Fisica 218° lezione
Programma della lezione
• Soluzioni dell’equazione delle onde• Soluzioni progressive e regressive• Onde sinusoidali• Lunghezza d’onda e periodo dell’onda• Polarizzazione • Trasporto di energia di un’onda • Vettore di Poynting• Intensità di energia di un’onda sinusoidale
Soluzioni dell’equazione delle onde
• Per semplicità ci limiteremo a studiare l’equazione per f dipendente da una sola variabile spaziale x e dal tempo t:
• Soluzioni di questo tipo sono dette onde piane• Si può dimostrare che una qualunque funzione di
argomento x-vt o di argomento x+vt è soluzione di questa equazione
• Inoltre l’equazione è lineare, quindi date due soluzioni qualunque, anche una combinazione lineare arbitraria di esse è soluzione
0,1
,2
2
22
2
txftv
txfx
)( vtxg )( vtxh
Significato della soluzione g
• Consideriamo il valore di g nel punto x=x1 al tempo t=t1
• Consideriamo poi il valore di g nel punto x=x1 al tempo t=t2
x1
g
x
g(x1,t1)
t=t1
Significato della soluzione g• Scriviamo l’argomento in x=x1 al tempo t=t2
• È lo stesso valore che in x=x1-x al tempo t=t1
• Questo vale per tutti i punti sull’asse x
11112121 )( vtxxvtttvxvtx
x1x1-x
g
x
g(x1,t2)
t=t2
Significato della soluzione g
• Significa che la funzione al tempo t2 si trova traslando la funzione all’istante precedente t1 della quantità x
• La funzione g rappresenta quindi un’onda progressiva, cioè che si sposta verso x positivi, con velocità v
x1x1-x
g
x
g(x1,t2)
t=t2
Significato della soluzione h
• Similmente possiamo affermare che la funzione h rappresenta un’onda regressiva, cioè che si sposta verso x negativi, con velocità -v
Onde piane e.m. - componenti longitudinali
• Studiamo la componente x del rot E
• Essa e` nulla, in quanto per un’onda piana c’e` dipendenza dalla sola coordinata spaziale x
• Otteniamo l’equazione
• Similmente, studiando la componente x del rot B otteniamo
• Quindi le componenti x dei campi sono costanti nel tempo
0,
txBt x
t
B
z
E
y
EE xyz
x
0,
txEt x
Onde piane e.m. - componenti longitudinali
• Applichiamo ora le prime due equazioni di Maxwell
• Poiche’ le componenti dipendono solo dalla coordinata spaziale x, otteniamo
• Quindi le componenti x dei campi oltre ad essere costanti nel tempo, sono costanti rispetto a x
• Si possono scegliere queste costanti uguali a zero
• Cio` significa che le componenti dei campi nella direzione di propagazione del moto sono nulle, ovvero l’onda e` trasversale
0,
txEx x 0,
txBx x
0
z
E
y
E
x
EE zyx 0
z
B
y
B
x
BB zyx
0, txBx 0, txEx
Soluzioni sinusoidali
• Studiamo una soluzione particolarmente semplice, scegliendo per g la forma seno
• Cerchiamo il significato di k: dimensioni
• Fissato un valore per t, scegliamo due punti x1 e x2 tali per cui la funzione assume lo stesso valore
vtxkAvtxg sin)(
1)dim( Lk
x1 x2
Lunghezza d’onda
• Gli argomenti possono differire per un multiplo di 2
• Questo definisce la relazione tra x1 e x2
• La minima distanza tra x1 e x2 che soddisfa la richiesta si ha per n=1 e rappresenta la lunghezza d’onda
• La costante k prende il• nome di numero d’onde
nvtxkvtxk 2)()( 21
nxxk 2)( 12
k
xx 2
min12
x1 x2
2
k
Periodo dell’onda• Fissato un valore di x scegliamo due tempi t1 e t2 tali
che la funzione assuma lo stesso valore• Gli argomenti possono differire per un multiplo di 2
• Questo definisce la relazione tra t1 e t2
• Il minimo intervallo di tempo che soddisfa questa richiesta si ha per n=1 e rappresenta il periodo dell’onda
nvtxkvtxk 2)()( 21
nttkv 2)( 12
kvTtt
2)( min12
t1 t2
Soluzioni sinusoidali• Abbiamo l’importante relazione tra i parametri dell’onda
• Possiamo scrivere l’onda sinusoidale in uno qualunque dei modi seguenti
Tkv
2
T
txA
tkxA
vtxkA
2sin
sin
sin
Onde e.m. sinusoidali - componenti trasversali
• Partendo dall’equazione per Ey e scelta una soluzione sinusoidale
• Troviamo la soluzione per Bz integrando rispetto al tempo l’equazione
• Ottenendo
• Cioè E e B hanno la stessa forma sinusoidale e sono in fase
• Esiste una relazione analoga tra Ez e By
tkxEtxE yy sin),( 0
tkxkEtxEx
txBt yyz
cos,, 0
tkxEk
dttkxEktxB yyz
sincos, 00
txEc
tkxEc
txB yyz ,1
sin1
, 0
Polarizzazione • Le onde e.m. piane sono puramente trasversali• I gradi di libertà trasversali sono due• Consideriamo il campo E, i due gradi di libertà
corrispondono alle componenti Ey, Ez
• Potremmo fare le stesse considerazioni con il campo B
• Questo non aumenta i gradi di libertà, poiché ad ogni componente di E è associata una componente di B
Polarizzazione • Supponiamo che il campo E sia
• Quindi il campo B risulta essere
• Nel piano trasversale il vettore E oscilla di moto armonico lungo un segmento la cui proiezione lungo y va da -Ey0 a Ey0 e lungo z da -Ez0 a Ez0
• Un’onda siffatta le cui componenti oscillano in fase, è detta polarizzata linearmente
ktkxEjtkxEtxE zyˆsinˆsin),( 00
jtkxBktkxBtxB yzˆsinˆsin),( 00
y
z
E
B
Polarizzazione • Supponiamo che il campo E sia
• Quindi il campo B risulta essere
• Nel piano trasversale il vettore E descrive un cerchio di raggio E0
• Un’onda siffatta le cui componenti oscillano sfasate di T/4, è detta polarizzata circolarmente
ktkxEjtkxEtxE ˆcosˆsin),( 00
ktkxBjtkxBtxB ˆsinˆcos),( 00
y
z
E
B
Trasporto di energia
• L’energia e.m. che attraversa A nel tempo t è uguale all’energia contenuta nel volume di base A e altezza ct
• Questa si trova moltiplicando la densità di energia per il volume del cilindro
• C’è un contributo elettrico ed uno magnetico
A ct
Trasporto di energia
• Parte elettrica
• Parte magnetica
• L’intensità (istantanea) dell’energia incidente è definita come l’energia incidente diviso l’area e il tempo
tAcEVuU EE 202
1
A cttAcBVuU MM 2
02
1
cBcEcucutA
US ME
2
0
20 2
1
2
1
Vettore di Poynting
• Tenendo conto che
• L’intensità si può riscrivere in qualunque delle forme
• Introduciamo il vettore di Poynting che ha S per modulo e direzione e verso dell’onda
• S è perpendicolare ai campi E e B e rappresenta il flusso istantaneo di energia e.m.
00
2 1
c
c
EB
EBcBcES0
2
0
20
11
BES
0
1
Intensità media
• Molto spesso interessa l’intensità media, cioè la media nel tempo di S
• Calcolo di I
T
EBdtT
SI0 0
11
2
0
20
2
0
20
0
2
00
2
0
1
2
1111
effeff
eff
T
Bc
cE
Ec
E
cE
cdtE
cTI
Top Related