MOMENTI DI SECONDO ORDINE INERZIA J. INERZIA ASSIALE IL momento statico di una massa rispetto a una...
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MOMENTI DI SECONDO ORDINE
INERZIA J
INERZIA ASSIALE
• IL momento statico di una massa rispetto a una retta è dato del prodotto del la massa per la sua distanza dalla retta.
Mentre
• il momento d’inerzia è dato dal prodotto della massa per il quadrato della sua distanza dalla retta.
Questa è la differenza tra momenti di primo ordine e
secondo ordine
Cosa è quindi il momento d’inerzia?
• È tra virgolette “un coefficiente di forma delle sezioni”
Momento d’inerzia assiale
È la somma dei prodotti delle singole masse per la distanza
al quadrato tra le stesse e l’asse di riferimento
sinteticamente
Il momento d’inerzia polare
• il momento d’inerzia polare di un sistema di masse rispetto a un punto P è la somma dei prodotti delle singole masse per i quadrati delle rispettive distanze dal punto P
Semplificazione Momento d’inerzia polare
• Il momento polare può essere espresso attraverso il momento d’inerzia rispetto a due generici assi ortogonali passanti per il polo P; è sufficiente sostituire nella sua definizione, in luogo del quadrato della distanza d la somma dei quadrati dei due cateti x e y proiezioni ortogonali sugli assi cartesiani della distanza d
il momento d’inerzia polare è anche dato dalla somma dei
due momenti d’inerzia Jx e Jy valutati rispetto a due generici assi ortogonali passanti per P.
Il momento centrifugo
• Esso è definito nei riguardi di due assi x, y
non ortogonali
differenze
• a differenza dei due casi precedenti, il momento centrifugo può risultare positivo, negativo o nullo perché i prodotti x possono essere positivi o negativi a seconda che le masse abbiano entrambe le coordinate positive o negative oppure una coordinata positiva e l’altra negativa.
TEOREMA DI TRASPOSIZIONE
• Un’importante proprietà dei momenti del secondo ordine fu stabilita da Huygens da cui prende nome il relativo
teorema.
TEOREMA DI TRASPOSIZIONE
• il momento d’inerzia di un sistema di masse rispetto a un asse è uguale al momento d’inerzia del sistema rispetto all’asse parallelo baricentrico (Xg o Yg), aumentato del prodotto della somma delle masse per il quadrato della distanza fra i due assi.
sinteticamente
nota
• fra tutti i momenti d’inerzia di un sistema di masse rispetto a un fascio di rette parallele, il momento d’inerzia minimo
è quello rispetto alla retta baricentrica.
Il teorema di trasposizione
• Il teorema di trasposizione è particolarmente utile in tutti i casi in
cui sono noti i momenti d’inerzia baricentrici; tuttavia, per esigenze
di calcolo, spesso siamo obbligati a determinare il momento d’inerzia rispetto ad altri assi significativi
Caso di profilati a doppio T
• Un caso di frequente
applicazione è quello delle
sezioni d profilati in acciaio di cui il
M.d’inerzia Jx e Jy si conoscono tramite tabelle
Formula inversa
• spesso, è necessario calcolare il momento d’inerzia rispetto ad assi tangenti la figura o viceversa partendo dal Momento d’inerzia generico rispetto ad un asse si può risalire al momento d’Inerzia baricentrico utilizzando la formula inversa
Formula inversa
Figure piane - rettangolo
• Determinazione del Momento d’inerzia rispetto ad un asse tangente la base
dimostrazione1. Suddividiamo il rettangolo in strisce
elementari;2. Rappresentiamo le aree con vettori
baricentrici3. Rappresentiamo Il baricentro di tali masse che
è a H/24. Calcoliamo i momenti statici dei singoli vettori
e costruiamo il diagramma triangolare relativo e ne definiamo il baricentro 2/3 H
5. Calcoliamo il momento d’inerzia come area totale BH per la distanza baricentrica H/2 per la distanza del baricentro dei momenti statici.
Ne consegue :
Jx
Inerzia baricentrica di una rettangolo
• Noto il valore del momento d’inerzia rispetto alla base del rettangolo, possiamo dedurre, attraverso il teorema di trasposizione, il valore del momento d’inerzia rispetto a un asse parallelo e baricentrico dalla relazione seguente: