Lunedì 4 Febbraio 2013Stage Invernale Camerino 4-8 Febbraio 20131 La tecnica sol-gel Guide donda.
Potenziale: Aspetti importanti da conoscere con sicurezza: - numeri quantici e livelli energetici -...
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Transcript of Potenziale: Aspetti importanti da conoscere con sicurezza: - numeri quantici e livelli energetici -...
Potenziale: r
ZeEp
2
Aspetti importanti da conoscere con sicurezza:
- numeri quantici e livelli energetici
- funzione d’onda e distribuzione spaziale
- eccitazione e transizioni (termiche e radiative)
Atomi idrogenoidi:
sono la base per capire la fisica degli atomi a molti elettroni, delle molecole e dello stato solido
sono permessi tutti i valori di E e, a parità di E, sono permessi tutti i valori di L, in modulo e direzione
Potenziale: r
ZeEp
2
Costanti del moto:
- energia totale E=Ecin+Ep
- momento angolare (modulo)
-direzione del momento angolare
rpL L
Atomi idrogenoidi: descrizione classica
2
2
2
2
222222
2con
222222
mr
LE
Em
p
mr
rp
m
p
m
p
m
p
m
pE
L
Lrtrtr
cin
atomo H: momento angolare massimo
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00
distanza dal nucleo (angstrom)
en
erg
ia (
eV
)
energia totale E
energia coulombiana Ep
potenziale centrifugo EL
potenziale effettivo Ep+EL
ao
r
ZeEp
2
2
2
2mr
LEL
Atomo di idrogeno: energie in funzione di r nel moto classico di un elettrone con orbita circolare
di raggio pari al raggio di Bohr (0,53 Å)
Orbita classica
atomo H: momento angolare qualunque
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00
distanza dal nucleo (angstrom)
en
erg
ia (
eV
)
energia totale Eafelio
energia coulombiana Ep
potenziale centrifugo EL
potenziale effettivo Ep+EL
perielio
Orbita classica
Atomo di idrogeno: energie in funzione di r nel moto classico di un elettrone con orbita ellittica di semiasse
maggiore pari al raggio di Bohr (0,53 Å)
Atomo di idrogeno: moto di un elettrone con semiasse maggiore dell’ellisse pari al
raggio di Bohr (0,53 Å)
orbita elettrone
-0,60
-0,40
-0,20
0,00
0,20
0,40
0,60
-1,20 -1,00 -0,80 -0,60 -0,40 -0,20 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80x (angstrom)
y (
an
gs
tro
m)
nucleo
orbita con L inferiore al massimo
orbita con L massimo
afelio perielio
pper
p
paf
Orbita classica
Numeri quantici:
sono permessi solo i valori di E, L2, Lz corrispondenti ai valori interi dei numeri quantici
n1 ; 0 l < n ; -l ml l
- n energia totale En= - ERZ2/n2
- l momento angolare L2 = l(l+1) 2
- ml componente di L lungo z Lz= ml
- mz componente dello spin lungo z Sz= ms
Potenziale: r
ZeEp
2Atomi idrogenoidi:
descrizione quantistica
E (eV)
-13.6
-1.5-3.4
-0.85
n
1
234
lml
0s
1p
2d
0 -1 0 +1 -2 -1 0 +1 +2
rappresentazione n,l,ml ,ms>
(2)
(6)(2)
(6)(2) (10)
(6)(2) (10)
Livelli energetici: diagramma di Grotrian
),,(),,(22
),,(2
2
22 rEr
r
Ze
mr
L
m
prH r
),()(
),()(),,( ll ml
ml Y
r
ruYrRr
),()1(),( 22 ll ml
ml YllYL
Atomo di idrogeno: equazione di Schrödinger
dΩdrrr 22),,(
probabilità di trovare l’elettrone nell’elemento di volume intorno al punto (x,y,z)
dΩdrr2 r
z
y
x
Oggi il valore medio di si può misurare direttamente, ad es. con un Microscopio a Forza Atomica (AFM)
2),,( r
interpretazione fisica della “funzione d’onda
|u(r)|2 dr
probabilità di trovare l’elettrone a una distanza fra r e r+dr
)(2)(
22
2ruEE
m
dr
rudeff
Eeff = EL + Ep
coefficiente di proporzionalità
curvatura della funzione d’onda funzione d’onda
)(2
)1()(
2
2
2
2
2
22ruE
r
Ze
mr
ll
dr
rud
m
termine cinetico termini di energia “di posizione”
Funzione d’onda radiale
ao è il “raggio di Bohr”
dipende solo dalle costanti naturali (h, c, e, me) che compaiono nell’equazione di Schrödinger
Le dimensioni atomiche
nao/Z determina la rapidità della caduta
esponenziale della funzione d’onda dopo il flesso
conviene introdurre la “distanza ridotta ”, tale che:
Z
nar o
2
2/10 )( Creru
m1053,04
10222
2
cm
c
me
ha
eeo
Eeff =Ep
- i punti di inversione del moto classico sono punti di flesso della funzione d’onda perché E-Eeff=0
- dopo il flesso, la curvatura della funzione d’onda cambia segno e la funzione tende a zero asintoticamente
Atomo di idrogeno: n=1
