CAPÍTULO9

CentrodeMassaeMomentoLinear

9-1CENTRODEMASSA

ObjetivosdoAprendizadoDepoisdelerestemódulo,vocêserácapazde...

9.01Dadaaposiçãodeváriaspartículasemumeixoouumplano,determinaraposiçãodocentrodemassa.

9.02Determinaraposiçãodocentrodemassadeumobjetousandoprincípiosdesimetria.

9.03Nocasodeumobjetobidimensionaloutridimensionalcomumadistribuiçãohomogêneademassa,determinaraposiçãodocentrodemassa(a)dividindomentalmenteoobjetoemfigurasgeométricassimples,(b)substituindocadaumaporumapartículanocentrodafigura,e(c)calculandoocentrodemassadessaspartículas.

Ideia-Chave•Ocentrodemassadeumsistemadenpartículasédefinidocomoopontocujascoordenadassãodadaspor

emqueMéamassatotaldosistema.

OqueÉFísica?Todoengenheiromecânicocontratadocomoperitoparareconstituirumacidentedetrânsitousaafísica.Todotreinadorqueensinaumabailarinaasaltarusaafísica.Naverdade,paraanalisarqualquertipodemovimento complicado é preciso recorrer a simplificações que são possíveis apenas com umentendimentodafísica.Nestecapítulo,discutimosdequeformaomovimentocomplicadodeumsistemadeobjetos,comoumcarroouumabailarina,podesersimplificadosedeterminarmosumpontoespecialdosistema:ocentrodemassa.Eis um exemplo: Quando arremessamos uma bola sem imprimir muita rotação (Fig. 9-1a), o

movimentoésimples.Aboladescreveumatrajetóriaparabólica,comodiscutimosnoCapítulo4,epodesertratadacomoumapartícula.Quando,poroutrolado,arremessamosumtacodebeisebol(Fig.9-1b),omovimentoémaiscomplicado.Comocadapartedotacosegueumatrajetóriadiferente,nãoépossívelrepresentarotacocomoumapartícula.Entretanto,otacopossuiumpontoespecial,ocentrodemassa,quesegueumatrajetóriaparabólicasimples;asoutraspartesdotacosemovememtornodocentrode

Exemplo9.09 Empuxoeaceleraçãodeumfoguete

Emtodososexemplosanterioresdestecapítulo,amassadosistemainvestigadoeraconstante.Agoravamosanalisarumsistema

(umfoguete)cujamassadiminuicomotempo.UmfoguetecujamassainicialMié850kgconsomecombustívelaumataxaR=

2,3kg/s.Avelocidadevreldosgasesexpelidosemrelaçãoaomotordofogueteé2800m/s.

(a)Qualéoempuxodomotor?

IDEIA-CHAVE

DeacordocomaEq.9-87,oempuxoTéigualaoprodutodataxadeconsumodecombustívelRpelavelocidaderelativavreldos

gasesexpelidos.

Cálculo:Temos

(b)Qualéaaceleraçãoinicialdofoguete?

IDEIA-CHAVE

PodemosrelacionaroempuxoTdeumfogueteaomóduloadaaceleraçãoresultantepormeiodaequaçãoT=Ma,emqueMéa

massadofoguete.Àmedidaqueocombustíveléconsumido,Mdiminuieaaumenta.Comoestamosinteressadosnovalorinicial

dea,usamosovalorinicialdamassa,Mi.

Cálculos:Temos

ParaserlançadodasuperfíciedaTerra,umfoguetedeveterumaaceleraçãoinicialmaiorqueg=9,8m/s2.Issoequivaleadizer

queoempuxoTdomotordofoguetedevesermaiorqueaforçagravitacionalaqueofogueteestásubmetidonoinstantedo

lançamento,quenestecasoé igualaMig=(850kg) (9,8m/s2)=8330N.Comooempuxodonosso foguete(6400N)nãoé

suficiente,elenãopoderiaserlançadodasuperfíciedaTerra.

RevisãoeResumo

CentrodeMassa O centro demassa de um sistema den partículas é definido como o ponto cujascoordenadassãodadaspor

emqueMéamassatotaldosistema.

SegundaLeideNewtonparaumSistemadePartículasOmovimentodocentrodemassadequalquersistemadepartículaségovernadopelasegundaleideNewtonparaumsistemadepartículas,expressapelaequação

Aqui, res é a resultante de todas as forçasexternas que agem sobreo sistema,M é amassa total dosistema,e CMéaaceleraçãodocentrodemassadosistema.

Momento Linear e a Segunda Lei de Newton No caso de uma partícula isolada, definimos , omomentolinear,pormeiodaequação

emfunçãodoqualpodemosescreverasegundaleideNewtonnaforma

Paraumsistemadepartículas,essasrelaçõessetornam

Colisão e Impulso A aplicação da segunda lei de Newton a um corpo que se comporta como umapartículaeenvolvidoemumacolisãolevaaoteoremadoimpulsoemomentolinear:

emque f– i=∆ éavariaçãodomomentolineardocorpoe éoimpulsoproduzidopelaforça (t)exercidasobreocorpopelooutrocorpoenvolvidonacolisão:

SeFméd éomódulomédiode (t)duranteacolisãoeΔt é aduraçãodacolisão,paraummovimentounidimensional,temos:

Quandoumasériedeprojéteisdemassamevelocidadevcolidecomumcorpofixo,aforçamédiaqueagesobreocorpofixoédadapor

emquen/Δtéataxacomaqualoscorposcolidemcomocorpofixo,eΔvéavariaçãodavelocidadedecadacorpoquecolide.Aforçamédiatambémpodeserescritanaforma

emqueΔm/Δtéataxacomaqualamassacolidecomocorpofixo.NasEqs.9-37e9-40,Δv=−vseoscorposparamnomomentodoimpactoeΔv=−2vsericocheteiamsemmudançadavelocidadeescalar.

ConservaçãodoMomentoLinearSeumsistemaestáisoladodetalformaquenenhumaforçaresultanteexternaatuasobreosistema,omomentolinear dosistemapermanececonstante:

AEq.9-42tambémpodeserescritanaforma

emqueosíndicessereferemaosvaloresde emuminstanteinicialeemuminstanteposterior.AsEqs.9-42e9-43sãoexpressõesequivalentesdaleideconservaçãodomomentolinear.

ColisõesInelásticasemUmaDimensãoEmumacolisãoinelásticadedoiscorpos,aenergiacinéticadosistemadedoiscorposnãoéconservada.Seosistemaéfechadoeisolado,omomentolineartotaldosistemaéconservado,oquepodemosexpressaremformavetorialcomo

emqueos índices i e f se referem a valores imediatamente antes e imediatamente depois da colisão,respectivamente.

Seomovimentodoscorposocorreaolongodeumúnicoeixo,acolisãoéunidimensionalepodemosescreveraEq.9-50emtermosdascomponentesdasvelocidadesemrelaçãoaesseeixo:

Seosdoiscorpossemovemjuntosapósacolisão,acolisãoéperfeitamenteinelásticaeoscorpostêmamesmavelocidadefinalV(jáquesemovemjuntos).

MovimentodoCentrodeMassaOcentrodemassadeumsistemafechadoeisoladodedoiscorposquecolidemnãoéafetadopelacolisão.Emparticular,avelocidade CMdocentrodemassaéamesmaantesedepoisdacolisão.

ColisõesElásticas emUmaDimensãoUmacolisãoelástica é um tipo especial de colisão emque aenergiacinéticadeumsistemadecorposquecolideméconservada.Seosistemaéfechadoeisolado,omomentolineartambéméconservado.Paraumacolisãounidimensionalnaqualocorpo2éumalvoeocorpo1éumprojétil,aconservaçãodaenergiacinéticaeaconservaçãodomomento linear levamàsseguintesexpressõesparaasvelocidadesimediatamenteapósacolisão:

ColisõesemDuasDimensõesSedoiscorposcolidemenãoestão semovendoao longodeumúnicoeixo (a colisão não é frontal), a colisão é bidimensional. Se o sistema de dois corpos é fechado eisolado,aleideconservaçãodomomentoseaplicaàcolisãoepodeserescritacomo

Naformadecomponentes,aleiforneceduasequaçõesquedescrevemacolisão(umaequaçãoparacadaumadasduasdimensões).Seacolisãoéelástica(umcasoespecial),aconservaçãodaenergiacinéticanacolisãoforneceumaterceiraequação:

Sistemas de Massa Variável Na ausência de forças externas, a aceleração instantânea de fogueteobedeceàequação

emqueMéamassainstantâneadofoguete(queincluiocombustívelaindanãoconsumido),Réataxadeconsumodecombustívelevreléavelocidadedosprodutosdeexaustãoemrelaçãoaofoguete.OtermoRvreléoempuxodomotordofoguete.ParaumfoguetecomRevrelconstantes,cujavelocidadevariadeviparavfquandoamassavariadeMiparaMf,

Perguntas1 A Fig. 9-23 mostra uma vista superior de três partículas sobre as quais atuam forças externas. Omódulo e a orientação das forças que agem sobre duas das partículas estão indicados. Quais são omóduloeaorientaçãodaforçaqueagesobreaterceirapartículaseocentrodemassadosistemadetrêspartículasestá(a)emrepouso,(b)semovendocomvelocidadeconstanteparaadireitae(c)acelerandoparaadireita?

Figura9-23 Pergunta1.

2AFig.9-24mostra uma vista superior de quatro partículas demassas iguais que deslizam em umasuperfície sem atrito com velocidade constante. As orientações das velocidades estão indicadas; osmódulos são iguais. Considere pares dessas partículas.Que pares formam um sistema cujo centro demassa(a)estáemrepouso,(b)estáemrepousonaorigeme(c)passapelaorigem?

Figura9-24 Pergunta2.

3 Considere uma caixa que explode em dois pedaços enquanto se move com velocidade constantepositivaaolongodeumeixox.Seumdospedaços,demassam1,possuiumavelocidadepositiva 1,ooutropedaço,demassam2,pode ter (a)umavelocidadepositiva 2 (Fig.9-25a), (b) uma velocidadenegativa 2(Fig.9-25b)ou(c)velocidadezero(Fig.9-25c).Ordeneostrêsresultadospossíveisparaosegundopedaçodeacordocomomódulode 1correspondente,começandopelomaior.

