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Physics 2211: Lecture 21, Pg 1

Agenda di oggiAgenda di oggi

Sistemi di Particelle

Centro di massa

Velocità e accelerazione del centro di massa

Esempi


Una barra leggera di lunghezza L=1.4 m è Una barra leggera di lunghezza L=1.4 m è incernierata ad un estremo ed ha una palla di incernierata ad un estremo ed ha una palla di massa =0.82 kg all’altro estremo. Quando la massa =0.82 kg all’altro estremo. Quando la sbarra si trova in posizione orizzontale, la palla sbarra si trova in posizione orizzontale, la palla si muove con velocità di 6.8 m/s. Qual’è si muove con velocità di 6.8 m/s. Qual’è l’intensità della forza esercitata dalla barra l’intensità della forza esercitata dalla barra sulla palla quando si porta nella sua sulla palla quando si porta nella sua posizione più alta?posizione più alta?

V=6.8 m/sL

(1)(1) 11 N alto (2) 11 N basso11 N alto (2) 11 N basso (3) 5 N alto (4) 5 N basso(3) 5 N alto (4) 5 N basso(5) 3 N alto (6) 3 N basso(5) 3 N alto (6) 3 N basso


Una scatola (M=6kg), inizialmente ferma, è spinta Una scatola (M=6kg), inizialmente ferma, è spinta sù lungo una parete verticale priva di attrito da una sù lungo una parete verticale priva di attrito da una forza di intensità P.forza di intensità P.Quando la scatola è 0.5 m sopra la sua posizione Quando la scatola è 0.5 m sopra la sua posizione iniziale, si muove con una velocità di 2 m/s. iniziale, si muove con una velocità di 2 m/s. Quanto lavoro deve essere fatto sul blocco Quanto lavoro deve essere fatto sul blocco dalla forza P? ( dalla forza P? ( = 32 °)= 32 °)

(1)(1) 29 J (2) 41 J29 J (2) 41 J (3) 12 J (4) 55 J(3) 12 J (4) 55 J(5) 8 J (6) 15 J(5) 8 J (6) 15 J

P

M


Sistema di particelleSistema di particelle

Fino ad ora abbiamo considerato il comportamento di sistemi molto semplici (una o due masse).

Ma la vita reale è usualmente molto più interessante!

Per esempio, consideriamo un semplice disco rotante.

Un oggetto solido esteso (come un disco) può essre pensato come un insieme di parti. Il moto di ciascuna piccola parte dipende dalla posizione nell’oggetto!


Sistema di Particelle: Centro di MassaSistema di Particelle: Centro di Massa

Come descriviamo la “posizione” di un sistema fatto da molti parti?

Definiamo il Centro di MassaCentro di Massa (posizione media):

Per una raccolta di N particelle individuali puntuali di cui sono note posizioni e masse:

Rr

CM

i ii

N

ii

N

m

m

1

1

y

x

rr1

m1

rr3

rr2

rr4m4

m2

m3

RRCM

(In questo caso, N = 4)



Se il sistema è costituito soltanto da due particelle :

Rr

r rCM

i ii

N

ii

N

m

m

m m

m m

1

1

1 1 2 2

1 2

y

x

rr2rr1

m1

m2

RRCM

rr2 - r r1

m m m

m m1 2 1 2 2 1

1 2

r r r

R r r rCMm

M 1

22 1

dove M = m1 + m2

Così:




y

x

rr2rr1

m1

m2

RRCM

rr2 - r r1

dove M = m1 + m2

+

R r r rCMm

M 1

22 1

se m1 = m2

il CM è posto a metà fra le masse

R r r rCM 1 2 112




y

x

rr2rr1

m1

m2

RRCM

rr2 - r r1

dove M = m1 + m2

+

se m1 = 3m2

Il CM è ora più vicino alla

massa più leggera.

R r r rCMm

M 1

22 1

R r r rCM 1 2 114



Il centro di massa si trova dove il sistema è in equilibrio!

