1

Conservazione della quantità di moto

2

Introdurremo questo nuovo argomento definendo il centro di massa di un corpo.

Fino adesso abbiamo studiato il moto dei corpi adottando in molti casi la definizione

di punto materiale, o particella, cioè un corpo di massa m ma dimensioni infinitesime.

In effetti nel caso del moto traslatorio di un corpo di dimensioni finite, ciascun punto

del corpo in questione effettua, istante per istante, lo stesso spostamento di ogni altro

punto. Quindi il moto di una singola particella rappresenta bene il moto dell’intero corpo.

E in effetti, anche se il corpo è soggetto a delle vibrazioni o ruota su se stesso, possiamo

comunque rappresentare il suo moto traslatorio col moto di un suo particolare punto

detto centro di massa del corpo in questione.

3

Similmente, se abbiamo un sistema di particelle, possiamo descrivere il moto traslatorio

dell’intero sistema col moto del centro di massa del sistema.

Cominciamo quindi col definire il centro di massa. Cominciamo col caso semplice di un

sistema costituito da due sole particelle di massa m1 e m2 distanti rispettivamente x1

e x2 da una certa origine 0 in un sistema unidimensionale descritto dall’asse x .

Battezziamo la coordinata del centro di massa

Il centro di massa (C.M.) è il punto localizzato ad una distanza xCM dall’origine 0,

dove xCM vale:

xCM = (m1x1 + m2x2) / (m1 + m2)

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Questo punto ha la proprietà che il prodotto della massa totale del sistema per la

distanza di questo puto dall’origine è uguale alla somma dei prodotti della massa

di ciascuna particella per la sua distanza dall’origine.

(m1 + m2) xCM = m1x1 + m2x2

x0

m1m2

x1

x2

In sostanza, xCM può essere considerato come la media pesata di x1 e x2

In questa media pesata delle distanze, il fattore peso per ogni particella è la frazione

della massa totale del sistema posseduta da quella particella.

5

In sostanza, per rifarci all’esperienza quotidiana, il C.M. di un sistema altro

non è che il suo baricentro: sappiamo dell’esperienza quotidiana che se vogliamo

tenere in equilibrio un corpo in cui la distribuzione delle masse non è uniforme

non dobbiamo posizionarlo nella sua «metà» ma nel suo baricentro.

6

Analogamente, se abbiamo un sistema di N particelle disposte lungo una retta

(per esempio l’asse delle x) il centro di massa del sistema, riferito ad una certa

origine, è localizzato nel punto di coordinata:

xCM = ( ∑ mi xi ) / ∑ mi

Dove x1 x2 …………….. xN rappresenta la coordinata di ognuna delle N particelle

Poiché ∑ mi è la massa totale del sistema M potremo scrivere:

M xCM = ∑ mi xi

7

Supponiamo adesso di avere 3 particelle, non disposte lungo una retta, ma contenute

in un piano x-y come per esempio in figura.

x0

m1

m2

x1

ym3

x2 x3

y3

y2

y1

Il centro di massa di questo sistema di 3 particelle è individuato dal punto le cui coordinate, misurate rispetto all’origine 0, sono date da:

xCM = (m1x1 + m2x2 + m3x3) / (m1 + m2 + m3)

yCM = (m1y1 + m2y2 + m3y3) / (m1 + m2 + m3)

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x0

y

Analogamente, per un gran numero di particelle contenuto nel piano x-y:

Il centro di massa è individuato dal punto che ha per coordinate:

xCM = ( ∑ mi xi ) / ∑ mi

yCM = ( ∑ mi yi ) / ∑ mi

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E per un gran numero di particelle distribuite in un volume x-y-z:

x0

y

z

Il centro di massa è individuato dal punto che ha per coordinate:

xCM = ( ∑ mi xi ) / ∑ mi

yCM = ( ∑ mi yi ) / ∑ mi

zCM = ( ∑ mi zi ) / ∑ mi

10

Ci si può facilmente rendere conto che la posizione del centro di massa è indipendente

dal sistema di coordinate usato:

Il centro di massa di un sistema di particelle dipende solo dalle masse delle particelle

e dalla posizione relativa di esse

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Un corpo di dimensioni finite, quello che normalmente in Fisica è denominato «corpo rigido»

può essere pensato come un sistema di particelle «molto fitto». Anche per un corpo rigido

pertanto possiamo definire il centro di massa. Il numero di particelle (per esempio di atomi!!!)

di norma è così elevato , e la distanza fra particella così piccola, che risulta più conveniente

trattare il corpo come una distribuzione continua di massa.

