Un gioco di P.A.M. Dirac

Una rotazione di 360° attorno ad un asse è fisicamente equivalente a nessuna ro-tazione? Questa innocente domanda mette in luce una proprietà niente affattobanale della cinematica delle rotazioni. Si deve a P.A.M. Dirac un’ingegnosa co-struzione – di cui la presente è una variante ludica – che dimostra come, per uncorpo solido, la risposta alla domanda è no: una rotazione di 360° non è equivalen-te all’identità (nessuna rotazione). Al contrario, una rotazione di 720° è fisicamen-te indistinguibile da nessuna rotazione. Per corpo solido dobbiamo intendere unaregione finita di spazio impenetrabile (il che è distinto dal concetto di corpo rigido).Il giocattolo consiste in una ciambella (una camera d’aria di un’automobile

modello Citroën) ai cui lati sono applicate due strisce di gomma (25 cm × 5 m).

Figura 1.

Un volontario che chiameremo neutrone (n) indossa la ciambella; due ancel-le (S e D) ai lati mantengono le strisce distese.

Figura 2.

n esegue 2 capriole in avanti, dopo di che in entrambe le strisce si viene a forma-re una torsione di 720°. Lo stesso risultato si ottiene se n rimane passivo e le an-celle fanno ruotare in verso opposto le estremità delle strisce; questometodo peròè meno divertente del primo.

Riccardo UriguLiceo scientifico“N. Copernico”,

Torino

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Note di laboratorio

Un gioco di P.A.M. Dirac(Pervenuto il 21.11.2007, approvato il 30.5.2008)

ABSTRACTAn ingenious and amusing activity originally devised by Dirac illustrates a topological symmetry propertyof the three-dimensional rotation of solids. Some mathematical aspects of this property and its relevanceto the quantum physics description of fermions are explained.

Ora n deve provare a eliminare la torsione delle bande laterali senza ruotarlee senza fare altre capriole. Passando le strisce attorno al corpo nel modo correttoè possibile ricomporre la situazione iniziale. In caso di principio di soffocamentoproseguire con le istruzioni seguenti.I

Figura 3.

L’ancella S, a sinistra di n, fa passare la sua striscia al di sopra della testa di n,spingendola sul davanti.II

Figura 4.

L’ancella D deve fare la stessa cosa dalla sua parte; ora n si trova avvolto dal-le due strisce…III

Figura 5.

… le lascia scivolare lungo il corpo fino ai piedi e se le sfila scavalcandole trion-falmente.

2 La Fisica nella Scuola, XLI, 4, 2008

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IV

Figura 6.

S e D, allontanandosi da n, distendono le rispettive strisce che, a questo pun-to, non presentano più la torsione iniziale.Se n esegue una sola rotazione (o un numero dispari di rotazioni complete)

non è possibile riportare il tutto alla configurazione iniziale senza ulteriori rota-zioni da parte di n o delle ancelle.Fisici e matematici si sono dilettati a lungo con questa costruzione almeno a

partire dal 1929 [1]. Il matematico Emil Artin riferisce che Dirac da allora - sebbe-ne non l’abbia mai pubblicata in modo esplicito – l’abbia usata molte volte «perillustrare come due rotazioni di un corpo attorno ad un asse possono esser defor-mate in modo continuo, mediante un insieme di movimenti ognuno dei qualitermina con la posizione originaria, in unmoto nullo. È una conseguenza di quel-la proprietà delle rotazioni per cui un corpo rotante può avere un mezzo quantodi momento angolare, ma non può avere nessun’altra frazione di quanto» [2].Una realizzazione più maneggevole del gioco, da fare in classe (ma vedi anche

in Appendice), è quella mostrata in figura 7: l’oggetto centrale è fissato con trecoppie di corde a due placche laterali.

Figura 7.

Eliminando il blocco centrale si ottiene un gioco topologico analogo chiama-to Tangloids (vedi fig. 8) nel quale le rotazioni spaziali esibiscono altre interessan-ti proprietà descritte dalla teoria delle trecce, un’intrigante applicazione della teo-ria dei gruppi dovuta a E. Artin.

Tangloids si gioca in due: ognuno tiene il bastoncino fissato alle estremità delletre funicelle. Un giocatore deve formare una treccia eseguendo un certo numerodi rotazioni del bastoncino, facendolo passare tra una cordicella e l’altra; l’altrogiocatore deve sciogliere la treccia. Un teorema – valido per un qualsiasi numerodi corde superiore a due – stabilisce che, se il numero di rotazioni è pari, allora sipuò sciogliere la treccia spostando lateralmente il bastoncino senza ruotarlo.Pare che l’idea del gioco, proposto dal poeta, scrittore, matematico danese Piet

Hein, sia nata negli anni ’30 durante un seminario di meccanica quantistica pres-so l’Istituto Niels Bohr di fisica teorica [2].

La Fisica nella Scuola, XLI, 4, 2008 3

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Il teorema citato dà il permesso di realizzare l’oggetto di fig. 10 a partire dauna striscia connessa di gomma con due buchi a forma di tagli paralleli (alla Lu-cio Fontana [3], fig. 9). La treccia si ottiene, senza praticare tagli, mediante duerotazioni.

Figura 8.

Figura 9.

Figura 10.

Verso la fine dell’800 un ciarlatano americano di nome Henry Slade, popola-re medium del tempo, pretendeva di dimostrare l’esistenza di una quarta dimen-sione spaziale “intrecciando nell’iperspazio” una striscia di cuoio dello stessotipo; Slade riuscì anche a buggerare J.K.F. Zöllner, stimato professore di astrofisi-ca a Lipsia e autore di un libro dal titolo “Fisica trascendentale”. In esso Zöllnerproponeva esperimenti mediante i quali i fantasmi amici di Slade avrebbero po-tuto manifestarsi in tutta la loro extra-dimensionalità: concatenazione di anellichiusi, annodamenti in nastri chiusi, inversioni nell’avvitamento di gusci dichiocciole e di cavatappi, il tutto passando per la quarta dimensione spaziale. Gliesperimenti ebbero un successo immediato… [4][5].La storia di fisici e scienziati vittime del “paranormale” si sarebbe ripetuta

spesso e volentieri (errare humanum est…): basti ricordare il caso del sensitivoisraeliano Uri Geller e gli esperimenti condotti su di lui da due fisici dello Stan-ford Research Institute negli anni ‘70 che diedero origine a un controverso artico-lo pubblicato su Nature [6].Il metodo usato da Slade per intrecciare la striscia si trova spiegato in [2] ma

pare per altro che questa tecnica di intreccio sia ben nota anche ai boy-scout [7].


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In classe si può fare pratica con le lunghe chiome di qualche benevola/o compa-gna/o di anti-banco.Quanto detto finora mostra che la geometria delle rotazioni di un corpo soli-

do deve tenere conto, oltre che della sua orientazione spaziale, anche di una qual-che specie di relazione di entanglement dell’oggetto con l’ambiente circostante,come se esso vi fosse connesso con degli elastici (una relazione indicata in [8] conil termine version, dal latino versor, “girarsi”). L’oggetto matematico appropriatoper descrivere tutto ciò si chiama “spinore”. Lo stato di particelle quantistichecon spin semi-intero (come per esempio neutroni ed elettroni) è descritto da unospinore, una funzione a più componenti che cambia di segno sotto una rotazio-ne di 360°: la funzione d’onda viene sfasata di π, come espresso dalla relazione–1 = eiπ (la quale, detto tra parentesi, è proprio una bella identità che mette in re-lazione quattro personaggi importanti della matematica [9]).Esperimenti di interferometria con i neutroni permettono di verificare questa

proprietà di cambiamento della fase sotto rotazioni di 360° [10]; dal punto di vi-sta fisico, sono rilevabili delle differenze tra due configurazioni entangled nonequivalenti di un sistema, per esempio nel potenziale di contatto tra un oggettometallico e il suo ambiente circostante? [11]Con il modello di figura 7 si possono anche ispezionare le proprietà fonda-

mentali del gruppo delle rotazioni spaziali e le relazioni dell’algebra dei quater-nioni scolpite da Hamilton, in un momento di esaltazione mistica, sul ponte delRoyal Canal di Dublino nel 1843:

i² = j² = k² = ijk = –1

ij = –ji jk = –kj ki = –ik

a tal fine i, j e k devono essere interpretati come rotazioni destrorse di 180° attor-no ai rispettivi assi cartesiani ortogonali; l’ordine è da intendersi nel senso ope-ratoriale, leggendo da destra a sinistra: per esempio, ij significa una rotazione jdestrorsa di 180° attorno all’asse y seguita da una rotazione i destrorsa di 180° at-torno all’asse x [12]. Un allestimento impromptu, per colleghe troppo indaffarate,più adatto per esercitazioni in classe e di immediata realizzazione, è mostrato inAppendice.Un’altra dimostrazione del trucco di Dirac (quasi) sempre a portata di mano

per ogni evenienza si realizza con una cintura (va bene anche qualche collega di-sponibile a farsi prendere per la cravatta: non è necessario sfilarla dal collo). Te-nendo distesa la cintura per le estremità si fanno compiere alla fibbia due rotazio-ni complete in modo da realizzare una doppia torsione lungo la cintura; comeprima, si può riportare il tutto nella configurazione iniziale mediante un movi-mento che non comporta nessuna rotazione delle estremità su se stesse (cfr. fig.14 e 15 in Appendice).Se invece, partendo dalla posizione iniziale, senza ruotarle su se stesse, si

scambiano di mano le estremità della cintura, si osserva che nella cintura si pro-duce una torsione completa; lo stesso risultato si ottiene ruotando soltanto la fib-bia di 360°. Quindi l’operazione di permutazione di due oggetti è equivalente allarotazione di uno dei due rispetto all’altro di un angolo di 360°. In base a questaequivalenza R. Feynman, the Great Explainer, ha proposto un argomento elemen-tare che spiega per quale motivo “particelle con spin semi-intero sono fermionile cui ampiezze si sommano con il segno meno”, ovvero che spiega la proprietàdi antisimmetria della funzione d’onda del sistema composto da due particelle dispin semi-intero e il legame spin-statistica per i fermioni, una spiegazione che al-trimenti richiederebbe, come dimostrato da W. Pauli, “complicati ragionamentidi teoria quantistica dei campi e relatività”[13].


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Se, per esempio, A(1)B(2) descrive “il neutrone 1 nello stato A e il neutrone 2nello stato B“ allora lo stato con le due particelle scambiate sarà –A(2)B(1) e laloro sovrapposizione lo stato antisimmetrico

A(1)B(2) – A(2)B(1) .

Un sistema composto da particelle identiche deve risultare fisicamente indi-stinguibile dallo stesso sistema con le particelle scambiate tra di loro: questo sitraduce matematicamente nel fatto che lo stato del sistema – la funzione d’on-da – deve rimanere invariato (essere simmetrico) o cambiare di segno (essere an-tisimmetrico). Per questomotivo, partendo da due stati di particella singola comeA e B si possono fabbricare solo due tipi di stati con due particelle identiche:

A(1)B(2) ± A(2)B(1) .

Le proprietà delle particelle a spin semi-intero rispetto alle rotazioni spazialimostrano allora che in questo caso la funzione deve essere antisimmetrica rispet-to allo scambio delle particelle.Lo stato A(1)B(2) – A(2)B(1) essendo antisimmetrico risulta identicamente

nullo quando gli stati A e B sono uguali, ossia uno stesso stato non può essere oc-cupato da più di un fermione come prescritto dal Principio di esclusione di Pau-li. Ciò significa che, per esempio, due atomi di idrogeno debbono starsene distan-ti uno dall’altro, dato che i loro elettroni non possono trovarsi nello stesso postoe nello stesso stato di spin: da ciò discende il carattere di stabilità su larga scaladella materia [14].Perciò la solida consistenza del nostro vacuo mondo materiale, di noi stessi, è

intimamente legata alle strane proprietà topologiche dello spazio tridimensiona-le rispetto alle rotazioni!Per gli amanti del ballo infine la costruzione di Dirac si può riconoscere an-

che in una danza (“danza del vino”) praticata dalla popolazione filippina Bina-suan [10].


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Figura 11. Versori degli assi di rotazione: i, indice (asse x), j, medio (asse y), k, pollice (asse z). Il ver-so positivo di rotazione è quello destrorso usuale.

Figura 12. Effetto della trasformazione i², rotazione di +360° attorno all’asse i: equivale a un cambia-mento di segno dello spinore. Lo stesso risultato si ottiene applicando ijk (prima k, poi j, poi i), cioè:ijk = i² = –1.

11 12

All’indirizzo http://www.evl.uic.edu/hypercomplex/html/dirac.html è pre-sente un video della danza insieme ad una bella animazione al computer dal ti-tolo Air on the Dirac Strings.

Compito in classe: verificare le relazioni dell’algebra dei quaternioni.Materiali a disposizione: banco, sedia, cintura (eseguire l’esercizio stando seduti albanco …), libro [15].Svolgimento. Gli stati finali dell’oggetto spinoriale (libro + cintura) si ottengonotutti a partire dalla configurazione iniziale di fig. 11, ma si può assumere comestato iniziale una qualsiasi altra configurazione più intricata.

