)(),()(

)(),()(

2122

2111

txtxfdt

tdx

txtxfdt

tdx

con x1(0), x2(0) assegnati

Con 2 variabili dinamiche

Equilibri:

0),(

0),(

212

211

xxf

xxf

Segno dei secondi membri

0),(

0),(

212

211

xxf

xxf

vettori di fase

x1

x2

01

x

02

x

02

x

02

x

01

x

01

x

Preda-predatore (Vito Volterra, 1926)

Densità prede x1

Densità predatori x2

1x r x1

m x2

2x + c x1x2

b x1x2

x1

x2

01

x

02

x02

x 02

x

01

x

01

x

1x x1 (r b x2) 0

x2( m + c x1) 0

2x

Vito Volterra (1860-1940)

Il matematico si trova in possesso di uno strumentomirabile e prezioso, creato dagli sforzi accumulatiper lungo andare di secoli dagli ingegni più acutie dalle menti più sublimi che siano mai vissute.Egli ha, per così dire, la chiave che può aprire ilvarco a molti oscuri misteri dell’universo, ed unmezzo per riassumere in pochi simboli una sintesiche abbraccia e collega vasti e disparati risultati di scienze diverse[…]Ma è intorno a quelle scienze nelle quali le matematiche solo da poco tempo hanno tentato d’introdursi, le scienze biologiche e sociali, che è più intensa la curiosità, giacché è forte il desiderio di assicurarsi se i metodi classici, i quali hanno dato così grandi risultati nelle scienze meccanico-fisiche, sono suscettibili di essere trasportati con pari successo nei nuovi ed inesplorati campi che si dischiudono loro dinanzi. dal discorso inaugurale per l’anno accademico 1901-1902 dell’Università di Roma

Vito Volterra (1860-1940)

"Plasmare dunque concetti in modo da poter introdurre la misura; misurare quindi; dedurre poi delle leggi; risalire da esse ad ipotesi; dedurre da queste, mercé l'analisi, una scienza di enti ideali si, ma rigorosamente logica; confrontare poscia con la realtà; rigettare o trasformare, man mano che nascono contraddizioni tra i risultati del calcolo ed il mondo reale, le ipotesi fondamentali che han già servito; e giungere così a divinare fatti e analogie nuove, o dallo stato presente arrivare ad argomentare quale fu il passato e che cosa sarà l'avvenire; ecco, nei più brevi termini possibili, riassunto il nascere e l'evolversi di una scienza avente carattere matematico.“

Vito Volterra, Saggi Scientifici, Zanichelli Bologna 1920

Fluttuazioni del numero di lepri e linci canadesi ricostruite in base al numero delle pelli acquistate dalla Compagnia della Baia di Hudson nei diversi anni, da Mac Lulich (1937)

X

Y

E

Crescita logistica della preda

1x r x1 sx12 x1x2 = x1(rsx1bx2)

m x2 + c x1x2 = x2(m+cx1)

2x

Prede x1

Pre

dato

ri x

2

1 2

1

2

3

4

tempo

Prede x1

Pre

dato

ri x

2

inse

tticid

a

Sazietà del predatore

1

1221

122

1

21121

1

2111

xa

cxmxxx

xa

cmxx

xa

bxsxrxxx

xa

bsxrxx

(a) Lotka-Volterra senza classico senza smorzatore per la preda

(b) Con smorzatore per la preda

(c) Con saturazione dell’appetito

Modelli lineari a tempo continuo bidimensionali

)()()(

)()()(

2221212

2121111

tXatXadt

tdX

tXatXadt

tdX

Sol. di provatewX

11 tewX 22

Sostituisco ttt

ttt

ewaewaew

ewaewaew

2221212

2121111

0)(

0)(

222121

212111

wawa

wawa

Sistema lineare omogeneo con parametro

(equazione agli autovalori)

Ha soluzioni non nulle se 0))(( 21122211 aaaa

cioè 0)()( 2112221122112 aaaaaa 02 DetTr

= a11 a22 a12 a21

= a11 + a22

Tr2 4det = 0

(1) Due radici (autovalori) reali distinte con corrispondenti autovettori v1 e v2

Tr2 4Det >0

Soluzione generale:X(t) = C1 v1 +C2 v2

te 1 te 2

(2) Due radici (autovalori) reali coincidenti

Tr2 4Det = 0

Soluzione generale:

X(t) = v (C1 +C2t)

te

(3) Due radici (autovalori) complesse

coniugate: Tr2 4Det < 0 a +ib a ib Soluzione generale:

),(| qpj

iij x

fa

)(),()(

)(),()(

2122

2111

txtxfdt

tdx

txtxfdt

tdx

con x1(0), x2(0) assegnati

0),(

0),(

212

211

xxf

xxfEquilibri:

S.D.

Stabilità di ciascun equilibrio.Approssimazione lineare in un intorno. Sia (x1

*, x2*) un equilibrio, dette X1 = x1 x1

*, X2 = x2 x2* si introduce

l’approssimazione lineare in un intorno dell’equilibrio calcolando in esso le 4 derivate parziali:

)()()(

)()()(

2221212

2121111

tXatXadt

tdX

tXatXadt

tdX

Matrice Jacobiana

Approx. lineare

j

iij x

fa

Calcolata in un punto di equilibrio

Esempio

Cont. esempio

Esempi

Competizione fra due specie

21 1 1 1 1 12 1 2 1 1 1 1 12 2

22 2 2 2 2 12 1 2 2 2 2 2 12 1

x r x s x x x x r s x x

x r x s x x x x r s x x

Gli esperimenti di Gause (1934)due specie di protozoi: Paramecium aurelia e Paramecium caudatum.Ponendo in colture separate le due specie, e rinnovando periodicamente il terreno, si ottennero curve di accrescimento approssimativamente sigmoidali con il conseguimento d’uno stato stazionario. Ponendo le due specie insieme in uno stesso terreno di coltura si vide che mentre Paramecium aurelia manteneva ancora un accrescimento logistico, la popolazione di Paramecium caudatum, dopo un certo numero di giorni (circa 8), cominciò a diminuire fino a scomparire del tutto. Da ciò si può dedurre che una delle due specie è riuscita a competere meglio per le risorse causando l’estinzione di quella concorrente.

Il principio d’esclusione competitiva (principio di Gause). Se due specie coesistono in un medesimo ambiente ciò avviene in ragione del fatto che esse presentano nicchie ecologiche separate. Qualora, però, le due specie presentino nicchie sovrapposte, allora una delle due specie prenderà il sopravvento sull’altra fino ad eliminarla.Comunque, spesso la coesistenza è garantita dalla presenza di nicchie ecologiche non completamente sovrapposte (le specie in questioni possono presentare, infatti, differenze lievi a livello di dieta o di habitat). In conseguenza di ciò nasce il quesito su quanto due nicchie debbano essere separate affinché la coesistenza sia permessa..

xyBzdt

dz

xzyRxdt

dy

yxdt

dx

Edward Lorenz

(May 23, 1917–April 16, 2008)