Per comprendere il processo al limite che applicheremo in questo caso e che ci porterà

verso l’utilizzo di un integrale, immaginiamo in prima istanza di dividere il corpo

in questione in tanti cubetti elementari, ognuno di massa Δmi, localizzati

approssimativamente nei punti di coordinate xi y i zi . Le coordinate del centro di massa

saranno date approssimativamente da:

xCM = ( ∑ Δmi xi ) / ∑ Δ mi

yCM = ( ∑ Δ mi yi ) / ∑ Δ mi

zCM = ( ∑ Δ mi zi ) / ∑ Δ mi

12

Ora, supponiamo di dividere il corpo in esame in cubetti sempre più piccoli, facendo

tendere quindi Δm 0 e il numero di cubetti N ∞ (infinito). Dividiamo in sostanza

il corpo in questione in un numero infinito di volumetti di massa infinitesima.

Le coordinate del centro di massa potranno essere definite in modo esatto come segue:

xCM = lim ( ∑ Δmi xi ) / ∑ Δ mi = x dm / dm = (1/M ) x dm

yCM = lim ( ∑ Δ mi yi ) / ∑ Δ mi = y dm / dm = (1/M ) y dm

zCM = lim ( ∑ Δ mi zi ) / ∑ Δ mi = z dm / dm = (1/M ) z dm

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

Δmi 0

Δmi 0

Δmi 0

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E facile rendersi conto che le tre coordinate xCM yCM yCM sono le coordinate del

vettore posizione definito in uno spazio x-y-z. Questo definisce in un’unica

equazione vettoriale il centro di massa di un corpo:

sCM = s dm / dm

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Considerazioni di simmetria

Spesso tratteremo corpi omogenei (densità costante in funzione della posizione (x,y,z)

che possiedono un punto, una linea o un piano di simmetria.

In questo caso il centro di massa cadrà in quel punto, o lungo quella linea, o su quel piano.

Per esempio, una sfera omogenea possiede un punto di simmetria: il suo centro, e infatti

è lì che è localizzato il suo centro di massa.

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Il moto del centro di massa

A prima vista potrebbe sembrare superfluo affrontare la questione del moto del centro

di massa. Per esempio nel caso del moto di un corpo rigido, è abbastanza intuitivo rendersi

conto che il moto del centro di massa altro non è che il moto traslatorio dello stesso corpo.

Tuttavia, nel caso in cui il sistema in esame non è un corpo rigido, ma è per esempio un

insieme di particelle, la cosa va trattata con maggiore attenzione.

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Consideriamo quindi un sistema di particelle, distribuito per semplicità lungo l’asse x:

x0

Risulta che:

M xCM = m1x1 + m2x2 + ……….+ mNxN

Derivando questa equazione rispetto al tempo si ottiene:

M dxCM / dt = m1 dx1 / dt + m2 dx2 / dt + ……….+ mN dxN / dt

M vCMx = m1 v1x + m2 v2x + …………… mN vNx

in cui individuiamo la velocità del centro di massa e le velocità delle singole particelle

lungo l’asse x. Derivando ancora rispetto al tempo, scriveremo che:

M a CMx = m1 a1x + m2 a2x + …………… mN aNx

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Risulta in sostanza:

M a CMx = F1x + F2x + ………. FNx

Analoghe equazioni per gli assi y e z potranno essere determinate per il caso

di un sistema di particelle distribuite in un volume. Le tre equazioni scalari

M a CMx = F1x + F2x + ………. FNx

M a CMy = F1y + F2y + ………. FNy

M a CMz = F1z + F2z + ………. FNz

Possono essere riunite in un’unica equazione vettoriale:

