PARABOLA COME LUOGO GEOMETRICO - MATHMIX · Prof. I. Savoia PARABOLA Bologna, maggio 2012 P. 1...

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Bologna,Bologna,Bologna,Bologna, maggiomaggiomaggiomaggio 2012201220122012 P. 1

PARABOLA COME LUOGO GEOMETRICO

La parabola è il luogo dei punti del piano, e solo essi, equidistanti da un punto Fdetto fuoco e da una retta detta direttrice.

Per comodità di rappresentazione scegliamo l'origine O equidistante dal fuocoF(0; k) posto lungo l'asse Y e dalla retta direttrice di equazione y=-k , parallelaall'asse X. La distanza fra un qualsiasi punto P(x; y) e la retta direttrice vale

(((( )))) kkkkyyyykkkkyyyyPHPHPHPH ++++====−−−−−−−−==== mentre la distanza fra lo stesso punto P ed il fuoco F si

calcola con la formula della distanza fra due punti:

(((( )))) (((( )))) 22222222222222222222 22220000 kkkkkykykykyyyyyxxxxkkkkyyyyxxxxPFPFPFPF ++++−−−−++++====−−−−++++−−−−==== . In base alla definizione si ha la

relazione PHPHPHPHPFPFPFPF ==== o, equivalentemente,22222222 PHPHPHPHPFPFPFPF ==== . Pertanto sostituendo le

espressioni abbiamo: 2222222222222222 2222 kkkkyyyykkkkyyyyxxxxkkkkyyyy +⋅−+=+ ; sviluppiamo ora il quadrato

al secondo membro : 22222222222222222222 22222222 kkkkyyyykkkkyyyyxxxxkkkkyyyykkkkyyyy +⋅−+=+⋅+ quindi

semplifichiamo e isoliamo la lettera y al primo membro:22222222 444422222222 xxxxyyyykkkkxxxxyyyykkkkyyyykkkk =⋅⇒=⋅+⋅ e infine : 2222

44441111 xxxxkkkk

yyyy ⋅= .Se poniamokkkk

aaaa44441111

=

l'equazione della parabola diventa: 2222xxxxaaaayyyy ⋅⋅⋅⋅==== .

La figura illustra il grafico della parabola per 0000>>>>aaaa (fuoco sopra l'origine).

xxxx

yyyy

FFFF

HHHHy=-ky=-ky=-ky=-k0000

P(x; y)P(x; y)P(x; y)P(x; y)



PARABOLA COME FUNZIONE:

L'equazione 2222xxxxaaaayyyy ⋅⋅⋅⋅==== , con {{{{ }}}}0000\\\\RRRRaaaa∈∈∈∈ , corrisponde alla funzione parabola

descritta da una curva simmetrica rispetto all'asse verticale, al variare dei valoridella variabile xxxx con ∈∈∈∈xxxx R. La curva, che passa sempre per l'origine degli assi,per 0000>>>>aaaa si trova sopra l'asse X e rivolge la sua concavità verso l'alto mentreper 0000<<<<aaaa si colloca sotto l'asse X e rivolge la sua concavità verso il basso. Iltermine aaaa è detto "apertura della parabola".

Data una equazione, ad esempio 222255550000 xxxx....yyyy ⋅⋅⋅⋅==== , possiamo tabularne alcuni valori al

variare della xxxx da valori positivi a negativi, per tracciarne il grafico:x -3 -2 -1 0 +1 +2 +3

222255550000 xxxx....yyyy ⋅⋅⋅⋅==== 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5

Notiamo che, per valori di x opposti fra loro come + 2 e - 2 la funzione assume lo

stesso valore 2. Questo è dovuto al quadrato: (((( )))) (((( )))) (((( ))))xxxxyyyyxxxxaaaaxxxxaaaaxxxxyyyy ====⋅⋅⋅⋅====−−−−⋅⋅⋅⋅====−−−− 22222222 .

Possiamo ripetere la costruzione di tabelle rispetto a qualunque altra funzione

con 0000>>>>aaaa oppure con 0000<<<<aaaa , come 222255551111 xxxx....yyyy ⋅⋅⋅⋅−−−−==== :

x -3 -2 -1 0 +1 +2 +3

222255551111 xxxx....yyyy ⋅⋅⋅⋅−−−−==== -13.5 -6 -1.5 0 -1.5 -6 -13.5

-8-8-8-8 -6-6-6-6 -4-4-4-4 -2-2-2-2 2222 4444 6666 8888

-14-14-14-14-12-12-12-12-10-10-10-10-8-8-8-8-6-6-6-6-4-4-4-4-2-2-2-2

2222444466668888101010101212121214141414

xxxx

yyyyy=0.5 xy=0.5 xy=0.5 xy=0.5 x2222

y=-1.5xy=-1.5xy=-1.5xy=-1.5x2222



Il significato del parametro apertura aaaa dell'equazione 2222xxxxaaaayyyy ⋅⋅⋅⋅==== è il seguente:

tanto più piccolo è il suo valore assoluto e tanto più la parabola è aperta;viceversa, tanto più è grande tale valore e tanto più stretta è la parabola. La figuraseguente mostra, al variare del parametro aaaa come varia la forma della curva.

xxxx

yyyy

a=0.5a=0.5a=0.5a=0.5

a=0.05a=0.05a=0.05a=0.05

a=1a=1a=1a=1 a=2a=2a=2a=2 a=4a=4a=4a=4

a=-1.5a=-1.5a=-1.5a=-1.5

a=-0.75a=-0.75a=-0.75a=-0.75

a=-0.1a=-0.1a=-0.1a=-0.1

a=-5a=-5a=-5a=-5

0000

Notiamo che, data una equazione 2222xxxxaaaayyyy ⋅⋅⋅⋅==== , tanto più grande è il valore

assoluto del parametro aaaa e tanto più vicino all'origine è il fuoco della parabola:

infatti la relazionekkkk

aaaa44441111

==== equivale aaaaa

kkkk44441111

==== . Se, ad esempio a=0.025 è k=10

per cui il fuoco è in F(0; 10) ; invece se a=2.5 allora k=0.1 e il fuoco è in F(0; 0.1).

Tracciatura dei grafici: per disegnare i grafici delle parabole è opportuno, dopoaverne calcolato dei valori in una tabella, predisporre delle scale opportune diunità di misura lungo i due assi cartesiani. Non occorre, in generale, che ilsistema debba essere monometrico ma può, al contrario, essere formato da duediverse unità, una per ciascun asse. In questo modo possiamo garantire al graficodi rappresentare correttamente tutti i numeri, dal minimo al massimo presentinella tabella, come coordinate dei suoi punti.



PARABOLA TRASLATA ED EQUAZIONE GENERALE

Supponiamo di effettuare una traslazione della parabola di equazione 2222xxxxaaaayyyy ⋅⋅⋅⋅====

che sposti l'origine in un punto (((( ))))00000000 yyyy;;;;xxxxVVVV detto vertice.

Dobbiamo ora determinare l'equazione della parabola traslata e, per questoscopo, consideriamo due nuovi assi cartesiani X' e Y' paralleli ai vecchi assi X e Y,e passanti per il vertice. Dette x' e y' le coordinate di un qualsiasi punto dellaparabola P(x'; y'') misurate rispetto al nuovo sistema di riferimento X'VY', deve

valere sempre la stessa equazione (((( ))))2222''''xxxxaaaa''''yyyy ⋅⋅⋅⋅==== poichè la forma e le

caratteristiche delle figure non cambiano a seguito della traslazione. La leggedella trasformazione che lega le coordinate dei due sistemi di riferimento è:

0000xxxxxxxx''''xxxx −−−−==== , 0000yyyyyyyy''''yyyy −−−−====

Sostituendo queste relazioni otteniamo l'equazione cercata:

(((( )))) (((( ))))2222000000002222 xxxxxxxxaaaayyyyyyyy''''xxxxaaaa''''yyyy −−−−⋅⋅⋅⋅====−−−−⇒⇒⇒⇒⋅⋅⋅⋅==== .

