29.09.2020 Equazione di Dirac 1 Soluzioni di onde piane ...

prof. Francesco RagusaUniversità di Milano

Interazioni Elettrodeboli

anno accademico 2020-2021

Lezione n. 229.09.2020

Equazione di Dirac 1Soluzioni di onde piane Invarianza relativistica

Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 28

Equazione di DiracLa prima difficoltà dell’equazione di Klein-Gordon è stata l’apparizione di una densità di probabilità negativa

Dovuta alla presenza della derivata seconda rispetto al tempoDirac affrontò il problema in modo diretto richiedendo

1. Un’equazione di primo grado rispetto al tempo2. Anche di primo grado rispetto alle coordinate spaziali

per avere covarianza relativistica3. Che comunque riproducesse la corretta relazione E2 = p2 + m2

Equivalente a richiedere che la funzione d'onda ψ sia anche soluzionedell’equazione di Klein-Gordon

4. Inoltre l’equazione deve essere invariante per trasformazioni di LorentzCon queste premesse Dirac ipotizzò che la forma dell’equazione potesse essere

1 2 31 2 3

i i mt x x xψ α α α β ψ

∂ ⎡ ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ⎤⎟⎜= − + + +⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

kkk

i i mt xψ α β ψ

⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥= − +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦∑


Equazione di DiracIdentifichiamo l’Hamiltoniana dell’equazione di Dirac

Per completezza, scriviamo anche l’equazione di Dirac in forma estesa quando e c sono diversi da 1

Per determinare la natura delle grandezze α e β richiediamo il punto 33. La funzione d’onda ψ deve soddisfare anche l’equazione di Klein-Gordon

Applichiamo i∂/∂t all’equazione di Dirac

kkk

i i mt xψ α β ψ

⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥= − +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦∑ k

kk

H i mx

α β∂

= − +∂∑

i Htψ ψ

∂=

∂

H i mβ= − ⋅ +α ∇

2k

kk

i i c mct xψ α β ψ

⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥= − +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

∑

i i i Ht t t

ψ ψ∂ ∂ ∂

=∂ ∂ ∂

2

2 Hitt

ψ ψ∂ ∂

− =∂∂

2

2 HHt

ψ ψ∂

− =∂


Equazione di DiracIntroducendo la forma esplicita dell’Hamiltoniana

Sviluppiamo il prodotto (facendo attenzione all’ordine nei prodotti)

Raccogliamo i termini "diagonali" e i termini "incrociati" separatamente

Per ritrovare l’equazione di Klein-Gordon fissiamo condizioni su αk e β

Osserviamo che le quantità αk e β non commutanoPertanto esse devono essere matrici

2

2 k lk lk l

i m i mx xt

ψ α β α β ψ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥− = − + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂∂ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∑

22 2

2 k l k lk l k lk l k l

im im mx x x xt

ψ α α α β βα β ψ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎟⎜− = − − − + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑

( ) ( )32 2

2 2 22 2

, 1k k l l k k k

k l kkk k l kk l

im mx x xt x

ψ α α α α α α β βα β ψ=

>

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎟⎜ ⎟− = − − + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂∂ ∂ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟

∑ ∑ ∑

0k kα β βα+ =2 1kα = 2 1β =0k l l k k lα α α α+ = ≠


Proprietà delle matrici α e βLe relazioni appena trovate sono espresse più convenientemente introducendo l’anticommutatore di due matrici A e B: {A,B} = AB + BA

Determiniamo alcune proprietà delle matrici α e βDevono essere hermitiane (l’Hamiltoniana H deve essere hermitiana e i è un operatore hermitiano)

Dal momento che α2 = β2 = 1 gli autovalori (reali) devono essere λ = ±1

Sono matrici con traccia nullaSfruttiamo la proprietà ciclica della traccia Tr[ABC] = Tr[CAB]

