Lezione 7

formalismo di Dirac

0 mi

00

m

xi

ti

kk

0

ii

0

correnti00

m

xi

ti

kk

00

m

xi

ti k

k

= mi

mi +

0 j

j

corrente

conservazione della corrente

j

ej elettrica

0 j

la la corrente corrente si si conservaconserva

correnti

Corrente e Densità di Probabilità

• l’equazione di KG ammette soluzioni ad energia negativa e densità di probabilità negativa

• l’equazione di Dirac ammette soluzioni ad energia negativa, ma la densità di probabilità è positiva

• un esempio è una particella libera di momento p. • vedremo che si arriva all’equazione che lega densità di

probabilità e corrente in questo caso, con delle semplici manipolazioni dell’equazione di Dirac

• vedremo anche che è ragionevole interpretare una particella libera come una corrente

esempio: è ragionevole esempio: è ragionevole interpretre una particella interpretre una particella libera come una correntelibera come una corrente

0 miequazione di Diracequazione di Dirac

particella libera di particella libera di momento momento pp. .

0. mp

0. mp

mpp 2

pp .

mp 2 g2

mp

densità di densità di probabilitàprobabilità

correntecorrente

Usando le regole di Usando le regole di anticommutazioneanticommutazione

opera su un’onda opera su un’onda piana di momento piana di momento pp....

l’equazione l’equazione di Dirac di Dirac diventadiventa

Hermitiana Hermitiana coniugataconiugata

0. mp 0. mp 0. mp 0. mpsommiamo sommiamo queste due queste due equazioniequazioni

m

p

0 mp

m

p

contrariamente a quanto contrariamente a quanto accadeva con l’equazione di KG , accadeva con l’equazione di KG , l’equazione di Dirac ammette l’equazione di Dirac ammette solo corrente e densità di solo corrente e densità di probabilità positiveprobabilità positive

01

100

0

0

i

ii

10

015

L

R

spinori a 2

componenti

rappresentazione specifica delle :ridefinizione

0 mp

00

0

L

R

mpp

ppm

0

0

0

0

LR

LR

mpp

ppm

RL

LR

m

pp

m

pp

0

0

soluzioni per particellesoluzioni per particelle liberelibere

Equazione di Dirac

Separando le variabili

che scritta esplicitamente diventa

RL

LR

m

pp

m

pp

0

0 0

0

0

0

R

L

pp

pp

massa massa nullanulla

le due equazioni si separanole due equazioni si separano

elicitàelicità

0

ˆp

pp

pp

pˆ

m=0, m=0, fermioni fermioni

relativisicirelativisici

L L soluzione a enegia positiva sinistrorsasoluzione a enegia positiva sinistrorsa

R R soluzione a enegia positiva destrorsasoluzione a enegia positiva destrorsa

La separazione tra fermioni destrorsi e sinistrorsi è un La separazione tra fermioni destrorsi e sinistrorsi è un punto tecnico molto importante nel Modello Standardpunto tecnico molto importante nel Modello Standard

cosa si impara?• esistono soluzioni per esistono soluzioni per pp00

• possono essere intercambiatepossono essere intercambiate con con LL - - RR

• m=0m=0, le due equazioni si separano; le , le due equazioni si separano; le particelle sono destrorse (R) o sinistrorse particelle sono destrorse (R) o sinistrorse (L)(L)

• elicità misura la componente di spin elicità misura la componente di spin lungo la direzione del moto della lungo la direzione del moto della particella.particella.

• L L left-handed positive energy solution. left-handed positive energy solution.

• R R right-handed positive energy right-handed positive energy solutionsolution. .

• Se uno stato left-handed ha pSe uno stato left-handed ha p00>0, allora >0, allora LL >> >> RR

• m≠0m≠0, le due soluzioni non si separano. , le due soluzioni non si separano. (troveremo nella lagrangiana un termine (troveremo nella lagrangiana un termine di massa di massa interazione interazione LL RR))

RL

LR

m

pp

m

pp

0

0

0

ˆp

pp

tpxpiue 0

muu 2

separiamo la dipendenza da separiamo la dipendenza da spazio e tempospazio e tempo

u soddisfa la stessa equazione u soddisfa la stessa equazione nello spazio dei momenti che nello spazio dei momenti che abbiamo scritto, dato che abbiamo scritto, dato che implicitamente si era assunto implicitamente si era assunto che si lavorava con autovalori che si lavorava con autovalori dell’energiadell’energia

in genere si usa in genere si usa per una per una soluzione generale ed u soluzione generale ed u quando si vuole fattorizzare quando si vuole fattorizzare il tempoil tempo

dobbiamo normalizzare; dobbiamo normalizzare; la scelta convenzionale la scelta convenzionale per la normalizzazione per la normalizzazione è:è:

possiamo scrivere una soluzione possiamo scrivere una soluzione dell’equazionedell’equazione di Dirac nella di Dirac nella formaforma

notare che ha le dimensioni di una massa, o di una

energia, nelle unità naturali

uuuu , un fattore di questo tipo deve essere espresso in termini delle masse ed energie disponibili

