Onde Sismiche

Caso uni-dimensionale

A

X1

11

11 11

ττ + ΔX

x

X1

1

11 11x 1 1 1 11 1 11 11 11

1 1

conτ τ

F =mu =ρΔAΔX u = τ + Δx ΔA-τ ΔA ρu= τ = λ+2μ ux x

2 221 1

2 2 21

u u1 λ+2μ con c =

x c t ρ

Equazione d’onda

Soluzione di D’Alembert 1 1 1 1u x ,t =f x -ct +g x +ct

Soluzione per separazione di variabili

1 1 1u x ,t =X x T t Soluzione di prova

2 22 2

121 12 2 2 2 21 1 1 1

d X x d T tu 1 u 1 1 c - 0

x c t X x dx T t dt

dipende solo da x1dipende solo da t

2 21

1 12 21

22

2

d X x ω+ X x =0

dx c

d T t+ω T t =0

dt

I due termini devono essere ugualied entrambi pari ad una costanteche viene posta pari a –2

x x x x

iω t+ iω t- -iω t+ -iω t-c c c c

1 1 1 2 3 4u x ,t =C e C e C e C e x x

u x,t =Acos ω t ± +isin ω t ±c c

Soluzione dell’equazione d’onda 3D

p s φ = + u ψ U U

2 2 2 22

p 1 2 3 2 2 2 21 2 3 1 2 3

3 2s 1

2 3

31 2 13

3 1 1 2

ˆ ˆ ˆx x x x x x x x x

ˆ

ˆ ˆ +

t

xx x

x xx x x x

U

U ψ

2 2 2 22

2 2 2 21 2 3

x x xt

ψ ψ ψ ψ

2

21

22

23

T + ω T=0

X + k X=0

Y + k Y=0

Z + k Z=0

22 2 21 2 3 2

α α

ωcon k k k =

c

ˆ ˆ= k= / k

ˆ ˆ= k= / k

k k

k k

α

β

,t =A exp i ωt-

,t = exp i ωt-

x k x

Ψ x B k x

Teorema di Lamè

definisce una superficie piananello spazio cartesiano con vettori normali:

Consideriamo il caso di un’onda piana interamente contenuta nel piano x1 x3

22

0 k 0x

1 1 3 3ωt-k x -k x =C Fase costante

22 21 3 2

ωk +k =

α

il vettore numero d’onda è perpendicolare all’onda piana con componenti K1 K3

giacenti lungo gli assi x1 e x3 rispettivamente

1

3 α

ωk = sin =ωp

αω

k = cos =ωηα

i

i

p parametro del raggio sismico

η lentezza verticale

Spostamento associato all’onda P

p 1 2 3 α1 2 3

ˆ ˆ ˆ= = x x x A exp i ωt- x x x

U k x

1 1 3 3per =Aexp i ωt-k x -k x

P 1 1 1 3 3 1 2 3 1 1 3 3 3ˆ ˆ ˆ,t = -ik A exp i ωt-k x -k x x +0 x + -ik A exp i ωt-k x -k x x U x

3

1

P 3 α

P 1

U k η= =

U k pIl rapporto definisce la direzione perpendicolare al fronte d’onda

Il moto della particella investita da un onda P è perpendicolare al fronte d’onda e parallelo alla direzione in cui l’onda si propaga

Spostamento associato all’onda S

3 32 1 2 1s 1 2 3

2 3 3 1 1 2

ˆ ˆ ˆ+x x xx x x x x x

U ψ

1 2 3

32 1 2s S 1 S 2 S 3 1 2 3

3 3 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆU x +U x +U x +x x xx x x x

U

In un sistema di riferimento in cui x1 x2 sono associate alla superficie della Terra e l’asse x3 alla profondità :

US1 US3 sono le componenti SV (coinvolgono la componente verticale del moto nel piano x1 x3)

US2 componente SH (coinvolge moti puramente orizzontali x2)

31

1 3

ββSH β 1 β 3 β β

kk=A'exp i ωt-k x -k x = p =η

ω ω U

SV β β 1 β 3 1 β β 1 β 3 33 1 3 1 1 3ˆ ˆ=-k B'exp i ωt-k x -k x x +k B'exp i ωt-k x -k x x