Figura9-25 Pergunta3.

4AFig.9-26mostragráficosdomódulodaforçaqueagesobreumcorpoenvolvidoemumacolisãoemfunção do tempo. Ordene os gráficos de acordo com o módulo do impulso exercido sobre o corpo,começandopelomaior.

Figura9-26 Pergunta4.

5OsdiagramasdecorpolivrenaFig.9-27sãovistassuperioresdeforçashorizontaisagindosobretrêscaixas de chocolate que se movem em um balcão sem atrito. Para cada caixa, determine se ascomponentesxeydomomentolinearsãoconservadas.

Figura9-27 Pergunta5.

6AFig.9-28mostraquatrogruposdetrêsouquatropartículas iguaisquesemovemparalelamenteaoeixoxouaoeixoy, comamesmavelocidadeescalar.Ordeneosgruposdeacordocomavelocidadeescalardocentrodemassa,começandopelamaior.

Figura9-28 Pergunta6.

7Umbloco desliza emumpiso sem atrito na direção de um segundobloco que está inicialmente emrepouso e tem amesmamassa.A Fig. 9-29mostra quatro possibilidades para um gráfico da energiacinéticaKdosblocosantesedepoisdacolisão.(a)Indiquequaissãoaspossibilidadesquerepresentamsituações fisicamente impossíveis.Dasoutraspossibilidades, qual é a que representa (b) umacolisãoelásticae(c)umacolisãoinelástica?

Figura9-29 Pergunta7.

8AFig.9-30mostrauminstantâneodobloco1enquantodeslizaaolongodeumeixoxemumpisosematrito,antesdesofrerumacolisãoelásticacomumbloco2 inicialmenteemrepouso.Afigura tambémmostratrêsposiçõespossíveisparaocentrodemassadosistemadosdoisblocosnomesmoinstante.(OpontoBestáequidistantedoscentrosdosdoisblocos.)Apósacolisão,obloco1permaneceemrepouso,continuaasemovernomesmosentido,oupassaasemovernosentidoopostoseocentrodemassaestá(a)emA,(b)emBe(c)emC?

Figura9-30 Pergunta8.

9Doiscorpossofremumacolisãoelásticaunidimensionalaolongodeumeixox.AFig.9-31mostraaposiçãodoscorposedocentrodemassaemfunçãodotempo.(a)Osdoiscorposestavamsemovendoantes da colisão, ou um deles estava em repouso?Que reta corresponde aomovimento do centro demassa(b)antesdacolisãoe(c)depoisdacolisão?(d)Amassadocorpoqueestavasemovendomaisdepressaantesdacolisãoémaior,menorouigualàdooutrocorpo?

Figura9-31 Pergunta9.

10Umblocoemumpisohorizontalestáinicialmenteemrepouso,emmovimentonosentidopositivodeumeixoxouemmovimentonosentidonegativodomesmoeixo.Oblocoexplodeemdoispedaçosquecontinuamasemoverao longodoeixox.Suponhaqueoblocoeosdoispedaçosformemumsistemafechadoe isolado.AFig.9-32mostra seis possibilidadespara o gráficodomomentodobloco e dospedaços em função do tempo t. Indique as possibilidades que representam situações fisicamenteimpossíveisejustifiquesuaresposta.

Figura9-32 Pergunta10.

11Obloco1,demassam1,deslizaao longodeumeixox emumpisosematritoesofreumacolisãoelásticacomumbloco2demassam2inicialmenteemrepouso.AFig.9-33mostraumgráficodaposiçãox do bloco 1 em função do tempo t até a colisão ocorrer na posição xc e no instante tc. Em qual dasregiõesidentificadascomletrascontinuaográfico(apósacolisão)se(a)m1<m2,(b)m1>m2?(c)Aolongodequaldasretasidentificadascomnúmeroscontinuaográficosem1=m2?

Figura9-33 Pergunta11.

12AFig.9-34mostraquatrográficosdaposiçãoemfunçãodotempoparadoiscorposeseucentrodemassa. Os dois corpos formam um sistema fechado e isolado e sofrem uma colisão unidimensionalperfeitamenteinelástica,aolongodeumeixox.Nográfico1,(a)osdoiscorposestãosemovendonosentidopositivoounosentidonegativodoeixox?(b)Eocentrodemassa?(c)Quaissãoosgráficosquecorrespondemasituaçõesfisicamenteimpossíveis?Justifiquesuaresposta.

Figura9-34 Pergunta12.

Problemas

.-...Onúmerodepontosindicaograudedificuldadedoproblema.

InformaçõesadicionaisdisponíveisemOCircoVoadordaFísicadeJearlWalker,LTC,RiodeJaneiro,2008.

Módulo9-1CentrodeMassa

·1Umapartículade2,00kg temcoordenadasxy (−1,20m,0,500m), e umapartículade4,00kg temcoordenadasxy(0,600m,−0,750m).Ambasestãoemumplanohorizontal.Emquecoordenada(a)xe(b)ydeveserposicionadaumaterceirapartículade3,00kgparaqueocentrodemassadosistemadetrêspartículastenhacoordenadas(−0,500m,−0,700m)?

·2AFig.9-35mostraumsistemadetrêspartículasdemassasm1=3,0kg,m2=4,0kgem3=8,0kg.Asescalasdográficosãodefinidasporxs=2,0meys=2,0m.Qualé(a)acoordenadaxe(b)qualéacoordenaday do centro demassa do sistema? (c)Sem3 aumenta gradualmente, o centro demassa dosistemaseaproximadem3,seafastadem3,oupermaneceondeestá?

Figura9-35 Problema2.

··3AFig.9-36mostraumaplacadedimensõesd1=11,0cm,d2=2,80cmed3=13,0cm.Metadedaplaca é feita de alumínio (massa específica = 2,70 g/cm3) e a outra metade é feita de ferro (massaespecífica= 7,85 g/cm3).Determine (a) a coordenadax, (b) a coordenaday e (c) a coordenada z docentrodemassadaplaca.

Figura9-36 Problema3.

··4NaFig.9-37,trêsbarrasfinaseuniformes,decomprimentoL=22cm,formamumUinvertido.Cadabarraverticaltemmassade14g;abarrahorizontaltemmassade42g.Qualé(a)acoordenadaxe(b)qualéacoordenadaydocentrodemassadosistema?

Figura9-37 Problema4.

··5Quaissão(a)acoordenadaxe(b)acoordenadaydocentrodemassadaplacahomogêneadaFig.9-38,seL=5,0cm?

Figura9-38 Problema5.

··6 A Fig. 9-39 mostra uma caixa cúbica que foi construída com placas metálicas homogêneas, deespessuradesprezível.AcaixanãotemtampaetemumaarestaL=40cm.Determine(a)acoordenadax,(b)acoordenadaye(c)acoordenadazdocentrodemassadacaixa.

Figura9-39 Problema6.

···7Namolécula de amônia (NH3) daFig.9-40, três átomos de hidrogênio (H) formam um triânguloequilátero,comocentrodotriânguloaumadistânciad=9,40×10−11mdecadaátomodehidrogênio.Oátomode nitrogênio (N) está no vértice superior de uma pirâmide, comos três átomos de hidrogênioformandoabase.Arazãoentreasmassasdonitrogênioedohidrogênioé13,9,eadistâncianitrogênio-hidrogênioéL=10,14×10−11m.(a)Qualéacoordenada(a)xe(b)qualéacoordenadaydocentrodemassadamolécula?

Figura9-40 Problema7.

···8Uma latahomogênea temmassade0,140kg,alturade12,0cmecontém0,354kgde refrigerante(Fig.9-41).Pequenosfurossãofeitosnabaseenatampa(comperdademassadesprezível)paradrenarolíquido.Qualéaalturahdocentrodemassadalata(incluindooconteúdo)(a)inicialmentee(b)apósa lata ficarvazia?(c)Oqueacontececomhenquantoorefrigeranteestásendodrenado?(d)Sexéaalturadorefrigerantequeaindarestanalataemumdadoinstante,determineovalordexnoinstanteemqueocentrodemassaatingeopontomaisbaixo.

Figura9-41 Problema8.

Módulo9-2ASegundaLeideNewtonparaumSistemadePartículas

·9Umapedraédeixadacairemt=0.Umasegundapedra,commassaduasvezesmaior,édeixadacairdomesmopontoemt=100ms.(a)Aquedistânciadopontoinicialdaquedaestáocentrodemassadasduas pedras em t = 300 ms? (Suponha que as pedras ainda não chegaram ao solo.) (b) Qual é avelocidadedocentrodemassadasduaspedrasnesseinstante?

·10Umautomóvelde1000kgestáparadoemumsinaldetrânsito.Noinstanteemqueosinalabre,oautomóvel começa a se mover com uma aceleração constante de 4,0 m/s2. No mesmo instante, umcaminhãode2000kg,movendo-senomesmosentidocomvelocidadeconstantede8,0m/s,ultrapassaoautomóvel.(a)QualéadistânciaentreoCMdosistemacarro-caminhãoeosinaldetrânsitoemt=3,0s?(b)QualéavelocidadedoCMnesseinstante?

·11Umagrandeazeitona(m=0,50kg)estánaorigemdeumsistemadecoordenadasxy,eumagrandecastanha-do-pará(M = 1,5 kg) está no ponto (1,0; 2,0)m.Em t = 0, uma força o = (2,0 + 3,0 )Ncomeçaaagirsobreaazeitona,eumaforça n=(–3,0 –2,0 )Ncomeçaaagirsobreacastanha.Nanotaçãodosvetoresunitários,qualéodeslocamentodocentrodemassadosistemaazeitona-castanhaemt=4,0semrelaçãoàposiçãoemt=0?

·12 Dois patinadores, um de 65 kg e outro de 40 kg, estão em uma pista de gelo e seguram asextremidadesdeumavarade10mdecomprimentoemassadesprezível.Ospatinadores sepuxamaolongodavaraatéseencontrarem.Qualéadistânciapercorridapelopatinadorde40kg?

