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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 1

6c_EAIEE_ONDE ELETTROMAGNETICHE PIANE

(ultima modifica 04/12/2012)

EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI OMOGENEE

Esse servono per determinare la distribuzione del campo in mezzi non conduttori, ossia in una regione dello spazio priva di cariche libere dove e sono entrambi uguali a zero.

Nei dielettrici puri sono predominanti le correnti di spostamento e in questa categoria rientrano tutti i fenomeni di propagazione e radiazione.

01

01

2

2

2

2

2

2

2

2

t

H

uH

t

E

uE

με/u 1

J


Nel vuoto, (al di là dell’atmosfera terrestre), u=c e le espressioni delle equazioni d’onda in assenza di sorgenti diventano:

dove

c é la velocità di propagazione dell’onda (velocità della luce) nel vuoto .______________________________________________________

mF

εmH

μ

skm

sm

εμ

c

120

60

8

12600

10856,8 10256,1

000.30010310856,810256,1

11

0t

H

c

1H 0

t

E

c

1E 2

2

2

2

2

2

2

2

01

01

2

2

2

2

2

2

2

2

tH

uH

tE

uE


Onde elettromagnetiche pianeL’onda elettromagnetica piana é una particolare soluzione delle

equazioni di Maxwell e costituisce una buona approssimazione delle onde elettromagnetiche reali in molte applicazioni pratiche.

Le caratteristiche delle onde piane uniformi sono particolarmente semplici e il loro studio è fondamentale sia dal punto di vista teorico che pratico.

Si definisce fronte d’onda il luogo geometrico dei punti dello spazio in cui in cui le grandezza di campo presentano contemporaneamente la stessa fase.

Un onda è piana si verifica quando il suo fronte d’onda è un piano.


Onde elettromagnetiche piane

Le onde elettromagnetiche piane sono caratterizzate da da campi sempre e ovunque in fase, cioè per ogni valore di z la loro variazione temporale è sempre identica anche se le loro direzioni spaziali sono ortogonali.

Esse sono caratterizzate dal fatto che sia il campo che il campo assumono la stessa direzione, ampiezza e fase in piani perpendicolari alla direzione di propagazione.

In altre parole i campi sono:

• in fase nel tempo e

• in quadratura nello spazio

H e E

EH

H e E

E

H

direzione di propagazione delle onde


Campi e di un’onda piana uniforme per t=0E H


Onde elettromagnetiche piane

• Radiofrequenze a grande distanza dal trasmettitore e da oggetti con curvatura trascurabile, che causano difrazione, possono essere studiate come onde piane.

• L’approssimazione delle onde piane è molto utilizzata nell’ottica.

• Lo studio delle onde piane è molto importante perché, onde più complesse possono essere considerate come formate dalla sovrapposizione di onde piane.


Nella ipotesi di regime sinusoidale lo studio delle onde si può semplificare considerandole con i fasori.

Nelle regioni in cui non sono presenti sorgenti (cariche a riposo nulle e correnti elettriche nulle) e il mezzo non è dissipativo, le

onde sono descritte dalle soluzioni delle equazioni di Helmholtz vettoriali omogenee:

= numero d’onda in un mezzo di trasmissione qualsiasi

0

0

22

22

HkH

e

EkE

μεωkm

rad

u

ωμεωk 22

1

k1


Onde elettromagnetiche piane nei mezzi privi di perdite

L’equazione (vettoriali) esplicitate delle onde elettromagnetiche nel vuoto (nello spazio libero k=ko ), in assenza di sorgenti, sono:

dove k0 é il numero d’onda nello spazio libero

(k0 = free space wavenumber), esso é il reciproco della lunghezza

d’onda nel vuoto:

m

rad

c

ωεμωk

0000

1

0

02

0

2

20

2

HkH

EkE

0HkzH

yH

xH

0EkzE

yE

xE

22

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

0

0


In coordinate cartesiane la prima equazione di Helmholtz equivale a tre equazioni (scalari) di Helmholtz, una per ciascuna componente: Ex, Ey e Ez:

0Ekzyx

0Ekzyx

0Ekzyx

0Ekz

E

y

E

x

E

22

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

0

0

0

0

z

y

x


Se si considera un’onda piana uniforme, caratterizzata da una Ex uniforme (ampiezza e fase uniforme), sulle superfici piane (xy) perpendicolari a z, l’equazione diventa:

con

essa é una equazione differenziale ordinaria poiché Ex dipende solo da z, ossia Ex = f(z).

0E kzyx

x2

2

2

2

2

2

2

0

y

E e

x

E xx 002

2

2

2

022

2

0

xx Ek

z

E


La soluzione della equazione:

é :

sono costanti arbitrarie che devono essere determinate con le condizioni al contorno.

Si consideri da prima solo primo termine:

usando come fasore di riferimento e assumendo

costante reale ( fase = 0 per z = 0) si ha:

022

2

0

xx Ek

z

E

zojko

zojkxxx eEeEzEzEzE

0

ωtcos0E

m

V z)kcos(ωEezERe

eezEReezERetz,E

00zokωj

0

jωzojk0

tjxx

tt

t

o

e EE0

zjko

xeEzE

0


Esaminando in dettaglio l’equazione trovata:

si può pensare di tracciare il grafico in un istante definito in funzione di z . In particolare per t=0, essendo:

per cui in un dato istante, nello spazio varia come una cosinusoide con una ampiezza Per tutti gli istanti successivi le curve relative avranno un andamento identico, ma traslano nella direzione positiva di z. Ciò dimostra che la curva é viaggiante nella direzione positiva di z con una velocità up che dipende da k0, ossia da e quindi dalla frequenza f.

Si deduce che per aumentare la velocità di trasmissione up, che dipende da , si può aumentare la frequenza f.

m

V z)kcos(ωEtz,E 00x

t

)cos0 coscos 000 0z(kEz,Ez)(kz)k(

x

tz,E

x

0

E


• Onda viaggiante nella direzione positiva z, per diversi valori di t


Per determinare la velocità di propagazione si consideri il fatto che la fase A è costante in ciascun piano normale alla direzione z di propagazione e imponendo questa condizione :

t-koz =A , e lo spazio percorso

Inoltre per le onde piane, al variare del tempo i piani in cui la fase è costante (fronti d’onda), viaggiano alla velocità della luce c nella direzione z. Quindi imponendo che t-koz sia costante all’aumentare di z e di t, si ottiene l’espressione della velocità di propagazione (up=c):

k0 numero d’onda, misura il numero di lunghezze d’onda in un ciclo completo.

s

m c

εμk

ω

t

k

Atd

dt

dzu p

8

000

0 1031

m

rad

c

πf

ck

20

kAt

z0


Analogamente si può verificare che il secondo termine della relazione :

rappresenta una onda viaggiante cosinusoidale nella direzione - z con la stessa velocità c: essa è chiamata onda riflessa.

Si consideri per ora solo l’onda diretta assumendo l’ipotesi che:

anche se in presenza di discontinuità nel mezzo, devono essere considerate anche

le onde riflesse viaggianti nella direzione opposta.

zjkzjkx

o

o

o

xxeEeEzEzEzE

0

0E0


Il campo magnetico associato alla sola onda diretta può essere determinato dalla relazione che lo lega al campo elettrico:

In forma matriciale:

dalla quale si ottengono le seguenti relazioni, dove risulta l’unica componente diversa da zero:

H

HjE

0

0 0

x y z

x x y y z z

x

a a a

E jω a H a H a H ,x y z

E (z)

zfEy

zE

jH

H

z

zE

jH

H

xx

z

z

xy

x

essendo 01

0

,1

,0

00

yH


Per un’onda piana uniforme, caratterizzata da una Ex uniforme

(ampiezza e fase uniforme) sulle superfici piane perpendicolari a z, risulta che le componenti del campo elettrico e del campo magnetico siano rispettivamente uguali a:

quindi il campo elettrico risulta nello spazio in quadratura con il campo magnetico.

HE

zfEy

zE

jH

H

z

zE

jH

H

xx

z

z

xy

x

essendo 01

0

,1

,0

00

,0

,0

),(

z

y

x

E

E

zfE


Esplicitando la relazione che lega il campo elettrico e magnetico si ha:

0 è l’ impedenza intrinseca dello spazio libero (essa è un numero reale).

0

0 0

00

0 0 0

0

7 7

00 9 12

0

1 1

1 1

2

4 10 4 10 120 377

1/ 36 10 8,854 10

jk zx oy

x x x

E zH E e

j z j z

kjk E z E z E z

j

πf radcon k

c c m

e

s

m

εμc

8

00

1031


Poichè 0 è un numero reale risulta in fase con e si

può scrivere l’espressione di come:

Quindi per un’onda piana e uniforme il rapporto delle ampiezze di

e é l’impedenza intrinseca del mezzo:

Inoltre risulta che é perpendicolare ad e che entrambe sono normali alla direzione di propagazione.

zH y zEx

H

+ + jωty yy y

+

0y 0

0

H z,t =a H z,t =a Re H z e =

E A =a cos ωt-k z

η m

E H

H E

00 0

0 0

1 con x

y x

y

EH E

H


Campi e di un’onda piana uniforme per t=0E H


Effetto Doppler

Quando c’é un movimento relativo tra la sorgente armonica nel tempo e un ricevitore, la frequenza dell’onda intercettata dal ricevitore tende ad essere diversa da quella emessa dalla sorgente .

Questo fenomeno é noto come effetto Doppler, esso si manifesta in acustica come nell’elettromagnetismo.

Si assuma che la sorgente T (Trasmettitore) di un’onda armonica nel tempo di frequenza f si muova con velocità con una deviazione di un angolo rispetto alla direzione della congiungente Trasmettitore-Ricevitore.

u

'f

f


Le onde elettromagnetiche emesse da T nell’istante t = 0 raggiungeranno il ricevitore R nell’istante .

Nell’istante successivo t = t, la sorgente T si é spostata nella nuova posizione T’ e l’onda emessa da T’ in quell’istante raggiungerà il ricevitore nell’istante t2:

c

rt 0

1

u

T Rr0

t = 0 t = t

u

T Rr0

r’utT’

H

cr

tt'

2


12 2 2'' '

2 1

11 2 2 2 2cos sin 0

11 2 22 2 2 22 cos cos sin 0

01

1 22 22 cos 00

HR T Hr rt t t t

c c c

t r u t u tc

t r r u t u t u tc

t r r u t u tc

u

T Rr0

t = 0 t = t

u

T Rr0

r’utT’

H

2t


Se l’equazione precedente diventa:

Quindi il ritardo temporale in R pari a t =t2-t1 é:

che non é uguale al t .

Se t rappresenta un periodo della sorgente armonica nel tempo, cioè t =1/f, allora la frequenza dell’onda ricevuta da R per la condizione più comune (u/c)2 << 1 é:

2220' rtuTT

02

0

1 cos .r u t

t tc r

0 02 1

0

r ruΔt uΔt'=t -t =Δt+ 1- cosθ - =Δt 1- cosθ ,

c r c c

cos1cos1'

1'

c

uf

c

uf

tf


Questa é una formula approssimata che non é valida quando é prossimo a /2, e in base a questa relazione si può dire che:

quindi si può avere che

• f’ > f : la frequenza in ricezione é maggiore della frequenza di trasmissione quando T si muove avvicinandosi a R (il massimo incremento di f si ha per = 0), mentre

• f’ < f : la frequenza in ricezione é minore della frequenza di trasmissione quando T si muove allontanandosi da R (il massimo decremento di f si ha per = )

cos1cos1'

1'

c

uf

c

uf

tf

ffc

uf

c

uff

' 1cos1' 1cos 0per

' 1cos1' 1cos per ffcu

fcu

ff


Risultati simili si ottengono se R si muove e T é fissa.L’effetto Doppler si verifica ogni volta che esiste movimento

relativo tra un ricevitore e un emettitore.

L’effetto Doppler é alla base del funzionamento del radar Doppler usato dalla polizia per valutare la velocità di un veicolo.

Il funzionamento del Radar Doppler è basato sul fatto che la variazione di frequenza dell’onda di ricezione riflessa dal movimento del veicolo è proporzionale alla velocità del veicolo e può essere misurata e visualizzata nell’unità di misura stabilita, infatti:

coscos θcu

ff' θ cu

ff'


L’effetto Doppler è anche la causa, in astronomia, della cosiddetta red shift (variazione rossa) dello spettro della luce emessa da una stella distante che si allontana.

Quando la stella si allontana ad alta velocità rispetto ad un osservatore sulla terra, la frequenza nel punto di ricezione trasla verso una frequenza più bassa dello spettro (si verifica un allungamento della lunghezza d’onda).

v

f


Onde elettromagnetiche trasversali

Un’onda piana uniforme caratterizzata da che si propaga nella direzione + z è associato a un campo magnetico

Quindi e sono perpendicolari uno con l’altro ed entrambi sono trasversali alla direzione di propagazione.

Questo è un caso particolare di onda trasversale elettromagnetica (transverse electromagnetic wave: TEM wave).

Le grandezze di campo vettoriali sono funzioni della sola distanza z e quindi variano lungo un singolo asse di coordinate.

Si considera ora la propagazione di un’onda piana uniforme lungo una direzione arbitraria, che non coincide necessariamente con un asse delle coordinate.

xx EaE .HaH yy

E H


L’intensità del fasore campo elettrico per un’onda piana uniforme che si propaga nella direzione +z è:

dove è un vettore costante.

L’espressione più generale per un’onda che si propaga in una direzione generica sarà:

Si dimostra facilmente per sostituzione diretta che questa espressione soddisfa l’equazione omogenea di Helmholtz e che:

( ) 0jk zzE z E e

0E

( , , ) jk yjk x jk zyx zE x y z E e e eo

2 2 2 2 k k kx y z

k kcon 220 0

c


Definendo un vettore numero d’onda come:

e un vettore radiale dall’origine:

La relazione precedente può essere scritta in forma compatta:

con versore nella direzione di propagazione.

nzzyyxx akkakakak

zayaxaR zyx

m

V eEeE)R(E RajkRkj n

00

na


Per la relazione:

per cui: è l’equazione di un piano normale ad

, direzione di propagazione.

nzzyyxx akkakakak

znzz

ynyy

xnxx

aakakk

aakakk

aakakk

OP lengthRan

na

x

yz

0P

Piano con fase costante

R

na


Se un’onda si propaga nella direzione z, nel piano z = costante il campo ha fase costante e ampiezza uniforme.

Analogamente si dimostra che l’onda che si propaga in una direzione generica definita dalla relazione:

ha fase costante e ampiezza uniforme nel piano

Infatti in una regione dello spazio priva di cariche,

per cui , essendo

un vettore costante.

jkz0 e E)z(E

tetancosRan eEeE)R(E Raj

0Rkj

0n

0E

0e Ee E)R(E Raj0

Raj0

nn

0E


Ma

per cui l’equazione diventa :

ciò implica che il campo sia trasversale alla direzione di propagazione delle onde.

,eajk

ekakakaj

ex

ax

ax

ae

Rajkn

zkykxk

zzyyxx

zkykxkxxx

Raj

n

zyx

zyxn

0e E Raj0

n

0aE 0eaEjk n0Rajk

n0n

0E


Il campo magnetico associato al campo elettrico:

può essere ottenuto dalla equazione di Maxwell:

o

dove: è l’impedenza intrinseca del mezzo o

l’impedenza d’onda.

HjωE

eE)R(E Rajk n 0

RE jω1

R H

mA

e E a 1

REa 1

R H Rajk-0nn

n

Ω εμ

kωμ

η

R H

M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI35

Dalla espressione trovata per il campo magnetico:

appare chiaramente come un’onda piana uniforme che si propaga in una direzione arbitraria sia un’onda trasversale elettromagnetica TEM con il campo elettrico e il campo magnetico perpendicolari tra di loro ed entrambi normali alla direzione di propagazione dell’onda, ossia la direzione del versore .

mA

e E a 1

REa 1

R H Rajk-0nn

n

naE H

na


Analogamente assumendo il campo magnetico:

in base alla equazione di Maxwell; si ottiene:

o

Dalle quali sono deducibili le stesse considerazioni fatte in base alle espressioni del campo magnetico

eH)R(H Raj0

n EjωH

mV

RH a jk- j1

RH j1

R E n

mV

RHa R E n

.)R(H


Polarizzazione delle onde piane

La polarizzazione di un’onda piana uniforme, caratterizza l’onda e descrive come variano l’ampiezza e la fase del vettore intensità campo elettrico in un dato punto dello spazio, al variare del tempo.

Essa indica come il campo elettrico e quindi il campo magnetico oscilla durante la propagazione dell’onda.

Le onde elettromagnetiche hanno polarizzazione lineare, circolare ed ellittica in base al fatto che l’estremità del vettore campo elettrico in ogni punto dello spazio, dove avviene la trasmissione, si muova su una retta, su un cerchio o su un’ellisse.

E

EH


Polarizzazione delle onde piane

Poiché l’equazione delle onde è una equazione lineare , qualunque sua soluzione può essere espressa come somma di altre soluzioni.

Ciò comporta che distribuzioni complesse di onde elettromagnetiche possano essere considerate come costitute dalla sovrapposizione di un gran numero di semplici onde piane con differenti ampiezze, fasi e direzioni di propagazione. Ciascuna onda può essere studiata separatamente , per poi analizzare l’onda risultante dalla sovrapposizione delle singole onde piane.

In particolate lo studio della polarizzazione di una onda piana sarà sviluppato considerando l’onda come la sovrapposizione di due onde lineari.


Onda polarizzata in un piano o linearmente polarizzata.

Se il vettore campo elettrico giace sempre in una stessa direzione si dice che l’onda è polarizzata in un piano o linearmente polarizzata.

Si realizza questa condizione quando tutte le onde sovrapposte hanno il campo elettrico nella stessa direzione, oppure quando i diversi campi elettrici hanno differenti direzioni, ma esattamente la stessa fase.

Onda polarizzata ellitticamente.

Se si ha la sovrapposizione di due onde piane uniformi con la stessa frequenza, ma con differenti fasi, ampiezze e orientazioni dei vettori di campo elettrico, la combinazione che ne risulta si dice essere un’onda polarizzata ellitticamente.


Se il vettore campo elettrico giace sempre in una stessa direzione si dice che l’onda è polarizzata in un piano o linearmente polarizzata.

Si realizza questa condizione quando tutte le onde sovrapposte hanno il campo elettrico nella stessa direzione, oppure quando i diversi campi elettrici hanno differenti direzioni, ma esattamente la stessa fase.

Se il vettore dell’onda piana è fissato nella direzione x :

dove Ex può essere positivo o negativo, l’onda è detta polarizzata linearmente nella direzione x.

Una descrizione separata del campo magnetico non è necessaria, poiché la direzione di è legata a quella del campo elettrico .

E

xx EaE

HE


In diversi casi

la direzione di dell’onda piana in un dato punto varia nel tempo e il campo si può considerare come la sovrapposizione di due onde lineari:

1. una polarizzata nella direzione x di ampiezza E10 e

2. l’altra polarizzata nella direzione y e ritardata di 90°

(o /2 rad) nella fase temporale di ampiezza E20.

La notazione fasoriale sarà:

dove E10 e E20 , che indicano le ampiezze delle due onde polarizzate linearmente, sono numeri reali.

E

1 2 10 20( ) ( ) ( ) jkz jkzx y x yE z a E z a E z a E e a jE e


L’espressione istantanea di è :

Per studiare la variazione di direzione di in un punto dato al variare di t , è conveniente considerare il punto per il quale z = 0:

come t varia da 0 a 2 , l’estremità del vettore percorre un luogo ellittico in senso antiorario.

E

)

2cos(a)cos(a

aa Re (z) Re),(

20y10x

2y1x

kztEkztE

ezEzEeEtzE tjtj

1 2 10 20( ) (0, ) (0, ) cos sinx y x yE t a E t a E t a E t a E t

)t,0(E

1 2 10 20( ) ( ) ( ) jkz jkzx y x yE z a E z a E z a E e a jE e

E


Infatti uguagliando gli addendi corrispondenti, analiticamente si ha:

che porta alla seguente equazione di una ellisse:

2

10

12

20

2

10

1

Et,0E

1tcos1E

t,0Etins

e E

t,0Etcos

1

Et,0E

E

t,0E2

10

1

2

20

2


Quindi il campo elettrico , ottenuto come la somma di due onde polarizzate sia nello spazio che nel tempo, è

• polarizzato ellitticamente se E20 E10 e

• polarizzato circolarmente se E20 = E10 .

Quando E20 = E10 l’angolo istantaneo che forma con l’asse x per z = 0 è:

ossia ruota con velocità

angolare uniforme in

senso antiorario.

E

,),0(

),0(tan

1

21 ttE

tE

E

E

y

x

0

)t,0(E

E10

E20


Quando le dita della mano destra seguono la rotazione di , il pollice indica la direzione della propagazione dell’onda.

Questa è un’onda polarizzata circolarmente positiva o destrorsa.

Se E2(z) è sfasata nel tempo di 90° in anticipo rispetto a E1(z):

anche in questo caso risulta ellitticamente polarizzato e se

E20 = E10 , ruota in senso orario con velocità angolare -.

Questa è un’onda polarizzata circolarmente negativa o sinistrorsa.

E

tjEatEat0E

ejEaeEazE

20y10x

jkz20y

jkz10x

sincos),(

e )(

E


×

Onda polarizzata elliticamente negativa o sinistrorsa(direzione della propagazione entrante nel foglio)

Onda polarizzata elliticamente positiva o destrorsa(direzione della propagazione uscente nel foglio)

Agendo sullo sfasamento di E2 rispetto a E1 si può invertire il senso di propagazione dell’onda.


Se E20 e E10 sono in quadratura nello spazio ma in fase nel tempo, la loro somma sarà polarizzata linearmente lungo una

linea che forma un angolo con l’asse x e

l’espressione istantanea di per z = 0 è:

L’estremità di sarà nel

punto P1 quando t = 0.

La sua ampiezza decrescerà verso

zero come t aumenta verso /2.

Quindi inizia ad aumentare

di nuovo, in direzione opposta

verso il punto P2 dove t = .

E

10

201tanE

E

E

tcosEaEa)t,0(E 20y10x

y

x0

E10

E20

10

201tanE

E

P1

P2

)t,0(E

)t,0(E


Variando le ampiezze delle due onde componenti è possibile ottenere una polarizzazione lineare con un angolo di deviazione θ qualsiasi rispetto all’asse delle x, essendo:

Nel caso generale E20 e E10 sono in quadratura nello spazio ma hanno ampiezza diversa E20 E10 e possono avere una differenza di fase arbitraria non necessariamente nulla o multipla di /2.

La loro somma sarà:

•polarizzata ellitticamente e

•gli assi principali dell’ellisse di polarizzazione non coincideranno con gli assi delle coordinate.

E

10

201tanE

E


Si noti che le onde elettromagnetiche irradiate da stazioni di trasmissione AM dalle loro torri di antenne sono linearmente polarizzate con il campo perpendicolare al suolo.

Per la massima ricezione l’antenna ricevente dovrà essere parallela al campo che è verticale alla direzione di propagazione.

I segnali televisivi al contrario, sono polarizzati linearmente nella direzione orizzontale, questo è il motivo per cui i conduttori delle antenne riceventi sui tetti sono orizzontali.

Le onde FM irradiate da stazioni radio sono generalmente polarizzate circolarmente; quindi l’orientazione di una antenna ricevente FM non è critica, sempre che giaccia nel piano normale alla direzione del segnale.

E

E


Onde piane nei mezzi dissipativi

In un mezzo dissipativo privo di sorgenti l’equazione del vettore omogeneo di Helmholz da risolvere è:

dove il numero d’onda:

è un numero complesso,

Le onde piane in un mezzo dissipativo si studieranno in maniera analoga alle onde in un mezzo omogeneo privo di perdite sostituendo kc a k, definendo una costante di propagazione tale che: .

022 EkE

"' jk cc

1-m cc jjk

"c

σ Fessendo ε ε -j '

ω mj


Poichè é un numero complesso si può scrivere:

l’equazione di Helmholtz diventa:e la soluzione é un’onda piana uniforme che si propaga nella direzione z, nella ipotesi che l’onda sia linearmente polarizzata nella direzione x:

fattore e costante di attenuazione in [Np/m] fattore e costante di fase in [rad/m]

equivale l’attenuazione in ampiezza per 1 m di propagazione equivale sfasamento dell’onda 1 m di propagazione.

2

12

1

'

"1'1

jj

jjjj c

0EE 22

zjzx

zxxx eeEaeEaEaE 00

2222 ; cccc kkjjk


• Il Neper è utilizzato come unità di misura per esprimere un rapporto tra due grandezze dello stesso tipo, per cui una grandezza espressa in Neper:

• Il decibel esprime il rapporto tra due livelli, di cui uno (quello a denominatore) è assunto come riferimento:

11 2

2

xNp = ln =ln x -ln x

x

20il valore corrispondente in decibel: 1Np = dB = 8.686 dB

ln10

110

2

2

1 110 10

2 2

xdB= 10 log per le potenze

x

x xdB= 10 log =20 log per le tensioni e le correnti

x x


l’attenuazione in ampiezza α e lo sfasamento dell’onda

dipendono dalla pulsazione e dai parametri costitutivi , e

e possono essere espressi in funzione di questi.

In particolare per i mezzi:

• dielettrici con basse perdite

• buoni conduttori

• gas ionizzati

si possono ricavare delle formule approssimate, comunque valide per molte applicazioni pratiche.


Dielettrici a basse perdite

fase di cità velos

m

'

"

8

11

'

1u

intrinseca impedenza '2

"1

'

fase di fattore m

rad

'

"

8

11'

neattenuazio di fattore m

Np

'2

2

p

c

2

"

j


Buoni conduttori

*** il campo magnetico é traslato di 45° rispetto a quello elettrico

1 e f a aliproporzion fase di velocità

s

m

2u

*** 45 di fasecon intrinseca impedenza

1

e fcon variabilifase di fattore e neattenuazio di fattore

m

Np

p

c

jj

f

c


Per i conduttori si definisce la skin depth o depth of penetration:

essa é la distanza lungo la quale l’ampiezza di un onda piana viaggiante diminuisce di un fattore pari a e-1 (0.3679).

Alle alte frequenze le onde elettromagnetiche che si propagano in un mezzo costituito da un buon conduttore si attenuano molto rapidamente, essendo sia f che valori molto grandi.