U

Onde P e onde S

3

In un mezzo poissonianop s

p s

v v

v v

Polarizzazione onda SV

Polarizzazione onda P

Individuazione delle fasi P SV SH sul sismogramma

LPN registra il moto puramente tangenzialeLPE registra il moto puramente lungitudinale

Onde di volume

Onde P (polarizzazione longitudinale)

Onde S (polarizzazione trasversale)

Il sismogramma: fasi P e fasi S

Campi Flegrei 23/02/1984

Attenuazione geometrica delle onde sferiche

Flusso di energia per unità di superficieed unità di tempo:

2cost AE

Il flusso totale di energia che attraversai fronti d’onda ad istanti successivi deveconservarsi:

1

2

2

1

222

2211

2

)(

)(

4)(4)(

00

r

r

rA

rA

rrArrA

SS tttEttE

rrA

1)(

Propagazione delle onde sismiche in mezzi complessi

Esempio di traiettoria dei raggi sismici in un modello di Terra a strati piano-paralleli

Onde di superficie

In un mezzo omogeneo e illimitato si generano e propagano solo onde P ed S (onde di volume)

In un mezzo stratificato l’impatto delle onde di volume con le superfici di discontinuità genera onde di superficie che si propagano lungo l’interfaccia:

Non si ha trasmissione di onde al di là della superficie libera perché le costanti elastiche dell’atmosfera sono di alcuni ordini di grandezza inferiori a quelle delle rocce (o degli oceani)

Onde di superficieOnde di Rayleigh (moto ellittico retrogrado)

Onde di Love (moto trasversale orizzontale)

Attenuazione geometrica delle onde di superficie

2cost AE

1

2

2

1

222

112

)(

)(

2)(2)(

00

r

r

rA

rA

ZrrAZrrA

SS tttEttE

rrA

1)(

Velocità di fase

Un’onda monocromatica di pulsazioneè caratterizzata da una velocità di propagazione vf() detta velocità di fase.

f

ω 2πv = con k= numero d'onda

k λ

u x,t =cos ωt-kx

con ω' ω''

u x,t =cos ω't-k'x +cos ω"t-k"x k'= ,k"=c' c''

Consideriamo la sovrapposizione di due onde monocromatiche:

ω'-ω" k'-k'' ω'+ω" k'+k''δω δk ω k

2 2 2 2 definiamo

u x,t =2cos ωt-kx cos δωt-δkx

bassa frequenzaalta frequenza

Se la radiazione è costituita da diverse componenti monocromatiche, queste interferiranno tra di loro in maniera costruttiva e distruttiva. I pattern di interferenza costruttiva si propagheranno come una perturbazione con una velocità vg() ben definita, detta velocità di gruppo.

Velocità di gruppo

g

δω dωv =

δκ dκ

ωSin ωt- x

C

A

B

A+B

A’

B’

A’+B’

X=0Km

X=1.5Km

FB=18HZ Vf=5 Km/s

FA=16HZ Vf=5.45 Km/s

0.5 s

0.275s

0.3s

0.5s

G

1.5V 3 /

0.5

KmKm s

s

Fenomeno della dispersione

-ωαz -2πf zo os ω,z A e =A e

f0 0 0

f

v λωαz =1 2π αz =1 z =

λ 2πfv α

Si definisce profondità di penetrazione dell’onda il valore Z0 della profondità per il quale l’ampiezza dell’onda si riduce di 1/e

Per un’onda di superficie:

f f fg f f

d kvdω dv dvv = = =v +k v -λ

dk dk dk dλ

Onde di superficie nella registrazione di un telesisma

P

S

Onde di superficie

Taiwan 20/9/1999 Ms=7.6 D=10000Km

Attenuazione anelastica delle onde sismiche

La non perfetta elasticità della Terra produce un’attenuazione nell’ampiezza delle onde con la distanza.

Per un’onda monocromatica, si ha:

VQ

ω x

eAQxA 20),,(

E

E

Q 21

Q è detto fattore di qualità ed è legato alla quantità di energia dissipata per ciclo d’onda: