Tesi Jacopo Surace Analisi equazione di schrodinger newton

5/27/2018 Tesi Jacopo Surace Analisi equazione di schrodinger newton

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Universita degli Studi di Trieste

Facolta di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Corso di Studi in Fisica

Tesi di Laurea Triennale

ANALISI DELLEQUAZIONE DI

SCHRODINGER-NEWTON

Laureando:

Jacopo Surace

Relatore:

prof. Angelo Bassi

ANNO ACCADEMICO 20122013



Indice

Lista delle figure ii

Abbrevizioni iii

Postulati della meccanica quantistica iv

1 Introduzione 11.1 Fenomeni alla base della descrizione quantistica: . . . . . . . . . . . 11.2 Due postulati della QM in competizione: . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Sovrapposizioni, speculazioni, interpretazioni: . . . . . . . . . . . . 4

2 Nascita e motivazioni 62.1 Il concetto di macroscopicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Lidea di Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Equazione e sue proprieta 83.1 Lequazione di Schrodinger-Newton: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2 Alcune importanti proprieta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3 Ground state della particella libera: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Evoluzione temporale 134.1 Preparazione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Semplificazione del potenziale: . . . . . . . . . . . . . 154.2 Evoluzione per tempi piccoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.3 Evoluzione per tempi lunghi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Calcolo della matrice Q . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.3.1 Sotto la massa critica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3.2 Sopra la massa critica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3.3 Confronto tra ES ed ESN: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5 Conclusioni 335.1 Difficolta trovate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.2 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

A Riscalamento della soluzione dellESN 36

Bibliografia 38

i



Elenco delle figure

1.1 Esperimento con il fullerene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Gatto di Scrhodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.1 Profilo della funzione (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.1 Distribuzione di probabilita radiale (4.2) . . . . . . . . . . . . . . . 144.2 A(%) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.3 B(%) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.4 m= 1109u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.5 m= 5109u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.6 m= 7109u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.7 m= 9109u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.8 m= 0.25109u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.9 m= 0.8109u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.10 m= 5109u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.11 m= 0.25109u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.12 m= 5109u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.13 m= 6.5109u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.14 m= 8109u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.15 m= 15109u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.16 m= 50109u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.17 m= 15109u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.18 m= 50109u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.19 Tempo richiesto affinche levoluzione temporale dellESN differiscadel1%, 10%, 50% dallES [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

ii



Abbrevizioni

ESN Equazione Schrodinger-Newton

ES Equazione Schrodinger

GS Ground State

QM Quantum Mechanic

CM ClassicMechanic

iii



Postulati della meccanica

quantistica

1. Lo stato del sistema e descritto da un vettore in uno spazio di Hilbert.

2. Levoluzione degli stati e data dallES.

3. Le osservabili sono operatori autoaggiunti, i risultati di una misura sono gli

autovalori reali delloperatore.

4. Regola di Born.

5. Eseguita una misura la funzione donda collassa nellautostato delloperatore

della grandezza misurata corrispondente allautovalore ottenuto.

iv



Capitolo 1

Introduzione

1.1 Fenomeni alla base della descrizione quanti-

stica:

Tra i motivi concorrenti alla nascita della QM sta la necessita di descrivere con

una teoria fisica e matematica dei fenomeni inspiegabili con il solo impianto della

CM.

Tra i molti esperimenti, di particolare interesse per noi e quello della doppia fen-

ditura. Lesperimento di Young sembrava dare la risposta definita alla domanda

sulla natura corpuscolare od ondulatoria della luce e infatti, facendo passare un

opportuno fascio di luce attraverso due apposite fenditure, si creava sullo schermo

anteposto una figura a frange, segno irrefutabile della presenza di fenomeni di in-

terferenza. La luce aveva quindi le caratteristiche di unonda.

Mentre per la luce la questione onda/corpuscolo era molto sentita, per le particelle

sembrava innegabile che si trattasse di corpuscoli, ma quando nel medesimo espe-

rimento di Young, svolto con elettroni al posto della luce, si osservarono figure di

diffrazione analoghe a quelle del caso con la luce, ci si accorse di un problema: la

distinzione tra corpuscolo ed onda non era pi cos netta.

Seguirono molti altri esperimenti e molte discussioni ma risulto via via sempre piu

chiaro che alla base della nuova teoria che stava nascendo (la QM) era necessario

1



Capitolo 1. Introduzione 2

includere la possibilita di interferenze anche tra corpuscoli. Il modo in cui cio

venne implementato ormai e conosciuto (la QM e ormai una teoria consolidata),

ma e essenziale sottolineare che la possibilita di applicare il principio di sovrappo-sizione anche alle particelle (per ottenere fenomeni di interferenza) e una richiesta

fondamentale della teoria quantistica.

E chiaro dagli esperimenti -ed e anche il motivo per cui esiste la nozione di

corpuscolo- che le particelle, seppur formino sullo schermo dellesperimento di

Young frange di interferenza, qui arrivino ben localizzate nello spazio. Ogni par-

ticella lascia un puntino e non un alone di intensita diverse, come se si infrangesse

un onda.Al pari della richiesta di includere il principio di sovrapposizione, abbiamo lal-

trettanto essenziale richiesta che al momento della misura la particella si comporti

come un corpuscolo e sia precisamente localizzata.

Quindi, fra le richieste della QM, abbiamo: la necessita del principio di sovrappo-

sizione e la necessita di ottenere quantita precise e fenomeni corpuscolari allatto

della misura.

Figura 1.1: Esperimento con il fullerene

Fig. 1.1: Non solo particelle piccole come lelettrone formano figu-

re di diffrazione, si e riusciti a far diffrarre anche molecole come il

fullerene[1]




1.2 Due postulati della QM in competizione:

Le richieste del paragrafo 1.1 sono implementate nella QM con 2 postulati diversi.Come gia detto, e necessario includere il principio di sovrapposizione e per farlo si

fa evolvere il sistema tramite lES, questa equazione ha le proprieta di includere

tra le sue soluzioni funzioni ondulatorie e di essere un equazione lineare, quindi

una combinazione lineare di soluzioni rimane una soluzione. Questo postulato de-

finisce levoluzione temporale che chiamiamo U. Per far passare il sistema da un

sistema composto da onde ad uno composto da corpuscoli nellatto della misu-

ra si inserisce un altro postulato: un sistema quantistico osservato collassa in unsuo autostato (quindi una sola soluzione dellES eliminando tutte le combinazioni

lineari tramite regole probabilistiche) tramite levoluzione temporale di collasso

istantanea, chiamata R.

Un sistema quantistico ha dunque solitamente questo comportamento: finche non

e osservato puo trovarsi in una sovrapposizione di autostati e si evolve tramite la

trasformazione Ucontinua; appena osservato tramite la trasformazione R precipi-

ta in un solo autostato dellES inserendo cos una discontinuita nellevoluzione U.

