1

Lezione 13

• Equazione di Klein-Gordon

• Equazione di Dirac (prima parte)

equazione di continuità

hamiltoniana di Dirac

matrici alpha, beta

2

Equazioni d’onda relativisticheL’equazione di Schrödinger, come abbiamo già visto, descrive il comportamento

di una particella non dotata di spin e non relativistica, descritta in termini di una funzione d’onda, dipendente dalle coordinate spazio-temporali, e il cui modulo a quadrato ci fornisce la densità di probabilità di posizione della particella. Tale densità integrata su tutto lo spazio deve essere normalizzata a 1. La particella può essere libera o soggetta a un potenziale. L’equazione di Schrödinger però non parte da relazioni relativistiche, bensi da relazioni classiche ed è ottenuta, come abbiamo visto, sostituendo nell’equazione classica per una particella libera:

E = p2 / (2m) nella quale abbiamo fatto corrispondere a E e a p i seguenti operatori:

tE

i

ip

Con un procedimento analogo dovrebbe essere possibile costruire un’equazione relativistica per una particella libera di spin zero.

3

Equazione di Klein-Gordon

tE

i

ip

0Φmt

222

2

Klein e Gordon nel 1926 costruirono un’equazione a partire dalla relazione relativistica tra energia e impulso:

E2 = p2 + m2

nella quale, come nel caso dell’equazione di Schrödinger, si sostituiscono a E e p gli operatori corrispondenti:

EQUAZIONE DI

KLEIN GORDON

PARTICELLA

RELATIVISTICA

LIBERA

0)Φm( 2μ

μ

L’equazione di Klein-Gordon si applica a particelle relativistiche a spin=0 (bosoni)

ħ=c=1

D’ALAMBERTIANO

(1)0)Φm( 2

4

Osservazioni sull' equazione di Klein-Gordon1) La relazione relativistica tra energia e impulso:

222 m p E

prevede la possibilità di due soluzioni per l'energia in corrispondenza di un certo valore dell'impulso:

2222 m p Em p E

2) Se tentiamo di derivare dall’equazione di K.-G. una equazione di continuità, come abbiamo fatto per l’equazione di Schrödinger che dava luogo all’equazione:

0jt

ρ

ci troviamo di fronte al problema di non poter interpretare come una densità di probabilità. Vediamo perchè...

Ci troviamo dunque a dover trattare soluzioni a energia negativa che sembrano non avere significato fisico.

5

Equazione di continuità dall’eq. di K.-G.

0Φmt

222

2

Prendiamo l’equazione di Klein-Gordon e la sua complessa coniugata:

Moltiplichiamo la prima per * e la seconda per :

Quindi sottraiamole membro a membro:

0ΦΦΦΦt

ΦΦ

t

ΦΦ 22

2

2

2

2

0|Φ|mΦΦt

ΦΦ 222

2

2

0|Φ|mΦΦ

t

ΦΦ 222

2

2

0Φmt

222

2

*

(2)

6

Definiamo le seguenti grandezze:

ΦΦΦΦj

t

ΦΦ

t

ΦΦρ

i

i

ΦΦΦΦΦΦΦΦj

t

ΦΦ

t

ΦΦ

t

ρ

22

2

2

2

2

ii

i

cioè assume la tipica forma di un’equazione di continuità, tuttavia la quantità non è definita positiva, come invece dovrebbe essere una densità di probabilità. Pertanto NON possiamo interpretare come una densità di probabilità.

DENSITA’ DI PROBABILITÀ ??

DENSITA’ DI CORRENTE DI

PROBABILITÀ ??

Con queste definizioni l'equazione (2) diventa:

0jt

ρ

7

Osservazioni sull’ eq. K.-G. 1) Gli autovalori dell’energia possono anche essere negativi: questa è una conseguenza naturale della relazione relativistica energia-impulso. Gli stati a energia negativa non sembrano interpretabili come stati fisici.

2) La densità di probabilità non è definita positiva, come lo era invece nell'equazione di Schrödinger, perchè, mentre l'eq. di S. conteneva una derivata prima rispetto al tempo, quella di K.-G. contiene una derivata seconda rispetto al tempo. Ciò deriva dal fatto che l'eq. di S. scaturisce dalla relazione classica energia-impulso nella quale l'energia è elevata al primo grado (E i /t) e l'impulso al secondo (p2 - 2/2m), mentre l'equazione di K.-G. deriva dalla relazione relativistica, nella quale entrambe sono elevate al quadrato (E - 2/t2 e p2 - 2/2m) .

Questo impedisce di usare l’equazione di K.-G. come equazione della meccanica quantistica ordinaria. Tuttavia essa è stata nuovamente riutilizzata con la nascita della teoria dei campi quantizzati (seconda quantizzazione), nella quale l’equazione di K.-G. è l’equazione che descrive non la funzione d’onda di una particella, ma un operatore associato a un campo bosonico che può creare o distruggere particelle a spin zero, che sono i quanti del campo stesso.

8

Equazione di Dirac Allo scopo di descrivere particelle relativistiche di spin ½ e senza struttura, Dirac propose nel 1927 un altro tipo di equazione, tentando di risolvere i problemi posti dall’ eq. di K.-G.. L’equazione deve avere le seguenti caratteristiche:

• Da essa deve conseguire un’equazione di continuità ∂j =0

• La densità di probabilità deve essere definita positiva, in modo che sia interpretabile come una densità di probabilità: l’equazione deve pertanto contenere solo derivate prime rispetto al tempo

• L’equazione deve essere lineare e omogenea (principio di sovrapposizione)

• L’equazione di Schrödinger considera solo particelle a spin zero. Per poter descrivere particelle a s=1/2, la funzione d’onda deve essere a N componenti, cioè deve essere uno spinore (due particelle con la stessa massa, una a spin up e una a spin down devono essere due stati della stessa particella e quindi soddisfare alla stessa equazione di Dirac)

• Deve valere la relazione relativistica energia-impulso: E2 = p2 + m2. Pertanto le singole componenti dello spinore devono soddisfare a un’equazione di K.-G.

9

L’ EQUAZIONE DI DIRAC (per fermioni relativistici) deve contenere: • Uno spinore a N componenti

• Derivata prima rispetto al tempo con un coefficiente matriciale

• Derivate prime rispetto alle coordinate con tre coefficienti matriciali (uno per ogni derivata)

• Termine senza derivata

dove le 1, 2, 3 e la sono delle matrici di dimensione NN. Indicando con un "vettore" di tre componenti che ha come componenti le tre matrici i:

(1) 0ψmβz

ψα

y

ψα

x

ψα

t

ψ1N

321

iiii

0ψmβψαt

ψ

ii

321 α ,α ,α α

possiamo riscrivere la (1) in forma più compatta:

(2)EQUAZIONE DI DIRAC

10

N...,1,i0ψβmψαψt

N

1nnin

N

1nnj

jin

3

1ji

i

In forma matriciale:

NNN1

1N11

3NN

3N1

31N

311

3

2NN

2N1

21N

211

2

1NN

1N1

11N

111

1

N

1

ββ

ββ

β

αα

αα

α

αα

αα

α

αα

αα

α

ψ

ψ

ψ

In componenti, ciò significa che l' equazione di Dirac equivale in realtà a N equazioni, una per ogni componente dello spinore :

11

14321 0ψmψαψαψαψ

t

β zy

x

i

0

0

0

0

ψ

ψ

ψ

ψ

ββββ

ββββ

ββββ

ββββ

m

ψ

ψ

ψ

ψ

αααα

αααα

αααα

αααα

ψ

ψ

ψ

ψ

αααα

αααα

αααα

αααα

ψ

ψ

ψ

ψ

αααα

αααα

αααα

αααα

t

ψt

ψt

ψt

ψ

4

3

2

1

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

344

343

342

341

334

333

332

331

324

323

322

321

314

313

312

311

4

3

2

1

244

243

242

241

234

233

232

231

224

223

222

221

214

213

212

211

4

3

2

1

144

143

142

141

134

133

132

131

124

123

122

121

114

113

112

111

4

3

2

1

z

z

z

z

y

y

y

y

x

x

x

x

i

Vediamo che cosa significa l’equazione di Dirac in componenti. Poichè tra poco vedremo tra poco che la dimensione di è 4, in componenti scriveremo:

4

3

2

1

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

12

0m zzzz

yyyyxxxx

41431321211143

1433

1323

1213

11

4214

3213

2212

1211

4114

3113

2112

1111

1

ψβψβψβψβψ

αψ

αψ

αψ

α

ψα

ψα

ψα

ψα

ψα

ψα

ψα

ψα

t

ψ

i

L'equazione di Dirac corrisponde quindi a quattro equazioni (perchè quattro è la dimensione dello spinore ):

0 m zzzz

yyyyxxxx

42432322212143

2433

2323

2213

21

4224

3223

2222

1221

4124

3123

2122

1121

2

ψβψβψβψβψ

αψ

αψ

αψ

α

ψα

ψα

ψα

ψα

ψα

ψα

ψα

ψα

t

ψ

i

0...

t

ψ3

0...

t

ψ4

13

Prendiamo l’equazione di Dirac e la sua hermitiana coniugata:

i ∂0 + i k∂k – m = 0 – i∂0† –i ∂k† (k)†–m † † = 0

Moltiplichiamo la prima a sinistra per † e la seconda a destra per

i †∂0 + i † k∂k –m† = 0 –i(∂0 †) –i (∂k †)(k)† –m†† = 0

Quindi sottraiamole membro a membro:

Equazione di continuità dall’eq. di Dirac

i†∂0 + (∂0 †) + i ( † k ∂k + (∂k †)(k)† – m († – † † = 0

derivata del prodotto † potrebbe essere la derivata del prodotto † k se fosse (k)†=k

potrebbe annullarsi se fosse ()†=

Per ottenere un'equazione di continuità dobbiamo quindi necessariamente imporre che le matrici 1, 2, 3 e siano hermitiane:

(k)† = k e † =

14

0 j

t

ρ

Dando le seguenti definizioni di densità di probabilità e di densità di corrente di probabilità, perveniamo a una equazione di continuità:

i

N

1ii ψ ψ ψ ψ ρ *

†

ψ α ψ j kk †

In tal modo infatti l' equazione diventa:

i∂0 († + i († k ∂k + (∂k †) k – (m† - m† = 0 (3)

i ∂0 († ) + ∂k(† k) = 0

DEFINITA POSITIVA

15

Per trovare l'hamiltoniana dell'equazione di Dirac, possiamo esprimere l'equazione nella forma seguente:

Hamiltoniana di Dirac

0ψmβψα t

ψ

ii

Pertanto l'hamiltoniana per una particella libera fermionica che soddisfa l'equazione di Dirac è:

ψ Hψ β mψα t

ψ

ii

β mα H

i

N.B. La condizione che le matrici i e debbano essere hermitiane si poteva anche ottenere imponendo che l'hamiltoniana fosse hermitiana.

16

RELAZIONE RELATIVISTICA ENERGIA-IMPULSO

Richiederemo ora che le singole componenti di soddisfino all' equazione di Klein-Gordon, o, il che è equivalente, richiediamo che valga la relazione relativistica energia-impulso:

0ψmβα t

i

ii EQ. DI DIRAC

0ψmψt

ψ

i2

i2

2i

2 EQ. DI KLEIN-GORDON

Applichiamo all'equazione di Dirac un operatore appropriato, che permetta di ottenere l'equazione di K.-G. a partire da quella di Dirac:

mβα t

ii

0ψ mβα t

mβα t

i

iiii

0ψ β mα β m t

mβ β α m α α t

α βt

m αtt

i22

2

2 iiii

17

0ψ β mα β m t

mβ β α m α α t

α βt

m αtt

i22

2

2 iiii

0ψ β mα β m t

mβ β mα α α t

α t

β m t

αt

i22

ii

ii

jj

ii

2

2

iiii

Dato che le matrici i e sono i coefficienti dell' equazione di Dirac, essi devono essere parametri non dinamici, cioè non dipendono nè dal tempo nè dalle coordinate, pertanto esse filtrano attraverso le derivate temporali e spaziali:

2323

1313

3232

1212

3131

2121

3333

2222

1111

33

22

11

33

22

11

3

jj

j3

ii

ij

ji

i

α α α α α α α α α α α α α α α α α α

α α α α α α α α α α N.B.