··13Umcanhãodisparaumprojétilcomumavelocidadeinicial 0=20m/seumânguloθ0=60°comahorizontal.Nopontomaisaltodatrajetória,oprojétilexplodeemdoisfragmentosdemassasiguais(Fig.9-42). Um fragmento, cuja velocidade imediatamente após a colisão é zero, cai verticalmente. A quedistânciadocanhãocaiooutrofragmento,supondoqueoterrenoéplanoequearesistênciadoarpodeserdesprezada?

Figura9-42 Problema13.

··14NaFig.9-43,duaspartículassãolançadasdaorigemdosistemadecoordenadasnoinstantet=0.Apartícula1,demassam1=5,00g,élançadahorizontalmenteparaadireita,emumpisosematrito,comumavelocidadeescalarde10,0m/s.Apartícula2,demassam2=3,00g,élançadacomumavelocidadeescalarde20,0m/seumângulotalquesemantémverticalmenteacimadapartícula1.(a)QualéaalturamáximaHmáx alcançadapeloCMdo sistemadeduaspartículas?Nanotaçãodosvetoresunitários, (b)qualéavelocidadee(c)qualéaaceleraçãodoCMaoatingirHmáx?

Figura9-43 Problema14.

··15AFig.9-44mostraumarranjocomumtrilhodearnoqualumcarrinhoestápresoporumacordaaumblocopendurado.Ocarrinhotemmassam1=0,600kgeocentrodocarrinhoestá inicialmentenascoordenadasxy(−0,500m,0m);oblocotemmassam2=0,400kgeocentrodoblocoestáinicialmentenas coordenadas xy (0, −0,100 m). As massas da corda e da polia são desprezíveis. O carrinho éliberadoapartirdorepouso,eocarrinhoeoblocosemovematéqueocarrinhoatinjaapolia.Oatritoentreocarrinhoeotrilhodeareoatritodapoliasãodesprezíveis.(a)Qualéaaceleraçãodocentrodemassadosistemacarrinho-bloconanotaçãodosvetoresunitários?(b)QualéovetorvelocidadedoCMem função do tempo t? (c) Plote a trajetória do CM. (d) Se a trajetória for curva, verifique se elaapresentaumdesvioparacimaeparaadireita,ouparabaixoeparaaesquerdaemrelaçãoaumalinhareta;seforretilínea,calculeoângulodatrajetóriacomoeixox.

Figura9-44 Problema15.

···16Ricardo,com80kgdemassa,eCarmelita,queémaisleve,estãoapreciandoopôrdosolnoLagoMercedesemumacanoade30kg.Comacanoaimóvelnaságuascalmasdolago,ocasaltrocadelugar.Seus assentos estão separados por uma distância de 3,0m e simetricamente dispostos em relação aocentrodaembarcação.Se,comatroca,acanoasedesloca40cmemrelaçãoaoatracadouro,qualéamassadeCarmelita?

···17NaFig.9-45a,umcachorrode4,5kgestáemumbarcode18kgaumadistânciaD=6,1mdamargem.Oanimalcaminha2,4maolongodobarco,nadireçãodamargem,epara.Supondoquenãoháatritoentreobarcoeaágua,determineanovadistânciaentreocãoeamargem.(Sugestão:VejaaFig.9-45b.)

Figura9-45 Problema17.

Módulo9-3MomentoLinear

·18Umabolade0,70kgestá semovendohorizontalmentecomumavelocidadede5,0m/squandosechoca com uma parede vertical e ricocheteia com uma velocidade de 2,0 m/s. Qual é o módulo davariaçãodomomentolineardabola?

·19Umcaminhãode2100kgviajandoparaonortea41km/hviraparalesteeaceleraaté51km/h.(a)Qual é a variação da energia cinética do caminhão? Qual é (b) o módulo e (c) qual é o sentido davariaçãodomomento?

··20Noinstantet=0,umabolaélançadaparacimaapartirdoníveldosolo,emterrenoplano.AFig.9-46mostraomódulopdomomentolineardabolaemfunçãodotempotapósolançamento(p0=6,0kg·m/sep1=4,0kg ·m/s).Determineoângulode lançamento. (Sugestão:Procureumasoluçãoquenãoenvolvaaleituranográficodoinstanteemquepassapelovalormínimo.)

Figura9-46 Problema20.

··21Umaboladesoftballde0,30kgtemumavelocidadede15m/squefazumângulode35°abaixodahorizontalimediatamenteantesdesergolpeadaporumtaco.Qualéomódulodavariaçãodomomentolinear da bola na colisão com o taco se a bola adquire uma velocidade escalar (a) de 20 m/s,verticalmenteparabaixo;(b)de20m/s,horizontalmentenadireçãodolançador?

··22AFig.9-47mostraumavistasuperiordatrajetóriadeumaboladesinucade0,165kgquesechocacomumadastabelas.Avelocidadeescalardabolaantesdochoqueé2,00m/seoânguloθ1é30,0°.Ochoqueinverteacomponenteydavelocidadedabola,masnãoalteraacomponentex.Determine(a)oânguloθ2e(b)avariaçãodomomentolineardabolaemtermosdosvetoresunitários.(Ofatodequeabolaestárolandoéirrelevanteparaasoluçãodoproblema.)

Figura9-47 Problema22.

Módulo9-4ColisãoeImpulso

·23 Com mais de 70 anos de idade, Henri LaMothe (Fig. 9-48) assombrava os espectadoresmergulhando, de barriga, de uma altura de 12m em um tanque de água com 30 cm de profundidade.Supondo que o corpo domergulhador parava de descer quando estava prestes a chegar ao fundo dotanque e estimando amassa domergulhador, calcule omódulo do impulso que a água exercia sobreHenri.

GeorgeLong/GettyImages,Inc.

Figura9-48 Problema23.Mergulhodebarrigaemumtanquecom30cmdeágua.

·24 Emfevereirode1955,umparaquedistasaltoudeumavião,caiu370msemconseguirabriroparaquedas e aterrissou em um campo de neve, sofrendo pequenas escoriações. Suponha que avelocidadedoparaquedistaimediatamenteantesdoimpactofossede56m/s(velocidadeterminal), suamassa(incluindoosequipamentos)fossede85kgeaforçadanevesobreoseucorpotenhaatingidoovalor(relativamenteseguro)de1,2×105N.Determine(a)aprofundidadedanevemínimaparaqueoparaquedistanãosofresseferimentosgravese(b)omódulodoimpulsodanevesobreoparaquedista.

·25Umabolade1,2kgcaiverticalmenteemumpisocomumavelocidadede25m/sericocheteiacomumavelocidadeinicialde10m/s.(a)Qualéoimpulsorecebidopelaboladuranteocontatocomopiso?(b)Seabolaficaemcontatocomopisopor0,020s,qualéaforçamédiaexercidapelabolasobreopiso?

·26Emumabrincadeiracomum,masmuitoperigosa,alguémpuxaumacadeiraquandoumapessoaestáprestesasesentar,fazendocomqueavítimaseestatelenochão.Suponhaqueavítimatem70kg,caideumaalturade0,50meacolisãocomopisodura0,082s.Qualéomódulo(a)doimpulsoe(b)daforçamédiaaplicadapelopisosobreapessoaduranteacolisão?

·27Umaforçanosentidonegativodeumeixoxéaplicadapor27msaumabolade0,40kgqueestavasemovendoa14m/snosentidopositivodoeixo.Omódulodaforçaévariável,eoimpulsotemummódulode32,4N·s.(a)Qualéomóduloe(b)qualéosentidodavelocidadedabolaimediatamenteapósaaplicação da força? (c) Qual é a intensidade média da força e (d) qual é a orientação do impulsoaplicadoàbola?

·28 Notae-kwon-do,amãodeumatletaatingeoalvocomumavelocidadede13m/separa,após5,0 ms. Suponha que, durante o choque, a mão é independente do braço e tem massa de 0,70 kg.Determineomódulo(a)doimpulsoe(b)daforçamédiaqueamãoexercesobreoalvo.

·29 Um bandido aponta uma metralhadora para o peito do Super- Homem e dispara 100 balas/min.Suponhaqueamassadecadabalaé3g,avelocidadedasbalasé500m/seasbalasricocheteiamnopeitodosuper-heróisemperdervelocidade.QualéomódulodaforçamédiaqueasbalasexercemsobreopeitodoSuper-Homem?

··30Duasforçasmédias.Umasériedebolasdenevede0,250kgédisparadaperpendicularmentecontraumaparedecomumavelocidadede4,00m/s.Asbolasficamgrudadasnaparede.AFig.9-49mostraomóduloFda força sobreaparedeemfunçãodo tempo t paradois choquesconsecutivos.Oschoquesocorrema intervalosΔtr=50,0ms,duramumintervalode tempoΔtd=10mseproduzemnográficotriângulosisósceles,comcadachoqueresultandoemumaforçamáximaFmáx=200N.Paracadachoque,qualéomódulo(a)doimpulsoe(b)daforçamédiaaplicadaàparede?(c)Emumintervalodetempocorrespondenteamuitoschoques,qualéomódulodaforçamédiaexercidasobreaparede?

Figura9-49 Problema30.

··31 Pulandoantesdochoque.Quandoocabodesustentaçãoarrebentaeosistemadesegurançafalha,umelevadorcai,emquedalivre,deumaalturade36m.Duranteacolisãonofundodopoçodoelevador,avelocidadedeumpassageirode90kgseanulaem5,0ms. (Suponhaquenãoháricochetenem do passageiro nem do elevador.) Qual é o módulo (a) do impulso e (b) da força médiaexperimentadapelopassageiroduranteacolisão?Seopassageiropulaverticalmenteparacimacomuma

velocidadede7,0m/semrelaçãoaopisodoelevadorquandoesteestáprestesasechocarcomofundodopoço,qualéomódulo(c)doimpulsoe(d)daforçamédia(supondoqueotempoqueopassageirolevaparapararpermaneceomesmo)?

··32 Um carro de brinquedo de 5,0 kg pode semover ao longo de um eixo x; a Fig. 9-50 mostra acomponenteFxdaforçaqueagesobreocarro,quepartedorepousonoinstantet=0.AescaladoeixoxédefinidaporFxs=5,0N.Nanotaçãodosvetoresunitários,determine(a) emt=4,0s;(b) emt=7,0s;(c) emt=9,0s.