E dunque un problema avere due tipi di evoluzione diversi per un sistema quanti-

stico ed avere la regola che specifica quando applicare uno o laltro (U oR) basata

su un concetto mal definito come latto di misurare. Ma questo non e lunico

problema associato a questi postulati, associato al secondo postulato ce forse il

piu famoso problema o paradosso della QM, quello del gatto si Schr odinger. Se a

livello microscopico puo non creare nessun problema pensare che, a patto di non

osservarlo, un sistema si possa trovare in una sovrapposizione di stati, portare tale

risultato a livello macroscopico risulta in un paradosso. Per legare leffetto mi-

croscopico a quello macroscopico, Schrodinger ha idealmente posto in una stessa

scatola un gatto ed una boccetta di gas velenoso con la possibilit a che questultima

si rompa in base al decadimento o non decadimento di una particella radioattiva.

Finche non e osservata, la particella, si trovera in una sovrapposizione di stati

decaduta/non-decaduta, e tramite i vari collegamenti allora anche la boccetta si

trovera in uno stato rotta/non-rotta ed infine anche il povero gatto esistera in una




sovrapposizione di vivo/non-vivo. Tutto questo finche la scatola resta chiusa. E

evidente per lesperienza di ogni giorno che un gatto simultaneamente vivo e mor-

to non possa esistere. La sovrapposizione di stati diventa problematica a livellomacroscopico.

Figura 1.2: Gatto di Scrhodinger

Fig. 1.2: Una rappresentazione stilistica della sovrapposizione di sta-

ti per il gatto di Schrodinger[2], sono passati molti anni senza unasoluzione pienamente condivisa al paradosso. Ormai e parte dellim-

maginario collettivo.

1.3 Sovrapposizioni, speculazioni, interpretazio-

ni:

E necessario innanzitutto precisare una cosa: la teoria quantistica offre ottime

previsioni. Nonostante i paradossi e le apparenti discordanze che si trovano alla

base della teoria, a livello di previsioni sperimentali fino ad ora la QM e stata messa

alla prova non poche volte ed ha sempre avuto successo. Affrontare i problemi che

sembrano esserci nelle sue fondamenta e quindi un lavoro particolarmente delicato

ed e per questo che gran parte di questo lavoro si basa fondamentalmente suinter-

pretazioniche non vanno a modificare quasi maila formulazione matematica ma




principalmente si propongono di trovare una diversa via con la quale raggiungere

gli stessi risultati che gia si conoscono della QM.

Tra le interpretazioni, le principali sono l interpretazione di Copenaghen sviluppa-ta principalmente da Heisenberg e Bohr dove lo stato del sistema e rappresentato

da una matrice o da una funzione donda che descrive le varie possibilit a del siste-

ma, queste proprieta vengono lette tramite la regola di Born. Nel momento della

misurazione il sistema collassa istantaneamente nello stato misurato. Ce poi lin-

terpretazione della meccanica Bohmiana, che vede le particelle fondamentalmente

corpuscolari controllate da una speciale onda pilota. Ce linterpretazione a molti

mondi in cui esiste un mondo separato per ogni possibile stato quantistico, quandooperiamo una misura scegliamo semplicemente una direzione per il nostro mondo

che si separa quindi dagli altri, ogni misura biforca la strada di un universo dagli

altri infiniti universi possibili. A tutte queste teorie ce chi si oppone proponendo

la FAPP (For All Practical Pourpose) dove essenzialmente limportante e il risul-

tato della teoria in esperimenti pratici. Ce poi il filone di teorie, di cui fa parte

quella analizzata in questo testo, che si definiscono come teorie del collasso spon-

taneo le quali invece di eliminare il collasso provocato dallosservatore, postulano

che i collassi siano naturali e avvengano spontaneamente nei sistemi quantistici, e

diventino significativi quando il sistema interagisce con un oggetto macroscopico

[7]. Le teorie del collasso spontaneo uniscono U ed R in un unica evoluzione.



Capitolo 2

Nascita e motivazioni

2.1 Il concetto di macroscopicita

La teoria di cui ci occuperemo fa parte della famiglia delle teorie del collasso spon-

taneo. In queste teorie il problema nel definire cosa sia esattamente una misura e

trasferito al definire cosa sia eff

ettivamente un sistema macroscopico.Due sono principalmente le interpretazioni che si possono dare a tale caratterizza-

zione: rimanendo fedeli al concetto di particelle o semplicemente di entit a singole

che possono costituire un sistema piu grande si puo affermare che un sistema sia

macroscopico quando il numero di particelle che lo compongono e sufficientemente

grande. Nella teoria GRW [9] si fa uso di questa interpretazione e si parla di un

collasso della funzione donda che avviene con velocita direttamente proporzionale

al numero di particelle del sistema.

Nella teoria da noi analizzata, un sistema macroscopico invece e caratterizzato da

masse molto grandi, dunque piu grande e la massa, piu rapidamente dovrebbe

collassare la funzione donda. Con questa idea in mente risulta affascinante tro-

vare una soluzione al paradosso del gatto di Schrodinger: il gatto e un sistema

macroscopico collegato al sistema microscopico della particella radioattiva, la so-

vrapposizione puo esistere ma durerebbe per pochissimo tempo ed e dunque per

questo che nessuno e mai riuscito ad osservarla.

6



Capitolo 2. Nascoita e motivazioni 7

2.2 Lidea di Penrose

Roger Penrose, credendo nella teoria del collasso spontaneo, comincio a considera-re latto della misura come lavvicinarsi al sistema da misurare (solitamente molto

poco massivo) di un altro oggetto (il misuratore) tipicamente molto massivo. Que-

sta vicinanza e perturbazione vicendevole tra i due sistemi doveva portare ad un

collasso e dunque il motivo principale di tale collasso doveva essere una attrazione

gravitazionale tra le due masse. Ricordo che quando parliamo di collasso (in teo-

rie del collasso spontaneo) non intendiamo il tipico collasso in un autostato -come

ad esempio il collasso istantaneo in uno stato di spin definito dopo una misuradello stesso, come descritto dalla QM attuale-, ma un velocissimo, non istantaneo,

restringimento della distribuzione di probabilita della posizione della particella at-

torno ad un valore che poi sara il valore misurato. Piu grande e la massa piu e

rapido il collasso, tante che gli oggetti a misura duomo, quelli oggetto della fisica

classica, hanno masse estremamente piu grandi di quelle considerate in esperimenti

quantistici e nel loro comportamento non si intravede nulla di macroscopicamente

quantistico. Partendo da queste ipotesi Penrose postulo con laiuto del principio

di indeterminazione di Heisenberg (T E' h) che il tempo di collasso T per unasovrapposizione di due stati di posizione avrebbe dovuto essere proporzionale a h

E

che non e altro che lenergia gravitazionale propria della differenza tra le distribu-

zioni di massa delle due funzioni donda considerate, cioe lenergia necessaria per

separare al massimo le masse delle due funzioni donda [6]. Applicare alla forma-

lizzazione di tali concetti la teoria della relativita generale e troppo complesso per

quella che sarebbe comunque una teoria puramente fenomenologica, ci sarebbero

molti problemi da superare e interrogativi (i quali questa teoria non si propone

di risolvere) da sistemare. LESN (cioe la formalizzazione matematica delle idee

di Penrose) si basera quindi nellapprossimazione della teoria della gravitazione di

Newton.



Capitolo 3

Equazione e sue proprieta

3.1 Lequazione di Schrodinger-Newton:

Lequazione che analizzeremo e lequazione di Schrodinger-Newton (abbreviata

ESN):

iht(~r, t) = h22m2(~r, t)Gm2

Z |(~r1, t)|2

||~r ~r1|| d3r1(~r, t) (3.1)

dove h e la costante di Planck ridotta, t e loperatore di derivazione parziale ri-

spetto a t,2 e loperatore laplaciano, G e la costante di gravitazione universaledi Newton.

Non e altro che la classica equazione di Schrodinger con un potenziale gravitazio-

nale Newtoniano dovuto alla massa della particella stessa.

La riscriviamo esplicitando il potenziale (la parte integrale e la soluzione di une-

quazione di Poisson con condizione a contorno che la funzione vada a 0 allinfinito):

iht(~r, t) = h22m2(~r, t) +m(~r, t)(~r, t)

2(~r, t) = 4Gm|(~r, t)|2(3.2)

Risulta chiaro, osservando la seconda equazione del sistema, il punto fondamentale

su cui si basa tutta questa teoria: la distribuzione di probabilita che si ottiene con

8



Capitolo 3. Equazione e sue proprieta 9

la regola di Born (mettendosi nella base della posizione) non e altro che la distri-

buzione spaziale della massa della particella considerata. Il potenziale considerato

e quello generato da una distribuzione di massam|(~r, t)|2

secondo la gravitazionedi Newton.

Come per lequazione di Schrodinger usuale richiediamo che la funzione sia C

(almeno C2) per tutti x R3 e normalizzabile e che il potenziale sia C e tendaa 0 per grandi valori di ~r (le condizioni a contorno usate per risolvere lequazione

di Poisson).

Per trovare lespressione indipendente dal tempo usiamo la separazione di variabili:

(x , y , z , t

) =

(x , y , z

)eiEht

.Nellespressione del potenziale rimane solo il terminespaziale, dunque:

E(~r) = h22m2(~r) +m(~r)(~r)

2(~r) = 4Gm|(~r)|2(3.3)

e lESN indipendente dal tempo.

3.2 Alcune importanti proprieta:

Cerchiamo di caratterizzare lESN descrivendo alcune proprieta di cui gode la

soluzione:

1. Simmetria per traslazioni di fase:

Come per lES, operando una traslazione di fase sulla funzione donda:

(~r, t) 0(~r, t) =ei(~r, t) (3.4)

con R, 0(~r, t) rimane una soluzione.Si puo dimostrare che questa simmetria implica la conservazione dellinte-

grale sullo spazio di |(~r, t)|2, dunque lESN conserva la norma.




2. Simmetria per inversione spaziale o temporale:

Definendo:

:R4

R4

, (~r, t) (~r, t) :R4 R4, (~r, t) (~r,t)

e possibile applicarle alla funzione donda in questo modo:

P(~r, t) 0(~r, t) = (~r, t) 1

T(~r, t) 00(~r, t) =C (~r, t) 1dove C C. In questo modo e possibile eseguire inversioni spaziali etemporali mandando soluzioni in soluzioni.

3. Invarianza per riscalamento dei parametri m, ~r, t: E possibile dimostrare

(appendice A) che la trasformazione:

S(~r, t) = 0

(~r, t) =9

2(3~r, 5t) (3.5)

manda soluzioni (~r, t) calcolate per il parametro di massa m, in soluzioni

(~r, t) calcolate per il parametro di massa m0

= m.

Sara conveniente dora in poi considerare m = 1 nei calcoli analitici, per

lasciarci solo alla fine il compito di cambiare la massa tramite il riscalamento.

3.3 Ground state della particella libera:

Riscriviamo la forma indipendente dal tempo della (3.3) usandoU= 2mh2

(Em) e definiamo m= 1:

U(~r)(~r) = 2(~r)

2U(~r) = 8Gh2

|(~r)|2

(3.6)

Eliminiamo il fattore a fronte di |(~r)|2 definendo:

:=8Gh

(~r) := (~r) (3.7)




In questo modo otteniamo ||(~r)||=||(~r)||e possiamo scrivere la (3.6) in

forma piu compatta:

U(~r)(~r) = 2(~r)

2U(~r) = |(~r)|2(3.8)

Trovando la soluzione a questo sistema ci bastera trasformare (~r) in (~r)

e operare loperazione di riscalamento per ottenere il GS per una massa

qualunque.

(~r) =Sm[1

(~r)] =

(8G)32 m

92

h3||||4 (

8Gm3

h2||||2~r) (3.9)

La funzione (~r), autostato a simmetria sferica, soluzione del sistema (3.8),

e stata trovata numericamente da Moroz et al. [4] ed assume, troncandola

al 4 termine del suo sviluppo in serie, la forma:

(r) = 0(1 16r2 + 2

0+1

120 r4 + ...)

0 1.08864(3.10)

Figura 3.1: Profilo della funzione (r)

Fig. 3.1: La funzione(r)trovata numericamente da Moroz et al.




[4] per renderla normalizzabile e stata troncata al punto r = 2.2

dove passa la retta verticale

La soluzione (r) e un polinomio che solitamente non e normalizzabile ma

si puo far tendere a 0 per infinito scegliendo correttamente 0. Qui abbia-

mo troncato il polinomio al termine quarto e quindi usando una soluzione

approssimata siamo costretti anche a troncare la funzione (r) da un certo

r in poi. Dal grafico si vede che un buon taglio puo essere fatto nel minimo

della funzione per r 2.2. Tale tagli ci permette di normalizzare la funzio-ne (r) con la costante di normalizzazione ||||2= R

2.2

0 4r2(r)2dr

26.

Lespressione esplicita del GS (approssimato) dellESN:

(~r) = 4r2(8G)

32 m

92

h3||||4 0(1 1

6(

8Gm3

h2||||2r)2 +

20+ 1

120 (

8Gm3

h2||||2r)4) (3.11)

Come ci si aspettava da considerazioni sullintegrabilita del termine non li-

neare dellequazione, il GS dell ESN non ha densita di probabilita uni-

forme in tutto lo spazio, come invece accade per le onde piane soluzioni

dellequazione di Schrodinger per la particella libera.