M a CM = F1 + F2 + ………. FN

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Questa formula (che ci riconduce alla II Legge di Newton):

M a CM = F1 + F2 + ………. FN

stabilisce in sostanza che: il prodotto della massa complessiva del gruppo di particelle

per l’accelerazione del centro di massa è uguale alla somma vettoriale di tutte le forze

che agiscono sul sistema di particelle

Poiché eventuali forze interne saranno a due a due equali e contrarie

(III Legge di Newton) considereremo solo le forze esterne

Cioè il moto del centro di massa sarebbe quello che risulterebbe se tutta la massa fosse

concentrata in quel punto e se su questo punto agisse una forza pari alla risultante di

tutte le forze esterne agenti sul sistema: Fest = M aCM

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Questa conclusione vale per qualsiasi configurazione del corpo o del sistema di

particelle, sia che si tratti di un corpo rigido in cui tutte le particelle occupano

posizioni fisse, sia per un agglomerato di particelle in cui le posizioni relative

possono cambiare (moto interno).

Qualunque sia il sistema, e comunque possano muoversi le sue parti, il centro di massa

si muove sempre obbedendo alla relazione:

Fest = M aCM

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Quantità di moto di una particella

La quantità di moto di una particella di massa m e velocità v è un vettore denominato p

definito dalla relazione:

p = mv

Può essere utile ricordare che Newton nei suoi famosi Principia, enunciò la II Legge proprio

in base alla quantità di moto, affermando cioè che: la rapidità di variazione nel tempo della

quantità di moto di un corpo è proporzionale alla risultante delle forze agenti su di esso

ed è diretta parallelamente a tale forza. Che implica la seguente formulazione matematica:

F = dp/dt

Poiché p = mv, se la massa è costante, questa formula si riduce a

F = m dv/dt F = ma

Che è la formulazione della II Legge di Newton che già conosciamo.

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Ma scritta come F = dp/dt la II Legge ha indubbiamente delle conseguenze:

F = dp/dt = d(mv)dt

In generale, in accordo con le regole del calcolo differenziale scriveremo:

d(mv)dt = v dm/dt + m dv/dt

E cioè:

F = v dm/dt + ma

Il che soltanto se m=costante si riduce alla formulazione F = ma

Nota:

Finché applichiamo la II Legge ad un sistema con un numero fisso di particelle (tipicamente

un corpo rigido), poiché in fisica classica la massa di una particella (punto materiale)

è costante, la formulazione in questione F = dp/dt si riduce alla formulazione

più semplice F = ma

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Tuttavia, se consideriamo un sistema in cui per qualche ragione la massa viene espulsa

(per esempio un razzo con il suo carico di carburante: il razzo brucia il suo carburante e

lo espelle sotto forma di gas), in questo caso è più appropriato adottare la

formulazione più generale della II Legge di Newton

Quindi anche in fisica classica, in molti casi appare più corretto applicare la II Legge

nella su formulazione più generale:

F = dp/dt

23

Nella Teoria della Relatività di Einstein la legge nella forma F = ma non è valida,

ma vale ancora nella forma più generale F = dp/dt purché la quantità di moto

non sia scritta nella forma p = m0v ma piuttosto nella forma:

p = m0v / (1−v2/c2)1/2

adottando quindi una nuova definizione di massa

m = m0 / (1−v2/c2)1/2

In questa formulazione della massa, m0 è la cosiddetta massa a riposo .

Con questa formulazione della massa, la quantità di moto in relatività generale può

essere quindi di nuovo scritta:

p = mv

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Quantità di moto di un sistema di particelle

Supponiamo di avere un sistema di N particelle di massa m1 m2 ……mN

cosicché la massa totale del sistema risulti:

M = m1 + m2 ……+ mN

Le particelle possono interagire fra di loro e su ognuna di esse possono agire forze esterne.