XXXX

YYYY

VVVV

OOOO xxxx0000

yyyy0000 X'X'X'X'

Y'Y'Y'Y'y=a xy=a xy=a xy=a x2222 y=a xy=a xy=a xy=a x2222+b x+c+b x+c+b x+c+b x+c

Sviluppiamo il quadrato del binomio ed isoliamo la variabile dipendente yyyy :

(((( )))) 00002222

000000002222

00002222

000000002222 22222222 yyyyxxxxaaaaxxxxaxaxaxaxxxxxaaaayyyyyyyyxxxxxxxxxxxxxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒++++++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅==== .

Denominiamo i coefficienti degli ultimi due termini con nuove lettere:

ccccyyyyxxxxaaaabbbbaxaxaxax ====++++⋅⋅⋅⋅====−−−− 00002222

000000002222 , ; sostituendoli si ha l'equazione della parabola:

ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 , dove 0000≠≠≠≠aaaa e cccc,,,,bbbb numeri reali.



Le coordinate del vertice VVVV si ottengono dalla relazioni sopra scritte:

; aaaa

bbbbxxxxbbbbaxaxaxax2222

2222 00000000 −−−−====⇒⇒⇒⇒====−−−− ⇒⇒⇒⇒⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞

⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅−−−−====⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅

22222222

0000000000002222

0000 2222aaaabbbbaaaaccccxxxxaaaaccccyyyyccccyyyyxxxxaaaa

aaaaacacacacbbbbyyyy

aaaabbbbacacacac

aaaabbbbcccc

aaaabbbbaaaaccccyyyy

44444444

44444444

44444444

2222

0000

22222222

2222

2222

0000−−−−

−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−

====−−−−====⋅⋅⋅⋅−−−−====

Ricordando che il discriminante di una equazione di secondo grado è

acacacacbbbb 44442222 −−−−====∆∆∆∆ , il vertice si può scrivere come ⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞

⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛ ∆∆∆∆

−−−−−−−−aaaa

;;;;aaaa

bbbbVVVV44442222

.

Ad esempio, se trasliamo la parabola di equazione 222255551111 xxxx....yyyy ⋅⋅⋅⋅==== in modo che il

nuovo vertice sia nel punto V(3,V(3,V(3,V(3, 2)2)2)2) determiniamone l'equazione:

(((( )))) (((( )))) 99996666555511112222555511113333 22222222222200000000 ++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒−−−−⋅⋅⋅⋅====−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−⋅⋅⋅⋅====−−−− xxxxxxxx....yyyyxxxx....yyyyxxxxxxxxaaaayyyyyyyy .

xxxx

yyyy

y=1.5 xy=1.5 xy=1.5 xy=1.5 x2222 - 6x +9 - 6x +9 - 6x +9 - 6x +9

y=1.5 xy=1.5 xy=1.5 xy=1.5 x2222 V(2; 3)V(2; 3)V(2; 3)V(2; 3)

OOOO

Come si nota dal grafico sopra riportato la parabola traslata mantiene:-la stessa forma e la stessa apertura;-la stessa concavità , verso l'alto se a>0 oppure verso il basso se a<0.

Viceversa, data una parabola di eq.ne 55552222222255550000 2222 ....xxxxxxxx....yyyy −−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== determiniamo VVVV:

2222555500002222

222222220000 −−−−====

⋅⋅⋅⋅−−−−====−−−−====

....aaaabbbbxxxx ; (((( )))) (((( ))))

⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞

⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛ −−−−−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−====

⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−

−−−−====∆∆∆∆

−−−−====222299992222

22229999

555500004444555522225555000044442222

4444

2222

0000 ;;;;VVVV....

........aaaa

yyyy



INTERSEZIONI CON GLI ASSI

I punti nei quali il grafico attraversa gli assi sono detti intersezioni. I valori dellecoordinate delle intersezioni si ricavano ponendo a zero, in un sistema, levariabili corrispondenti all'altro asse.

IntersezioniIntersezioniIntersezioniIntersezioni asseasseasseasse XXXX. Data una parabola di equazione generale ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 ,

si ricavano annullando la variabile y ed il loro numero dipende dal segno del

discriminante del trinomio di secondo grado associato, ccccaaaabbbb ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆ 44442222 :

(((( ))))

(((( ))))(((( ))))0

0

vertice del ascissa

neintersezio nessuna

;;;;xxxxBBBBxxxx;;;;xxxxAAAAxxxx

aaaabbbbxxxx

VVVVaaaa

bbbbxxxxccccxxxxbbbbxxxxaaaa

yyyy

ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy

yyyy

,,,,22222222

1111111122221111

000022222222

22220000

22220000

0000

0000

00000000

⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒

====⋅⋅⋅⋅

∆∆∆∆±±±±−−−−====⇒⇒⇒⇒>>>>∆∆∆∆

−−−−====⇒⇒⇒⇒====∆∆∆∆

⇒⇒⇒⇒<<<<∆∆∆∆

⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

====++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅

====⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

====

ProprietProprietProprietProprietàààà deldeldeldel verticeverticeverticevertice nel caso di due soluzioni con 0000>>>>∆∆∆∆ .L'ascissa del vertice, è sempre data dalla media aritmetica delle ascisse delle due

intersezioni con l'asse X:2222

22221111 xxxxxxxxxxxxVVVV++++

====

DimostrazioneDimostrazioneDimostrazioneDimostrazione: ricordando la relazioneaaaa

bbbbxxxxVVVV 2222−−−−==== , basta sostituire nella

semisomma scritta sopra le soluzioni della equazione di secondo grado:

(((( ))))aaaa

bbbbaaaabbbb

aaaabbbbbbbb

aaaabbbb

aaaabbbbxxxxxxxxxxxxxxxx

222244442222

222222221111

2222222222221111

22221111

2222 2222111122221111 −−−−====

−−−−====⎟⎟⎟⎟

⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠

⎞⎞⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝

⎛⎛⎛⎛ ∆∆∆∆++++−−−−∆∆∆∆−−−−−−−−====⎟⎟⎟⎟

⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠

⎞⎞⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝

⎛⎛⎛⎛ ∆∆∆∆++++−−−−++++

∆∆∆∆−−−−−−−−====++++====

++++

IntersezioniIntersezioniIntersezioniIntersezioni asseasseasseasse Y.Y.Y.Y.

Ne esiste sempre una sola: (((( ))))cccc;;;;CCCCccccyyyy

xxxxccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy

xxxx 0000

000000002222 ⇒⇒⇒⇒

⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

========

⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

====.

DisegnoDisegnoDisegnoDisegno deideideidei graficigraficigraficigrafici di parabole di equazione generale ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 .

Oltre al vertice e alle intersezioni con gli assi cartesiani è buona norma calcolarele coordinate di qualche altro punto prendendo, come valori dati alla xxxx , deinumeri sia minori che maggiori dell'ascissa del vertice. In questo modo siamosicuri che il grafico abbia una efficacia rappresentativa. I valori attribuiti, inoltre,dovrebbero rispettare criteri di ragionevolezza ottenendo, possibilmente, deinumeri interi o semi interi, o frazioni, tali da poterli rappresentare facilmente.L'ampiezza delle scale lungo gli assi deve poi contenere ogni valore calcolato.



ESEMPI.ESEMPI.ESEMPI.ESEMPI.I grafici che seguono mostra delle coppie di parabole, sia con 0000>>>>aaaa (concavità

verso l'alto) che con 0000<<<<aaaa (concavità verso il basso) nei tre casi possibili con0000<<<<∆∆∆∆ , 0000====∆∆∆∆ e 0000>>>>∆∆∆∆ . Per ognuno dei grafici vengono calcolati i valori relativi al

vertice e alle intersezioni con gli assi. Ulteriori punti, collocati a sinsitra e a destradei vertici, sono visualizzati lungo le curve.

ESEMPIO 1: 0000<<<<∆∆∆∆

a) 44443333757575750000 2222 ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== xxxxxxxx....yyyy ; 33334444757575750000444433334444 22222222 −−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆ ....ccccaaaabbbb .

22227575757500002222

33332222

−−−−====⋅⋅⋅⋅

−−−−====−−−−====....aaaa

bbbbxxxxVVVV . Per il calcolo di VVVVyyyy si può procedere in due modi:

con la formula 11117575757500004444

33334444

====⋅⋅⋅⋅−−−−

−−−−====∆∆∆∆

−−−−====....aaaa

yyyyVVVV , oppure sostituendo VVVVxxxx nella

funzione (((( )))) (((( )))) (((( )))) 11114444222233332222757575750000 2222 ====++++−−−−⋅⋅⋅⋅++++−−−−⋅⋅⋅⋅======== ....xxxxyyyyyyyy VVVVVVVV . Int. asse Y: (((( ))))44440000 ;;;;CCCC .

b) 3333222255550000 2222 −−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−==== xxxxxxxx....yyyy ; (((( )))) (((( )))) 2222333355550000444422224444 22222222 −−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆ ....ccccaaaabbbb .

Vertice: (((( )))) 2222555500002222

22222222

====−−−−⋅⋅⋅⋅

−−−−====−−−−====....aaaa

bbbbxxxxVVVV ; (((( )))) 1111555500004444

22224444

−−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−

−−−−====∆∆∆∆

−−−−====....aaaa

yyyyVVVV ;

(((( )))) 1111333322222222222255550000 2222 −−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−======== ....xxxxyyyyyyyy VVVVVVVV Int. asse Y: (((( ))))33330000 −−−− ;;;;CCCC

xxxx

yyyya: y=0.75 xa: y=0.75 xa: y=0.75 xa: y=0.75 x2222 +3 x + 4 +3 x + 4 +3 x + 4 +3 x + 4

b: y= -0.5xb: y= -0.5xb: y= -0.5xb: y= -0.5x2222 + 2 x - 3 + 2 x - 3 + 2 x - 3 + 2 x - 3

CCCC2222

VVVV2222

VVVV1111

CCCC1111

OOOO



ESEMPIO 2: 0000====∆∆∆∆

a) ; 44442222252525250000 2222 −−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−==== xxxxxxxx....yyyy (((( )))) (((( )))) (((( )))) 00004444252525250000444422224444 22222222 ====−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆ ....ccccaaaabbbb .

Vertice: (((( )))) 44442525252500002222

22222222

−−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−

−−−−====−−−−====....aaaa

bbbbxxxxVVVV ; (((( )))) 00002525252500004444

00004444

====−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−

−−−−====∆∆∆∆

−−−−====....aaaa

yyyyVVVV

(((( )))) (((( )))) (((( )))) 00004444444422224444252525250000 2222 ====−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−======== ....xxxxyyyyyyyy VVVVVVVV . Int. Asse Y: (((( ))))44440000 −−−− ;;;;CCCC .

b) 55554444333355550000 2222 ....xxxxxxxx....yyyy ++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅==== ; (((( )))) 00005555444455550000444433334444 22222222 ====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆ ........ccccaaaabbbb ;

Vertice: 3333555500002222

33332222

====⋅⋅⋅⋅−−−−

−−−−====−−−−====....aaaa

bbbbxxxxVVVV ; 0000555500004444

00004444

====⋅⋅⋅⋅

−−−−====∆∆∆∆

−−−−====....aaaa

yyyyVVVV ;

(((( )))) 00005555444433333333333355550000 2222 ====++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅======== ........xxxxyyyyyyyy VVVVVVVV . Int. Asse Y: (((( ))))555544440000 ....;;;;CCCC

xxxx

yyyy

a: y=-0.25 xa: y=-0.25 xa: y=-0.25 xa: y=-0.25 x2222 - 2 x - 4 - 2 x - 4 - 2 x - 4 - 2 x - 4

b: y=0.5 xb: y=0.5 xb: y=0.5 xb: y=0.5 x2222 - 3 x + 4.5 - 3 x + 4.5 - 3 x + 4.5 - 3 x + 4.5

CCCC2222

VVVV2222

VVVV1111

CCCC1111

OOOO



ESEMPIO 3. 0000>>>>∆∆∆∆

a) 6666444455550000 2222 ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== xxxxxxxx....yyyy ; 4444666655550000444444444444 22222222 ====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆ ....ccccaaaabbbb .

Vertice: 4444555500002222

44442222

−−−−====⋅⋅⋅⋅

−−−−====−−−−====....aaaa

bbbbxxxxVVVV ; 2222555500004444

44444444

−−−−====⋅⋅⋅⋅

−−−−====∆∆∆∆

−−−−====....aaaa

yyyyVVVV ;

(((( )))) (((( )))) (((( )))) 2222666644444444444455550000 2222 −−−−====++++−−−−⋅⋅⋅⋅++++−−−−⋅⋅⋅⋅======== ....xxxxyyyyyyyy VVVVVVVV . Int. Asse Y: (((( ))))66660000 ;;;;CCCC

Intersezioni asse X:

(((( )))) (((( ))))(((( ))))000022222222

00006666666655550000222222224444

2222000066664444555500000000

2222

11112222

;;;;BBBBxxxx;;;;AAAAxxxx

....aaaabbbbxxxxxxxxxxxx....xxxxyyyy

−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−====

====⋅⋅⋅⋅±±±±−−−−

====∆∆∆∆±±±±−−−−

====⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒==== .

Proprietà del vertice: (((( )))) 44442222

222266662222

22221111 −−−−====−−−−++++−−−−

====++++

====xxxxxxxxxxxxVVVV .

b) 75757575111155551111252525250000 2222 ....xxxx....xxxx....yyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−==== ; (((( )))) 44447575757511112525252500004444555511114444 22222222 ====⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆ ............ccccaaaabbbb .

Vertice: (((( )))) 33332525252500002222

555511112222

====−−−−⋅⋅⋅⋅

−−−−====−−−−====....

....aaaa

bbbbxxxxVVVV ; (((( )))) 44442525252500004444

44444444

====−−−−⋅⋅⋅⋅

−−−−====∆∆∆∆

−−−−====....aaaa

yyyyVVVV ;

(((( )))) 44447575757511113333555511113333252525250000 2222 ====++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−======== ............xxxxyyyyyyyy VVVVVVVV . Int. Asse Y: (((( ))))7575757511110000 ....;;;;CCCC .


(((( )))) (((( ))))(((( ))))000077777777

0000111111112525252500002222

22227575757511112222

00007575757511115555111125252525000000002222

11112222

;;;;BBBBxxxx;;;;AAAAxxxx

........

aaaabbbbxxxx....xxxx....xxxx....xxxxyyyy

++++⇒⇒⇒⇒++++====−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−====

====⋅⋅⋅⋅

±±±±−−−−====

∆∆∆∆±±±±−−−−====⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−⇒⇒⇒⇒====

Proprietà del vertice: 33332222

777711112222

22221111 ====++++−−−−

====++++

====xxxxxxxxxxxxVVVV .

xxxx

yyyy

y=0.5 xy=0.5 xy=0.5 xy=0.5 x2222 + 4 x + 6 + 4 x + 6 + 4 x + 6 + 4 x + 6 a: a: a: a:

b: y= -0.25 xb: y= -0.25 xb: y= -0.25 xb: y= -0.25 x2222 + 1.5 x + 1.75 + 1.5 x + 1.75 + 1.5 x + 1.75 + 1.5 x + 1.75

OOOOAAAA2222 BBBB2222

CCCC2222

VVVV2222

AAAA1111 BBBB1111

VVVV1111

CCCC1111



PARABOLE TRASLATE CON COEFFICIENTI DI EQUAZIONE NULLI

A) PARABOLA CON VERTICE SU ASSE Y : caso ⇒⇒⇒⇒≠≠≠≠∧∧∧∧==== 00000000 ccccbbbb ccccxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 .

Nel caso di b=0 il vertice si trova sull'asse Y: 000022220000

2222====−−−−====−−−−====

aaaaaaaabbbbxxxxVVVV .

(((( ))))cccc;;;;VVVVccccaaaa

ccccaaaaaaaa

yyyyccccaaaaccccaaaa VVVV 000044444444

44444444444400002222 ⇒⇒⇒⇒====

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−

−−−−====⋅⋅⋅⋅∆∆∆∆

−−−−====⇒⇒⇒⇒⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆ .

Le intersezioni con l'asse X possono esistere oppure no a seconda dei segni deidue coefficienti per cui, in base al segno del loro prodotto, abbiamo:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠

⎞⎞⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝

⎛⎛⎛⎛−−−−++++⇒⇒⇒⇒−−−−++++====

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠

⎞⎞⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝

⎛⎛⎛⎛−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−−−−−====

====⇒⇒⇒⇒−−−−====⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒<<<<

⇒⇒⇒⇒<<<<

⇒⇒⇒⇒>>>>⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒>>>>

⇒⇒⇒⇒⋅⋅⋅⋅

0000

0000

00000000

0000

00000000

2222

1111

22222222

X assel' sotto parabola

X assel' sopra parabola X assel' con neintersezio nessuna

;;;;aaaaccccBBBB

aaaaccccxxxx

;;;;aaaaccccAAAA

aaaaccccxxxx

xxxxaaaaccccxxxxccccxxxxaaaa

aaaa

aaaa

ccccaaaa

ESEMPI.Si riportano di seguito degli esempi, relativi al caso trattato che, oltre a riportarenei grafici il vertice e le intersezioni con gli assi, visualizzano anche altri puntidisposti attorno al vertice.

ESEMPIO 1

a) ⇒⇒⇒⇒>>>>====⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒++++⋅⋅⋅⋅==== 000075757575000033332525252500003333252525250000 2222 ........ccccaaaaxxxx....yyyy 0 intersezioni asse X.

Vertice ed intersezione asse Y in V(0;V(0;V(0;V(0; 3)3)3)3) .

b) ⇒⇒⇒⇒<<<<−−−−====⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒++++⋅⋅⋅⋅−−−−==== 00001111222255550000222255550000 2222 ....ccccaaaaxxxx....yyyy 2 intersezione asse X.

(((( ))))(((( ))))00002222

000022222222

555500002222

;;;;BBBB;;;;AAAA

....aaaaccccxxxx

++++−−−−

⇒⇒⇒⇒±±±±====−−−−

−−−−±±±±====−−−−±±±±==== ; Vertice e int. asse Y in V(0;V(0;V(0;V(0; 2)2)2)2) .



xxxx

yyyy

a: y = 0.25 xa: y = 0.25 xa: y = 0.25 xa: y = 0.25 x2 2 2 2 + 3+ 3+ 3+ 3

b: y = -0.5 xb: y = -0.5 xb: y = -0.5 xb: y = -0.5 x2222 + 2 + 2 + 2 + 2

OOOO

VVVV1111

VVVV2222

AAAA BBBB

ESEMPIO 2

a) ⇒⇒⇒⇒<<<<−−−−====⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒++++⋅⋅⋅⋅−−−−==== 0000555500002222125125125125000022221251251251250000 2222 ........ccccaaaaxxxx....yyyy 2 int. Asse X:

(((( ))))(((( ))))00004444

000044444444

12512512512500002222

;;;;BBBB;;;;AAAA

....aaaaccccxxxx

++++−−−−

⇒⇒⇒⇒±±±±====−−−−

−−−−±±±±====−−−−±±±±==== . Vertice e int. Asse Y in V(0;V(0;V(0;V(0; 2)2)2)2) .

b) (((( )))) ⇒⇒⇒⇒>>>>++++====−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−==== 000055550000111155550000111155550000 2222 ........ccccaaaaxxxx....yyyy 0 intersezioni asse X.

Vertice e intersezione asse Y in V(0;V(0;V(0;V(0; -1)-1)-1)-1) .

xxxx

yyyy

AAAA BBBB

VVVV1111

VVVV2222

b: y=-1.25xb: y=-1.25xb: y=-1.25xb: y=-1.25x2222-1-1-1-1

a: y=-0.125xa: y=-0.125xa: y=-0.125xa: y=-0.125x2222+2+2+2+2

OOOO



B) PARABOLA PASSANTE PER L'ORIGINE. Caso xxxxbbbbxxxxaaaayyyyccccbbbb ⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒====∧∧∧∧≠≠≠≠ 222200000000

L' origine (((( ))))00000000 ;;;;OOOO appartiene alla parabola: (((( )))) 0000000000000000 2222 ====⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== bbbbaaaayyyy .

Vertice:aaaa

bbbbxxxxVVVV 2222−−−−==== ; 22222222 00004444 bbbbaaaabbbb ====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆ ; ⎟⎟⎟⎟

⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠

⎞⎞⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝

⎛⎛⎛⎛−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−====

⋅⋅⋅⋅∆∆∆∆

−−−−====aaaa

bbbb;;;;aaaa

bbbbVVVVaaaa

bbbbaaaa

yyyyVVVV 4444222244444444

22222222 .


(((( ))))(((( ))))

⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞

⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−====

⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒====⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅

0000

00000000000000000000

2222

11112222

;;;;aaaabbbbAAAA

aaaabbbbxxxx

; ; ; ; OOOOxxxxbbbbxxxxaaaaxxxxxxxxbbbbxxxxaaaa .

ESEMPIESEMPIESEMPIESEMPI

Si riportano di seguito degli esempi di parabole passanti per l'origine che, oltre ariportare nei grafici il vertice e le intersezioni con gli assi, ne visualizzano anchealtri punti disposti attorno al vertice.

ESEMPIO 1: xxxxxxxxyyyy ⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 555544445555 2222 .

Intersezioni asse X: (((( ))))00000000 ;;;;OOOO , (((( ))))00004444444444445555

5555 ;;;;AAAAaaaabbbbxxxx −−−−⇒⇒⇒⇒−−−−====−−−−====−−−−==== .

Vertice: 2222444455552222

55552222

−−−−====⋅⋅⋅⋅

−−−−====−−−−====aaaa

bbbbxxxxVVVV ; (((( ))))555522225555444455554444

55554444

22222222−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−====

⋅⋅⋅⋅−−−−====−−−−==== ;;;;VVVV

aaaabbbbyyyyVVVV

xxxx

yyyy

AAAA

y = 1.25 x y = 1.25 x y = 1.25 x y = 1.25 x2222 + 5 x + 5 x + 5 x + 5 x

OOOO

VVVV



ESEMPIO 2: xxxxxxxxyyyy ⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−==== 333322221111 2222 .

Intersezioni asse X: (((( ))))00000000 ;;;;OOOO , (((( ))))00006666666622221111

3333 ;;;;AAAAaaaabbbbxxxx ⇒⇒⇒⇒====

−−−−−−−−====−−−−==== .

Vertice: (((( )))) 3333222211112222

33332222

====−−−−⋅⋅⋅⋅

−−−−====−−−−====aaaa

bbbbxxxxVVVV , (((( )))) (((( ))))5555444433335555444422229999

2222111144443333

4444

22222222....;;;;VVVV....

aaaabbbbyyyyVVVV ⇒⇒⇒⇒========

−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−====−−−−====

xxxx

yyyy

y= - 0.5 xy= - 0.5 xy= - 0.5 xy= - 0.5 x2 2 2 2 + 3 x+ 3 x+ 3 x+ 3 x

OOOO

VVVV

AAAA

ESEMPI 3 E 4: il grafico è riportato in figura ma ne lasciamo per esercizio losvolgimento dei calcoli per ricavare intersezioni e vertici come sopra.

xxxx

yyyy

VVVV1111

a: y = -0.25 xa: y = -0.25 xa: y = -0.25 xa: y = -0.25 x2222 - 2 x - 2 x - 2 x - 2 x

AAAA1111

OOOO

b: y = xb: y = xb: y = xb: y = x2222 - 4x - 4x - 4x - 4x

AAAA2222

VVVV2222



PARABOLA AD ASSE ORIZZONTALE.

Data una parabola di equazione generale ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 , se si scambiano le

lettere si ottiene una equazione (non una funzione) che rappresenta la curvasimmetrica rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante (eq. y=x) ed il

suo asse di simmetria è orrizzontale: ccccyyyybbbbyyyyaaaaxxxx ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 .

Essendo state scambiate le posizioni delle lettere vengono scambiate anche le

coordinate delle intersezioni del vertice: ⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞

⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛ −−−−

∆∆∆∆−−−−

aaaabbbb;;;;

aaaa''''VVVV

22224444

xxxx

yyyy

x = a yx = a yx = a yx = a y2222 + b y + c + b y + c + b y + c + b y + c

y = a xy = a xy = a xy = a x2222 + b y + c + b y + c + b y + c + b y + c

V'V'V'V'

y = xy = xy = xy = xVVVV

AAAA BBBB

A'A'A'A'

B'B'B'B'

OOOO

L'equazione ccccyyyybbbbyyyyaaaaxxxx ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 non rappresenta però una funzione in quanto

per qualche valore attribuito alla variabile indipendente, kkkkxxxx ==== ,esistono due

distinti valori della variabile dipendente 22221111 ,,,,yyyyyyyy ==== , come mostra la figura .

xxxx

yyyy

x = a yx = a yx = a yx = a y2222 + b y + c + b y + c + b y + c + b y + c

x = kx = kx = kx = k

y=yy=yy=yy=y1111

y=yy=yy=yy=y2222

OOOO

asse di simmetria asse di simmetria asse di simmetria asse di simmetria



MUTUA POSIZIONE FRA PARABOLA E RETTA OBLIQUA

I punti di intersezione fra una parabola di equazione ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 ed una

retta di equazione qqqqxxxxmmmmyyyy ++++⋅⋅⋅⋅==== possono essere al massimo due e si

determinano risolvendo il sistema algebrico delle loro equazioni:

(((( ))))⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅========−−−−++++⋅⋅⋅⋅−−−−++++⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅========−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅====++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

qqqqxxxxmmmmyyyyqqqqccccxxxxmmmmbbbbxxxxaaaa

qqqqxxxxmmmmyyyyqqqqxxxxmmmmccccxxxxbbbbxxxxaaaa

qqqqxxxxmmmmyyyyccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy 00000000 222222222222

Ill discriminante dell'equazione di secondo grado è: (((( )))) ccccaaaammmmbbbb ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆ 444422221111 ;

distinguiamo i 3 casi possibili in base al segno del discriminante:

secante retta :neintersezio di punti due per distinti e reali valori 2 tangente retta : punto solo un in icoincident soluzioni e reale valore 1

esterna retta :comune in punto nessun e reali valori 0

1 ⇒⇒⇒⇒>>>>∆∆∆∆⇒⇒⇒⇒====∆∆∆∆⇒⇒⇒⇒<<<<∆∆∆∆

000000000000

1111

1111

La figura riporta qualitativamente i tre casi possibili:

xxxx

yyyy

RRRReeeettttttttaaaa ttttaaaannnnggggeeeennnntttteeee iiiinnnn

PPPPRRRReeeettttttttaaaa eeeesssstttteeeerrrrnnnnaaaa

RRRReeeettttttttaaaa sssseeeeccccaaaannnntttteeee iiiinnnn AAAA eeee BBBB

OOOO

PPPP

AAAA

BBBB

Nel caso specifico di retta orizzontale (m=0 ed equazione qqqqyyyy ==== ) la retta

tangente al grafico della parabola ha necessariamente, come punto di contatto, ilvertice . In questo caso, se invece la retta è secante, il vertice si deve trovare sopradi essa nel caso di concavità rivolta verso l'alto oppure, se la concavità è verso ilbasso, il vertice si trova più in basso della retta.



EsempioEsempioEsempioEsempio 1111 .... Determinare la posizione delle tre rette di equazioni a:a:a:a: y=-2x+8y=-2x+8y=-2x+8y=-2x+8 ,

bbbb :::: y=-x-6y=-x-6y=-x-6y=-x-6 eeee c:c:c:c: y=x-4y=x-4y=x-4y=x-4 rispetto alla parabola di eq. 4444333322221111 2222 −−−−−−−−==== xxxxxxxxyyyy .

a)⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

−−−−−−−−====

====++++−−−−⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

−−−−−−−−====

−−−−−−−−====−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

−−−−−−−−====

−−−−−−−−====

88882222

0000444422221111

88882222

888822224444333322221111

88882222

4444333322221111 222222222222

xxxxyyyy

xxxxxxxx

xxxxyyyy

xxxxxxxxxxxx

xxxxyyyy

xxxxxxxxyyyy

(((( )))) ⇒⇒⇒⇒<<<<−−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆ 0000777744442222111144441111 2222

aaaa nessuna soluzione (retta esterna).

b)⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

−−−−−−−−====

====++++−−−−⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

−−−−−−−−====

====++++++++−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

−−−−−−−−====

−−−−−−−−====

6666

00002222222222221111

6666

000066664444333322221111

6666

4444333322221111 222222222222

xxxxyyyy

xxxxxxxx

xxxxyyyy

xxxxxxxxxxxx

xxxxyyyy

xxxxxxxxyyyy

(((( )))) ⇒⇒⇒⇒====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆ 000022222222111144442222 2222

bbbb 1 soluzione (retta tangente):

2222222211112222

2222====

⋅⋅⋅⋅−−−−

−−−−====PPPPxxxx ; 888866662222 −−−−====−−−−−−−−====PPPPyyyy ; (((( ))))88882222 −−−− ;;;;PPPP .

c)⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨

⎧⎧⎧⎧

−−−−====

========

⇒⇒⇒⇒====−−−−⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

−−−−====

====++++−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

−−−−====

−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅====

444488880000

0000444422221111

4444

000044444444333322221111

4444

4444333322221111

2222

1111222222222222

xxxxyyyyxxxxxxxx

xxxxxxxx

xxxxyyyy

xxxxxxxxxxxx

xxxxyyyy

xxxxxxxxyyyy

(((( )))) ⇒⇒⇒⇒>>>>====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆ 00001616161600002222111144444444 2222

cccc due soluzioni (retta secante) in A(0; -4) e B(8; 4).

Grafico dell'esempio 1.

xxxx

yyyy

c: y=x-4c: y=x-4c: y=x-4c: y=x-4

b: y=-x-6b: y=-x-6b: y=-x-6b: y=-x-6

a: y=-2x-8a: y=-2x-8a: y=-2x-8a: y=-2x-8

OOOO

4444333322221111 2222 −−−−−−−−==== xxxxxxxxyyyy

AAAA

BBBB

PPPP



EsempioEsempioEsempioEsempio 2222. Determinare la posizione delle tre rette di equazioni a:a:a:a: y=x-1.5y=x-1.5y=x-1.5y=x-1.5 ,

bbbb :::: y=2x+1y=2x+1y=2x+1y=2x+1 eeee c:c:c:c: y=4x-2.5y=4x-2.5y=4x-2.5y=4x-2.5 rispetto alla parabola di eq. 444488882222 2222 −−−−++++−−−−==== xxxxxxxxyyyy .

a)⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

−−−−========++++−−−−⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

−−−−========++++−−−−++++−−−−⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

−−−−====−−−−++++−−−−====

555511110000333377772222

555511110000555544448888222255551111

555511115555444488882222 222222222222

....xxxxyyyyxxxxxxxx

....xxxxyyyy....xxxxxxxx....xxxx

....xxxxyyyy....xxxxxxxxyyyy

(((( )))) ⇒⇒⇒⇒>>>>====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆ 0000252525253333222244447777 2222aaaa 2 soluzioni (retta secante) di 2 intersezioni:

(((( )))) (((( ))))(((( ))))555511113333555511115555111133333333

1111555500001111555511115555000055550000222211114444

5555777722222222

25252525777722222222

11111111

....;;;;BBBB........yyyyxxxx;;;;....AAAA........yyyy....xxxx

xxxx

⇒⇒⇒⇒====−−−−====⇒⇒⇒⇒====

−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−====−−−−====⇒⇒⇒⇒============

±±±±====

⋅⋅⋅⋅±±±±−−−−−−−−

==== .

b)⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++========++++−−−−⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++========++++−−−−++++++++⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++====−−−−++++−−−−====

1111222200005555555566662222

111122220000555544448888222211112222

111122225555444488882222 222222222222

xxxxyyyy....xxxxxxxx

xxxxyyyy....xxxxxxxxxxxx

xxxxyyyy....xxxxxxxxyyyy

(((( )))) ⇒⇒⇒⇒<<<<−−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆ 0000888855555555222244446666 2222 ....bbbb 0 soluzioni (retta esterna): nessun contatto.

c)⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

−−−−========++++−−−−⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

−−−−========++++−−−−++++−−−−⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++====−−−−++++−−−−====

5555222244440000222244442222

55552222444400005555444488882222555522224444

111122225555444488882222 222222222222

....xxxxyyyyxxxxxxxx

....xxxxyyyy....xxxxxxxx....xxxx

xxxxyyyy....xxxxxxxxyyyy

(((( )))) ⇒⇒⇒⇒====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆ 00002222222244444444 2222cccc 1 soluzione (retta tangente) di 1 intersezione:

(((( )))) (((( ))))5555222211115555111155552222111144441111222222224444 ....;;;;PPPP........yyyyxxxx PPPPPPPP ⇒⇒⇒⇒====−−−−⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒====

⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−

==== .

xxxx

yyyy

5555444488882222 2222 ....xxxxxxxxyyyy −−−−++++−−−−====

PPPP

AAAA

BBBB

a: y = x - 1.5 a: y = x - 1.5 a: y = x - 1.5 a: y = x - 1.5

c: y = 4 x - 2.5c: y = 4 x - 2.5c: y = 4 x - 2.5c: y = 4 x - 2.5

b: y = 2 x + 1 b: y = 2 x + 1 b: y = 2 x + 1 b: y = 2 x + 1

OOOO



PARABOLA E RETTA VERTICALE

Qualsiasi parabola di equazione generale ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 interseca sempre

una retta verticale, di equazione kkkkxxxx ==== , in un solo punto (((( ))))00000000 yyyy;;;;xxxxPPPP che si

ottiene in modo immediato risolvendo il sistema formato dalle loro equazioni:

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

====

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

====++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

kkkkxxxxcccckkkkbbbbkkkkaaaayyyy

kkkkxxxxccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy

0000

22220000

2222

EsempioEsempioEsempioEsempio: le rette verticali di equazioni rispettivamente 4444−−−−====xxxx e 5555====xxxx ,rapparesentate nella figura seguenete, incontrano la parabola di equazione

444444441111 2222 −−−−−−−−==== xxxxxxxxyyyy nei due punti, rispettivamente A(-4;A(-4;A(-4;A(-4; +4)+4)+4)+4) e B(+5;B(+5;B(+5;B(+5; -2.75)-2.75)-2.75)-2.75):

A: x=-4x=-4x=-4x=-4 ⇰ (((( )))) (((( )))) (((( )))) 4444444444444444444411114444 2222 ====−−−−−−−−−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅====−−−−yyyy ; B: x=5x=5x=5x=5 ⇰ (((( ))))

444411111111444455555555

444411115555 2222 −−−−====−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅====yyyy

xxxx

yyyy

x=-4x=-4x=-4x=-4 x=5x=5x=5x=5

AAAA

BBBB

OOOO



TANGENTI AD UNA PARABOLA CONDOTTE DA UN PUNTO

Il fascio di rette che passa per un qualunque punto (((( ))))11111111 yyyy;;;;xxxxPPPP , di equazione

(((( ))))11111111 xxxxxxxxmmmmyyyyyyyy −−−−⋅⋅⋅⋅====−−−− , al variare del coefficiente in ∞∞∞∞<<<<<<<<∞∞∞∞−−−− mmmm rappresenta tutte

le possibili rette escludendo la retta verticale che, come si è già visto, è sempre

secante. Il sistema algebrico formato dall'equazione del fascio per (((( ))))11111111 yyyy;;;;xxxxPPPP e

l'equazione della parabola ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 , determina le possibili soluzioni:

(((( ))))(((( ))))

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅========−−−−⋅⋅⋅⋅++++++++⋅⋅⋅⋅−−−−++++⋅⋅⋅⋅

⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅========−−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅

⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++−−−−⋅⋅⋅⋅====++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

11111111

1111111111112222

11111111

111111112222

11111111

2222 00000000yyyyxxxxmmmmxxxxmmmmyyyy

yyyyxxxxmmmmccccxxxxmmmmbbbbxxxxaaaayyyyxxxxmmmmxxxxmmmmyyyy

yyyyxxxxmmmmxxxxmmmmccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyyxxxxxxxxmmmmyyyyccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy

Il discriminante dell'equazione di secondo grado del sistema è dato da:

(((( )))) (((( ))))111111112222

1111 4444 yyyyxxxxmmmmccccaaaammmmbbbb −−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆

Supponendo noti i coefficienti b b b b ,,,,aaaa e cccc , Il segno del 1111∆∆∆∆ dipende solo dal

valore del coefficiente angolare mmmm al suo variare in ∞∞∞∞<<<<<<<<∞∞∞∞−−−− mmmm : una retta delfascio è tangente, per un dato valore del suo coefficiente mmmm , se si verifica la

condizione per la quale si ottiene una sola soluzione, ovvero 00001111 ====∆∆∆∆ .

Esistono tre possibilità (vedi figura seguente):

- Il punto P è interno alla parabola, con 00001111 <<<<∆∆∆∆ : non esistono rette tangenti.

- Il punto P' appartiene alla parabola, con 00001111 ====∆∆∆∆ : 1 retta tangente nel punto P.'

- Il punto P'' è esterno alla parabola, con 00001111 >>>>∆∆∆∆ : 2 rette tangenti in A e in B.

xxxx

yyyy

P ''P ''P ''P ''

AAAA

BBBB

tttt1111tttt2222

OOOO

PPPPP'P'P'P'

tttt



EsempioEsempioEsempioEsempio 1111.

Determinare le rette tangenti alla parabola di eq.ne 444444441111 2222 −−−−==== xxxxyyyy e passanti per

il punto P(0;P(0;P(0;P(0; -5)-5)-5)-5).

Scriviamo il sistema formato dalla parabola e dal fascio di rette nel parametro mmmm :

00005555

0000111144441111

5555

00005555444444441111

5555

888822221111

1111

222222222222====∆∆∆∆⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

−−−−⋅⋅⋅⋅====

====++++⋅⋅⋅⋅−−−−⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

−−−−⋅⋅⋅⋅====

====++++⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

−−−−⋅⋅⋅⋅====

−−−−====

xxxxmmmmyyyy

xxxxmmmmxxxx

xxxxmmmmyyyy

xxxxmmmmxxxx

xxxxmmmmyyyy

xxxxyyyy

Imponiamo la condizione di unicità della soluzione per determinare le tangenti:

(((( ))))5555111155551111

1111000011111111444411114444

22222222

111111112222222222221111 −−−−++++====⇒⇒⇒⇒++++====

−−−−−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−====⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒====−−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆

xxxxyyyy::::ttttmmmmxxxxyyyy::::ttttmmmm

mmmmmmmmmmmm

Risolviamo il sistema precedente sostituendovi, uno per volta, i valori calcolatiper determinare i punti di contatto fra le rette tangenti e la parabola:

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))33332222

33332222

3333555522225555111133335555222255551111

5555

22220000444444441111

22220000444444441111000044444444

5555

0000111144441111

2222

1111

22222222

11112222

2222

2222

−−−−++++

−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨⎨⎨⎨

⎧⎧⎧⎧

−−−−====−−−−++++====⇒⇒⇒⇒−−−−++++====⇒⇒⇒⇒++++====

−−−−====−−−−−−−−−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−⋅⋅⋅⋅====

++++====⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅−−−−⇒⇒⇒⇒++++====

−−−−====⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅++++⇒⇒⇒⇒−−−−====⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅−−−−

⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

−−−−⋅⋅⋅⋅====

====++++⋅⋅⋅⋅−−−−

;;;;BBBB

;;;;AAAA

yyyyxxxxyyyymmmmyyyyxxxxyyyymmmm

xxxxmmmmyyyy

xxxxxxxxxxxxmmmm

xxxxxxxxxxxxmmmmxxxxmmmmxxxx

xxxxmmmmyyyy

xxxxmmmmxxxx

xxxx

yyyy

P(0;-5)P(0;-5)P(0;-5)P(0;-5)

444444441111 2222 −−−−==== xxxxyyyy

tttt1111::::5555−−−−−−−−==== xxxxyyyy

tttt2222::::5555−−−−==== xxxxyyyy

A(-2;-3)A(-2;-3)A(-2;-3)A(-2;-3) B(2;-3)B(2;-3)B(2;-3)B(2;-3)

OOOO



EsempioEsempioEsempioEsempio 2.2.2.2.

Determinare le rette tangenti alla parabola di eq.ne 333322222222 ++++++++−−−−==== xxxxxxxxyyyy e passanti

per il punto P(2;P(2;P(2;P(2; 7)7)7)7).

Scriviamo il sistema formato dalla parabola e dal fascio di rette nel parametro mmmm :

(((( ))))(((( )))) 0000

777722220000222244442222

7777222200003333222277772222

7777222233332222

1111

222222222222====∆∆∆∆⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅========−−−−++++⋅⋅⋅⋅−−−−++++⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅========−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−++++++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++−−−−⋅⋅⋅⋅====++++++++−−−−====

mmmmxxxxmmmmyyyymmmmxxxxmmmmxxxx

mmmmxxxxmmmmyyyyxxxxxxxxmmmmxxxxmmmm

xxxxmmmmyyyyxxxxxxxxyyyy

Imponiamo la condizione di unicità della soluzione per determinare le tangenti:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))6666888822220000

22220000222288882222222244441111444422222222

1111222222221111 −−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−

++++====⇒⇒⇒⇒====−−−−⇒⇒⇒⇒====−−−−⋅⋅⋅⋅++++−−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆

mmmmmmmm

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmm

Rette tangenti: : , : 19191919666633332222 22221111 ++++−−−−====++++==== xxxxyyyyttttxxxxyyyytttt

Determiniamo i punti di tangenza risolvendo il sistema precedente una voltasostituite le equazioni delle due rette tangenti al posto dell'eq. del fascio:

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))555544445555191919196666

444400001616161688886666

33330000333333332222000000002222

777722220000222244442222

2222

22222222

2222

1111

11112222

11112222

−−−−⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

−−−−====⇒⇒⇒⇒++++−−−−========⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅−−−−

⇒⇒⇒⇒−−−−====

⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

====⇒⇒⇒⇒++++========⇒⇒⇒⇒====

⇒⇒⇒⇒++++====

⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++−−−−⋅⋅⋅⋅========−−−−++++⋅⋅⋅⋅−−−−++++

;;;;BBBByyyyxxxxyyyyxxxxxxxxxxxxmmmm

;;;;AAAAyyyyxxxxyyyyxxxxxxxxmmmm

xxxxmmmmyyyymmmmxxxxmmmmxxxx

xxxx

yyyy P(2;7)P(2;7)P(2;7)P(2;7)

A(0;3)A(0;3)A(0;3)A(0;3)

B(4;-5)B(4;-5)B(4;-5)B(4;-5)

333322222222 ++++++++−−−−==== xxxxxxxxyyyy

tttt1111: : : : 33332222 ++++==== xxxxyyyy

tttt2222::::191919196666 ++++−−−−==== xxxxyyyy

OOOO



TANGENTE IN UN PUNTO DELLA PARABOLA

Dato un punto (((( ))))00000000 yyyy;;;;xxxxPPPP appartenente alla parabola di equazione

ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 , vogliamo determinare l'equazione della retta tangente in

tale punto. A tale scopo scriviamo e sviluppiamo di seguito il sistema algebricoformato dal fascio di rette di centro PPPP e dall'equazione della parabola:

(((( ))))⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

====⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

−−−−⋅⋅⋅⋅====−−−−


xxxxmmmmxxxxmmmmyyyyccccxxxxbbbbxxxxaaaaccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy

xxxxxxxxmmmmyyyyyyyy2222

000000002222

222200000000 0000

L'equazione di secondo grado associata al sistema è, raggruppandone i termini e

visulizzandone le due soluzioni coincidenti nello stesso valore 0000xxxx , la seguente:

(((( ))))00002222

00001111

1111

00000000

1111

2222 0000xxxxxxxxxxxxxxxx

ccccxxxxmmmmyyyyccccxxxx

bbbbmmmmbbbbxxxxaaaa

====

====⇒⇒⇒⇒====⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−++++⋅⋅⋅⋅−−−−++++⋅⋅⋅⋅

44 344 21321

Per la nota proprietà delle soluzioni dell'equazione di secondo grado, si ha anche:

0000

0000222200002222

000000000000

222211111111

00000000222211111111 22222222

xxxxccccyyyyxxxxaaaammmmxxxx

aaaayyyyxxxxmmmmccccxxxxxxxx

aaaacccc

bbbbxxxxaaaammmmxxxxaaaa

mmmmbbbbxxxxxxxxaaaabbbb

−−−−++++⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒====

−−−−⋅⋅⋅⋅++++⇒⇒⇒⇒⋅⋅⋅⋅====

++++⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒====−−−−

−−−−⇒⇒⇒⇒++++====−−−−

Entrambe le equazioni determinano il valore di mmmm in funzione del punto P.P.P.P.In base all' equazione ottenuta dalla proprietà della somma delle radici ricaviamol'equazione della retta tangente alla parabola nel suo punto P:P:P:P:

(((( )))) (((( ))))000000000000 2222 xxxxxxxxbbbbxxxxaaaayyyyyyyy −−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====−−−−

Poichè (((( ))))00000000 yyyy;;;;xxxxPPPP appartiene alla parabola deve essere: ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 0000222200000000 ,

il sistema inziale diventa il seguente che sviluppiamo:(((( )))) (((( ))))

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

−−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====−−−−


xxxxbbbbxxxxbbbbxxxxaaaaxxxxxxxxaaaaccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyyccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy

xxxxxxxxbbbbxxxxaaaayyyyyyyy

0000222200000000

00002222000000000000

22220000

0000222200000000

000000000000 222222222222

Aggiungiamo ai due membri della prima equazione il termine ccccxxxxbbbb 22222222 0000 ++++⋅⋅⋅⋅ poi,

dopo avere sostituito il termine ccccxxxxbbbbxxxxaaaa ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ 000022220000 con 0000yyyy otteniamo:

(((( ))))⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

====++++++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====++++⇒⇒⇒⇒

⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++


ccccxxxxxxxxbbbbxxxxxxxxaaaayyyyyyyy


ccccxxxxbbbbxxxxbbbbxxxxxxxxaaaaccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy

0000222200000000

000000000000

0000222200000000

00000000000022220000 00002222222222222222

Infine, dividiamo la prima equazione per 2 ed otteniamo l'eq. della tangente in P:P:P:P:

FormulaFormulaFormulaFormula didididi sdoppiamentosdoppiamentosdoppiamentosdoppiamento: ccccxxxxxxxxbbbbxxxxxxxxaaaayyyyyyyy++++

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

++++22222222

00000000

0000 .



La formula di sdoppiamento può ricordarsi facilmente se si pensa di sostituire

nell'equazione della parabola, ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 , i termini in questo modo:

xxxxxxxx ⋅⋅⋅⋅0000 al posto di 2222xxxx ,2222

0000xxxxxxxx ++++ al posto di xxxx e2222

0000yyyyyyyy ++++ al posto di yyyy .

Nel caso di parabolaparabolaparabolaparabola adadadad asseasseasseasse orizzontaleorizzontaleorizzontaleorizzontale , di equazione ccccyyyybbbbyyyyaaaaxxxx ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 ,

calcoli analoghi ai precedenti portano alle formule della retta tangente in un suo

punto (((( ))))00000000 yyyy;;;;xxxxPPPP :bbbbyyyyaaaa

mmmm++++⋅⋅⋅⋅

====00002222

1111 ed equazione (((( ))))00000000

0000 22221111 xxxxxxxx

bbbbyyyyaaaayyyyyyyy −−−−⋅⋅⋅⋅

++++⋅⋅⋅⋅====−−−− ;

La formula di sdoppiamento diventa in tal caso: ccccyyyyyyyybbbbyyyyyyyyaaaaxxxxxxxx++++

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

++++22222222

00000000

0000 .

EsempioEsempioEsempioEsempio 1111.

Determinare la retta tangente alla parabola di eq. 8888333322221111 2222 −−−−−−−−==== xxxxxxxxyyyy in P(2;-12)

Determiniamo la retta tangente in due modi:

- Calcolando il coefficiente e poi sostituendolo nell'equazione del fascio per PPPP:

1111333322222222111122222222 0000 −−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅====++++⋅⋅⋅⋅==== bbbbxxxxaaaammmm ; (((( )))) (((( )))) 10101010121212122222111100000000 −−−−−−−−====−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−====++++−−−−⋅⋅⋅⋅==== xxxxxxxxyyyyxxxxxxxxmmmmyyyy .

- Usando la formula di sdoppiamento ccccxxxxxxxxbbbbxxxxxxxxaaaayyyyyyyy++++

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

++++22222222

00000000

0000 :

10101010161616166666333322221212121288882222

22223333222222221111

222212121212

−−−−−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−−−−−−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−++++

−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====−−−− xxxxyyyyxxxxxxxxyyyyxxxxxxxxyyyy .