Capitolo 4

Evoluzione temporale

4.1 Preparazione:

LESN e nata con lidea di determinare per le funzioni donda una specie

di collasso spontaneo, un comportamento che unisca le evoluzioni U ed R

dellequazione di Schrodinger classica sotto un aspetto piu generale. La

caratteristica piu interessante e che necessita uno studio piu approfondito elevoluzione temporale

Partiremo da un pacchetto donda gaussiano 3D:

(~r, t) = ( 1

a2)34 e

r2

2a2 (4.1)

che possedendo simmetria sferica risulta particolarmente comodo, infatti ci

consentira di operare solo sulla dimensione radiale trasformando il problema

da 3D ad 1D.

La distribuzione di probabilita che ci interessera sara dunque la radiale:

2(r, t) = 4r2|(r, t)|2 (4.2)

Durante lanalisi andremo spesso a cercare il picco di questa distribuzione,

e dunque opportuno notare che il picco inizialmente si trova al puntor= a,

dove a e la larghezza del pacchetto donda e compare nellequazione (4.1).

13



Capitolo 5. Evoluzione temporale 14

Figura 4.1: Distribuzione di probabilita radiale (4.2)

Fig 4.1: Distribuzione di probabilita radiale (4.2) con parametro

a= 0.5: come si vede il picco della distribuzione si trova adr = 0.5

e la funzione e prossima al lo 0 perr >3a

Nel caso dellES un pacchetto gaussiano e soggetto ad una dispersione, cioe al

passare del tempo la larghezza della distribuzione di probabilita del pacchetto

donda in rappresentazione della posizione aumenta.

Infatti a conti fatti, levoluzione temporale tramite lES di un pacchetto

donda gaussiano e:

2(r, t) = 4(a2)3/2

r2

a2qa4+( thm)

2

3e

a2r2

a4+( thm)2

(4.3)

dove il termine t a denominatore, aumentando, abbassa la funzione e quindi

(lES conserva la norma) allarga la distribuzione.

Ci accorgeremo che con l ESN il pacchetto donda gaussiano, dipendente-

mente dalla massa, si allarga, resta stabile o addirittura si restringe.

Per poter trasformare il problema completamente da 3D a 1D dobbiamo

manipolare anche il termine potenziale. Essendo la funzione donda a sim-

metria sferica e dipendendo il potenziale da |(~r1,t)|2

||~r~r1|| , mi aspetto che anche il

potenziale possegga simmetria sferica. Ed in effetti tramite uno sviluppo a

multipolo e susseguente manipolazioni e considerazioni sui polinomi riesco a




riscrivere il termine potenziale:

Z |(~r1, t)|2||~r ~r1||

d3r1

=4

rZ r0

|( ~r1

, t)|2r02dr0+ 4 Zr

|(~r1

, t)|2r0dr0 (4.4)

Semplificazione del potenziale: Per prima cosa sviluppiamo il poten-

ziale in multipolo[5]:

R |(~r1,t)|2||~r~r1|| d

3r1 =

R0

dr0

R

0 d0

R2

0 d0

Pl=0P

lm=0

||2

2l+1

rlminrl+1max

Yml (, )(Yml (

0, 0))r02sin(0)

(4.5)

Con:

rmin =min(r, r0) (4.6a)

rmax = max(r, r0) (4.6b)

Sostituiamo alle armoniche sferiche una loro rappresentazione [8]:

Yml (, ) = (1)m

2l+ 1

4

(l m)!(l+ m)!

12

Pml (cos)eim

Dove Pl() e un polinomio di Legendre. La funzione || e a simmetria sfe-

rica dunque lintegrale (4.5) dipende dallangolo solo nel fattore eim(0)

appartenente al termine Yml Yml (appartenente allo sviluppo di

1||~r~r1||). In-

tegriamo quindi su d0 ed otteniamo 0, essendo gli estremi di integrazione

0 e 2, per tutti gli m, tranne il caso m = 0. Una somma ed un segnodi integrale si sono semplificati. Rimane il termine con m = 0. Operia-

mo una sostituzione di variabile: 0 = cos(0) che trasforma gli estremi di

integrazione per d negli estremi1 e 1 di d0. Lntegrale (4.5) e dunque:

2Xl=0

Z0

dr0Z 11

d0||2rlminrl+1max

Pl()Pl(0)r02 (4.7)




Sostituiamo ai polinomi di Legendre la loro rappresentazione (formula di

Rodriguez):

Pl() = (2l

l! )1 d

l

dl (2

1)n

ed otteniamo:

2

Pl=1 Pl()

R0 dr

0 R11 d

0||2rlminrl+1max

h 12l+1

(dPl+1d0 dPl1

d0 )i

r02d l 6= 02R0

dr0R11 d

0||2 1rmax

P0()P0(0)r02 l= 0

(4.8)

I polinomi di Legendre godono della proprieta Pl(1 ) = (1)n

, dunqueintegrando per l 6= 0 ed applicando il teorema fondamentale del calco-lo,otteniamo 0. Abbiamo semplificato la formula (4.5) fino ad ottenere

soltanto il termine del sistema (4.7) per l = 0. Il polinomio di Legendre

P0() = 1 quindi abbiamo finalmente ottenuto la formula radiale per il po-

tenziale (4.4).

Posso quindi riscrivere lESN per (r, t) radiale:

ihtr(r, t)

= h2

2m2r(r, t)

Gm2

4

r

Z r0

|(r0, t)|2r02dr0+ 4

Zr

|(r0, t)|2r0dr0

r(~r, t)

(4.9)

operando il passaggio alla funzione (r, t) =r(r, t) definisco gia quella che

poi sara la funzione di distribuzione radiale e rendo il tutto piu leggibile :

iht(r, t) = h2

2m2(r, t)

Gm2

4

r

Z r0

|(r, t)|2dr0+ 4

Zr

|(r, t)|2

r0dr0

(r, t)

(4.10)

Questa e lequazione della quale ci occuperemo.

Lanalisi dellevoluzione sara svolta tramite metodi numerici implementati

al computer e tali metodi richiedono un tempo macchina elevato. Siamo




particolarmente interessati a trovare quale sia il parametro di massa per il

quale lESN determina un comportamento del pacchetto donda nettamente

differente di quello dellES ed a studiare questo comportamento differente.E quindi assolutamente sconveniente ricercare tale parametro tramite tali

metodi numerici, abbiamo quindi diviso lanalisi in due parti: prima tramite

approssimazioni analitiche calcoleremo quali sono i parametri di massa che

ci interessano (sezione evoluzione temporale per tempi piccoli), una volta

individuati procederemo al calcolo numerico dellevoluzione temporale del

pacchetto solo per queste precise masse (sezione evoluzione temporale per

tempi grandi).

4.2 Evoluzione per tempi piccoli

Per calcolare levoluzione temporale a tempi brevi della distribuzione di pro-

babilita radiale utilizzeremo lapprossimazione allordine piu basso diverso

da 0 dello sviluppo in serie rispetto al t, partendo da t = 0 [3]. Al tempo

t= 0 sappiamo che:

0(r) :=(r, 0) = r

(a2)34

e r2

2a2 (4.11)

Per trovare il primo termine utile dello sviluppo in serie calcoliamont|(r, t)|2t=0

partendo da n= 1 e proseguendo fino ad ottenere un nt|(r, t)|2t=06= 0.

Riscriviamo la formula (4.10) in forma piu compatta:

t(r, t) =

ih2m2(r, t) imh (r, t)(r, t)

(r, t) = Gm4r

Rr0|(r, t)|2dr0+ 4

Rr

|(r,t)|2

r0 dr0

(4.12)

E facilmente verificabile che t|(r, t)|2t=0= 0 (basta moltiplicare la prima

equazione del sistema (4.12) per la sua complessa coniugata).




Procediamo al calcolo di 2t|(r, t)|2t=0.

2t

=

h2

4m24r

+1

2(2

r)+ (

r)(

r) + (2

r)

m2

h2

2

im

h (

t)

(4.13)

2t = h

2

4m24r

+1

2(2r)

+ (r)(r) + (2r

) m2

h2

2+im

h (t)

(4.14)

Le moltiplichiamo ed otteniamo:

(4.15)2t||2 = h

2

4m2[(4r)

2(2r)(2r) +(4r)]+ (2r)||

2 + (2r)((r) +(r

))

Per semplificare la lettura introduciamo delle nuove costanti:

= (a2)32 =a1

1 = 41

2 G 2 = 2G 3 = h2

2

Il cambio di variabile %= r, e le nuove funzioni:

(r, t) = 11 m1(r, t) (4.16)A(%) = 1

((2r )

20+ 2(r)(r0)0) (4.17)

B(%) = h2

2(0(

2r0) (2r0)2) (4.18)

Nelle funzioniA(%) eB(%) sono presenti derivate parziali rispetto adr, abbia-

mo operato il cambio di variabile r %, trasformiamole dunque in derivateparziali rispetto a% e calcoliamole se applicate al potenziale (r, 0) che dalla

forma (4.12) e passato a:

(r, 0) = 1

%

Z %0

%02e%02

d%0+

Z%

%0e%02

d%0=

4

erf(%)

% . (4.19)




Le derivate sono quindi:

1

r(r, 0) =

%(r, 0) =

1

2%e%

2

4

erf(%

%2 (4.20)

1

22r (r, 0) =

2%(r, 0) =

2

erf(%)

%3 (1 + 1

%2)e%

2

(4.21)

Le funzioni A(%) e B(%) assumono finalmente la forma esplicita:

A(%) = 21%2e2%

2 2%e%2erf(%) (4.22a)B(%) =3%

2(2%2 3)e%2 (4.22b)

Figura 4.2: A(%) Figura 4.3: B(%)

Fig. 4.2, Fig. 4.3: Le due funzioni A e B. Si nota che la funzione

A ha comportamento attrattivo, la funzione B ha comportamento

repulsivo

Doveerf(%) = 2

R%0 e

x2dx.

Fatto cio la (4.15) diventa:

2

t||2

t=0=mA(%) + 1

m2 B(%) (4.23)

il primo termine utile dello sviluppo. Possiamo finalmente scrivere la prima

parte dello sviluppo in serie di |(%, t)|2:

|(%, t)|2=20+ t2

2(mA(%) + 1

m2B(%)) + O(t3) (4.24)




Questa e una soluzione approssimata e quindi vale solo per piccoli intorni

di t= 0. Dai grafici vediamo che A(%) e la componente attrattiva dellevo-

luzione, mentre B(%) e quella repulsiva. Al crescere della massa il termineA(%) aumenta linearmente il suo contributo, mentre il termine B(%) diminui-

sce quadraticamente il suo contributo. In pieno accordo con le previsioni di

Penrose, per grandi masse il pacchetto donda gaussiano non subisce alcuna

dispersione ma anzi si restringe. Puo restringersi fino a diventare perfetta-

mente localizzato in un punto? Se cos fosse, per il principio di indetermi-

nazione di Heisenberg, la distribuzione di probabilita del pacchetto donda

in rappresentazione del momento dovrebbe allargarsi indefinitamente. Nelprossimo paragrafo vedremo, con una simulazione dellevoluzione tempora-

le per tempi lunghi, che il pacchetto Gaussiano mantiene sempre una certa

larghezza minima. Sarebbe bello pero trovare levoluzione temporale del mo-

mento della particella.

Soffermiamoci ora, pero, su cio che abbiamo appena calcolato e vediamo di

analizzare il comportamento per masse differenti. Cerchiamo, in particolare,

quale la massa limite sopra la quale aspettarci un comportamento attrattivo

tra le varie parti del pacchetto.

Mettiamoci innanzitutto in un contesto piu reale, diamo delle grandezze al

pacchetto donda.

Come detto ad inizio capitolo, la variabile a e la posizione del picco di pro-

babilita radiale al tempo 0 rispetto al centro della simmetria sferica, ma e

anche una misura della larghezza della funzione donda (12). Quale larghezza

diamo allonda che stiamo considerando? Tenendo a mente di voler speri-

mentare in laboratorio i risultati ottenuti analiticamente da questa equazio-

ne scegliamo una larghezza a= 0.5mche e la tipica grandezza usata negli

esperimenti in laboratorio. Piu avanti daremo un idea di come creare un

esperimento di verifica in laboratorio.

a= 0.5m




Con questa larghezza abbiamo che A(%) assume valori dellordine massimo

di 1020, mentre B(%) assume valori dellordine massimo di 1010. (fig. 4.2,

fig. 4.3)Quindi affinche il termine A(%) prevalga su B(%) dovremo avere un massa

m 1010u. E plottata di seguito la funzione (mA(%) + 1m2

B(%)) per valori

m [109u, 1011u].

Figura 4.4: m= 1109u Figura 4.5: m= 5109u

Figura 4.6: m= 7109u Figura 4.7: m= 9109u

Figure 4.4, 4.5, 4.6, 4.7: grafico di (mA(%) + 1m2 B(%)) per varie

masse. Le lunghezze sono sempre segnate inm ea= 0.5m

E evidente che il cambio di tendenza da dispersivo ad attrattivo avviene per

masse attorno a 6109u.

Abbiamo trovato il valore del parametro di massa attorno al quale concen-

trare lanalisi numerica.




4.3 Evoluzione per tempi lunghi

Loperazione fondamentale per qualsiasi valutazione numerica e la discretiz-

zazione del problema. Dividiamo lo spazio ed il tempo in una griglia di passo

tper la dimensione temporale e r per la dimensione radiale

Levoluzione temporale della funzione donda e descritta dalloperatore (r, t) =

ei Hth (r, 0), che banalmente discretizzato diventa:

(jr, nt) =ei Hnt

h (jr, 0) (4.25)

Con n, j gli indici della posizione sulla griglia rispettivamente lungo las-

se del tempo e dello spazio. Segue banalmente che indicando con nj =

(jr, nt) vale la seguente identita:

ei Ht2h

n+1j =e

i Ht2h

nj (4.26)

Sviluppiamo i due esponenziali in serie di Taylor otteniamo fermandoci al

primo ordine:

1+

iHt

2h

!

n+1j =

1 i

Ht

2h

!

nj (4.27)

portando a destra:

n+1j =

1 iHt2h

1+ iHt2h

nj = U(t)

nj (4.28)

Questa e chiamata Rappresentazione di Cayley ed e molto conveniente es-

sendo U(t) uno sviluppo al secondo ordine nel tempo delloperatore di

evoluzione temporale e preservando lunitarieta dello stesso.




