzeremospesso la rappresentazione della traiettoria per descrivere graficamente il moto, che nel caso bidimen-sionale e piu significativa rispetto al caso unidimensionale.

E importante sottolineare come in un moto in piu dimensioni il vettore velocita sia sempre tan-gente alla traiettoria percorsa dal punto materiale: non facciamo qui una dimostrazione formale diquesto fatto, ma possiamo rendercene conto in modo piuttosto intuitivo pensando alla definizione divelocita; il vettore velocita e un vettore la cui direzione e data dalla differenza tra due vettori posi-zione, per cui e un vettore che ha origine in un punto della traiettoria e fine in un altro punto dellatraiettoria stessa: evidentemente quando questi due punti tendono a diventare lo stesso la direzionedel vettore velocita diventa il tangente alla curva che definisce la traiettoria. La figura (1.7) mostraproprio questo fatto.

Per quanto riguarda l’accelerazione in un moto bidimensionale, siamo soliti pensare che essa possaessere generata solo da una variazione del modulo del vettore velocita: e bene sottolineare come sipossa avere un accelerazione anche solamente con la variazione della direzione o del verso del vettorevelocita. Sappiamo bene infatti che la differenza di due vettori con lo stesso modulo, ma direzionediversa, non necessariamente risulta essere il vettore nullo. Ecco allora che l’accelerazione in duedimensioni puo essere causata da una variazione di modulo del vettore velocita, da una variazionedella sua direzione, o da una combinazione delle due variazioni. In generale chiameremo accelerazionetangenziale l’accelerazione dovuta ad una variazione del modulo del vettore velocita del punto mate-riale, accelerazione centripeta invece l’accelerazione dovuta alla variazione della direzione del vettore



(a) (b)

Figura 1.7: Velocita in un moto bidimensionale.

velocita. Diremo quindi che sempre l’accelerazione di un punto materiale puo essere scomposta nelseguente modo:

~a = ~at + ~ac,

dove ~at e l’accelerazione tangenziale e ~ac e l’accelerazione centripeta. La componente tangenzialedell’accelerazione e sempre diretta parallelamente al vettore velocita, e dunque tangente alla traiettoria,mentre la componente centripeta e sempre perpendicolare alla velocita stessa. Per darci ragione delladirezione delle due componenti dell’accelerazione facciamo riferimento alla figura (1.8). Come si puovedere in figura se l’accelerazione e dovuta ad una variazione unicamente di modulo della velocita hala stessa direzione dei due vettori velocita ~a = ~v1 − ~v2, se invece l’accelerazione e dovuta solo ad unavariazione di direzione della velocita si ha che l’angolo tra velocita ~v2 ed accelerazione ~a e dato daγ = π+α

2 : e evidente che se consideriamo la velocita istantanea l’angolo α diventa molto piccolo eman mano che α diventa piccolo γ si avvicina sempre piu a π/2. L’accelerazione centripeta e dunqueperpendicolare alla velocita istantanea.

1.2.1 Moto parabolico

Il moto parabolico e un moto in cui una componente del vettore posizione si muove di moto rettilineouniforme, l’altra di moto rettilineo uniformemente accelerato. Ne conseguono le seguenti equazioniper la descrizione del moto:

x(t) = v0xt+ x0 (1.2.1)

y(t) =1

2at2 + v0yt+ y0 (1.2.2)

vx(t) = v0x (1.2.3)

vy(t) = at+ v0y (1.2.4)

Il moto si chiama moto parabolico perche la traiettoria descritta dal punto materiale dal punto divista della geometria analitica e un parabola, come si vedra nel dettaglio nel corso di matematica.Tutte le considerazioni fatte studiando i due moti che compongono il moto parabolico possono essereriutilizzate nella descrizione di un moto parabolico. Nella nostra esperienza quotidiana di fenomeni



(a) Accelerazione tangenziale (b) Accelerazione centripeta

Figura 1.8: Direzione delle componenti dell’accelerazione in un moto bidimensionale.

naturali il moto parabolico e uno dei moti che possiamo osservare con piu facilita: risponde infattialla situazione di caduta di un oggetto con una componente orizzontale di velocita iniziale.

1.2.2 Moto circolare uniforme

Definiamo moto circolare un moto la cui traiettoria e una circonferenza. Il vettore velocita dunque,essendo sempre tangente alla traiettoria cambia continuamente; per questo il concetto di “uniforme”in questo caso non puo significare, come nel caso unidimensionale, che la velocita e costante. Motocircolare uniforme si definisce un moto la cui traiettoria e una circonferenza ed il modulo della velocitae costante. Il moto circolare uniforme e dunque caratterizzato dalle tre grandezze: velocita tangenziale(~v), periodo (T , il tempo che il punto materiale impiega a percorrere un giro di circonferenza) e il raggiodella circonferenza (R). Il periodo puo essere sostituito dalla frequenza (f o ν), che rappresenta ilnumero di giri che il punto materiale compie in un secondo, e si misura in Hertz (Hz). Queste grandezzesi relazionano, per definizione di velocita, nel seguente modo:

v =2πR

T= 2πRf

Abbiamo anche dimostrato, utilizzando le similitudini tra triangolo, come illustrato in figura (1.9) chel’accelerazione, che per quanto detto precedentemente deve essere centripeta e dunque diretta verso ilcentro della circonferenza per le proprieta della geometria euclidea, e ottenibile dalla seguente formula:

ac =v2

R

Le grandezze angolari La descrizione del paragrafo precedente del moto circolare uniforme e unadescrizione che si basa sulle variabili cinematiche classiche descritte anche all’inizio di questo capitolo;per quanto riguarda i moti circolari hanno grande rilevanza anche le variabili cinematiche angolari:l’angolo spazzato dal vettore posizione, il vettore velocita angolare ed il vettore accelerazione



Figura 1.9: Dimostrazione della formula ac = v2/R

angolare. L’angolo spazzato dal vettore posizione ~r(t) tra due istanti t2 e t1 si definisce come l’angoloθ compreso tra i due vettori r2 ed r1. La definizione degli angoli in radianti, come mostrato in figura(1.10), ci permette di passare dalla descrizione tra variabili cinematiche classiche e variabili cinematicheangolari: lo spazio percorso s e dato da Rθ, se l’angolo e misurato in radianti. Definiamo quindi la

Figura 1.10: Gli angoli in radianti

velocita angolare media ~ωm il vettore che ha come modulo la variazione di angolo spazzato dal vettoreposizione del punto materiale e l’intervallo di tempo stesso:

ωm =θ(t2)− θ(t1)

t2 − t1



la velocita angolare istantanea sara in analogia con le quantita cinematiche istantanee tradizionalila velocita angolare media calcolata in un intervallo di tempo molto piccolo rispetto alla durata delfenomeno che stiamo considerando. dal punto di vista della velocita istantanea quindi si ha

v =∆s

∆t=R∆θ

∆t= Rω.

Il passaggio e giustificato solo nel caso di velocita istantanea, in cui l’intervallo di tempo e moltopiccolo rispetto alla durata del fenomeno e quindi l’arco di circonferenza ∆s puo essere approssimatocon la corda ∆r. La direzione del vettore velocita angolare ci permette di collegare il vettore al versodi rotazione del punto materiale: la direzione di ~ω e perpendicolare al piano formato da ~r1 ed ~r2 edil suo verso definito dalla regola destrorsa, come mostrato in figura (1.11). Unendo le caratteristiche

Figura 1.11: La velocita angolare

del vettore ω appena descritte possiamo concludere che

~v = ~ω × ~r.

L’accelerazione centripeta puo essere espressa anch’essa come funzione della velocita angolare secondol’espressione

~ac = ~ω × ~v (1.2.5)

ac = ω2r (1.2.6)

Per moti in cui la velocita angolare non e costante si puo definire l’accelerazione angolare α:

~α =∆~ω

∆t.



Nel caso del moto circolare uniforme avremo:

~α = ~0

~ω = ~k

|~ω| =v

rθ = ωt+ θ0,

di cui notiamo le somiglianze formali con le equazioni del moto rettilineo uniforme per le variabilicinematiche ~s, ~v ed ~a.

1.2.3 Moto armonico

Definiamo moto armonico un moto per cui vale la relazione

~a(t) = −ω2~s(t)

Una relazione di questo genere tra accelerazione e vettore posizione descrive un’oscillazione periodicadi periodo T = 2π/ω del punto materiale attorno ad un centro (~s = ~0). Abbiamo gia discusso nel corsodel primo biennio come la proiezione del moto circolare uniforme lungo una direzione particolareed il moto del pendolo semplice siano esempi di moto armonico. I moti armonici ricoprono un ruolodi prima importanza in fisica, perche sono alla base della descrizione di moltissimi fenomeni fisici, dalpendolo semplice alle onde meccaniche, dai circuiti elettrici alla struttura microscopica della materia,come avremo modo di accennare durante il corso di fisica del secondo biennio e del quinto anno diliceo.

1.3 I principi della dinamica

I principi della dinamica sono tre leggi che Newton introdusse con l’intento di descrivere come leforze siano collegate ai moti dei corpi (senza considerare i moti di rotazione dei corpi attorno a lorostessi). Sono leggi derivate dall’esperienza e l’osservazione, non sono teoremi derivabili da definizionidate precedentemente, per questo le chiamiamo principi. Essi sintetizzano il lavoro fatto dai pensatoridel 1600, Galilei e Newton sopratutto, e pongono le basi per la costruzione della fisica moderna, lameccanica in particolare.

1.3.1 Primo principio della dinamica

“Lex I: Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisiquatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare” (Newton, 1687)

Il primo principio della dinamica dice che ogni corpo non soggetto a forze persevera nel suo statodi quiete o di moto rettilineo uniforme. In altre parole, se la somma di tutte le forze agenti su uncorpo e nulla esso rimarra nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme, e viceversa

~R(=n∑i=1

~Fi) = ~0⇐⇒ ~v = ~k (1.3.1)

Il primo principio della dinamica, che fu proposto in termini non formali gia da Galilei, e di fonda-mentale importanza per la fisica moderna in quanto introduce il concetto di equilibrio di un puntomateriale; e chiamato anche principio d’inerzia: si definisce inerzia infatti la proprieta dei corpi che



si oppone ad un cambiamento dello stato di moto del corpo stesso. Nella discussione fatta da Newtone implicito il concetto di sistema di riferimento inerziale che nell’idea dello scienziato britannico sidefinisce come il sistema di riferimento all’interno del quale valgono i principi della dinamica. Questisistemi sono tutti i sistemi in stato di quiete o di moto rettilineo uniforme l’uno rispetto all’altro.In questo senso ancora una volta la fisica che propone Newton si pone in continuita con la fisica diGalileo: circa cinquant’anni prima di Newton Galileo propose il suo principio di relativita (che noistudieremo nel prossimo capitolo), il quale diceva che tutte le leggi della fisica devono avere la stessaforma in sistemi di riferimento inerziali tra loro.

Esempi ed applicazioni

• Se siamo seduti in un’automobile che inizia a frenare, ci sentiamo spingere in avanti; in realta ela nostra inerzia che si manifesta: tendiamo a continuare a muoverci di moto rettilineo uniforme!

• Se pensiamo a dover mantenere la velocita costante andando in bicicletta capiamo bene di doverimprimere una forza sui pedali. Questa forza, secondo il primo principio della dinamica, deveessere esattamente uguale ed opposta alla forza d’attrito che si sviluppa tra le ruote ed il terrenoe tra la bicicletta, il ciclista e l’aria.

• Un esempio particolarmente importante di sistema di riferimento che normalmente approssimia-mo come sistema inerziale e dato dalla terra stessa: perche valgano i principi della dinamicatutti gli esperimenti che facciamo ogni giorno nei nostri laboratori devono essere fatti in sistemidi riferimento inerziali! Ma come possiamo giustificare questa approssimazione dato il fatto checonosciamo il moto di rivoluzione della terra attorno al sole e dunque sappiamo che la terra hauna certa accelerazione centripeta? Calcolando l’accelerazione centripeta della terra nella suarivoluzione intorno al sole e nella rotazione intorno a se stessa possiamo notare come questeaccelerazioni abbiamo intensita molto piccole, per lo meno rispetto ai tempi tipici della maggiorparte degli esperimenti che possiamo immaginare di fare in un laboratorio.

1.3.2 Secondo principio della dinamica

“Lex II: Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectamqua vis illa imprimitur.” (Newton, 1687)

Il secondo principio della dinamica dice che l’accelerazione di un punto materiale e direttamente pro-porzionale alla somma delle forze su di esso impresse. La relazione matematica tra le due grandezzee dunque

~R(=

n∑i=1

~Fi) = m~a (1.3.2)

Il secondo principio della dinamica mette in evidenza la relazione tra accelerazione e forza: la forzaapplicata ad un punto materiale e la causa dell’accelerazione del punto materiale stesso. Dal punto divista concettuale questa legge e importante per due motivi:

• e la prima legge fisica che parla di come una causa si relaziona con il suo effetto, caratteristicache diventa distintiva della fisica moderna dandole la capacita di predire fenomeni e non solodescriverli,

• definisce la massa di un punto materiale come la sua inerzia, la caratteristica che si oppone alcambiamento dello stato di moto.




• Il peso e una delle prime forze cui applichiamo la seconda legge della dinamica per concludereche ~g, il vettore che siamo stati abituati a moltiplicare alla massa per ottenere la forza peso ecertamente un’accelerazione, giustificando formalmente il suo utilizzo nei moti di caduta liberae parabolici.

• I produttori di automobili spesso fanno pubblicita mostrando i tempi in cui le autovettureraggiungono velocita elevate: ad esempio la Ferrari 2011 FF “puo andare da 0 a 100 km/hin 3,7 secondi”. Questa frase si riferisce all’accelerazione, la compagnia ci sta semplicementedicendo che l’accelerazione che puo raggiungere la macchina e a = 27,8−0

3,7 = 7, 5 m/s2. Da questainformazione, sapendo che un’automobile del genere ha una massa m = 1800 kg possiamo cercaredi capire quanta forza deve imprimere il motore V12 della ferrari sulla macchina stessa per fornirequest’accelerazione (senza considerare gli attriti...) F = ma = 13524 N, poco meno della forzanecessaria ad alzarla completamente (P = mg = 17640 N)!!

• Ricordiamo come le forze siano grandezze vettoriali e come quindi spesso siamo obbligati adoperare in due o tre dimensioni, scomponendo le forze in componenti perpendicolari tra loro.Basta risolvere il seguente problema, che fa riferimento alla figura (1.12) per rendersene conto:Una valigia ha una massa m = 10kg e viene trainata dal suo proprietario con una forza F =50 N con una direzione che forma un angolo α = 60◦ rispetto all’orizzontale; supponendo uncoefficiente d’attrito k = 0, 2 tra la valigia e il pavimento, si calcoli l’accelerazione della valigia.

Figura 1.12: Esempio 3

1.3.3 Terzo principio della dinamica

“Lex III: Actioni contrariam semper et æqualem esse reactionem: sive corporum duorum actiones inse mutuo semper esse æquales et in partes contrarias dirigi.” (Newton, 1687)

Il terzo principio della dinamica dice che se un punto materiale A imprime una forza ~F1 su un puntomateriale B, allora il punto materiale B imprimera una forza ~F2 uguale e contraria ad ~F1 sul puntomateriale A, vale cioe la relazione

~F1 = −~F2 (1.3.3)



Un elemento particolarmente importante da evidenziare parlando del terzo principio della dinamica edato dal fatto che le due forze ~F1 ed ~F2 devono agire lungo la stessa direzione ma non sono applicateallo stesso corpo, per cui non si annullano ma generano accelerazione sui due punti materiali coinvolti(~a1 ed ~a2). Il terzo principio della dinamica introduce per la prima volta nella storia della scienza ilconcetto di forze a distanza: esso si applica anche se i due punti materiali non sono in contatto l’unocon l’altro. L’intuizione degli esseri umani suggerisce l’esistenza delle forze come forze di contatto, innatura invece troviamo molte forze che agiscono a distanza e che studieremo nel dettaglio nel corsodegli anni di liceo come ad esempio la forza gravitazionale e quella elettrostatica.


• Per poter correre in avanti dobbiamo spingere con il piede all’indietro!!! Come e possibile? Per ilterzo principio della dinamica se il piede spinge all’indietro il pavimento (o il blocco di partenzaper le corse di atletica leggera), il pavimento rispondera con una forza uguale e contraria sulpiede, effetto della quale sara l’accelerazione in avanti del corridore.

• Immaginiamo di pesarci sulla bilancia premendo con una scopa sul soffitto. La bilancia peserauna forza maggiore della nostra forza peso, perche la stessa forza con cui premiamo sul soffittoverso l’alto viene impressa dal soffitto su di noi verso il basso, andando a sommarsi al nostropeso nella misurazione della bilancia.

• Se immaginiamo di essere sui pattini di fronte ad un muro e spingerci in avanti con le manisul muro siamo sicuri di iniziare a muoverci all’indietro. Anche questa situazione puo sembrareassurda, ma non e nient’altro che nuovamente l’applicazione del terzo principio della dinamica.

1.3.4 Sistemi di riferimento non inerziali

Sistemi non inerziali si definiscono come sistemi accelerati gli uni rispetto agli altri. Nel prossimocapitolo entreremo nel merito dei ragionamenti che vennero fatti dagli scienziati dei secoli scorsiper definire un sistema inerziale o non inerziale in senso assoluto e non in relazione ad un altrosistema, mentre in questo paragrafo ci limitiamo a far notare come i tre principi della dinamicavalgano solo all’interno di sistemi inerziali. Prendendo in considerazione sistemi non inerziali infattisembrano accadere strani fenomeni dal punto di vista della meccanica newtoniana, in particolaresembrano esistere delle accelerazioni senza nessuna forza che le causi. Pensiamo ad esempio alleseguenti situazioni

• l’accelerazione che percepiamo se l’automobile in cui ci troviamo sterza di colpo, frena o accelera

• l’accelerazione che percepiamo stando su una giostra rotante (come il tagada del luna park)

• l’accelerazione che percepiamo quando l’ascensore parte verso l’alto o verso il basso

In ognuno di questi fenomeni percepiamo delle accelerazioni, e le misuriamo fisicamente, senza chenessuna forza agisca su di noi direttamente. Sembra quindi non valere il secondo principio delladinamica! Riflettendo su questi fenomeni, come descriveremo nel dettagli nel capitolo 2, possiamocapire che queste accelerazioni sono in realta l’effetto della descrizione del fenomeno da un sistemadi riferimento in accelerazione, causate sostanzialmente dalla nostra inerzia. Per descrivere questieffetti restando nel formalismo newtoniano la comunita scientifica ha scelto di introdurre delle forzecosiddette apparenti, che sono la causa dell’accelerazione che percepiamo in sistemi di riferimentoaccelerati. Esempi di queste forze, gia descritte nel biennio, sono la forza centrifuga o la forza diCoriolis.



1.4 Work and Energy

1.4.1 Mechanical work

The term ”work” that we use in our everyday language has a meaning that we all know and understand;in science instead this is a specific word related to the action of a force on a body. We know that theaction of a force on a body is the cause for the accelleration of the body itself: it means that the bodychanges its state of motion under the effect of forces, it moves in a particular way, with an acceleration~a = ~F/m (with ~a the acceleration of the body, ~F the sum of all the forces acting on the body, m themass of the body). The work done by the force ~F on the body is related to the connection betweenthe force and the space travelled by the body as a consequence of the action of ~F .

Work done by a constant force

In the simplest case in which the force is constant work is defined by the relation:

L = ~F · ~s,

where ~F is the constant force, ~s is the displacement of the body and the operation · is the scalarproduct between the two vectors, it means that the equation (1.4.1) can be written as

L = Fs cosα,

where α is the angle between the two vectors ~F and ~s. At this point we can start asking ourselves”what is the physical meaning of this quantity?”. To answer this question let’s have a look to thepicture (1.13). In the picture there are four different situations:

1. in (A) we can see a body lying on a surface. There are two forces acting on this body, itsweight ~P , and the normal reaction of the surface, ~N : since the weight is balanced by the normalreaction, and the body is initially at rest, it is not cause of any motion. As a consequence, ~s = 0and the work done by the weight equals zero.

2. in (B) we can see a body that is moving up (by means of an external force). Since the weight isacting to the bottom and the displacement is towards the top, α = π, cosα = −1, so the workdone by the weight it will be negative: the weight is acting against the displacement of the body.

3. in (C) we can see a body that is moving down (by means of its weight). Since the weight isacting to the bottom, as the displacement, α = 0, cosα = 1, so the work done by the weight itwill be positive: the weight is acting for the displacement of the body.

4. in (D) we can see a body that is moving horizzontally (by means of an external force). Sincethe weight is acting to the bottom, and the displacement is horizontal α = π/2, cosα = 0, sothe work done by the weight it will be zero: the weight has nothing to do with the displacementof the body.

In this example we can understand how mechanical work is a physical quantity that measures therelation between a force acting on a body and the displacement of the body itself. We will use L (theitalian way) or W (the english way) to indentify mechanical work. Mechanical work is measured inJoule (J): one Joule is the work done by a force with strenght of 1 N causing a displacement of 1 malong the direction of the force: 1J = 1N · 1m.



Figura 1.13: work done by a constant force

Work done by a force varying on space

Let’s now investigate how to calculate the work done by a force varying on space: we assume a force~F (s) acting on a body, with a constant angle α between the force and the displacement. In such a casewe cannot apply the previous formula, we do not know which value of F has to be put into Fscos(α),since it is varying. The trick to solve the problem is to consider many tiny works and then sum all ofthem. Indeed, if we divide the displacement in many tiny pieces, d~s (where d, instead of ∆ mean thatour segments are negligible with respect to the total lenght of the displacement), in each of them wecan consider the force constant, and use ~F · d~s to find a work dL. Then we have to ”sum” al thesetiny works. This is a well known operation in math, called integral, that we are not going to studyin mathematical detail at this point. This mathematical concept is important even if we will not seetecnical details of the calculation, to understand a geometrical way to calculate the work done by aforce varying on space: the area under the function Fcos(α) (as a function of the displacement) in as-F cartesian graph. Let see figure (1.14): this is the geometrical representation of the work done bythe force ~F , causing the displacement ~s (from 1 to 7 units) (we assume the angle α between ~F and ~sas a constant). In the picture is clear that if we consider a tiny ds the force can be considered constant(with strenght F ∗ cos(α) in our example) and the area between the function and the s-axis is the areaof the rectangle with basis ds and height F ∗cos(α): the work done by the ”constant” force F ∗cos(α)along the displacement ds! Then, the work done along the displacement s, it will be the area betweenthe function Fcos(α) and the s-axis. At this point we know what is mechanical work and we know



Figura 1.14: work done by a force varying on space

how to calculate it: in next paragraphs we will calculate the work done by two well known forces: thegravitational force and the elastic force.

Work done by the gravitational force

The first force we analize is the gravitational force acting on a point particle with mass m: ~F = m~g.Gravitational force is a constant force, always acting on the vertical line connecting the point particleto the ground. Figure (5.4) describes four different situations:

• in (A) we can see that if the point particle moves horizzontally by means of an external forcethe work done by the gravitational forces equals zero: the gravitational force has nothing to dowith that displacement.

• in (B) we can see that if the point particle is moving up vertically by means of an external force,the work done by the gravitational force is negative (the work is done ”against” the gravitationalforce) and equals the quantity −mgh, where h is the difference in height between the groundand the final position of the point particle.

• in (C) we can see that if the point particle is moving down vertically by means of the gravitationalforce, the work done by the gravitational force is positive(the work is done by the gravitational



force) and equals the quantity mgh, where h is the difference in height between the ground andthe initial position of the point particle.

• in (D) we can see that even if the displacement is not along the vertical line connecting the initialpoint and the ground the work done by the gravitational force is again mgh! This is because ofthe scalar product that defines mechanical work.

We can conclude that it doesn’t matter what is the trajectory done by the point particle, the workdone by the gravitational force does not depend on it, but only on the initial and final heights andthe difference between them: L~P = mg(hi − hf ).



Figura 1.15: work done by the gravitational force



Work done by elastic force

The elastic force is the tipical force varying on space: ~Fe = −k~s. So, to calculate the work done bythis force we have to look at the graph Fe − s, since the angle α is always constant α = π and onthe graph we will plot Fecos(α) = −F = ks, or F = −ks. We can see from picture (1.16) that thework done by the elastic force is obtained by the area of the trapezoid defined by the function Fe:L = (B+b)∗h

2 = 12ks

2i − 1

2ks2f . Thinking on a spring we can say that the elastic force does work trying

Figura 1.16: work done by the elastic force

to bring the spring back to the equilibrium position, and each compression or extension of it is doneby an external force that works ”against” the elastic force.

1.4.2 Conservative forces

In this section we define conservative forces: it is a very important concept in physics, and we willfind it in almost all the topics we will study in these years. A force is defined to be conservativeif the work done by it does not depend on the path travelled from the point particle. Inother words, a force is defined to be conservative, if the work done to bring a point particle from apoint A to a point B depends only on the two points A and B. The two forces we studied in previousparagraphs, they are conservative! Indeed

L~P = mghi −mghf ,

L~Fe=

1

2ks2

i −1

2ks2

f ,

the work depends just on si and sf , not on the path done by the point particle. In next paragraphswe will introduce energy, and it will be clear the importance of a conservative force in physics.



1.4.3 Energy

In science energy is defined as the ability of a physical system to do work. What does it mean?It means that a system has to ”contain” energy in order to do work, and any time a system (theforces inside the system) does work, it spends energy. Energy is a sort of scientific-money to do work.with this definition it is clear that energy has the same unit than work, Joule. In next sections wewill analize three different energies arising from the forces we studied before: generic constant force,gravitational force, elastic force.

Kinetic energy

Let’s analize the following situation (fig.(1.17)): a point particle moving with constant velocity startsto be under the effect of a constant force ~F : the effect will be that the point particle will movewith a uniformly accelerated motion, with initial velocity vi. Since the particle is moving the force

will do work: L = ~F · ~s = Fs = ma(sf − si) = mvf−vi

∆t (sf − si) = m(vf − vi)12a(∆t)2+vi∆t

∆t =

m(vf − vi)(12a∆t+ vi) = m(vf − vi)(1

2(vf − vi) + vi) = m(vf − vi)(vf+vi)

2 = 12m(v2

f − v2i ) (here we used

the equation of the uniformly accelerated motion sf = 12a(tf−ti)2 +vi(tf−ti)+si, vf = a(tf−ti)+vi).

This calculation suggests us that the energy used by the force to accelerate the particle equals the workdone; since this energy is the difference between the quantity 1

2mv2 at the end and at the beginning of

our situation, we can argue that every point particle moving with a certain speed v it has a ”Kinetic”energy K = 1

2mv2 (in italian we will use Ec). Every time a point particle is accellerated by an external

force the particle acquires kinetic energy, following the Kinetic energy theorem:

L = ∆K = Kf −Ki

.

Figura 1.17: Kinetic energy theorem



Gravitational energy

We have already seen that the work done by the gravitational force equals mghi−mghf : we can definegravitational energy as Ug = mgh, where h is the spatial coordinate of the point particle referred to itsheight. We notice that the possibility to define an energy for the gravitational force here depends onthe fact that the gravitational work depends only on the initial and the final position of the particle:since the gravitational force is conservative then we can define a gravitational energy! If the work isdone by the force, the gravitational energy is decreasing, if the work is done by an external force, thegravitational energy is increasing:

L = −∆Ug

.

Figura 1.18: Gravitational energy

Elastic energy

We have already seen that the work done by the elastic force equals 12ks

2i − 1

2ks2f : we can define elastic

energy as Ue = 12ks

2, where s is the spatial coordinate of the point particle referred to its distancefrom the equilibrium point. We notice that the possibility to define an energy for the elastic forcedepends again on the fact that the elastic work depends only on the initial and the final position ofthe particle: since the elastic force is conservative then we can define an elastic energy! If the work is



done by the force, the elastic energy is decreasing, if the work is done by an external force, the elasticenergy is increasing:

L = −∆Ue

.

Figura 1.19: Elastic energy

1.4.4 Conservation of mechanical energy

All the energies related to conservative forces are called potential energies: them are the energiesthat allow a force to do some work, kinetic energy instead is the energy gained (or lost) by the pointparticle under the effect of a force acting on it. An important characteristics of potential energies isthat they all depends only on the position of the point particle. As written in the previous pictures,in presence of a conservative force it holds: L = −∆U , so we can say that if a force is conservativethe work done on a closed path (the starting point coincides with the final one), the work done equalszero: LA→A = 0. We are ready to enounce the theorem of conservation of mechanical energy: anyconservative physical system (a system in which all the forces are conservatives) has aconstant mechanical energy, Etot given by the sum of all the potential energies and thekinetical energy in a given istant of time. It means that if a force is doing work on a pointparticle, the force is losing potential energy, while the point particle is gaining kinetic energy. It canbe demostrated in few simple calculations:

L~F = ∆K,

L~F =

n∑i=0

~Fi = −n∑i=0

∆Ui,



∆K = −n∑i=0

∆Ui,

∆K +

n∑i=0

∆Ui = 0,

∆(K +n∑i=0

∆Ui) = 0,

∆Etot = 0,

Etot = K +

n∑i=0

∆Ui = const.

The simplest example of conservation of energy is described in figure 1.20. Consider a point particle

Figura 1.20: Conservation of mechanical energy

standing on the top of a double slide, as in figure:

• since it stands at a certain height h, it has a potential energy Ug = mgh; it means that thegravitational force can do work: the work done when the point particle start falling along theslide.

• Sliding down, the gravitational energy decreases, while kinetic energy increases (the point particleaccelerates under the effect of the gravitational force).



• When the point particle is on the bottom of the slide, it has no more gravitational energy, whichall trasformed into kinetic energy 1

2mv2. According to the conservation theorem the energy at

this point as to equal the initial energy, so Ugi = Kf , mgh = 12mv

2.

• The velocity gained by the point particle allows it to move up on the other side of the slice:gravitational energy starts increasing, kinetic energy decreases (the point particle slows downwhile going up)

• When all the initial kinetic energy does its work the point particle stops; at that point all thekinetic energy transformed into potential energy: Ki = Ugf , 1

2mv2 = mgh.

The conservation of energy is very important theorem in physics basically for two reasons:

1. it gives us an invariant, a quantity that, under some hypothesis (conservative forces), is alwaysconstant. It allows us to label a system: the system with energy 5J , 8J , ...

2. as we will see in paragraph (1.4.6), it is a useful tool to solve problems in a simpler way thanthe study of kinematics of point particles

1.4.5 Work done by non-conservative forces

The tipical example of non-conservative force is friction. Friction is a non conservative force becausethe work it does depends on the path travelled by the point particle: Fa = µF⊥, LFa = −Fas = −µF⊥s.Along a certain path friction does more work than a shorter one. Since friction is not a conservativeforce, we cannot define a friction energy: friction always consumes energy of the system, never gainsit. In presence of a non conservative force Fnc, the conservation of mechanical energy does not apply,but we can write:

∆Etot = LFnc .

1.4.6 Problem Solving

In this paragraph we will see how to set up a procedure to solve most of conservation of energy basedexercises.

1. First step: draw a schetch of the system to study;

2. Second step: draw in the schetch all the energies involved in all the important points of theproblem;

3. Third step: apply the conservation of energy at the different points.

Let’s apply the procedure on the follwing exercise:A point particle of mass m = 10kg is free-falling from a height h = 10m. Find its speed the istantbefore it hurts the floor. Following our steps:



Figura 1.21: First step: The draw of our system

Figura 1.22: Second step: The draw of our system with all the energies involved

Figura 1.23: Third step: The application of the conservation of energy



The solution of the problem (vf =√

2gh) is the same if we apply kinematics (as we saw last year andat the beginning of this one), but using conservation of energy is much faster an simpler!

1.4.7 Power

We define Power as the physical quantity given by the ratio between the work done by a force andthe time taken to make the work:

Pm =L

∆t(1.4.1)

This physical quantity is measured in Watt (1 W=1 J/s), and tells us the capacity of a force to doa certain amount of work in a given period of time. If we think that this work is done on a pointparticle we can find a relationship between the average power, the average force acting on the pointparticle and its average velocity:

Pm =L

∆t

=~Fm ·∆~s

∆t

= ~Fm ·∆~s

∆t

= ~Fm · ~vm

The istantaneous power is then the average power when the time interval ∆t is tiny with respect tothe phenomenon we are considering, in such a way that the average force becames the istantaneousforce and so the velocity:

P = ~F · ~v (1.4.2)

We can interpret power as the energy consumed or provided per unit of time.

A simple example Two runners with the same mass m = 70 kg reach the same velocity vf = 10m/s from a standing start. They both make L = ∆Ec = 3500 J of work; we say that the runnerA, who reaches the velocity v in 10 seconds is much powerful than the runner B who reaches thevelocity v in 20 seconds: the power consumed by A is PA = 350 W, while the power consumed by Bis PB = 175 W. The work done by the two runners is the same but the power is different.

1.4.8 The Feynman point of view

The approach we used in these paragraphs to the topic of work and energy is the typical approach usedin italian high schools: starting from the definition of work, then talking about energy, the theorem ofconservation of mechanical energy to get finally to the conservation of total energy (at the fourth yearof high school) studying heat and thermodynamics. But it is not the only possible way to introducethis topic. For example, the great physicist Richard Feynman (New York, 1918 - Los Angeles, 1988) inhis famous lectures uses a completely different approach. In the chapter “What is energy?” Feymanwrites:There is a fact, or if you wish, a law, governing natural phenomena that are known to date. There isno known exception to this law; it is exact, so far we know The law is called conservation of energy;it states that there is a certain quantity, which we call energy, that does not change in manifoldchanges which nature undergoes. That is a most abstract idea, because it is a mathematical principle;it says that there is a numerical quantity, which does not change when something happens. It is not adescription of a mechanism, or anything concrete; it is just a strange fact that we can calculate some



number, and when we finish watching nature go through her tricks and calculate the number again, itis the same (Feynman, 2001).Physicists are very fond of this type of setting because energy conservation is really a very importantprinciple and this aproach does not bind energy to the work of a force like we did. In this case, thework of a force becomes a possible form of energy, as well as heat, internal energy (which we willstudy in thermodynamics) or electromagnetic energy. The approach is interesting and useful, and allthe formulas and concepts that we have just described can also be derived from this idea. Amongmany positive aspects there is also a lack in Feynman’s approach: it is hard to see what differencethere is between energy and whatever else is preserved, such as mass or electric charge, for example.Although our approach is different from this, it is interesting to note, however, as in science there maybe different ways to think and to present its fundamental concepts.