Abbiamo

Concludiamo

E analogamente per β

H i mβ= − ⋅ +α ∇

[ ]kTr α [ ]kTr βα β= − [ ]kTr α= −[ ]2kTr β α= −

[ ] 0kTr α =

[ ] 0Tr β =

[ ]2kTr β α=

{ }, 2 1j k jkα α δ= { }, 0jα β = 2 1β =

{2 1β = k kβα α β= − [ ] [ ]Tr ABC Tr CAB=

u uβ λ= 2 2u u uβ λβ λ= = 2u uλ= 2 1 1λ λ= = ±


Proprietà delle matrici α e βLe matrici hanno un rango pari

Traccia nulla e autovalori ±1 implicano che il rango deve essere pariAbbiamo 4 matrici pertanto il valore minimo del rango è 4

Infatti le matrici di Pauli (2 2) hanno le proprietà richieste ma sono solo 3

Pertanto le matrici α e β hanno dimensione 4 4Quindi anche la funzione d’onda ψ ha 4 componenti

Ci sono infinite possibilità per le matrici α e βLegate fra di loro da trasformazioni unitarie α' = UαU 1

Ne considereremo 2La rappresentazione di Pauli-Dirac

Utile per studiare l’approssimazione non relativisticaLa rappresentazione di Weyl o rappresentazione Chirale

Utile nel limite di alta energia o massa della particella nullaIn moltissimi casi comunque non è necessario scrivere esplicitamente le matrici

1 2 3

0 1 0 1 0

01 0 0 1

i

iσ σ σ

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎜⎟ ⎟⎟⎜ ⎜= = =⎜⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎜⎟ ⎟⎟ −⎟⎟ ⎟⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1

2

3

4

ψψ

ψ ψψ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

spinore

non è un 4-vettoredi Lorentz


Rappresentazione di Pauli-DiracNella Rappresentazione di Pauli-Dirac le matrici sono

In questa forma (a blocchi) le quantità sono matrici di dimensione 2 2Ricordiamo alcune proprietà delle matrici di Pauli σ

Il tensore totalmente antisimmetrico εklm è così definitoε123 = +1εklm = +1 klm permutazione pari di 123εklm = 1 klm permutazione dispari di 123εklm = 0 due o più indici uguali

La proprietà del commutatore si può anche scrivere (k,l,m ciclici)Dimostrare che

0 1 0

0 0 1

k

kk

σα β

σ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟= = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ −⎟ ⎜ ⎟⎜⎜ ⎜ ⎟⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 e 0

{ }, 2k l klIσ σ δ=

[ ], 2k l klm miσ σ ε σ= sottointesa la somma su m

( )( ) ( )1 i⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ×a b a b a bσ σ σ[ ]exp 1 cos sin 1iα α α⋅ = + ⋅ =n n nσ σ

k l l k miσ σ σ σ σ= − =

1 01

0 1

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

k l klm mm

iσ σ ε σ= ∑


Soluzioni dell’equazione di Dirac: onde pianeCerchiamo una soluzione del tipo

Nella soluzione x e p sono 4-vettori e w è uno spinoreInoltre abbiamo costruito l’equazione di Dirac in modo che ψ soddisfi anche l’equazione di Klein-Gordon e pertanto deve essere Sostituendo nell’equazione di Dirac

Otteniamo l’equazione matriciale

Dove ricordiamo che

Gli spinori w sono gli autovettori dell’equazione agli autovalori Hw = p0wL’Hamiltoniana H è hermitianaGli autovalori ±po sono 4 e sono realiGli autovettori w sono ortogonali

( ) ip xx weψ − ⋅=

kkk

i i mt xψ α β ψ

⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥= − +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦∑

2 2 2 20p p m= − =p

2 2 0E m= + >p p2 2op m E= ± + = ± pp

( )op w m w Hwβ= ⋅ + =pα H mβ= ⋅ +pα


Soluzioni dell’equazione di Dirac: onde pianeUtilizziamo la rappresentazione di Pauli-Dirac per le matrici α

Introduciamo la rappresentazione a blocchi anche per lo spinore wLe quantità φ e χ sono spinori di Pauli (dimensione 2)

Introducendo nell’equazione

Si ottiene l’equazione

Dalla quale si ottengono le equazioni accoppiate per φ e χ

Bisogna notare che le due equazioni non sono indipendentiApplicando l’operatore σ⋅p/(po+m) alla prima equazione ( φ = σ⋅p/(po m)χ )

Ritroviamo la seconda equazione

0

0 1 0

0 0 1p m

φ φ φχ χ χ

⎛ ⎞⋅⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎜⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎜⎟⎟ ⎟ ⎟⎟= +⎜⎜ ⎜ ⎜⎜⎟⎟ ⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜ ⎜⎜⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⋅⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

p

p

σ

σ

( )0p m φ χ− = ⋅ pσ

wφχ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )op w m wβ= ⋅ +pα

0p mφ χ

⋅=

−pσ

0p mχ φ

⋅=

+pσ

( )0p m χ φ+ = ⋅ pσ

0 0 0p m p m p mφ χ

⋅ ⋅ ⋅=

+ + −p p pσ σ σ

2

2 20 op m p m

φ χ⋅

=+ −

p pσ 2

20p m

φ χ χ⋅

= =+

p pp

σ

( )2 2⋅ =p pσ


Soluz. dell’equazione di Dirac: Energia positivaIl primo gruppo di soluzioni si trova dalla seconda equazione

In questo caso usiamo l’autovalore positivo: po = +Ep

Ricaviamo χ in funzione di φ

Sostituiamo in w. La soluzione è pertanto

Lo spinore φ è arbitrarioCi sono due possibili spinori indipendenti φr, r = 1,2 quindi due possibili stati

Se la particella ha una massa diversa da zero si può considerare il suo sistema di riposo ( p = 0 ) nel quale si ha

Nel sistema di riposo i due spinori sono

( )0p m χ φ+ = ⋅ pσ

E mχ φ

⋅=

+p

pσ

( )wE m

φ

φ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= ⋅ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ +⎝ ⎠p

p pσ

201φ

⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠110φ

⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠( ),

r

rw r

E m

φ

φ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= ⋅ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ +⎝ ⎠p

p pσ Una possibile scelta è data da

( ),0

rw r

φ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠0

( )

10

,1 00

w

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

0 ( )

01

,2 00

w

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

0 ( )1

1000

imtx eψ −

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

( )2

0100

imtx eψ −

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

E infine


Soluz. dell’equazione di Dirac:Energia negativaIl secondo gruppo di soluzioni si trova dalla prima equazione

In questo caso usiamo l’autovalore negativo: po = Ep

Ricaviamo φ in funzione di χ

Sostituiamo in w. La soluzione è pertantoLo spinore χ è arbitrarioCi sono due possibili spinori indipendenti χr, r = 1,2 quindi due possibili stati

Se la particella ha una massa diversa da zero si può considerare il suo sistema di riposo ( p = 0 ) nel quale si ha

Nel sistema di riposo i due spinori sono

op mφ χ

⋅=

−pσ

( ) E mwχ

χ

⋅⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ + ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠p

p

p

−σ

201χ

⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠110χ

⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠( ),

r

r

E mw rχ

χ

⋅⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ + ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠p

p

p

−σUna possibile scelta è data da

( )0

,r

w r χ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

0

( )

00

, 3 10

w

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

0 ( )

00

, 4 01

w

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

0 ( )3

0010

imtx eψ +

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

( )4

0001

imtx eψ +

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

E infine

( )0p m φ χ− = ⋅ pσ

E mφ χ

⋅=

− −p

pσE m

φ χ⋅

=+p

p−σ


Soluzioni dell’equazione di Dirac: onde pianeAbbiamo pertanto trovato 4 soluzioni

Due soluzioni (r = 1,2) con energia positiva

Due soluzioni (r = 3,4) con energia negativa

…… l’esponenziale con energia negativa non è in forma covariantePer le soluzioni con energia negativa si sostituisce p pSi utilizzano pertanto gli spinori w( p, r) (attenzione all’ortogonalità)

Per evitare di scrivere gli spinori con argomento negativo si definiscono due spinori per l’energia positiva u(p,r) e due spinori per l’energia negativa v(p,r)

Scrivendo v(p,r) esplicitamente (r = 1,2)

( ) ( ) [ ], expr x w r iE iψ = − + ⋅pp p x ( ) [ ], expw r ip x= − ⋅p

( ) ( ) [ ], expr x w r iE iψ = + + ⋅pp p x =………

( ) ( ) [ ], expr x w r iE iψ = − + − ⋅pp p x ( ) [ ], expw r ip x= − + ⋅p

( ) ( )

( ) ( )

, , 1,2

, , 2 1,2

u r w r r

v r w r r

= =

= − + =

p p

p p

( ), 2r

r

E mw rχ

χ

⋅⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ + ⎟+ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠p

p

p

−σ( ),

r

r

E mv rχ

χ

⋅⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ + ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠p

p

p

σ


Forma covariante dell’Equazione di DiracDimostreremo che l’equazione di Dirac ha la stessa forma in tutti i sistemi inerziali

Tuttavia la forma fin qui utilizzata non è manifestamente covarianteIn particolare la coordinata t appare in modo diverso dalle xk

Moltiplichiamo l’equazione da sinistra per βUtilizziamo β2 = 1Definiamo γ0 = β e γk = βαk

Introduciamo† ∂μ = (∂ ∂t, ∂ ∂xk) ∂μ = gμν∂ν = (∂ ∂t, ∂ ∂xk)

Riordinando i termini otteniamo

È molto usata la notazione di Feynman (aμ è un 4-vettore) Le matrici γ soddisfano le seguenti regole di commutazione

†Vedi Aitchison, Hey – Gauge Theories in Particle Physics vol I – problema 3.1

kkk

i i mt xψ α β ψ

⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥= − +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦∑

kkk

i i mt xψ αβ β ββ ψ

⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥= − +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦∑

i mμμγ ψ ψ∂ =

{ }, 2Igμ ν μνγ γ =

a aμ μγ≡/

i mψ ψ/∂ =

non sono (tutte) hermitiane


Forma covariante dell’Equazione di DiracNella rappresentazione di Pauli-Dirac la forma delle matrici è

In forma esplicita

Vale la pena rendersi conto di quello che la forma compattadell’equazione di Dirac significa effettivamente

Si tratta di un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali

01 0 0

00 1

kk

k

σγ γ

σ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟= =⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟−− ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜⎜ ⎟ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

0 1 2 3

1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 00 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

ii

ii

γ γ γ γ

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜ −⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜= ⎟ = ⎟ = ⎟ = ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟− − −⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜− − −⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )[ ]( )[ ]( )[ ]( )[ ]

0 1 1 2 4 3 3 1

0 2 1 2 3 3 4 2

0 3 1 2 2 3 1 3

0 4 1 2 1 3 2 4

i i mi i mi i mi i m

ψ ψ ψ ψψ ψ ψ ψψ ψ ψ ψψ ψ ψ ψ

∂ + ∂ − ∂ + ∂ =∂ + ∂ + ∂ − ∂ =

−∂ − ∂ − ∂ − ∂ =−∂ − ∂ + ∂ + ∂ =

0 1 1 1

0 2 1 2

0 3 1 3

0 4 1 4

1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 1 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 1 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0

ii

i i i ii

ψ ψψ ψψ ψψ ψ

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟∂ ∂⎟ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ + ⎟ +⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟− −∂ ∂⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎜− − −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟∂ ∂⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎟ ⎟

2 1 3 1 1

2 2 3 2 2

32 3 3 3

42 4 3 4

0 0 1 00 0 0 11 0 0 00 1 0 0

i m

ψ ψ ψψ ψ ψ

ψψ ψψψ ψ

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎜⎟ ⎟∂ − ∂ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎟⎟ + ⎟ =⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟−∂ ∂⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜⎟ ⎟ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎜⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜∂ ∂⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜⎟ ⎟


Forma covariante dell’Equazione di DiracAbbiamo visto le soluzioni (onde piane) dell’equazione di Dirac

Due funzioni ad energia positiva u(p,r)e−ip⋅x

Due funzioni a energia negativa v(p,r)e+ip⋅x

Applicando l’equazione di Dirac in forma covariante a queste soluzioni otteniamo due equazioni per gli spinori u e v

Ricordarsi che si tratta di due equazioni matricialiLe soluzioni sono autofunzioni dell’equazione di Dirac

Spettro continuo, funzioni non normalizzabiliLe soluzioni normalizzabili si costruiscono come pacchetti

Si può verificare† che uno stato iniziale localizzato (ad esempio una distribuzione gaussiana w(0,1) ), ha una rappresentazione che contiene sia energie positive che negative

†Greiner W. - Relativistic Quantum Mechanics. Wave Equations, 3rd ed. - Springer cap. 8, es. 8.5


p u muμμγ = ( ) 0p m u− =/ p v mvμ

μγ− = ( ) 0p m v+ =/

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )32

3

1,2

, , , ,2

ip x ip x

r

dx b r u r e d r v r eψ

π

− ⋅ + ⋅

=

⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦∑∫ pp p p p


Proprietà delle matrici γLe matrici γ hanno alcune delle proprietà delle matrici α e β

Traccia nulla, autovalori ±1A differenza delle matrici α e β le matrici γk (k = 1,3) non sono hermitiane

Queste relazioni possono essere unificate

Vedremo che risulterà molto utile anche l’aggiunto spinoriale (definito per una matrice qualsiasi, non solo per γμ)

Proprietà dell’aggiunto spinoriale (analoghe a quelle dell’aggiunto hermitiano)

Va sottolineato che tutte le espressioni scritte sono matrici (4 4)

0† † 0γ β β γ= = =

( )††kkγ βα= † †

kα β= kα β= kβα= − kγ= −

0 † 0μ μγ γ γ γ=

AB BA= * *aA bB a A b B+ = +

† 0 0μ μγ γ γ γ=


Proprietà delle matrici γVedremo che è utile definire anche l’aggiunto spinoriale per uno spinore

Come nel caso dell’aggiunto hermitiano si tratta di un vettore-riga

Una proprietà del prodotto di matrici spinori Aψ

In seguito saranno molto utili quantità scalari costruite a partire dagli spinori come ad esempio

Calcoliamo il suo complesso coniugato

A Aψ ψ=

uAv

( ) ( )*uAv vAu uAv= =

( ) ( )⎛ ⎞⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟ =⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠

i i i i ii i i i ii i i i ii i i i ii i i i i

( )⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜=⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

i i i i i i i i ii i i i i i i i ii i i ii i i i i i i i ii i i i i i i i i

† 0ψ ψ γ=

⎛ ⎞⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠

i i i i ii i i i ii i i i ii i i i i

( )†⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ =⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

ii i i i iii

( ) ( )⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ =⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

i i i ii i i ii i i i i i i ii i i ii i i i

( ) ( )** † 0uAv u Avγ= ( )0 0† † 0†v A uγγ γ=( )† † 0†v A uγ=( )†† 0u Avγ=


Corrente conservataStudiamo adesso come definire una corrente jμ per l’equazione di Dirac tale che

Procediamo come nel caso delle equazioni di Schrödinger e di Klein-GordonMoltiplichiamo a sinistra per lo spinore aggiunto hermitiano

Scriviamo l’equazione aggiunta hermitiana

Moltiplichiamo a destra per ψ e sottraiamo alla prima equazione

Se le matrici γμ fossero hermitiane γμ† = γμ si potrebbe scrivere jμ = ψ †γμψ

Possiamo però utilizzare l’aggiunto spinorialeRicordiamo la definizione di aggiunto spinoriale per lo spinore ψ