Vediamo di scriverlo in una forma piu semplice da dare al computer:

n+1j = 1+ iHt

2h 1 1

iHt

2h nj =

=

21+ i

Ht2h

1 1

nj =

=

Q1 1

nj =

= Q1nj nj =

=nj nj

(4.29)

Dove evidentemente Q1 = 21+ i

Ht2h

1e nj = Q

1nj .

Conoscendo Q quindi ci bastera risolvere nj = Q1nj per trovare

nj e sot-

trarci nj per ottenere n+1j =

nj nj .

La forma discretizzata che otteniamo dellESN e quella utilizzata dal Metodo

di Crank-Nicolson. Questo metodo fortunatamente e stabile e non richiede

nessuna condizione particolare sui parametri t e r della griglia affinche

le soluzioni convergano. Cio ci facilita di molto limplementazione al com-

puter.

Ci resta quindi solo da calcolare Q. Per fare questo serve un paragrafo a

parte.

Calcolo della matrice Q Nella matrice Qappare tutta lHamiltoniana.

Calcolare Q quindi significa discretizzare lHamiltoniana nel suo termine

cinetico e in quello potenziale. Ricordiamo che per passare ad un problema

unidimensionale abbiamo usato un sistema di riferimento polare, ci troviamo

quindi a dover discretizzare la parte radiale del Laplaciano che sappiamo

essere [5]1

r2r(r

2r) =2r +

2

rr. (4.30)




Con una rappresentazione alle differenze finite le derivate parziali sono facil-

mente discretizzabili, ma a creare qualche problema e la r al denominatore

quando si va a derivare nellorigine (1r e r 0, e un caso 0). Per

risolverlo sviluppiamo la derivata parziale rispetto ad r in serie di Taylor e

facciamo il limite per r 0.

limr0

2

rr = lim

r02

r

r0|r0=0+r

2r0|r0=0 +

r2

23r0|r0=0+...) = 2

2r (4.31)

Dunque nello 0 il laplaciano radiale da discretizzare sara (ricordando lequa-

zione 4.30): 32r .

Procediamo:

Q= 12

1+ it

H2h

=

= 12

1+ it2h

h22m2 + V

=

=

121+ it2hVnj it4m 1r2 r(r2r) r 6= 0

12

1+ it

2hVnj 3iht4m 2r r= 0

(4.32)

A questo punto come noto dal metodo delle differenze finite possiamo ap-

prossimare le derivate prime e seconde che appariranno in Qnj come:

rnj =

j+1n nj12

r

2r nj =

nj+1 2nj +nj1

r2

E discretizzo molto semplicemente il potenziale nella forma (17):

nj = 4Gmr2

"1

j

j1Xi=0

|ni|2i2 +

N1Xi=j

|ni|2i

#




Ottengo dopo dei semplici calcoli una Q di forma tridiagonale:

Q=

b0 c0 0 0

a1 b1 c1 0

0 a2 b2 c2 ...

. . . ...

0 aN1 bN1

(4.33)

Con:

a0=non compare aj =j1j

(0< j

N

1)

b0 = 12 6 0 bj = 12 2 j (0< j N 1)

c0= 6 cj =j+1j

(0< j N 1)

= iht8mr2

= imt4h

(4.34)

Ora che abbiamo calcolato Q passiamo allalgoritmo per calcolare levoluzio-

ne temporale.

(a) Discretizzare la funzione donda (4.1) restringendone il dominio (la fun-

zione ha simmetria sferica e abbiamo sfruttato cio passando alle coordi-

nate sferiche, la parte che ci interessa e la parte radiale, dunque prendia-

mo un dominio [0, ] individuato da ) e prendendo su questo dominio

ristretto Nvalori da salvare nel vettore 0j .

(b) Creare la matrice Q

(c) Risolvere il sistema linearenj =Q1nj per trovare

nj

(d) Ottenere n+1j =nj nj

(e) Ripartire dal punto 2 per tante volte fino a raggiungere il passo J tale

cheJt e il tempo per il quale si vuole avere levoluzione.




Ora che abbiamo la linea teorica da seguire, passiamo a qualcosa di piu pra-

tico.

Come scegliere le quantita r,N, ,t?

: I fattori che ci guidano nella scelta di sono due: il primo ci por-

ta a sceglierla piu grande possibile volendo includere nellintervallo di

discretizzazzione della funzione donda la maggior parte dellintegrale

della distribuzione di probabilita (dalla figura 4.1 notiamo che la quasi

totalita della probabilita e compresa tra r = 0 ed r = 3a), il secondo

che ci porta a sceglierla piu piccola possibile avendo utilizzato come

metodo di integrazione del potenziale il metodo dei rettangoli che ha

un errore r2. Abbiamo raggiunto un compromesso fissando:

= 2.5a (4.35)

Ne r: Fissatole grandezzeNe rsono legate dalla formula r=

Nper rendere il programma piu preciso possibile

r deve essere il piupiccolo possibile cos da rendere literpolazione della funzione donda,

come la risoluzione dellequazione differenziale, piu precisa (ed anche,

come si vede dalla formula nelle considerazioni su, minimizzare lerrore

sul calcolo dellintegrale del potenziale). Ma rendere piu piccolo r

significa aumentare N, il numero dei campionamenti nellintervallo e

la dimensione della matrice Q(dim(Q) =N). Aumentare la dimensione

di Q significa aumentare il numero di equazioni nel sistema (4.29) e

dunque rallentare il programma. Nel programma e fissato:

N= 500 (4.36)

Con il quale e stato raggiunto un compromesso tra precisione e velocita.

Il programma e scritto in Wolfram Mathematicae il sistema e risolto

con la funzione LinearSolve[] che implementa al suo interno routine




specifiche per risolvere sistemi con matrici tridiagonali come quello che

stiamo prendendo in considerazione.

t : Oltre a determinare il numero di iterazioni necessarie per rag-

giungere un certo tempo di simulazione, questo parametro determina la

seghettatura dei grafici di evoluzione temporale del picco di probabilita.

A seconda della rapidita di variazione differente per le varie masse e sta-

to utilizzato un parametro t differente che poteva variare da t= 1

a t= 50.

Abbiamo svolto 7 simulazioni. Stabilendo che la massa critica per la

quale levoluzione temporale della distribuzione di probabilita passa dadispersiva ad attrattiva am= 6.5109u, i valori di masse utilizzati sono:

m= 25 107u, m = 8 108u, m= 5 109u, m= 6.5 109u, m= 8 109u,

m= 15109u, m= 50109u.