1.5 Meccanica dei fluidi

Nel biennio abbiamo studiato la fluidostatica, ovvero la parte della fisica che studia i fluidi nei loro statidi equilibrio. Quello che faremo in questo paragrafo e di considerare fluidi in movimento, applicandole conoscenze che abbiamo della fisica fuori equilibrio che abbiamo ripreso ed approfondito in questoprimo capitolo al caso dei fluidi. Prima di entrare nei dettagli della meccanica dei fluidi riprendiamobrevemente i concetti principali della fisica dei fluidi in equilibrio.

Fluido Definiamo fluido una sostanza che si trovi in uno stato fisico non dotato di forma propria.Possiamo per il momento immaginare che fluido e una qualsiasi sostanza che non si trovi allo statosolido. Parleremo di fluidi incomprimibili in presenza di un fluido a densita costante (ρ = m/V = cost).

Pressione Definiamo come pressione P la grandezza fisica che si ottiene come rapporto tra il modulodella forza perpendicolare ~F⊥ agente su una superficie e l’ampiezza A della superficie stessa:

P =F⊥A

L’unita di misura della pressione nel sistema internazionale si chiama Pascal (Pa): un Pascal e lapressione esercitata da una forza di un Newton che agisce perpendicolarmente su una superficie di unmetro quadrato: 1Pa=1N/1m2.

Fluido in equilibrio Diremo che un fluido e in equilibrio se, presa comunque una superficie aperta3

all’interno del fluido, la pressione esercitata su un lato della superficie e uguale alla pressione esercitatasull’altro lato della superficie.

Principio di Pascal Il principio di Pascal asserisce che in un fluido in equilibrio una variazione dipressione in un certo punto del fluido viene trasmessa inalterata a tutto il fluido, in tutte le direzionifino alle pareti del contenitore in cui il fluido e contenuto.

Pressione idrostatica e legge di Stevino Definiamo pressione idrostatica la pressione in un fluidoincomprimibile dovuta alla gravita: un certo fluido che si distribuisce su diverse altezze (o profondita)risentira della forza di gravita che la parte di fluido piu in alto imprime sulla parte piu bassa. Esistera

3si definisce aperta una superficie per cui non si riesca a definire un interno od un esterno alla superficie. Immaginiamoper esempio un fazzoletto rettangolare o circolare; la superficie di una sfera invece non e aperta.



quindi una differenza di pressione a diverse altezze dovuta alla gravita, che possiamo trovare graziealla legge di Stevino:

∆p = ρgh (1.5.1)

dove ρ e la densita del fluido, g l’accelerazione di gravita ed h il dislivello tra i due punti tra cui stiamocalcolando la differenza di pressione.

Principio di Archimede Il principio di Archimede asserisce che un corpo immerso in un fluidoriceve una spinta dal basso verso l’alto (la spinta di Archimede appunto), pari al peso del liquido cheoccuperebbe il volume del corpo immerso nel fluido. Questo principio, su cui abbiamo ragionato moltonel primo anno di liceo, non porta molte conseguenze rispetto alla meccanica dei fluidi per come lastudieremo qui, ma e stato riportato per avere un riferimento completo dei concetti visti nel biennioper quanto riguarda l’equilibrio dei fluidi.

1.5.1 Fluidi in moto

Descriveremo fluidi in moto tramite il moto delle particelle di cui immaginiamo essi siano composti,piu nello specifico noi ci riferiremo ad elementi di fluido: immagineremo cioe di suddividere il fluido inmoltissimi volumi molto piccoli dV che si muovono formando nell’insieme il moto completo del fluido.La descrizione dei moti di un fluido puo essere molto complessa sia dal punto di vista concettualeche matematico, e proprio per questo motivo faremo delle approssimazioni che ci aiuteranno nellacomprensione e descrizione di questi fenomeni. La descrizione di moti reali dei fluidi poi potra esserepiu o meno fedele a queste approssimazioni, richiedendo in alcuni casi delle descrizioni piu complesseche pero non tratteremo durante il corso del liceo. Le approssimazioni che facciamo per studiare fluidiin movimento sono:

1. Considereremo solo fluidi incomprimibili

2. Considereremo solo fluidi non viscosi (trascureremo quindi gli attriti interni del fluido stesso)

3. Considereremo solo moti stazionari, ovvero moti in cui la velocita di un elemento di fluidoresta costante nello spazio v = v(~r)

4. Considereremo solo moti irrotazionali, ovvero moti in cui non esistono elementi di volume delfluido in cui la traiettoria di un elemento di fluido sia circolare

In particolare chiameremo fluidi ideali i fluidi che soddisfano alle condizioni (1) e (2).

1.5.2 Equazione di continuita

La prima conseguenza delle richieste di approssimazione fatte nel paragrafo precedente e l’equazionedi continuita. Immaginiamo di avere un fluido che scorre all’interno di un tubo orizzontale che variala sua dimensione trasversale. Diciamo che, come rappresentato in figura (1.24) la sezione passi daun certo valore S1 ad un altro valore S2, S1 < S2. Immaginiamo ora un certo volume V di fluidoincomprimibile che attraversi la superficie S1 in un intervallo di tempo ∆t: per l’incomprimibilita delfluido uno stesso volume V nello stesso intervallo di tempo ∆t dovra attraversare anche la superficieS2. Immaginando che il volume sia distribuito su tutta la superficie con un’estensione longitudinalemolto piccola ∆x avremo che il volume che attraversa S1 e dato da V1 = S1∆x1 ed il volume che



Figura 1.24: Flusso di un fluido attraverso due superfici differenti S1 ed S2

attraversa la superficie S2 e dato da V2 = S2∆x2. Si avra dunque

V1

∆t=

V2

∆tS1∆x1

∆t=

S2∆x2

∆t

S1∆x1

∆t= S2

∆x2

∆t

E dunque, immaginando le estensioni longitudinali molto piccole, cosı come l’intervallo di tempo diattraversamento molto piccolo possiamo scrivere l’equazione di continuita:

Q = Sv = cost (1.5.2)

Questa semplice equazione da importanti informazioni sul moto dei fluidi incomprimibili: velocita delfluido e sezione attraversata sono inversamente proporzionali, un fluido ideale, per evitare “ingorghi”deve avere velocita maggiori man mano che attraversa sezioni piu piccole! La quantita Q = Sv sichiama portata e si misura in m3/s ed e una costante nel moto di fluidi ideali.

1.5.3 Teorema di Bernoulli

Il teorema di Bernoulli e un’estensione della legge di equilibrio per i fluidi e rende conto in qualchemodo, come vedremo a breve, della conservazione dell’energia anche nel caso di fluidi in movimento.Prendiamo in considerazione un fluido ideale che faccia un percorso in cui varia non solo la sezionetrasversale come nel caso precedente, ma che vari anche la sua altezza rispetto al livello del mare, comein figura (1.25). Evidentemente per portare il fluido verso l’alto ci deve essere del lavoro esterno fattocontro la forza di gravita che tenderebbe a spingere la massa di fluido verso il basso. Tale lavoro dovraessere uguale alla somma della variazione di energia cinetica del fluido e della variazione di energiapotenziale gravitazionale del fluido nei punti di attraversamento della superficie S1 e della superficieS2:

L = ∆Ec + ∆Ug

Analizzeremo quindi ogni elemento di questa equazione di conservazione dell’energia per ottenerequello che chiameremo il teorema di Bernoulli. Sottolineiamo qui come per dimostrare questo teoremastiamo usando un approccio “alla Feynman”, stiamo cioe assumendo che l’energia si conservi, ovveroche il lavoro fatto dalle forze esterne al sistema bilanci esattamente la somma delle diverse energiein gioco: la cosa e ragionevole visto che stiamo trascurando gli attriti interni al sistema, ma e pur



Figura 1.25: Fluido in movimento in un percorso che varia sia la sezione che l’altezza

sempre un’assunzione che estende il concetto di campo gravitazionale conservativo e conservazionedell’energia da un sistema di meccanica dei solidi ad un sistema di meccanica dei fluidi. Immaginiamoquindi che un certo volume V di fluido attraversi la superficie S1 in un certo intervallo di tempo ∆t:per l’incomprimibilita del fluido dovra essere quindi che un volume V di fluido attraversi la superficieS2 nello stesso intervallo di tempo.

Il lavoro L Il lavoro esterno L fatto sul fluido avra due componenti: la prima L1 data dalla massadi fluido che spinge il volume V che attraversa S1 dato da L1 = F1∆x1, con ∆x1 lo spostamentolongitudinale del volume ed il lavoro L2 = F2∆x2 sulla superficie S2 subito dalla massa di fluido chesi trova dopo la superficie S2; questi due lavori hanno segno opposto: prenderemo come positivo L1 enegativo L2 immaginando che la massa di fluido si stia spostando da S1 ad S2. Il lavoro totale saradunque L = L1 −L2 = F1∆x1 −F2∆x2. Per riscrivere in termini di pressione questo lavoro possiamomoltiplicare e dividere L1 per S1 e moltiplicare e dividere L2 per S2 ottenendo l’espressione

L = p1V1 − p2V2 = (p1 − p2)V

L’uguaglianza tra i due volumi puo essere assunta sempre in virtu dell’incomprimibilita supposta delfluido.

L’energia cinetica ∆Ec La variazione di energia cinetica del fluido e data da:

∆Ec =1

2m2v

22 −

1

2m1v

21 =

1

2ρ2V2v

22 −

1

2ρ1V1v

21 =

1

2ρV (v2

2 − v21)

sempre utilizzando l’incomprimibilita del fluido.

L’energia potenziale gravitazionale ∆Ug La variazione di energia potenziale del fluido e dataquindi da:

∆Ug = m2gh2 −m1gh1 = ρV g(h2 − h1)

con h2 ed h1 le altezze del volume di fluido attraversando rispettivamente S1 ed S2



L’equazione di Bernoulli Mettendo ora assieme tutti i termini trovati possiamo scrivere la nostraequazione nel seguente modo:

(p1 − p2)V =1

2ρV (v2

2 − v21) + ρV g(h2 − h1)

Questa equazione esprime la conservazione dell’energia nel caso del fluido in movimento, ed e una primaversione del teorema di Bernoulli. Notiamo come questa relazione possa essere riscritta portando alprimo membro tutti i termini relativi alla superficie S1 ed al secondo membro tutti i termini relativialla superficie S2 ottenendo

(p1 + ρv21 + ρgh1)V = (p2 + ρv2

2 + ρgh2)V

questa espressione mette in evidenza una quantita, che chiameremo anche pressione generalizzata,ottenuta come somma della pressione del fluido, la densita di energia cinetica e la densita di energiapotenziale gravitazione, che rimane costante durante tutto il tragitto del fluido! Si ha quindi la leggedi conservazione:

p+1

2ρv2 + ρgh = cost (1.5.3)

Questo risultato, ottenuto per la prima volta da Daniel Bernoulli (Groninga, 1700- Basilea, 1782), dicecome la pressione generalizzata, interpretabile come la densita di energia di un fluido in movimento,rimanga costante lungo il percorso di un fluido ideale in moto stazionario ed irrotazionale. Il teoremadi Bernoulli, come vedremo in qualche semplice applicazione qui di seguito e alla base di moltissimistudi ed applicazioni della meccanica dei fluidi.

1.5.4 Applicazioni

L’utilizzo dell’equazione di continuita e del teorema di Bernoulli permette la descrizione di moltissimifenomeni di moto dei fluidi, ed ha permesso nella storia della fisica lo studio e la produzione dimoltissimi strumenti ed apparati tecnologici che hanno a che fare con la fluidodinamica. Vedremo quidi seguito tre applicazioni, la prima - l’effetto Venturi - tecnologica per la misura della portata di unfluido, la seconda - la portanza - che mostra il principio base per il funzionamento degli aeroplani edinfine alcune applicazioni in campo medico - gli aneurismi e le trombosi.

Tubo di Venturi

Giovanni Battista Venturi (Bibbiano, 1746 - Reggio Emilia, 1822) e stato il sacerdote e fisico italianoche invento uno strumento di misura della portata di un fluido in movimento. L’apparato sperimentaleinventato da Venturi e descritto in figura (1.26): esso e costituito da un tubo con due diverse sezioniS1 ed S2 collegato ad un altro tubo ad U posto sotto al primo tubo che si collega ad esso nei puntidi sezione S1 ed S2. All’interno del tubo con le due sezioni viene fatto passare orizzontalmente ilfluido di cui si vuole misurare la portata; il tubo ad U invece e un manometro in cui viene posto unliquido che possa variare le sue altezze a seconda della differenza di pressione presente sui due ramidel manometro stesso. Venturi cerco una relazione tra la portata del fluido e la differenza di altezzamisurata dal manometro, conoscendo le due sezioni dello strumento. Infatti, per la legge di continuitasi ha che S1v1 = S2v2, dunque la velocita del fluido che attraversa S2 e maggiore della velocita delfluido che attraversa S1; questa differenza di velocita si manifesta in una differenza di pressione grazieal teorema di Bernoulli, che viene misurata dal manometro. Otteniamo dunque la relazione che cipermette di ottenere la portata in funzione di S1, S2 e ∆h: considerando il tratto rettilineo del tubo



Figura 1.26: Tubo di Venturi

di Venturi possiamo scrivere:

Q = S1v1 = S2v2

p1 +1

2ρv2

1 = p2 +1

2ρv2

2

p1 +1

2ρ(Q/S1)2 = p2 +

1

2ρ(Q/S2)2

1

2ρ[(Q/S1)2 − (Q/S2)2] = p2 − p1

Q2S22 −Q2S2

1

S21S

22

=2(p2 − p1)

ρ

Q2 =2(p2 − p1)

ρ

S21S

22

S22 − S2

1

Q =

√2(p2 − p1)

ρ

S21S

22

S22 − S2

1

A questo punto possiamo usare la legge di Bernoulli lungo il tubo ad U per scrivere che

p1 + ρgh1 = p2 + ρgh2

p2 − p1 = ρg(h1 − h2)

E sostituire il risultato nell’ultima delle equazioni precedenti trovando la relazione desiderata:

Q =

√2g(h1 − h2)

S21S

22

S22 − S2

1

(1.5.4)



Portanza

La portanza in fluidodinamica e la forza perpendicolare rispetto alla velocita relativa di un’ala di unaereo o di un veicolo che si muove all’interno o sopra ad un fluido. Essa e di fondamentale importanzaper la stabilita del veicolo e per la sua capacita di viaggiare. Studiamo in modo semplice la portanza nelcaso dell’ala di un aeroplano, facendo riferimento alla figura (1.27). Vogliamo dare giustificazione del

Figura 1.27: Profilo di un’ala di aeroplano per lo studio della portanza

fatto che esiste una differenza p1 − p2 > 0 che genera una forza dal basso verso l’alto sulla superficiedell’ala e che aiuta sostanzialmente l’aereo a volare. Per far questo ci richiamiamo al teorema diBernoulli per cui:

p1 − p2 =1

2ρ(v2

2 − v21) + ρg(h2 − h1)

Notiamo come, dato il profilo dell’ala (ecco l’importanza della forma dei profili in aerodinamica), l’ariache passa sopra all’ala deve avere una velocita maggiore dell’aria che passa sotto all’ala, in quantodeve percorre piu spazio in meno tempo, sempre assumendo che non si formino moti vorticosi attornoall’ala, cosa che si rivelerebbe pericolosa piu che fastidiosa dal punto di vista del modello fisico; inoltreh2 > h1: ecco allora che - in dipendenza della densita dell’aria naturalmente - esiste una differenza dipressione nella giusta direzione affinche l’aereo possa volare!

Aneurismi e Trombosi

In medicina si definiscono aneurismi le dilatazioni di vene o arterie dovute al cedimento delle pareti diuna di esse; il nostro intento qui non e quello di capirne le motivazioni o i rimedi, ma la fluidodinamicadel fenomeno per capire in che direzione potrebbe evolvere l’aneurisma secondo le regole della fisica.In figura (1.28) vediamo lo schema di un possibile aneurisma: chiameremo S1 la superficie in cuiabbiamo evidenziato la velocita del sangue ~v1 ed S2 quella dove abbiamo evidenziato la velocita ~v2.Per l’equazione di continuita avremo evidentemente v2 < v1. A questo punto possiamo applicare ilteorema di Bernoulli alla nostra vena (supponendo che sia in orizzontale o che la differenza di altezzasia trascurabile viste le dimensioni del fenomeno in questione) ed abbiamo:

p1 − p2 =1

2ρ(v2

2 − v21)⇒ p1 < p2

Ovvero la pressione laddove la vena ha ceduto aumenta: il che significa che dal punto di vista medicola fisica non tende a risolvere il problema, anzi, serve capire come poter intervenire per non peggiorareil problema.



Figura 1.28: Aneurisma

In medicina di definiscono trombi le ostruzioni di vene o arterie dovute al deposito di sostanze didiversa origine. Evidentemente il fenomeno dal punto di vista fluidodinamico e l’esatto opposto delprecedente, ed e descritto dalla figura (1.29). Evidentemente, ricalcando la dimostrazione precedente,

Figura 1.29: Trombosi

in questo caso la pressione del fluido diminuisce in corrispondenza del trombo, facilitando il depositodi ulteriore sostanza ed anche in questo caso favorendo il peggiorarsi del fenomeno patologico.



1.6 Esercizi

Le equazioni del moto di un punto materiale, quando non specificato in modo diverso, si considerinoespresse con le unita di misura del sistema internazionale. Ad esempio s = 5t + 2 esprime lo spazioin metri in funzione del tempo in un moto rettilineo uniforme, 5 rappresenta la velocita in metri alsecondo, 2 la coordinata iniziale in metri, t il tempo in secondi.

1. Si descriva il moto rettilineo di un punto materiale A rappresentato in figura (1), trovando imoduli delle velocita dei diversi tratti di percorso del punto materiale. Qual e la velocita mediasu tutto il percorso vm? Quante volte si incontrerebbe il punto materiale A con il punto ma-teriale B che parte nello stesso istante di Ama muovendosi costantemente alla velocita vB = vm?

Figura 1.30: .

[v1=2 m/s; v2=0 m/s; v3=2 m/s; v4=3,3 m/s; v5=0 m/s; v6=2,2 m/s; vm=0,75 m/s; duevolte, escludendo il punto di partenza]

2. Due punti materiali A e B si stanno muovendo, secondo un sistema di riferimento fissato s conle seguenti equazioni del moto: sA = 7t, sB = 7t + 5. I due punti materiali si incontreranno?Perche?

[No, perche...]

3. Due punti materiali A e B si stanno muovendo, secondo un sistema di riferimento fissato s con leseguenti equazioni del moto: sA = 7t, sB = −7t+ 7. Dove (lungo s) e quando si incontreranno?Si esprima la soluzione anche dal punto di vista geometrico disegnando il diagramma orario dellasituazione.

[t=0,5 s; s=3,5 m]

4. Un calciatore A sta correndo in linea retta dalla sua area di rigore verso il centrocampo allavelocita vA = 5m/s. Il portiere lancia la palla, sempre in linea retta, quando il calciatore A si



trova a 30 metri dal punto in cui il portiere calcia il pallone. Se la palla raggiunge il giocatore sitrova a 60 metri dal punto in cui il pallone e stato calciato dal portiere, a che velocita il portiereha calciato il pallone? (Si approssimino i moti del calciatore e della palla con moti rettilineiuniformi). Si descriva la situazione in un diagramma orario.

[vP=10 m/s]

5. A causa di un colpo di sonno, Gigetto chiude gli occhi alla guida, mentre l’auto si muove ad unavelocita vA = 80km/h verso un albero che si trova ad una distanza d = 120m. Quanto tempoha per svegliarsi, sapendo che una frenata a quella velocita necessita 30 metri per fermare l’auto?

[t=4,05 s]

6. Un’automobile da corsa raggiunge la velocita di 100 km/h in 3,0 secondi, partendo da ferma.Quanto spazio ha percorso in questo tempo supponendo che la variazione della sua velocita siacostante nel tempo?

[s=42 m]

7. Un punto materiale A si muove secondo l’equazione del moto sA = 10t2 + 2t − 3, mentre unpunto B sB = 5t + 3. Si incontreranno? Dove e Quando? Si esprima la soluzione anche dalpunto di vista geometrico disegnando il diagramma orario della situazione. Si siano le soluzionicon 2 cifre significative.

[s=7,7 m; t=0,94 s]

8. Antonio (A) sta correndo alla velocita va = 7m/s. Barbara (B) inizia a ricorrere Antonio quandoquesto si trova ad una distanza d = 30m. Quale accelerazione deve avere per raggiungere Anto-nio in 10s? Si esprima la soluzione anche dal punto di vista geometrico disegnando il diagrammaorario della situazione.

[aA=2 m/s2]

9. Un automobile sta viaggiando alla velocita vA = 72km/h quando a 50m un semaforo diventarosso. Se il tempo di reazione del guidatore e di mezzo secondo, qual e la minima accelerazioneche deve avere l’automobile per fermarsi al semaforo? Si esprima la soluzione anche dal puntodi vista geometrico disegnando il diagramma orario della situazione.

[a=-5 m/s2]

10. Due corridori A e B stanno correndo verso il traguardo appaiati ad una velocita v = 8m/s. A30m dal traguardo il corridore A inizia ad accelerare e vince la gara per 0,50 secondi. Quanto estata la sua accelerazione media negli ultimi 30 metri?

[a=0,76 m/s2]

11. Un punto materiale A si muove secondo l’equazione del moto sA = 8t2− t+ 5, mentre un puntoB sB = −4t2 + 5t + 3. Si incontreranno? Dove e Quando? Si esprima la soluzione anche dalpunto di vista geometrico disegnando il diagramma orario della situazione. Si siano le soluzionicon 2 cifre significative.



[Non si incontreranno mai, perche...]

12. Un punto materiale A si muove secondo l’equazione del moto sA = 8t2− t+ 3, mentre un puntoB sB = −4t2 + 5t + 5. Si incontreranno? Dove e Quando? Si esprima la soluzione anche dalpunto di vista geometrico disegnando il diagramma orario della situazione. Si diano le soluzionicon 2 cifre significative.

[s=6,5 m; t=0,73 s]

13. I due fratelli Antonio (A) e Barbara (B) stanno facendo il seguente gioco: Antonio sta allafinestra che si trova ad un’altezza h = 3m da terra, mentre Barbara si trova ad una distanzad = 10m dal muro della finestra, Antonio lascia cadere una palla in verticale sotto l’effetto dellagravita, mentre Barbara lancia una palla orizzontalmente rasoterra verso il muro. Che velocitadeve avere la palla lanciata da Barbara affinche le due palle si scontrino?

[vP=13 m/s]

14. La giostra Columbia di Mirabilandia e definita come free fall tower: e una struttura alta 60mche simula la caduta libera per chi si siede sulle poltroncine che salgono fino alla cima dell’attra-zione. Supponendo di poter trascurare gli attriti, con quale velocita arrivano a terra le personeche provano questa giostra?

[v=123 km/h]

15. Un altro gioco di Antonio (A) e Barbara (B) e il seguente: Antonio lancia una pallina rasoterracon una certa velocita verso Barbara, la quale lascia cadere in verticale un’altra pallina cercan-do di colpire la pallina lanciata da Antonio. Supponendo che Antonio e Barbara siano ad unadistanza d = 3m e che la velocita con cui Antonio lancia la pallina sia vA=20cm/s, dopo quantotempo dal lancio della pallina del fratello Barbara deve lasciar andare la pallina dall’altezzah = 1, 5m per riuscire nel gioco?

[t=14,7 s]

16. Considerando le dimensioni massime regolamentari di un campo da calcio e supponendo che unportiere calci dando dalla palla una velocita iniziale formante un angolo α = 30◦ con l’orizzon-tale qual e il modulo minimo di questa velocita affinche il portiere faccia una rimessa dalla suaarea piccola che raggiunga la linea di fondo dell’altra meta campo? Qual e l’altezza massimaraggiunta dal pallone supponendo che la velocita iniziale sia questa velocita minima?

[v0=129,6 km/h; hmax=7,7 m]

17. Alberto (A) e suo figlio Bruno (B) giocano a passarsi la palla colpendola di testa. Alberto ealto hA=180 cm, mentre Bruno hB=150 cm. Alberto colpisce la palla con una velocita inizialev0=2 m/s con un angolo rispetto l’orizzontale α = 45◦ e la palla cade esattamente sulla testa diBruno. A che distanza orizzontale si trovano i due?

[d=60 cm]

18. Qual e la velocita iniziale che un cestista deve dare alla palla per segnare un tiro libero, suppo-nendo che l’angolo rispetto l’orizzontale del lancio sia α = 60◦ e che la palla si stacchi dalla mano



del giocatore ad un’altezza h = 1, 95m. Si assumano le dimensioni regolamentari del campo dapallacanestro.

[v0=7,8 m/s]

19. Al giorno d’oggi (Marzo 2014) il record del mondo per il lancio del giavellotto misura d = 98, 48m,ottenuto nel 1996 dall’atleta ceco Jan Zelezny 4. Supponendo che l’altezza iniziale del giavellot-to sia di un metro, e che l’angolo di tiro sia α = 30◦, si trovi la velocita iniziale impressa dalcampione ceco nel tiro del record.

[v0=33,4 m/s]

20. Alessandro vuole saltare un ostacolo alto h = 80 cm. Supponendo che si avvicini all’ostacolocon una velocita v = 5 m/s e stacchi, mantenendo il modulo della sua velocita pari a v, con unangolo rispetto l’orizzontale α = 60◦ ad una distanza d = 1 m dall’ostacolo. Alessandro riusciraa saltare l’ostacolo? Se si, quanto di quanto supera in altezza l’ostacolo quando ci si trova sopra?Qual e l’altezza massima che raggiunge?

[Sı, supera l’ostacolo di 0,15 m; hmax=96 cm]

21. Antonio vuole lanciare un sasso oltre una siepe che sta di fronte a lui. Antonio si trova a 5metri dalla siepe, che e alta 2 metri, e lancia il sasso lasciandolo andare quando si trova adun’altezza di 1,2 metri con una velocita di modulo v0 = 10 m/s che forma un angolo di 30 gradicon l’orizzontale. Il sasso andra oltre la siepe? Se sı, quanto sopra alla siepe passera? A chedistanza dalla siepe tocchera poi terra?

[Sı, passa 0,5 metri sopra; d=5,6 m]

22. Un giocatore di calcio vuol mostrare la sua bravura colpendo la traversa con un calcio da 30metri dalla linea di porta. Supponendo che l’angolo di tiro del giocatore sia α = 20◦, qual ela velocita che deve imprimere al pallone per riuscire nel suo intento? Si assuma l’altezza dellaporta regolamentare, 2,44 metri.

[v0= 24,2 m/s]

23. Due giocatori di golf sono uno di fronte all’altro ad una distanza d = 10 m l’uno dall’altro. Ilprimo giocatore effettua un tiro dando alla palla una velocita iniziale v01 =50 m/s con un angolorispetto l’orizzontale α = 30◦, mentre il secondo colpisce la sua palla dandole una velocita dimodulo v02 che forma un angolo β = 45◦ con l’orizzontale. Supponendo che i due colpi avvenga-no nello stesso istante, quale deve essere la velocita v02 affinche le due palline si colpiscano? Intal caso, in quale punto avviene l’urto tra le palline (distanza dal primo giocatore d1 ed altezzada terra h)?

[v02=35,4 m/s; d1=6,5 m; h=3,6 m]

24. Un pompiere deve spegnere il fuoco che divampa da una finestra che si trova a 10 metri inorizzontale e 5 in verticale rispetto la sua posizione. Supponendo che l’angolo con cui il pom-piere punta la bocca del tubo dell’acqua sia α = 60◦ rispetto l’orizzontale si trovi la velocitainiziale che deve avere l’acqua affinche il pompiere riesca a centrare la finestra e spegnere il fuoco.

4http://www.iaaf.org/records/by-discipline/throws/javelin-throw/outdoor/men


http://www.iaaf.org/records/by-discipline/throws/javelin-throw/outdoor/men


[v=12,5 m/s]

25. Lasciando suonare un vecchio disco 45 giri per un’ora, quanto angolo e stato spazzato da unodei raggi del disco? Lo si esprima sia in radianti che in gradi.

[α = 17 rad ∼ 974◦]

26. Un ragazzo lancia un sasso ad una distanza d = 100 metri con velocita iniziale orizzontale daun’altezza h = 3 metri dal suolo ottenuta facendo ruotare uno spago lungo l = 20 cm con unmoto circolare uniforme. Si calcoli la frequenza con cui deve ruotare lo spago per ottenere unlancio del genere.

[f=102 Hz]

27. Si calcoli l’accelerazione centripeta e la velocita tangenziale di un oggetto sulla superficie terre-stre approssimando la terra ad una sfera che ruota attorno ad un suo diametro.

[ac = 3, 38× 10−2 m/s2; v = 470 m/s]

28. Si calcolino le frequenze fm ed fs della lancetta dei minuti e dei secondi delle lancette di un oro-logio a parete. Si calcolino inoltre le velocita angolari ωm, ωs delle due lancette e le accelerazionicentripete di due punti delle lancette entrambi ad una distanza d = 5cm dal centro.

[fm=2,8×10−4 Hz; fs=0,17 Hz; ωm=1,7×10−3 rad/s; ωs=0,1 rad/s; am=1,4×10−7 m/s2; as=5×10−4

m/s2]

29. Si trovi l’equazione del moto di un moto armonico con ampiezza 350 cm, pulsazione 5 rad/s efase π usando le unita standard del sistema internazionale. Si calcoli la posizione iniziale del pun-to materiale di cui e descritto il moto. Si calcoli la velocita massima del moto del punto materiale.

[s=3,5cos(5t+π); s0=-3,5 m; vmax=17,5 m/s]

30. Si trovi la pulsazione di un moto armonico con fase nulla la cui velocita massima e vmax = 10m/s e la cui posizione al tempo t = 0 s e s = 2 m

[ω = 5rad/s]

31. Un punto materiale si sta muovendo di moto armonico di pulsazione ω = 5 rad/s. Quale sara lasua posizione nell’istante in cui la sua accelerazione e a = 0, 4 m/s2?

[s=1,6 cm]

32. Un elastico di lunghezza a riposo l0 = 10 cm poggia su un tavolo ed e fissato ad una sua estremitada un chiodo. All’altra estremita dell’elastico e fissata una massa m = 500 g. Se la massa staruotando con una frequenza f = 50 Hz provocando un allungamento ∆l = 1, 5 cm si calcoli lacostante elastica della molla.

[k = 378, 3 kN/m]

33. Che velocita deve avere il supereroe Flash per riuscire a correre in orizzontale sulla parete ver-ticale di un palazzo cilindrico con la base di raggio R = 30 m, supponendo che il suo peso sia



P = 780 N, ed il coefficiente d’attrito tra le sue scarpe e la parete kA = 0, 8? Di quanto cambiala velocita se la massa di Flash triplica?

[v = 69 km/h; la velocita non dipende dalla massa di Flash, perche...]

34. Una pallina si sta muovendo di moto rettilineo uniforme su un piano senza attrito ad una velocitav0 = 20 km/h. Ad un certo punto entra in una zona in cui e presente sul pavimento un materialeil cui coefficiente di attrito con la pallina e kA = 0, 5. Dopo quanto tempo e in quanto spazio lapallina si fermera?

[t=1,1 s; s=3,2 m]

35. Quale massa mB indichera una bilancia nel “pesare” un uomo di massa m = 80 kg all’interno diun aereo che sta accelerando verso l’alto con un’accelerazione a = 5 m/s2? A che peso in realtacorrisponde?

[mB=76 kg; P=744 N]

36. Si trovi l’accelerazione del sistema in figura (36), considerando il piano senza attrito, il filo co-me inestensibile e la carrucola di dimensioni e massa trascurabili rispetto al fenomeno in studio.

Figura 1.31: .

[a=0,88 m/s2, facendo scendere M2]

37. Si trovi l’accelerazione del sistema in figura (37), considerando il piano senza attrito, il filo co-me inestensibile e la carrucola di dimensioni e massa trascurabili rispetto al fenomeno in studio.

[a=0,69 m/s2 facendo scendere M1]

38. Si risolva il problema 4 nel caso in cui tra il piano e la massa M2 ci sia un coefficiente di attritokA = 0, 3.



Figura 1.32: .

[a=0,025 m/s2]

39. Si risolva il problema 7 nel caso in cui tra il piano e la massa M2 ci sia un coefficiente di attritokA2 = 0, 2 e tra il piano e la massa M1 un coefficiente kA1 = 0, 8.

[a=0 m/s2]

40. Un ragazzo sta giocando a tirare un sasso di massa m = 50 g con una fionda. La fionda ha unelastico di costante k = 10000 N/m allungabile fino a 10 cm rispetto alla sua lunghezza a riposo.Supponendo che il ragazzo lanci il sasso da un’altezza h = 1, 2 m con un angolo α = π/6 rispettol’orizzontale, si calcoli la gittata massima del sasso.

[x=180 m]

41. Immaginiamo di approssimare il funzionamento di un tappeto elastico come il funzionamento diuna molla. In questa ipotesi, data la costante elastica del tappeto k = 20000 N/m, si calcoli ache altezza minima da terra deve essere messo il tappeto affinche un persona di massa m = 80kg raggiunga l’altezza h = 3 m sopra al tappeto stesso.

[h0 = 0, 5 m]

42. Un punto materiale di massa m si trova in cima ad un piano inclinato liscio alto h, alla base delquale si trova un piano orizzontale scabro con coefficiente d’attrito tra piano e massa k. Si calcoliil lavoro fatto dalla forza d’attrito nel piano orizzontale per fermare il punto materiale; si calcoliinoltre lo spazio (percorso sul piano orizzontale) necessario per fermare il punto materiale. cc[L= mgh; s=h/g]

43. Nella costruzione di una pista per biglie si vuol fare un giro della morte dopo la partenza daferma della biglia da una certa altezza h. Qual e il minimo valore di h per riuscire a far compiere



il giro della morte alla biglia approssimando il giro della morte con una circonferenza di raggio R?

[hmin = 5R/2]

44. Una massa m = 10 kg che comprime una molla orizzontale (k = 100 N/m) di una quantita∆x = 20 cm viene lasciata muoversi sotto l’effetto della forza elastica. Supponendo che il pianosu cui giacciono molla e massa sia caratterizzato da una costante d’attrito tra massa e pianok = 0, 1 si calcoli il lavoro fatto dalla forza d’attrito per fermare la massa.

[L=2 J]

45. Una pallina di massa m = 500 g viene spinta in salita lungo un piano inclinato di un angoloα = π/4 da una forza costante ~F di modulo F = 5 N. Se la velocita della pallina all’inizio delpiano e vi = 1 m/s e alla fine del piano vf = 3 m/s, quanto lavoro ha fatto la forza ~F? Quantoe lungo il piano inclinato? Quanto lontano dal piano inclinato cadra la pallina se continua nelsuo moto?

[L=2 J; l=40 cm; d=1,14 m]

46. Data la figura (46) si calcolino le velocita o le altezze nei punti indicati del punto materiale dimassa m = 1 Kg.

Figura 1.33: .