Figura9-50 Problema32.

··33AFig.9-51mostraumaboladebeisebolde0,300kgimediatamenteanteseimediatamentedepoisdecolidircomumtaco.Imediatamenteantes,abolatemumavelocidade 1demódulo12,0m/seânguloθ1=35°.Imediatamentedepois,abolasemoveparacimanaverticalcomumavelocidade 2demódulo10,0m/s.Aduraçãodacolisãoéde2,00ms.(a)Qualéomóduloe(b)qualéaorientação(emrelaçãoaosemieixoxpositivo)doimpulsodotacosobreabola?(c)Qualéomóduloe(d)qualéosentidodaforçamédiaqueotacoexercesobreabola?

Figura9-51 Problema33.

··34 O lagarto basilisco é capaz de correr na superfície da água (Fig. 9-52). A cada passo, olagartobatenaáguacomapataeamergulha tãodepressaqueumacavidadedearseformaacimadapata.Paranãoterquepuxá-ladevoltasobaaçãodaforçadearrastodaágua,olagartolevantaapata,antesqueaáguapenetrenacavidadedear.Paraqueolagartonãoafunde,oimpulsomédioparacimaexercidoduranteamanobradebaternaáguacomapata,afundá-laerecolhê-ladeveserigualaoimpulso

parabaixoexercidopelaforçagravitacional.Suponhaqueamassadeumlagartobasiliscoé90,0g,amassadecadapataé3,00g,avelocidadedeumapataaobaternaáguaé1,50m/seaduraçãodeumpassoé0,600s.(a)Qualéomódulodoimpulsoqueaáguaexercesobreolagartoquandooanimalbatecom a pata na água? (Suponha que o impulso está orientado verticalmente para cima.) (b)Durante ointervalode0,600squeolagartolevaparadarumpasso,qualéoimpulsoparabaixosobreolagartodevidoàforçagravitacional?(c)Oprincipalmovimentoresponsávelpelasustentaçãodolagartoéodebaterapatanaágua,odeafundarapatanaágua,ouamboscontribuemigualmente?

StephenDalton/PhotoResearchers,Inc.

Figura9-52 Problema34.Umlagartocorrendonaágua.

··35AFig. 9-53mostra um gráfico aproximado domódulo da forçaF em função do tempo t para acolisãodeumaSuperbolade58gcomumaparede.Avelocidadeinicialdabolaé34m/s,perpendicularà parede; a bola ricocheteia praticamente com a mesma velocidade escalar, também perpendicular àparede. Quanto vale Fmáx, o módulo máximo da força exercida pela parede sobre a bola durante acolisão?

Figura9-53 Problema35.

··36Umdiscodemetalde0,25kgestá inicialmenteem repousoemumasuperfíciedegelo,deatritodesprezível.Noinstantet=0,umaforçahorizontalcomeçaaagirsobreodisco.Aforçaédadapor =(12,0–3,00t2) com emnewtonsetemsegundos,eageatéqueomóduloseanule.(a)Qualéomódulodoimpulsodaforçasobreodiscoentret=0,500set=1,25s?(b)Qualéavariaçãodomomentododiscoentret=0eoinstanteemqueF=0?

··37Umjogadordefutebolchutaumabola,demassa0,45kg,queestáinicialmenteemrepouso.Opédojogadorficaemcontatocomabolapor3,0×10−3seaforçadochuteédadapor

F(t)=[(6,0×106)t–(2,0×109)t2]N

para0≤t≤3,0×10−3s,emquetestáemsegundos.Determineomódulo(a)doimpulsosobreaboladevidoaochute,(b)daforçamédiaexercidapelopédojogadorsobreaboladuranteocontato,(c)daforçamáximaexercidapelopédojogadorsobreaboladuranteocontatoe(d)davelocidadedabolaimediatamenteapósperderocontatocomopédojogador.

··38Navista superiordaFig.9-54, umabola de300g comumavelocidade escalarv de 6,0m/s sechoca com uma parede com um ângulo θ de 30° e ricocheteia com amesma velocidade escalar e omesmoângulo.Abolapermaneceemcontatocomaparedepor10ms.Nanotaçãodosvetoresunitários,qualé(a)oimpulsodaparedesobreabolae(b)qualéaforçamédiadabolasobreaparede?

Figura9-54 Problema38.

Módulo9-5ConservaçãodoMomentoLinear

·39Umhomemde91kgemrepousoemumasuperfíciehorizontal,deatritodesprezível,arremessaumapedra de 68 g com uma velocidade horizontal de 4,0 m/s. Qual é a velocidade do homem após oarremesso?

·40Umanaveespacialestásemovendoa4300km/hemrelaçãoàTerraquando,apósterqueimadotodoocombustível,omotordofoguete(demassa4m)édesacopladoeejetadoparatráscomumavelocidadede82km/hemrelaçãoaomódulodecomando(demassam).QualéavelocidadedomódulodecomandoemrelaçãoàTerraimediatamenteapósaseparação?

··41AFig.9-55mostraum“foguete”deduaspontasqueestáinicialmenteemrepousoemumasuperfíciesematrito,comocentronaorigemdeumeixox.OfogueteéformadoporumblococentralC(demassaM = 6,00 kg) e dois blocosE eD (demassam = 2,00 kg cada um) dos lados esquerdo e direito.Pequenas explosões podem arremessar esses blocos para longe do bloco C, ao longo do eixo x.Considereaseguintesequência:(1)Noinstantet=0,oblocoEéarremessadoparaaesquerdacomuma

velocidadede3,00m/semrelação àvelocidadequea explosão imprimeao restodo foguete. (2)Noinstantet=0,80s,oblocoDéarremessadoparaadireitacomumavelocidadede3,00m/semrelaçãoàvelocidadedoblocoCnessemomento.(a)Qualé,noinstantet=2,80s,avelocidadedoblocoCe(b)qualéaposiçãodocentrodoblocoC?

Figura9-55 Problema41.

··42Umobjeto,demassamevelocidadevemrelaçãoaumobservador,explodeemdoispedaços,umcommassatrêsvezesmaiorqueooutro;aexplosãoocorrenoespaçosideral.Opedaçodemenormassaficaemrepousoemrelaçãoaoobservador.Qualéoaumentodaenergiacinéticadosistemacausadopelaexplosão,noreferencialdoobservador?

··43 NaOlimpíadade708a.C.,algunsatletasdisputaramaprovadesaltoemdistânciasegurandopesoschamadoshalteresparamelhorarodesempenho(Fig.9-56).Ospesoseramcolocadosàfrentedocorpoantesdeiniciarosaltoearremessadosparatrásduranteosalto.Suponhaqueumatletamoderno,de 78 kg, use dois halteres de 5,50 kg, arremessando-os horizontalmente para trás ao atingir a alturamáxima,detalformaqueavelocidadehorizontaldospesosemrelaçãoaochãosejazero.Suponhaqueavelocidadeinicialdoatletaseja =(9,5 +4,0 )m/scomousemoshalteresequeoterrenosejaplano.Qualéadiferençaentreasdistânciasqueoatletaconseguesaltarcomesemoshalteres?

RéuniondesMuséesNationaux/ArtResource

Figura9-56 Problema43.

··44NaFig.9-57,umblocoinicialmenteemrepousoexplodeemdoispedaços,EeD,quedeslizamemumpisoemumtrechosematritoedepoisentramemregiõescomatrito,ondeacabamparando.OpedaçoE,commassade2,0kg,encontraumcoeficientedeatritocinéticoμE=0,40echegaaorepousodepoisdepercorrerumadistânciadE=0,15m.OpedaçoDencontraumcoeficientedeatritocinéticoμD=0,50echegaaorepousodepoisdepercorrerumadistânciadD=0,25m.Qualeraamassadobloco?

Figura9-57 Problema44.

··45Umcorpode20,0kgestásemovendonosentidopositivodeumeixoxaumavelocidadede200m/squando,devidoaumaexplosãointerna,sequebraemtrêspedaços.Umdospedaços,commassade10,0kg, se afasta do ponto da explosão a uma velocidade de 100m/s no sentido positivo do eixo y. Umsegundopedaço,commassade4,00kg,semovenosentidonegativodoeixoxaumavelocidadede500m/s. (a)Nanotaçãodosvetoresunitários,qualéavelocidadeda terceiraparte? (b)Qualéaenergialiberadanaexplosão?Ignoreosefeitosdaforçagravitacional.

··46Umamarmitade4kgqueestádeslizandoemumasuperfíciesematritoexplodeemdoisfragmentosde2,0kg,umquesemoveparaonortea3,0m/seoutroquesemoveemumadireção30oaonortedolestea5,0m/s.Qualeraavelocidadeescalardamarmitaantesdaexplosão?

··47Umataçaemrepousonaorigemdeumsistemadecoordenadasxyexplodeemtrêspedaços.Logodepois da explosão, umdospedaços, demassam, está semovendo comvelocidade (−30m/s) e umsegundopedaço, tambémdemassam,estásemovendocomvelocidade(−30m/s) .O terceiropedaçotemmassa3m.Determine(a)omóduloe(b)aorientaçãodavelocidadedoterceiropedaçologoapósaexplosão.

···48UmapartículaA e uma partículaB são empurradas uma contra a outra, comprimindo umamolacolocadaentreasduas.Quandoaspartículassãoliberadas,amolaasarremessaemsentidosopostos.AmassadeAé2,00vezesamassadeBeaenergiaarmazenadanamolaera60J.Suponhaqueamolatemmassadesprezívelequetodaaenergiaarmazenadaétransferidaparaaspartículas.Depoisdeterminadaatransferência,qualéaenergiacinética(a)dapartículaAe(b)dapartículaB?

Módulo9-6MomentoeEnergiaCinéticaemColisões

·49Umabalacom10gdemassasechocacomumpêndulobalísticocom2,00kgdemassa.Ocentrodemassadopêndulosobeumadistânciaverticalde12cm.Supondoqueabala ficaalojadanopêndulo,calculeavelocidadeinicialdabala.