4.3.1 Sotto la massa critica:

In figura 4.8 e figura 4.9 e rappresentato landamento del picco di distri-

buzione di probababilita radiale nel tempo. Lintervallo temporale usato e

t = 10s per entrambi i grafici quindi la scala temporale sullascisse e di

10s. In ordinata e rappresentata la distanza del picco dal centro della distri-

buzione, usando inm come unita di misura. Per entrambi i casi vediamo che

inizialmente la distribuzione si allarga come nel caso dellES, poi si instaura

in entrambi, ma con periodicita inversamente proporzionale alla massa, un

andamento periodico. E un comportamento inaspettato ma facilmente giu-

stificale ricordando i parametri di discretizzazione. Infatti la funzione donda

viene sempre discretizzata nellintervallo spaziale [0, ], e procedendo il picco

sempre piu a destra, porta con se fuori dallintervallo gran parte dellinte-

grale della distribuzione di probabilita ed inserisce nellevoluzione successiva

una grande imprecisione. In figura 4.8 si vede che attorno al tempo 15500s

(1550 sullasse x) il picco sembra tornare indietro nel tempo (da cui la forma

simmetrica di ogni periodo. Questo perche al tempo 15500 la forma della

distribuzione di probabilita e quella in figura 4.11 (in blu il profilo iniziale,




Figura 4.8: m = 0.25109u

Figura 4.9: m = 0.8 109u

Figura 4.10: m= 5109u

Fig. 4.8, Fig. 4.9, Fig. 4.10: Andamento radiale della posizione

del picco della distribuzione di probabilita per tre valori di massa

sotto la massa critica

in rosso il profilo al tempo 15500s, in giallo la differenza tra le due curve)

e come visto dall equazione (4.28) lalgoritmo che usiamo per far evolvere il

sistema deriva da un operatore unitario.

Come per lequazione di Schrodinger classica piu piccola e la massa piu

rapidamente la distribuzione di probabilita si allarga. Vediamo quindi di

analizzare un caso in cui la massa non e troppo distante dalla massa criti-

ca. In figura 4.10 e riportato landamento del picco della distribuzione, in

figura 4.12 sono riportati i profili della distribuzione di probabilit a radiale al

tempo iniziale (profilo blu), dopo 60000s (profilorosso) e la loro differenza

(profilo giallo). Lintervallo di tempo tutilizzato e sempre di 10se si vede

chiaramente che con lESN il picco si muove molto piu lentamente infatti in




soli 1500s lES allarga la distribuzione di piu di quanto non lo faccia lESN

in 60000s.

La differenza tra le due distribuzioni (in giallo in figura 4.12) denota comelevoluzione approssimativa per tempi piccoli calcolata nella sezione 4.2 si

modifica per mantenere lintegrale della probabilita costante.

Figura 4.11: m= 0.25109u Figura 4.12: m= 5109u

Fig. 4.11, Fig. 4.12: Profili delle distribuzioni radiali di probabi-

lita per due masse differenti. In blu su ogni grafico e rappresentato

il profilo di partenza, in rosso il profilo dopo 15500s per la 4.11 e

dopo 60000s per la 4.12, in giallo e rappresentata la differenza tra

il profilo blu e rosso. Si confronti il profilo giallo con quello delle

figure 4.4, 4.5, 4.6, 4.7 per notare il contributo dei termini piu alti

allo sviluppo in serie della soluzione.

4.3.2 Sopra la massa critica:

Figura 4.13: m= 6.5109u Figura 4.14: m= 8109u




Figura 4.15: m = 15 109u

Figura 4.16: m = 50 109u

Fig. 4.13, Fig. 4.14, Fig. 4.15, Fig. 4.16:Andamento radiale della

posizione del picco della distribuzione di probabilita per 4 valori di

massa sopra la massa critica

Per prima cosa vediamo (fig. 4.13) il comportamento per la massa di 6.5109u

che abbiamo definito critica, cioe quella per la quale ci aspettiamo un bi-

lanciamento tra collasso dovuto al potenziale gravitazionale e allargamento

dovuto allES. Come si vede dal grafico questa non e esattamente la massa

critica in quanto il picco non rimane costante nella stessa posizione. La di-stribuzione subisce inizialmente un restringimento per poi allargarsi ancora

un po, restringersi ed allargarsi in un comportamento che poi prosuguira

quasi periodico.Vediamo quindi il primo esempio di distribuzione di proba-

bilita che si restringe.

Aumentiamo ancora la massa fino a 8 109u e 15 109u per vedere questo

comportamento ancora piu marcato ed otteniamo i casi di fig. 4.14 e fig.

4.15. Qui lintervallo di tempo usato e sempret

= 10s

, in un caso levo-luzione e calcolata fino 100000s nellaltro e bastato arrivare a 30000s. In

entrambi i casi si osserva il comportamento oscillante accennato in fig. 4.13.

Notiamo che il raggio minimo per il picco di probabilita e inversamente pro-

porzionale alla massa (da questi tre grafici il fit migliore per landamento

raggio-minimo.vs.massa e un iperbole).

Dalla figura4.15 inoltre risulta che lo stato iniziale e molto instabile per

grandi masse, le oscillazioni sono molto piu piccole e veloci. Masse grandi




sono molto piu localizzate. Infatti la forma della distribuzione di probabilita

radiale al crescere della massa cambia molto. Si passa da un picco di pro-

babilita ad una certa distanza dal centro della distribuzione ad una serie dicreste sempre piu basse a partire dal centro.

Come si vede nella figura a 4.17, in blu e rappresentata la distribuzione di

probabilita radiale iniziale, mentre in rosso e rappresentata la distribuzione di

probabilita dopo 30000s. Sono presenti due creste principali: quella molto

alta vicino al centro della distribuzione si sposta oscillando a destra e a

sinistra di poco; laltra piu bassa allesterno oscilla di piu.

In figura 4.16 e rappresentata lultima evoluzione calcolata, quella con massa

m= 50109u. Lintervallo temporale usato e t= 5s quindi la scala sulle

ascisse e di 5s. Come ci aspettavamo le oscillazioni della distribuzione di

probabilita sono molto piccole e rapidissime. La precisione richiesta per una

buona simulazione e piu elevata di quella che abbiamo usato, infatti vediamo

intorno ai 6000sun comportamento nettamente discontinuo ed il raggio del

picco a volte tocca lo 0. Affinche il picco sia a 0 dovremmo avere che la

larghezza della distribuzione sia 0, il che la trasformerebbe in una , il che

e impossibile. Nonostante gli errori questultimo grafico insieme a quello di

fig. 4.18 conferma le osservazioni fatte per le fig. 4.14, fig. 4.15.