Particelle e antiparticelle

• Tratteremo le antiparticelle come se fossero particelle

• arrivano in coppia: se c’è una particella c’è anche la sua antiparticella

• se sono fermioni sono descritte dalla soluzione dell’equazione di Dirac

• i “vertici” hanno la forma uu ,

fermioni destrorsi e sinistrorsifermioni destrorsi e sinistrorsi

01

00

2

1 5LP

00

10

2

1 5RP

0

1

2

2

RL

RL

RR

LL

PP

PP

PP

PP

LL

RLL UU

UuuP

0

01

00

000

10 R

L

RRR

U

U

UuuP

10

015

Definiamo gli operatori

L

R

u

u è sempre utile separare la parte alta e bassa della funzione d’onda.

scegliamo una rappresentazione delle matrici

in cui

10

0101

10

2

1

2

1 5LP

per esempio

u soluzione della equazione di Dirac

Sono Sono operatori operatori

di di proiezioneproiezione

Gli operatori PARITA’Gli operatori PARITA’

ELICITA’ e PARITA’

tPt

xxP

;

ppP

pr

P

L’elicità di un fermione massivo può essere cambiata da una

trasformazione di Lorentz,perchè si può andare nel sistema a riposo e

ruotare. Quindi l’elicità non è un numero quantico

La natura però, ed il La natura però, ed il modello modello standardstandard trattano fermioni destrorsi trattano fermioni destrorsi

e sinistrorsi in modo diverso e la e sinistrorsi in modo diverso e la connessione tra destra, sinistra e connessione tra destra, sinistra e

massa è sottilemassa è sottile

La parità La parità opera così:opera così:

Il momento angolare si trasforma come:

quindi lo spin si trasforma come

Se la natura fosse invariante per trasformazione di parità esisterebbero Se la natura fosse invariante per trasformazione di parità esisterebbero sempre le due soluzioni. Ma in natura la parità non si conserva. Non esistono sempre le due soluzioni. Ma in natura la parità non si conserva. Non esistono neutrini destrorsi.neutrini destrorsi.

RL

LR

m

pp

m

pp

0

0quindi in quindi in

queste queste equazioni c’è equazioni c’è

un un cambiamentcambiament

o di segnoo di segno

Nel caso degli elettroni, esistono sia eNel caso degli elettroni, esistono sia eRR e e e eLL, ma , ma solo esolo eLL può interagire con può interagire con il il

Conservazione della parità (elicità)nelle interazioni elettromagnetiche

RLRL PPPP

RRRLLRLL PPPPPPPP

RL PP

LR PP

RLLR PPPP

LR

RLLL

P

PPP

00

RRLL RRLL se l’interazione ha se l’interazione ha

la forma della la forma della corrente,(e.g. corrente,(e.g. interazione interazione

elettromgnetica ) elettromgnetica ) l’elicità (parità) si l’elicità (parità) si

conservaconserva

se l’interazione ha se l’interazione ha la forma della la forma della corrente,(e.g. corrente,(e.g. interazione interazione

elettromgnetica ) elettromgnetica ) l’elicità (parità) si l’elicità (parità) si

conservaconserva

corrente j RLRL PPPPj

RRRLLRLL PPPPPPPPj

LRRL PPPP

LRRLLL PPPP 00

RRLL

Valgono le seguenti relazioni

Dato che

RLLR PPPPj

Applicando le quali si ottiene

conservazione elicità (parità) nelle interazioni elettromagnetiche

relazioni utilirelazioni utili

22RL PP

termine di termine di massamassam Esprimiamo in

termini di stati destrorsi e sinistrorsi

Il termine di massa Il termine di massa della Lagrangiana della Lagrangiana ha la formaha la forma

RLLR RRLL PPPP

il termine di massa è equivalente ad un flip

in elicità

55 114

1LL

512

1

RRLL in una interazione in cui i termini in LL ed RR sono in una interazione in cui i termini in LL ed RR sono ugualmente probabili, come nella interazione e.m., ugualmente probabili, come nella interazione e.m.,

si conserva la parità e la corrente ha la formasi conserva la parità e la corrente ha la forma

ma se per una ragione qualsiasi ma se per una ragione qualsiasi abbiamoabbiamo solo stati solo stati LL, allora c’ solo il termine LL, allora c’ solo il termine LL

5

2

1

V-A interctionV-A interction

quadri-vettorevettore

quadri-vettore assialeassiale

512

1 51

2

1

5

LRRL PPPP

L’interazione debole

☻L’interazione debole è un esempio di interazione V-A ( Vettoriale –Assiale).

☻ E questo perchè in natura esistono solo neutrini sinistrorsi L

☻ Nel caso esistessero invece solo neutrini destrorsi, l’interazione sarebbe del tipo V+A

512

1

512

1

come interagisce una qualsiasi funzione d’onda (particella) ’ con una funzione d’onda (particella) sinistrorsa L?

in una qualsiasi corrente formata con ’ e L, solo la componente ’L può interagire con L, anche se la componente R ( su , top) di ’ esiste e corrisponde ad uno stato fisico.