In particolare alle frequenze delle microonde la skin depth di penetrazione di un buon conduttore é così piccola, che i campi e le correnti possono essere considerati confinati in uno strato molto sottile della superficie del conduttore.

m π2

λ

πfμσ

1

α

1δ


skin depth o depth of penetration per alcuni conduttori

confrontata con quella dell’acqua

Materiale [S/m] f = 60Hz 1 MHz 1GHz

argento 6.17 107 8.27 [mm] 0.064 [mm] 0.0020 [mm]

rame 5.80 107 8.53 0.066 0.0021

oro 4.10 107 10.14 0.079 0.0025

alluminio 3.54 107 10.92 0.084 0.0027

ferro 1.00 107 0.65 0.005 0.00016

acqua di mare 4 32 [m] 0 .25 [m]


Gas ionizzati

Al di sopra della atmosfera terrestre, approssimativamente a una quota compresa tra 50 e 500 km di altezza, esistono strati di gas ionizzati: la ionosfera.

1 miglia=1,60934km

La ionosfera è ulteriormente divisa in strati (D, E, F1, F2) per evidenziare le diverse proprietà elettriche, dovute:

• alle variazioni della composizione e

• dell'intensità di radiazione solare ricevuta.


Quando la radiazione solari ultraviolette*** proveniente dal sole é assorbita dagli atomi e dalle molecole della parte superiore della ionosfera, questi assorbono parte di questa radiazione con una conseguente produzione di un elettrone libero (carica negativa) e uno ione (carica positiva).

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

*** La radiazione solare è l’energia radiante emessa nello spazio interplanetario dal Sole, generata a partire dalle reazioni termonucleari di fusione che avvengono nel nucleo solare e che producono radiazioni elettromagnetiche a varie frequenze o lunghezze d’onda, le quali si propagano poi nello spazio alle velocità tipiche di queste onde.


Nella ionosfera la densità delle molecole di ossigeno presenti è molto bassa, quindi gli elettroni liberi possono esistere per brevi periodi di tempo prima di essere “catturati” da uno ione positivo vicino, formandosi un l’atomo neutro, che a sua volta, assorbe radiazione solare e il processo si ripete.

Quindi durante l’arco della giornata (nel lato della terra investito dalle radiazioni solari), la ionosfera si può ritenere costituita da elettroni liberi e ioni positivi e, in minore quantità, da molecole del gas ( atomi di ossigeno neutri).


Le particelle cariche tendono ad essere trattenute dal campo magnetico terrestre.

L’altezza e le caratteristiche degli strati ionizzati dipendono

• dalla natura della radiazione solare e

• dalla composizione della ionosfera.

Essi variano con il ciclo di sunspot, la stagione e l’ora del giorno e i paralleli terrestri in modo molto complicato.

La densità degli elettroni e degli ioni nei singoli strati ionizzati sono essenzialmente uguali. I gas ionizzati con uguale densità di elettroni e ioni sono chiamati plasmi, quindi:

la ionosfera si può considerare costituita da un plasma.


Poiché gli elettroni sono più leggeri degli ioni positivi, essi sono più accelerati dai campi elettrici delle onde elettromagnetiche che passano attraverso la ionosfera.

La ionosfera gioca un ruolo importante nella propagazione delle onde elettromagnetiche e influisce sulla telecomunicazione.

Per comprendere e valutare qualitativamente l’entità di questa influenza si analizza il fenomeno con alcune ipotesi semplificative

• movimento degli ioni trascurabile (esso è sensibilmente inferiore a quello degli elettroni),

• ionosfera costituita esclusivamente da gas di elettroni liberi e

• trascurare le collisioni tra gli elettroni e gli atomi e le molecole del gas.


Su un elettrone di carica -e e massa m in un campo elettrico armonico nel tempo agente nella direzione x con frequenza angolare , agisce una forza di campo:

F=qE= –eE,

che lo allontana da uno ione positivo di una distanza x tale che:

da cui:

dove e sono fasori.

E

xmdt

xdmEeamF 2

2

2

Em

ex 2

E x

E

xione +

-e

x


La separazione delle cariche ( ione + ed elettrone -) alla distanza x fa nascere un momento di dipolo elettrico:

Se N è il numero di elettroni per unita di volume, la densità volumica del momento di dipolo elettrico o vettore di polarizzazione è:

Nella precedente equazione è stato trascurato implicitamente l’effetto mutuo dei momenti dei dipoli indotti degli elettroni sugli altri elettroni.

Em

NepNP 2

2

E

m

eexep

2


In base alle leggi dell’elettrostatica il vettore spostamento D sarà:

s

rad

1

con

11

0

2

2

2

2

2

00

2

2

00

del plasma angolare pulsazionem

eN

plasmadeltatà assolupermettivi

EEEm

NePED

p

p

p

p

p

EmNe

pNP 2

2


La corrispondente frequenza del plasma è:

e la permettività equivalente della ionosfera o plasma risulta :

da essa si ottiene la costante di propagazione:

e l’impedenza intrinseca: dove

2

0

1 f Hz

2 2 p

pN e

m

mF

11 2

2

02

2

0 f

f ppp

2

0 1

f

fjj p

pp

20

1

f

f p

p

1200

00

0

2

meN

p

)( fp


Dalla espressione di εp si vede come

per f fp , la permettività equivalente εp 0.

Quando la permettività diventa nulla εp , lo spostamento elettrico (che dipende solo dalle cariche libere è nullo, anche quando l’intensità del campo elettrico (che dipende sia dalle cariche libere che dalla polarizzazione) non lo è.

In quel caso dovrebbe essere possibile per un campo elettrico oscillante esistere nel plasma in assenza di cariche libere, ottenendo una cosi detta oscillazione di plasma.

D

E

2

2

02

2

00 1con 1f

fEDE

f

fPED p

ppp


Quando f < fp : l’argomento sotto radice è negativo e quindi

• diventa puramente reale, rilevando un attenuazione senza propagazione; contemporaneamente p diventa puramente immaginario indicando una carico reattivo per cui non si verifica senza trasmissione di potenza attiva.

Perciò fp é anche indicata come frequenza di taglio.

Quando f > fp : l’argomento sotto radice è positivo e quindi

é puramente immaginario, e le onde elettromagnetiche si propagano sfasate senza attenuazione nel plasma (nella ipotesi di perdite di collisione trascurabili).

.

2

0p 1γnepropagazio di costante

f

fjj p

p

2

0

1

intrinseca impedenza

f

f p

p


Se si sostituiscono i valori numerici di e, m e 0 nella espressione della fp, si ottiene una formula molto semplice per esprimere la frequenza di taglio del plasma:

Tale espressione permette di fare delle valutazioni sulla trasmissione delle onde attraverso la ionosfera.

Poichè la densità elettronica della ionosfera (N elettroni per unita di volume ) varia da:

(1010/m3 nello strato più basso ÷ 1012/m3 nello strato più alto).

Per cui fp varia da 0.9 a 9MHz. Essa è una misura della densità di ionizzazione dello strato riflettente. Più alta è la frequenza di taglio e maggiore è la densità di ionizzazione , che è legata a N.

2

0

1 9 Hz

2 2

pp

N ef N

m


Quindi se fp =0.9 ÷ 9 MHz , dovendo essere f > fp , per la comunicazione con un satellite o una stazione spaziale oltre la ionosfera, si devono usare frequenze superiori a 9 MHz.

Occorre lavorare questo campo di valori della frequenza, per assicurare la penetrazione delle onde anche nello strato con N (numero di elettroni per unita di volume) più elevato e per qualunque angolo di incidenza.

La situazione reale é più complessa per l’inesistenza di strati caratterizzati da densità elettronica costante e dalla presenza del campo magnetico terrestre, che agiste differentemente da punto a punto della spazio.


Riassumendo, le indicazioni di massima per la trasmissione dei segnali nella ionosfera sono :

• I segnali con frequenze superiori a di 9 MHz penetrano la ionosfera

• I segnali con frequenze tra 0,9 e 9 MHz penetreranno parzialmente negli strati più bassi della ionosfera ma saranno rinviati indietro dove N é più grande.

• I segnali con frequenze minori di 0.9 MHz non possono penetrare nello strato più basso della ionosfera, ma possono propagarsi molto lontano intorno alla terra per via di riflessioni multiple sul contorno della ionosfera e sulla superficie della terra.


Riassumendo, le indicazioni di massima per la trasmissione dei segnali nella ionosfera sono :

f > 9 MHz

f < 9 MHzf = 0.9 ÷ 9 MHz


Nella realtà, per trasmettere un segnale attraverso la ionosfera si utilizzano frequenze alte legate alle condizioni della ionosfera nella regione della terra nella quale avviene la trasmissione , dal l’ ora del giorno e dalle radiazioni solari ultraviolette che dipendono dalle sunspots.

Si comprende come lo studio del plasma nella ionosfera e la misura acurata delle sunspots sia argomento di ricerca avanzata in campo militare.

La frequenza di taglio fp

• può raggiungere 50 MHz a mezzogiorno e nell'immediato pomeriggio e anche nei periodi di maggiore attività delle macchie solari (sunspots),

• può diminuire a 10 MHz nelle prime ore del mattino e

• diminuire sino a a 2 MHz durante la notte.

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