Figura 4.17: m = 15 109u

Figura 4.18: m = 50 109u

Fig. 4.17, Fig. 4.18: Profili delle distribuzioni radiali di proba-

bilita per due masse differenti. Nella 4.17 in blu e rappresentato

il profilo di partenza, in rosso il profilo dopo 30000s, in giallo la




differenza tra il profilo blu e rosso. Nella 4.18 in blu e rappresen-

tato il profilo dopo 7000s, in rosso la differenza tra questo e quello

iniziale (non rappresentato)

4.3.3 Confronto tra ES ed ESN:

Figura 4.19: Tempo richiesto affinche levoluzione temporale dellESNdifferisca del1%, 10%, 50%dallES [3]



Capitolo 5

Conclusioni

5.1 Difficolta trovate

Nellanalisi appena effettuata siamo stati costretti a restringere il campo

di indagine ad un caso particolarissimo: una funzione donda a simmetria

sferica centrata sullorigine. Certamente questi risultati illustrano bene le

proprieta fenomenologiche dellESN, e in parte sono adeguati alle specula-zioni di Penrose. Diciamo in parte perche, per affrontare nella sua interezza

lipotesi di Penrose, avremmo dovuto calcolare levoluzione temporale tra-

mite ESN di una sovrapposizione di pacchetti donda. E chiaro che in uno

scenario del genere, mancante di simmetria sferica, gran parte delle sem-

plificazioni da noi eseguite non possono piu essere utilizzate. Ad esempio lo

sviluppo in multipolo del potenziale, seppur possibile, non porterebbe ad una

semplice equazione radiale e saremmo costretti ad operare con un problema

tridimensionale.

5.2 Conclusioni

Nonostante la nostra elaborazione si riferisca ad un caso molto particolare

(come detto nella sezione 5.1), e in grado comunque di fornire qualche predi-

zione sperimentale. Siamo riusciti infatti a quantificare la massa ed il tempo

33



Capitolo 6. Conclusioni 34

necessari affinche un pacchetto donda si restringa e questo restringimento e

misurabile in laboratorio tramite esperimenti di diffrazione da fenditure.

Costruendo un apparato sperimentale in grado di ottenere una figura di dif-frazione da un flusso di particelle preparate nello stato iniziale (4.1), possia-

mo essere in grado con il passare del tempo (e quindi con il restringimento

della funzione donda) di osservare una soppressione della figura di inter-

ferenza. Infatti diminuendo la larghezza delle particelle, le fenditure nella

griglia risultano piu grandi delle particelle.

Un tale esperimento seppur in linea teorica e eseguibile, presenta delle note-

voli diffi

colta pratiche.Innanzitutto per ottenere una figura di interferenza e necessario che la lar-

ghezza delle fenditure o dei buchi nella grata sia paragonabile a quella della

lunghezza donda di deBroglie della particella che vogliamo far diffrarre. La

lunghezza donda di deBroglie e inversamente proporzionale alla massa, dun-

que piu grande e la massa piu e difficile fabbricare la grata adatta. Fino ad

ora la particella piu pesante che si e riusciti a far diffrarre e una macro-

molecola con m

10000 (con una spaziatura far le grate di 0.5m) ben

piu piccola della massa a noi necessaria. I fisici sperimentali affermano che

potrebbe essere possibile arrivare a breve a diffrarre molecole fino a 106u,

ed inoltre in tutta lanalisi abbiamo sempre mantenuto la larghezza della

distribuzione a= 0.5m.

Questo quindi non sembra un problema insormontabile.

Come seconda sfida nella costruzione dellesperimento ce il lungo tempo di

attesa prima che gli effetti dovuti allESN siano distinguibili da quelli dellES

(fig. 4.19). Ma i pacchetti donda subiscono inevitabilmente una decoerenza

al passare del tempo, e mantenerli coerenti e difficile. Grossardt et al. [4]

suggeriscono di usare la proprieta di riscalamento dellappendice A e quindi

facendo riferimento ai parametri (A.4) potremmo incrementare la massa di

un parametro e diminuire la larghezza di un fattore 3, in questo modo

la scala del tempo sarebbe riscalata per un fattore di 5. Per il primo pro-

blema dunque vorremmo cercare di mantenere la massa delle particelle piu



Capitolo 6. Conclusioni 35

bassa possibile per rendere piu facile la costruzione della grata e questo im-

plica mantenere coerente i pacchetti per piu tempo, per il secondo problema

vorremmo aumentare la massa della particella il piu possibile per diminuireil tempo durante il quale e necessario mantenere la coerenza e questo implica

maggiori difficolta per la costruzione dellapparato di diffrazione.

E necessario trovare un giusto compromesso.



Appendice A

Riscalamento della soluzione

dellESN

Prendiamo S tale che

0

(~r, t) =S =c(b~r, at) (A.1)

Inseriamo la 0

(~r, t) cos ottenuta nellequazione (3.1) e riscaliamo per una

certa massa m, esplicitando per (~r, t) otteniamo per i vari termini:

iht0

(~r, t) =ihtS =aS

Il laplaciano agisce come una derivata su r dunque:

h2

2m2

0

(~r, t) = (m

m

)(

h2

2m2S(~r, t)) =

= (m

2b

m )( h

2

2mS2(~r, t))

Nella parte potenziale 0

compare 2 volte:

Gm2Z

|0

( ~r1, t)|2

||~r ~r1|| d~r0

(~r, t) = (m2

m2)Gm2

Z |S(~r1, t)|

2

||~r ~r1|| d~rS(~r, t) =

= (m2b

m2)Gm2S(Z

|(~r1, t)|2

||~r

~r1||d~r(~r, t))

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Appendice A. Riscalamento della soluzione dellESN 37

Dunque lequazione per 0

(~r, t) risulta equivalente a quella per (~r, t) solo

se i coefficienti di ognuno dei 3 termini dellequazione sono uguali, cioe se:

a = (m

2b

m ) = (

m2b

m2) = (A.2)

Tale condizione e soddisfatta se:

m

m =

b3 =

a5 (A.3)

Otteniamo una relazione che legaa e b ma per descrivere completamente S,

ci manca da conoscerec. Dobbiamo imporre unaltra condizione: imponiamo

che la trasformazione S preservi la norma:

||0

(~r, t)||=||S(~r, t)||=2c||S(~r, t)||=

c||(b~r, at)||=||(~r, t)||

E sapendo che per fare la norma integriamo su un volume, otteniamo che

deve essere 2c + 3b= 0, cioe c= 3b2.Ora sappiamo tutto quello che ci serve, prendendo ad esempio il caso in

cui mm

= (che e quello che effettivamente utilizziamo ponendo m = 1)

abbiamo che i parametri di S sono

a= 5 b= 3 c= 92 (A.4)

Siamo ora in grado, conoscendo una soluzione dellequazione (3.1) per la

massa m, di passare ad una soluzione per la massa m.



Bibliografia[1] http://www.univie.ac.at/qfp/research/matterwave/c60/

[2] http://www.google.com/doodles/erwin-schrodingers-126th-birthday

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Tesi Jacopo Surace Analisi equazione di schrodinger newton

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