[vB = 8, 9 m/s2; hC = 3, 7 m; vD = 7, 7 m/s; vE = 9, 9 m/s]

47. Una gru deve portare degli oggetti da terra ad un altezza h = 5 m. Che potenza deve sviluppareil motore della gru per portare un carico massimo di 100 oggetti da 50 kg in due ore?

[P=34 W]



48. La fabbrica costruttrice di una moto da corsa dichiara che il modello di punta puo portare lamoto da ferma ai 100 km/h in 3 secondi. Supponendo una massa di 150 kg, quale potenza vieneconsumata dalla moto in tale accelerazione?

[P= 19,3 kW]

49. Un ragazzino gioca su un altalena le cui catene sono lunghe l = 2, 5 m partendo da fermo for-mando un angolo α = 30◦ rispetto l’orizzontale. Se la massa del ragazzino e m = 60 kg, si calcolila tensione delle catene dell’altalena nel punto piu basso della traiettoria.

[T=743 N]

50. A force F = 10 N is acting on a point particle of mass m = 10 kg, with initial speed vi = 0 m/s.Find the work done by the force after ∆t = 10 s.

[500 J]

51. A point particle is standing on the floor. It is pushed by a force F = 10 N making an angleα = π

3 with respect to the ground. Find the work done by the force after a displacement of thepoint particle along the floor s = 5 m.

[25 J]

52. A point particle (m = 5 kg) is moving with speed v = 50 m/s on a floor with friction coefficientµ = 2. Find the work done by friction when the point particle stops.

[6250 J]

53. A point particle (m = 2 kg) is moving with speed v = 10 m/s. An external force does on thepoint particle a work L = 100 J. Find the final velocity of the point particle.

[14 m/s]

54. Find the work that a force has to do to expand a spring, with k = 10 N/m, from the equilibrium(l = 5 m) to l = 15 m.

[500 J]

55. Find the energy of the system made up by two identical point particles (m = 1 kg), one movingon the ground (without friction) with speed v = 10 m/s, the other free falling down, knowingthat at some point the second point particle is at h = 2 m with v = 10 m/s.

[120 J]

56. A spring (k = 1000 N/m) in vertical position is compressed by an external force of ∆l = 0, 1 m;a point particle (m = 1 kg) on the top of it is launched up by means of the elastic force. Findthe higher point reached by the point particle.

[0,5 m]

57. A point particle (m = 5 kg) free-falls from a height h = 10 m on the top of a spring (k = 1000N/m). What speed does the point particle have before hitting the spring?



[14 m/s]

58. A point particle of mass m = 1, 00 kg is launched by means of a spring (k = 500, 00 N/m) com-pressed of ∆l = 20, 00 cm and inclined by α = π

3 with respect to the floor. Find the maximumheight reached by the point particle, and its kinetic energy at that point.

[0,81 m;2 J]

59. A block of mass m = 10 kg is pushed up on an inclined plane (α = π/4) with an initial velocityv0 = 2 m/s. If the constant of friction between the block and the plane is k = 0, 5, what is thespeed of the block when it returns to its original position? What is the intensity of the workdone by the friction during this phenomenon?

[vf = 1, 2 m/s; LFA= 13, 2 J]


CAPITOLO 2. RELATIVITA GALILEIANA

Capitolo 2

Relativita Galileiana

Abbiamo gia discusso di come i tre principi della dinamica introducano due tipi di sistemi di riferi-mento e due tipi di forze: inerziali e non inerziali. In questo capitolo discuteremo come un fenomenopossa essere descritto da un osservatore in quiete rispetto al fenomeno e da un osservatore in motouniforme rispetto al primo, evidenziando i legami tra le due descrizioni. Il primo scienziato a parlaredi come queste due descrizioni possano essere messe in relazione tra loro fu Galilei, da cui il nomedi relativita galileiana a questa parte di fisica, dove relativita indica proprio che la descrizione deifenomeni e relativa a sistemi di riferimento diversi tra loro. Introdurremo le leggi di composizione e letrasformazioni di Galileo, assieme al principio di relativita galileiano, relazioni che furono alla base ditutta la fisica fino alla fine del 1800, quando gli scienziati si accorsero che questa teoria non era validaper la radiazione elettromagnetica (come vedremo nel quinto anno di corso). Albert Einstein (Ulm,1879 - Princeton, 1955) propose delle soluzioni ai problemi creati dalla relativita classica con la teoriadella relativita, prima ristretta nel 1905 e poi generale nel 1916, che risultano essere un ampliamentodi cio che andremo a studiare in questo capitolo. Uno dei problemi filosoficamente piu importantiper la teoria della relativita galileiana e quello della definizione del sistema di riferimento in quieteassoluta: per affermare infatti se due sistemi sono inerziali tra loro dobbiamo ammettere che esistaun sistema di riferimento in quiete assoluta, ovvero secondo un qualsiasi osservatore, rispetto al qualedefinire lo stato di moto di tutti i punti materiali dell’universo. Gia Galilei tento di risolvere questoproblema individuando il sistema assoluto con quello solidale alle stelle fisse, argomento che diventopresto inconsistente grazie alle osservazioni celesti sempre piu precise (non ci sono stelle fisse); Newtoninvece, mosso dal suo sentimento religioso panteistico, disse che il sistema assoluto era quello solidalecon Dio. Entrambe queste proposte non ebbero grande seguito nella storia della fisica; gli scienziati deldiciottesimo e diciannovesimo secolo furono convinti dell’esistenza dell’etere: una sostanza impalpabileed invisibile sulla quale doveva propagarsi la luce e che doveva essere in quiete assoluta. Ogni tentativosperimentale di rilevare l’etere risulto pero fallimentare, porto anzi alla formulazione delle teorie di re-lativita di Einstein, con cui come gia detto si risolsero alcuni dei problemi posti gia da Galilei e Newton.

Nella nostra descrizione immagineremo sempre un sistema di riferimento in quiete, ed uno in mo-to rettilineo uniforme rispetto al primo, come descritto in figura (2.1). Per quanto riguarda i prossimiparagrafi utilizzeremo sempre la convenzione per cui le quantita senza pedice sono le quantita misu-rate dal sistema di riferimento considerato in quiete, le quantita con pedice r sono quelle misurate dalsistema di riferimento in movimento e le quantita con pedice t sono riferite al sistema di riferimento inmovimento (la sua posizione, la sua velocita,...). Per rendere concrete le leggi dei seguenti paragrafi,che valgono comunque in generale, immaginiamo una semplice situazione esemplificativa: conside-riamo il passaggio di un treno in una stazione in cui il treno stesso non sosta, supponendo rettilineo



uniforme (~v = ~vt) il moto del treno. Il sistema di riferimento in quiete e solidale alla stazione, possiamoimmaginare un personaggio A seduto su di una panchina che osserva il passaggio del treno, mentreil sistema in movimento e solidale con il treno stesso, possiamo immaginare un altro personaggio Bseduto all’interno del treno.

Figura 2.1: Sistemi di riferimento inerziali

2.1 Spazio e tempo nella fisica classica

2.1.1 Il carattere assoluto di spazio e tempo: Galilei e Newton

Tutta la fisica classica si basa sui concetti primitivi di spazio e tempo assoluti. Nello sviluppo dellameccanica Galilei e Newton fecero esplicito riferimento a questi concetti e tutta la comunita scientifica,fatta eccezione per alcuni casi che discuteremo nel prossimo paragrafo, guardava allo spazio ed al tempocome a delle cornici all’interno delle quali descrivere i fenomeni naturali. Descrivere un fenomenoutilizzando un sistema di riferimento faceva capo solamente alla convinzione che l’universo fosse scrittoin termini matematici (Galilei, 1623) e la descrizione con le coordinate fosse solamente il piu semplicestratagemma tecnico per farlo. Questa concezione fu uno dei pilastri filosofici su cui si baso tuttala scienza classica: il suo superamento con le teorie di Einstein all’inizio del ventesimo secolo fusicuramente uno dei momenti piu rivoluzionari della storia della fisica.

Il tempo e indipendente da ogni elemento esterno. Esso e pura durata, da non confondere con iltempo umano, sensibile ed imperfetto, e neppure con il tempo meteorologico. “ Il tempo assoluto, vero,



matematico, in se e per sua natura senza relazione con alcunche di esterno, scorre uniformemente,e con altro nome e chiamato durata; quello relativo, apparente e volgare, e una misura (accurata oapprossimata) sensibile ed esterna della durata per mezzo del moto che comunemente viene impiegataal posto del vero tempo; tali sono l’ora il giorno, il mese, l’anno.” (Newton, 1687).

Lo spazio non ha alcun rapporto con l’esterno. Lo spazio assoluto, uguale ed immobile e condizionedello spazio, che nella sensazione di da unicamente in relazione ai corpi. “Lo spazio assoluto, per suanatura senza relazione ad alcunche di esterno, rimane sempre uguale ed immobile; lo spazio relativo euna dimensione mobile o misura dello spazio assoluto, che i nostri sensi definiscono in relazione allasua posizione rispetto ai corpi, ed e comunemente preso come lo spazio immobile; cosı la dimensionedi uno spazio sotterraneo o aereo o celeste viene determinata dalla sua posizione rispetto alla terra. Lospazio assoluto e lo spazio relativo sono identici per grandezza e specie, ma non sempre permangonoidentici quanto al numero. Infatti se la Terra, per esempio, si muove, lo spazio della nostra aria, cherelativamente alla Terra rimane sempre identico, sara ora una parte dello spazio assoluto attraversocui l’aria passa, ora un’altra parte di esso; e cosı mutera assolutamente in perpetuo.” (Newton, 1687).

2.1.2 Il concetto di spazio secondo Berkeley e Mach

Nonostante il sostanziale accordo con la natura assoluta di spazio e tempo dei contemporanei diNewton, ci furono delle voci che si dissociarono da questa idea i cui principali esponenti furono ilvescovo britannico George Berkeley (Kilkenny, 1685 - Oxford, 1753) ed il fisico e filosofo austriacoErnst Mach (Brno, 1838 - Haar, 1916).

Berkeley si oppose all’idea dello spazio assoluto in quanto esso non e osservabile. Egli sottolineo ilfatto che ogni moto esiste in quanto contestualizzato in un sistema di corpi e masse, senza i quali nonpotrebbe nemmeno essere descritto. Alcuni anni dopo i principia di Newton egli scrisse:

“Se ogni luogo e relativo, anche ogni moto e relativo; e non si puo comprendere il moto se nonse ne e determinata la direzione, che a sua volta non si puo comprendere se non in relazione al nostroo a qualche altro corpo. In su, in giu, a destra, a sinistra, tutte le direzioni e i luoghi si basano suqualche riferimento ed e necessario presupporre un altro corpo distinto da quello in movimento... percui il moto e per sua natura relativo, ne puo essere compreso finche non si considerino i corpi inrelazione a cui esiste; piu generalmente, non si puo stabilire un riferimento, se mancano i terminiche in riferimento debbono esser posti. Percio, se supponiamo che tutto si annulli eccetto un globo, eimpossibile immaginare un qualsiasi movimento di tale globo. Consideriamo ora che i globi siano due,e che oltre ad essi non esista alcun’altra cosa materiale: il moto circolare di questi due globi intorno alloro centro comune non puo essere immaginato. Ma ammettiamo che venga improvvisamente creatoil cielo delle stelle fisse: saremo allora in condizione di immaginare il moto dei globi per mezzo dellaloro posizione relativa alle varie parti del cielo.”(Berkeley, 1721)

Berkeley evidentemente si oppose alla concezione del moto assoluto e quindi della stessa esistenzadi un sistema di riferimento in quiete assoluta, e da diversi studiosi e considerato un precursore delleteorie della relativita di inizio novecento sviluppate da Einstein.

Mach in tempi in cui l’autorita delle idee Newton era indiscussa, pari se non maggiore rispettoall’autorita delle idee di Aristotele nel diciassettesimo secolo, riprese le idee del vescovo britannicoriaccendendo la discussione sulla natura dello spazio. Il punto di vista di Mach e molto simile a quellodi Berkeley:



“...Secondo me esistono solo moti relativi... Quando un corpo ruota rispetto alle stelle fisse, si produ-cono forze centrifughe; quando ruota rispetto a qualche altro corpo e non in relazione alle stelle fisse,non si producono forze centrifughe. Non ho nulla in contrario a chiamare rotazione la prima, purcheci si ricordi che non vuol dire altro che rotazione rispetto alle stelle fisse.”

“Ovviamente non ha importanza se noi pensiamo che sia la Terra a ruotare intorno al suo asse,o che essa sia ferma mentre le stelle fisse le girano intorno. Da un punto di vista geometrico, in tuttie due i casi, si tratta di un moto relativo della Terra e delle stelle fisse l’una rispetto alle altre. Ma seammettiamo che la Terra sia ferma e che le stelle fisse le girino intorno, non c’e schiacciamento dellaTerra..., almeno secondo la concezione che noi abbiamo della legge di inerzia. Ora possiamo superarequesta difficolta in due modi: o ogni moto e assoluto, o la nostra legge di inerzia e formulata in modosbagliato. Io preferisco la seconda soluzione. La legge di inerzia deve essere concepita in modo daportare allo stesso risultato sia nella prima che nella seconda ipotesi. E percio evidente che nella suaformulazione bisogna tener presenti le masse dell’Universo”(Mach, 1893)

Mach quindi riprende gli argomenti di Berkeley e come vedremo ispirera Einstein nei suoi ragionamentiche lo portarono alle formulazioni della teoria della relativita speciale prima e generale poi.

2.2 Legge di composizione delle posizioni e degli spostamenti

Ritorniamo ora alla situazione del treno e dei due osservatori A e B definita nell’introduzione a questocapitolo: supponiamo di chiedere ad un certo istante di tempo ai due osservatori A e B quale siala posizione della punta del treno. Evidentemente per l’osservatore B, quello seduto all’interno deltreno, avra una certa posizione ~st che non dipende dal tempo (la punta del treno sara sempre un certonumero di metri davanti a lui); per l’osservatore A invece la punta del treno si trova in un puntodiverso, ~s, ottenibile come la somma del vettore posizione del tizio B sommato alla posizione misuratadal tizio B, come illustrato in figura (2.2). La formula generale che possiamo ottenere e dunque:

~s = ~sr + ~st, (2.2.1)

con ~s il vettore posizione misurato dall’osservatore fermo, ~st il vettore posizione dell’osservatore inmovimento rispetto all’osservatore fermo e ~sr il vettore posizione misurato dall’osservatore in movi-mento. Allo stesso modo possiamo pensare alla misura di un certo spostamento, ottenendo la seguenteformula:

~∆s = ~∆sr + ~∆st (2.2.2)

2.3 Legge di composizione delle velocita

Immaginiamo ora che un tizio C si muova con velocita costante all’interno del treno partendo da Bed andando verso la punta del treno. Il signor B misurera una certa velocita ~vr = ~∆sr/∆t data dalrapporto tra lo spostamento effettuato dal signor C nel suo sistema di riferimento e l’intervallo ditempo ∆t che il signor C ha impiegato a percorrere ~∆sr. Il signor A invece misurera una velocitamaggiore, data dalla somma tra la velocita del treno e la velocita di C all’interno del treno. Lasituazione e espressa dall’equazione:

~v = ~vr + ~vt (2.3.1)

In questo ragionamento e fondamentale la convinzione classica che l’intervallo di tempo ∆t sia lo stessoper l’osservatore A e l’osservatore B: nella fisica classica il tempo ha un carattere assoluto, scorre



Figura 2.2: Legge di composizione delle posizioni

nello stesso modo in qualsiasi sistema di riferimento. Per noi questo concetto e scontato, naturale,non ci sembra possibile che il tempo scorra in modo diverso a seconda del sistema di riferimento incui ci troviamo; eppure vedremo che all’inizio del ventesimo secolo Albert Einstein dimostro, ed inmodo convincente, che il tempo dipende dal sistema di riferimento in cui lo si misura! Ricordandoche stiamo trattando solo di moti rettilinei uniformi e che dunque la velocita media coincide con lavelocita istantanea, dal punto di vista matematico e semplice dimostrare l’equazione (2.3.1) a partiredall’equazione (2.2.2):

~∆s = ~∆sr + ~∆st~∆s

∆t=

~∆sr∆t

+~∆st∆t

~v = ~vr + ~vt

2.4 Legge di composizione delle accelerazioni

A questo punto capiamo in modo molto semplice che se il signor C, invece che muoversi di motorettilineo uniforme si muovesse di moto rettilineo uniformemente accelerato, l’accelerazione misuratadal signor A e dal signor B sarebbe la stessa, visto che il treno non sta accelerando. Da un punto divista matematico si puo semplicemente dimostrare dividendo membro a membro l’equazione (2.3.1)per l’intervallo di tempo ∆t e vedendo che il termine ~at sparisce in quanto l’accelerazione del treno enulla. Si ha quindi per le accelerazioni la seguente relazione:

~a = ~ar (2.4.1)

Questa relazione e di estrema importanza da un punto di vista concettuale perche dimostra come leaccelerazioni siano delle quantita invarianti nella relativita galileiana, quantita cioe che rimangonosempre le stesse a prescindere dal sistema di riferimento in cui vengono misurate. Essendo invarianti



le accelerazioni e concependo in modo naturale, cosı come per il tempo, la massa come grandezzainvariante, possiamo dire che anche le forze sono grandezze invarianti per la relativita galileiana: leforze sono dunque grandezze che non dipendono dal sistema di riferimento in cui sono misurate purchei sistemi in questione siano inerziali. Ecco il motivo concettuale per cui abbiamo sempre detto chei principi della dinamica valgono solamente in sistemi di riferimento inerziali tra loro, e che se citroviamo in sistemi accelerati compaiono le cosiddette forze apparenti.

2.5 Trasformazioni di Galileo

Storicamente la relazione descritta dall’equazione (2.2.2) viene scritta in termini di trasformazionematematica, dove le coordinate con apice sono secondo il nostro schema di lavoro le coordinate misuratedal sistema di riferimento in movimento, mentre le coordinate senza apice quelle misurate dal sistemadi riferimento in quiete. Il vettore ~v = (vx; vy; vz) e il vettore che precedentemente avevamo chiamato~vt, la velocita con cui si muove il sistema di riferimento in moto. Le seguenti equazioni sono chiamatetrasformazioni di Galileo:

x′ = x− vxty′ = y − vytz′ = z − vztt′ = t

(2.5.1)

E interessante notare come dal punto di vista matematico le equazioni (2.5.1) siano semplicemente leequazioni di una traslazione di vettore ~A = ~vt. L’ultima equazione spesso non e riportata, esprime laconvinzione comune che il tempo sia invariante per la relativita galileiana (si usa anche dire invarianteper trasformazioni di Galileo); la riportiamo qui perche come detto precedentemente e uno dei palettidella fisica classica che verra abbattuto all’inizio del novecento dalle teorie di Einstein.

2.5.1 Invarianza delle lunghezze

Abbiamo gia discusso dell’invarianza di massa, tempo, accelerazione e forze per trasformazioni diGalileo, vogliamo qui dimostrare che anche le lunghezze lo sono: sembrerebbe infatti decisamentestrano che un certo righello lungo ad esempio 10 centimetri in un sistema di riferimento in quietepossa diventare lungo 8 o 12 centrimetri in un sistema di riferimento in moto!!! Anche questa e unacertezza che lasceremo solamente in quinta studiando la relativita di Einstein, per il momento lafisica classica ci assicura anche questa invarianza, come vedremo in queste righe con qualche semplicepassaggio matematico. Supponiamo, nell’esempio del treno di prima, di voler misurare la lunghezza diun righello all’interno del treno. Il tizio B all’interno del treno semplicemente operera la misura nel suosistema di riferimento, ottenendo L′ = x′2−x′1, dove x′2 e la posizione misurata di un estremo del righellonel sistema di riferimento in moto, x′1 e la posizione dell’altro estremo sempre nel sistema di riferimentoin moto. Il tizio fermo in stazione misurera invece una lunghezza L = x2−x1, con x2 ed x1 le posizionidegli estremi del righello misurate nel sistema di riferimento in quiete. Applicando le trasformazionidi Galileo possiamo vedere con facilita che L′ = x′2 − x′1 = (x2 − vxt) − (x1 − vxt) = x2 − x1 = L,cioe la lunghezza del righello e una grandezza invariante per trasformazioni di Galileo, come volevamodimostrare e come il nostro intuito ci suggerisce.

2.6 Principio di relativita galileiano

Galilei arriva ad intuire il principio di relativita meccanica, ovvero il fatto che ogni fenomeno mec-canico viene descritto nel medesimo modo in sistemi di riferimento inerziali; riportiamo qui



uno dei passi piu famosi delle opere del fisico pisano in cui mette in evidenza il principio appena esposto:

Rinserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto coverta di alcun gran navilio,e quivi fate d’aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti; siavi anco un gran vaso d’acqua, edentrovi de’ pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vada versandodell’acqua in un altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nave, osservatediligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocita vanno verso tutte le parti della stanza;i pesci si vedranno andar notando indifferentemente per tutti i versi; le stille cadenti entreranno tuttenel vaso sottoposto; e voi, gettando all’amico alcuna cosa non piu gagliardamente la dovrete gettareverso quella parte che verso questa, quando le lontananze siano eguali; e saltando voi, come si dice, apie giunti, eguali spazii passerete verso tutte le parti. Osservate che avrete diligentemente tutte questecose, benche niun dubbio ci sia che mentre il vassello sta fermo non debbano succeder cosı, fate muoverla nave con quanta si voglia velocita; che (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in la)voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, ne da alcuno di quelli potretecomprender se la nave cammina o pure sta ferma: voi saltando passerete nel tavolato i medesimi spaziiche prima, ne, perche la nave si muova velocissimamente, farete maggior salti verso la poppa che versola prua, benche, nel tempo che voi state in aria, il tavolato sottopostovi scorra verso la parte contrariaal vostro salto; e gettando alcuna cosa al compagno, non con piu forza bisognera tirarla, per arrivarlo,se egli sara verso la prua e voi verso poppa, che se voi fuste situati per l’opposito; le gocciole cadrannocome prima nel vaso inferiore, senza caderne pur una verso poppa, benche, mentre la gocciola e peraria, la nave scorra molti palmi (Galilei, 1632)

E evidente come quindi secondo questo principio di relativita ogni legge della meccanica abbia semprela stessa forma in sistemi di riferimento inerziali, e come quindi non sia possibile determinare, conesperimenti meccanici, se il sistema inerziale in cui mi trovo sia in stato di quiete o di moto retti-lineo uniforme: questi sistemi sono tutti equivalenti tra loro. Questo punto e molto importante inquanto spiega come mai, come studieremo nel corso dell’ultimo anno, per cercare di trovare l’etere (ilsistema di riferimento in quiete assoluta) si fecero esperimenti di elettromagnetismo e non esperimentimeccanici.



2.7 Esercizi

1. Un sistema di riferimento S1 e spostato rispetto al sistema di riferimento S di un vettore~d = (2; 3). Quale sara la posizione per un osservatore solidale con S di un punto materialeche per un osservatore solidale con S1 ha coordinate P1 = (3; 1)?

[P1 = (5; 4)]

2. Un sistema di riferimento S1 e spostato rispetto al sistema di riferimento S di un vettore ~d).Quale sara ~d se per un osservatore solidale con S la posizione di un punto materiale e P = (1; 1),mentre per un osservatore solidale con S1 e P1 = (−5; 4)?

[~d = (6;−3)]

3. Un sistema di riferimento S1 e spostato rispetto al sistema di riferimento S di un vettore ~v)di modulo d = 5 ed angolo formato con l’asse delle ascisse di S α = π/6 rad. Quale sara laposizione di un punto materiale P , secondo un osservatore solidale con il sistema S, se per unosservatore solidale con il sistema S1 il punto materiale ha coordinate P1 = (10, 5; 7, 3)?

[P = (14, 85; 9, 8)]

4. Un uomo A sta camminando alla velocita vA = 1 m/s sopra ad un treno, che passa alla velocitavT = 120 km/h davanti ad una stazione, nella stessa direzione della velocita del treno. Un tizioseduto sulla panchina della stazione che velocita misurera per l’uomo A?

[v =123,6 km/h]

5. Rispetto al problema (4) che velocita calcolerebbe l’uomo seduto sulla panchina se il tizio A simuovesse in direzione opposta alla velocita del treno?

[v =116,4 km/h]

6. Rispetto al problema (4) che velocita calcolerebbe l’uomo seduto sulla panchina se il tizio A simuovesse in direzione perpendicolare alla velocita del treno?

[v =120,05 km/h]

7. Un ragazzo sta correndo in bicicletta alla velocita v = 20 km/h quando lascia cadere per sbaglioil telefono cellulare da un’altezza h = 1, 2 m. Trascurando l’attrito dell’aria che moto descriveraper il telefono un tizio seduto su una panchina che osserva la situazione? Che velocita del tele-fono misurerebbe un osservatore solidale con il tizio seduto sulla panchina un istante prima cheil telefono tocchi terra?

[v = 7, 4 m/s]

8. Se nel problema (7) il ragazzo in bicicletta stesse facendo un moto uniformemente accelerato conuna certa accelerazione a ed il telefono cadesse nell’istante in cui la bicicletta ha una velocitav0 = 20 km/h, come cambierebbe il risultato?

[v = 7, 4 m/s]



9. Che moto deve fare un carrello a cui e appeso un pendolo affinche il pendolo sia in equilibrioformando un angolo α = π/6 rispetto l’orizzontale?

[moto rettilineo uniformemente accelerato, a = 17 m/s2]

10. Un calciatore sta correndo incontro alla palla ad una velocita vG = 7 m/s; la direzione della corsadel giocatore forma un angolo α = 135◦ con la direzione della palla, che si muove rasoterra. A chevelocita e stata lanciata la palla se il giocatore la vede avvicinarsi ad una velocita vP = 90 km/h?

[v = 19, 5 m/s]

11. Un ragazzino all’interno di un treno gioca a lanciare in verticale una pallina. Supponendo cheun osservatore solidale con il treno veda un moto di caduta di grave con velocita iniziale v0 = 6m/s e che un osservatore solidale con la banchina della stazione in cui sta passando il treno senzafermarsi misuri un moto parabolico con velocita iniziale v = 50 m/s qual e la velocita del treno?

[vT = 178 km/h]

12. In una giornata di pioggia un osservatore A fermo sul ciglio della strada osserva le gocce caderein verticale; se un osservatore all’interno di un’automobile che viaggia ad una velocita vA = 90km/h vede la pioggia lasciare una traccia sul finestrino laterale con un angolo α = π/6 rispettoalla verticale qual e la velocita della pioggia vA che osserva A? Quale la velocita vB misuratadall’osservatore sull’auto? Si trascurino gli attriti delle gocce sul finestrino.

[vA = 43 m/s; vB = 50 m/s]

13. All’interno di un aereo per la simulazione di assenza di gravita, nella sua fase di caduta libera unastronauta lancia una palla in orizzontale con velocita v0 = 5 m/s. Dopo quanto tempo toccherail pavimento dell’aereo? Che velocita della palla misura un osservatore solidale con la terra dopo3 secondi dal lancio?

[mai (per lo meno finche l’aereo resta in caduta libera); v = 29, 8 m/s]

14. Si calcoli la velocita tangenziale della luna secondo un osservatore T solidale con la terra ed unosservatore S solidale con il sole nel momento in cui si ha l’allineamento Sole-Terra-Luna.

[vT = 948 m/s; vS = 30796 m/s]

15. Si risolva il problema (14) nel caso in cui l’allineamento sia del tipo Sole-Luna-Terra. rivoluzioneterrestre.

[vT = 948 m/s; vS = 28900 m/s]

16. Un operatore televisivo deve filmare la scena di un film in cui il protagonista corre ad una ve-locita v = 5 m/s (!). L’attore protagonista non e evidentemente in grado di correre a quellavelocita, ma solamente ad una velocita massima vmax = 1, 5 m/s. Come puo l’operatore realiz-zare comunque la sua ripresa? Si spieghi il ragionamento fatto.

[facendo muovere la telecamera incontro all’attore ad una velocita di 3,5 m/s]



17. Due ragazzi, A e B stanno giocando a passarsi un pallone dentro ad una barca che si sta muo-vendo ad una velocita v = 3 m/s. Essi distano tra loro d = 2 m, lanciano la palla e la ricevonoentrambi ad una altezza h = 1, 2 m, con un angolo di lancio e di ricezione α = π/3 A qualevelocita deve lanciare ognuno di loro (vA per A e vB per B) affinche il gioco riesca? Secondol’osservatore a terra i due ragazzi lanciano la palla con la stessa velocita? Che velocita misuraun osservatore fermo a riva per il lancio di A (v′A) e per il lancio di B (v′B)? Si supponga chel’osservatore veda A lanciare nella direzione del moto della barca e B in direzione opposta.

[vA = 4, 8 m/s; vB = 4, 8 m/s; v′A = 6, 8 m/s; v′B = 4, 2 m/s]

18. Un’automobile A si muove con una velocita vA = 25m/s in direzione N30◦E, mentre un’automo-bile B si muove con velocita vB = 30 m/s in direzione E60◦S. Si calcoli il modulo della velocitarelativa tra le due automobili.

[vr = 48 m/s]

19. Durante una partita di calcio il portiere effettua una rimessa dal fondo imprimendo alla pallauna velocita iniziale v0 = 20 m/s formante un angolo α = 30◦ rispetto al suolo. Se un giocatoreche sta correndo parallelamente alla palla verso centrocampo misura una velocita della pallav = 12 m/s a che velocita vG sta correndo il giocatore?

[vG = 10, 6 m/s]

20. Un oggetto viene fatto cadere dalla finestra di un palazzo con velocita iniziale v0 = 6, 5 m/sdiretta verso il basso in verticale da un’altezza h = 15 m. Un tizio A sta salendo con un ascen-sore a velocita costante v = 1 m/s nel palazzo; ad un’altezza h = 10 m dal suolo vede passarel’oggetto di fronte a se: quale velocita misurera A per l’oggetto in questione?

[v = 12, 8 m/s]

21. Da un carrello che si sta muovendo con velocita costante vC = 50 km/h viene lanciata unapalla con una velocita iniziale v0 = 3 m/s in direzione orizzontale opposta al senso di marcia delcarrello ed altezza iniziale h = 1, 5 m. Quale sara la gittata Gt del lancio secondo un osservatoresolidale con il terreno e quale la gittata Gc secondo il lanciatore?

[Gt = 6, 0 m; Gc = 1, 6 m]

22. A quale velocita deve correre una persona per mantenere un pallone di massa m = 200 g inequilibrio in verticale sul petto se il coefficiente di attrito tra la palla e la maglia e k = 3?

[Non importa la velocita, il moto deve essere accelerato con a = 3, 3 m/s2]

23. Quale deve essere la velocita vB di una barca che vuole muoversi in direzione Est-Ovest ad unavelocita v = 100 km/h se la corrente su cui si sta muovendo e caratterizzata da una velocitavC = 40 m/s in direzione Nord-Sud?

[vB = 48, 8 m/s in direzione N(0,6rad)O]

24. Un aereo si sta muovendo ad una velocita v = 500 km/h parallela al suolo quando entra in unazona con una corrente ascensionale di velocita vC = 100 km/h. Quale sara la velocita dell’aereorispetto al suolo all’interno della corrente?



[v = 510 km/h con un angolo α = 11◦ rispetto l’orizzontale]

25. Si consideri un moto parabolico caratterizzato da una velocita iniziale v0 = 20 m/s che for-ma un angolo α = 45◦ rispetto l’orizzontale. A quale velocita si deve muovere un osservatoreA, rispetto al sistema in cui avviene il moto parabolico, per osservare un moto di caduta di grave?

[vA = 14 m/s nella stessa direzione della velocita orizzontale iniziale del moto parabolico]

26. Find the relative speed of two point particles A and B with velocities ~vA = 2x + 3y (m/s) and~vB = −2x+ 5y (m/s) in a given reference frame Oxy.

[vr = 4, 5 m/s]

27. In a given reference frame Oxy a point particle A is moving with a velocity ~vA = 4x− 3y (m/s).The relative velocity of a point particle B with respect to A is ~vr = 2x+ 2y (m/s). Find vB.

[~vB = 6x− 1y (m/s)]

28. Find the speed of an airplane if the velocity measured from the earth is v = 300 km/h with anangle α = 30◦ with respect to the horizontal and the airplane is flying in an area characterizedby a vertical wind with vW = 80 km/h.

[vA = 269 km/h]

29. A runner A is training and moves with a speed vA = 3 m/s when another runner, B, passes him:in 10 seconds B moves from 5 m before A up to 3 m after A. What is the velocity of B withrespect to another guy C sitting on a bench and looking to the scene?

[vB = 3, 8 m/s]

30. A guy A is moving with a speed vA = 2 m/s inside a train A (vTA = 70 km/h) in the samedirection of the train A. A guy B is moving with a speed vB = 3 m/s inside another train B(vTB = 50 km/h) in the opposite direction of the train B. What is the speed of the guy Bmeasured by the guy A if the two trains are moving one towards the other?

[v = 32, 2 m/s]


CAPITOLO 3. QUANTITA DI MOTO ED URTI

Capitolo 3

Quantita di moto ed urti

In questo capitolo introdurremo una nuova grandezza fisica: la quantita di moto di un puntomateriale; attraverso questa grandezza arriveremo ad una formulazione piu generale, rispetto a quellavista nel capitolo 1, delle leggi della dinamica. Tale formulazione ci permettera una piu semplicedescrizione di fenomeni complessi quali sistemi a massa variabile, forze impulsive (che agiscono inun intervallo di tempo molto breve) o urti tra punti materiali. La necessita dell’introduzione di unagrandezza simile Risulta evidente dalla difficolta di descrivere dal punto di vista Newtoniano moltesituazioni concrete, come ad esempio:

• La salita di una mongolfiera inizialmente in equilibrio ad una certa altezza per effetto del rilasciodi una certa quantita di zavorra.

• Il rimbalzo di una palla contro un muro o la battuta di una pallina durante una partita di tennis.

• L’efficacia di un colpo secco di martello rispetto all’applicazione costante di una certa forza perinfilare un chiodo in un pezzo di legno.

A tal fine definiamo la seguente grandezza vettoriale:

~q = m~v, (3.0.1)

che chiamiamo quantita di moto e che misureremo nel sistema internazionale in kg·m/s o N·s.

3.1 Teorema dell’impulso

Il teorema dell’impulso dice che l’impulso di una forza, ovvero il prodotto tra la forza media ~Fmapplicata su un punto materiale in un intervallo di tempo ∆t, e uguale alla variazione della quantitadi moto del punto materiale stesso in quell’intervallo di tempo. Ovvero:

~Fm∆t = ~∆q (3.1.1)

Per darci ragione del teorema immaginiamo una forza variabile che agisca su un punto materiale perun certo intervallo di tempo: ad esempio possiamo visualizzare un colpo di un tennista sulla pallinada tennis. La forza agente sul punto materiale avra in generale un andamento temporale del tipoillustrato in figura (3.1), concentrata nell’istante t0 ma diversa da zero lungo tutto l’intervallo ∆t.Possiamo quindi operare con il secondo principio della dinamica nel seguente modo:



Figura 3.1: Forza agente sul punto materiale in ∆t

~Fm = m~am

~Fm = m~∆v

∆t

~Fm = m~vf − ~vi

∆t

~Fm =m~vf −m~vi

∆t

~Fm =~∆q

∆t

da cui si ottiene facilmente il teorema (3.1.1). Se volessimo considerare un intervallo di tempo infinita-mente piccolo (o quantomeno molto piccolo rispetto al fenomeno che stiamo considerando) otterremmo,con la solita convenzione introdotta nel primo capitolo, la relazione:

~F =d~q

dt, (3.1.2)

in cui questa volta arriviamo a definire la forza istantanea come il rapporto tra la variazione dellaquantita di moto e l’intervallo di tempo infinitesimo in cui la variazione stessa e avvenuta. Comeper il secondo principio della dinamica questo teorema parla di cause ed effetti: la relazione tra lacausa forza ed il suo effetto variazione della quantita di moto. Riapplicando il ragionamento fatto peril lavoro e descritto nella figura (1.14) possiamo dire che la variazione di quantita di moto totale infigura (3.1) e data dall’area tra la curva F (t) e l’asse dei tempi1.

3.2 Teorema di conservazione della quantita di moto

Dal teorema dell’impulso e facile dedurre che se la somma tutte le forze agenti su un punto materiale enulla allora sara nulla la variazione di quantita di moto del punto materiale stesso, ovvero la quantita

1in questo testo sottolineiamo continuamente le relazioni geometriche tra quantita fisiche ed aree o curve tangenti.Questo affinche, una volta che nel corso di matematica si affronteranno i concetti di derivata ed integrale definito, sipossano cogliere le diverse applicazioni ad argomenti gia svolti di fisica



di moto e costante. In sistemi isolati la quantita di moto si conserva e l’usuale enunciato di questoteorema, che matematicamente si esprime come:

~F = ~0⇐⇒ ~q = ~k (3.2.1)

Naturalmente considerando un sistema formato da un insieme di punti materiali possiamo considerarecome quantita di moto totale del sistema la somma delle singole quantita di moto dei diversi puntimateriali ed applicare il teorema ad un qualsiasi sistema di punti materiali. Come ogni teoremadi conservazione in fisica la conservazione della quantita di moto e importante dal punto di vistaconcettuale per due motivi: in primo luogo e una caratterizzazione dei sistemi fisici ed in secondoluogo ci aiuta a risolvere problemi in sistemi isolati. Al momento quindi possiamo dire con certezzache:

• In un sistema chiuso si conserva la massa;

• In un sistema conservativo si conserva l’energia meccanica;

• In un sistema isolato si conserva la quantita di moto.

Piu quantita che si conservano vengono trovate piu si puo conoscere nel dettaglio fisico il sistemastesso, potendolo descrivere e potendo predire la sua evoluzione sulla base delle informazioni datedalle quantita conservate.

3.3 Descartes e Leibniz: dibattito sui principi di conservazione

Nei secoli dello sviluppo della fisica classica ebbero grande risalto due scienziati, Rene Descartes (LaHaye en Touraine, 1596 - Stoccarda, 1650) e Gottfried Wilhelm Leibniz (Lipsia, 1646 - Hannover,1716). In questo paragrafo approfondiremo le idee di questi due scienziati rispetto alla quantita dimoto; e interessante vedere come queste due grandi menti della scienza ebbero idee molto diverse traloro anche per renderci conto di come, nella storia della fisica, le conclusioni che oggi studiamo in pochigiorni sono in realta frutto di processi molto lunghi e complessi. Ci soffermeremo soprattutto sul con-cetto di conservazione di quantita di moto visto dal punto di vista dei due scienziati, ed in particolarestudieremo il ragionamento che porto Leibniz a scrivere un saggio comparso sugli Acta Eruditorumdel 1686 (Leibniz, 1863) intitolato Brevis denmostratio erroris memorabilis Cartesii et aliorum circalegem naturalem (Breve dimostrazione di un errore memorabile di Cartesio e di altri riguardo unalegge naturale). Sia Descartes che Leibniz colsero l’importanza di trovare qualche grandezza fisica cherisultasse invariante, cioe che rimanesse immutata qualunque fenomeno fisico possa avvenire nell’u-niverso: da un punto di vista filosofico questa ricerca e giustificata dalla convinzione che l’universodebba avere delle regole scientifiche all’interno delle quali tutto possa avvenire e della ricerca di cioche genera il moto dei corpi, dal punto di vista pratico le quantita invarianti (come abbiamo visto nelcaso dell’energia) ci permettono di catalogare sistemi a seconda del valore che assume l’invariante e dirisolvere problemi in modo semplice.

• Il punto di vista di Descartes:Descartes e gli studiosi a lui vicini (i cartesiani) pensavano che la quantita di moto fosse un”invariante universale”: essi identificano il prodotto tra massa e velocita di una particella con laforza motrice, cio che permette il moto nell’universo. Ecco qui di seguito il pensiero di Descartesin proposito (Descartes, 1644):

“Dopo aver esaminato la natura del movimento bisogna che ne consideriamo la causa, e poiche



essa puo essere presa in due maniere, cominceremo dalla prima e piu universale, che producegeneralmente tutti i movimenti che sono al mondo; considereremo in appresso l’altra la quale fası che ogni parte della materia acquisti movimenti che non aveva prima. Per quanto riguardala prima mi sembra evidente che non ce n’e altra che Dio, che per sua onnipotenza ha creatola materia con il movimento e il riposo, e che conserva adesso nell’universo, col suo concorsoordinario, tanto movimento o riposo quanto ce n’ha messo creandolo.Poiche sebbene il mo-vimento non sia che un modo nella materia che e mossa, essa ne ha pertanto unacerta quantita che non aumenta e non diminuisce mai, benche ce ne sia ora piu eora meno in alcune delle sue parti. Ecco perche quando una parte della materia simuove due volte piu presto di un’altra, e questa e due volte maggiore della primanoi dobbiamo pensare che c’e tanto movimento nella piu piccola che nella maggiore,e che tutte quante le volte il movimento di una parte diminuisce, quello di qual-che altra parte aumenta in proporzione. Noi conosciamo anche che e una perfezione inDio non solamente di essere immutabile nella sua natura, ma anche di agire in un modo chenon cambia mai, tanto che, oltre i cambiamenti che vediamo nel mondo e quelli cui crediamoperche Dio li ha rivelati, e che sappiamo accadere o essere accaduti nella natura senza alcuncambiamento da parte del Creatore, non ne dobbiamo supporre altri nelle sue opere per pauradi attribuirgli incostanza. Da cui segue che poiche egli ha mosso in molte maniere differenti leparti della materia, quando le ha create, e le mantiene tutte nella stessa maniera e con le stesseleggi ch’egli ha potuto osservare loro nella creazione, conserva incessantemente in questamateria un’uguale quantita di movimento.”

Alla luce delle nostre conoscenze notiamo come la conservazione della quantita di moto secondoDescartes non fosse un concetto completamente errato, l’errore fatto dal grande scienziato fuquello di assolutizzare questa conservazione: sappiamo infatti al giorno d’oggi - e ne abbiamovisto la dimostrazione in classe - come la quantita di moto si conservi, ma solamente in sistemiisolati.

• Il punto di vista di Leibniz:Leibniz comprese come nel ragionamento di Descartes ci fossero degli errori dal punto di vistafisico-matematico. Egli dimostro come nell’universo la quantita che si conserva sempre sia un’al-tra quantita: mv2 ( che assimilo ad mh). Seppur in modo non analitico, considerando solamenteun esempio meccanico, possiamo trovare nelle righe di Leibniz l’idea moderna di conservazionedell’energia. Qui di seguito il brano tratto dagli scritti di Leibnitz (Leibniz, 1863):

“Poiche molti matematici vedono nelle cinque macchine semplici che la velocita e la mole (mas-sa) sono tra loro compensate, generalmente essi valutano la forza motrice tramite la quantitadi moto, ossia tramite il prodotto della moltiplicazione del corpo per la sua velocita. Oppure,per parlare piu geometricamente, essi affermano che le forze di due corpi (della stessa specie)che si urtano nel movimento e che agiscono parimente mediante la loro massa e il movimentosono in ragione composta dei corpi, o delle masse, e delle velocita che hanno. E cosı poiche econforme alla ragione che la stessa somma della potenza motrice e conservata in natura, e non ediminuita, in quanto vediamo che non e persa alcuna forza da un corpo che non sia trasferita inun altro; ne aumentata perche ancora il moto perpetuo meccanico non avviene mai, per il fattoche nessuna macchina e di conseguenza neanche il mondo intero puo aumentare la sua forzasenza un nuovo impulso esterno; da qui Cartesio, che considerava equivalente la forza motricee la quantita di moto, ha affermato che la stessa quantita di moto e conservata da Dio nell’u-niverso. Io, certamente, per mostrare quanto si trovi tra queste due, suppongo anzitutto che



un corpo, cadendo da una certa altezza, acquista una forza fino a rialzarsi di nuovo, se la suadirezione cosı lo conduce ne qualcosa d’esterno l’impedisce: per esempio un pendolo ritorneraprecisamente all’altezza da cui e caduto, a meno che la resistenza dell’aria e altri impedimentisimili molto piccoli non assorbano un po’ della sua forza, dai quali noi ora facciamo astrazione.Suppongo anche, in secondo luogo, che e necessaria una forza tanto grande per sollevare il corpoA di una libbra fino all’altezza CD di quattro braccia di quella che e necessaria per sollevareil corpo B di quattro libbre fino all’altezza EF di un braccio. Tutte queste cose sono ammesseugualmente dai cartesiani e dagli altri filosofi e matematici dei nostri tempi. Segue da qui che ilcorpo A lasciato cadere dall’altezza CD ha acquisito precisamente altrettanta forza del corpo Blasciato cadere dall’altezza EF. Infatti, il corpo A dopo esser stato lanciato da C arriva in D,e laesso possiede la forza di risollevarsi fino a C, per la prima ipotesi, ossia la forza di sollevare uncorpo di una libbra (vale a dire il proprio corpo) fino all’altezza di quattro braccia. E parimentidopo che il corpo B e pervenuto per la caduta da E in F, dove esso ha la forza di risalire finoad E, per la prima ipotesi, ossia la forza di sollevare un corpo di quattro libbre (vale a dire ilproprio corpo) fino all’altezza di un braccio. Pertanto, per la seconda ipotesi, la forza del corpoA che si trova in D e la forza del corpo B che si trova in E sono uguali. Vediamo ora se laquantita di moto e la stessa in entrambi i casi. In verita, il piu grande disaccordo sara trovato lıcontro ogni speranza. Il che io mostro nel modo seguente. E stato dimostrato da Galileo che lavelocita acquisita mediante la caduta CD e il doppio della velocita acquisita mediante la cadutaEF. Moltiplichiamo quindi il corpo A che e come 1 per la sua velocita che e come 2, il prodottoo quantita di moto sara come 2; moltiplichiamo di nuovo il corpo B che e come 4 per la suavelocita che e come 1, il prodotto o quantita di moto sara come 4.Pertanto la quantita dimoto che e del corpo A che si trova in D e la meta della quantita di moto che e delcorpo B che si trova in F, e tuttavia poco prima le forze sono state trovate uguali.E pertanto esiste una grande differenza tra la forza motrice e la quantita di moto,di tal sorta che l’una non potrebbe essere calcolata tramite l’altra, come abbiamointeso dimostrare. Risulta da cio come la forza dovrebbe essere misurata dalla quantita del-l’effetto che puo produrre, per esempio dall’altezza a cui precisamente puo sollevare un corpodi grandezza e specie date, non di certo dalla velocita che puo imprimere a un corpo. Infatti,non e necessaria una forza doppia, ma una piu grande per dare al corpo una velocita doppia.Nessuno sicuramente si meravigliera che nelle macchine semplici, la leva, l’asse della ruota, lapuleggia, il cuneo, la vite d’Archimede, e simili, c’e equilibrio quando la grandezza di un corpo ecompensata dalla velocita dell’altro che nascera secondo la disposizione della macchina; o quan-do le grandezze (essendo data la stessa specie di corpi) stanno reciprocamente come le velocita;o quando la stessa quantita di moto si produrra dall’uno o dall’altro. Infatti deriva ancora daqui che la quantita dell’effetto dovrebbe essere la stessa in entrambi i casi, ovvero l’altezza didiscesa o di salita in un qualunque lato dell’equilibrio che tu desideri che il moto sia fatto. Equindi accidentale che la forza possa essere misurata dalla quantita di moto. Di sicuro si dannoaltri casi, tale e quello che abbiamo riportato qui dove esse non coincidono. D’altronde poichenulla e piu semplice della nostra dimostrazione, e sorprendente che non sia venuta in mente aCartesio o ai cartesiani, uomini molto dotti. Ma di sicuro la troppa confidenza nel suo spiritol’ha deviato dal cammino. Infatti Descartes, per il difetto comune ai grandi uomini fu reso allafine un po’ troppo importante. D’altra parte, temo che non pochi cartesiani comincino a imitarei peripatetici di cui si burlano, ed e perche hanno l’abitudine di consultare i libri del maestroanziche la retta ragione e la natura delle cose. Si deve dunque dire che le forze sono inragione composta dei corpi (della gravita stessa o della solidita) e delle altezze cheproducono la velocita, vale a dire di quelle mediante le quali tali velocita potrebberoessere acquisite cadendo, o piu generalmente (poiche talvolta nessuna velocita e sta-



ta ancora prodotta) delle altezze sul punto di produrre: non in verita generalmentedelle velocita stesse, di qualche maniera che cio sia plausibile in prima approssimazione esia constatato dalla maggior parte, e da qui nacquero molti errori che sono tangibili negli scrittimatematico-meccanici dei reverendi padri Honore Fabri e Claude Dechales e anche in GiovanniAlfonso Borelli e in altri, per il resto eminenti in questi studi. E penso anche che dipenda da ciose recentemente la regola di Huygens sul centro di oscillazione dei pendoli, che e vera, e statarevocata in dubbio da alcuni dotti uomini.”

3.4 Urti

Uno dei fenomeni descrivibili in modo semplice con il teorema dell’impulso anziche la seconda leggedella dinamica e sicuramente l’urto tra due punti materiali, ovvero cio che succede quando le traiettoriedel moto di due punti materiali si incontrano in un dato istante di tempo. Sappiamo che due corpi nonpossono occupare un certo volume nello stesso istante e dunque qualcosa deve accadere: i punti ma-teriali restano attaccati l’uno con l’altro, rimbalzano, cambiano le loro traiettorie,... sono certamentefenomeni con cui abbiamo avuto molte volte a che fare: il lancio di due palline l’una contro l’altra,il gioco del biliardo, uno scontro tra due automobili, il lancio di una pallina contro ad un muro,... Eimportante notare come le forze interne al sistema dei punti materiali che si scontrano sono sempremolto maggiori di tutte le forze esterne presenti (gravita compresa), per lo meno nell’intervallo ditempo molto piccolo in cui l’urto avviene; il sistema durante un urto e quindi sempre isolato, pertantola quantita di moto totale di un sistema durante un urto si conserva sempre, se si consideraun intervallo di tempo molto piccolo. Classificheremo gli urti quindi non sulla base della conservazioneo meno della quantita di moto, ma sulla base della conservazione o meno dell’energia cinetica:

• Urti elastici: in cui l’energia cinetica si conserva;

• Urti anelastici: in cui l’energia cinetica non si conserva;

• Urti completamente anelastici: urti anelastici in cui i due punti materiali restano uniti dopol’urto stesso.

Consideriamo solo l’energia cinetica perche considerando il sistema isolato (per lo meno in un piccolointervallo di tempo attorno all’urto stesso) non sono presenti forze che giustifichino la presenza dienergie potenziali. In generale quindi possiamo dire che un urto viene descritto dalle seguenti equazioni:{

~qi = ~qfEi = Ef + ∆E

(3.4.1)

dove ~qi e il vettore quantita di moto iniziale del sistema, ~qf e il vettore quantita di moto finaledel sistema, Ei e l’energia cinetica iniziale del sistema, Ef e l’energia cinetica finale del sistema e ∆El’eventuale energia persa durante l’urto. Il caso piu comune di urto anelastico e anche il piu complicato,da risolvere volta per volta affrontando il sistema (3.4.1). Considereremo qui di seguito alcuni esempisemplici di urti in una o due dimensioni, le cui soluzioni possono essere trovate in generale senza troppecomplicazioni matematiche.

3.4.1 Urti completamente anelastici in una, due o tre dimensioni

Gli urti completamente anelastici sono sicuramente gli urti piu semplici da descrivere in termini ma-tematici. Consideriamo due punti materiali di masse m1 ed m2, velocita ~v1 e ~v2 che si urtino tra loro



Figura 3.2: Urto completamente anelastico

in modo da restare poi attaccati l’uno all’altro: un particolare colpo di biliardo puo esemplificare benequesta situazione in due dimensioni, come mostrato in figura (3.2). Il sistema (3.4.1) diventa quindi{

m1~v1 +m2~v2 = (m1 +m2)~vf12m1v

21 + 1

2m2v22 = 1

2(m1 +m2)v2f + ∆E{

~vf = m1~v1+m2~v2m1+m2

∆E = 12m1v

21 + 1

2m2v22 − 1

2(m1 +m2)v2f

In generale possiamo quindi dire che, per un urto completamente anelastico si ha:{~vf =

∑imi~vi∑imi

∆E = 12

∑imiv

2i − 1

2

∑imiv

2f

(3.4.2)

In un urto completamente anelastico quindi, date le masse ed i vettori velocita iniziali, possiamosempre trovare in modo piuttosto semplice (applicando le relazioni descritte in (3.4.2) ) la velocitafinale dell’insieme dei punti materiali e la perdita di energia cinetica.

3.4.2 Urti elastici in una dimensione

Gli urti elastici, o in generale urti in cui i punti materiali non rimangono attaccati sono in generalepiu difficili da risolvere, se risolvere significa predire le velocita finali dei diversi punti materiali cono-scendone le velocita iniziali, in quanto ci sono molte variabili incognite. Nel caso unidimensionale, inmancanza di ulteriori dati oltre alle masse e le velocita iniziali, l’unico caso risolvibile analiticamentee il caso dell’urto tra due punti materiali: possiamo pensare nuovamente ad un colpo di biliardo in cuile due palline pero si muovono nella stessa direzione, come in figura (3.3). Il sistema di equazioni darisolvere in questo caso sara:{

m1v1 +m2v2 = m1v′1 +m2v

′2

12m1v

21 + 1

2m2v22 = 1

2m1v′21 + 1

2m2v′22



Figura 3.3: Urto elastico in una dimensione

dove v′ sono le velocita finali. Matematicamente il problema si riduce alla risoluzione di un sistemadi due equazioni e due incognite di secondo grado, che possiamo risolvere come esercizio. Il risultato, scartate le soluzioni non accettabili fisicamente, e dato da:{

v′1 = (m1−m2)v1+2m2v2m1+m2

v′2 = (m2−m1)v2+2m1v1m1+m2

(3.4.3)

Nel caso degli urti elastici in una dimensione e interessante notare alcuni casi particolari, che si invitaa studiare come esercizio:

• il caso di masse uguali m2 = m1 = m,

• il caso in cui la velocita iniziale di uno dei due punti materiali sia nulla,

• il caso in cui la velocita iniziale di uno dei due punti materiali sia nulla e la sua massa siaenormemente piu grande dell’altra (l’urto di una pallina contro ad un muro).

3.4.3 Urti elastici in due dimensioni

Il caso di urti elastici in due dimensioni, anche se coinvolgenti solo due punti materiali non e semprerisolvibile conoscendo solo le due masse e le due velocita iniziali:{

m1~v1 +m2~v2 = m1~v′1 +m2~v

′2

12m1v

21 + 1

2m2v22 = 1

2m1v′21 + 1

2m2v′22

(3.4.4)

considerando infatti le componenti dei vettori questo sistema diventa un sistema di tre equazionie quattro incognite. Esiste pero un caso particolare su cui si puo dire qualcosa : il caso in cui



m1 = m2 = m e v2 = 0. In questo caso particolare infatti il sistema (3.4.4) diventa:{~v1 = ~v′1 + ~v′2v2

1 = v′21 + v

′22

(3.4.5)

Le due equazioni ci assicurano che i due vettori ~v′1 e ~v′2 debbano essere perpendicolari tra loro: infattila prima equazione ci garantisce che i tre vettori in questione formino un triangolo mentre la seconda eil teorema di Pitagora sui lati del triangolo, applicabile come sappiamo solo nel caso in cui il triangolosia rettangolo ed i cateti siano ~v′1 e ~v′2! Per risolvere il problema analiticamente trovando le due velocitaserve senz’altro un’altra informazione, ma per lo meno si puo dire qualcosa sulla situazione finale.

3.5 Centro di massa e moto di sistemi di particelle

Come si puo notare dal sistema generale di equazioni (3.4.1) i casi con piu di due particelle possonoessere molto complicati dal punto di vista matematico, anche conoscendo alcuni parametri della si-tuazione finale. In questo paragrafo studieremo il moto del centro di massa di un sistema di particellecome sintesi dell’evoluzione del sistema stesso. In molti casi complessi questo puo essere utile per ca-pire l’evoluzione del sistema o parte di esso, soprattutto quando e impossibile descrivere la traiettoriadopo l’urto di ogni singola particella che compone il sistema. Ricordiamo che il centro di massa di unsistema di particelle e definito come il punto in cui possiamo pensare sia applicata la risultante delleforze peso di tutte le particelle, o dal punto di vista matematico la media, pesata sulle masse, delleposizioni di ogni singolo punto materiale:

~rcm =m1~r1 +m2~r2 + · · ·+mn~rn

m1 +m2 + · · ·+mn=

∑ni=1mi~ri∑ni=1mi

=

∑ni=1mi~riM

dove il sistema ha n punti materiali ed M e la massa totale del sistema. L’equazione (3.5) puo ancheessere scritta secondo le componenti cartesiane:

xcm =∑n

i=1mixiM

ycm =∑n

i=1miyiM

zcm =∑n

i=1miziM

Ora, immaginando che questi punti materiali si stiano muovendo, ognuno con una certa velocita,andiamo a calcolare qual e la velocita media del centro di massa tra due istanti di tempo t1 e t2:

~vcm =~rcm(t2)− ~rcm(t1)

t2 − t1

=

∑ni=1mi~ri(t2)

M −∑n

i=1mi~ri(t1)M

t2 − t1

=

∑ni=1mi~ri(t2)−

∑ni=1mi~ri(t1)

M(t2 − t1)

=

∑ni=1(mi~ri(t2)−mi~ri(t2))

M(t2 − t1)

=

∑ni=1mi

~∆riM(t2 − t1)

=

∑ni=1mi

~∆ri(t2−t1)

M

=

∑ni=1miviM



Ovvero per le velocita medie, e quindi anche per quelle istantanee vale il fatto che la velocita del centrodi massa e la media, pesata con le masse, delle velocita di tutte le singole particelle componenti ilsistema. Analogamente possiamo anche concludere che

~acm =

∑ni=1mi~aiM

Riusciamo quindi a definire la cinematica del centro di massa a partire dalla cinematicadei punti materiali componenti il sistema:

~rcm =

∑ni=1mi~riM

(3.5.1)

~vcm =

∑ni=1mi~viM

(3.5.2)

~acm =

∑ni=1mi~aiM

(3.5.3)

(3.5.4)

In particolare possiamo riscrivere la seconda equazione (3.5.2) nel seguente modo:

~qcm = M~vcm =

n∑i=1

mi~vi = ~qi (3.5.5)

e la terza (3.5.3) come:

M~acm =n∑i=1

mi~ai = ~R, (3.5.6)

con ~qi la quantita di moto iniziale del sistema e ~R la risultante di tutte le forze agenti sul sistema.Possiamo quindi concludere che per il centro di massa valgono le stesse leggi della cinematica e delladinamica che abbiamo visto fin’ora per un sistema con un punto materiale soltanto: il centro dimassa e un punto che riassume in se tutta la fisica di un sistema di particelle.

Primo principio della dinamica e conservazione della quantita di moto In un sistema diparticelle isolato la quantita di moto del centro di massa si conserva, esso e quindi in equilibrio ovveropersiste nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme!

Secondo principio della dinamica e teorema dell’impulso La risultante delle forze agenti sulsistema e uguale alla massa totale del sistema moltiplicata per il vettore accelerazione del centro dimassa ovvero la forza risultante che agisce sul sistema e causa della variazione di quantita di moto delcentro di massa del sistema!

In altre parole, non importa quanti e quali urti facciano tra loro le particelle componenti il siste-ma, il centro di massa continuera fare il suo moto, in equilibrio se il sistema e isolato, secondo le leggidel moto derivanti dalle forze agenti se il sistema non e isolato. Gli esempi e le applicazioni di questaanalisi sono molte e molto utilizzate: possiamo pensare ad esempio di voler descrivere il moto delcentro di massa di un fuoco d’artificio (che continua il suo moto parabolico indipendentemente dalnumero di frammenti in cui si spezza - i frammenti anzi sono vincolati a spostarsi facendo in modoche il centro di massa continui il moto parabolico) o la descrizione degli urti tra particelle della fisicanucleare e la conseguente cinematica delle particelle dopo l’urto all’interno dei grandi acceleratori diparticelle nel mondo. Dopo le analisi fatte in questo paragrafo, il sistema di riferimento del centro dimassa di un sistema di particelle diventa un luogo privilegiato da cui descrivere un sistema di puntimateriali.



3.6 Esercizi

1. Un giocatore di tennis imprime una forza media Fm = 50 N su di una pallina (m = 57 g) chearriva alla racchetta con una velocita vi = 70 km/h. Supponendo che l’impatto tra racchettae pallina duri 0,1 secondi, quale sarebbe la velocita della pallina dopo il colpo se non ci fossedeformazione della pallina durante l’urto?

[vf = 245, 8 km/h]

2. Si calcoli la forza media che un pugile deve imprimere ad un sacco da 30 kg affinche esso si muovacon una velocita v = 2 m/s, supponendo che l’impatto tra guanto e sacco duri 0,3 secondi.

[Fm = 200 N]

3. Si calcoli la variazione di quantita di moto di un sistema su cui agisce una forza media esternaesterna Fm = 500 N per un decimo di minuto.

[∆q = 3000 kg m/s]

4. Un calciatore in grado di imprimere una forza massima F = 500 N ad una palla di massa m = 200g vuole far raggiungere alla palla una velocita v = 120 km/h. Quanto deve durare l’impatto trapiede e pallone?

[∆t = 0, 01 s]

5. Un battitore di baseball riesce a colpire la palla lanciata dall’avversario. Supponendo che la palladi massa m = 100 g sia arrivata in orizzontale con una velocita vi = 30 m/s, che l’impatto conla mazza duri ∆t = 5 ms e che dopo l’impatto la pallina abbia una velocita vf = 50 m/s e formiun angolo α = 30◦ rispetto l’orizzontale, qual e l’intensita della forza applicata dal battitore allapallina?

[F = 1549 N]

6. Un carrello di massa M = 50 kg si sta muovendo orizzontalmente alla velocita costante v = 30km/h. Quale sara la velocita finale del carrello se da esso cade verticalmente un sacchetto dimassa m = 5 kg?

[vf = 9, 3 m/s]

7. Se dallo stesso carrello del problema (6) viene lanciata una palla da 1 kg in direzione oppostaalla marcia del carrello con velocita vp = 20 km/h, quale sara la velocita finale del carrello?

[vf = 8, 6 m/s]

8. Se dallo stesso carrello del problema (6) viene lanciata una palla da 1 kg nella stessa direzionedella marcia del carrello con velocita vp = 20 km/h, quale sara la velocita finale del carrello?

[vf = 8, 4 m/s]

9. Antonio (A) lancia una palla, calciandola da terra con una velocita iniziale v0 = 10 m/s conun angolo rispetto l’orizzontale α = π/3 rad, a Barbara (B) che si trova seduta su un carrello



ad una altezza 20 cm da terra. Se la massa della palla e m = 200 g e la massa complessiva dicarretto e Barbara e M = 100 kg, si calcoli la velocita finale del carrello.

[vf = 10−2 m/s]

10. Un fuoco d’artificio di massa m viene lanciato in verticale. Nel punto piu alto della sua traiet-toria il fuoco scoppia in 2 pezzi, il primo di massa m/3, il secondo di massa 2m/3. Si descrivail moto di ogni singolo pezzo del fuoco d’artificio dopo lo scoppio, se il pezzo di massa minoreappena dopo lo scoppio ha una velocita v1 = 5 m/s.

[Ogni pezzo fa un moto parabolico con velocita iniziale orizzontale, il primo con v1 = 5 m/s, ilsecondo con v2 = 2, 5 m/s]

11. Una cinquecento (m = 680 kg) tampona un camion (M = 5000 kg) alla velocita v = 60 km/h.Supponendo un urto completamente anelastico tra i due veicoli quale sara la velocita finale delsistema cinquecento/camion?

[vf = 7 km/h]

12. Si calcoli la variazione di energia cinetica del sistema nell’esercizio precedente.

[∆Ec = −83700 J]

13. Un placcaggio di rugby puo essere considerato (se va a buon fine) come un urto completamenteanelastico. Si calcoli il modulo della velocita dei due giocatori appena dopo l’impatto se il primo(m1 = 100 kg) si stava muovendo con una velocita v1 = 10 m/s formante un angolo α = π/3rad con la direzione della velocita secondo (m2 = 90 kg, v2 = 8 m/s).

[vf = 7, 9 m/s]

14. Un urto completamente anelastico e caratterizzato da una perdita di energia cinetica ∆Ec = 100J. Se l’urto e avvenuto tra due corpi di ugual massa, uno dei due inizialmente fermo e l’altro conquantita di moto iniziale q1 = 50 kg m/s, quanto vale la velocita finale del sistema?

[vf = 4 m/s]

15. Due corpi di masse m1 = 5 kg e m2 = 10 kg si stanno muovendo con velocita di intensita v1 = 10m/s e v2 = 8 m/s. Per quale angolo tra le due velocita si ha la massima dispersione di energiacinetica durante l’urto? Ed in tal caso quanto vale questa dispersione?

[α = π rad, ∆Ec = −540 J]

16. Rispetto all’esercizio (7) si calcoli l’angolo per la dispersione minima di energia ed il valore ditale dispersione.

[α = 0 rad, ∆Ec = −2, 3 J]

17. Due masse m1 = 10 kg ed m2 = 20 kg urtano in modo completamente anelastico avendo velocitainiziali v1 = 5 m/s e v2 = 2, 5 m/s. Se la velocita finale del sistema ha modulo vf = 1 m/s qualeera l’angolo tra le velocita ~v1 e ~v2?

[α = 2, 5 rad]



18. Due palline di pongo fanno tra loro un urto completamente anelastico, la prima viene lanciatafrontalmente contro la seconda con una velocita v1 = 5 m/s. Si misura come velocita finale delledue palline vf = 2 m/s. Se le due palline hanno la medesima massa m = 250 g, qual e la velocitav2 della seconda pallina?

[v2 = 1 m/s]

19. Due palline da biliardo, entrambe di massa m = 200 g si scontrano facendo un urto elastico.Supponendo che la prima si scontri con la seconda, inizialmente ferma, ad una velocita v1 = 3m/s qual e la velocita finale di ciascuna pallina?

[v1f = 0 m/s; v2f = 3 m/s]

20. Si risolva il problema (19) supponendo che m1 = 200 g ed m2 = 250 g.

[v1f = −0, 3 m/s; v2f = 2, 7 m/s, con segno positivo dato dal verso iniziale di v1]

21. Si risolva il problema (20) supponendo che la seconda pallina abbia una velocita iniziale v2 = 2m/s nella stessa direzione di ~v1 ma con verso opposto.

[v1f = −2, 6 m/s; v2f = 2, 4 m/s, con segno positivo dato dal verso iniziale di v1]

22. Tre palline (m1 = 2m2 = 4m3 = 250 g) sono disposte come in figura (22). Si trovino le velocitafinali delle tre palline supponendo che tutti gli urti siano elastici.

Figura 3.4: .

[v1f = 3, 3 m/s; v2f = 4, 4 m/s; v3f = 17, 7 m/s]

23. Data la situazione in figura (23) si calcolino le velocita finali delle palline 1 e 2, assumendo traloro un urto elastico:

[v1f = −6 m/s; v2f = 4 m/s, con segno positivo dato dal verso iniziale di v1]

24. Data la situazione in figura (24) si trovi la distanza dal tavolino a cui cadono le due palline 1 e2, assumendo un urto elastico tra le due palline:

[d1 = 0, 25 m; d2 = 1, 15 m]

25. Una pallina viene lasciata cadere su un piano inclinato (α = π/3 rad rispetto l’orizzontale) senzaattrito da un’altezza h = 2 m. Supponendo che l’urto tra la pallina e il pavimento orizzontale



Figura 3.5: .

Figura 3.6: .

una volta arrivata in fondo al piano inclinato sia elastico, si calcoli a quale distanza dalla basedel piano la pallina tocchera terra di nuovo.

[d = 3, 5 m]

26. Si risolva il problema (25) ipotizzando un urto anelastico nel quale la pallina perde il 40% dellasua energia.

[d = 2, 1 m]

27. Due palle da biliardo m1 = 2 kg ed m2 = 5 kg di velocita iniziali v1 = 5 m/s e v2 = 8 m/s diverso opposto si scontrano frontalmente. Quali sono le velocita finali se l’urto e anelastico e laperdita di energia ammonta al 30% dell’energia iniziale?

[v1f = 1, 6 m/s; v2f = 11 m/s]

28. Una pallina viene sparata contro un bersaglio collegato ad una molla, come in figura (28). Sicalcoli la velocita iniziale del proiettile se la massima compressione della molla e di ∆ = 4 cm.Si consideri l’urto tra pallina e molla come completamente anelastico.

[vp = 253 m/s]



Figura 3.7: .

29. Si risolva l’esercizio (28) nell’ipotesi in cui l’urto tra pallina e molla sia elastico.

[vp = 125 m/s]

30. Si risolva l’esercizio (28) nell’ipotesi in cui l’urto tra pallina e molla sia anelastico con una perditadi energia del 20% rispetto l’energia iniziale.

[vp = 132 m/s]

31. Dato il doppio pendolo il figura (31) si calcoli l’altezza (distanza minima dal soffitto) raggiuntadalla pallina m se l’urto tra le due palline e da considerarsi elastico.

Figura 3.8: .