Ciascuna particella avrà una sua velocità vi e quindi una sua quantità di moto pi. = mivi

Il sistema nel suo insieme ha quindi una quantità di moto totale P data da:

P = p1 + p2 ……+ pN

Derivando questa equazione rispetto al tempo si ha:

d P/dt = d p1/dt + d p2/dt ……+ d pN/dt

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d P/dt = d p1/dt + d p2/dt ……+ d pN/dt

Data la:

abbiamo visto che d p1/dt è la forza F1 che si esercita sulla particella 1, così via.

Di conseguenza, la precedente equazione può essere scritta come:

d P/dt = F1 + F2 + …………….. FN

Il secondo membro di questa equazione è la somma vettoriale di tutte le forze agenti

sulle particelle. Queste forze saranno in generale sia forze esterne cioè forze esercitate

da agenti esterni al sistema, sia forze interne cioè le forze che le particelle esercitano

una sull’altra (e che si annullano a coppie).

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Possiamo immaginare questo insieme di forze come una cosa del genere:

m1

m2

m3

Dove:

Forze interne (eguali e contrarie a coppie)

Forze esterne

In base alla III Legge di Newton sappiamo che le forze interne daranno un contributo

nullo alla risultante del forze, in quanto eguali a contrarie (a coppie), quindi la risultante

delle forze nel caso illustrato sarà semplicemente dovuto a:

F ext = F1 + F2 + F3

F1

F2F3

F2F1

F3

F ext CM Questa è la risultante delle forze che applicata al

centro di massa del sistema tiene conto del motodel sistema nel suo insieme

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Pertanto, l’equazione scritta in precedenza:

d P/dt = F1 + F2 + …………….. FN

diventa:

d P/dt = F ext

D’altra parte, avevamo già visto che:

F ext = d(MvCM ) / dt

Da cui:

d P/dt = d(MvCM ) / dt

Cioè:

La quantità di moto totale di un sistema di particelle è uguale al prodotto della

massa complessiva del sistema per la velocità del centro di massa.

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Conservazione della quantità di moto

Supponiamo che la risultante F ext delle forze esterne agenti sul sistema sia nulla

In questo caso, in base a quanto abbiamo scritto in precedenza: dP/dt = F ext

risulterà: d P/dt = 0 ovvero P = costante

Cioè: Quando la risultante delle forze agenti su un sistema è nulla, il vettore quantità

di moto del sistema rimane costante.

Questo è il Principio di conservazione della quantità di moto che possiamo anche

enunciare affermando che La quantità di moto di un sistema isolato si conserva

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Quindi la quantità di moto di un sistema può essere variata solo da forze esterne

agenti sul sistema.

Le forze interne, essendo uguali e contrarie a coppie, producono variazioni «locali»

della quantità di moto che si annullano a vicenda.

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Per un sistema di particelle

p1 + p2 ……+ pN = P

quindi quando P = costante (cioè il sistema di particelle è isolato) si ha:

p1 + p2 ……+ pN = costante

Questo implica che le quantità di moto delle singole particelle possono cambiare,

ma la quantità di moto dell’intero sistema rimane costante.

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L’equazione che rappresenta il principio della conservazione della quantità di moto che

abbiamo appena scritto:

p1 + p2 ……+ pN = costante

è una equazione vettoriale, che pertanto ci fornisce tre equazioni scalari, una per ogni

coordinata.

Quindi: La conservazione della quantità di moto ci fornisce tre condizioni per il moto

di un sistema. La conservazione dell’energia, che è uno scalare, ci fornisce invece

una sola condizione.

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Vediamo cosa ha a che fare tutto questo con l’intuizione che avevamo avuto

sin dall’inizio riguardo alla conservazione della quantità di moto.

Rivediamo quegli esperimenti simulati sugli urti fra le biglie, esperimenti che

formalizzeremo meglio nel corso della prossima lezione che sarà proprio dedicata agli urti

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Avevamo considerato il seguente esperimento

Una biglia si trova lungo il percorso di un’altra biglia

Con l’urto, la biglia bersaglio schizza via con una velocità v2 > v1

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Viceversa:

Con l’urto, la biglia bersaglio acquista una velocita v2 < v1

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Alla luce di quello che abbiamo imparato oggi, possiamo affermare che la quantità

di moto del sistema costituito dalle due biglie si conserva. Questo in quanto si

tratta indubbiamente di un sistema isolato. Quindi potremo scrivere:

m1 v1 + m2 v2 = P0 = costante

All’inizio, quando la sola biglia m1 è in moto avremo:

P0 = m1 v1

Alla fine, quando la sola biglia m2 è in moto avremo:

P0 = m2 v2 = m1 v1 m2 v2 = m1 v1 v2 = v1 m1 / m2

Cioè: la velocità acquisita dalla biglia bersaglio è proporzionale alla massa della

biglia incidente e alla sua velocità, ed è inversamente proporzionale alla sua massa

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E infatti facendo esperimenti con biglie incidenti sempre più pesanti,

Avevamo osservato esattamente questo fenomeno !

37

Esperimenti eseguiti sempre sulla stessa biglia «bersaglio», utilizzando di volta in volta

biglie incidenti sempre più pesanti, che si muovo però alla stessa velocità

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In sostanza, su base empirica, avevamo intuito che a parità di velocità della biglia incidente,

la velocità che acquista la biglia bersaglio aumenta in funzione dalla MASSA

della biglia incidente

v2 = f (m1)

E infatti oggi abbiamo derivato rigorosamente che v2 = v1 m1 / m2

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Pur non avendo ancora definito la «velocità» in termini operativi, ma basandoci sulla nostra

esperienza quotidiana, avevamo supposto di sapere fare queste misure.

Immaginando di misurare le varie velocità v acquisite dalla stessa biglia bersaglio ad ogni

urto, e riportando i valori di v in un grafico in funzione della massa m della biglia incidente:

m1 m2 m3

v

v1

v2

v3v = k m

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Quindi: a parità di velocità della biglia incidente, la velocità v

acquisita dalla biglia bersaglio risultava proporzionale alla massa

della biglia incidentev bersaglio = k mincidente

Facendo ulteriori esperimenti con biglie bersaglio di massa m

differenti, e con biglie incidenti con velocità vi differenti, e

riportando su grafico i dati, si intuiva che:

k = v/m e cioè: v = (vi/m) m incid

mv = mi viAvevamo anche preannunciato che trascurare la «velocità residua» della biglia incidentedopo l’urto, non sempre è corretto. Vedremo meglio il perché nella prossima lezione

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Alla luce di quanto abbiamo imparato oggi sul centro di massa, è interessante

descrivere il moto del centro di massa dell’esperimento fatto:

Infatti, oggi abbiamo visto che: Il centro di massa di un sistema di particelle si muove

come se tutta la massa del sistema fosse concentrata in quel punto.

Abbiamo appena visto che in questo sistema, all’inizio la quantità di moto è tutta nella

biglia 1 e alla fine è tutta nella biglia 2, per cui :

P0 = m2 v2 = m1 v1

Per il centro ci massa, in accordo con quanto abbiamo imparato oggi scriveremo:

PCM = P0 = ( m1 +m2 )vCM

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Abbiamo quindi:

PCM = P0 = ( m1 +m2 )vCM

P0 = m2 v2 = m1 v1

m1 v1 = ( m1 +m2 )vCM

m2 v2 = ( m1 +m2 )vCM

vCM = m1 v1 / ( m1 +m2 ) = m2 v2 / ( m1 +m2 )

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RIASSUMIAMO COSA ABBIAMO IMPARATO SULLE LEGGI DI CONSERVAZIONE

La quantità di moto è un vettore. La legge della conservazione della quantità di

moto ci fornisce quindi tre equazioni scalari: una per ciascuna coordinata

L’energia invece è uno scalare: La legge di conservazione dell’energia ci fornisce

soltanto una equazione scalare.