Fisica 218° lezione

Programma della lezione

• Soluzioni dell’equazione delle onde• Soluzioni progressive e regressive• Onde sinusoidali• Lunghezza d’onda e periodo dell’onda• Polarizzazione • Trasporto di energia di un’onda • Vettore di Poynting• Intensità di energia di un’onda sinusoidale

Soluzioni dell’equazione delle onde

• Per semplicità ci limiteremo a studiare l’equazione per f dipendente da una sola variabile spaziale x e dal tempo t:

• Soluzioni di questo tipo sono dette onde piane• Si può dimostrare che una qualunque funzione di

argomento x-vt o di argomento x+vt è soluzione di questa equazione

• Inoltre l’equazione è lineare, quindi date due soluzioni qualunque, anche una combinazione lineare arbitraria di esse è soluzione

0,1

,2

2

22

2

txftv

txfx

)( vtxg )( vtxh

Significato della soluzione g

• Consideriamo il valore di g nel punto x=x1 al tempo t=t1

• Consideriamo poi il valore di g nel punto x=x1 al tempo t=t2

x1

g

x

g(x1,t1)

t=t1

Significato della soluzione g• Scriviamo l’argomento in x=x1 al tempo t=t2

• È lo stesso valore che in x=x1-x al tempo t=t1

• Questo vale per tutti i punti sull’asse x

11112121 )( vtxxvtttvxvtx

x1x1-x

g

x

g(x1,t2)

t=t2

Significato della soluzione g

• Significa che la funzione al tempo t2 si trova traslando la funzione all’istante precedente t1 della quantità x

• La funzione g rappresenta quindi un’onda progressiva, cioè che si sposta verso x positivi, con velocità v

x1x1-x

g

x

g(x1,t2)

t=t2

Significato della soluzione h

• Similmente possiamo affermare che la funzione h rappresenta un’onda regressiva, cioè che si sposta verso x negativi, con velocità -v

Onde piane e.m. - componenti longitudinali

• Studiamo la componente x del rot E

• Essa e` nulla, in quanto per un’onda piana c’e` dipendenza dalla sola coordinata spaziale x

• Otteniamo l’equazione

• Similmente, studiando la componente x del rot B otteniamo

• Quindi le componenti x dei campi sono costanti nel tempo

0,

txBt x

t

B

z

E

y

EE xyz

x

0,

txEt x

Onde piane e.m. - componenti longitudinali

• Applichiamo ora le prime due equazioni di Maxwell

• Poiche’ le componenti dipendono solo dalla coordinata spaziale x, otteniamo

• Quindi le componenti x dei campi oltre ad essere costanti nel tempo, sono costanti rispetto a x

• Si possono scegliere queste costanti uguali a zero

• Cio` significa che le componenti dei campi nella direzione di propagazione del moto sono nulle, ovvero l’onda e` trasversale

0,

txEx x 0,

txBx x

0

z

E

y

E

x

EE zyx 0

z

B

y

B

x

BB zyx

0, txBx 0, txEx

Soluzioni sinusoidali

• Studiamo una soluzione particolarmente semplice, scegliendo per g la forma seno

• Cerchiamo il significato di k: dimensioni

• Fissato un valore per t, scegliamo due punti x1 e x2 tali per cui la funzione assume lo stesso valore

vtxkAvtxg sin)(

1)dim( Lk

x1 x2

Lunghezza d’onda

• Gli argomenti possono differire per un multiplo di 2

• Questo definisce la relazione tra x1 e x2

• La minima distanza tra x1 e x2 che soddisfa la richiesta si ha per n=1 e rappresenta la lunghezza d’onda

• La costante k prende il• nome di numero d’onde

nvtxkvtxk 2)()( 21

nxxk 2)( 12

k

xx 2

min12

x1 x2

2

k

Periodo dell’onda• Fissato un valore di x scegliamo due tempi t1 e t2 tali

che la funzione assuma lo stesso valore• Gli argomenti possono differire per un multiplo di 2

• Questo definisce la relazione tra t1 e t2

• Il minimo intervallo di tempo che soddisfa questa richiesta si ha per n=1 e rappresenta il periodo dell’onda

nvtxkvtxk 2)()( 21

nttkv 2)( 12

kvTtt

2)( min12

t1 t2

Soluzioni sinusoidali• Abbiamo l’importante relazione tra i parametri dell’onda

• Possiamo scrivere l’onda sinusoidale in uno qualunque dei modi seguenti

Tkv

2

T

txA

tkxA

vtxkA

2sin

sin

sin

Onde e.m. sinusoidali - componenti trasversali

• Partendo dall’equazione per Ey e scelta una soluzione sinusoidale

• Troviamo la soluzione per Bz integrando rispetto al tempo l’equazione

• Ottenendo

• Cioè E e B hanno la stessa forma sinusoidale e sono in fase

• Esiste una relazione analoga tra Ez e By

tkxEtxE yy sin),( 0

tkxkEtxEx

txBt yyz

cos,, 0

tkxEk

dttkxEktxB yyz

sincos, 00

txEc

tkxEc

txB yyz ,1

sin1

, 0

Polarizzazione • Le onde e.m. piane sono puramente trasversali• I gradi di libertà trasversali sono due• Consideriamo il campo E, i due gradi di libertà

corrispondono alle componenti Ey, Ez

• Potremmo fare le stesse considerazioni con il campo B

• Questo non aumenta i gradi di libertà, poiché ad ogni componente di E è associata una componente di B

Polarizzazione • Supponiamo che il campo E sia

• Quindi il campo B risulta essere

• Nel piano trasversale il vettore E oscilla di moto armonico lungo un segmento la cui proiezione lungo y va da -Ey0 a Ey0 e lungo z da -Ez0 a Ez0

• Un’onda siffatta le cui componenti oscillano in fase, è detta polarizzata linearmente

ktkxEjtkxEtxE zyˆsinˆsin),( 00

jtkxBktkxBtxB yzˆsinˆsin),( 00

y

z

E

B

Polarizzazione • Supponiamo che il campo E sia

• Quindi il campo B risulta essere

• Nel piano trasversale il vettore E descrive un cerchio di raggio E0

• Un’onda siffatta le cui componenti oscillano sfasate di T/4, è detta polarizzata circolarmente

ktkxEjtkxEtxE ˆcosˆsin),( 00

ktkxBjtkxBtxB ˆsinˆcos),( 00

y

z

E

B

Trasporto di energia

• L’energia e.m. che attraversa A nel tempo t è uguale all’energia contenuta nel volume di base A e altezza ct

• Questa si trova moltiplicando la densità di energia per il volume del cilindro

• C’è un contributo elettrico ed uno magnetico

A ct

Trasporto di energia

• Parte elettrica

• Parte magnetica

• L’intensità (istantanea) dell’energia incidente è definita come l’energia incidente diviso l’area e il tempo

tAcEVuU EE 202

1

A cttAcBVuU MM 2

02

1

cBcEcucutA

US ME

2

0

20 2

1

2

1

Vettore di Poynting

• Tenendo conto che

• L’intensità si può riscrivere in qualunque delle forme

• Introduciamo il vettore di Poynting che ha S per modulo e direzione e verso dell’onda

• S è perpendicolare ai campi E e B e rappresenta il flusso istantaneo di energia e.m.

00

2 1

c

c

EB

EBcBcES0

2

0

20

11

BES

0

1

Intensità media

• Molto spesso interessa l’intensità media, cioè la media nel tempo di S

• Calcolo di I

T

EBdtT

SI0 0

11

2

0

20

2

0

20

0

2

00

2

0

1

2

1111

effeff

eff

T

Bc

cE

Ec

E

cE

cdtE

cTI