Funzione d'onda n=1
-10,0
-8,0
-6,0
-4,0
-2,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
0 1 2 3 4 5 6
r (angstrom)
Potenziale e livelli energetici
-30,0
-25,0
-20,0
-15,0
-10,0
-5,0
0,0
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00
r (angstrom)
En
erg
ia (
eV
)
punto di flesso
punto di inversione
n=1
Eeff =Ep
- i punti di inversione del moto classico sono punti di flesso della funzione d’onda perché E-Eeff=0
- il numero di “nodi” della funzione d’onda aumenta con n
- dopo l’ultimo flesso, la funzione d’onda tende a zero asintoticamente
Funzioni d'onda l = 0
-10,0
-8,0
-6,0
-4,0
-2,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
0 2 4 6 8 10 12
r (angstrom)
Potenziale e livelli energetici
-30,0
-25,0
-20,0
-15,0
-10,0
-5,0
0,0
0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00
r (angstrom)
En
erg
ia (e
V)
punti di flesso
punti di inversione
n=1
n=3n=2
n=1 n=3
n=2
Atomo di idrogeno: l=0, n=1, 2, 3
n=2, l=0 n=2, l=1
Atomo di idrogeno: livelli energetici ed energia potenziale n=2, l=0 e 1
Potenziale e livelli energetici
-30,0
-20,0
-10,0
0,0
10,0
20,0
30,0
0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00
r (angstrom)
En
erg
ia (
eV
)
n=2
EL per l=1
Eeff per l=1
flessi di l=1flesso di l=0
n=1
n=3
Eeff =EL+ Ep
- i punti di inversione del moto classico sono punti di flesso della funzione d’onda perché E-Eeff=0
- il numero di “nodi” della parte radiale della funzione d’onda diminuisce con l, a parità di n
-35.0
-30.0
-25.0
-20.0
-15.0
-10.0
-5.0
0.0
5.0
10.0
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00
r (angstrom)
En
erg
ia (
eV
)Funzioni d'onda n =2; l = 0,1
-10.0
-5.0
0.0
5.0
10.00 2 4 6 8 10 12
r (angstrom)
punti di inversione
n=1
n=3n=2
l=1
l=0
punti di flesso
Funzione d’onda radiale n=2, l=0, 1
r = nao/Z, quindi nao/Z
determina la rapidità della caduta esponenziale della funzione d’onda dopo l’ultimo flesso
il flesso • si “allontana” al crescere di n•si “avvicina” al crescere di Z
2/10 e2)(01 rCruln
2/20 e)2(
22
1)(02 rCruln
2/21 e
62
1)(12 rCruln
l’andamento per r 0 va come rl+1 (quello di R(r) va come rl)
Espressione di u(r) per n=1, 2
Andamento vicino all’origine della
funzione d’onda radiale
Funzioni d'onda n= 1 l =0; n =2; l = 0,1
-10,0
-5,0
0,0
5,0
10,0
0 2 4 6 8 10 12
r (angstrom)
- al crescere di n, la funzione d’onda si sposta verso l’esterno
- l’andamento per r 0 va come rl
n=2 l=1
n=1 l=0
n=2, l=0
integrale del quadrato delle funzioni d'onda n =1 l = 0; n =2 l = 0,1
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 2 4 6 8 10 12
r (angstrom)
n=2, l=0
n=1 l=0
n=2 l=1
integrale del quadrato delle funzioni d'onda n= 1 l = 0; n =2 l = 0,1
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0 0,5 1 1,5 2
r (angstrom)
Andamento vicino all’origine della funzione d’onda radiale n=1, 2, 3
- al crescere di n, la funzione d’onda si sposta verso l’esterno
- l’andamento per r 0 va come rl
integrale del quadrato delle funzioni d'onda n =1, 2, 3 e tutti i valori di l
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 2 4 6 8 10 12
r (angstrom)
Funzioni d'onda n =3; l = 0,1,2
-6,0
-4,0
-2,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
0 2 4 6 8 10 12
r (angstrom)
n=3 l=1
n=3 l=2
n=3, l=0
n=3, l=2
n=3, l=0
n=1 l=0
n=2 l=1
n=3, l=1
n=2 l=0
integrale del quadrato delle funzioni d'onda n =1, 2, 3 e tutti i valori di l
0,00
0,05
0,10
0,15
0 1 2 3 4
r (angstrom)
Dipendenza angolare: “orbitale” 1s
Z
oarCeYr
ruYrRr /0
0100
010100 ),()(
),()(),,(
1s
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4z (angstrom)
fun
zio
ne
d'o
nd
a
“orbitale” atomico 2p0
2pz
-0,25
-0,20
-0,15
-0,10
-0,05
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8x (angstrom)
fun
zio
ne
d'o
nd
a
Z
X
andamento in funzione di x a z>0
andamento in funzione di x a z<0
2pz
-0,15
-0,10
-0,05
0,00
0,05
0,10
0,15
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8z (angstrom)
fun
zio
ne
d'o
nd
a
andamento in funzione di z per x = 0, y = 0
cos)/2(),()(
),()(),,( 2/01
210121210
oaro earCY
r
ruYrRr
“orbitale” atomico 2p+
)sen(cossen)/2(
sen)/2(),()(),,(
2/
2/1121211
iearC
eearCYrRr
o
o
aro
iaro
parte realeparte
immaginaria
+
_+
_