( )† * * * *1 2 3 4ψ ψ ψ ψ ψ= † †i mμ

μψ γ ψ ψ ψ∂ =

( )†i mμμγ ψ ψ∂ = ( )† † †i mμ

μψ γ ψ→ − ∂ =

( )† † † † † 0i i m mμ μμ μψ γ ψ ψ γ ψ ψ ψ ψ ψ∂ + ∂ = − =

0jμμ∂ =

† 0ψ ψ γ=

no! sbagliate


Corrente conservataRipetiamo il calcolo precedente sostituendo l’aggiunto hermitiano con l’aggiunto spinoriale

Moltiplichiamo l’equazione di Dirac a sinistra per l’aggiunto spinoriale di ψ

Scriviamo l’aggiunto spinoriale dell’equazione di Dirac

Moltiplichiamo a destra per ψ

E sottraiamo alla prima espressione

Il primo membro è il 4-divergenza della corrente

† 0ψ ψ γ= i mμμψγ ψ ψψ∂ =

( )i m i mμ μμ μγ ψ ψ γ ψ ψ∂ = → ∂ = ( )† † 0 † 0i mμ

μψ γ γ ψ γ− ∂ =

( )† † 0 †0 0 0i mμμψ γ γγ γγ ψ− ∂ = ( )i mμ

μψ γ ψ− ∂ = ( )i mμμψ γ ψ− ∂ =

( ) 0i i m mμ μμ μψγ ψ ψ γ ψ ψψ ψψ∂ + ∂ = − =

( )i mμμψ γ ψ ψψ− ∂ =

( ) 0i iμ μμ μψγ ψ ψ γ ψ∂ + ∂ =

jμ μψγ ψ= ( ) 0jμ μμ μ ψγ ψ∂ = ∂ =


Corrente conservataVediamo adesso se si può interpretare la corrente jμ come densità di corrente di probabilità

Consideriamo la densità

Vediamo pertanto che, a differenza di quanto avveniva per l’equazione di Klein-Gordon la densità ρ è definita positiva ed è pertanto interpretabile come densità di probabilità

Occorre comunque verificare che il 4-vettore jμ abbia le corrette proprietà di trasformazione per una trasformazione di Lorentz

Lo vedremo in seguitoUn punto da approfondire è legato alle normalizzazioni degli spinori

Fino a questo punto non abbiamo utilizzato la possibilità di definire la normalizzazione degli spinori w (o u, v)

La quantità ρdV deve essere invariante per trasformazioni di LorentzL’elemento di volume dV = dxdydz si contrae come 1/γ dV dV/γPertanto ρ deve "dilatarsi" come γ

( ) ( )0, ,jμ ρ ψγ ψ ψ ψ= =j

0ρ ψγ ψ= † 0 0ψ γ γ ψ= 2 2 2 21 2 3 4ψ ψ ψ ψ= + + +†ψ ψ=

2

1

1γ

β=

−


Normalizzazione degli spinoriCon un calcolo diretto si può facilmente verificare che

Analogamente per gli spinori di energia negativaPertanto, se ridefiniamo la normalizzazione degli spinori come

Otterremo

Ovviamente Ep varia come γ ( Ep = mγ )

Questa normalizzazione ha lo svantaggio di introdurre una dimensionalitàQualche autore utilizza la normalizzazione 2Ep/m

Ha lo svantaggio che diverge per particelle con massa nulla(ad esempio i neutrini)In Aitchison, Hey si usano entrambe; in Peskin Schroeder si usa 2E

( ),r

rw r

E m

φ

φ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= ⋅ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ +⎝ ⎠p

p pσ( ) ( )† 2, ,

Ew r w r

E m=

+p

pp p

( ),r

rw r E m

E m

φ

φ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= + ⋅ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ +⎝ ⎠p

p

p pσ

( ) ( )† † , , 2w r w r Eρ ψ ψ= = = pp p


Normalizzazione degli spinoriPer quanto riguarda l’ortogonalità degli spinori è facile verificare che gli spinori w(p,r) sono fra di loro ortogonali

Con la normalizzazione scelta (r,q = 1,4)

Per esprimere queste condizioni utilizzando gli spinori u(p,r) e v(p,r)bisogna utilizzare cautela

Gli spinori v sono definiti come (r =1,2) v(p,r) = w(−p,r+2)Le condizioni di normalizzazione e ortogonalità sono pertanto (r,q = 1,2)

Notiamo incidentalmente che la normalizzazione degli spinori dipende da p e pertanto dipende dal sistema inerziale in cui si osserva lo spinore

Le trasformazioni di Lorentz per gli spinori (che introdurremo) non sono unitarie perché non preservano la norma

( ) ( )† , , 2 rqw r w q E δ= pp p

( ) ( )† , , 2 rqu r u q E δ= pp p ( ) ( )† , , 2 rqv r v q E δ= pp p

( ) ( ) ( ) ( )† †, , , , 0u r v q v r u q− = − =p p p p


Normalizzazione usando gli aggiunti spinorialiIntroduciamo infine le normalizzazioni degli spinori utilizzando l’operazione di aggiunto spinoriale invece della coniugazione hermitiana

Ad esempio, utilizzando la forma esplicita nella rappresentazione di Pauli-Dirac

Si dimostra facilmente che

Sottolineiamo che in queste relazioni la quantità di moto p ha sempre lo stesso segno

Si può dimostrare che queste relazioni valgono indipendentemente dalla rappresentazioneInfine questa normalizzazione è invariante rispetto al sistema di riferimento

( ) ( ) ( ) ( ), , , , 0v r u q u r v q= =p p p p

( ) ( ), , 2 rqu r u q mδ=p p ( ) ( ), , 2 rqv r v q mδ= −p p

( ),r

ru r E m

E m

φ

φ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= + ⋅ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ +⎝ ⎠p

p

p pσ ( ),r

r

E mv r E mχ

χ

⋅⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ + ⎟= + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠pp

p

p

σ


Interpretazione delle soluzioni con po = −Ep

Nella teoria di Dirac sarebbe possibile interpretare senza problemile soluzioni con energia positiva

La densità di probabilità è definita positivaL’evoluzione temporale (libera) di una funzione d’onda che contiene solo stati con p0 > 0 non conduce all’apparizione di stati con p0 < 0

Tuttavia ci sono dei problemiDa un punto di vista matematico gli autovettori dell’Hamiltoniana sono un sistema completo solo se si includono anche gli stati con p0 < 0

L’evoluzione di uno stato iniziale localizzato (ad esempio una distribuzione gaussiana) porta a stati che contengono sia energie positive che negativeInfine se si introduce una interazione diventano possibili transizioni da stati di energia positiva a stati di energia negativa

Sarebbero transizioni che non assorbono energiabensì la cedono

Sarebbero transizioni spontaneeNon esisterebbero stati stabili

0EΔ = − <f iEE

fE

iE



Dirac fornì una interessante soluzione a questi problemiLe particelle descritte dall’equazione di Dirac sono fermioniObbediscono al principio di esclusione di Pauli

Dirac ipotizzò che tutti gli stati con energia negativa fossero occupati da elettroni

Introdusse così un “mare” di particelle con energie negativeIl mare ha una energia totale infinita (E = −∞)Il mare ha una carica infinita (Q = −∞)

Il mare ha un momento angolare totale nullo (coppie up-down)Non possono esserci transizioni spontanee a stati di energia negativa: tutti gli stati sono occupati

Se uno stato fisico viene descritto rispetto a questo “mare”si giunge ad una descrizione accettabile e consistente



Consideriamo un sistema nel quale inizialmente ci sia soloil mare (tutti gli stati di energia negativa sono completi)

Supponiamo che un fotone ceda al sistema una quantità di energia sufficiente per una transizione

Da uno stato con energia negativa −Ek , −kAd uno stato con energia positiva Ep , p

Il bilancio energia-momento è

Nello stato finale abbiamoUn elettrone di carica −|e|, momento p spin sIl mare ha perso una particella

