LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE - ianne.altervista.org parabola e la sua equazione.pdf · •La...
15
LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE Prof. Giovanni Ianne PDF Compressor Pro
Transcript of LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE - ianne.altervista.org parabola e la sua equazione.pdf · •La...
LA PARABOLA
E LA SUA EQUAZIONE
Prof. Giovanni Ianne
PDF Compressor Pro
Prof Giovanni Ianne
CHE COS’È LA PARABOLA
DEFINIZIONE
Parabola
Scegliamo sul piano un punto Fe una retta d.
Possiamo tracciare sul piano i punti equidistanti da F e da d.
Il luogo geometrico di questi punti è detto parabola.
Il punto F e la retta d sono detti, rispettivamente, fuoco e direttrice della parabola.La retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice si chiamaasse della parabola.Il punto in cui la parabola interseca il suo asse è detto vertice dellaparabola.
PDF Compressor Pro
L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE COINCIDENTE CON L’ ASSE y E VERTICE NELL’ ORIGINE DEGLI ASSI
Prof Giovanni Ianne
Fissiamo il fuoco nel punto F(0; f) e la direttrice nella retta d di equazione y = – f .Un punto generico P(x; y) è equidistante da F e da d se
f
2
cioè:.
Da cui ,
, .
Eq. della parabola con vertice nell’origine e asse verticale: y = ax2 .
Equazione della direttrice: .Coordinate del fuoco: .
PDF Compressor Pro
Prof Giovanni Ianne
ESEMPIO
Rappresentiamo nel piano cartesiano la parabola di equazione:
0 0
–1 3
1 3
–2 12
2 12
x y
Inoltre: ,
fuoco ,
eq. della direttrice .
y = 3x2 .
PDF Compressor Pro
IL SEGNO DI a E LA CONCAVITÀ DELLA PARABOLA
Prof Giovanni Ianne
a > 0
y = ax2 è positiva,la distanza focale è f > 0 ,F ha ordinata positiva.
a < 0
y = ax2 è negativa,la distanza focale è f < 0 ,F ha ordinata negativa.
Concavità rivolta verso l’alto. Concavità rivolta verso il basso.
PDF Compressor Pro
Prof Giovanni Ianne
IL VALORE DI a E L’APERTURA DELLA PARABOLA
a = a = a = 2
Per a > 0 , all’aumentare di a diminuisce l’apertura della parabola.
PDF Compressor Pro
L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE y
Prof Giovanni ianne
La trasformazione
trasla i punti del piano.
Sotto questa trasformazione, la parabola di equazione y = ax2
diventa: y – yV = a(x – xV)2 .
In particolare, le coordinate del vertice diventano: V(xV; yV).
Possiamo riscrivere l’equazione della parabola come y = ax2 + bx + c .
Ascissa del vertice: ; ordinata del vertice: .
PDF Compressor Pro
RITORNA
otteniamoy = ax2 + bx + c .
o y = ax2 – 2axv x + (axv2 + yv) .
cioèy – yv = ax2 – 2axxv + axv
2
L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE y
Prof Giovanni ianne
Equazione generica della parabola con asse parallelo all’asse y
La parabola con vertice V(xv; yv) ha equazione
y – yv = a(x – xv)2 ,
Ponendob = – 2axv ,
c = axv2 + yv ,
,
cioè .
Per le coordinate di V(xv; yv) vale:
PDF Compressor Pro
REGOLA
L’asse di simmetria ha equazione: ,
L’EQUAZIONE y = ax2 + bx + c
Prof Giovanni Ianne
TEOREMA
A ogni parabola con asse parallelo all’asse y corrisponde un’equazione del tipo y = ax2 + bx + c ,
con a ≠ 0, e viceversa.
il vertice è il punto: ,
il fuoco è il punto: ,
la direttrice ha equazione: .a
y4
1
PDF Compressor Pro
Prof Giovanni Ianne
b = 0
L’equazione diventa:y = ax2 + c .
c = 0
L’equazione diventa:y = ax2 + bx .
b = 0, c = 0
L’equazione diventa:y = ax2 .
La parabola ha vertice V(0; c) e il suo asse di simmetria è l’asse y.
La parabola passa per l’origine O.
La parabola ha il vertice nell’origine O.
ALCUNI CASI PARTICOLARI
PDF Compressor Pro
INTERSEZIONI DI UNA PARABOLA CON UNA RETTA (NON PARALLELA ALL’ ASSE y)
Risolvendo il sistema formato dall’ equazione della parabola e dall’ equazione della retta
si ottiene l’ equazione risolvente di secondo gradole cui soluzioni sono le ascisse dei punti di intersezione della parabola con laretta.Se , la retta è secante la parabola in due punti.Se , la retta è tangente alla parabola in un punto.Se , la retta è esterna alla parabola.
qmxycbxaxy 2
02 qcxmbax
000
Prof Giovanni Ianne
PDF Compressor Pro
RETTE TANGENTI A UNA PARABOLA
Se un punto P è esterno alla parabola: si possono tracciare due rette tangenti.Se un punto P è sulla parabola: una sola retta tangente.Se un punto P è interno alla parabola: non è possibile tracciare rette tangenti,ossia non esistono rette tangenti.
Risolvendo il sistema formato dall’ equazione della parabola e dall’ equazione delfascio proprio di rette passanti per
si ottiene l’ equazione risolvente di secondo grado Si pone la condizione di tangenza, ossia . Si risolve rispetto a l’equazione ottenuta e si sostituiscono nell’ equazione del fascio gli eventuali valorideterminati.
00; yxP
00
2
xxmyycbxaxy
0002 ymxcxmbax
0 m
Prof Giovanni Ianne
PDF Compressor Pro
ALCUNE CONDIZIONI PER DETERMINARE L’ EQUAZIONE DI UNA PARABOLAparabola
• Note le coordinate del vertice e del fuoco• Note le coordinate del vertice (o del fuoco) e l’ equazione della direttrice• La parabola passa per tre punti non allineati• La parabola passa per due punti e si conosce l’ equazione dell’ asse• La parabola passa per un punto e sono note le coordinate del vertice (o del
fuoco)• La parabola passa per un punto e sono note le equazioni dell’ asse e della
direttrice• La parabola è tangente a una retta data e passa per due punti
Prof Giovanni Ianne
PDF Compressor Pro
ESERCIZI: L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE y
Prof Giovanni Ianne
PDF Compressor Pro
ESERCIZI: L’EQUAZIONE y = ax2 + bx + c
Prof Giovanni Ianne
PDF Compressor Pro