2323

3232

1313

3131

1212

2121

3333

2222

1111

3333

3232

3131

2323

2222

2121

1313

1212

1111

3333

2323

1313

3232

2222

1212

3131

2121

1111

3

j3j

3j2j

2j1j

1jj3

j3j2

j2j1

j1

j

3

ji,i

ijjiji

ijjij

ji

i

αα 2 αα 2 αα 2αα 2 αα 2αα 2 αα 2 αα 2αα 22

1

) αα αααα αα αααα αα αα αα

αα αα αα αα αα αααααααα(2

1

αααααααααααα2

1

αααα2

1 αααα

2

1 α α

:riscrivere così può si Questo

18

jiijji

jj

ii αααα

2

1 α α

(3) 0ψ β m α ββ α m α αα α2

1

t

i22

iii

jiijji

2

2

i

Ma l'equazione di K.-G. è:

0ψmψt

ψ

i

2i

22

i2

o anche:

0ψ m t

i2

ii2

2 (4)

Perchè la (3) e la (4) coincidano occorre che valgano per le matrici i e le seguenti regole:

NNijji

NNijijji

NNijijji 111 δ 2 α , α δ 2α αα α δα αα α

2

1

β ,α α β- β α cioè α ββ α NNiii

NNii 00

NN2 1 β

cioè le matrici i e anticommutano e il loro quadrato è uguale all'identità.

19

pariN11)(

β)det(α1)()det(α ) β det( )1det() α β det()β αdet(

N

kN

β)det(α

kNN

k

α β

k

kk

ALTRE PROPRIETÀ DELLE MATRICI i E

2) Le matrici i e hanno traccia nulla. Infatti:

Ma poichè le matrici e le anticommutano, si avrà:

0)α ββ (α kk

kk βαβ α kk2k αα ββα β

0)Tr(α)αTr()Tr(α kkk

3) La loro dimensione è necessariamente pari. Infatti:

β)α βTr()αβ Tr()Tr(α 2 kk

1

k

44

1) Dal momento che le matrici i e anticommutano, non è possibile trovare una base nella quale esse siano tutte e quattro contemporaneamente diagonalizzabili. In ogni base solo una delle quattro sarà diagonalizzata.

(proprietà delle tracce)

20

4) Qual è il valore minimo per N? Non è ammessa la dimensione N=2, in quanto in tal caso il numero massimo di matrici che anticommutano è 3 (vedi matrici di Pauli). La dimensione minima è N=4.

Una possibile scelta è quella della rappresentazione detta di Dirac-Pauli, nella quale la matrice è diagonale:

1000

0100

0010

0001

10

01β

0σ

σ0α

v

v

u

u

ψ2222

2222

22k

k22k

(2)

(1)

(2)

(1)

dove le k sono le matrici di Pauli e pertanto:

0010

0001

1000

0100

0σ

σ0α

000i

00i0

0i00

i000

0σ

σ0α

0001

0010

0100

1000

0σ

σ0α

223

3223

222

2222

221

1221

21

PARTICELLE A MASSA NULLA

Notiamo che l'equazione di Dirac:

0ψβmψαt

ψ

ii

per particelle a massa nulla (m=0), come il neutrino, si riduce a:

0ψαt

ψ

ii

Per descrivere il sistema, sono dunque sufficienti tre matrici linearmente indipendenti i (i=1, 2, 3). Pertanto le dimensioni dello spinore diminuiscono a 2 in quanto la dimensionalità più bassa per tre matrici anticommutanti è N=2 e le matrici in questione sono le tre matrici di Pauli. Possiamo dunque assumere:

33

22

11 σα σα σα

Indicando con il vettore composto dalle tre matrici: = (, , ), l'equazione di Dirac si riduce a un'equazione a due componenti sole nello spinore L (detta equazione di Weyl, vedremo meglio dopo il suo significato):

0ψt

ψL

L

σ

ii