'

''

L

R

top

bottom

in natura, effettivamente, solo eL interagiscono con i neutrini. eR non interagiscono con i neutrini

NON CONSERVAZIONE DELLA PARITA’ NELLE NON CONSERVAZIONE DELLA PARITA’ NELLE INTERAZIONI DEBOLIINTERAZIONI DEBOLI

La Lagrangiana di Dirac

0 miL

Negative Energy Solution: Feynman prescriptionsNegative Energy Solution: Feynman prescriptions

negative energy negative energy particleparticle solution propagating solution propagating backwardbackward in in timetime

==

positive energy positive energy antiparticleantiparticle solution propagating solution propagating forward forward in in timetime è plausibile

??

the the emissionemission (absorption) of an (absorption) of an antiparticleantiparticle of 4-momentum of 4-momentum pp is is physically equivalent to the physically equivalent to the absorptionabsorption ( emission) of a ( emission) of a particleparticle

of 4-momentum of 4-momentum -p-p

t

1t

2t

3t

x

scattering center

scattering center

Non Relativistic Quantum Mechanic (NRQM)

Trajectory for second order scattering in NRQM

Space-Time plotscattering di un + da un potenziale, in una

teoria perturbativa di second’ordine

t

1t

2t

3t

xTrajectory for second order scattering in RQM

Relativistic Quantum Mechanic RQM

In RQM dobbiamo ammettere anche

particelle che vanno indietro nel tempo

In RQM dobbiamo ammettere anche

particelle che vanno indietro nel tempo

DICE FEYNMAN:

quindi oltre al grafico NRQM, c’è anche un grafico RQM

negative-energyy

positive-energyy

positive-energyy

t

1t

2t

3t

x

t

1t

2t

3t

x

DICE FEYNMAN:

Una particella con energia negativa che procede in avanti è equivalente alla sua

antiparticella con energia positiva che procede all’indietro nel tempo

Una particella con energia negativa che procede in avanti è equivalente alla sua

antiparticella con energia positiva che procede all’indietro nel tempo

il potenziale assorbe una coppia +- a t2

+ viene dal passato

il potenziale emette una coppia +- a t1

+ procede verso il futuro

Quindi la soluzione a Quindi la soluzione a energia negativaenergia negativa di una equazione d’onda che descrive di una equazione d’onda che descrive una certa una certa particellaparticella è usata per descrivere la sua è usata per descrivere la sua antiparticellaantiparticella con con energia energia positiva,positiva, scambiando opportunamente stati finale e inizialescambiando opportunamente stati finale e iniziale

In questo modo situazioni che coinvolgono In questo modo situazioni che coinvolgono più di una particellapiù di una particella ( come la ( come la creazione di coppie) possono essere trattate con creazione di coppie) possono essere trattate con la funzione d’onda di una la funzione d’onda di una singola particellasingola particellaNon si può creare una Non si può creare una singolasingola particella carica. Le particelle sono create particella carica. Le particelle sono create in coppie particella-antiparticella e le traiettorie nello spazio tempo in coppie particella-antiparticella e le traiettorie nello spazio tempo sono continuesono continue

the electromagnetic the electromagnetic current of a positive current of a positive

energy energy ++ is palusibly is palusibly given by the probability given by the probability

current for positive current for positive energy solution multiplied energy solution multiplied

by the charge (Q=eby the charge (Q=e++))

ejem probability current for positive-energy +

pejem

pEejem, pEejem

,

pEejem

, pEejem

,

Quando un sistema emette un pione negativo di energia positiva, la sua energia totale Quando un sistema emette un pione negativo di energia positiva, la sua energia totale decresce di decresce di EE e la sua carica elettrica decresce di e la sua carica elettrica decresce di (-e)(-e)

This is equivalent to have the system-charge increased of (+e)This is equivalent to have the system-charge increased of (+e)

This charge increase could equally well be caused by the absorption of a positive pion, but to be This charge increase could equally well be caused by the absorption of a positive pion, but to be equivalent to the negative pion emission, the positive pion will have to have negative energy ( The equivalent to the negative pion emission, the positive pion will have to have negative energy ( The system loose energy in the emission)system loose energy in the emission)

gli ingredientigli ingredienti

le notazioni dell’equazione di Dirac, le notazioni dell’equazione di Dirac, per esprimere la struttura dello spinper esprimere la struttura dello spin

l’imposizione della gauge invariance l’imposizione della gauge invariance che ci dice di cominciare con una che ci dice di cominciare con una Lagrangiana di particella libera e di Lagrangiana di particella libera e di riscriverla con il formalismo delle riscriverla con il formalismo delle derivate covariantiderivate covarianti

l’idea di simmetrie internel’idea di simmetrie interne