Appendice


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Figura 13. (i²)² = i4 : due rotazioni di +360°. Si ottiene una configurazione equivalente a quella inizialedi fig. 11, alla quale si può tornare, senza rotazioni, con la manipolazione mostrata nelle figure 14 e 15.

Figura 16. Trasformazione ij (prima j, poi i)

Figura 17. Trasformazione ji. Applicando un’ulteriore rotazione di +360° attorno all’asse i (o, in al-ternativa, attorno a j oppure k) si ottiene la configurazione di fig. 16. Ruotando invece in verso op-posto, eseguendo (-i)², si ottiene una configurazione equivalente alla 16, ma con una torsione nellacintura, eliminabile con la solita procedura. Quindi ij = i²ji = -ji.

16 17

13 14 15

Ringrazio per la collaborazione gli allievi della classe 4HS, Mario Mollo (nellaparte del neutrone), Stefano Barbaro (ancella destra), Stefano Greco (ancella sini-stra), Davide Calandra (assistente alla regia e riprese con videofonino) e l’assisten-te di laboratorio Nicola Calamita, che mi ha dato una mano per realizzare la fotodi fig. 11.

[1] Il più antico riferimento bibliografico sull’argomento sembra essere: M.H.A. NEWMAN, “On astring problem of Dirac”, J. London Math. Soc., 17, 173-177 (1942).

[2] M. GARDNER, Enigmi e giochi matematici, Sansoni, 1969, vol. 6, Cap. 2 (Teoria dei gruppi e trecce).

[3] LUCIO FONTANA, Concetto spaziale - Attese, idropittura su tela dicolore giallo, cm 55×46 (1967); il titolo sembrerebbe appro-priato anche per una variazione sul tema “spazialista” di Fon-tana, consistente nell’intreccio dei tre lembi della tela, comenella striscia di gomma.

[4] M. GARDNER, Enigmi e giochi matematici, Sansoni, 1975, vol. 4,Cap. 6 (La chiesa della quarta dimensione).

[5] R. RUCKER, La quarta dimensione, Adelphi (1994), Cap. 5 (Fanta-smi dall’iperspazio?).

[6] Scienza & paranormale, Anno VI, n. 18, (marzo/aprile 1998).Numero speciale della rivista ufficiale del Comitato Italianoper il Controllo delle Affermazioni sul Paranormale (CICAP)dedicato ai “Segreti di Uri Geller”.

[7] GIUSEPPE FIORONI, comunicazione personale (2006).

[8] C.W. MISNER, K.S. THORNE, J.A. WHEELER, Gravitation, W. H. Free-man and Company, San Francisco (1973), ch. 41.

[9] Nel 1998 la relazione di Euler vinse un concorso di bellezza in-detto dalla redazione della rivista Mathematical Intelligencer perla più bella equazione della matematica, scelta tra altre 24 concorrenti; un bellissimo articolosull’argomento è quello di Bruno de Finetti ,“Tre personaggi della matematica”, Le Scienze, n. 39(1971), p. 99.

[10] H.J. BERNSTEIN, A.V. PHILLIPS, “Spazi di fibre e teoria dei quanti”, Le Scienze, 157, 82-101 (settem-bre 1981).

[11] Y. AHARONOV, L. SUSSKIND, “Observability of the sign change of spinor under 2π rotations”, Phys.Rev., 158, 1237-1238 (1967).

[12] R. PENROSE, La strada che porta alla realtà, Rizzoli (2005), cap. 11 (Numeri ipercomplessi).

[13] R.P. FEYNMAN, La Fisica di Feynman, Addison-Wesley, Reading, MA, (1963), Vol. 3, Cap. 4-1; R.P.FEYNMAN, “The Reason for Antiparticles,” in Elementary Particles and the Laws of Physics. The 1986Dirac Memorial Lectures, edited by R.P. Feynman and S. Weinberg (Cambridge University Press,New York, 1987), pp. 56-59; http://www.nonlocal.com/hbar/spinstats.html; ROY R. GOULD, Am.J. Phys., 63, n. 2 (Febb. 1995).

[14] R.P. FEYNMAN, La Fisica di Feynman, Addison-Wesley, Reading, MA, (1963), Vol. 3, Cap. 4-7.

[15] E. SPAGNOL, Cucina Istantanea. Per donne che hanno altro da fare, Longanesi & C. (1993). Le di-mensioni del libro sono 10×15×3 cm³.

Ringraziamenti

Note ebibliografia


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Fontana di Dirac (foglio da di-segno liscio 24x30 cm2, sfon-do nero).

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