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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 1 6c_EAIEE_ONDE ELETTROMAGNETICHE PIANE (ultima modifica 15/11/2017) EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI OMOGENEE Esse servono per determinare la distribuzione del campo in mezzi non conduttori, ossia in una regione dello spazio priva di cariche libere dove e sono entrambi uguali a zero. Nei dielettrici puri sono predominanti le correnti di spostamento e i dielettrici sono i materiali principalmente utilizzati per la propagazione e radiazione ( trasporto di energia) delle onde elettromagnetiche. 0 1 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 t H u H t E u E με / u 1 J t D H s J J J s J

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6c_EAIEE_ONDE ELETTROMAGNETICHE PIANE

(ultima modifica 15/11/2017)

EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI OMOGENEE

Esse servono per determinare la distribuzione del campo in mezzi non conduttori, ossia in una regione dello spazio priva di cariche libere dove e sono entrambi uguali a zero.

Nei dielettrici puri sono predominanti le correnti di spostamento

e i dielettrici sono i materiali principalmente utilizzati per la propagazione e radiazione ( trasporto di energia) delle onde elettromagnetiche.

01

01

2

2

2

2

2

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2

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Nel vuoto, (al di là dell’atmosfera terrestre), u=c e le espressioni

delle equazioni d’onda in assenza di sorgenti diventano:

dove

c é la velocità di propagazione dell’onda (velocità della luce) nel

vuoto .

______________________________________________________

m

m

s

km

s

m

εμ c

12

0

67

0

8

12600

10856,8 10256,1104

000.30010310856,810256,1

11

0t

H

c

1H 0

t

E

c

1E

2

2

2

2

2

2

2

2

01

01

2

2

2

2

2

2

2

2

t

H

uH

t

E

uE

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Onde elettromagnetiche piane

Si definisce fronte d’onda (superficie d’onda) il luogo geometrico

dei punti dello spazio in cui le grandezze di campo presentano

contemporaneamente la stessa fase,

ossia l'insieme di tutti i punti dello spazio in cui, per un certo istante

fissato t, la fase ha lo stesso valore.

I fronti d’onda sono perpendicolari alla direzione di propagazione

dell'onda e sono utili per visualizzare i fenomeni di trasmissione

delle onde.

Ad esempio, i punti, che nello stesso istante t hanno tutti la stessa

fase alla quale corrispondente la massima ampiezza, formano un

fronte d’onda.

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Onde elettromagnetiche piane I fronti d’onda possono essere sono definiti in base alla loro forma, per

esempio si possono avere fronti d’onda piani, sferici così via.

Fronte d’onda piano Fronte d’onda sferico

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Onde elettromagnetiche piane

Un onda elettromagnetica è piana quando il suo fronte d’onda è un piano.

Le onde elettromagnetiche piane sono caratterizzate da grandezze di campo sempre e ovunque in fase su piani perpendicolari alla direzione di propagazione, cioè , per il sistema di riferimento scelto, per ogni valore di z, i campi :

• in fase nel tempo e

• in quadratura nello spazio.

Direzione di propagazione Fronti d’onda piani

x

E

H

z è direzione di propagazione delle onde

y

z

H e E

H e E

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Onde elettromagnetiche piane

L’onda elettromagnetica piana é una particolare soluzione delle

equazioni di Maxwell e costituisce una buona approssimazione

delle onde elettromagnetiche reali in molte applicazioni pratiche.

Le caratteristiche delle onde piane uniformi sono particolarmente semplici e il loro studio è fondamentale sia dal punto di vista teorico che pratico.

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Onde elettromagnetiche piane

• Radiofrequenze a grande distanza dal trasmettitore e da

oggetti, che potrebbero causare diffrazione, con curvatura

trascurabile, possono essere studiate come onde piane.

• L’approssimazione delle onde piane è molto utilizzata

nell’ottica.

• Lo studio delle onde piane è molto importante perché, onde

più complesse possono essere considerate come formate

dalla sovrapposizione di onde piane.

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Onde Elettromagnetiche piane in regime sinusoidale

Nelle regioni in cui non sono presenti sorgenti (cariche a riposo nulle ρ=0 e correnti elettriche nulle ) e il mezzo non è dissipativo, le onde sono descritte dalle soluzioni delle

Equazioni di Helmholtz vettoriali omogenee:

= numero d’onda in un mezzo di trasmissione qualsiasi

0

0

22

22

HkH

e

EkE

μεωkf

u

m

rad

u

ωμεωk 22 ,

2

k

2

0J

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Onde elettromagnetiche piane nei mezzi privi di perdite

Le equazione vettoriali esplicitate delle onde elettromagnetiche nel

vuoto (nello spazio libero k=ko ), in assenza di sorgenti, sono:

dove k0 ( free space wavenumber) é il numero d’onda nello spazio

libero, é il reciproco della lunghezza d’onda nel vuoto:

m

rad

c

ωεμωk

0000

2

0

0

2

0

2

2

0

2

HkH

EkE

0Hkz

H

y

H

x

H

0Ekz

E

y

E

x

E

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

0

0

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In coordinate cartesiane la prima equazione di Helmholtz espressa in forma compatta vettoriale, equivale a tre equazioni (scalari) di Helmholtz, una per ciascuna componente: Ex, Ey e Ez:

0Ekzyx

0Ekzyx

0Ekzyx

0Ekz

E

y

E

x

E

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

0

0

0

0

z

y

x

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Se si considera un’onda piana uniforme, caratterizzata da una Ex uniforme (ampiezza e fase uniforme), sulle superfici piane (xy) perpendicolari a z, poichè Ex = f(x,y,z)→ Ex = f(z) l’equazione diventa:

con

essa è una equazione differenziale ordinaria (perchè dipende da una sola variabile z ) ossia Ex dipende solo da z, → Ex = f(z).

0E kzyx

x2

2

2

2

2

2

2

0

y

E e

x

E xx 002

2

2

2

02

2

2

0

x

x Ekz

E

x

E

direzione di propagazione delle onde

y

z

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La soluzione della equazione:

é :

sono costanti arbitrarie che devono essere

determinate con le condizioni al contorno.

Si consideri da prima solo il primo termine:

• usando come fasore di riferimento e

• assumendo costante reale ( fase = 0 per z = 0) si ha:

02

2

2

0

x

x Ekz

E

zojk

o

zojk

xxx eEeEzEzEzE

0

ωtcos0E

m

V z)kcos(ωEezE Re

e ezE ReezE Retz,E

0zkωj

jωzjktj

0

o

0

o

0xx

tt

t

o e EE

0

zjko

xeEzE

0

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Esaminando in dettaglio l’equazione trovata:

si può pensare di tracciare il grafico in funzione di z, in un istante definito t. In particolare per t=0, essendo:

• per cui in un dato istante t, nello spazio varia come una cosinusoide con una ampiezza

• Per tutti gli istanti successivi le curve relative avranno un andamento identico, ma traslano nella direzione positiva di z.

Ciò dimostra che la curva é viaggiante nella direzione positiva di z con una velocità up = / k0 , che dipende da k0, ossia da e dalla

frequenza f, essendo:

Da cui si deduce che la velocità di trasmissione up nello spazio libero,

coincide con la velocità della luce c.

m

V z)kcos(ωEtz,E 00x

t

)cos0 coscos 000 0z(kEz,Ez)(kz)k(

x

tz,Ex

0E

m

rad

c

ωεμωk

0000

2

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Onda viaggiante nella direzione positiva z, per diversi valori di t

La lunghezza d'onda λ0 è la distanza z= λ0 che un'onda percorre

mentre compie un ciclo completo e

k0 numero d’onda, misura il numero di lunghezze d’onda λ0 nella

unità di lunghezza.

s

radfω

m

rad

c

ωεμωk

2

2

0

000

m

V z)kcos(ωEtz,E 00x

t

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Per determinare la velocità di propagazione si consideri il fatto che la fase istantanea è costante in ciascun piano normale alla direzione z di propagazione, per cui: (t-koz) =A con A costante. Imponendo questa condizione :

t-koz =A → lo spazio percorso

In particolare nel vuoto al variare del tempo i piani in cui la fase è costante, ossia i fronti d’onda, viaggiano alla velocità della luce c nella direzione z.

Quindi derivando lo spazio percorso z rispetto al tempo, si ottiene l’espressione della velocità di propagazione up=c nel vuoto:

è numero d’onda, è il numero di oscillazioni di un'onda nell'unita di lunghezza.

s

m c

εμk

ω

dt

k

Atd

dt

dzu p

8

000

0 1031

m

rad

π

c

πf

c

22k dove 0

k

Atz

0

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Analogamente si può verificare che il secondo termine della

relazione :

rappresenta una onda viaggiante cosinusoidale nella direzione - z

con la stessa velocità c: essa è chiamata onda riflessa.

Si consideri per ora solo l’onda diretta assumendo l’ipotesi che:

anche se in presenza di discontinuità nel mezzo, devono essere

considerate anche

le onde riflesse viaggianti nella direzione opposta.

zjkzjkx

o

o

o

xxeEeEzEzEzE

0

0E0

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Il campo magnetico associato alla sola onda diretta può essere

determinato dalla relazione che lo lega al campo elettrico:

Esplicitando la equazione di Maxwell in forma matriciale:

dalla quale si ottengono le seguenti relazioni, dove risulta

l’unica componente diversa da zero, essendo:

H

HjE

0

0 0

x y z

x x y y z z

x

a a a

E jω a H a H a H ,x y z

E (z)

zfEy

zE

jH

H

z

zE

jH

H

xx

z

z

xy

x

essendo 01

0

,1

,0

00

yH

Ex = f(z)

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Per un’onda piana uniforme, caratterizzata da una Ex uniforme

(ampiezza e fase uniforme) sulle superfici piane perpendicolari a z,

risulta che le componenti del campo elettrico e del campo

magnetico siano rispettivamente uguali a:

quindi il Campo Elettrico risulta nello spazio in quadratura con il

Campo Magnetico .

H

E

0

,1

,0

0

z

xy

x

H

z

zE

jH

H

,0

,0

),(

z

y

x

E

E

zfE

H

E

x

E

H z direzione di propagazione delle onde

y

z

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Esplicitando la relazione che lega il campo elettrico e magnetico si ha:

0 è l’ impedenza intrinseca dello spazio libero (essa è un numero

reale).

0

0 0

0

0

0 0 0

0

7 7

0

0 9 12

0

1 1

1 1

2

4 10 4 10 120 377

1/ 36 10 8,854 10

jk zx o

y

x x x

E zH E e

j z j z

kjk E z E z E z

j

πf radcon k

c c m

e

00

0

2

0

00

0

00

000

0

8

00

1

k

1031

c

s

m

εμc

zEzH xy

0

1

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Poichè 0 è un numero reale risulta in fase con e

l’espressione di si può scrivere in funzione del campo elettrico

come:

Quindi per un’onda piana e uniforme il rapporto delle ampiezze di

e é l’impedenza intrinseca del mezzo:

Inoltre risulta che é perpendicolare ad e che entrambe

sono normali alla direzione di propagazione.

zH y

zEx

H

+ + jωty yy y

+

0y 0

0

H z,t =a H z,t =a Re H z e =

E A =a cos ωt-k z

η m

E H

H E

0

0 0

0 0

1 con x

y x

y

EH E

H

zEzH xy

0

1

E

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Campi e di un’onda piana uniforme per t=0 E H

m

rad

c

ωεμωk

0000

2

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Effetto Doppler

Quando c’é un movimento relativo tra la sorgente armonica nel

tempo e un ricevitore, la frequenza dell’onda intercettata dal

ricevitore tende ad essere diversa da quella emessa dalla

sorgente .

Questo fenomeno é noto come effetto Doppler, esso si manifesta

in acustica come nell’elettromagnetismo.

Si assuma che la sorgente T (Trasmettitore) di un’onda armonica

nel tempo di frequenza f si muova con velocità con una

deviazione di un angolo rispetto alla direzione della

congiungente Trasmettitore-Ricevitore.

u

'f

f

T R r0

u

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Le onde elettromagnetiche emesse da T nell’istante t = 0

raggiungeranno il ricevitore R in ritardo nell’istante .

Nell’istante successivo t = t, l’emettitore T si è spostata nella

nuova posizione T’ e l’onda emessa da T’ in quell’istante

raggiungerà il ricevitore nell’istante t2:

c

rt 0

1

u

T R r0

t = 0→emettitore in T t = t emettitore in T’

u

T R r0

r’ ut T’

H

c

rtt

'

2

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 24

12 2 2'

' '2 1

11 2 2 2 2cos sin 0

11 2 22 2 2 22 cos cos sin 0

0

11 22 22 cos 0

0

HR T Hr r

t t t tc c c

t r u t u tc

t r r u t u t u tc

t r r u t u tc

u

T R r0

t = 0 t = t

u

T R r0

r’ ut T’

H

2t

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Se l’equazione precedente diventa:

Quindi il ritardo temporale in R pari a t’ =t2-t1 é:

che non è uguale al t .

Se t rappresenta un periodo della sorgente armonica nel tempo,

cioè t =1/f , allora la frequenza f’ dell’onda ricevuta da R per la

condizione più comune (u/c)2 << 1 é:

2220' rtuTT

0

2

0

1 cos .r u t

t tc r

0 02 1

0

r ruΔt uΔt'=t -t =Δt+ 1- cosθ - =Δt 1- cosθ ,

c r c c

cos1

cos1'

1'

c

uf

c

u

f

tf

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 26

Questa é una formula approssimata che non é valida quando é

prossimo a /2, e in base a questa relazione si può dire che:

quindi si può avere che

• f’ > f : la frequenza in ricezione é maggiore della frequenza di

trasmissione, quando T si muove avvicinandosi a R ( cosϑ > 0).

Il massimo incremento di f si ha per = 0, infatti

• f’ < f : la frequenza in ricezione é minore della frequenza di

trasmissione, quando T si muove allontanandosi da R ( cosϑ < 0)

Il massimo decremento di f si ha per = , infati

cos1

'

1'

c

uf

tf

ffc

uf

c

uff

' 1cos1' 1cos 0per

' 1cos1' 1cos per ffc

uf

c

uff

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Risultati simili si ottengono se si muove il ricevitore R e il trasmettitore T rimane fermo.

L’effetto Doppler si verifica ogni volta che esiste movimento relativo tra un ricevitore e un emettitore.

L’effetto Doppler é alla base del funzionamento del radar Doppler usato dalla polizia per valutare la velocità di un veicolo.

Il funzionamento del Radar Doppler è basato sul fatto che

la variazione di frequenza dell’onda di ricezione riflessa dal movimento del veicolo è proporzionale alla velocità del veicolo e può essere misurata e visualizzata nell’unità di misura stabilita, infatti:

coscos θc

uff' θ

c

uff'

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 28

L’effetto Doppler è anche la causa, in astronomia, della

cosiddetta red shift (variazione rossa) dello spettro della luce

emessa da una stella distante che si allontana.

Quando la stella si allontana ad alta velocità rispetto ad un

osservatore sulla terra, la frequenza del segnale luminoso nel

punto di ricezione trasla verso una frequenza più bassa dello

spettro (si verifica un allungamento della lunghezza d’onda).

v

f

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 29

Onde elettromagnetiche trasversali

Un’onda piana uniforme caratterizzata da che si propaga

nella direzione + z è associato a un campo magnetico

Quindi e sono perpendicolari uno con l’altro ed entrambi sono

trasversali alla direzione di propagazione.

Questo è un caso particolare di onda trasversale elettromagnetica

(transverse electromagnetic wave: TEM wave).

Le grandezze di campo vettoriali sono funzioni della sola distanza z e

quindi variano lungo un singolo asse di coordinate.

Si considera ora la propagazione di un’onda piana uniforme lungo

una direzione arbitraria, che non coincide necessariamente con un

asse delle coordinate.

xx EaE

.HaH yy

E H

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 30

L’intensità del fasore campo elettrico per un’onda piana uniforme

che si propaga nella direzione +z è:

dove è un vettore costante.

L’espressione più generale per un’onda che si propaga in una

direzione generica sarà:

Si dimostra facilmente per sostituzione diretta che questa

espressione soddisfa l’equazione omogenea di Helmholtz e che:

( ) 0jk zzE z E e

0E

( , , ) jk yjk x jk zyx zE x y z E e e eo

2 2 2 2 k k kx y z

k kcon 220 0

c

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 31

Definendo un vettore numero d’onda come:

e un vettore radiale dall’origine (vettore posizione) che definisce

posizione del punto in cui si vuole valutare il campo:

La relazione precedente può essere scritta in forma compatta:

con versore nella direzione di propagazione.

nzzyyxx akkakakak

zayaxaR zyx

m

V eEeE)R(E RajkRkj n

00

na

( , , ) jk yjk x jk zyx zE x y z E e e eo

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 32

Per la relazione:

per cui: è l’equazione di un piano normale ad

, direzione di propagazione.

nzzyyxx akkakakak

znzz

ynyy

xnxx

aakakk

aakakk

aakakk

OP lengthRan

na

x

y z

0 P

Piano con fase costante

R

na

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 33

Se un’onda si propaga nella direzione z, nel piano z = costante il

campo ha fase costante e ampiezza uniforme.

Analogamente si dimostra che l’onda che si propaga in una direzione

generica definita dalla relazione:

ha fase costante e ampiezza uniforme nel piano

Infatti in una regione dello spazio priva di cariche,

per cui , essendo

un vettore costante.

jkz0 e E)z(E

tetancosRan

eEeE)R(ERaj

0Rkj

0n

0E

0e Ee E)R(ERaj

0Raj

0nn

0E

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 34

Ma

per cui l’equazione diventa :

ciò implica che il campo sia trasversale alla direzione di

propagazione delle onde.

,eajk

ekakakaj

ex

ax

ax

ae

Rajkn

zkykxk

zzyyxx

zkykxkxxx

Raj

n

zyx

zyxn

0e ERaj

0n

0aE 0eaEjk n0Rajk

n0n

0E

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 35

Il campo magnetico associato al campo elettrico:

può essere ottenuto dalla equazione di Maxwell:

o

dove: è l’impedenza intrinseca del mezzo o

l’impedenza d’onda.

HjωE

eE)R(E Rajk n 0

RE jω

1 R H

m

A e E a

1 REa

1 R H

Rajk-0nn

n

Ω ε

μ

k

ωμη

R H

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 36

Dalla espressione trovata per il campo magnetico:

appare chiaramente come un’onda piana uniforme che si propaga in

una direzione arbitraria sia un’onda trasversale elettromagnetica

TEM con il campo elettrico e il campo magnetico

perpendicolari tra di loro ed entrambi normali alla direzione di

propagazione dell’onda, ossia la direzione del versore .

m

A e E a

1 REa

1 R H

Rajk-0nn

n

na

E H

na

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 37

Analogamente assumendo il campo magnetico:

in base alla equazione di Maxwell; si ottiene:

o

Dalle quali sono deducibili le stesse considerazioni fatte in base alle

espressioni del campo magnetico

eH)R(HRaj

0n

EjωH

m

V RH a jk-

j

1 RH

j

1 R E n

m

V RHa R E n

.)R(H

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 38

Polarizzazione delle onde piane

La polarizzazione di un’onda piana uniforme, caratterizza l’onda

e descrive come variano l’ampiezza e la fase del vettore

intensità campo elettrico in un dato punto dello spazio, al

variare del tempo.

Essa indica come il campo elettrico e quindi il campo

magnetico oscilla durante la propagazione dell’onda.

Le onde elettromagnetiche hanno polarizzazione lineare,

circolare ed ellittica in base al fatto che l’estremità del vettore

campo elettrico in ogni punto dello spazio, dove avviene la

trasmissione, si muova su una retta, su un cerchio o su

un’ellisse.

E

EH

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 39

Polarizzazione delle onde piane

Poiché l’equazione delle onde è una equazione lineare , qualunque

sua soluzione può essere espressa come somma di altre soluzioni.

Ciò comporta che distribuzioni complesse di onde

elettromagnetiche possano essere considerate come costitute dalla

sovrapposizione di un gran numero di semplici onde piane con

differenti ampiezze, fasi e direzioni di propagazione. Ciascuna

onda può essere studiata separatamente, per poi analizzare l’onda

risultante dalla sovrapposizione delle singole onde piane.

In particolate lo studio della polarizzazione di una onda piana

sarà sviluppato considerando l’onda come la sovrapposizione

di due onde lineari.

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 40

Onda polarizzata in un piano o linearmente polarizzata.

Se il vettore campo elettrico ha sempre la stessa direzione si

dice che l’onda è polarizzata in un piano o linearmente

polarizzata.

Si realizza questa condizione quando tutte le onde sovrapposte

hanno il campo elettrico nella stessa direzione, oppure quando i

diversi campi elettrici hanno differenti direzioni, ma esattamente

la stessa fase.

Onda polarizzata ellitticamente.

Se si ha la sovrapposizione di due onde piane uniformi con la

stessa frequenza, ma con differenti fasi, ampiezze e orientazioni

dei vettori di campo elettrico, la combinazione che ne risulta si

dice essere un’onda polarizzata ellitticamente.

E

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 41

Se il vettore dell’onda piana è fissato nella direzione x :

dove Ex può essere positivo o negativo, l’onda è detta

polarizzata linearmente nella direzione x.

Una descrizione separata del campo magnetico non è

necessaria, poiché la direzione di è legata a quella del

campo elettrico .

E

xx EaE

H

E

H

x

E

H z direzione di propagazione delle onde

y

z

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 42

In diversi casi

la direzione di dell’onda piana in un dato punto varia nel

tempo e il campo si può considerare come la sovrapposizione

di due onde lineari che si propagano nella direzione z:

1. una polarizzata nella direzione x di ampiezza E10 e

2. l’altra polarizzata nella direzione y e ritardata di 90°

(o /2 rad) nella fase temporale e di ampiezza E20.

La notazione fasoriale sarà:

dove E10 e E20 , che indicano le ampiezze delle due onde

polarizzate linearmente, sono numeri reali.

E

1 2 10 20( ) ( ) ( ) jkz jkz

x y x yE z a E z a E z a E e a jE e

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 43

L’espressione istantanea di è :

Per studiare la variazione di direzione di in un punto dato al

variare di t , è conveniente considerare il punto per il quale z = 0:

come t varia da 0 a 2 , l’estremità del vettore percorre un

luogo ellittico in senso antiorario.

E

)2

cos(a)cos(a

aa Re (z) Re),(

20y10x

2y1x

kztEkztE

ezEjzEeEtzE tjtj

1 2 10 20( ) (0, ) (0, ) cos sinx y x yE t a E t a E t a E t a E t

)t,0(E

1 2 10 20( ) ( ) ( ) jkz jkz

x y x yE z a E z a E z a E e a jE e

E

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 44

Infatti uguagliando gli addendi corrispondenti, analiticamente si ha:

che porta alla seguente equazione di una ellisse:

2

10

12

20

2

10

1

E

t,0E1tcos1

E

t,0Etins

e E

t,0Etcos

1

E

t,0E

E

t,0E2

10

1

2

20

2

1 2 10 20( ) (0, ) (0, ) cos sinx y x yE t a E t a E t a E t a E t

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 45

Quindi il campo elettrico , ottenuto come la somma di due

onde polarizzate sia nello spazio che nel tempo, è

• polarizzato ellitticamente se E20 E10 e

• polarizzato circolarmente se E20 = E10 .

Quando E20 = E10 l’angolo istantaneo che forma con l’asse x

per z = 0 è:

ossia ruota con velocità

angolare uniforme in

senso antiorario.

E

,),0(

),0(tan

1

21 ttE

tE

E

E

y

x

0

)t,0(E

E10

E20

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 46

Quando le dita della mano destra seguono la rotazione di , il

pollice indica la direzione della propagazione dell’onda.

Questa è un’onda polarizzata circolarmente positiva o destrorsa.

Se E2(z) è sfasata nel tempo di 90° in anticipo rispetto a E1(z):

anche in questo caso risulta ellitticamente polarizzato e se

E20 = E10 , ruota in senso orario con velocità angolare -.

Questa è un’onda polarizzata circolarmente negativa o sinistrorsa.

E

tjEatEat0E

ejEaeEazE

20y10x

jkz

20yjkz

10x

sincos),(

e )(

E

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 47

×

Onda polarizzata elliticamente negativa o sinistrorsa

(direzione della propagazione entrante nel foglio)

Onda polarizzata elliticamente positiva o destrorsa

(direzione della propagazione uscente nel foglio)

Agendo sullo sfasamento di E2 rispetto a E1 si può invertire il

senso di propagazione dell’onda.

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 48

Se E20 e E10 sono in quadratura nello spazio ma in fase nel

tempo, la loro somma sarà polarizzata linearmente lungo una

linea che forma un angolo con l’asse x e

l’espressione istantanea di per z = 0 è:

L’estremità di sarà nel

punto P1 quando t = 0.

La sua ampiezza decrescerà verso

zero come t aumenta verso /2.

Quindi inizia ad aumentare

di nuovo, in direzione opposta

verso il punto P2 dove t = .

E

10

201tanE

E

E

tcosEaEa)t,0(E 20y10x

y

x 0

E10

E2

0

10

201tanE

E

P1

P2

)t,0(E

)t,0(E

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 49

Variando le ampiezze delle due onde componenti è possibile

ottenere una polarizzazione lineare con un angolo di deviazione θ

qualsiasi rispetto all’asse delle x, essendo:

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Nel caso generale E20 e E10 sono in quadratura nello spazio ma

hanno ampiezza diversa E20 E10 e possono avere una differenza di

fase arbitraria non necessariamente nulla o multipla di /2.

La loro somma sarà:

•polarizzata ellitticamente e

•gli assi principali dell’ellisse di polarizzazione non coincideranno

con gli assi delle coordinate.

E

10

201tanE

E

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 50

Si noti che le onde elettromagnetiche irradiate da stazioni di

trasmissione AM dalle loro torri di antenne sono linearmente

polarizzate con il campo perpendicolare al suolo.

Per la massima ricezione l’antenna ricevente dovrà essere parallela

al campo che è verticale alla direzione di propagazione.

I segnali televisivi al contrario, sono polarizzati linearmente nella

direzione orizzontale, questo è il motivo per cui i conduttori delle

antenne riceventi sui tetti sono orizzontali.

Le onde FM irradiate da stazioni radio sono generalmente

polarizzate circolarmente; quindi l’orientazione di una antenna

ricevente FM non è critica, sempre che giaccia nel piano normale

alla direzione del segnale.

E

E

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 51

Polarizzazione lineare :

Si ottiene dalla composizione di

due onde in fase polarizzate

linearmente in due piani

ortogonali (x=0 e y=0). L’onda

risultante è ancora un’onda

polarizzata linearmente con

piano di vibrazione obliquo,

ovvero risulta essere obliqua sul

piano x-y quando l’onda stessa

viaggia lungo la direzione z.

Esempi di polarizzazione

θ

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 52

Polarizzazione circolare:

Si ottiene dalla composizione di

due onde sfasate di π/2,

polarizzate linearmente in due

piani ortogonali (x=0 e y=0).

L’onda risultante è un’onda

polarizzata circolarmente in

senso orario.

Si noti che le ampiezze delle due

componenti Ex e Ex sono uguali.

Esempi di polarizzazione

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 53

Polarizzazione ellittica :

Si ottiene dalla composizione di

due onde sfasate di π/2 polarizzate

linearmente in due piani

ortogonali.. L’onda risultante è

un’onda polarizzata ellitticamente

in senso orario.

In questo caso le ampiezze delle

due componenti Ex e Ex non

sono uguali.

Esempi di polarizzazione

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 54

Confronto tra

Polarizzazione ellitica

e

Polarizzazione lineare

-- onda componente polarizzata nella dir. x

-- onda componente polarizzata nella dir. y

-- onda risultante polarizzata

x

x

y

y

z

z

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 55

Proiezioni (color viola) sul piano x-y dello spostamento dell’estremo

del vettore di campo E al variare del tempo per i 3 tipi di polarizzazione

z z z

x x x

y y

y

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 56

Onde piane nei mezzi dissipativi

In un mezzo dissipativo privo di sorgenti σ ≠ 0, nelle equazioni

d’onda vettoriale omogenee di Helmholz il numero d’onda deve

essere complesso, infatti

Le onde piane in un mezzo dissipativo si studiano in maniera analoga

alle onde in un mezzo omogeneo privo di perdite sostituendo .

Inoltre si definisce una costante di propagazione tale che:

0EkE 0EkE2

c

222

"' :diventak jkke cc

1-m cc jkj

"c

σ Fessendo ε ε -j '

ω mj

k a kc

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 57

Poichè la costante di propagazione é un numero complesso:

l’equazione di Helmholtz diventa:

e la soluzione é un’onda piana uniforme che si propaga nella direzione z.

Nella ipotesi che l’onda sia linearmente polarizzata nella direzione x:

fattore e costante di attenuazione in [Np/m]

fattore e costante di fase in [rad/m]

• equivale l’attenuazione in ampiezza per 1 m di propagazione

• equivale allo sfasamento dell’onda per 1 m di propagazione.

2

1

2

1

'

"1'1

jj

jjjkjj cc

0EE22

zjzx

zxxx eeEaeEaEaE 00

2222 ; cccc kkjkj

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 58

• Il Neper Np è utilizzato come unità di misura della attenuazione di una

grandezza. Si esprime come rapporto tra due valori che una grandezza assume in

due punti diversi, dove il termine a denominatore è assunto come valore di

riferimento:

Il neper è utile quando si devono confrontare valori molto diversi fra loro, poiché

sfruttando la scala logaritmica si comprime il campo di variazione della

grandezza.

• L’attenuazione di una grandezza può essere espressa in decibel dB

1

1 2

2

xNp = ln =ln x -ln x

x

20il valore corrispondente in decibel: 1Np = dB = 8.686 dB

ln10

1

10

2

2

1 1

10 10

2 2

xdB= 10 log per le potenze

x

x xdB= 10 log =20 log per le tensioni e le correnti

x x

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 59

l’attenuazione in ampiezza α e lo sfasamento dell’onda per ogni metro

di propagazione dipendono:

• dalla pulsazione e quindi dalla frequenza della sorgente e

• dai parametri costitutivi , e e possono essere così espressi:

In particolare per i mezzi:

1. dielettrici con basse perdite

2. buoni conduttori

3. gas ionizzati

si possono ricavare delle formule approssimate, comunque valide per

molte applicazioni pratiche.

2

1

2

1

'

"1'1

jj

jjjj c

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 60

1. Dielettrici a basse perdite ( >> )

fase di cità velos

m

'

"

8

11

'

1u

intrinseca impedenza '2

"1

'

fase di fattore m

rad

'

"

8

11'

neattenuazio di fattore m

Np

'2

2

p

c

2

"

j

2

1

2

1

'

"1'1

jj

jjjj c

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 61

2. Buoni conduttori ( >> )

*** il campo magnetico é traslato di 45° rispetto a quello elettrico

1 e f a aliproporzion fase di velocità

s

m

2u

*** 45 di fasecon intrinseca impedenza

1

e fcon variabilifase di fattore e neattenuazio di fattore

m

Np

p

c

jj

f

c

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 62

Per i conduttori si definisce la skin depth o depth of penetration:

essa è uguale all’inverso del fattore di attenuazione e rappresenta la

distanza lungo la quale l’ampiezza di un onda piana viaggiante diminuisce

di un fattore pari a e-1 =1/(2.71828 )=0.3679 (≈ 37%)

Alle alte frequenze le onde elettromagnetiche che si propagano in un

mezzo costituito da un buon conduttore si attenuano molto

rapidamente, essendo sia f che valori molto grandi.

In particolare alle frequenze delle microonde ( 300MHz ÷300GHz) la skin

depth di un buon conduttore é così piccola, che i campi e le correnti

possono essere considerati confinati in uno strato molto sottile della

superficie del conduttore.

m π2

λ

πfμσ

1

α

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 63

skin depth o depth of penetration per alcuni conduttori

confrontata con quella dell’acqua

δ [mm] .

Materiale [S/m] f = 60Hz f=1 MHz f=1GHz

argento 6.17 107 8.27 [mm] 0.064 [mm] 0.0020 [mm]

rame 5.80 107 8.53 0.066 0.0021

oro 4.10 107 10.14 0.079 0.0025

alluminio 3.54 107 10.92 0.084 0.0027

ferro 1.00 107 0.65 0.005 0.00016

acqua di mare 4 32 [m] 0 .25 [m]

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 64

3. Gas ionizzati

Nello strato della atmosfera terrestre, con una quota compresa tra 50

e 500 km di altezza, esistono strati di gas ionizzati o Plasmi che

costituiscono la ionosfera.

L'atmosfera terrestre è l'involucro di gas

(termine generico aria) che riveste il

pianeta Terra, principalmente: • azoto (N2),

•ossigeno (O2)

•argon,

•anidride carbonica e

•tracce di altri elementi.

Possiede una struttura complessa e

suddivisa in più strati, con caratteristiche

differenti (densità, temperatura, proprietà

chimiche, spessori etc..).

Trasmissione delle onde nella ionosfera

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 65

Ionosfera

1 miglia=1,60934km

La ionosfera è ulteriormente divisa in strati (D, E, F1, F2) per evidenziare le

diverse proprietà elettriche, dovute:

• alle variazioni della composizione e

• dell'intensità di radiazione solare ricevuta.

D= 40 ÷ 88.5 km

E=88.5 ÷144.8 km

F1=152÷250 km

F2 = 300 ÷400 km

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 66

Gas ionizzati

Gli strati più alti della dell’ionosfera, la radiazione solare è molto

forte ma ci sono pochi atomi con i quali interagire, quindi la

ionizzazione è minima.

Come la quota diminuisce, aumenta sensibilmente il numero di atomi

di gas e il processo di ionizzazione aumenta.

Contemporaneamente inizia a verificasi un processo chiamato

ricombinazione; un elettrone libero è "catturato" da uno ione

positivo se si muove abbastanza vicino ad esso.

A bassa quota, all'aumentare della densità del gas, il processo di

ricombinazione aumenta in quanto le molecole di gas e ioni sono più

vicini. Il punto di equilibrio tra questi due processi determina il

grado di "ionizzazione" presente in un dato momento a una certa

quota.

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 67

Gas ionizzati

Lo strato F ( F1 e F2) presenta una densità elettronica superiore a

10.000 volte a quella dello strato D.

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 68

Le radiazione solari ultraviolette*** proveniente dal sole investono

gli atomi e le molecole di ossigeno della parte superiore della

ionosfera, dove la densità è più alta, rispetto agli strati superiori.

Quindi gli atomi e le molecole assorbono parte della energia associata

alla radiazione solare e ciò comporta la produzione di un elettrone

libero (carica negativa) e uno ione (carica positiva). I gas ionizzati, con

uguale densità di elettroni e ioni, sono chiamati plasmi, quindi: la

ionosfera si può considerare in gran parte costituita da un plasma.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

*** La radiazione solare è l’energia radiante emessa nello spazio interplanetario dal Sole, generata a partire

dalle reazioni termonucleari di fusione che avvengono nel nucleo solare e che producono radiazioni elettromagnetiche a

varie frequenze o lunghezze d’onda, le quali si propagano poi nello spazio alle velocità tipiche di queste onde.

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 69

Nella ionosfera la densità delle molecole di ossigeno presenti

è molto bassa, quindi gli elettroni liberi possono esistere,

anche se per brevi periodi di tempo, prima di essere “catturati”

da uno ione positivo vicino, formando nuovamente un l’atomo

neutro, che a sua volta, assorbe radiazione solare e il processo

si ripete.

Per tutta la durata di un giorno (nel lato della terra investito

dalle radiazioni solari), la ionosfera si può ritenere costituita:

• da elettroni liberi e ioni positivi e

• in minore quantità, da molecole del gas (atomi di ossigeno

neutri)

con percentuali dei componenti che variano con la quota degli

strati e durante l’arco della giornata.

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 70

Le particelle cariche tendono ad essere trattenute dal campo

magnetico terrestre.

L’altezza e le caratteristiche degli strati ionizzati dipendono

• dalla natura della radiazione solare ( energia radiante) e

• dalla composizione della ionosfera.

Gli strati della ionosfera variano con il ciclo di sunspot, la

stagione e l’ora del giorno e i paralleli terrestri in modo molto

complicato.

Per ciascuno strato ionizzato la densità degli elettroni e la

densità degli ioni è essenzialmente uguale.

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 71

Poiché gli elettroni sono più leggeri degli ioni positivi, essi sono

più accelerati dai campi elettrici delle onde elettromagnetiche

che attraversano la ionosfera.

La ionosfera gioca un ruolo importante nella propagazione delle

onde elettromagnetiche e influisce sulla telecomunicazione.

Per comprendere e valutare qualitativamente l’entità di questa

influenza si analizza il fenomeno con alcune ipotesi

semplificative

• movimento degli ioni trascurabile (esso è sensibilmente inferiore

a quello degli elettroni),

• ionosfera costituita esclusivamente da gas di elettroni liberi e

• si trascurano le collisioni tra gli elettroni e gli atomi e le molecole

del gas

• si ipotizza un campo elettrico armonico con pulsazione . E

E

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 72

Frequenza del plasma o frequenza di taglio

Su un singolo elettrone di carica -e e massa m in un campo

elettrico armonico nel tempo agente nella direzione x con

frequenza angolare , agisce una forza di campo:

F=qE= –eE,

che lo allontana da uno ione positivo di una distanza x tale che:

da cui ricava lo spostamento :

dove e sono fasori.

E

armonici campi iper - e

2

2

2

2

2

2

dt

dj

dt

d

xmdt

xdmEeamF

Em

ex

2

E x

E

x ione +

-e

x

x

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 73

La separazione delle cariche ( ione + ed elettrone -) alla distanza x

fa nascere un momento di dipolo elettrico:

Se N è il numero di elettroni per unita di volume , la densità

volumica del momento di dipolo elettrico o vettore di

polarizzazione è:

Nella precedente equazione è stato trascurato implicitamente

l’effetto mutuo dei momenti dei dipoli indotti degli elettroni sugli

altri elettroni.

Em

NepNP

2

2

E

m

eexep

2

P

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 74

In base alle leggi dell’elettrostatica, dalla conoscenza del vettore di

polarizzazione si ottiene la relazione costitutiva che lega a

nel plasma:

s

rad

1

con

11

0

2

2

2

2

2

0

0

2

2

00

del plasma angolare pulsazionem

eN

plasmadeltatà assolupermettivi

ED

EEEm

NePED

p

p

p

p

p

p

Em

NepNP

2

2

D EP

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 75

Dalla pulsazione ωp si definisce la frequenza del plasma :

e la permettività equivalente della ionosfera o plasma risulta :

da cui si ottiene la costante di propagazione:

e l’impedenza intrinseca: dove

2

0

1 f Hz

2 2

pp

N e

m

m

F 11

2

2

02

2

0f

f pp

p

2

0 1

f

fjj

p

pp

2

0

1

f

f p

p

120

0

00

0

2

m

eNp

)( fp

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 76

Dalla espressione di εp si vede come

per f fp , la permettività equivalente εp 0.

Quando la permettività diventa nulla εp ( fp=f ), lo spostamento

elettrico (che dipende solo dalle cariche libere è nullo, anche

quando l’intensità del campo elettrico (che dipende sia dalle

cariche libere che dalla polarizzazione) non lo è.

In quel caso dovrebbe essere possibile per un campo elettrico

oscillante esistere nel plasma in assenza di cariche libere, ottenendo

una cosi detta oscillazione di plasma.

D

E

2

2

02

2

00 1 essendo 1f

fEDE

f

fPED

p

pp

p

E

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 77

Quando f < fp : l’argomento sotto radice è negativo e quindi

• diventa puramente reale =α e β =0, ciò comporta una attenuazione senza

propagazione ; contemporaneamente

•p diventa puramente immaginario indicando una carico reattivo per cui non si

verifica trasmissione di potenza attiva.: il segnale viene riflesso.

Perciò fp é anche indicata come frequenza di taglio.

Quando f > fp : l’argomento sotto radice è positivo e quindi

• é puramente immaginario reale =j β , e le onde elettromagnetiche si

propagano sfasate senza attenuazione nel plasma essendo α=0 (nella ipotesi

di perdite di collisione trascurabili). La riflessione si verifica con angolo di

incidenza, che dipende dalla frequenza.

.

2

0p 1γnepropagazio di costante

f

fjj

p

p

2

0

1

intrinseca impedenza

f

f p

p

2

0

1 f Hz

2 2

pp

N e

m

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 78

Se si sostituisce l’espressione di ωp in funzione dei valori numerici di e, m

e 0 nella espressione della fp, si ottiene una formula molto semplice per

esprimere la frequenza di taglio del plasma:

Tale espressione permette di fare delle valutazioni sulla trasmissione delle

onde attraverso la ionosfera.

Poichè la densità elettronica della ionosfera N (N espressa come n° di

elettroni per unita di volume ) varia da:

N=1010/m3 ( stati inferiori) ÷ 1012/m3 ( stati superiori)

104/cm3 ( stati inferiori) ÷ 106/cm3( stati superiori)

Per cui fp varia da 0.9 a 9MHz. Essa è una misura della densità di

ionizzazione dello strato riflettente. Più alta è la frequenza di taglio e

maggiore è la densità di ionizzazione, che è legata a N.

2

0

1 9 Hz

2 2

pp

N ef N

m

0

2

m

eNp

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 79

Quindi se fp =0.9 ÷ 9 MHz , dovendo essere f > fp , per la

comunicazione con un satellite o una stazione spaziale oltre la

ionosfera, si devono usare frequenze superiori a 9 MHz.

Occorre lavorare con frequenze superiori a 9 MHz, per assicurare la

penetrazione delle onde anche nello strato con N (numero di elettroni

per unita di volume) più elevato e per qualunque angolo di incidenza.

La situazione reale è più complessa

• Perché gli strati della ionosfera sono caratterizzati da densità

elettronica N variabile da punto a punto e

• per presenza del campo magnetico terrestre, che agiste

differentemente da punto a punto della spazio.

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 80

Riassumendo, le indicazioni di massima per la trasmissione dei

segnali nella ionosfera sono :

• I segnali con frequenze superiori a di 9 MHz penetrano la ionosfera

• I segnali con frequenze tra 0,9 e 9 MHz penetreranno parzialmente

negli strati più bassi della ionosfera ma saranno rinviati indietro dove

N é più grande.

• I segnali con frequenze minori di 0.9 MHz non possono penetrare

nello strato più basso della ionosfera, ma saranno riflessi e potranno

propagarsi molto lontano intorno alla terra per via di riflessioni

multiple sul contorno della ionosfera e sulla superficie della terra.

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 81

Riassumendo, le indicazioni di massima per la trasmissione dei

segnali nella ionosfera sono:

f > 9 MHz

f < 9 MHz

f = 0.9 ÷ 9 MHz

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M. Usai 6c_EAIEE_EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI 82

Nella realtà, per trasmettere un segnale attraverso la ionosfera si

utilizzano frequenze alte legate alle condizioni della ionosfera

nella regione della terra nella quale avviene la trasmissione , dal

l’ora del giorno e dalle radiazioni solari ultraviolette che

dipendono dalle sunspots.

Si comprende come lo studio del plasma nella ionosfera e la misura

acurata delle sunspots sia argomento di ricerca avanzata in campo

militare.

La frequenza di taglio fp

• può raggiungere 50 MHz a mezzogiorno e nell'immediato

pomeriggio e anche nei periodi di maggiore attività delle macchie

solari (sunspots),

• può diminuire a 10 MHz nelle prime ore del mattino e

• diminuire sino a a 2 MHz durante la notte.