-10-10-10-10 10101010

-10-10-10-10

10101010

xxxx

yyyy

OOOO

P ( 2; -12)P ( 2; -12)P ( 2; -12)P ( 2; -12)

t:t:t:t: 10101010−−−−−−−−==== xxxxyyyy

8888333322221111 2222 −−−−−−−−==== xxxxxxxxyyyy



EsempioEsempioEsempioEsempio 2222. Determinare la retta tangente alla parabola di equazione

333377772222 2222 −−−−++++−−−−==== xxxxxxxxyyyy in P(1;2)P(1;2)P(1;2)P(1;2). Con la formula del coefficiente angolare:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) 11113333222211113333333377771111222222222222 000000000000 −−−−====++++−−−−⋅⋅⋅⋅====++++−−−−⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅====++++⋅⋅⋅⋅==== xxxxxxxxyyyyxxxxxxxxmmmmyyyybbbbxxxxaaaammmm .

Con la formula di sdoppiamento:

111133336666777777774444222233332222

11117777111122222222

2222−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−++++++++−−−−====++++⇒⇒⇒⇒−−−−

++++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====

++++ xxxxyyyyxxxxxxxxyyyyxxxxxxxxyyyy

-8-8-8-8 8888

-4-4-4-4

4444

xxxx

yyyy t:t:t:t: 11113333 −−−−==== xxxxyyyy

333377772222 2222 −−−−++++−−−−==== xxxxxxxxyyyyP(1; 2)P(1; 2)P(1; 2)P(1; 2)

EsempioEsempioEsempioEsempio 3333 . Determinare la retta tangente alla parabola di equazione

3333555544443333 2222 −−−−++++−−−−==== yyyyyyyyxxxx in P(4;2)P(4;2)P(4;2)P(4;2) . Con la formula del coefficiente angolare:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) xxxxxxxxyyyyxxxxxxxxmmmmyyyybbbbyyyyaaaa

mmmm ⋅⋅⋅⋅====++++−−−−⋅⋅⋅⋅====++++−−−−⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅

====++++⋅⋅⋅⋅

====2222111122224444

22221111

22221111

555522224444333322221111

22221111

000000000000

Con la formula di sdoppiamento:

xxxxyyyyxxxxyyyyyyyyyyyyxxxxyyyyyyyyxxxx22221111222244441212121220202020101010106666888822223333

2222222255552222

44443333

22224444

====⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒−−−−++++++++−−−−====++++⇒⇒⇒⇒−−−−++++

⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====++++

-12-12-12-12 12121212

-8-8-8-8

8888

xxxx

yyyy

xxxxyyyy22221111

====

P(4; 2)P(4; 2)P(4; 2)P(4; 2)33335555

44443333 2222 −−−−++++−−−−==== yyyyyyyyxxxx

t:t:t:t:



STUDIO DEL SEGNO DEL TRINOMIO ccccxxxxbbbbxxxxaaaa ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ 2222

Risolvere disequazioni del tipo 00002222 >>>>++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ ccccxxxxbbbbxxxxaaaa oppure 00002222 <<<<++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ ccccxxxxbbbbxxxxaaaa

significa trovare gli intervalli di numeri reali della variabile xxxx per i quali la

funzione ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 assume segni rispettivamente positivo e negativo.

A questo scopo si può utilizzare il grafico della parabola per determinarli: gli

intervalli che risolvono la disequazione 00002222 >>>>++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ ccccxxxxbbbbxxxxaaaa sono quelli per cui il

grafico della parabola si trova sopra l'asse X mentre quelli che risolvono la

disequazione 00002222 <<<<++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ ccccxxxxbbbbxxxxaaaa sono quelli per i quali il grafico si trova sotto

tale asse. In base ai coefficienti si hanno i sei casi fondamentali qui illustrati .

0 <<<<∆∆∆∆>>>> ,,,,aaaa 0000

y>0:y>0:y>0:y>0:∞∞∞∞<<<<<<<<∞∞∞∞−−−− xxxx

1111

xxxx1111=x=x=x=x222200000000 ====∆∆∆∆>>>> ,,,,aaaa

y>0:y>0:y>0:y>0:x<xx<xx<xx<x1111Ux>xUx>xUx>xUx>x2222

y(xy(xy(xy(x1,21,21,21,2)=0)=0)=0)=0

0 ====∆∆∆∆>>>> ,,,,aaaa 0000

2222

xxxx1111 xxxx2222

y>0:y>0:y>0:y>0:x<xx<xx<xx<x1 1 1 1 U x>xx>xx>xx>x2222

0 >>>>∆∆∆∆>>>> ,,,,aaaa 0000

y<0:y<0:y<0:y<0: x x x x1111<x<x<x<x<x<x<x<x2222

3333

0 <<<<∆∆∆∆>>>> ,,,,aaaa 0000

y<0: y<0: y<0: y<0:∞∞∞∞<<<<<<<<∞∞∞∞−−−− xxxx

4444

00000000 ====∆∆∆∆>>>> ,,,,aaaa

y<0:y<0:y<0:y<0: ∞∞∞∞<<<<<<<<∞∞∞∞−−−− xxxx

y(xy(xy(xy(x1,21,21,21,2)=0)=0)=0)=0

0 ====∆∆∆∆>>>> ,,,,aaaa 0000

5555

xxxx1111 xxxx2222y<0:y<0:y<0:y<0:x<xx<xx<xx<x1 1 1 1 U x>xx>xx>xx>x2222

0 >>>>∆∆∆∆<<<< ,,,,aaaa 0000

y>0:y>0:y>0:y>0: x x x x1111<x<x<x<x<x<x<x<x2222

6666

IlIlIlIl metodometodometodometodo graficograficograficografico delladelladelladella parabolaparabolaparabolaparabola :è basato sull'esame dei grafici (i 6 casi illustrati sopra) delle parabole associate aitrinomi di secondo grado per cui si risolvono le relative disequazioni del tipo

00002222<<<<≥≥≥≥

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ ccccxxxxbbbbxxxxaaaa : prima si determina il segno del discriminante ∆∆∆∆ e, dopo

avere calcolato le eventuali soluzioniaaaa

bbbbxxxx ,,,, 222222221111∆∆∆∆±±±±−−−−

==== e tracciato l'andamento

delle rispettive parabole, si determinano gli intervalli delle soluzioni.



EsempiEsempiEsempiEsempi didididi disequazionidisequazionidisequazionidisequazioni risolterisolterisolterisolte conconconcon ilililil metodometodometodometodo graficograficograficografico.

1) 0 >>>>++++−−−− 1212121255552222 2222 xxxxxxxx ; (((( ))))22223333

1111222222221111555500001111333322224444555500002222 2222 ====⋅⋅⋅⋅±±±±

====⇒⇒⇒⇒>>>>====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆>>>>==== xxxxaaaa ;

Dal grafico si deduce la soluzione:

S:222233331111 >>>>∨∨∨∨<<<< xxxxxxxx

2) 0000111144444444 2222 ≥≥≥≥++++++++ xxxxxxxx ; 00004444 >>>>====aaaa ;22221111

44442222444400001111444444444444 22221111

2222 −−−−====⋅⋅⋅⋅

−−−−========⇒⇒⇒⇒====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆ xxxxxxxx

Dal grafico risolta che la soluzioneconsiste nell'ascissa del vertice:

S:22221111

−−−−====xxxx

3) 0000222277773333 2222 ≥≥≥≥−−−−++++−−−− xxxxxxxx ; 00003333<<<<−−−−====aaaa ;2222

333311116666

5555777700002525252522223333444477772222 ====−−−−±±±±−−−−

====⇒⇒⇒⇒>>>>====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆ xxxx

Graficico di 222277773333 2222 −−−−++++−−−−==== xxxxxxxxyyyy

Dal grafico si deduce la soluzione:

S: 222233331111 ≤≤≤≤≤≤≤≤ xxxx////

Grafico di 1212121255552222 2222 ++++−−−−==== xxxxxxxxyyyy

1111 3/23/23/23/2

y>0:y>0:y>0:y>0:

Grafico di 111144444444 2222 ++++++++==== xxxxxxxxyyyy

-1/2-1/2-1/2-1/2

Grafico di 222277773333 2222 −−−−++++−−−−==== xxxxxxxxyyyy

1/31/31/31/3 2222

PARABOLA COME LUOGO GEOMETRICO - MATHMIX · Prof. I. Savoia PARABOLA Bologna, maggio 2012 P. 1...

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