·50Umabalade5,20gquesemovea672m/satingeumblocodemadeirade700g inicialmenteemrepousoemumasuperfíciesematrito.Abalaatravessaoblocoesaidooutro ladocomavelocidadereduzidapara428m/s. (a)Qualéavelocidade finaldobloco? (b)Qualéavelocidadedocentrodemassadosistemabala-bloco?

··51NaFig.9-58a,umabalade3,50gédisparadahorizontalmentecontradoisblocosinicialmenteemrepousoemumamesasematrito.Abalaatravessaobloco1(com1,20kgdemassa)eficaalojadanobloco2(com1,80kgdemassa).Avelocidadefinaldobloco1év1=0,630m/s,eadobloco2év2=1,40m/s(Fig.9-58b).Desprezandoomaterialremovidodobloco1pelabala,calculeavelocidadeda

bala(a)aosairdobloco1e(b)aoentrarnobloco1.

Figura9-58 Problema51.

··52NaFig.9-59,umabalade10gquesemoveverticalmenteparacimaa1000m/ssechocacomumblocode5,0kginicialmenteemrepouso,passapelocentrodemassadoblocoesaidooutroladocomumavelocidadede400m/s.Qualéaalturamáximaatingidapeloblocoemrelaçãoàposiçãoinicial?

Figura9-59 Problema52.

··53EmAnchorage,ascolisõesdeumveículocomumalcesãotãocomunsquereceberamoapelidodeCVA.Suponhaqueumcarrode1000kgderrapaatéatropelarumalceestacionáriode500kgemumaestradamuitoescorregadia,comoanimalatravessandoopara-brisa(oqueacontecemuitasvezesnessetipodeatropelamento).(a)Queporcentagemdaenergiacinéticadocarroétransformada,pelacolisão,emoutrasformasdeenergia?AcidentessemelhantesacontecemnaArábiaSaudita,naschamadasCVC(colisõesentreumveículoeumcamelo).(b)Queporcentagemdaenergiacinéticadocarroéperdidaseamassadocameloé300kg?(c)Nocasogeral,aperdapercentualaumentaoudiminuiquandoamassadoanimaldiminui?

··54Umacolisão frontalperfeitamente inelásticaocorreentreduasbolasdemassademodelarquesemovemaolongodeumeixovertical.Imediatamenteantesdacolisão,umadasbolas,demassa3,0kg,estásemovendoparacimaa20m/seaoutrabola,demassa2,0kg,estásemovendoparabaixoa12m/s.Qualéaalturamáximaatingidapelasduasbolasunidasacimadopontodecolisão?(Desprezearesistênciadoar.)

··55Umblocode5,0kgcomumavelocidadeescalarde3,0m/scolidecomumblocode10kgcomumavelocidadeescalarde2,00m/squesemovenamesmadireçãoesentido.Apósacolisão,oblocode10kgpassaasemovernomesmosentidocomumavelocidadede2,5m/s.(a)Qualéavelocidadedoblocode5,0kgimediatamenteapósacolisão?(b)Dequantovariaaenergiacinéticatotaldosistemadosdoisblocosporcausadacolisão?(c)Suponhaqueavelocidadedoblocode10kgapósochoqueé4,0m/s.Qualé,nessecaso,avariaçãodaenergiacinéticatotal?(d)Expliqueoresultadodoitem(c).

··56Nasituação“antes”daFig.9-60,ocarroA (commassade1100kg)estáparadoemumsinaldetrânsitoquandoéatingidona traseirapelocarroB (commassade1400kg).Osdoiscarrosderrapamcomasrodasbloqueadasatéqueaforçadeatritocomoasfaltomolhado(comumcoeficientedeatritoμkde 0,13) os leva ao repouso depois de percorrerem distâncias dA = 8,2 m e dB = 6,1 m. Qual é avelocidadeescalar (a)docarroAe (b)docarroBno iníciodaderrapagem, logoapósacolisão? (c)Supondo que omomento linear é conservado na colisão, determine a velocidade escalar do carroBpoucoantesdacolisão.(d)Expliqueporqueessasuposiçãopodenãoserrealista.

Figura9-60 Problema56.

··57NaFig.9-61,umabolademassam=60gédisparadacomvelocidadevi=22m/sparadentrodocanodeumcanhãodemolademassaM=240ginicialmenteemrepousoemumasuperfíciesematrito.Abolaficapresanocanodocanhãonopontodemáximacompressãodamola.Suponhaqueoaumentodaenergiatérmicadevidoaoatritodabolacomocanosejadesprezível.(a)Qualéavelocidadeescalardocanhãodepoisqueabolaparadentrodocano?(b)Quefraçãodaenergiacinética inicialdabolaficaarmazenadanamola?

Figura9-61 Problema57.

···58NaFig.9-62,obloco2(commassade1,0kg)estáemrepousoemumasuperfíciesematritoeem

contato com uma das extremidades de uma mola relaxada de constante elástica 200 N/m. A outraextremidadedamolaestápresaemumaparede.Obloco1(commassade2,0kg),quesemoveaumavelocidadev1=4,0m/s,colidecomobloco2,eosdoisblocospermanecemjuntos.Qualéacompressãodamolanoinstanteemqueosblocosparammomentaneamente?

Figura9-62 Problema58.

···59NaFig.9-63,obloco1(commassade2,0kg)estásemovendoparaadireitacomumavelocidadeescalarde10m/seobloco2(commassade5,0kg)estásemovendoparaadireitacomumavelocidadeescalarde3,0m/s.Asuperfícienãotematrito,eumamolacomumaconstanteelásticade1120N/mestápresanobloco2.Quandoosblocos colidem, a compressãodamola émáximano instante emqueosblocostêmamesmavelocidade.Determineamáximacompressãodamola.

Figura9-63 Problema59.

Módulo9-7ColisõesElásticasemUmaDimensão

·60NaFig.9-64,oblocoA(commassade1,6kg)deslizaemdireçãoaoblocoB(commassade2,4kg)aolongodeumasuperfíciesematrito.Ossentidosdetrêsvelocidadesantes(i)edepois(f)dacolisãoestãoindicados;asvelocidadesescalarescorrespondentessãovAi=5,5m/s,vBi=2,5m/sevBf=4,9m/s.Determine (a) omódulo e (b) o sentido (para a esquerda ou para a direita) da velocidade Af. (c)Acolisãoéelástica?

Figura9-64 Problema60.

·61Umcarrinhodemassacom340gdemassa,quesemoveemumapistadear sematritocomumavelocidadeinicialde1,2m/s,sofreumacolisãoelásticacomumcarrinhoinicialmenteemrepouso,demassa desconhecida. Após a colisão, o primeiro carrinho continua a se mover na mesma direção e

sentidocomumavelocidadeescalarde0,66m/s.(a)Qualéamassadosegundocarrinho?(b)Qualéavelocidadedosegundocarrinhoapósacolisão?(c)Qualéavelocidadedocentrodemassadosistemadosdoiscarrinhos?

·62Duasesferasdetitânioseaproximamcomamesmavelocidadeescalaresofremumacolisãoelásticafrontal.Apósacolisão,umadasesferas,cujamassaé300g,permaneceemrepouso.(a)Qualéamassadaoutraesfera?(b)Qualéavelocidadedocentrodemassadasduasesferasseavelocidadeescalarinicialdecadaesferaéde2,00m/s?

··63Obloco1,demassam1,deslizaemumpisosematritoesofreumacolisãoelásticaunidimensionalcomobloco2,demassam2=3m1.Antesdacolisão,ocentrodemassadosistemadedoisblocostinhaumavelocidadede3,00m/s.Depoisdacolisão,qual éavelocidade (a)docentrodemassae (b)dobloco2?

··64Umaboladeaço,demassa0,500kg,estápresaemumaextremidadedeumacordade70,0cmdecomprimento.Aoutraextremidadeestáfixa.Abolaéliberadaquandoacordaestánahorizontal(Fig.9-65).Napartemaisbaixadatrajetória,abolasechocacomumblocodemetalde2,50kginicialmenteemrepousoemumasuperfíciesematrito.Acolisãoéelástica.Determine(a)avelocidadeescalardabolae(b)avelocidadeescalardobloco,ambasimediatamenteapósacolisão.

Figura9-65 Problema64.

··65Umcorpocom2,0kgdemassasofreumacolisãoelásticacomumcorpoemrepousoecontinuaasemovernamesmadireçãoesentido,comumquartodavelocidade inicial. (a)Qualéamassadooutrocorpo?(b)Qualéavelocidadedocentrodemassadosdoiscorpos,seavelocidadeinicialdocorpode2,0kgerade4,0m/s?

··66Obloco1,demassam1evelocidade4,0m/s,quedeslizaaolongodeumeixoxemumpisosematrito,sofreumacolisãoelásticacomobloco2,demassam2=0,40m1,inicialmenteemrepouso.Osdoisblocos deslizampara uma região onde o coeficiente de atrito cinético é 0,50 e acabamparando.Quedistânciadentrodessaregiãoépercorrida(a)pelobloco1e(b)pelobloco2?

··67NaFig.9-66,apartícula1,demassam1=0,30kg,deslizaparaadireitaaolongodeumeixoxemumpiso sematrito comumavelocidade escalar de2,0m/s.Quando chega aopontox = 0, sofre umacolisão elástica unidimensional com a partícula 2 de massam2 = 0,40 kg, inicialmente em repouso.

Quandoapartícula2sechocacomumaparedenopontoxp=70cm,ricocheteiasemperdervelocidadeescalar.Emquepontodoeixoxapartícula2voltaacolidircomapartícula1?

Figura9-66 Problema65.

··68NaFig.9-67,obloco1,demassam1,deslizaapartirdorepousoemumarampasematritoapartirdeumaalturah=2,50mecolidecomobloco2,demassam2=2,00m1,inicialmenteemrepouso.Apósacolisão,obloco2deslizaemumaregiãoondeocoeficientedeatritocinéticoμké0,500epara,depoisdepercorrerumadistânciadnessaregião.Qualéovalordadistânciadseacolisãofor(a)elásticae(b)perfeitamenteinelástica?

Figura9-67 Problema68.

···69 Umapequenaesferademassamestáverticalmenteacimadeumabolamaior,demassaM=0,63kg(comumapequenaseparação,comonocasodasbolasdebeisebolebasquetedaFig.9-68a),easduasbolas sãodeixadas cair simultaneamentedeumaalturah = 1,8m. (Suponhaqueos raios dasbolassãodesprezíveisemcomparaçãocomh.)(a)Seabolamaiorricocheteiaelasticamentenochãoedepoisabolamenorricocheteiaelasticamentenamaior,quevalordemfazcomqueabolamaiorparemomentaneamentenoinstanteemquecolidecomamenor?(b)Nessecaso,quealturaatingeabolamenor(Fig.9-68b)?

Figura9-68 Problema69.

···70NaFig.9-69,odisco1,demassam1=0,20kg,deslizasematritoemumabancadadelaboratórioaté sofrer uma colisão elástica unidimensional com o disco 2, inicialmente em repouso. O disco 2 éarremessadoparaforadabancadaevaicairaumadistânciaddabasedabancada.Acolisãofazodisco1inverteromovimentoeserarremessadoparaforadaoutraextremidadedabancada, indocairaumadistância2ddabaseoposta.Qualéamassadodisco2?(Sugestão:Tomecuidadocomossinais.)

Figura9-69 Problema70.

Módulo9-8ColisõesemDuasDimensões

··71NaFig.9-21,apartícula1éumapartículaalfaeapartícula2éumnúcleodeoxigênio.Apartículaalfaéespalhadadeumânguloθ1=64,0°eonúcleodeoxigêniorecuacomumavelocidadeescalarde1,20×105m/seumânguloθ2=51,0°.Emunidadesdemassaatômica,amassadapartículaalfaé4,00ueamassadonúcleodehidrogênioé16,0u.(a)Qualéavelocidadefinale(b)inicialdapartículaalfa?

··72AbolaB,quesemovenosentidopositivodeumeixoxcomvelocidadev, colide comabolaAinicialmenteemrepousonaorigem.AeBtêmmassasdiferentes.Apósacolisão,Bsemovenosentidonegativodoeixoycomvelocidadeescalarv/2.(a)QualéaorientaçãodeAapósacolisão?(b)MostrequeavelocidadedeAnãopodeserdeterminadaapartirdasinformaçõesdadas.

··73 Após uma colisão perfeitamente inelástica, dois objetos de mesma massa e mesma velocidadeescalar inicial deslocam-se juntos com metade da velocidade inicial. Determine o ângulo entre as

velocidadesiniciaisdosobjetos.

··74Doiscorposde2,0kg,AeB,sofremumacolisão.Asvelocidadesantesdacolisãosão A=(15 +30 )m/se B=(–10 +5,0 )m/s.Apósacolisão, =(–5,0 +20 )m/s.Determine(a)avelocidadefinaldeBe(b)avariaçãodaenergiacinéticatotal(incluindoosinal).

··75Opróton1,comumavelocidadede500m/s,colideelasticamentecomopróton2,inicialmenteemrepouso.Depoisdochoque,osdoisprótonssemovememtrajetóriasperpendiculares,comatrajetóriadopróton1fazendo60°comadireçãoinicial.Apósacolisão,qualéavelocidadeescalar(a)dopróton1e(b)dopróton2?

Módulo9-9SistemasdeMassaVariável:UmFoguete

·76 Uma sonda espacial de 6090 kg, movendo-se com o nariz à frente em direção a Júpiter a umavelocidadede105m/semrelaçãoaoSol,acionaomotor,ejetando80,0kgdeprodutosdecombustãoaumavelocidadede253m/semrelaçãoànave.Qualéavelocidadefinaldanave?

·77NaFig.9-70,duas longasbarcaçasestãosemovendonamesmadireçãoemáguas tranquilas,umacomvelocidadeescalarde10km/heaoutracomvelocidadeescalarde20km/h.Quandoestãopassandoumapelaoutra,operários jogamcarvãodabarcaçamais lentaparaamais rápidaauma taxade1000kg/min. Que força adicional deve ser fornecida pelos motores (a) da barcaça mais rápida e (b) dabarcaça mais lenta para que as velocidades não mudem? Suponha que a transferência de carvão éperpendicularàdireçãodomovimentodasbarcaçasequeaforçadeatritoentreasbarcaçaseaáguanãodependedamassadasbarcaças.

Figura9-70 Problema77.

·78Considereumfoguetequeestánoespaçosideral,emrepousoemrelaçãoaumreferencialinercial.Omotordofoguetedeveseracionadoporumcerto intervalode tempo.Determinearazãodemassa do

foguete(razãoentreasmassasinicialefinal)nesseintervaloparaqueavelocidadeoriginaldofogueteemrelaçãoaoreferencialinercialsejaigual(a)àvelocidadedeexaustão(velocidadedosprodutosdeexaustãoemrelaçãoaofoguete)e(b)aduasvezesavelocidadedeexaustão.

·79Umfoguetequeestánoespaçosideral,emrepousoemrelaçãoaumreferencialinercial,temmassade2,55×105kg,daqual1,81×105kgsãodecombustível.Omotordofogueteéacionadopor250s,duranteosquaisocombustíveléconsumidoàtaxade480kg/s.Avelocidadedosprodutosdeexaustãoemrelaçãoaofogueteé3,27km/s.(a)Qualéoempuxodofoguete?Apósos250sdefuncionamentodomotor,qualé(b)amassae(c)qualéavelocidadedofoguete?

ProblemasAdicionais

80Umobjetoérastreadoporumaestaçãoderadareseverificaqueseuvetorposiçãoédadopor =(3500–160t) +2700 +300 com emmetrosetemsegundos.Oeixoxdaestaçãoderadarapontapara leste, o eixo y para o norte e o eixo z verticalmente para cima. Se o objeto é um foguetemeteorológicode250kg, determine (a) omomento linear do foguete, (b) a direçãodomovimentodofoguetee(c)aforçaqueagesobreofoguete.

81Oúltimoestágiodeumfoguete,queestáviajandoaumavelocidadede7600m/s,écompostodeduaspartespresasporumatrava:uminvólucro,commassade290,0kg,eumacápsuladecarga,commassade150,0kg.Quandoatravaéaberta,umamolainicialmentecomprimidafazasduaspartessesepararemcomumavelocidade relativade910,0m/s.Qual éavelocidade (a)do invólucroe (b)dacápsuladecarga depois de separados? Suponha que todas as velocidades são ao longo da mesma linha reta.Determineaenergiacinética totaldasduaspartes (c) antes e (d)depoisde separadas. (e)Expliqueadiferença.

82 Desabamento de um edifício. Na seção reta de um edifício que aparece na Fig. 9-71a, ainfraestruturadeumandarqualquer,K,deve sercapazde sustentaropesoP de todosos andaresqueestãoacima.Normalmente,ainfraestruturaéprojetadacomumfatordesegurançasepodesustentarumaforça para baixo sP >P. Se, porém, as colunas de sustentação entreK e L cederem bruscamente epermitiremqueos andaresmais altos caiamemqueda livre sobreo andarK (Fig.9-71b), a força dacolisãopodeexcedersPefazercomque,logodepois,oandarKcaiasobreoandarJ,quecaisobreoandarI,eassimpordiante,atéoandartérreo.Suponhaqueadistânciaentreosandareséd=4,0mequetodos têmamesmamassa.Suponha tambémque,quandoosandaresqueestãoacimadoandarKcaemsobreoandarKemquedalivre,acolisãoleva1,5ms.Nessascondiçõessimplificadas,quevalordeveterocoeficientedesegurançasparaqueoedifícionãodesabe?

Figura9-71 Problema82.

83“Relativamente”éumapalavra importante.NaFig.9-72,oblocoE, demassamE = 1,00 kg, e oblocoD,demassamD=0,500kg,sãomantidosnolugarcomumamolacomprimidaentreosdoisblocos.Quandoosblocossãoliberados,amolaos impulsionaeosblocospassamadeslizaremumpisosematrito. (Amola temmassa desprezível e cai nopiso depois de impulsionar os blocos.) (a)Se amolaimprimeaoblocoEumavelocidadede1,20m/srelativamenteaopiso,quedistânciaoblocoDpercorreem0,800s?(b)Se,emvezdisso,amolaimprimeaoblocoEumavelocidadede1,20m/srelativamenteaoblocoD,quedistânciaoblocoDpercorreem0,800s?

Figura9-72 Problema83.

84AFig.9-73mostraumavistasuperiordeduaspartículasquedeslizamcomvelocidadeconstanteemumasuperfíciesematrito.Aspartículastêmamesmamassaeamesmavelocidadeinicialv=4,00m/secolidemnopontoemqueastrajetóriasseinterceptam.Oeixoxcoincidecomabissetrizdoânguloentreastrajetóriasincidenteseθ=40,0°.Aregiãoàdireitadacolisãoestádivididaemquatrosetores(A,B,CeD)peloeixoxeporquatroretastracejadas(1,2,3e4).Emquesetorouaolongodequeretaaspartículasviajamseacolisãofor(a)perfeitamenteinelástica,(b)elásticae(c)inelástica?Quaissãoasvelocidadesfinaisdaspartículasseacolisãofor(d)perfeitamenteinelásticae(e)elástica?

Figura9-73 Problema84.

85 }Redutordevelocidade.NaFig.9-74,obloco1,demassam1,deslizaaolongodeumeixoxemumpisosematrito,comumavelocidadede4,00m/s,atésofrerumacolisãoelásticaunidimensionalcomobloco2,demassam2=2,00m1,inicialmenteemrepouso.Emseguida,obloco2sofreumacolisãoelásticaunidimensional comobloco3,demassam3 = 2,00m2, inicialmente em repouso. (a)Qual é avelocidadefinaldobloco3?(b)Avelocidade,(c)aenergiacinéticae(d)omomentodobloco3sãomaiores,menoresouiguaisaosvaloresiniciaisdobloco1?

Figura9-74 Problema85.