[hm = 0, 3 m]

32. Si risponda alla domanda dell’esercizio (31) nel caso in cui l’urto tra le palline sia completamenteanelastico.

[hm = 1, 2 m]



33. Una massa M = 2 kg e appesa verticalmente ad una molla di costante elastica k = 1000 N/m.Una freccetta (m = 50 g) viene lanciata verticalmente dal basso verso la massa. Supponendoche la freccetta abbia una velocita vf = 3 m/s un istante prima di colpire la massa si calcoli lamassima compressione (rispetto alla sua posizione di riposo) della molla dopo l’urto, da consi-derarsi completamente anelastico.

[∆ = 18 mm]

34. Si consideri la situazione dell’esercizio (31) con il seguente cambiamento: la pallina m2 sia ap-poggiata sul piano senza essere collegata al filo del pendolo. Si assuma il coefficiente d’attritotra pallina e pavimento k = 0, 2. Supponendo che l’urto tra le due palline sia un urto anelasticocon energia dispersa pari a ∆E = 10 J, si calcoli il lavoro fatto dalla forza d’attrito per fermarela pallina m2. Si calcoli inoltre in quanto tempo la pallina si ferma e quanto spazio percorreprima di fermarsi.

[t = 2, 2 s; s = 4, 7 m; L = 23 J]

35. Find the final speed of an electron, which moves at ve = 5000 m/s, after an elastic collision witha standstill proton. Find also the final speed of the proton.

[ve = −4994 m/s; vp = 6 m/s]

36. Find the average strength that causes a change of momentum of a system ∆q = 50 kg m/s actingon it for ∆t = 20 s.

[Fm = 2, 5 N]

37. A block of mass m1 is initially at rest on a frictionless horizontal surface. A bullet of massm2 is fired at the block with a speed v. The bullet sticks in the block, and the block ends upwith a speed V . What is the momentum of the bullet with speed v (in terms of m1, m2, and V ) ?

[q = (m1 +m2)V ]

38. Consider two cars (m1 = 600 kg and m2 = 1200 kg) crashing at a intersection between the twostreets they were travelling. The two streets are perpendicular and the two speeds are v1 = 40m/s and v2 = 10 m/s. Find the final velocity of the cars if the crash can be approximated as acompletely inelastic collision.

[vf = 14, 9 m/s with and angle α = 0, 46 rad with respect to car 1]

39. Calculate the momentum of a rhino (m = 3500 kg) charging a hunter at a speed of 9 m/s.Compare the rhino’s momentum with the momentum of a tranquilizer dart (m = 0, 2 g) fired ata speed v = 500 m/s. What is the loss of kinetic energy of the rhino just after the collision ifthe hunter hits him with the tranquilizer dart?

[qr = 31500 kg m/s; qd = 0, 1 kg m/s; ∆Ec = 3 J]


CAPITOLO 4. MOMENTO ANGOLARE E MOTO ROTATORIO

Capitolo 4

Momento angolare e moto rotatorio

Nel corso del biennio abbiamo imparato che un sistema e un equilibrio se la risultante delle forze agentisul sistema e nulla (equilibrio di traslazione) e se la risultante di tutti i momenti delle forze agentisul sistema e nulla (equilibrio rotazionale). Abbiamo poi studiato approfonditamente la dinamica deipunti materiali fuori dall’equilibrio, con le tre leggi di Newton, ma non abbiamo mai studiato cosasuccede ad un corpo rigido nel momento in cui la somma dei momenti delle forze sia diversa da zero.L’argomento centrale di questo capitolo e proprio lo studio di corpi rigidi fuori equilibrio, quando cioeruotano di moto non uniforme.

I moti rotatori di un corpo rigido, che ricordiamo e un corpo non soggetto a deformazioni in cuicioe le mutue distanze tra i punti che lo compongono restano invariate nel tempo, possonoessere molto complessi da descrivere sia in termini fisici che matematici. Per questo noi ci limiteremoa descrivere in modo analitico solamente il caso in cui la rotazione del corpo avvenga lungo un certoasse fissato1: specificheremo di volta in volta i concetti che valgono in generale e quelli che valgonosolamente rispetto alla nostra situazione di studio.

Fu Eulero (Basilea, 1707 - San Pietroburgo, 1783) con uno dei suoi piu importanti libri (Euler, 1765)uno dei primi scienziati a descrivere in modo analitico ed esauriente la dinamica dei corpi rigidi, inparticolare con riferimento al momento d’inerzia. Nell’opera troviamo tanto le definizioni di corporigido, momento d’inerzia e moto rotatorio, quanto tutti i calcoli per descrivere al meglio il fenomeno.Eulero certamente fu una delle menti matematiche e fisiche piu importanti ed influenti della storiadella scienza, scrisse moltissimo e molte delle sue intuizioni furono di fondamentale importanza per losviluppo successivo di matematica e fisica.

4.1 Momento d’inerzia

Quando abbiamo studiato un sistema fuori dall’equilibrio di traslazione abbiamo osservato che l’effettodell’applicazione di una forza su un punto materiale e l’accelerazione, ovvero il moto rettilineo nonuniforme del punto materiale stesso; analogamente ci aspettiamo che l’effetto dell’applicazione di unmomento di una forza su un corpo rigido sia un moto rotatorio non uniforme del sistema, ovvero ilpresentarsi di un’accelerazione angolare. Se questo e vero, ci aspettiamo di trovare un’equazione del

1Possiamo immaginare di studiare un sistema con asse di rotazione fissato oppure un sistema con asse di rotazionevariabile in un intervallo di tempo talmente piccolo che la variazione dell’asse non e significativa per la nostra analisi.



tipo:~M = I~α (4.1.1)

dove ~M e la risultante dei momenti di forza applicati al sistema, α l’accelerazione angolare ed I unacerta costante di proporzionalita tra le due grandezze. La costante di proporzionalita e chiamatamomento d’inerzia, si misura in kg·m2 e fa le veci della massa inerziale nella dinamica lineare: el’inerzia rotazionale del corpo, cio che si oppone alla variazione di stato di moto rotatorio del corpoquando soggetto a momenti di forza. Facciamo notare qui che la relazione (4.1.1) ha senso nel momentoin cui la rotazione avviene attorno ad un asse fissato, come vedremo in seguito il momento d’inerziapuo essere calcolato e dipende dalla geometria dell’oggetto ma anche dall’asse di rotazione dell’oggettostesso: cambiando l’asse di rotazione I non e piu costante e l’equazione data deve essere modificata.Nei prossimi paragrafi cercheremo di darci ragione dell’equazione (4.1.1) assumendo sempre rotazioniattorno ad un asse fissato in casi via via piu complessi.

4.1.1 Rotazione di un punto materiale

Immaginiamo un punto materiale in rotazione attorno ad un asse fisso sotto l’effetto di una forzacostante ~F diretta lungo la direzione della velocita tangenziale ~v, come descritto in figura (4.1).Possiamo immaginare che il punto materiale sia una persona seduta sul bordo di un tagada 2 nelmomento in cui la giostra inizia a girare sotto l’effetto di una coppia di forze costante, ancora senzainclinazione rispetto al suolo. Evidentemente la forza ~F genera un momento ~M = ~r× ~F perpendicolare

Figura 4.1: Rotazione accelerata di un punto materiale

al piano su cui ruota il punto materiale, ma anche un’accelerazione tangenziale, che non modifica ladistanza dal centro O del punto, ma aumenta la velocita tangenziale e quindi quella angolare del puntodi massa m: v(t) = ω(t)r. Proviamo quindi a studiare la meccanica del sistema:

2giostra meccanica presente in molti parchi dei divertimenti composta da un disco che puo ruotare attorno al suocentro, anche attorno ad assi non perpendicolari al terreno



• Il modulo del momento della forza e ottenibile secondo la formula M = rF , essendo la forzasempre perpendicolare al raggio,

• La forza e sempre tangente alla traiettoria, contribuisce quindi ad una accelerazione tangenzialesecondo il principio della dinamica F = mat,

• Essendo la forza costante anche l’accelerazione e costante e dunque l’accelerazione tangenzialemedia e sempre uguale all’accelerazione tangenziale istantanea, per cui possiamo scrivere:

at =∆v

∆t=

∆(ωr)

∆t=ω(t2)r − ω(t1)r

t2 − t1= r

ω(t2)− ω(t1)

t2 − t1= r

∆ω

∆t= rα

Mettendo assieme tutte queste considerazioni possiamo quindi scrivere:

M = rF

= rmat

= r2mα

Il che conferma il fatto che il momento della forza sia direttamente proporzionale all’accelerazioneangolare; ma non solo, questo ragionamento ci fornisce anche l’espressione del momento d’inerzia perun punto materiale che ruoti lungo una circonferenza:

I = mr2 (4.1.2)

Questa equazione, pur nella sua semplicita, da molte informazioni sulla natura del momento d’inerzia:questa grandezza fisica e connessa alla massa ed al modo in cui la massa e distribuita attorno al centrodi rotazione del sistema, piu la massa e concentrata attorno al centro e meno inerzia rotazionale ha ilsistema, viceversa piu la massa e distante dal centro di rotazione del sistema e piu inerzia rotazionaleha il sistema. Pur studiando un fenomeno molto semplice ed idealizzato possiamo gia cominciare acapire ad esempio come mai per riuscire a completare le evoluzioni in aria i pattinatori od i tuffatorisi rannicchiano attorno all’asse della loro rotazione.

4.1.2 Rotazione di un sistema di punti materiali

Se immaginiamo di complicare la situazione ed avere una serie di n punti materiali tutti ruotantiattorno allo stesso asse possiamo riproporre lo stesso ragionamento del paragrafo precedente e giungerealla conclusione che il momento d’inerzia del sistema cosı fatto e dato da:

I =

n∑i=1

mir2i (4.1.3)

Vediamo di nuovo quindi come nel determinare l’inerzia di un sistema non conti solamente la massadi ogni singolo elemento del sistema ma anche la sua distribuzione rispetto l’asse di rotazione. Questopassaggio da punto materiale a sistema di punti materiali che ruotano tutti attorno ad uno stesso assefisso non e particolarmente significativo dal punto di vista della sua concretezza, ma e importante perpoter definire il momento d’inerzia di un corpo rigido che ruota attorno ad un certo asse fissato.



Figura 4.2: Corpo rigido che ruota attorno ad un asse fisso

4.1.3 Rotazione di un corpo rigido

Consideriamo ora un corpo rigido che ruota attorno ad un asse fisso, come ad esempio una trottolache ruota in verticale o un pallone da pallacanestro sul dito di un cestista particolarmente abile,schematizzato come in figura (4.2). In questo caso possiamo pensare di suddividere il corpo rigidoin molte piccole parti di massa dm, ognuna delle quali contribuira al momento d’inerzia per dm r2

se r e la distanza di questo elemento di massa dall’asse di rotazione. Per sommare poi ogni piccolocontributo dovremo fare una somma particolare, che in matematica e data da un certo tipo di integrale(materia di studio dell’ultimo anno di corso di matematica) e che si scrive:

I =

∫dm r2 (4.1.4)

Evidentemente questo momento d’inerzia ancora dipende da come la massa e distribuita attornoall’asse di rotazione. Noi al momento non siamo in grado di calcolare questo tipo di momenti d’inerzia,per cui faremo riferimento a tabelle, facilmente reperibili sul web, in cui sono riportati i valori di alcunimomenti d’inerzia fissata la geometria del corpo rigido e l’asse di rotazione passante per il centro dimassa del corpo rigido. Per esempio il momento d’inerzia di una sfera omogenea di massa m e raggior che ruota attorno ad un asse passante per il suo centro e 2/5 mr2; se la sfera e invece cava conspessore del guscio trascurabile, il momento d’inerzia diventa 2/3 mr2; il momento d’inerzia di uncilindro pieno a base circolare, di massa m e raggio r qualsiasi sia la sua altezza, rispetto ad un assepassante per il centro della circonferenza di base e parallelo all’altezza e mr2/2. In ogni caso si puosempre notare come il momento d’inerzia aumenti man mano che la distribuzione di massa si concentralontano dall’asse di rotazione del corpo rigido, diminuisca man mano che la massa si concentra intornoall’asse. Nei casi in cui l’asse di rotazione non sia passante per il centro di massa del corpo rigido masia parallelo ad un asse passante per il centro di massa si ricorre al Teorema di Steiner.



Teorema di Steiner Il momento d’inerzia di un corpo rigido ruotante attorno ad un asse fissoparallelo ad un asse passante per il centro di massa cm del corpo rigido stesso e dato dalla relazione

I = Icm +md2 (4.1.5)

Dove Icm e il momento d’inerzia rispetto all’asse passante per il centro di massa, m la massa delcorpo e d la distanza tra i due assi. Ad esempio il momento d’inerzia di una barra sottile di massam e lunghezza L rispetto ad un asse passante per il suo centro e perpendicolare alla barra stessa e1/12 mL2, se invece l’asse e perpendicolare alla barra ma passante per un suo estremo esso diventa1/3 mL2 = 1/12 mL2 +m(L/2)2.

4.2 Momento angolare

I moti rotatori che riusciamo a descrivere in modo analitico al momento sono dunque solamente quellicon asse di rotazione fisso. Quando l’asse di rotazione non e fissato esiste comunque una relazione trai momenti delle forze e le accelerazioni angolari, la complicazione matematica che noi non affrontere-mo e che la costante di proporzionalita non e un numero: il momento d’inerzia dipende dall’asse dirotazione e formalmente e rappresentato non da un numero ma da un tensore, oggetto matematico dicui non ci occupiamo.

Possiamo pero descrivere in modo generale la rotazione di un corpo rigido introducendo una nuo-va grandezza, il momento angolare. Questa grandezza fisica si definisce, per un punto materiale inmovimento, nel seguente modo:

~L = ~r × ~q (4.2.1)

dove ~L e appunto il momento angolare, ~q la quantita di moto ed ~r il raggio vettore che collega il centrorispetto a cui vogliamo calcolare il momento angolare e la posizione del punto materiale. Parlando diun punto materiale che ruota rispetto ad un centro, come nell’esempio (4.1) ~r sara lo stesso vettorerispetto a cui si calcola il momento della forza. Sviluppando l’espressione (4.2.1) con i parametridell’esempio si ottiene la seguente relazione tra momento angolare e momento d’inerzia del puntomateriale:

~L = I~ω (4.2.2)

Anche in questo caso l’espressione, con gli opportuni ragionamenti analoghi a quelli fatti nel paragrafoprecedente, e valida solamente per un punto materiale, un sistema di punti o un corpo rigido cheruotino attorno ad un asse fissato. Per arrivare ad una relazione tra la causa del non equilibrio dirotazione ( ~M) e questa nuova grandezza dobbiamo considerare la definizione di momento di forza, dimomento angolare e il teorema dell’impulso (3.1.1)3:

~M = ~r × ~F

= r × ∆~q

∆t

=r ×∆~q

∆t

=∆(~r × ~q)

∆t

=∆~L

∆t

3In particolare il passaggio ~r×∆~q = ∆(~r×~q) e giustificato dalla proprieta distributiva del prodotto vettoriale rispettoalla somma e divisione



Con ragionamenti analoghi a quelli fatti in precedenza possiamo concludere che la relazione

~M =∆~L

∆t(4.2.3)

e valida per qualsiasi corpo rigido su cui stia agendo un momento delle forze risultante ~M . Questaespressione e indipendente dal fatto che la rotazione avvenga rispetto ad un asse fisso, vale in generale:l’applicazione di un momento di forza su un corpo rigido e dunque causa di una variazionedi momento angolare. L’espressione (4.2.3) si riferisce al momento medio applicato nell’intervallodi tempo ∆t, se volessimo considerare invece il momento istantaneo troveremmo la relazione:

~M =d~L

dt(4.2.4)

che giustificheremo matematicamente quando nel corso di matematica verranno affrontate le derivate.

4.3 Teorema di conservazione del momento angolare

Abbiamo ormai iniziato a capire che un legge formalmente come la (4.2.4), in cui l’effetto di una certacausa e la variazione di una grandezza fisica, prelude ad una legge di conservazione: se la causa e as-sente infatti non vi e variazione dell’effetto e dunque la grandezza in questione si conserva. Arriviamocosı ad un nuovo teorema di conservazione.

In un sistema in cui la risultante dei momenti di forza e nulla il momento angolaretotale del sistema si conserva:

~M = ~0⇐⇒ d~L

dt= ~0⇐⇒ ~L = ~k (4.3.1)

Aggiungiamo quindi la conservazione del momento angolare alle considerazioni ed all’elenco fattoprecedentemente (3.2). L’importanza e l’effetto della conservazione del momento angolare puo esseretestata da ognuno di noi in casa, a patto di possedere una sedia girevole: sedendosi sulla sedia girevoleed iniziando a ruotare sulla sedia possiamo notare come allargare le braccia faccia frenare la rotazione,mentre stringerle a noi la facciamo accelerare4; dopo aver provato questo esperimento fatto in casae verificato che in effetti accade proprio cio che abbiamo descritto, si provi a spiegare questo effettosulla base della conservazione del momento angolare e dalle definizioni date precedentemente.

4.4 Dinamica rotazionale

Studiare la dinamica rotazionale significa capire quanto lavoro fanno le forze esterne quando vengonoapplicate ad un corpo rigido, e come questo lavoro sia legato alla variazione di energia cinetica chechiameremo rotazionale del sistema. Per far questo ci riferiremo sempre ad un punto materiale cheruota lungo una circonferenza di raggio fissato sotto l’effetto di una forza di modulo costante F sempretangente alla traiettoria del punto; generalizzeremo poi i risultati ottenuti ad un qualsiasi corpo rigidoomettendo i ragionamenti ed i passaggi matematici che abbiamo accennato nei paragrafi precedentie che non siamo ancora in grado di effettuare formalmente. Per i passaggi matematici ci riferiremoquindi sempre alla figura (4.3).

4naturalmente trascuriamo gli effetti del momento della forza peso sulle braccia e ci scontriamo con l’attrito chefa comunque rallentare la rotazione: per effettuare al meglio l’esperimento dovremmo essere nel vuoto con una sedieperfettamente oliata...



Figura 4.3: Punto materiale in rotazione accelerata

4.4.1 Lavoro dei momenti delle forze

Consideriamo la situazione descritta in precedenza e cerchiamo di calcolare il lavoro fatto dalla forza~F in un certo intervallo di tempo. Per far cio dobbiamo considerare un pezzo di traiettoria curvilineas talmente piccolo da essere confondibile con la corda ~s = ~r(t2) − ~r(t1); con questa approssimazionepossiamo affermare che la forza ~F e parallela al vettore ~s, vettore spostamento che coincide con lospazio percorso nell’intervallo di tempo (t2 − t1) ed anche che s = rθ, θ l’angolo spazzato dal puntomateriale. Possiamo quindi giustificare i seguenti passaggi:

L = ~F · ~s= Fs

= Frθ

= Mθ

Pur avendo schematizzato la situazione possiamo dire che il lavoro fatto da un momento torcentecostante su un qualsiasi corpo rigido e dato dal prodotto tra il modulo del momento per l’angolospazzato dal corpo rigido attorno all’asse di rotazione, che resta fisso nell’ipotesi di momento torcentecostante:

L = Mθ (4.4.1)

Naturalmente possiamo calcolare anche la potenza sviluppata dal momento torcente dividendo il lavorofatto per l’intervallo di tempo ottenendo

P = Mω, (4.4.2)

dove ω e la velocita angolare media del corpo rigido nell’intervallo di tempo (t2 − t1), o istantaneanell’approssimazione in cui l’intervallo di tempo sia molto piccolo rispetto a tutto il moto considerato.



4.4.2 Energia cinetica rotazionale

Evidentemente se la risultante dei momenti torcenti agenti su un sistema fa lavoro secondo la formula(4.4.1) il sistema, secondo la definizione di energia introdotta nel primo capitolo, acquistera energiacinetica in quantita uguale al lavoro fatto dalla risultante dei momenti (trascurando tutti gli attritiagenti sul sistema). Per capire come e fatta questa energia cinetica rotazionale, dovuta cioe al lavorodei momenti torcenti, dobbiamo ricordare la cinematica del moto circolare uniformemente accelerato:

θ(t) =1

2α(t− ti)2 + ωi(t− ti) + θi

ω(t) = α(t− ti) + ωi

con α l’accelerazione angolare del sistema. Nel corso dei calcoli che seguiranno e utile la seguenterelazione che esprime la velocita angolare media in funzione della velocita angolare finale e quellainiziale nel caso di un moto circolare uniformemente accelerato:

ωm =θf − θi

∆t

=12α(∆t)2 + ωi∆t+ θi − θi

∆t

=1

2α∆t+ ωi

=α∆t+ 2ωi

2

=α∆t+ ωi + ωi

2

=ωf + ωi

2

A questo punto basta notare come un corpo rigido sotto l’effetto di un momento torcente costante ilsistema compie un moto circolare uniformemente accelerato caratterizzato dalle relazioni appena vistee seguire il seguente calcolo:

L = Mθ

=∆L

∆t∆θ

=Iωf − Iωi

∆t∆θ

= (Iωf − Iωi)∆θ

∆t= (Iωf − Iωi)ωm

= (Iωf − Iωi)ωf + ωi

2

= I(ωf − ωi)(ωf + ωi)

2

= Iω2f − ω2

i

2

=Iω2

f

2− Iω2

i

2

che evidenzia come il lavoro dei momenti torcenti dipenda solamente dalle velocita angolari iniziali efinali. Questa espressione dice dunque la quantita di energia cinetica guadagnata dal sistema quando



partendo da una velocita angolare ωi raggiunge una velocita angolare ωf sotto l’effetto del momentotorcente costante di modulo M . L’espressione dell’energia cinetica rotazionale e dunque:

Ec =1

2Iω2 (4.4.3)

4.4.3 Moti di un corpo rigido

Cerchiamo ora di riassumere i possibili movimenti di un corpo rigido alla luce di tutte le cose studiatefino ad ora. Considereremo come caso di studio un disco omogeneo, concretizzabile per esempio conuna ruota di bicicletta o di un’automobile o di una motocicletta. Le considerazioni che seguono possonopoi essere applicate ad un generico corpo rigido.

Traslazione pura

Il moto piu semplice che possiamo immaginare e che abbiamo gia introdotto nel corso del primo bien-nio di corso e il moto di traslazione pura, ovvero il moto per cui ogni elemento del corpo rigido simuove con la stessa velocita (sia essa costante o variabile). In questo caso, illustrato in figura (4.4),il centro di massa del disco si muove con la stessa velocita di ogni punto del corpo: possiamo pensaread esempio ad una ruota che poggia su un piano completamente privo di attrito e viene spinta oriz-zontalmente all’altezza del centro del disco stesso.

Figura 4.4: Traslazione pura

Dal punto di vista energetico in questo caso la ruota di massa m ha un’energia cinetica dovuta solodalla componente di traslazione e data dall’espressione:

Ec =1

2mv2



Rotazione pura

In questo capitolo abbiamo introdotto un modo per descrivere la rotazione di un corpo rigido dalpunto di vista della sua dinamica. Il moto di rotazione piu semplice per un corpo rigido e chiamatorotazione pura ed e la rotazione attorno ad un fulcro, senza considerare l’attrito sul fulcro stesso.Immaginiamo per esempio di far ruotare la ruota di una bicicletta sollevandola da terra. In figura(4.5) e descritto il moto del disco quando la rotazione avviene attorno al centro di massa: il centrodi massa resta fermo, mentre tutti i punti del disco hanno la stessa velocita angolare (costante ovariabile che sia). La velocita tangenziale di ogni punto materiale del disco e quindi sempre tangentealla circonferenza di centro il centro di massa e raggio la distanza tra centro e posizione del puntomateriale stesso: a parita di distanza dal centro il modulo della velocita tangenziale e sempre la stessa.

Figura 4.5: Rotazione pura

Dal punto di vista energetico in questo caso la ruota ha un’energia cinetica dovuta solo dalla compo-nente di rotazione e data dall’espressione:

Ec =1

2Iω2

con I il momento d’inerzia del disco ed ω la velocita angolare di ogni punto del disco stesso.

Rotolamento puro

Il moto di rotolamento puro e la combinazione dei due moti visti in precedenza, possiamo immaginarlocome il moto della ruota di una bicicletta quando e completamente assente lo scivolamento della ruotasul terreno: il punto di contatto tra ruota e terreno e sempre in quiete. La figura (4.6) illustra la si-tuazione della velocita di alcuni punti della ruota: e semplicemente la somma vettoriale delle velocita



Figura 4.6: Puro rotolamento

dei due casi precedenti.

Dal punto di vista energetico in questo caso la ruota ha un’energia cinetica dovuta sia alla componentedi traslazione che a quella di rotazione e data quindi dall’espressione:

Ec =1

2mv2

cm +1

2Iω2

4.5 Parallelismo tra dinamica traslatoria e rotatoria

In questo capitolo abbiamo studiato la dinamica rotatoria dei corpi rigidi ed abbiamo potuto notarecome ci siano moltissime analogia formali e concettuali tra la dinamica rotatoria e quella traslatoriagia studiata in precedenza. La tabella (4.5) le riassume ed evidenzia, i diversi simboli sono gli stessiutilizzati in precedenza pertanto non necessitano ulteriori spiegazioni. E invece importate rifletteresulla portata di tale osservazione: sembra proprio vero che l’Universo sia scritto in termini matematici(Galilei, 1623)!!! Ed e interessante e sconvolgente da certi punti di vista come leggi fisiche descrivonoconcetti analoghi siano descritte allo stesso modo in termini matematici: ad esempio la relazione causaeffetto e la definizione di inerzia trovano in ~F = m~a e ~M = I~α, due equazioni che differiscono solo peril nome dato alle variabili, la loro espressione matematica o l’espressione del teorema di conservazionedi grandezze fisiche diverse tra loro ha la stessa forma matematica. Questo fa davvero pensare almistero della capacita della matematica nel descrivere la natura ed all’estrema armonia e simmetriapresente nelle leggi che regolano il nostro universo.



Moti traslatori Moti rotatori

~s θ

~v ~ω

~a ~α = d~ωdt

~F ~M

m I

~F = m~a ~M = Iα

~q = m~v ~L = I~ω

~F = d~qdt

~M = d~Ldt

~F = ~0⇒ ~q = ~k ~M = ~0⇒ ~L = ~k

L = ~F · ~s L = Mθ

P = ~F · ~v P = Mω

Ec = 12mv

2 Ec = 12Iω

2

Tabella 4.1: Parallelismo tra le quantita della dinamica traslatoria e quelle della dinamica rotatoria

4.6 Equazioni cardinali della dinamica

Sappiamo che ai fisici piace molto la sintesi e l’idea di descrivere il maggior numero di fenomeni naturalicon il minor numero di equazioni e un punto fisso per le comunita scientifiche in tutta la storia dellafisica; concludiamo quindi il capitolo mettendo in evidenza le due equazioni piu importanti tra quelleviste, quelle che mettono in relazione le cause della variazione delle quantita che in assenza di questecause resterebbero costanti, che chiamiamo equazioni cardinali della dinamica poiche a partire daqueste possiamo definire i teoremi di conservazione e ricostruire tutta la dinamica vista fin’ora:

~F =d~q

dt(4.6.1)

~M =d~L

dt(4.6.2)



4.7 Esercizi

1. Si calcoli il momento angolare della terra nel suo moto di rivoluzione attorno al sole.

[L = 2, 6× 1040 kg m2/s]

2. Si calcoli il momento angolare della terra nel suo moto di rotazione; si approssimi la terra aduna sfera rotante attorno ad un suo diametro.

[L = 7× 1027 kg m2/s]

3. Si calcoli il momento angolare di un disco 33 giri, nell’ipotesi che la sua massa sia m = 180 g.

[L = 7× 10−3 kg m2/s]

4. Un motore e in grado di erogare una coppia di intensita 200 Nm per un massimo di 3,5 secondi.Di quanto varia il momento angolare dell’albero cui il motore e collegato?

[∆L = 700 kg m2/s]

5. Un disco di massa m = 5 kg e raggio R = 30 cm inizia a ruotare attorno al suo asse. In 10secondi passa da una velocita angolare ωi = 3 rad/s ad una velocita angolare ωf = 6 rad/s.Qual e l’intensita del momento torcente che ha causato questa accelerazione?

[M = 0, 07 Nm]

6. Un disco di massa m = 10 kg e raggio R = 50 cm sta ruotando alla frequenza ν = 2 Hz. Si fermaper effetto delle forze d’attrito in 4 secondi. Qual e l’intensita del momento torcente applicatodalle forze d’attrito sul disco?

[M = 3, 9 Nm]

7. Un giocatore di pallacanestro fa ruotare la palla su un dito finche la palla gira ad una frequenzasuperiore a ν = 30 Hz. Supponendo che inizi a far girare la palla con una velocita angolareωi = 250 rad/s, e che l’attrito agisca sulla palla con un momento torcente di modulo M = 5Nm, per quanto tempo riuscira il giocatore a far ruotare la palla sul suo dito? Si supponga lapalla una sfera (piena) perfetta di massa M = 600 g e raggio R = 24 cm.

[∆t = 0, 17 s]

8. Che momento torcente deve applicare un ragazzo per far ruotare le sue due bolas (m = 200g l’una) facendo raggiungere loro una velocita ω = 4 rad/s in 15 secondi? Si supponga che lebolas siano sfere perfette che si trovano alle estremita di un cordino lungo 1,2 m, fatto ruotaretenendone il centro in mano.

[M = 0, 04 Nm]

9. Uno scienziato vuole conoscere il momento d’inerzia di uno strano oggetto, rispetto almeno unodei suoi assi di simmetria. Ha l’idea di iniziare a farlo ruotare attorno all’asse prescelto, perriuscire nel suo intento. Rispetto la rotazione osservata riesce a misurare: il momento tor-cente applicato, M = 40 Nm, la durata dell’esperimento ∆t = 10 s, la frequenza finale ν = 3



Hz (l’oggetto partiva da fermo) Quale sara la sua conclusione sul momento d’inerzia dell’oggetto?

[I = 21 kg m2/s2]

10. Una sbarra omogenea di lunghezza l = 2 m e massa m = 800 g si trova appesa in posizione verti-cale. Un ragazzo inizia a farla ruotare attorno al punto in cui e appesa applicando un momentotorcente costante M = 40 Nm per un tempo t = 2 s. Quale sara la velocita angolare raggiuntadalla sbarra?

[ω = 75 rad/s]

11. Un disco di ghiaccio omogeneo (r = 20 cm, m = 200 g) sta ruotando ad una velocita angolareωi = 10 rad/s. Per effetto degli attriti il disco inizia a sciogliersi e perdere massa. Supponendoche sciogliendosi sia sempre approssimabile ad un disco omogeneo dello stesso raggio, si calcolila massa del disco quando il disco raddoppia la sua velocita angolare.

[m = 100 g]

12. Un tuffatore per aumentare la sua velocita angolare e riuscire a fare il tuffo previsto dal suo nu-mero si piega su se stesso dimezzando la distanza massima del suo corpo da centro di rotazione.Se la sua massima velocita angolare raggiunta prima di piegarsi e ω1 = 2 rad/s, quale sara lasua velocita angolare dopo il piegamento?

[ωf = 8 rad/s]

13. Un giocoliere sta facendo ruotare sopra la sua testa una pallina legata all’estremita di una cordalunga l = 80 cm, di massa m = 500 g e raggio trascurabile, alla frequenza ν = 20 Hz. Peraumentare la velocita angolare della pallina fino a ωf = 200 rad/s senza applicare momentotorcente cosa deve fare?

[ridurre la lunghezza della corda fino ad un valore lf = 63 cm]

14. Una freccetta di massa m = 25 g che si muove con la velocita vf = 50 m/s si conficca tangenzial-mente sul bordo di un disco fermo di massa M = 500 g e raggio R = 20 cm. Si trovi la velocitaangolare finale del sistema disco/freccetta.

[ωf = 22, 7 rad/s]

15. Un cilindro vuoto di massa m = 500 g sta ruotando attorno al suo asse con una velocita angolareωi = 10 rad/s. Il cilindro viene riempito di un certo materiale ad un ritmo di 20 grammi al se-condo. Dopo quanto tempo la velocita angolare raggiungera il valore ωf = 3 rad/s? Si suppongache l’operazione di riempimento del cilindro avvenga senza imprimere un momento torcente alsistema.

[t = 58 s]

16. Si risolva l’esercizio (14) nel caso in cui il disco non sia inizialmente fermo ma stia ruotando, converso concorde alla velocita della freccetta, con una velocita angolare ωi = 0, 5 rad/s.

[ωf = 0, 52 rad/s]



17. Si risolva l’esercizio (14) nel caso in cui il disco non sia inizialmente fermo ma stia ruotando, converso opposto alla velocita della freccetta, con una velocita angolare ωi = 0, 5 rad/s.

[ωf = 0, 47 rad/s]

18. La figura (18) mostra dall’alto una palla di pongo (m = 200 g) che sta per colpire una portainizialmente ferma (di lunghezza totale L = 50 cm e massa M = 5 kg). Nell’ipotesi che la pallaresti attaccata alla porta dopo l’urto, si calcoli la velocita angolare finale del sistema palla/porta.

Figura 4.7: .

[ωf = 4, 6 rad/s]

19. Come cambia in percentuale la velocita angolare di un tagada (M = 2000 kg) se le 10 persone(m = 60 kg) a bordo si spostano dal bordo (R = 3 m) al centro della giostra?

[aumenta del 60%]

20. Un cilindro di massa M = 1 kg e e volume V = 5 l sta ruotando attorno al suo asse pieno diuna massa m = 2 kg d’acqua ad una velocita angolare ω = 3 rad/s. Ad un certo punto si apreun foro sul fondo del cilindro e l’acqua inizia ad uscire al ritmo di r = 0, 2 kg/s. Quale sara lavelocita angolare ω1 del cilindro dopo un tempo t = 5 s? Quale sara la velocita angolare ω2 delcilindro quando tutta l’acqua e fuoriuscita dal foro?

[ω1 = 4, 5 rad/s; ω2 = 9 rad/s]



21. Quanto lavoro fa il motore di un’auto di momento d’inerzia I = 1500 kgm2 che fornisce unacoppia M = 200 Nm per 12 secondi?

[L = 1920 J]

22. Quanto lavoro fa il motore di un’auto di momento d’inerzia I = 1500 kgm2 che fornisce unacoppia M = 200 Nm per raggiungere la velocita angolare finale ωf = 5 rad/s?

[L = 18750 J]

23. Su un volano di momento d’inerzia I = 200 kgm2 agisce una coppia di forze costante che faun lavoro L = 300000 J. Qual e la frequenza iniziale νi del volano se la frequenza raggiunta eνf = 50 Hz?

[νi = 49, 2 Hz]

24. Quanto lavoro devono fare gli attriti per fermare la rotazione di un cilindro di massa M = 30kg e raggio R = 50 cm che ruota attorno al suo asse con velocita angolare ω = 1, 5 rad/s?