La costruzione di una bilancia è un esercizio per trovare i centri massa.

m1m2

+m1 m2

+



Possiamo considerare le componenti di RRCM separatamente:

( , , ) , ,X Y Zm x

M

m y

M

m z

MCM CM CMi ii i ii i ii

y

x

rr1

m1

rr3

rr2

rr4m4

m2

m3

RRCM

(In questo caso, N = 4)


Esempi di Calcolo:Esempi di Calcolo:

Consideriamo la seguente distribuzione di massa :

(24,0)

12m4

24m12)m2(0mM

xmX i ii

CM

6m4

0m12)m2(0mM

ymY i ii

CM

(0,0)

(12,12)

m

2m

m

RCM = (12,6)


Rr r

CMdm

dm

dm

M


Per un solido continuo, facciamo un integrale.

y

x

dm

rrDove dm è un elemento di

massa infinitesimale.



Troviamo che il Centro di Massa è al “centro”ndell’oggetto.

y

x

RRCM



La posizione del centro di La posizione del centro di massa è una proprietà massa è una proprietà intrinseca dell’oggetto!!intrinseca dell’oggetto!!

(non dipende da dove scegliamo l’origine o le coordinate per il calcolo)

y

xRRCM

Troviamo che il Centro di Massa è al “centro” dell’oggetto.



Possiamo usare l’intuizione per trovare la posizione del centro di massa per oggetti simmetrici che hanni densità uniforme:

Sarà semplicemente il centro geometrico!

+

CM+ +

++ +



Il centro di massa per una combinazione di oggetti è la media della posizione dei centri di massa degli oggetti :

+

+y

x

RR2

RR1

RRCM

m1

m2

+

21

2211CM

N

1ii

N

1iii

CM

mm

mm

m

m

RRR

RR

RR2 - R R1 Così se abbiamo due oggetti :

122

1 M

mRRR


Centro di MassaCentro di MassaIl disco mostrato sotto (A) ha chiaramente il suo CM al centro.

Supponiamo di tagliare il disco a metà e di sistemare le due metà come mostrare in (B):

Dove è il CM di (B) confrontato con (A)?

(1)(1) Più alto (2)(2) Più basso (3)(3) Lo stesso

(A) (B)

XCM


Il CM di ciacuna metà del disco srà più vicina alla parte piatta che alla parte tonda.(Pensare a dove si trova l’equilibrio).

(A) (B)

X

X

Il CM dell’oggetto composto sarà a metà fra i CM delle due metà.

XXCM

Questo è più alto del CM del disco



Il centro di massa (CM) di un oggetto si trova nel punto in cui possiamo incernierare liberamente quell’ogetto.

La Gravità agisce sul CM di un oggetto

Se incerneriamo l’oggetto, esso si orienterà in modo che il CM sia direttamente al di sotto del punto di incernieramento.

Questo fatto può essere usato per trovare il CM di oggetti irregolari.

+

CM

pivot

+ CM

pivot

+

pivot

CM

mg



Appendiamo l’oggetto per diversi punti di sospensione e vediamo dove si intersecano le linee verticali tracciate per ciascun punto di sospensione.

pivot

pivotpivot

+

CM

Il punto di intersezione deve essere al CM.


Velocità e AccelerazioneVelocità e Accelerazionedel Centro di Massadel Centro di Massa

Se le sue particelle si muovono, si può muovere anche il CM del sistema. Supponiamo di conoscere la posizione rri di ogni particella nel sistema in funzione del tempo.

R rCM i ii

N

Mm

1

1

VR r

vCMCM

ii

i

N

i ii

Nd

dt Mm

d

dt Mm

1 1

1 1Così:

AV v

aCMCM

ii

i

N

i ii

Nd

dt Mm

d

dt Mm

1 1

1 1e:

La velocità e l’accelerazione del CM è la media pesata della velocità e dell’accelerazione di tutte le particelle.

N

1iimM


Centro di Massa e II Legge di NewtonCentro di Massa e II Legge di Newton

La II legge di Newton applicata al moto del CM :

Questa ha interessanti implicazioni:

Ci dice che il CM di un corpo esteso si comporta come un semplice punto materiale sotto l’azione di una forza esterna:

Possiamo usarla per correlare FF e AA come siamo soliti fare.

CMEXT MAF


Recapitolazione della lezione di oggiRecapitolazione della lezione di oggi

Sistemi di particelle

Centro di massa

Velocità e acelerazione del centro di massa

Dinamica del centro di massa

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