86 Amplificadordevelocidade.NaFig.9-75,obloco1,demassam1,deslizaaolongodeumeixox em um piso sem atrito, com uma velocidade v1i = 4,00 m/s, até sofrer uma colisão elásticaunidimensionalcomobloco2,demassam2=0,500m1,inicialmenteemrepouso.Emseguida,obloco2sofre uma colisão elástica unidimensional com o bloco 3, de massam3 = 0,500m2, inicialmente emrepouso.(a)Qualéavelocidadedobloco3apósacolisão?(b)Avelocidade,(c)aenergiacinéticae(d)omomentodobloco3sãomaiores,menoresouiguaisaosvaloresiniciaisdobloco1?

Figura9-75 Problema86.

87 Uma bola com uma massa de 150 g se choca com uma parede a uma velocidade de 5,2 m/s ericocheteia com apenas 50% da energia cinética inicial. (a) Qual é a velocidade escalar da bolaimediatamenteapósochoque?(b)Qualéomódulodoimpulsodabolasobreaparede?(c)Seabolapermaneceemcontatocomaparedepor7,6ms,qualéomódulodaforçamédiaqueaparedeexercesobreaboladuranteesseintervalodetempo?

88Uma espaçonave é separada emduas partes pela detonação dos rebites explosivos que asmantêmunidas.Asmassasdaspartessão1200kge1800kg;omódulodoimpulsoqueaexplosãodosrebitesexercesobrecadaparteé300N·s.Comquevelocidaderelativaasduaspartesseseparam?

89Umcarrode1400kgestásemovendoinicialmenteparaonortea5,3m/s,nosentidopositivodeumeixoy.Depoisdefazerumacurvade90°paraadireitaem4,6s,omotorista,desatento,bateemumaárvore,queparaocarroem350ms.Nanotaçãodosvetoresunitários,qualéoimpulsosobreocarro(a)devidoàcurvae(b)devidoàcolisão?Qualéomódulodaforçamédiaqueagesobreocarro(c)duranteacurvae (d)duranteacolisão? (e)Qualéadireçãoda forçamédiaqueagesobreocarroduranteacurva?

90Umcertonúcleoradioativo(pai)setransformaemumnúcleodiferente(filho)emitindoumelétrone

umneutrino.Onúcleopaiestavaemrepousonaorigemdeumsistemadecoordenadasxy.Oelétronseafastadaorigemcomummomentolinear(−1,2×10−22kg·m/s) ;oneutrinoseafastadaorigemcomummomentolinear(−6,4×10−23kg·m/s) .(a)Qualéomóduloe(b)qualaorientaçãodomomentolineardonúcleofilho?(c)Seonúcleofilhotemumamassade5,8×10−26kg,qualésuaenergiacinética?

91Umhomemde75kg,queestavaemumcarrinhodegolfede39kgquesemoviaaumavelocidadede2,3m/s,puloudocarrinhocomvelocidadehorizontalnulaemrelaçãoaochão.Qualfoiavariaçãodavelocidadedocarrinho,incluindoosinal?

92Doisblocosdemassas1,0kge3,0kgestãoligadosporumamolaerepousamemumasuperfíciesematrito.Osblocos começama semover umemdireção aooutrodemodoqueoblocode1,0kgviajainicialmentea1,7m/semdireçãoaocentrodemassa,quepermaneceemrepouso.Qualéavelocidadeinicialdooutrobloco?

93Uma locomotiva comamassa de 3,18×104 kg colide comumvagão inicialmente em repouso.Alocomotivaeovagãopermanecemjuntosapósacolisão,e27%daenergiacinéticainicialétransferidaparaenergiatérmica,sons,vibraçõesetc.Determineamassadovagão.

94UmvelhoChryslercom2400kgdemassa,queviajaemumaestradaretilíneaa80km/h,éseguidoporumFordcom1600kgdemassaa60km/h.Qualéavelocidadedocentrodemassadosdoiscarros?

95NoarranjodaFig.9-21,aboladesinuca1,quesemovea2,2m/s,sofreumacolisãooblíquacomabola de sinuca 2, que está inicialmente em repouso. Após a colisão, a bola 2 se move com umavelocidadeescalarde1,1m/secomumânguloθ2=60°.(a)Qualéomóduloe(b)qualaorientaçãodavelocidade da bola 1 após a colisão? (c) Os dados fornecidos mostram que a colisão é elástica ouinelástica?

96Umfogueteestáseafastandodosistemasolaraumavelocidadede6,0×103m/s.Omotordofogueteéacionadoeejetaprodutosdecombustãoaumavelocidadede3,0×103m/semrelaçãoaofoguete.Amassadofoguetenessemomentoé4,0×104kgeaaceleraçãoé2,0m/s2.(a)Qualéoempuxodomotordofoguete?(b)Aquetaxa,emquilogramasporsegundo,osprodutosdecombustãoestãosendoejetados?

97AstrêsbolasvistasdecimanaFig.9-76sãoiguais.Asbolas2e3estãosetocandoeestãoalinhadasperpendicularmenteàtrajetóriadabola1.Avelocidadedabola1temmódulov0=10m/seestádirigidaparaopontodecontatodasbolas2e3.Apósacolisão,quaissão(a)omóduloe(b)aorientaçãodavelocidadedabola2, (c)omóduloe(d)aorientaçãodavelocidadedabola3e(e)omóduloe(f)aorientação da velocidade da bola 1? (Sugestão:Na ausência de atrito, cada impulso está dirigido aolongodaretaqueligaoscentrosdasbolasenvolvidasnacolisãoeéperpendicularàssuperfíciesquesetocam.)

Figura9-76 Problema97.

98Umabolade0,15kgsechocacomumaparedeaumavelocidadede(5,00m/s) +(6,50m/s) +(4,00m/s) ricocheteianaparedeepassaa terumavelocidadede(2,00m/s) +(3,50m/s) +(–3,20m/s) .Determine(a)avariaçãodomomentodabola,(b)oimpulsoexercidopelaparedesobreabolae(c)oimpulsoexercidopelabolasobreaparede.

99NaFig.9-77,dois recipientes iguaiscomdeterminadaquantidadedeaçúcarestão ligadosporumacordaquepassaporumapolia sematrito.Acordaeapolia têmmassadesprezível, amassadecadarecipienteéde500g(incluindooaçúcar),oscentrosdosrecipientesestãoseparadosporumadistânciade50mmeosrecipientessãomantidosàmesmaaltura.Qualéadistânciahorizontalentreocentrodemassadorecipiente1eocentrodemassadosistemadedoisrecipientes(a)inicialmentee(b)após20gde açúcar serem transferidos do recipiente 1 para o recipiente 2? Após a transferência e após osrecipientesseremliberadosapartirdorepouso,(c)emquesentidoe(d)comqueaceleraçãoocentrodemassasemove?

Figura9-77 Problema99.

100 Em um jogo de sinuca, a bola branca se choca comoutra bola inicialmente em repouso.Após ochoque,abolabrancasemovecomumavelocidadeescalarde3,50m/saolongodeumaretaquefazumângulode22,0°comadireçãodomovimentodabolabrancaantesdochoque,easegundabolatemumavelocidadeescalarde2,00m/s.Determine(a)oânguloentreadireçãodomovimentodasegundabolaeadireçãodomovimentodabolabrancaantesdochoquee(b)avelocidadeescalardabolabrancaantesdochoque.(c)Aenergiacinética(doscentrosdemassa,nãoconsidereasrotações)éconservada?

101NaFig.9-78,umacaixadesapatosdecorridade3,2kgdeslizaemumamesahorizontalsematritoecolidecomumacaixadesapatilhasdebaléde2,0kginicialmenteemrepousonaextremidadedamesa,aumaalturah=0,40mdochão.Avelocidadedacaixade3,2kgé3,0m/simediatamenteantesdacolisão.Seascaixasgrudamumanaoutraporestaremfechadascomfitaadesiva,qualéaenergiacinéticadoconjuntoimediatamenteantesdeatingirochão?

Figura9-78 Problema101.

102NaFig.9-79,umhomemde80kgestáemumaescadapenduradaemumbalãoquepossuiumamassatotalde320kg(incluindoopassageironacesta).Obalãoestáinicialmenteemrepousoemrelaçãoaosolo.Seohomemnaescadacomeçaasubiraumavelocidadede2,5m/semrelaçãoàescada,(a)emquesentidoe(b)comquevelocidadeobalãosemove?(c)Qualéavelocidadedobalãoquandoohomemcompletaasubidaeentranacesta?

Figura9-79 Problema102.

103NaFig.9-80,obloco1,demassam1=6,6kg,estáemrepousoemumamesasematritoqueestáencostadaemumaparede.Obloco2,demassam2,estáposicionadoentreobloco1eaparedeedeslizaparaaesquerdaemdireçãoaobloco1comvelocidadeconstantev2i.Determineovalordem2paraoqualosdoisblocossemovemcomamesmavelocidadeapósobloco2colidirumavezcomobloco1eumavezcomaparede.Suponhaqueascolisõessãoelásticas(acolisãocomaparedenãomudaavelocidadeescalardobloco2).

Figura9-80 Problema103.

104Oroteirodeumfilmedeaçãorequerqueumpequenocarrodecorrida(comumamassade1500kgeum comprimento de 3,0 m) acelere ao longo de uma barcaça (com uma massa de 4000 kg e umcomprimentode14m),deumaextremidadeaoutradaembarcação,esalteparaumcaisumpoucomaisabaixo.Vocêéoconsultortécnicodofilme.Nomomentoemqueocarroentraemmovimento,obarcoestáencostadonocais,comonaFig.9-81;obarcopodedeslizarnaáguasemresistênciasignificativa;adistribuição de massa do carro e da barcaça pode ser considerada homogênea. Calcule qual será adistânciaentreobarcoeocaisnoinstantedosalto.

Figura9-81 Problema104.

105Umobjetode3,0kg,quesemovecomumavelocidadeescalarde8,0m/snosentidopositivodeumeixox,sofreumacolisãoelásticaunidimensionalcomumobjetodemassaM inicialmenteemrepouso.Apósacolisão,oobjetodemassaMtemumavelocidadeescalarde6,0m/snosentidopositivodoeixox.QualéovalordamassaM?