[L = 8, 4 J]

25. Una pallina sferica di massa m = 200 g e raggio r = 20 cm viene lanciata in orizzontale com-piendo un lavoro L = 1900 J. Supponendo che non ci siano attriti qual e la sua velocita angolare,prima che l’effetto della gravita diventi non trascurabile, se la sua velocita e v = 100 m/s?

[ω = 750 rad/s]

26. Si calcoli l’energia totale di un asta sottile (M = 200 kg, l = 30 cm) che sta ruotando allafrequenza ν = 50 Hz attorno ad uno dei suoi estremi senza traslare.

[E = 296 kJ]

27. Si calcoli l’energia totale di un cilindro (M = 2 kg, R = 20 cm) che, facendo un moto di purorotolamento, percorre 3 metri in 2 secondi.

[E = 3, 4 J]

28. Si risolva il problema (30) nel caso in cui a muoversi sia una sfera della stessa massa e dellostesso raggio del cilindro. Si commenti il risultato.

[E = 3, 2 J]

29. Si calcoli la variazione di energia nel processo fisico descritto dal problema (18).

[∆E = −59, 3 J]

30. Un cilindro (M = 5 kg, R = 30 cm) viene lasciato scivolare lungo un piano inclinato (α = π/6rad) da un’altezza h = 3 m. Quale sara la sua velocita angolare nel momento in cui raggiungeil fondo del piano inclinato? Si supponga un moto di rotolamento puro per il cilindro.

[ω = 21 rad/s]



31. Si risolva il problema (30) nel caso in cui a cadere sia una sfera della stessa massa e dello stessoraggio del cilindro. Si commenti il risultato.

[ω = 22 rad/s]

32. Un’asta sottile omogenea di massa m = 2 kg e lunga l = 1, 2 m si trova in posizione verticalequando viene leggermente spostata dalla posizione di equilibrio instabile in cui si trovava. Sicalcoli la velocita del suo punto estremo (il piu alto nel momento in cui si trova in posizionedi equilibrio) un attimo prima di toccare terra. Come cambia il risultato se la massa dell’astadovesse raddoppiare?

[v = 3 m/s; il risultato non dipende dalla massa dell’asta]

33. Quanto lavoro devono fare le forze d’attrito per fermare un disco di massa m = 10 kg che starotolando con un moto di puro rotolamento di velocita vcm = 15 m/s?

[L = 1687, 5 J]

34. Qual e la massima altezza raggiunta da un’asta sottile di massa m = 200 g e lunghezza l = 30cm lanciata verso l’alto con velocita vcm = 5 m/s e frequenza di rotazione attorno al suo centrodi massa ν = 3 Hz, nell’ipotesi che non agiscano attriti sul sistema e che nel punto piu alto l’astanon ruoti.

[h = 1, 4 m]

35. Un giocatore di golf colpisce la pallina con una forza media Fm = 200 N per un intervallo ditempo ∆t = 20 ms. Calcola la massima altezza raggiunta dalla pallina se la pallina puo essereapprossimata con una sfera di raggio r = 5 cm e massa m = 100 g, la velocita iniziale dellapallina forma un angolo α = 60◦ con l’orizzontale e la velocita angolare sia data nell’ipotesiche la pallina qualche istante dopo il lancio inizi a ruotare con una velocita angolare come se lapallina facesse un moto di puro rotolamento in aria senza variare la velocita del centro di massae lo mantenga poi costante.

[h = 28, 6 m]

36. Find the angular momentum of the moon in its revolution around the earth.

[L = 2, 9× 1034 kg m2/s]

37. Find the angular momentum of the moon in its rotation. Approximates the moon to a sphererotating around its diameter.

[L = 2, 9× 1024 kg m2/s]

38. Find the mass of a wheel (R = 40 cm) that is accelerating from ω1 = 0 rad/s to ω2 = 5 rad/s in25 seconds under the action of a torque M = 20 Nm.

[m = 1250 kg]

39. Find the total mechanical energy of the earth in its revolution around the sun and in its rotationaround its diameter.



[ET = 1, 5× 1053 J]

40. A rope is wrapped around a cylinder (M = 125 kg, R = 50 cm), with a fixed frictionless axis.The other end of the rope is tied to a block (M = 10 kg). What is the angular acceleration acof the cylinder? What is the linear acceleration ab of the block? Assume that the rope does notslip on the cylinder.

[ac = 2, 7 rad/s2, ab = 1, 4 m/s2]


CAPITOLO 5. GRAVITAZIONE UNIVERSALE

Capitolo 5

Gravitazione universale

Nel 1687, nel suo libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, lo stesso in cui enuncio le treleggi della dinamica, Newton enuncio la legge di gravitazione universale. Parlando di forza gravita-zionale e legge di gravitazione universale non possiamo non accennare al ruolo che ebbe questa leggenella storia della fisica e nell’evoluzione dalla cosmologia aristotelica alla cosmologia moderna.

La legge di Newton si pone come la formalizzazione matematica della rivoluzione Copernicana, icui protagonisti furono tra gli altri Copernico (Torun, 1473 - Frombork, 1543), Ticho Brahe (Castellodi Knutstorp, 1546 - Praga, 1601), Keplero (Weil der Stadt, 1571 - Ratisbona, 1630), Galileo e New-ton, che sostituı alla visione di Aristotele (Stagira, 384-83 a.C. - Calcide, 322 a.C) e Tolomeo (Pelusio,100 - 175) di un universo geocentrico la visione moderna di un universo in cui la terra non e altroche un pianeta di una stella come molte altre, il sole. La teoria Newtoniana fu considerata la correttadescrizione dell’universo per piu di 200 anni, quando Einstein formulo la relativita ristretta prima,nel 1905, e la relativita generale poi, nel 1916, teorie che misero le basi per una nuova concezionedell’universo e la cosmologia come studiata al giorno d’oggi.

Anche per il nostro corso questa teoria riveste un’importanza particolare: rappresenta infatti la primateoria fisica, come intesa da metodo sperimentale studiato al primo anno, che affrontiamo; per laprima volta metteremo assieme le nozioni di cinematica e dinamica studiate fin qui per descrivere unfenomeno naturale di primissima importanza nell’universo come la gravitazione. Prima di entrare neidettagli della teoria di Newton e doveroso ed importante fare qualche accenno ai pensatori gia citatiche contribuirono alla formalizzazione di questa teoria.

5.1 Le leggi di Keplero

Keplero analizzo ed interpreto i dati raccolti da Tycho Brahe in due libri nei quali sono contenutele famose tre leggi di Keplero (Kepler, 1609, 1619). Queste leggi nate da un’attentissima analisi diuna mole enorme di dati e rilette con la convinzione che l’universo debba rispondere ad un’esigenzadi armonia dei corpi celesti sono state tra le premesse fondamentali per la teoria Newtoniana dellagravitazione, come vedremo in seguito.

5.1.1 La prima legge di Keplero

La prima legge di Keplero asserisce che, come descritto dalla figura (5.1) ogni pianeta del sistemasolare compie un’orbita ellittica in cui il sole e uno dei due fuochi.



Figura 5.1: Prima legge di Keplero: S e il sole, P uno qualsiasi dei suoi pianeti.

Pianeta Eccentricita dell’orbita

Mercurio 0,205

Venere 0,007

Terra 0,017

Marte 0,094

Giove 0,049

Saturno 0,057

Urano 0,046

Nettuno 0,011

Tabella 5.1: Eccentricita delle orbite ellittiche dei pianeti del sistema solare; fonte dei datiNASA/NSSDC http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/

5.1.2 La seconda legge di Keplero

Le seconda legge di Keplero asserisce che ogni pianeta del sistema solare nella sua orbita spazza areeuguali in tempi uguali. Come illustrato anche in figura (5.2) questa legge ha diretta conseguenza sullevelocita dei pianeti nelle diverse parti dell’orbita: essi avranno velocita minore nelle aree piu lontanedal sole, velocita maggiori nelle aree piu vicine ad esso; il punto di velocita massima, quello dell’orbitapiu vicino al sole si chiama perielio, quello di velocita minima e massima distanza dal sole afelio


http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/


Figura 5.2: Seconda legge di Keplero: S e il sole, P uno qualsiasi dei suoi pianeti.

5.1.3 La terza legge di Keplero

La terza legge di Keplero asserisce che per ogni pianeta del sistema solare resta costante il rapportotra il quadrato del suo periodo di rotazione attorno al sole e il cubo del semiasse maggiore dell’orbita:

T 2

a3= k

5.2 La legge di gravitazione universale

Riportiamo qui una giustificazione matematica della legge che Newton propose come sintesi di tuttele osservazioni ed i ragionamenti fatti dagli scienziati vissuti dalla meta del 1400 in poi: cercheremo dicomprendere il motivo della forma che la forza gravitazionale assume. Il grande merito di Newton fuquello di riuscire a dimostrare matematicamente quello che alcuni astronomi avevano intuito, assiemeal coraggio di ipotizzare che il tipo di forza che fa cadere un oggetto da un tavolo sulla terra sia lastessa che fa ruotare la luna attorno al nostro pianeta o un pianeta attorno alla sua stella: la leggedi gravitazione universale che segue e l’esempio di una delle generalizzazioni fisico-matematiche piuimportanti della storia della scienza.

Dalla tabella (5.1.1) possiamo notare come le eccentricita dei pianeti del sistema solare siano tut-te molto piccole: possiamo quindi pensare che l’approssimazione delle orbite ellittiche dei pianeti conorbite circolari possa essere una buona approssimazione. L’ipotesi fatta ci aiuta dal punto di vista ma-tematico nel trovare l’espressione della forza di gravitazione universale, ma non ne modifica la forma;ragioneremo in seguito sulla forma delle traiettorie di corpi sotto l’effetto della forza gravitazionale.Faremo quindi riferimento alla figura (5.3) per i calcoli che seguono.La forza che il sole applica sul pianeta, per la seconda legge di Newton deve essere uguale alla massadel pianeta mP moltiplicata per la sua accelerazione:

~FSP = mP~aP



Figura 5.3: S e il sole mentre P uno qualunque dei pianeti del suo sistema, nell’approssimazione diorbita circolare. ~FSP e la forza che il sole applica sul pianeta, mentre ~FPS e la forza che il pianetaapplica sul sole.

Ipotizzando il moto del pianeta circolare uniforme di raggio R e periodo T 1 si ha aP = v2P /R =

4π2R/T 2, che porta ad una forza di attrazione centripeta

FSP = mp4π2R

T 2. (5.2.1)

Fino a questo punto la dinamica descritta non ha nulla a che vedere con la gravitazione od il sistemasolare, e semplicemente la dinamica di un corpo che si muove di moto circolare uniforme; inserendopero nell’equazione (5.2.1) la terza legge di Keplero (5.1.3) si ottiene

FSP =4π2

kS

mP

R2, (5.2.2)

dove kS e la costante che caratterizza tutti i pianeti che ruotano attorno al sole. Notiamo che laforza con cui il sole attrae un pianeta e direttamente proporzionale alla massa del pianeta stesso edinversamente proporzionale al quadrato della distanza tra pianeta e sole. L’equazione (5.2.2) e dunquevalida come legge di gravitazione per tutti i pianeti che compiono un moto di rivoluzione attorno allastella che chiamiamo sole; l’idea che evidenzio tutta la genialita di Newton fu quella di ipotizzareche la natura di questa forza fosse la stessa per tutte le masse, ovvero ipotizzare che prese comunquedue masse m1 ed m2 esse si attraggano con una forza diretta lungo la congiungente le due masse conun’intensita direttamente proporzionale alle masse ed inversamente proporzionale al quadrato dellaloro distanza.

Per capire come puo essere fatta questa forza torniamo alla descrizione del sistema sole-pianeta: se

1Nella nostra esperienza possiamo dire che la terra compie un giro attorno al sole sempre nello stesso tempo, chedefiniamo essere un anno solare.



il sole applica una forza ~FSP sul pianeta, significa che per il terzo principio della dinamica il pianetadeve applicare sul sole una forza uguale e contraria ~FSP = −~FPS . Se immaginiamo di descrivere ilsistema da un riferimento solidale con il pianeta possiamo immaginare che la forza di cui risente il solesia del tipo

FPS =4π2

kP

mS

R2, (5.2.3)

dove kP ora e la costante della terza legge di Keplero per un sistema che ruota attorno al pianeta P .Gia in questo ragionamento vediamo la generalizzazione che necessaria per poter costruire una teoriauniversale della gravitazione, le leggi di Keplero sono leggi osservative valide in linea di principiosolamente per il sistema in cui i pianeti ruotano attorno al sole, noi stiamo immaginando che sianovalide per qualsiasi sistema gravitazionale. Vale dunque:

~FSP = −~FPS4π2

kP

mS

R2=

4π2

kS

mP

R2

mS

kP=

mP

kSmSkS = mPkP

possiamo quindi definire una costante piu generale k = mSkS = mPkP da poter inserire nelle formule(5.2.2) e (5.2.3), ottenendo:

FSP =4π2

k

mSmP

R2

FPS =4π2

k

mSmP

R2.

L’intuizione di Newton fu quella di assumere 4π2/k come costante universale, la costante di gra-vitazione universale G e dire che due masse qualsiasi m1 ed m2 si attraggono con una forza deltipo:

~F = Gm1m2

r2r (5.2.4)

La costante di gravitazione universale fu calcolata per la prima volta da Henry Cavendish (Nizza,1731 - Londra, 1810) con l’utilizzo di una bilancia a torsione (Cavendish, 1798), ed al giorno d’oggi siassume essere

G = 6, 67 · 10−11 Nm2

kg2 (5.2.5)

5.3 Il concetto di campo

Parlando di forza gravitazionale ci troviamo per la prima volta di fronte al concetto di campo in fisica.Questo concetto e di fondamentale importanza per il ruolo che ha nell’impostazione di tutta la fisicamoderna, e per questo cercheremo di darne una semplice spiegazione in queste righe. Il concetto dicampo nasce in fisica per dare una spiegazione plausibile ad un fatto provato ma di difficile spiegazione:esistono delle forze a distanza, ovvero che agiscono senza bisogno di contatto, di un mediatore chefaccia imprimere la forza da un corpo ad un altro. Una forza di contatto e semplice da comprendere:studiando il fenomeno del calcio di punizione di un calciatore ad esempio, e facile capire come ilgiocatore riesca ad imprimere una certa forza sul pallone: colpendola tramite il piede e lo scarpino!Ma se lasciamo cadere una penna dalla mano, come fa la terra a ”comunicare” alla penna di dirigersi



verso il centro della terra con una ben definita accelerazione ~g? Nella storia della scienza, fino agli studidi Newton sulla gravitazione, tutti gli scienziati ed i filosofi erano fermamente convinti che una forzadovesse necessariamente essere forza di contatto; con la formalizzazione della legge di gravitazioneuniversale invece si ebbe la prima teorizzazione di una forza a distanza: questo fatto fu difficilmentedigerito dalla comunita scientifica e trovo completa soluzione solo con la formalizzazione del concettodi campo di forza dopo gli studi sull’elettromagnetismo alla fine del XIX secolo. Per capire di checosa si tratta torniamo all’esempio precedente: come fa la penna a ”sapere” come muoversi versola terra? L’idea fondamentale e che la terra, per il solo fatto di esistere, modifica lo spazio nel suointorno, in modo da far percepire a tutte le masse circostanti la sua presenza; in che modo? Tramite ilcampo gravitazionale. La modifica dello spazio da parte di una massa puo essere descritta dalla figura(5.4). Modificando lo spazio intorno a se di fatto la massa sta lasciando delle informazioni sul tipo di

Figura 5.4: Nella figura e raffigurato in basso lo spazio senza masse: un piano, un’infinita distesapiatta; immaginando di posizionarsi in questa distesa tutti i punti sono equivalenti: non vi e differenzaalcuna nel posizionarsi in uno qualsiasi dei punti del piano. Nella figura in alto invece e raffiguratolo spazio modificato da una massa; non c’e piu un piano, lo spazio non e piu uguale a se stesso inogni punto: posizionarsi in un punto non equivale a posizionarsi in un qualsiasi altro, la massa hamodificato lo spazio intorno a se!

forza (per questo campo di forze) di cui risentira un’altra massa nel caso in cui dovesse posizionarsiin una certa posizione: ~F = m~g, dove ~F e la forza, m la massa “di prova” (l’ipotetica massa che sitrova nelle vicinanze della massa “sorgente”, che genera il campo) e ~g il campo. In questo modo efacile capire come si risolve, per lo meno da un punto di vista concettuale, il problema della forza adistanza: il “mediatore” della forza, cio che permette alla forza di essere impressa da un corpo adun altro, e il campo stesso. Il campo e dunque un vettore che in ogni punto dello spazio circostantela sorgente da l’informazione sul tipo di forza (modulo, direzione e verso) di cui risentira una massacollocandosi in quel punto dello spazio. Ogni qual volta ci si trova in presenza di una forza a distanzasi definisce il relativo campo che funziona sempre nello stesso modo, dando l’informazione di forza adogni punto dello spazio, come descritto in figura(5.5); cio che cambia da caso a caso sono le sorgentidella forza: nel caso gravitazionale sono le masse, nel caso elettrico (che non abbiamo ancora studiato)sono le cariche, e cosı via. Dal punto di vista matematico un campo di forze e una funzione cheassocia ad un vettore tridimensionale (la posizione nello spazio (x,y,z)) un vettore tridimensionale (ilcampo stesso). Abbiamo definito un campo di forze, in quanto si tratta in fisica di una quantita di



Figura 5.5: Con ~C e indicato un campo generico, generato da una certa proprieta della materia,identificata con p (massa, carica,...). La figura mostra l’effetto generale di un campo di forza: essoda l’informazione di forza per ogni corpo dotato della proprieta p. Il vettore campo dipende dal puntodello spazio in cui si trova, per cui l’informazione e relativa alla forza di cui risentirebbe un corpo inquel determinato punto dello spazio.

importanza molto rilevante, ma in modo analogo si possono definire campi di velocita, di accelerazione,o di qualsiasi quantita vettoriale di interesse. Nella fisica moderna il concetto di campo assume unruolo fondamentale, in quanto dal punto di vista concettuale un campo di forza porta con se tuttele informazioni legate alla forza a prescindere dal soggetto che “subisce” la forza stessa: a differenzadella fisica classica e del percorso che abbiamo seguito, per cui prima si studia la forza e poi si ricava ilcampo relativo, in fisica moderna ogni qual volta si voglia studiare un interazione se ne studia primail campo ed in seguito si focalizza sulla forza che esso genera.

5.3.1 Linee di campo

Spesso rappresentare un campo vettoriale puo essere complesso e poco chiaro: i vettori si accavallanoe non si capisce l’andamento reale del campo. Per questo motivo si utilizza una convenzione assodatanel tempo per rappresentare i campi di forza in fisica: le linee di campo. Le linee di campo sonodelle linee che vengono tracciate nel piano o nello spazio con lo scopo di rappresentare graficamentel’andamento del campo. Esistono delle semplici regole per disegnarle:

1. Le linee di campo sono fatte in modo tale che il campo sia sempre tangente ad esse;

2. La densita di linee di campo e direttamente proporzionale all’intensita del campo;

3. Le linee di campo sono orientate secondo l’orientazione del campo stesso.

In figura(5.6) vediamo un chiaro esempio di linee di campo: le linee di campo gravitazionale generateda una massa M .



Figura 5.6: Linee di campo gravitazionale generate da una massa m

5.4 Il campo gravitazionale

Nel caso gravitazionale dunque, unendo la legge di gravitazione universale con la (5.5) otteniamo laseguente espressione per il campo, che chiameremo ~g:

~g = Gm

r2r (5.4.1)

Notiamo come le unita di misura del campo gravitazionale siano N/kg ovvero m/s2, il campo gravita-zione e un’accelerazione, come possiamo dedurre anche dal confronto tra la relazione generale (5.5) ela seconda legge della dinamica. Una delle applicazioni per noi piu interessanti dell’equazione (5.4.1)e la sua applicazione alla terra: proviamo a calcolare quanto vale il campo gravitazionale terrestre equanto cambia ad esempio passando dal livello del mare alla cima del monte Everest (h=8848m):

~g(r = RT ) = GMT

R2T

r = 6, 67 · 10−11 5, 97 · 1024

(6, 37 · 106)2r = 9, 81r (5.4.2)

~g(r = RT + h) = GMT

(RT + h)2r = 6, 67 · 10−11 5, 97 · 1024

(6, 37 · 106 + 8, 848 · 103)2r = 9, 78r (5.4.3)

(5.4.4)

Nel calcolo non abbiamo riportato le unita di misura per non appesantire la notazione, resta veral’osservazione fatta precedentemente per cui l’unita di misura del campo gravitazionale e quella diun’accelerazione. Come possiamo notare l’affermazione che abbiamo sempre utilizzato fin’ora l’accele-razione di gravita vale 9,81 m/s2 su tutta la superficie terrestre e senz’altro una buona approssimazioneanche considerando la legge di gravitazione universale di Newton, il valore del campo varia dal livellodel mare alla cima del monte piu alto della terra solamente dello 0,3%: per la maggior parte dei feno-meni naturali che osserviamo quotidianamente od esperimenti che possiamo immaginare di compierein un laboratorio terrestre g e considerabile costante!



5.5 L’energia potenziale gravitazionale

Quando un fisico si trova di fronte ad una nuova forza una delle prime domande che sorgono nella suamente e: la forza che sto considerando e conservativa? Posso trovare un’espressione per la sua energiapotenziale? Vedremo in queste righe come la forza gravitazionale e una forza conservativa e daremol’espressione dell’energia potenziale gravitazionale. A differenza dei casi di forze studiate durante loscorso anno e riprese anche nel capitolo (1) la forza gravitazionale ha un’espressione matematica taleper cui non siamo ancora i grado di affrontare la dimostrazione completa dell’espressione che scri-veremo: daremo qui una giustificazione, speriamo ragionevole, del fatto che la forza gravitazione euna forza conservativa, rimandando al momento in cui nel corso di matematica si affrontera il calcolointegrale una piu soddisfacente dimostrazione.

Immaginiamo di avere una massa m1 che genera un campo gravitazionale in cui la massa m2 sitrova immersa. La massa m2 si trova inizialmente nel punto A ed il nostro proposito e quello di darciragione del fatto che, volendo spostare la massa in un qualsiasi altro punto B dello spazio, il lavoroche la forza gravitazionale compie non dipende dal percorso effettuato dalla massa m2; la situazione edescritta dalla figura (5.7). Cercheremo ora di dare ragione del fatto che il percorso 1 ed il percorso 2

Figura 5.7: Tre possibili percorsi per portare la massa m2 da A e B. Il lavoro fatto dalla forzagravitazionale per spostare la massa m2 dipende dal percorso?

della figura sono equivalenti in termini di lavoro fatto dalla forza gravitazionale, a quel punto dovremocredere che ogni altro percorso e equivalente ad essi, anche il percorso 3, che pur sembra molto diver-so... Per quanto riguarda il percorso 1 possiamo dire che la forza e sempre parallela alla traiettoriae quindi il lavoro, come detto nel capitolo (1) parlando di forze variabili, e dato dall’area della curvadefinita dalla forza dal raggio rA al raggio rB, come illustrato in figura (5.8) Ora basta notare che in



Figura 5.8: Lavoro come area della funzione F (r)

un qualsiasi pezzo di traiettoria circolare con centro m1, come la prima parte del percorso 2, la forzae sempre perpendicolare alla traiettoria (ricordiamo che per intervalli di tempo abbastanza piccolipossiamo confondere la corda che esprime lo spostamento con l’arco di circonferenza che esprime latraiettoria e la tangente alla curva in quel punto): il lavoro in quel tratto di traiettoria e quindi nullo,e nel secondo tratto e sempre dato dall’area di figura (5.8). Abbiamo cosı dimostrato che il lavorodella forza gravitazionale lungo il percorso 1 e uguale al lavoro lungo il percorso 2, ed in generaleuguale a qualsiasi percorso che preveda una combinazione di tratti circolari con centro m1 e trattiradiali. L’atto di fiducia che richiesto ora e quello di credere che sia dimostrabile l’indipendenza dellavoro per ogni percorso che colleghi A e B e che l’espressione che si ottiene per l’energia potenzialegravitazionale e:

U = −Gm1m2

r(5.5.1)

Il lavoro dipende quindi solo dalle distanze iniziale e finale della massa m2 rispetto alla massa m1:

L = −∆U = Ui − Uf = Gm1m2(1

rf− 1

ri) (5.5.2)

5.6 Pianeti e satelliti

In questo paragrafo studieremo come i concetti studiati per la gravitazione universale possono essereutilizzati per analizzare la dinamica di un sistema gravitante a due masse, la prima di massa moltomaggiore della seconda, come puo essere un pianeta con uno dei suoi satelliti (naturali od artificiali)o una stella con un suo pianeta. Affinche un satellite possa gravitare stabilmente attorno alla massa



che lo attrae la forza centripeta gravitazionale ~Fg deve essere bilanciata dalla forza centrifuga ~Fc,come descritto dalla figura (5.9). Dal punto di vista algebrico possiamo immaginare di calcolare la

Figura 5.9: Bilanciamento delle forze in un sistema gravitazionale a due corpi nel sistema di riferimentodel corpo di massa maggiore

relazione tra la velocita e la distanza che il satellite deve avere per rimanere in equilibrio, supponendodi conoscere la massa del corpo che genera il campo gravitazionale sul satellite stesso:

Fc = Fg

mac = GmM

r2

mv2

r= G

mM

r2

mv2

r= G

mM

r2

v =

√GM

r

Dal punto di vista energetico possiamo quindi sfruttare la relazione trovata per calcolare la relazionetra energia totale del sistema e posizione di equilibrio del satellite:

Etot =1

2mv2 −GmM

r=

1

2mGM

r−GmM

r= −1

2GmM

r

5.6.1 I satelliti artificiali della terra

Grazie anche e sopratutto agli studi sulla gravitazione universale l’uomo ha potuto mettere in orbitadei satelliti che gravitano attorno al nostro pianeta ed hanno diverse funzioni, tra le quali sopratuttol’astronomia, la meteorologia, le telecomunicazioni e la navigazione. Il primo satellite artificiale messoin orbita dagli uomini fu il sovietico Sputnik I nel 1957, il piu famoso probabilmente e stato l’HubbleSpace Telescope messo in orbita nel 1990 da una collaborazione tra NASA2 ed ESA3. Le equazioni viste

2l’agenzia spaziale statunitense3l’agenzia spaziale europea



precedentemente mettono in relazione la velocita che devono avere i satelliti con l’altezza rispetto allasuperficie terrestre (h = r − RT ) in cui devono essere posizionati per essere in equilibrio. Particolareimportanza al giorno d’oggi rivestono due tipi di satelliti:

• Geostazionari:si definiscono in questo modo satelliti che hanno un’orbita circolare posta sul piano definitodall’equatore, con periodo di rivoluzione uguale al periodo di rotazione della terra in modo taleda apparire in posizione fissa da un osservatore solidale con il sistema terrestre. Per avere taleperiodo essi devono essere ad un distanza dalla superficie terrestre pari ad h = 35863km:

v =

√GM

r∧ v =

2πr

Trot=⇒ r =

3

√GMT 2

rot

4π2=⇒ h =

3

√GMT 2

rot

4π2−RT

• Polari:si definiscono in questo modo satelliti che hanno un’orbita che attraversa i poli; sono studiati inmodo da sorvolare sempre aree differenti sotto di se, acquisendo immagini o video della partedi pianeta sotto di se. Essi si trovano tipicamente ad altezze non molto elevate, attorno ai 1000km di altitudine rispetto al livello del mare.

5.7 Traiettorie ed energia

Abbiamo gia notato come l’energia totale di un sistema gravitante a due corpi pianeta-satellite haenergia totale negativa: in questo paragrafo studieremo la relazione esistente tra energia di un sistemagravitante a due corpi e traiettoria dei corpi del sistema. Per semplicita considereremo sempre uno deidue corpi molti piu massiccio del secondo, in modo da poter considerare inerziale un sistema solidalecon esso. Immaginiamo per esempio di lanciare un oggetto di massa m dalla superficie terrestre.Il sistema considerato e conservativo, ci e conveniente quindi avere la descrizione dell’energetica delsistema stesso: esso ha energia potenziale

Ug = −GmMRT

(con M la massa ed RT il raggio del pianeta terra) ed un energia cinetica

Ec =1

2mv2

, con v la velocita iniziale della massa lanciata. La quantita totale di energia del sistema e dunque

Etot =1

2mv2 −GmM

RT

, composta evidentemente dalla differenza di due quantita positive. Siamo dunque di fronte a trepossibilita:

• Etot > 0:in questo caso man mano che la massa si muove allontanandosi dalla terra sia la sua energiacinetica che l’energia potenziale del sistema si avvicinano a zero; per la conservazione dell’energiaesistera un momento in cui l’energia potenziale si annullera e al corpo restera solamente energiacinetica: esso dunque sara libero dall’influenza gravitazionale terrestre e si potra muovere nellospazio. Chiameremo un sistema di questo genere aperto.



• Etot < 0:in questo caso invece esistera un momento in cui l’energia cinetica si esaurira con una certaquota di energia potenziale: il corpo ricadra dunque verso la superficie terrestre. Chiameremoun sistema di questo genere legato.

• Etot = 0:il caso limite definisce la cosiddetta velocita di fuga, la minima velocita che deve avere il corpoper liberarsi dall’influenza gravitazionale terrestre (o del pianeta in cui si trova). Imponendol’equazione Etot = 0 si trova vfuga =

√2GM/RT = 11200m/s.

In generale diremo che un sistema gravitazionale con energia totale negativa e un sistema legato, icui elementi cioe continueranno a gravitare gli uni attorno agli altri ed in generale sono attratti gli unidagli altri, mentre un sistema con energia totale positiva e un sistema i cui elementi tenderanno adallontanarsi gli uni rispetto agli altri. Questa regola che non abbiamo giustificato matematicamente ingenerale puo essere considerata valida per tutte le forze la cui energia potenziale si annulla quando ladistanza tra i corpi che risentono della forza tende ad essere molto grande: sistemi con energia totalenegativa sono in generale sistemi attrattivi e sistemi con energia totale positiva sono in generale sistemirepulsivi. Proseguendo con il corso di fisica vedremo l’applicazione di questa regola anche studiandol’elettrostatica.

E interessante a questo punto far notare come da un punto di vista matematico le diverse possibiliorbite di un sistema gravitazionale siano tutte curve coniche, che come sappiamo furono introdottedal matematico greco Apollonio tra il terzo ed il secondo secolo avanti Cristo. Lo studio delle conichedopo le analisi degli studiosi greci fu sostanzialmente abbandonato per piu di un millennio quandoKeplero ebbe l’intuizione e fece lo sforzo di analizzarle come possibili curve con cui interpretare idati ereditati da Brahe. Keplero compı moltissimi studi matematici sulla natura delle coniche e leloro eccentricita e riuscı ad affermare la sua prima legge, in seguito la formalizzazione della dinamicadi sistemi gravitazionali dimostro come il campo gravitazionale generi in modo naturale traiettorieconiche a seconda delle caratteristiche di partenza del sistema.



5.8 Esercizi

1. Si calcoli la forza con cui la terra e attratta dal sole.

[F = 3, 3× 1022 N]

2. Si calcoli la forza con cui la luna e attratta dalla terra.

[F = 1, 97× 1020 N]

3. Qual e la forza di attrazione gravitazionale tra due persone di massa m = 80 kg alla distanza diun metro l’una dall’altra?

[F = 4, 3× 10−7 N]

4. Due masse m1 = 10 kg ed m=25 kg sono poste ad una distanza d = 5 m l’una dall’altra. Dovedeve posizionarsi una massa m3 = 10 g per essere in equilibrio?

[sulla congiungente le masse m1 ed m2 ad una distanza d = 193 cm da m1]

5. Tre masse mA = 20 kg, mB = 20 kg ed mC = 5 g sono poste sui vertici di un triangolo equila-tero ABC di lato l = 2 m. Si calcoli la forza che agisce sulla massa mC posta sul vertice C deltriangolo.

[F = 2, 8 × 10−12 N, diretta perpendicolarmente al lato AB del triangolo con verso tale chela massa sia attratta verso AB]

6. Tre masse mA = 20 kg, mB = 10 kg ed mC = 5 g sono poste sui vertici di un triangolo equila-tero ABC di lato l = 2 m. Si calcoli la forza che agisce sulla massa mC posta sul vertice C deltriangolo.

[F = 2, 2× 10−12 N, formante un angolo α = 259◦ rispetto la base AB]

7. Tre masse mA = 25 kg, mB = 25 kg ed mC = 25 g sono poste sui vertici di un triangolo isoscelerettangolo ABC di cateti AC = BC = 2 m. Si calcoli la forza che agisce sulla massa mC postasul vertice C del triangolo.

[F = 1, 5× 10−11 N, diretta lungo la bisettrice dell’angolo ACB]

8. Tre masse mA = 5 kg, mB = 15 kg ed mC = 25 kg sono allineate con AC = 20 cm, CB = 45cm e AB = 25 cm. Si calcoli la forza che agisce sulla massa mC .

[F = 3, 3× 10−7 N, diretta verso A]

9. Quattro masse mA = 20 kg, mB = 25 kg, mC = 20 kg ed mD = 20 g sono poste sui vertici diun quadrato ABCD di lato l = 30 cm. Si calcoli la forza che agisce sulla massa mD.

[F = 6× 10−10 N, diretta lungo la diagonale del quadrato verso B]

10. Si calcoli il peso misurato con un dinamometro di un uomo di massa m = 70 kg che si trovi suuna mongolfiera ad un’altezza h = 11 km sul livello del mare. Se si pesasse con una bilancia, di



quanto crederebbe di essere dimagrito?

[P = 676 N, crederebbe di avere perso m = 1 kg]

11. A che altezza si trova un uomo di massa m = 90 kg che pesandosi ha come risposta dalla bilanciam = 85 kg?

[h = 150 km]

12. Si trovi il campo gravitazione generato da una massa m = 1000 kg ad una distanza r = 50 m.Di quale forza gravitazionale risentirebbe un uomo di massa mP = 80 kg se si trovasse ad unadistanza r dalla massa m?

[g = 2, 7× 10−11 m/s2, F = 2, 1× 10−9 N]

13. Si trovi il campo gravitazionale generato dalla terra ad una distanza h = 12000 km da terra.

[g = 2, 7 m/s2]

14. A che distanza dalla superficie terrestre il campo gravitazionale generato dal nostro pianeta sidimezza?

[h = 2600 km]

15. Qual e il valore del campo gravitazionale lunare sulla superficie terrestre?

[g = 3, 3× 10−5 m/s2]

16. Qual e il valore del campo gravitazionale solare sulla superficie terrestre?

[g = 5, 6× 10−3 m/s2]

17. Si trovi il valore del campo gravitazionale generato da un anello sottile uniforme di massa m = 40kg e raggio r = 30cm nel suo centro.

[g = 0 m/s2]

18. Quale massa genera un campo gravitazione di intensita g = 9, 8 m/s2 ad una distanza di 5 metri?

[m = 3, 7× 1012 kg]

19. Tre masse mA = 20 kg, mB = 20 kg ed mC = 20 kg sono poste sui vertici di un triangoloequilatero ABC di lato l = 2 m. Si calcoli il campo gravitazionale generato dalle tre masse sulpunto medio del lato AB.

[g = 4, 4× 10−10 m/s2 diretto in verticale verso il vertice C]

20. Quattro masse mA = 40 kg, mB = 40 kg, mC = 20 kg ed mD = 20 kg sono poste sui verticidi un quadrato ABCD di lato l = 30 cm. Si calcoli il campo gravitazionale al centro del quadrato.

[g = 4, 2× 10−8 m/s2 diretto perpendicolarmente e verso il lato AB]



21. Si calcoli il lavoro necessario per costruire un triangolo equilatero di lato 50 cm con tre masseuguali m = 10 kg.

[L = 4× 10−8 J, fatto dalla forza gravitazionale]

22. Si calcoli il lavoro necessario per costruire un quadrato di lato 20 cm con quattro masse ugualim = 20 kg.

[L = 7, 2× 10−7 J, fatto dalla forza gravitazionale]

23. Tre masse mA = 20 kg, mB = 25 kg ed mC = 10 kg sono poste sui vertici di un triangoloequilatero ABC di lato l = 1, 5 m. Qual e il lavoro che il campo gravitazionale fa o subisce perportare le masse su un triangolo equilatero come il primo, ma di lato l = 20 cm?


24. Quattro masse mA = 10 kg, mB = 40 kg, mC = 20 kg ed mD = 15 kg sono poste sui vertici diun quadrato ABCD di lato l = 50 cm. Qual e il lavoro che il campo gravitazionale fa o subisceper portare le masse in linea nell’ordine ABCD con AB = BC = CD = 20 cm?


25. Quanto lavoro hanno fatto i motori di un astronave (m = 50000 kg) partita dalla superficieterrestre quando questa raggiunge quota h = 20000 km?

[L = 23, 7× 1011 J]

26. A quale altezza dalla superficie terrestre si trova un satellite che ruota attorno al nostro pianetacon un periodo T = 10 giorni?

[h = 1, 9× 108 m]

27. A quale velocita si muove un satellite che orbita attorno alla terra ad una quota h = 50000 kmsul livello del mare?

[v = 2642 m/s]

28. Un satellite in orbita attorno alla terra alla velocita v = 200 m/s misura un peso P = 50 N peruna massa m = 50 kg. Il satellite e in equilibrio su un’orbita stabile?

[No, perche...]

29. Dalla cima di un grattacelo alto h = 200 m un tizio vuole lanciare una pallina in modo cheriesca ad entrare in orbita all’altezza da cui e stata lanciata. A quale velocita dovrebbe lanciarela pallina, supponendo un lancio a velocita iniziale orizzontale, per riuscire nel suo intento?

[v = 7860 m/s]

30. A che altezza arriverebbe un corpo di massa m = 100 kg lanciato dalla superficie terrestre convelocita pari ad un terzo della velocita di fuga? E se il corpo avesse massa m = 20 kg?

[h = 796 km, indipendentemente dalla massa del corpo]



31. A che altezza si trova un satellite di massa m = 500 kg in orbita attorno alla terra, se il sistematerra-satellite ha energia totale E = −0, 1 J?

[h = 9, 8× 1017 m]

32. Con che velocita si deve lanciare verso l’alto un oggetto di massa m = 250 g dalla superficieterrestre affinche raggiunga l’altezza massima h = 10 km?

[v = 440 m/s]

33. Qual e l’energia del sistema terra-satellite geostazionario se il satellite ha massa m = 4500 kg?

[E = −2× 1010 J]

34. Qual e la velocita di fuga di un oggetto di massa m = 100 kg che viene lanciato da una piatta-forma che si trova ad una quota h = 200 km dalla superficie terrestre?

[v = 10900 m/s]

35. Con quale velocita si deve lanciare un oggetto di massa m = 100 kg verso la luna affinche ilcorpo arrivi sulla superficie lunare con velocita nulla? Si supponga che il moto dell’oggetto siarettilineo e senza attrito.

[v = 11119 m/s]

36. Find the gravitational field of Saturn on the planet’s surface.

[g = 10, 3 m/s2]

37. Find the potential gravitational energy of the system earth-moon.

[U = −7, 8× 1020 J]

38. A satellite is gravitating around the earth at a velocity v = 50 km/h. What is its heigh withrespect to the earth surface?

[h = 2× 1012 m]

39. Two masses m1 = 40 kg and m2 = 20 kg are fixed at a distance d = 4 m. What is the gravita-tional strength acting on a third mass m3 = 1 kg positioned in the middle of the line defined bym1 and m2?

[F = 3, 3× 10−10 N towards m1]

40. Find the gravitational strenght due to the sun acting on the farest planet (from the sun) of thesolar system.

[F = 6, 4× 1020 N]


CAPITOLO 6. TERMODINAMICA

Capitolo 6

Termodinamica

Come vedremo introducendo il primo principio della termodinamica in uno dei prossimi paragrafi que-sta parte di fisica si e sviluppata nel diciannovesimo secolo per opera di diversi scienziati dell’epocain relazione allo sviluppo tecnologico della rivoluzione industriale di quegli anni. Per parlare di ter-modinamica richiamiamo alcuni concetti visti durante il primo biennio nello studio di temperaturae calore:

• Temperatura: grandezza fisica legata alle sensazioni di caldo e freddo, che possiamo misurarecon un termometro sulla base degli effetti di una sua variazione su corpi liquidi e solidi. Lapresente definizione e una definizione operativa che necessita di un ampliamento concettuale percomprendere davvero quale sia la natura di questa grandezza fisica con cui abbiamo quotidiana-mente a che fare e che troviamo cosı complicato definire in modo soddisfacente. La sua unita dimisura nel sistema internazionale sono i Kelvin, la cui conversione con i gradi centigradi da noipiu utilizzati e data da T (K) = t(◦C) + 273.15. Indicheremo sempre la temperatura misurata ingradi centigradi con la lettera minuscola t, misurata in Kelvin con la lettera maiuscola T .

• Gas perfetto: insieme di particelle o molecole con le seguenti caratteristiche:

1. le molecole hanno dimensioni trascurabili rispetto alla media della loro distanza reciprocae sono indistinguibili le une dalle altre: sono approssimabili a punti materiali identici;

2. le molecole sono moltissime si muovono in modo disordinato e casuale;

3. le molecole non risentono a distanza le une dalle altre (non sono soggette ad attrazionigravitazionali, elettriche,...): si parla di molecole non interagenti;

4. le molecole urtano solamente in modo elastico, tra loro e con le pareti del recipiente in cuieventualmente si trovano;

• Numero di moli e numero di Avogadro: la mole e una delle sette unita di misura fonda-mentali ed esprime la quantita di sostanza; questa unita di misura e pratica dal punto di vistachimico e fisico delle molecole perche evita di lavorare con numero molto grandi (il numero dimolecole/atomi) o numeri molto piccoli (le masse molecolari/atomiche). Una mole rappresentala quantita di materia pari ad un numero di Avogadro di elementi (NA = 6, 022×1023), altrimen-ti definita anche come la quantita di sostanza equivalente (che contiene tante molecole/atomi)a 12g di 12C.



• Parametri di stato: i parametri fisici che definiscono in modo completo la situazione macro-scopica di un gas; essi sono la pressione P , il volume V , la temperatura T ed il numero di molin.

• Legge di Boyle: un gas perfetto che subisce una trasformazione a temperatura costante seguela seguente legge PV = P0V0

• Prima legge di Gay-Lussac: un gas perfetto che subisce una trasformazione a pressione co-stante segue la seguente legge V = V0(1 + αt) = V0αT , da cui si puo ricavare α = 1/273, 15.

• Seconda legge di Gay-Lussac: un gas perfetto che subisce una trasformazione a volume co-stante segue la seguente legge P = P0(1 +βt) = V0βT , da cui si puo ricavare β = α = 1/273, 15.

• Equazione di stato dei gas perfetti: un gas perfetto che subisce una qualsiasi trasformazionesegue la seguente legge: PV = nRT , con n il numero di moli e R ∼ 8, 31J/(mol K) la costanteuniversale dei gas perfetti

• Calore: grandezza fisica che determina la variazione di temperatura o il cambiamento di statofisico (solido, liquido, aeriforme) di un corpo. La sua unita di misura e la caloria, la quantitadi calore necessaria per far innalzare di un grado centigrado, da 14,5 a 15,5, la temperaturadi un grammo d’acqua. Ogni sostanza ha un particolare calore specifico, necessario per farinnalzare di un grado la temperatura un kilogrammo di sostanza cs = Q/(m∆T ), un calorelatente di fusione, necessario per far passare dallo stato solido a quello liquido un kilogrammodi sostanza Qf = Q/m ed un calore latente di evaporazione, necessario per far passare dallostato liquido a quello aeriforme un kilogrammo di sostanza Qv = Q/m

• Equivalenza tra calore e lavoro: nel 1850 lo scienziato inglese James Prescott Joule fece il suofamoso esperimento che abbiamo descritto nei dettagli nel corso del primo biennio dimostrandocome facendo del lavoro meccanico su una sostanza esso puo essere completamente trasforma-to in variazione di temperatura della sostanza stessa trasferendole quindi calore. Joule calcolol’equivalente meccanico del calore, ovvero la conversione tra lavoro esterno fatto sul sistema ecalore trasferito alla sostanza: per ogni caloria trasferita al sistema si fanno 4,186J di lavoromeccanico. La portata concettuale di questa equivalenza e il fatto di poter accostare il calore allavoro e all’energia, affermando che sono possibili trasformazioni dell’uno negli altri e viceversa,secondo l’equivalenza 1cal = 4, 186J .

• Principio zero della termodinamica: Se un corpo A ha la medesima temperatura di uncorpo B ed il corpo B ha la medesima temperatura di un corpo C, allora A e C hanno la stessatemperatura. Questo principio che sembra banale permette pero di definire l’equilibrio termicotra corpi che non possono essere messi a contatto tra loro, con l’uso di un terzo corpo che puoessere ad esempio un termometro.

• Convenzioni di segno per calore e lavoro: evidenziamo qui inizialmente le convenzioni peril segno di calore e lavoro rispettivamente assorbito/ceduto e fatto/subito:



– Q > 0 - calore assorbito dal gas;

– Q < 0 - calore ceduto dal gas;

– L > 0 - lavoro fatto dal gas;

– L < 0 - lavoro subito dal gas.

Prima di proseguire con i due principi della termodinamica che ci permetteranno di capire cometrattare la dinamica di sistemi in cui consideriamo anche lo scambio di calore nel bilancio energeticostudieremo un modello microscopico per i gas perfetti, che ci aiutera nella comprensione della naturadi grandezze come la temperatura e l’energia cinetica associata ad un gas.

6.1 Teoria cinetica dei gas perfetti

Il modello che costruiremo in questo paragrafo per i gas perfetti ci permettera di capire la naturamicroscopica di alcune grandezze termodinamiche che in genere consideriamo come riassuntive delsistema (pressione, temperatura); questo modello e un primo esempio di quella branca della fisicachiamata fisica statistica che cerca di studiare un sistema complesso come somma o unione dimoltissimi sistemi elementari: un intero libro di una delle collane piu famose di fisica teorica (Landaue Lifshitz, 1999b) fu dedicato a questa parte di scienza che noi studieremo solamente nella sua partepiu semplice ed iniziale.

Figura 6.1: Gas perfetto in una scatola: sono qui rappresentate solo 11 particelle, evidentemente nellanostra schematizzazione il numero di particelle di gas e molto piu elevato.

Consideriamo quindi un gas perfetto in una scatola cubica di lato l: ogni particella i si muovera quindiin una direzione casuale con una certa velocita ~vi, come rappresentato in figura (6.1). Fissando unsistema cartesiano in un angolo della scatola possiamo scomporre le velocita di ogni particella nelle tredirezioni ~vi = (vix; viy; viz) ed analizzare la dinamica del problema una direzione alla volta. Secondole ipotesi di gas perfetto le particelle urtano sempre in modo elastico con le pareti della scatola:come descritto dalla figura (6.2), ogni volta che una particella urta con una parete la componente



perpendicolare alla superficie della sua quantita di moto si inverte e dunque la particella imprimesulla parete una forza ~F⊥

1

~F⊥ = −∆~q⊥∆t

=2m~v⊥

∆t

Le particelle si muovono senza interazioni interne, le componenti della loro velocita restano sempre

Figura 6.2: Urto di una particella di gas contro una parete della scatola.

costanti tranne quando si invertono per l’urto con una parete, l’urto con la parete avviene quindi ogni∆t = 2l/v⊥ e la forza diventa

F⊥ =mv2⊥l

Immaginando quindi che nella scatola ci siano N particelle la forza media che viene applicata su unaparete dal gas e data da

Fm =m

l

N∑i=1

v2⊥i

e dunque la pressione esercitata dal gas su una parete della scatola e data dal rapporto tra la forzamedia applicata e la superficie della parete:

P =m

l3

N∑i=1

v2⊥i

=m

V

N∑i=1

v2⊥i

con V = l3 il volume della scatola. A questo punto notiamo come nelle ipotesi di gas perfetto e motocasuale le componenti di velocita del gas nelle tre direzioni cartesiane x, y, z devono provocare la stessapressione in ogni parete; si dovra avere

N∑i=1

v2xi =

N∑i=1

v2yi =

N∑i=1

v2zi(=

N∑i=1

v2⊥i

)

1Facciamo notare come la forza impressa sulla particella e data dalla variazione della quantita di moto della particellarispetto al tempo, e dunque la forza che la particella imprime sulla parete e data, per il terzo principio della dinamica,dalla sua opposta



e quindiN∑i=1

v2i =

N∑i=1

(v2xi + v2

yi + v2zi) =

N∑i=1

v2xi +

N∑i=1

v2yi +

N∑i=1

v2zi = 3

N∑i=1

v2⊥i

da cui

P =m

3V

N∑i=1

v2i

PV =m

3

N∑i=1

v2i

A questo punto possiamo utilizzare la legge di stato dei gas perfetti per dare un’interpretazionemicroscopica della temperatura, in funzione delle velocita delle particelle di gas:

nRT =m

3

N∑i=1

v2i =⇒ T =

m

3nR

N∑i=1

v2i ,

che sostanzialmente lega la temperatura di un gas con il grado di agitazione meccanica delle particelleche lo compongono, per questo spesso si parla di temperatura come misura dell’agitazione termica delgas; la costante di proporzionalita puo essere riscritta ricordando che il numero di moli e uguale alnumero di molecole fratto il numero di Avogadro:

n =N

NA=⇒ T =

NAm

3NR

N∑i=1

v2i ,

Questo passaggio sembra complicare la formula, ma ci permette di intravedere la velocita quadraticamedia all’interno della formula; si definisce velocita quadratica media di un gas:

vqm =

√∑Ni=1 v

2i

N

La velocita quadratica media di un gas, vqm, e un numero che ci fornisce informazioni sulla media deimoduli delle velocita delle particelle: non tiene infatti conto della direzione delle velocita ma solamentedei suoi moduli. E inoltre interessante perche legata all’energia cinetica media del gas, Ec:

Ec =

∑Ni=1

12mv

2i

N=

1

2mv2

qm

Ecco che sostituendo quest’espressione nella relazione ottenuta precedentemente per la temperaturaotteniamo:

T =2NA

3REc (6.1.1)

la temperatura e dunque una grandezza fisica direttamente proporzionale all’energia cinetica mediadel gas! Questa relazione conferma e quantifica in modo preciso l’intuizione di temperatura legataall’agitazione termica e quindi al movimento delle particelle componenti il gas. L’equazione (6.1.1) esolitamente espressa come:

Ec =3

2kBT (6.1.2)



con kB = R/NA ∼ 1, 38 × 10−23J/K, la costante di Boltzmann. Notiamo anche come la legge distato dei gas perfetti possa essere scritta in termini formalmente identici con la costante universaledei gas perfetti

PV = nRT

oppure con la costante di Boltzmann

PV = NkBT

Questi due modi apparentemente uguali per scrivere la legge indicano pero due visioni opposte: laprima una visione macroscopica che coinvolge il numero di moli del gas, mentre la seconda una visionemicroscopica che coinvolge invece il numero esatto di particelle che compongono il gas.

6.1.1 Principio di equipartizione dell’energia

L’equazione (6.1.2), oltre a dare significato fisico alla temperatura, esprime il punto di partenza peri ragionamenti che hanno portato alla formulazione di un importante principio della fisica statistica,il quale asserisce che l’energia totale di un gas si distribuisce equamente sui gradi di liberta dellemolecole che lo costituiscono; ad ogni grado di liberta corrisponde una quantita di energia cinetica paria 1/2kBT . Senza entrare nei dettagli diciamo qui che per grado di liberta di un corpo rigido in fisica siintende il numero minimo di variabili indipendenti tra loro con le quali e possibile definire la posizionee l’orientamento del corpo stesso. Nel caso di punti materiali non vincolati ogni punto materiale portacon se 3 gradi di liberta, ma gia una molecola biatomica ha 5 gradi di liberta: i due punti materialiavrebbero in tutto 6 gradi di liberta, ma sono vincolati a stare ad una certa distanza media, il cheriduce i gradi a 5. Per quanto riguarda il nostro interesse e importante sapere che un gas composto damolecole monoatomiche ha 3 gradi di liberta, biatomiche 5 e triatomiche 7. E importante notare invecela portata concettuale di questo principio: ancora una volta la natura si comporta in modo simmetricoe matematicamente elegante distribuendo in modo che potremmo definire democratico l’energia nellediverse coordinate che definiscono il gas e di come la sua energia cinetica media dipenda da quanto simuovono le molecole al suo interno e da come sono fatte (e quindi dai modi in cui si possono muovere).Evidentemente quindi la (6.1.2) puo essere generalizzata, per un gas con f gradi di liberta:

Ec =f

2kBT (6.1.3)

6.2 First principle of thermodynamics

6.2.1 Introduction to Thermodynamics

Thermodynamics was born in the early nineteenth century, during the industrial revolution, to improvethe efficiency of steam engines. Then, thanks to scientists as James Joule (Saldford, 1818 - Sale, 1889),Rudolf Clausius (Koslin, 1822 - Bonn, 1888), William Thomson ”Lord Kelvin” (Belfast, 1824 - Largs,1907), Sadi Carnot (Parigi, 1796 - Parigi, 1832), Ludwig Boltzmann (Vienna, 1844 - Duino, 1906),thermodynamics has become the branch of physics that studies the exchange of energy between asystem and its environment. The starting point for the work of these scientists of thermodynamicshas been their discovery that the heat is not a fluid-like substance, but is a measure of the energyexchanged in thermodynamical processes. Joule’s experiment, we studied last year, pointed out howmechanical work done on a system can be tranformed into heat finding the equivalence between heatand mechanical work: 1Kcal = 4186J. Once accepted this fact has been natural to study all physicalphenomena, in particular those involving gases, taking into account heat in the energy exchanges:this led to the formulation of the first law of thermodynamics, which we will analyze in detail in



these notes, stating that the total energy is conserved regardless of the nature of forces involved inthe considered system. Using the first principle of thermodynamics it was possible to study manykinds of steam engines and thermal machines, from an energetic point of view, trying to maximizetheir efficency. We will analyze in detail the thermal machines in the next section, but we have tosay here that a thermal engine is a tool that converts heat into mechanical work, and was discoveredby physicists such as Carnot, Clausius and Kelvin, that it is impossible to take a certain amount ofheat and transform all of it into mechanical work: in other words, it is impossible to have a thermalmachine with a 100 % efficency. This is only one formulation of the second law of thermodynamics: inthe 1860s Clausius introduced entropy as a ratio of heat to temperature, and stated the Second Lawin terms of the increase of this quantity. Boltzmann then gave a statistical intepretation of entropy, asthe ”disorder degree” of a system, and the second law became the law of the increasing disorder in theUniverse. In this way, the second law has become important not only from the ”thermodynamic” pointof view, but also from the philosophical one; according to thermodynamics, the universe slowly willdie because all the reactions within it will lead to a uniform heat distribution, all warm regions (stars)of the universe will disappear and so life (human life in particular): this is called the ”heat death” ofthe universe. As we shall see in a couple of years, during the twentieth century many new physicaltheories were developed in disagreement or in completion of all the classical theories: in particular,quantum mechanics, relativity and modern cosmology can explain different scenarios for the evolutionof the universe.

6.2.2 Thermal Machines

We define as thermal machine any tool that, by means of thermodynamic processes, transforms heatinto mechanical work. This general definition needs to be schematized to be described in a scientificway, anche the scheme is the following:

• the system is a gas inside a cylinder, closed by a piston;

• moving the piston the gas can change its volume;

• the gas can exchange heat with external sources;

• an ideal source, heat reservoir, is a source with heat capacity C = ∞: it does not changetemperature even exchanging heat with the system;

• the overall thermodynamical process as to be cyclic, the gas has to became again to its initialcondition to restart the process.

The simplest thermal machine we can imagine is described in fig.(6.3), a black box where all thethermodynamical processes take place, absorbing heat from a hot source, giving heat to a cold source,and producing mechanical work. Then, since heat is a kind of energy, it has to be L = Q2 − Q1.To define and study precisely a thermal machine we have to understand which is the energy involvedand how this energy can turn into mechanical work, that is what we are going to study in the nextparagraphs.

6.2.3 Internal Energy

As already seen in the study of the kinetic model for an ideal gas, temperature is the macroscopiceffect of the average kinetic energy of the gas. Since for an ideal gas there is no potential energy (thereare no interactions, the gas is ”free”), there is no ”structure” in the gas molecules and they interactjust by means of elastic scattering, the kinetic energy is simply mv2/2 for each molecule and can be



Figura 6.3: A generic thermal machine

considered as the total energy of the gas. This total average energy of internal molecular motion iscalled internal energy and should always be taken into account when considering the conservation ofenergy.The internal energy of an ideal gas of N molecules can be expressed in terms of the average kineticenergy of the molecules

U = N〈Ek〉 =3

2nRT ;

so at any change on the gas temperature it will correspond a change on the internal energy ∆U =32nR∆T .This energy is also interpreted in terms of a heat exchange: U = CvT , where Cv is called the “heatcapacity at constant volume”, the heat necessary to change the temperature of the gas by 1 degreethrough a process with constant volume: it equals 3

2nR for monoatomic gases, 52nR for biatomic

gases, it holds the same rule of the equipartion theorem. We define also the “molar heat capacity atconstant volume”: cv = Cv/n the heat necessary to change the temperature of one mole of the gasby 1 degree through a process with constant volume; we will see that this definition is useful studyingthe conservation of energy in thermodynamics.We also notice here that the internal energy is a function of state, i.e. it depends only on thetemperature of the gas, it is defined for each point in the Clapeyron space of the gas.

6.2.4 Heat capacities of gases

We studied that the heat exchange between two bodies or fluids is regulated by

Q = C∆T,

where C is a constant depending on the bodies or fluids called heat capacity. We are going to studyin these pages that the heat exchange between gases (or between gases and a body) depend on theparticular process acting on the gas. In this perspective is simple to understand that the heat capacity



of a gas is not a constant but depends on the thermodynamical process the gas is involved into; wedefine two heat capacities in particular:

1. heat capacity at constant volume Cv - if the gas is involved into an isochoric process theheat exchange is given by

Q = Cv∆T

2. heat capacity at constant pressure Cp - if the gas is involved into an isobaric process theheat exchange is given by

Q = Cp∆T

6.2.5 Mechanical work of gases

The internal energy of a system can be increased at the expense of mechanical energy as was demon-strated in Joule’s experiment: there exist machines that produce mechanical work depending on whatprocesses are involved in their functioning. We will always refer to a gas ( with state parameters(p, V, T ) representing pressure, volume and temperature ) inserted in a cilinder with a base surfaceS; the piston will move into the cylinder under the effect of external forces or the pressure of the gasitself. Therefore the mechanical work done by the gas will be connected with the motion of the piston:dL = ~F · d~s = F ∗ ds = p ∗ S ∗ ds = pdV (general expression even if the force is not constant). Asin mechanics the work is represented by the area under the curve F(s) in the s-F plane or, as in ourcase, the area under the curve p(V) in the V-P plane (Clapeyron plane).

Figura 6.4: A generic cylinder filled with gas and the representation of the work made by the gas itselfon the piston



Isobaric processes

An isobaric process (fig.(6.5)) is a thermodynamical process in which the pressure stays constant.Since the pressure is constant the force acting on the system is constant, therefore the work will be:L = ~F · ~s = p ∗ S ∗ s = p ∗∆V .

Figura 6.5: An isobaric process in the Claperyron Plane

In our practical example we would have a movable piston in a cylinder, so that the pressure insidethe cylinder is always at the pressure given by the piston and the atmosphere. An increase in thetemperature of the gas would imply an increase in the volume of the piston, in such a way to mantainthe same pressure given by the piston.

Isothermal processes

An isothermal process is a process where the gas is maintained at the same temperature, being incontact with a huge body called “heat reservoir”, a body with C = +∞. The temperature of the gas



remains constant because the heat is free to flow from the gas to the heat reservoir. In an isothermalexpansion (fig.(6.6)), if the system is closed, the pressure will be inversely proportional to the volume:PV = nRT = P0V0. In this case the work as a more complicated expression than the isobaric one:dL = p ∗ dV = nRT

V dV ⇒ L = nRT lnVfVi

.2

Figura 6.6: An isothermal process in the Claperyron Plane

In our practical example we would have the system immersed in a large constant-temperature bath(imagine a huge mixture of water and ice at 273K). Any work performed by the system will be lostto the bath, but its temperature will remain constant: an increase in volume of the gas would implya decrease in pressure, and viceversa.

Isochoric processes

An isochoric process (fig.(6.7)), also called a constant-volume process, is a thermodynamic processduring which the volume of the closed system undergoing such a process remains constant. The workdone by the gas in this case is zero: dL = p ∗ dV = 0.

2We have to define here the mathematical function called logarithm y = ln(x). This function will be formally definedduring next year in the math class; for our purposes we can say that y = ln(x2

x1), x1 ∈ R+, x2 ∈ R+, is the area between

the x-axis of the cartesian plane and the function y = 1/x between x1 and x2. At the moment you can easily calculatethe logarithm of a number using your electronic calculators.



Figura 6.7: An isochoric process in the Claperyron Plane

In our practical example we would have the piston locked in a particular position (for example screwedto close the cylinder): an increase in temperature would imply in this case an increase in pressure,and viceversa. An isochoric process is also known as an isometric process or an isovolumetric process.

Adiabatic processes

An adiabatic process (fig.(6.8)) is a thermodynamic process in which no heat is transferred to or fromthe working gas. If there is no heat transferred all the work done by the gas is enterly connected witha change in the internal energy of the gas itself, therefore L = −∆U = −ncv∆T .

In our practical example we would have both the cylinder and the piston made by perfect thermalinsulator, in such a way that there cannot be any exchange of heat or energy between the gas and theexternal atmosphere. It can be prooved that in an adiabatic process holds the relation PAV

γA = PBV

γB ,

where γ =Cp

Cv; Cp is the so called ”heat capacity at constant pressure”, the heat necessary to change

the temperature of the gas by 1 degree through a process with constant pressure. We will define alsocp as the “molar heat capacity at constant pressure”.



Figura 6.8: An adiabatic process in the Claperyron Plane

6.2.6 The first law of thermodynamics

We are now ready to introduce the ”first law of thermodynamics”, which is nothing more than theconservation law for internal and mechanical energy into a thermodynamical system. The startingpoint of this principle is the experimental observation that in any thermodynamical process the diffe-rence between the heat exchanged and the work done by the system is a particular function dependingonly on the initial and final state of the system, representing the total energy of the system. Thisfunction turns out to be (when taking into account ideal gases) the internal energy previously defined.

1. Energy conservation in an adiabatic process. If there are no exchanges of heat with theenvironment (as in an adiabatic process) than conservation of energy requires that the work Ldone by the gas be equal to the loss of its internal energy U:

L = −∆U

where the minus sign means that the internal energy is lost when the gas expands and doeswork.

2. Energy Conservation in an Isothermal Process. If we consider an isothermal expansion ofthe gas we notice that the internal energy has to be constant (U = U(T )). If the internal energyhas to be constant all the work done by the gas has to turn into heat, and all the heat givento the gas has to be spent by means of mechanical work. The work L done by the gas must be



equal to the heat Q absorbed by it:

L = Q

3. Energy conservation in an isochoric process. If the volume of the gas is not changing allthe heat taken or given to the gas cannot transform in mechanical work, since the piston cannotmove, but it transforms into an increase or loss of internal energy; if the gas acquires heat it willincrease the internal energy, otherwise the internal energy will decrease:

Q = ∆U

4. Energy conservation in a general process: First law of thermodynamics. In a generalprocess usually both heat and internal energy are converted into work. Since heat absorbed bythe gas contributes to making work, and a loss of internal energy can be turned into work, thetotal balance of work, heat and internal energy is:

L = Q−∆U,

or

∆U = Q− L

and is known as the first law of thermodynamics. It says that the internal energy gainedby a system must be equal to the heat absorbed by the system minus work done by the system.

5. First law and the Mayer relationship . Let’s consider a general process in the Clapeyronplane: it can be decomposed into many tiny isobaric processes. For each of these processes holds

∆U = Q− L,

where3

∆U = ncv∆T,

Q = ncp∆T

L = p∆V = nR∆T.

We can conclude that for any thermal process the first principle of thermodynamics, the conser-vation of energy in thermal processes, can be written as the Mayer relationship:

cp − cv = R.

This law connects a universal constant, R, with two particular constants depending on the gaswe are considering: no matter which gas we are dealing with, the difference between cp and cvwill equal the constant R!

3The first relation holds for any process, the second one holds since each process is an isobaric process, and the lastone can be obtained using the universal law of ideal gases.



6.3 Rendimento delle macchine termiche

Dal punto di vista tecnologico di chi progetta una macchina termica e interessato a capire quantapercentuale del calore che viene ceduto alla macchina termica dall’esterno verra convertito in lavo-ro. Questo indicatore, solitamente rappresentato con la lettera greca η, e detto rendimento dellamacchina termica:

η =L

Qa(6.3.1)

Dove L e il lavoro prodotto dalla macchina termica e Qa il calore assorbito dalla macchina stessa(ceduto alla macchina dall’ambiente esterno). Dalle considerazioni del paragrafo precedente, visto cheuna macchina termica deve essere ciclica per poter essere utilizzabile in modo industriale e non essere“usa e getta”, possiamo definire il rendimento di una macchina termica su un singolo ciclo:

η =L

Qa=Qa −QcQa

= 1− QaQc

(6.3.2)

con Qc il valore assoluto del calore ceduto dalla macchina termica all’ambiente esterno. La costru-zione di macchine termiche inizio gia tra il diciassettesimo ed il diciottesimo secolo in Inghilterra peropera di scienziati come Denis Papin (Blois, 1647 - Londra 1714), Thomas Savery (Shilstone, 1650 -Londra 1715), Thomas Newcomen (Dartmouth, 1663 - Londra 1729) e James Watt (Greenock, 1736 -Handsworth, 1819); fu pero nella Francia del secolo successivo che la tecnica si coniugo con lo studioscientifico analitico ed approfondito della termodinamica, per opera sopratutto di Sadi Carnot (Parigi,1796 - Parigi, 1832). Vediamo di seguito alcune delle piu famose macchine termiche, alcune delle qualihanno contribuito in modo decisivo alla rivoluzione industriale del diciannovesimo secolo e sono stateprotagoniste della tecnica fino ai giorni nostri.

6.3.1 Macchina di Stirling

La macchina di Stirling fu realizzata e brevettata nel 1816 dal pastore protestante scozzese RobertStirling (Methven, 1790 - Methven 1878), ed e ancora oggi in commercio. Si tratta di un motore adaria calda di cui non studieremo i dettagli ingegneristici ma che risponde al ciclo termodinamico infigura (6.9): il motore lavora tra due temperature Tc la temperatura piu calda e Tf ed i due volumiV1 e V2 con due trasformazioni isocore e due isoterme. Studiamo l’energetica del ciclo di Stirling:

• A −→ B: La trasformazione e isocora, per cui il lavoro fatto dal gas e nullo e il calore assorbitoe dato dalla differenza di energia interna Q = ∆U = ncv∆T = ncv(Tc − Tf ) > 0

• B −→ C: La trasformazione e isoterma, per cui il lavoro fatto dal gas e uguale al calore assorbitonell’espansione da V1 a V2 Q = L = nRTcln(V2/V1) > 0

• C −→ D: La trasformazione e nuovamente isocora, con calore ceduto dal gas Q = ∆U =ncv∆T = ncv(Tf − Tc) < 0

• D −→ A: La trasformazione e isoterma, con lavoro subito dal gas uguale al calore ceduto per lacompressione da V2 a V1 Q = L = nRTf ln(V1/V2) < 0

I due calori scambiati nelle trasformazioni isocore sono chiamati di rigenerazione e non vengono scam-biati con l’esterno: la macchina e studiata in modo che il calore di rigenerazione ceduto nella trasfor-mazione C −→ D viene restituito al gas nella trasformazione A −→ B; il rendimento della macchina



Figura 6.9: Ciclo termodinamico di Stirling A→ B → C → D tra le due temperature Tc e Tf e i duevolumi V1 e V2.

di Stirling (ideale) e dunque

η = 1−nRTf ln(V1/V2)

nRTcln(V2/V1)

= 1−TfTc

6.3.2 Macchina di Carnot

La macchina di Carnot fu concepita dal fisico francese in una sua opera fondamentale (Carnot, 1824),nella quale pose le basi per moltissimi concetti fondanti per la termodinamica che stiamo studiando,tra cui l’introduzione della macchina di Carnot, descritta in figura (6.10). Questa macchina e unamacchina teorica, pensata dal fisico francese con l’intento di costruire la macchina termica lavorantetra due sorgenti termiche con il massimo rendimento possibile: per questo penso di connettere le dueisoterme dove avviene lo scambio di calore con le sorgenti con due trasformazioni adiabatiche, in cuinon c’e scambio di calore. Studiando l’energetica della macchina:

• A −→ B: La trasformazione e adiabatica, per cui il calore scambiato dal gas e nullo ed il lavorofatto e dato dalla differenza di energia interna L = ∆U = ncv∆T = ncv(Tc − Tf ) > 0

• B −→ C: La trasformazione e isoterma, per cui il lavoro fatto dal gas e uguale al calore assorbitonell’espansione da VB a VC Q = L = nRTcln(VC/VB) > 0

• C −→ D: La trasformazione e nuovamente adiabatica, con lavoro subito dal gas L = ∆U =ncv∆T = ncv(Tf − Tc) < 0

• D −→ A: La trasformazione e isoterma, con lavoro subito dal gas uguale al calore ceduto per lacompressione da VD a VA Q = L = nRTf ln(VA/VD) < 0



Figura 6.10: Ciclo termodinamico di Carnot A→ B → C → D tra le due temperature Ti e Tf .

Anche in questo caso possiamo calcolare il rendimento con la (6.3.2):

η = 1−nRTf ln(VC/VB)

nRTcln(VA/VD)=Tf ln(VC/VB)

Tcln(VA/VD)(6.3.3)

Possiamo ottenere una relazione migliore andando a valutare il rapporto VC/VB ed il rapporto VA/VDsfruttando le leggi delle trasformazioni adiabatiche ed isoterme. Valgono sicuramente:

pAVγA = pBV

γB

pBVB = pCVC

pCVγC = pDV

γD

pDVD = pAVA

che possono essere riscritte come:pAV

γA = pBV

γB

pB = pCVCVB

pC = pDV γD

V γC

pD = pAVAVD

che ci suggerisce di sostituire tutte le pressioni delle ultime tre equazioni per ottenere:

pAVγA = pA

VAVγ−1D V γ−1

B

V γ−1C



che si puo scrivere come (VAVD

)γ−1

=

(VBVC

)γ−1

ovveroVAVD

=VBVC

che sostituito nel rendimento della macchina di Carnot (6.3.3) restituisce un’espressione molto piusemplice:

ηc = 1−TfTc

(6.3.4)

E facile notare come questo rendimento sia uguale a quello di una macchina di Stirling che lavora trale stesse due temperature; ci daremo ragione di questo fatto nei prossimi paragrafi.

6.3.3 Macchina di Otto (motore 4 tempi)

La macchina di Otto, conosciuta anche come motore a 4 tempi, ancora oggi alla base della costruzionedella maggior parte dei motori a benzina, fu proposta dall’ingegnere tedesco Nikolaus August Otto(Holzhausen, 1832 - Colonia, 1891) nel 1876. La macchina dal punto di vista termodinamico idealee descritta in figura (6.11). Quando questa serie di trasformazioni termodinamiche e implementata

Figura 6.11: Trasformazioni termodinamiche per la macchina di Otto a 4 tempi A→ B → C → D →E → B → A.

per il funzionamento di un motore a benzina dobbiamo immaginare un sistema come rappresentato infigura (6.12). Descriviamo qui i 4 tempi della macchina:

• Aspirazione A −→ B: il pistone si trova nella sua posizione piu alta, si apre la valvola diaspirazione, viene inserita dal carburatore (o dall’impianto di iniezione) il gas (una miscela diaria e benzina nel caso del motore a benzina) a pressione costante in quanto l’apertura dellavalvola mette a pressione atmosferica il gas all’interno del cilindro. Il gas si espande quindi dalvolume V1 al volume V2.



Figura 6.12: Il cuore termodinamico di un motore a scoppio

• Compressione B −→ C: si chiude la valvola di aspirazione, il gas all’interno del cilindro subisceuna compressione dovuta all’inerzia del pistone che nel ciclo ideale possiamo considerare comeadiabatica. In questa fase non vi e scambio di calore con l’esterno ed il lavoro subito dal gas edato da L = −∆U = ncv∆T = ncv(TC − TB) < 0

• Scoppio ed espansione C −→ D −→ E: quando il pistone si trova nel punto piu alto unacandela posta tra le due valvole scocca una scintilla; la temperatura del gas aumenta molto emolto velocemente (a volume costante) provocando la combustione del gas che di conseguenzasi dilata spingendo nuovamente il pistone verso il basso. Nel ciclo ideale questa trasformazionepuo essere di nuovo considerata adiabatica. Nella fase isocora non vi e lavoro ed il gas acquistail calore Q = ∆U = ncv∆T = ncv(TD − TC) > 0. Nella fase adiabatica il gas si espande senzascambiare calore con l’esterno, dunque compie il lavoro L = −∆U = ncv∆T = ncv(TE−TD) > 0

• Scarico E −→ B −→ A: quando il pistone si trova nella sua posizione piu bassa, si apre lavalvola di scarico permettendo al gas di uscire dal cilindro: a volume costante la pressione tornaal valore iniziale di pressione atmosferica, di seguito il pistone per inerzia torna verso l’altospingendo il gas fuori dal cilindro. Nella fase isocora il gas non compie lavoro, cede il caloreQ = ∆U = ncv∆T = ncv(TB − TE) < 0. Nella fase isobara il gas esce dal cilindro e fa tornare ilpistone nella posizione iniziale ed il ciclo puo ricominciare dall’iniezione.

Il rendimento termodinamico della macchina si puo calcolare sul ciclo B −→ C −→ D −→ B:

η = 1− ncv(TE − TB)

ncv(TD − TC)= 1− TE − TB

TD − TC(6.3.5)

Possiamo ottenere una relazione migliore andando a valutare il rapporto TE/TB ed il rapporto TC/TDsfruttando le leggi delle trasformazioni adiabatiche:

TBVγ−1B = TCV

γ−1C



TEVγ−1E = TDV

γ−1D

Da cui, sapendo che VC = VD VE = VB e dividendo membro a membro le equazioni possiamo ottenere

TBTE

=TCTD

Vale dunque

η = 1− TETD

1− TBTE

1− TCTD

= 1− TETD

Ecco allora che il rendimento della macchina di Otto e piu semplice e in dipendenza unicamente delledue temperature TB e TD. Usando ancora le equazioni delle trasformazioni adiabatiche possiamoesprimere questo rendimento come

η = 1− TETD

= 1− V γ−11

V γ−12

in unica dipendenza dei due volumi V2 e V1, la geometria del cilindro e del tipo di gas γ = cp/cv. Il rap-porto r = V2/V1 viene solitamente chiamato rapporto di compressione e di conseguenza il rendimentosi esprime come

η = 1− r1−γ (6.3.6)

6.3.4 Macchina Diesel

La macchina Diesel, brevettata nel 1892 da Rudolf Diesel (Parigi, 1858 - canale della manica, 1913),si differenzia dal punto di vista termodinamico dal motore Otto per la modalita di scoppio del gas,come descritto dal grafico (6.13). La combustione del gas in un ciclo Diesel non viene innescata dallascintilla di una candela ma dalla compressione del gas stesso. La fase di scoppio (l’isocora del cicloprecedente) in questo caso viene sostituita con un’espansione isobara. Con un’analisi analoga a quella

Figura 6.13: Ciclo termodinamico Diesel 4 tempi A→ B → C → D → E → B → A.



fatta per il ciclo Otto possiamo trovare il rendimento termodinamico della macchina Diesel in funzionedelle temperature TB,TC ,TD,TE :

η = 1− cvcp

TE − TBTD − TC

Per riscrivere in modo piu semplice questo rendimento e conveniente esplicitare il rapporto di com-pressione r = V2/V1 ed il rapporto di combustione c = V3/V2 per poi ottenere il rendimento

η = 1− r1−γ cγ − 1

γ(c− 1)(6.3.7)

6.3.5 Macchina Frigorifero

Definiamo macchina frigorifero una macchina termica il cui effetto e quello di assorbire calore da unasorgente ad una temperatura Tf e cederlo ad una sorgente Tc, con Tc < Tf subendo una certa quantitadi lavoro L, che per il primo principio della termodinamica e dato da L = Qa − Qc. Pensandocibene questo ciclo termodinamico descrive proprio cio che accade nel frigorifero di casa nostra: e unelettrodomestico che prende calore da un ambiente freddo (l’interno del frigorifero) e lo cede all’esterno(il retro dei nostri frigoriferi ha solitamente una serpentina che si scalda con l’uso del frigorifero)subendo il lavoro fornito dalla rete elettrica di casa. Nel caso delle macchine frigorifere non si parla

Figura 6.14: Ciclo frigorifero, il passaggio di calore dalla temperatura piu fredda Tf e la temperaturapiu calda Tc, subendo il lavoro L

di rendimento termodinamico ma di coefficiente di prestazione k, che esprime la quantita di caloreceduto alla sorgente calda rispetto al lavoro subito:

k =QcL

(6.3.8)

Applicazione comune del modello frigorifero, sono le pompe di calore: strumenti che vediamo abi-tualmente nelle case e che chiamiamo solitamente condizionatori elettrici. Essi spostano caloreda una sorgente a temperatura minore ad una a temperatura maggiore sfruttando il lavoro della reteelettrica: possono essere usati per scaldare l’interno di un edificio d’inverno, prendendo il calore dall’e-sterno e cedendolo all’interno, o per raffreddarlo d’estate, prendendo il calore dall’interno e cedendoloall’esterno.



6.4 Secondo principio della termodinamica

Il secondo principio della termodinamica puo essere espresso in diverse forme, come vedremo neiprossimi paragrafi, ognuna della quali riporta sempre allo stesso concetto: qualsiasi macchina termicapossiamo inventarci, il budget energetico dell’universo sara sempre a favore della dispersione di energiain calore. Applicato alla nostra esperienza quotidiana4 questo principio puo sembrare ovvio e pernulla fondamentale, ma di fronte ad un’attenta analisi che cercheremo di impostare qui ci accorgeremodell’importanza concettuale che si cela dietro a questa considerazione.

6.4.1 Enunciati di Clausius, Kelvin-Planck e loro equivalenza

Enunciato di Clausius Non si puo costruire una macchina termica il cui unico risultato sia quellodi trasferire calore da una sorgente fredda ad una sorgente calda.

Enunciato di Kelvin-Planck Non si puo costruire una macchina termica il cui unico risultato siaquello di produrre lavoro assorbendo calore da un’unica sorgente.

Equivalenza dei due enunciati Per dimostrare l’equivalenza dei due enunciati procederemo conuna dimostrazione per assurdo nel seguente modo: invece di dimostrare che l’enunciato di Clausius(Cl) implica l’enunciato di Kelvin-Planck (KP) Cl =⇒ KP e viceversa KP =⇒ Cl dimostreremoche la negazione dell’enunciato di Clausius (nCl) implica la negazione dell’enunciato di Kelvin-Planck(nKP) nCl =⇒ nKP e viceversa nKP =⇒ nCl.

nCl =⇒ nKP

Immaginiamo di avere a disposizione una macchina termica che neghi l’enunciato di Clausius e dicollegarla ad una macchina termica che invece rispetta l’enunciato di Kelvin-Planck come in figura(6.15). L’effetto netto della macchina in figura e quello di assorbire una quantita di calore Q2−Q1 dallasorgente calda, producendo un lavoro L senza cedere calore alla sorgente fredda: negando l’enunciatodi Clausius siamo riusciti a negare l’enunciato di kelvin-Planck costruendo una macchina termica ilcui unico risultato e quello di produrre lavoro assorbendo calore da un’unica sorgente!

nKP =⇒ nCl

Immaginiamo ora di avere a disposizione una macchina termica che neghi l’enunciato di Kelvin-Plancke di collegarla ad una macchina termica che invece rispetta l’enunciato di Clausius come in figura (6.16).L’effetto netto della macchina in figura e quello di trasferire il calore Q2 da una sorgente fredda ad unacalda senza subire lavoro dall’esterno: negando l’enunciato di Kelvin-Planck siamo riusciti a negarel’enunciato di Clausius costruendo una macchina termica il cui unico risultato e quello di trasferirecalore da una sorgente fredda ad una sorgente calda!

6.4.2 Enunciato di Carnot ed entropia

Enunciato di Carnot

Non si puo costruire una macchina termica che lavora tra due sorgenti con rendimento superiore alrendimento della macchina di Carnot che lavora tra le medesime sorgenti:

η ≤ ηc4le automobili spostandosi immettono calore nell’atmosfera sotto forma di gas, cosı come tutti gli impianti industriali;

i computer ed i telefoni che usiamo ogni giorno emettono calore nell’ambiente, riflettendoci bene qualsiasi azione facciamoprovoca un surriscaldamento in qualche parte dell’ambiente in cui siamo.



Figura 6.15: Collegamento di una macchina termica di Kelvin-Planck con una macchina non-Clausius

Figura 6.16: Collegamento di una macchina termica di Clausius con una macchina non-Kelvin-Planck

Ogni macchina termica reversibile5 che lavori tra due sorgenti termiche inoltre ha rendimento pari alrendimento della corrispondente macchina di Carnot:

ηirrev < ηrev = ηc < 1 (6.4.1)

5definiamo macchina termica reversibile una macchina termica in cui ogni stato del gas e perfettamente conosciuto,ciclo che quindi puo essere percorso in entrambi i sensi (orario ed antiorario nel piano di Clapeyron per esempio).In generale una macchina reversibile e un’idealizzazione di una macchina termica, che puo essere approssimata contrasformazioni quasi-statiche, ma mai realizzata perfettamente in natura.



Entropia termodinamica

Nel caso della macchina di Carnot (e quindi di una qualsiasi macchina termica reversibile) e interessantestudiare l’uguaglianza tra il rendimento generale in funzione del calore scambiato ed il rendimentoparticolare in funzione delle due temperature delle sorgenti:

1− QcQa

= 1−TfTc

=⇒ QaTc

=QcTf

(6.4.2)

Questa semplice relazione matematica ci dice come se e vero che la quantita di calore assorbita dallasorgente calda e maggiore della quantita di calore ceduta alla sorgente calda (ed e bene che sia cosıda un punto di vista tecnologico, perche genera lavoro meccanico) e altrettanto vero che la quantitadefinita dal rapporto tra il calore scambiato e la temperatura della sorgente con cui lo ha scambiatoe una costante. Ecco allora come ad un fisico che osserva questi calcoli viene il dubbio che questaquantita, che si conserva in un ciclo di Carnot, possa essere una quantita interessante dal punto divista termodinamico. Definiamo allora come entropia termodinamica6 la seguente quantita S:

∆S =Q

T(6.4.3)

In questo modo possiamo riscrivere l’enunciato di Carnot nel seguente modo:

∆S = 0 (6.4.4)

Ovvero che la variazione di entropia di un gas che subisce un ciclo termodinamico rever-sibile chiuso e uguale a zero. L’entropia viene definita per differenze: ogni qual volta si scambiacalore con una sorgente ad una certa temperatura avviene una variazione di entropia del gas: aumentase il calore e assorbito, diminuisce se il calore e ceduto. L’unita di misura dell’entropia e il rapportotra Joule e Kelvin (J/K). E importante ed interessante notare come l’entropia sia una funzione distato termodinamica, una funzione che dipende solo dai parametri di stato: in un percorso chiusonel piano di Clapeyron infatti la variazione di entropia e nulla, come si puo notare dall’equazione(6.4.2). Questa osservazione e interessante per il calcolo dell’entropia in una data trasformazione: lasua variazione non dipende dalla serie di trasformazioni che possiamo fare, ma solo dallo stato inizialee dallo stato finale del gas. Supponiamo quindi che il gas passi da un generico stato A ad un genericostato B con una trasformazione reversibile: per calcolare la variazione di entropia del gas non e evi-dentemente utilizzabile la formula (6.4.3) in quanto gli scambi di calore non avvengono a temperaturacostante. Gli unici due casi semplici sono il caso isotermo appunto in cui si puo applicare la formulaed il caso adiabatico in cui non essendoci scambio di calore l’entropia rimane costante. Nel caso piugenerale dal punto di vista concettuale occorre dividere il percorso in moltissimi tratti quasi-staticiper cui sia possibile pensare che il trasferimento di calore avvenga a temperatura costante, e sommarepoi tutti questi contributi; dal punto di vista matematico questo corrisponde a risolvere un integraledi cui diamo qui solo il risultato:

∆S = S(B)− S(A) =∑i

QiTi

= ncv ln

(TBTA

)+ nR ln

(VBVA

)(6.4.5)

6Introdotta per la prima volta da Clausius nel 1864 (Clausius, 1864), che prese spunto da una parola greca che significatrasformazione per definire una grandezza fisica che egli interpreto come la traccia di ogni trasformazione termodinamicain natura.



Disuguaglianza di Clausius

Nel caso in cui un ciclo termodinamico non sia reversibile non possiamo calcolare la variazione dientropia delle trasformazioni del ciclo come sommatoria dei diversi rapporti tra i calori scambiati ele temperature a cui sono stati scambiati, ma possiamo sempre ottenere una relazione per questasommatoria che chiamiamo disuguaglianza di Clausius:∑

i

QiTi

< 0 (6.4.6)

Entropia di sistemi isolati, universo e morte termica dell’universo

Consideriamo un sistema termodinamico isolato, che non scambia calore con l’esterno, ed immaginia-molo cambiare il suo stato da A a B attraverso una trasformazione reale irreversibile: non possiamodunque applicare l’equazione (6.4.5) per calcolare l’eventuale variazione di entropia nella trasforma-zione considerata. La situazione e schematizzata in figura (6.17). Sicuramente per quanto detto in

Figura 6.17: La zona ombreggiata indica una trasformazione irreversibile, in cui non conosciamo dipreciso lo stato del gas in ogni istante della trasformazione

precedenza vale (6.4.6), che possiamo dividere in due parti:(∑i

QiTi

)A→B

+

(∑i

QiTi

)B→A

< 0

E, siccome la trasformazione B → A e reversibile il secondo addendo e proprio S(A)− S(B) e si ha(∑i

QiTi

)A→B

+ S(A)− S(B) < 0

ovvero

S(B)− S(A) >

(∑i

QiTi

)A→B



Ma se il sistema e isolato come da ipotesi significa che il gas non scambia calore con l’esterno e dunquesi ha sempre

S(B) > S(A)

Questo significa che l’entropia di un sistema isolato aumenta sempre, ogni volta che si compie unatrasformazione termodinamica irreversibile al suo interno, e siccome come abbiamo gia visto in prece-denza se compiamo trasformazioni reversibili l’entropia non varia possiamo dire che In un sistematermodinamico isolato l’entropia non puo mai diminuire, qualsiasi trasformazione acca-da, ed ogni qual volta si compie una trasformazione irreversibile essa aumenta sempre.Il sistema isolato che piu caratterizza lo studio della fisica e stimola l’intelletto umano e sicuramentel’universo intero. Con il passare del tempo e lo svolgersi delle trasformazioni irreversibili reali all’inter-no dell’universo l’entropia tendera sempre ad aumentare, tutta l’energia tendera a dissiparsi in caloree la temperatura ad uniformarsi in tutto lo spazio disponibile: i fisici del tempo previdero cosı lamorte termica dell’universo. In realta la cosmologia moderna prevede diversi fenomeni ed il futurodell’universo non e cosı certo come potrebbe sembrare dal secondo principio della termodinamica.

Espansione libera di un gas

L’esempio piu comune che viene fatto di un sistema chiuso in cui l’entropia aumenta e l’espansionelibera di un gas. Immaginiamo di avere un gas all’interno di una stanza di volume fissato isolatatermicamente dal resto dell’universo, all’interno della quale vi e una piccola boccetta di gas che adun certo punto viene aperta. Quello che possiamo dire sperimentalmente e dalla nostra esperienzaquotidiana, e che il gas per sua natura si distribuisce nella stanza in modo uniforme, occupando tuttoil volume a sua disposizione. Questa trasformazione si chiama espansione libera in quanto il gas nonscambia calore con l’esterno ne compie lavoro sulle pareti della scatola: per il primo principio dellatermodinamica non cambia nemmeno la sua energia interna, la sua temperatura finale e quindi ugua-le alla sua temperatura finale. Nel piano di Clapeyron dunque, pur non conoscendo i dettagli dellatrasformazione realmente avvenuta, possiamo dire che i due punti iniziale A e finale B si trovano sullastessa curva isoterma alla temperatura TA, come mostrato in figura (6.18). Da quanto detto in prece-

Figura 6.18: Espansione libera di un gas perfetto

denza quindi possiamo calcolare la variazione di entropia del sistema usando la legge (6.4.5) sapendoche la temperatura finale ed iniziale sono uguali tra loro. A seconda della grandezza della boccetta



dunque ci sara una certa variazione di entropia del sistema, che sicuramente pero sara positiva7:

∆S = ncv ln

(TBTA

)+ nR ln

(VBVA

)= nR ln

(VBVA

)> 0

Entropia e freccia del tempo

L’entropia spesso viene considerata come freccia del tempo, indicatore della successione degli eventiche avvengono in natura. Molti fenomeni meccanici sono simmetrici rispetto al tempo: immaginandodi guardare l’urto tra due palline non possiamo pensare di scoprire se stiamo guardando un fenomenodal passato verso il futuro o viceversa; guardando un processo termodinamico invece abbiamo il modoper scoprire la direzione del tempo, dire se stiamo guardando il fenomeno dal passato verso il futuroo viceversa: se l’entropia sta aumentando il sistema sta evolvendo sicuramente dal passato verso ilfuturo! In fisica si parla spesso di questa simmetria (o non simmetria) rispetto al tempo, si parla disimmetria T : esistono importantissimi teoremi e ricerche di fisica delle particelle che mirano a studiarela simmetria rispetto al tempo o la sua violazione.

Entropia statistica e disordine

La definizione statistica di entropia fu introdotta da Ludwig Boltzmann8 alla fine del diciannovesimosecolo (Boltzmann, 1877). L’idea che Boltzmann propose e la seguente: l’entropia di un sistema elegata alla probabilita che ha un determinato stato di esistere. Questa definizione si e sviluppata nelcontesto della meccanica statistica , trova senso nella descrizione microscopica di un gas e da origineal concetto di entropia come disordine. Il significato di disordine che si lega a quello di entropia none di senso comune ed e strettamente legato alla meccanica statistica: tanto piu la configurazione eprobabile quanto piu e disordinata e con entropia elevata. La famosa equazione di Boltzmann e laseguente

S = k ln(W (A)) (6.4.7)

dove k e la costante di Boltzmann e W (A) e il numero di microstati del gas che generano lo statotermodinamico A. Possiamo fare un esempio molto semplice e schematico, ma significativo per lacomprensione di questa definizione di entropia. Immaginiamo di avere una scatola con al suo interno4 particelle di gas ed una parete di separazione nel mezzo della scatola. In figura (6.19) mostriamo lepossibili configurazioni in cui il gas puo disporsi nella scatola: lo stato macroscopico con piu microstatiche lo definisce e quello in cui ci sono due particelle da una parte e dall’altra; per la statistica e lostato piu probabile, per la definizione di Boltzmann e lo stato con maggiore entropia, per esperienzae lo stato in cui un gas tende ad evolvere liberamente, qualsiasi fosse la sua condizione iniziale!

7Il logaritmo di una quantita maggiore di 1 e sempre positivo8La cui definizione si trova anche incisa sulla tomba dello scienziato austrico a Duino, vicino a Trieste dove si tolse la

vita durante una vacanza nel 1906



Figura 6.19: Microstati possibili per 4 particelle in una scatola con due spazi disponibili



6.5 Esercizi

1. Quanto calore e necessario affinche un kilogrammo di ghiaccio alla temperatura T = 250 Kevapori completamente?

[Q = 3, 1× 106 J]

2. Un litro di gas perfetto raddoppia la sua pressione a temperatura costante, quale sara il suovolume alla fine della trasformazione?

[V = 0, 0005 m3]

3. Che volume occupa una mole di gas perfetto alla temperatura T = 300 K che si trova alla pres-sione atmosferica?

[V = 0, 025 m3]

4. Di quanto varia in percentuale la temperatura di un gas perfetto durante un’espansione isobaradal volume iniziale V1 = 5 l al volume finale V2 = 8 l?

[varia del 60%]

5. Un gas perfetto in equilibrio alla pressione atmosferica in un contenitore di volume V = 2 m3 sitrova alla temperatura T = 200 K. Quante moli di gas sono contenute nel contenitore?

[n = 122 mol]

6. Il tappo di una bottiglia da un litro sopporta al massimo una pressione di 50 atmosfere. Al-l’interno della bottiglia si trovano 3 moli di gas perfetto alla temperatura T = 300 K. Il tappomanterra la bottiglia chiusa o verra scoperchiato dalla pressione del gas?

[No, la pressione del gas e P = 74 atm]

7. Ad un cubetto di ghiaccio di massa m = 300 g alla temperatura t = −20◦ vengono fornite300kcal. Quale sara la situazione finale del cubetto di ghiaccio?

[Evapora tutto]

8. Quanta massa di ghiaccio alla temperatura di passaggio di stato verra fusa con la quantita dicalore necessaria per far evaporare 1 g d’acqua?

[m = 7 g]

9. A che temperatura si troveranno 5 moli di gas perfetto che subiscono una trasformazione isocoradalla situazione iniziale PA = 3 atm, TA = 200 K fino alla situazione finale in cui PB = 10 atm?E se le moli di gas fossero state 2, cosa sarebbe cambiato?

[T = 667 K, indipendentemente dalle moli di gas]

10. Si calcoli la quantita di aria (in moli) presente in un’aula scolastica. Si supponga che la stanzasia larga 5 metri, lunga 6 metri, altra 3 metri, che la pressione sia quella atmosferica e che la



temperatura sia primaverile (t = 23◦C). Come cambia questo numero d’inverno senza riscalda-mento nella stanza (t = 3◦C)? Si supponga che l’aria che respiriamo sia un gas perfetto.

[n = 3706 mol in primavera; n = 3975 mol in inverno]

11. Si calcoli la velocita quadratica media di una certa quantita di idrogeno molecolare (H2) allostato gassoso ed alla temperatura T = 300 K.

[vqm = 2500 m/s]

12. Si calcoli l’energia cinetica media di una certa quantita di elio gassoso (He) alla temperaturaT = 0◦C

[Ec = 5, 6× 10−21 J]

13. Che tipo di gas ha, alla temperatura T = 300 K, un’energia cinetica media Ec = 1, 449×10−20 J?

[Triatomico]

14. Che pressione imprimono sulle pareti del contenitore in cui si trovano 5 moli di un gas monoa-tomico di densita d = 5× 10−25 kg/m3 e velocita quadratica media vqm = 1000 m/s?

[P = 5 atm]

15. Un mole di gas monoatomico si trova alla temperatura Ti = 20◦C. Se un certo macchinariocompie un lavoro L = 100 J sul gas, a quale temperatura si trovera il gas, potendo trascurarequalsiasi tipo di dispersione?

[T = 301 K]

16. Qual e la temperatura di una mole di gas descritto dal punto (1; 2×104) nel Piano di Clapeyron?Si assumano le unita di misura del SI.

[T = 2407 K]

17. Si studi l’energetica del ciclo termodinamico descritto in figura (6.20). Si assuma n = 3 mol. Inparticolare si trovi il lavoro fatto dal gas nel ciclo.

[L = 966 J]

18. Si studi l’energetica del ciclo termodinamico descritto in figura (6.21). Si assuma n = 1 mol. Inparticolare si trovi il lavoro fatto dal gas nel ciclo ed il calore assorbito.

[L = 570 J; Q = 2570 J]

19. Quanto calore serve affinche, in una trasformazione isocora, la temperatura di una mole di gasperfetto monoatomico aumenti la sua temperatura da T1 = 200 K a T2 = 600 K?

[Q = 4986 J]

20. Qual e l’energetica del ciclo termodinamico descritto in un piano di Clapeyron (V (m3);P (Pa))da una circonferenza di centro C(3; 30000) e raggio r = 10? In particolare si trovi il lavoro fatto



Figura 6.20: Il ciclo segue la sequenza A→ B → C → D

dal gas nel ciclo ed il calore assorbito.

[L = 314 J; Q = 314 J]

21. Si calcoli il rendimento del ciclo termodinamico dell’esercizio (17)

[η = 30%]

22. Si calcoli il rendimento del ciclo termodinamico dell’esercizio (18)

[η = 25%]

23. Si calcoli il lavoro fatto da 5 cicli di una macchina ideale di Carnot dal rendimento ν = 60%,che assorbe Q = 500 J dalla sorgente calda.

[L = 1500 J]

24. Si calcoli la variazione di energia interna di 10 moli di gas perfetto biatomico che subiscono unatrasformazione isobara dallo stato (5; 2) nel piano di Clapeyron (V (l);P (atm)) fino allo stato(9; 2).

[∆U = 20 atm l ]

25. Si risolva l’esercizio (24) nel caso in cui il gas sia monoatomico.

[∆U = 1200 J]

26. Si calcoli il lavoro fatto da una mole di gas monoatomico perfetto in un’espansione adiabaticache triplichi il volume del gas a partire dallo stato (2; 5) nel piano di Clapeyron (V (l);P (atm)).

[L = 791 J]



Figura 6.21: Il ciclo segue la sequenza A→ B → C → D

27. Si calcoli la variazione di energia interna di due moli di gas biatomico che passi dalla temperaturaT1 = 200 K alla temperatura T2 = 350 K.

[∆U = 6233 J]

28. Si calcoli il calore ceduto alla sorgente fredda di una macchina di Carnot di rendimento η = 0, 7,se il lavoro della macchina e pari a L = 500 J.

[Q = 214 J]

29. Si calcoli il calore assorbito da una mole di gas perfetto che percorra un ciclo definito dal triangoloABC nel piano di Clapeyron (V (m3);P (Pa)) definito da A(2; 20000), B(4; 20000) e C(3; 40000).

[Q = 20000 J]

30. Un cilindro di volume V = 1, 5 m3 chiuso ermeticamente contiene due moli di gas biatomicoalla temperatura T = 300 K. Quale temperatura raggiungera il gas se dall’esterno si fornisceQ = 4000 J di calore?

[Tf = 396 K]

31. Si calcoli la variazione di entropia del gas nella trasformazione descritta nel problema (30)

[∆S = 11, 5 J/K]

32. Si calcoli la variazione di entropia di una mole di un gas perfetto monoatomico che si espandeliberamente fino a triplicare il suo volume.

[∆S = 9, 1 J/K]



33. Si calcoli la variazione di entropia dell’universo nello scioglimento di un cubetto di ghiaccio dimassa m = 200 g alla temperatura di fusione messo a contatto con una sorgente a temperaturaTs = 300 K.

[∆S = 22 J/K]

34. Si calcoli la variazione di entropia di una mole di gas perfetto monoatomico che subisce una tra-sformazione irreversibile dal punto (2; 6) al punto (3; 4) nel piano di Clapeyron (V (l);P (atm)).

[∆S = 3, 4 J/K]

35. Una macchina di Carnot lavora tra due sorgenti costituite l’una da un enorme blocco di ghiac-cio a Tf = 0◦C, l’altra da un’enorme quantita di acqua in ebollizione. Si calcoli il rendimentodella macchina di Carnot ed il lavoro svolto quando si e fusa una quantita di ghiaccio m = 10 Kg.

[η = 27%; L = 1, 2× 106 J]

36. Una certa quantita di gas perfetto, inizialmente nello stato con pressione pari a 101 kPa, volumepari a 25 l e temperatura pari a 300 K, subisce due trasformazioni successive. Dapprima latemperatura aumenta a pressione constante, raggiungendo il valore di 400 K. Successivamentela temperatura rimane costante, mentre il volume viene dimezzato. Dopo aver rappresentato letrasformazioni sul piano di Clapeyron, si determinino i valori finali delle variabili che descrivonolo stato del gas.

[P3 = 202 kPa; V3 = 17 l; T3 = 400 K, n = 1 mol]

37. Un motore termico di rendimento η = 25% produce 18,3 kJ di lavoro. Quanto calore deve as-sorbire per svolgere tale lavoro?

[Q = 73200 J]

38. Si calcoli l’aumento di entropia dell’universo quando 10 g di ghiaccio a 273 K sciolgono in 100kg d’acqua a 293 K. Si supponga che la temperatura dell’acqua rimanga costante.

[∆S = 0, 83 J/K]

39. Un ragazzino lancia una palla di massa m = 200 g con una velocita iniziale v0 = 50 m/s. Diquanto e aumentata l’entropia nell’universo quando la pallina si ferma dopo il lancio? Si sup-ponga che la temperatura dell’ambiente in cui il ragazzino lancia la palla sia T = 290 K

[∆S = 0, 86 J/K]

40. A un tizio scivola di mano un oggetto di massa m = 2 kg da un’altezza h = 1, 3 m in una giornatadi sole (t = 30◦ C). Di quanto aumenta l’entropia dell’universo quando l’oggetto e caduto a terra?

[∆S = 0, 08 J/K]

41. Describe the energetic balance in a ciclic process ABCD:

• AB adiabatic process: TA = 300K, TB = 400K, VA = 2lt, VB = 1lt

• BC isothermal process: VC = 3lt



• CD adiabatic process

• DA isothermal process

Assume 10 moles of a monoatomic gas. Show the process in the Clapeyron plane.

[L = 34 kJ; Q = 34 kJ]

42. Find the work done by one mole of monoatomic ideal gas in the cycle described in fig.6.22. Inwhich of these processes the gas gains/yields heat?

Figura 6.22: The cycle follows the sequence A→ B → C → A

[L = 1200 J ]

43. Six moles of a biatomic ideal gas changes its state gaining 40J of internal energy and 100J ofheat. What is the amount of work done by the gas? What happens if the gas would be monoa-tomic instead of biatomic?

[L = 60 J]

44. One mole of a monoatomic ideal gas expands isobarically gaining ∆U = 10J of internal energy.Assuming that it expansion is ∆V = 10l, what is its pressure?

[P = 667 Pa]

45. Find the work done by one mole of monoatomic ideal gas in the cycle described in fig.6.23. Inwhich of these processes the gas gains/yields heat?



Figura 6.23: The cycle follows the sequence A→ B → C → D → A

[L = 1600 J]

46. One mole of a monoatomic ideal gas at temperature T1 = 230K compresses adiabatically to atemperature T2 = 300K. Find the work done by the gas. If the gas was initially occupying avolume V1 = 10m3, find V2.

[L = −873 J, V2 = 6.7 m3]

47. Ten moles of a monoatomic ideal gas at temperature T1 = 260K, and volume V1 = 20l expandsisobarically to a volume V2 = 40l. Then it is compressed (adiabatically) back to V1. Finally itreturns to the first state. Draw the cycle in the Clapeyron plane, find the work done by the gasin the cycle, verifying the first law of thermodynamics.

[L = −16668 J]

48. Find the work done by one mole of monoatomic ideal gas in the cycle described in fig.6.24. Inwhich of these processes the gas gains/yields heat? Find ∆UA→D.

[L = 520 J,∆UA→D = 300 J]

49. Find the entropy change of three moles of monatomic gas that performs a transformation isoba-ric starting from (4 l; 2 atm) and doubling its volume.

[∆S = 43 J/K]



Figura 6.24: The cycle follows the sequence Aisoth.−−−→ B → C

isoth.−−−→ D

50. Find the entropy change of two moles of diatomic gas that performs a reversible transformationfrom A to B: TA = 200 K, VA = 80 m3, TB = 400 K and VB = 10 m3.

[∆S = −5, 8 J/K]


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