Si è creata una buca (hole)La sua carica diminuisce di −|e|La sua energia diminuisce di (−Ek)Il suo momento diminuisce di (−k)Il suo spin diminuisce di s

Abbiamo creato un’antiparticella con numeri quantici |e|,m, Ek,k,−s

E

+m

−m

0

( )E E Eγ + − =k p E E Eγ = +p k

γ = +p p k( )γ + − =p k p

Abbiamo creato una particellaNel sistema mare

La carica aumenta di |e|L’energia aumenta di Ek

Il momento aumenta di kLo spin del mare diventa −s



Con questa interpretazione riconsideriamo gli spinori con energia negativa

Rappresentano una antiparticella di massa m una e carica +|e|Il 4-momento della particella è (Ep ,p)

Ricordiamo che lo spinore v(p,r) è definito a partire dalle soluzioni w con energia negativa e dalla relazione v(p,r) = w(−p,r)

Se interpretiamo v(p,r) come la funzione d’onda della buca allora

Lo spinore v(p,1) rappresenta uno stato con spin down

Lo spinore v(p,2) rappresenta uno stato con spin up

Notare la corrispondenza fra valore "fisico" dello spin e numero dello statoInversa rispetto agli stati di energia positiva

( ),r

r

E mv rχ

χ

⋅⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ + ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠p

p

p

σ

1

1

0χ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

2

0

1χ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠


Invarianza relativistica dell’equazione di DiracNel caso dell’equazione di Klein-Gordon avevamo visto che l’invarianza per trasformazioni di Lorentz si esprimeva nel seguente modo

Se φ soddisfa l’equazione

Allora la funzione definita da

Soddisfa l’equazione

Nel caso dell’equazione di Dirac si ha una situazione simile con una complicazione

La funzione d’onda ψ(x) ha 4 componenti e una trasformazione di Lorentz modifica anche le componentiFacciamo il parallelo con una rotazione nel caso di un campo vettoriale F(r)

La rotazione modifica le componenti del punto r = U r

La rotazione modifica anche le componenti del campo vettoriale F (r ) = U F(r)

Nel caso del campo spinoriale è fondamentale ricordare che lo spinore è una grandezza matematica differente da un 4-vettore

Occorre trovare la legge di trasformazione degli spinori

( ) ( )2 0m xμμ φ∂ ∂ + =

x xμ μ νν′ = Λ

( ) ( )2 0m xμμ φ′ ′ ′ ′∂ ∂ + =

( ) ( )x xφ φ′ ′ =


Invarianza relativistica dell’equazione di DiracCome nel caso delle rotazioni o delle trasformazioni di Lorentz assumiamo

La legge di trasformazione degli spinori è lineareAd ogni trasformazione di Lorentz Λ corrisponde una trasformazione spinoriale S(Λ) che permette di calcolare lo spinore in K'

Vediamo adesso le proprietà fondamentali di S(Λ)Lo spinore trasformato deve soddisfare l’equazione di Dirac nel sistema K'

Sostituendo ψ (x ) = Sψ(x) e ∂ μ = Λμα ∂α otteniamo

Moltiplichiamo da sinistra per S−1

L’equazione è identica all’equazione di Dirac se

x xμ μ νν′ = Λ ( ) ( ) ( )x S xψ ψ′ ′ = Λ

( ) ( ) 0i m xμμγ ψ′ ′ ′∂ − =

( ) ( ) 0i xSmαμ α

μγ ψ−Λ ∂ =

( ) ( )1 1 0i S m SS S xμ αμ αγ ψ− −Λ ∂ − = ( )[ ] ( )1 0i S m xSμ α

αμ ψγ− Λ ∂ − =

1S Sμ α αμγ γ− Λ =

( )S⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜Λ = ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

i i i ii i i ii i i ii i i i

xμ μ∂′∂ ≡′∂

sono le stesse matrici γμ del sistema K

29.09.2020 Equazione di Dirac 1 Soluzioni di onde piane ...

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