106Umvagãoabertode2140kg,quepodesemovercomatritodesprezível,estáparadoaoladodeumaplataforma.Umlutadordesumôde242kgcorrea5,3m/spelaplataforma(paralelamenteaostrilhos)epulanovagão.Qualéavelocidadedovagãoseolutador(a)paraimediatamente,(b)continuaacorrera5,3m/s em relação ao vagão, nomesmo sentido, e (c) fazmeia-volta e passa a correr a 5,3m/s emrelaçãoaovagãonosentidooposto?

107 Um foguete de 6100 kg está preparado para ser lançado verticalmente a partir do solo. Se avelocidadedeexaustãoé1200m/s,qualéamassadegásquedeveserejetadaporsegundoparaqueoempuxo (a) seja igual aomóduloda forçagravitacionalqueage sobreo foguetee (b)proporcioneaofogueteumaaceleraçãoinicial,paracima,de21m/s2?

108Ummódulode500,0kgestáacopladoaumanavedetransportede400,0kgquesemovea1000m/semrelaçãoaumanave-mãeemrepouso.Umapequenaexplosãofazomódulosemoverpara tráscomumavelocidadede100,0m/s em relação ànovavelocidadedanavede transporte.Qual éo aumentorelativodaenergiacinéticadomóduloedanavedetransporteemconsequênciadaexplosão,dopontode

vistadostripulantesdanave-mãe?

109 (a)A que distância do centro da Terra se encontra o centro demassa do sistemaTerra-Lua? (OApêndice C fornece as massas da Terra e da Lua e a distância entre os dois astros.) (b) A queporcentagemdoraiodaTerracorrespondeessadistância?

110Umabolade140gsechocaperpendicularmentecomumaparedea7,8m/sericocheteianosentidoopostocomamesmavelocidade.Ochoquedura3,80ms.(a)Qualéoimpulsoe(b)qualaforçamédiaqueabolaexercesobreaparede?

111Umtrenófoguetecommassade2900kgsemovea250m/ssobredoistrilhos.Emumdadoinstante,umtuboabordodotrenóémergulhadoemumcanalsituadoentreostrilhosepassaatransferiráguaparao tanquedo trenó, inicialmentevazio.Aplicandoa leideconservaçãodomomento linear,determineavelocidadedotrenódepoisque920kgdeáguasãotransferidosdocanalparaotrenó.Ignoreoatritodotubocomaáguadocanal.

112Umametralhadoradechumbinhodisparadezbalasde2,0gporsegundocomumavelocidadeescalarde500m/s.Asbalassãoparadasporumaparederígida.Determine(a)omódulodomomentodecadabala, (b) a energia cinéticade cadabala e (c)omóduloda forçamédia exercidapelasbalas sobre aparede. (d)Secadabalapermaneceemcontato comaparedepor0,60ms,qual éomóduloda forçamédiaexercidaporumabalasobreaparede?(e)Porqueaforçamédiaétãodiferentedaforçamédiacalculadaem(c)?

113Umvagãodeestradadeferrosemovesobumaesteiratransportadoradegrãoscomumavelocidadeescalar de 3,20m/s. Os grãos caem no vagão a uma taxa de 540 kg/min. Qual é omódulo da forçanecessáriaparamanterovagãoemmovimentocomvelocidadeconstanteseoatritoédesprezível?

114AFig.9-82mostraumaplacaquadradahomogêneadelado6d=6,0mdaqualumpedaçoquadradodelado2dfoiretirado.(a)Qualéacoordenadaxe(b)qualacoordenadaydocentrodemassadaparterestante?

115Noinstantet=0,umaforça 1=(–4,00 +5,00 )Nagesobreumapartículademassa2,00×10−3

kg,inicialmenteemrepouso,eumaforça 2=(2,00 –4,00 )Nagesobreumapartículademassa4,00×10−3kg,tambéminicialmenteemrepouso.Doinstantet=0aoinstantet=2,00ms,qualé(a)omóduloe(b)qualéoângulo(emrelaçãoaosemieixoxpositivo)dodeslocamentodocentrodemassadosistemadasduaspartículas?(c)Qualéaenergiacinéticadocentrodemassaemt=2,00ms?

Figura9-82 Problema114.

116Duas partículas,P eQ, são liberadas a partir do repouso a 1,0m de distância uma da outra.ApartículaPtemmassade0,10kgeapartículaQtemmassade0,30kg.PeQseatraemcomumaforçaconstantede1,0×10−2N.Nenhumaforçaexternaagesobreosistema.(a)QualéavelocidadedocentrodemassadePeQquandoadistânciaentreaspartículasé0,50m?(b)AquedistânciadaposiçãoinicialdePaspartículascolidem?

117Umacolisãoocorreentreumcorpode2,00kgquesemovecomumavelocidade 1=(–4,00m/s) +(–5,00m/s) eumcorpode4,00kgquesemovecomumavelocidade 2=(6,00m/s) +(–2,00m/s) .Osdoiscorpospermanecemunidosapósacolisão.Determineavelocidadecomumdosdoiscorposapósacolisão(a)nanotaçãodosvetoresunitáriosecomo(b)ummóduloe(c)umângulo.

118NoarranjodasduasesferasdaFig.9-20,suponhaqueaesfera1 temmassade50geumaalturainicialh1 = 9,0 cm e que a esfera 2 temmassa de 85 g. Depois que a esfera 1 é liberada e colideelasticamentecomaesfera2,quealturaéalcançada(a)pelaesfera1e(b)pelaesfera2?Apósacolisão(elástica) seguinte, que altura é alcançada (c) pela esfera 1 e (d) pela esfera 2? (Sugestão: Não usevaloresarredondados.)

119NaFig.9-83,obloco1deslizaaolongodeumeixoxemumpisosematritocomumavelocidadede0,75m/satésofrerumacolisãoelásticacomobloco2,inicialmenteemrepouso.Atabelaaseguirmostraamassaeocomprimentodosblocos(homogêneos)eaposiçãodocentrodosblocosnoinstantet=0.Determineaposiçãodocentrodemassadosistemadedoisblocos(a)emt=0,(b)noinstantedochoquee(c)emt=4,0s.

Figura9-83 Problema119.

Bloco Massa(kg) Comprimento(cm) Centroemt=0

1 0,25 5,0 x=–1,50m

2 0,50 6,0 x=0

120Umcorpoestásemovendocomumavelocidadeescalarde2,0m/snosentidopositivodeumeixox;nenhumaforçaagesobreocorpo.Umaexplosãointernaseparaocorpoemduaspartes,ambasde4,0kg,eaumentaaenergiacinética totalem16J.Aparteda frentecontinuaa semovernamesmadireçãoesentidoqueocorpooriginal.Qualéavelocidadeescalar(a)dapartedetráse(b)dapartedafrentedocorpo?

121Umelétronsofreumacolisãoelásticaunidimensionalcomumátomodehidrogênioinicialmenteemrepouso.Queporcentagemdaenergiacinéticainicialdoelétronétransferidaparaaenergiacinéticadoátomodehidrogênio?(Amassadoátomodehidrogênioé1840vezesmaiorqueamassadoelétron.)

122Umhomem(com915Ndepeso)estáempéemumvagãodetrem(com2415Ndepeso)enquantoestesemovea18,2m/snosentidopositivodeumeixox,comatritodesprezível.Ohomemcomeçaacorrernosentidonegativodoeixoxcomumavelocidadeescalarde4,00m/semrelaçãoaovagão.Qualéoaumentodavelocidadedovagão?

123Umasondaespacialnãotripulada(demassamevelocidadevemrelaçãoaoSol)seaproximadoplaneta Júpiter (demassaM e velocidadeVJ em relação ao Sol), comomostra a Fig. 9-84.A sondacontornaoplanetaepassaasemovernosentidooposto.Qualéavelocidadedasonda,emrelaçãoaoSol,depoisdoencontrocomJúpiter,quepodeseranalisadocomosefosseumacolisão?Suponhaquev=10,5km/seVJ=13,0km/s (avelocidadeorbitaldeJúpiter).Leveemcontao fatodequeamassadeJúpiterémuitomaiorqueamassadasonda(M≫m).

Figura9-84 Problema123.

124Umabolacomumamassade0,550kgcaiverticalmenteemumpisodeconcreto,chocando-secomopisoaumavelocidadede12,0m/sericocheteandoverticalmentecomumavelocidadede3,00m/s.Useumeixoyvertical,comosentidopositivoparacima.Nanotaçãodosvetoresunitários,determine(a)avariaçãodomomentodabola,(b)oimpulsosobreabolae(c)oimpulsosobreopiso.

125Umnúcleoatômicoemrepousonaorigemdeumsistemadecoordenadasxy sedesintegraemtrês

partículas.Apartícula1,commassade16,7×10−27kg,seafastadaorigemcomumavelocidade(6,00×106m/s) ; apartícula2, comumamassade8,35×10−27 kg, se afasta daorigemcomumavelocidade(−8,00×106m/s) .(a)Nanotaçãodosvetoresunitários,qualéomomentolineardaterceirapartícula,cujamassaé11,7×10−27kg?(b)Qualéaenergiacinéticaproduzidapeladesintegração?

126Apartícula1,commassade200g,quesemoveaumavelocidadede3,00m/s,sofreumacolisãounidimensionalcomapartícula2,commassade400g,queestava inicialmenteemrepouso.Qualéomódulodoimpulsosobreapartícula1seacolisãofor(a)elásticae(b)perfeitamenteinelástica?

127Duranteumamissãolunar,énecessárioaumentarde2,2m/savelocidadedeumaespaçonavequandoelaestáaumavelocidadede400m/semrelaçãoàLua.Avelocidadedosgasesejetadospelomotordofoguete é 1000 m/s em relação à espaçonave. Que fração na massa inicial da espaçonave deve serqueimadaeejetadaparaproduziressavariaçãodevelocidade?

128Umtacoatingeumaboladesinuca,inicialmenteemrepouso,comumaforçamédiade32Nduranteumintervalode14ms.Seamassadabolaé0,20kg,qualéavelocidadedabolaimediatamenteapósochoque?

_______________*Nestapassagem,usamosaidentidadea2–b2=(a–b)(a+b),oquefacilitaasoluçãodosistemadeequaçõesconstituídopelasEqs.9-65e9-66.