La parabola

Sintesi

esperienze con Geogebra

esempi

approfondimenti

La parabola

Un corpo pesante da una torre.

Galileo Galilei (1564-1642) in “Discorsi e dimostrazioni matematiche sopra due Nuove Scienze” prima osservò che un corpo lasciato cadere ad esempio da una torre aveva come traiettoria una retta poi prese lo stesso corpo, ritornò sulla torre e “lanciò” il corpo (imprimendo quella che chiameremo velocità iniziale); il corpo cadeva ma con una traiettoria diversa: una parabola. Se vuoi provare con Geogebra

http://geogebratube.org/student/m23632

La parabola

Un altro esempio di traiettorie lo possiamo trovare nel calcio.

Propongo come curiosità:

un video;

http://www.youtube.com/v/fch08LxzAG8

un link ad un bloghttp://www.ilpost.it/2012/02/23/come-fare-gol-su-

calcio-dangolo/

un titolo di un librohttp://online.scuola.zanichelli.it/chiavidilettura/la-

scienza-nel-pallone/

per coloro che volessero approfondire.

E se non piace il calcio?!

Proviamo con il basket

http://vimeo.com/44572572

La parabola

L’immagine è tratta dal film “Tutti pazzi per Mary”

• Un raggio, colpendo una superficie piana con un certo angolo, viene riflesso con lo stesso angolo. Se ora prendiamo lo specchio “abbronzante” possiamo provare a vedere dove vanno i raggi. Se pieghiamo questo specchio affinché tutti i raggi convergano in un punto….il profilo dello specchio risulterà una curva particolare che chiameremo parabola (o meglio un pezzo di parabola). Se i raggi sono molto forti e la signora è di carnagione molto chiara…..dopo un po’ di tempo la signora andrà a “fuoco”!!!! • Analogamente per i segnali, ad esempio televisivi, raccolti dalle parabole e convogliati in un ricevitore che è posto proprio in quel punto dove si concentrano i raggi riflessi: il fuoco.

La parabola

Archimede (III a.C.) aveva capito tutto questo e si racconta che con specchi parabolici bruciò le navi romane. Questo tipo di specchio si chiama ustorio.

Ed uno specchio era anche messo in cima agli 85mt del faro Alessandria, visibile a 50km di distanza. (280 a.C.)

Sullo stesso principio funzionano gli impianti solari a concentrazione.

La parabola

• pensiamo di sospendere una catena (o un filo pesante) come in figura. La curva individuata dal filo sembra una parabola, ma non lo è si chiama catenaria. (ne riparleremo fra qualche mese).

Ha una proprietà molto importante dal punto di vista dell'equilibrio: soggetta ad un carico, distribuisce il peso uniformemente lungo la curva stessa (ogni punto è sottoposto allo stesso peso!).

Prima di passare alla definizione della parabola soffermiamoci su un ultima considerazione:

•se ora pensiamo di appendere, ad esempio con delle funi, alla catena dei pesi distribuiti uniformemente (come nel caso di un ponte sospeso); la curva che si crea è una parabola. Tale curva ha la proprietà: se su tale curva agisce una forza peso, questa si distribuisce lungo la parabola in modo che gli sforzi risultino equamente distribuiti lungo la direttrice.

E’ quello che accade in alcuni ponti sospesi:alla catena sono appesi tiranti che sostengono il piano del ponte: il peso è uniforme per unità orizzontale di lunghezza, e la curva risultante è una parabola.

La parabola

Se ora pensiamo di prendere il ponte precedente e farne una simmetria otteniamo questa altra situazione.

• E’ possibile provare che le due curve (filo pesato con o senza carico distribuito) sono differenti. Per il momento accontentiamoci di questo grafico.

Elementi architettonici, archi e loghi:• Sagrada Familia – Barcellona – A. Gaudi

• Gateway arch St. Louis (USA)

•Mc Donald

La parabola

Dagli esempi alla definizione di parabola

parabola come luogo di posizioni assunte da un punto che si muove sotto certe ipotesi (definizione cinematica).

Parabola come luogo di punti del piano che verificano determinate proprietà geometriche (espresse utilizzando altri oggetti del piano e relazioni tra questi oggetti) (definizione

metrica)

Parabola come coppie di numeri (e quindi punti nel piano cartesiano) che soddisfano una equazione f(x,y)=0.

(definizione analitica)

Poiché la parabola è sempre lo stesso oggetto….le tre definizioni dovranno essere equivalenti; cioè scelta una definizione, le altre (definizioni) seguiranno come proprietà (o proposizioni).

La parabola

Definizione di parabola.Noi abbiamo scelto la definizione metrica

Assegnati nel piano un punto F e una retta d, si chiama parabola la curva piana luogo geometrico dei punti equidistanti da F e da d

F è detto fuoco, la retta d è detta direttrice

E con alcuni calcoli

ricaveremo

L’equazione ovvero la definizione analitica 2axy

La parabola

definizione metrica: assegnati nel piano un punto F e una retta d, si chiama

parabola la curva piana luogo geometrico dei punti equidistanti da F e da d

Vediamo di ricavare la curva con alcune esperienze:

1) Ad esempio piegando la carta

2) Ripercorriamo questa esperienza con Geogebrahttp://geogebratube.org/student/m93631

3) Vediamo una costruzione diversa della parabola come luogo di punti … (ripercorreremo la definizione metrica)

http://geogebratube.org/student/m93636

La parabola

Sfruttando Geogebra è possibile chiarire le seguenti affermazioni:

La retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice si chiama asse della parabola;

Il punto V in cui la parabola incontra l’asse è detto Vertice della parabola ed l’unico punto della parabola simmetrico a se stesso

Preso un punto della parabola esiste sempre un punto della parabola stessa che è simmetrico del punto dato. Diremo che la parabola è una figura con asse di simmetria

Variando la distanza tra fuoco e direttrice si ottengono parabole più o meno aperte

La parabola si trova sempre nel semipiano, individuato dalla direttrice, e contente il fuoco

http://geogebratube.org/student/m93641

La parabola

Si può dimostrare (vedere libro) che

L’equazione di una parabola che ha vertice nell’origine degli assi O e asse coincidente con l’asse y è del tipo

Con

)0(2 aaxy

aydirettrice

xasse

VVerticea

FFuoco

4

10

)0;0(

)4

1;0(

La parabola

Vediamo brevemente alcuni esempi/esercizi)0(2 aaxy

1) Ricordiamo che se P appartiene alla curva, allora le coordinate di P soddisfano l’equazione. Quindi sostituiamo ad x e y le coordinate di P e ricaviamo a. 24828

2 aaa

2) Dalla relazione tra ordinata del fuoco e coefficiente dell’equazione ricaviamo a

Si consideri la parabola :1) si determini a affinché passi per P(-2;8);2) Si determini a affinché il fuoco abbia coordinate (0;-4)

16

14

4

1)

4

1,0( a

aaF

Soffermiamoci sul risultato al punto (2): poiché sappiamo che il vertice (0;0) è punto medio tra direttrice e fuoco, poiché il fuoco ha ordinata -4 possiamo ricavare che la direttrice avrà equazione y=4. Inoltre la parabola è contenuta nel semipiano contenente il fuoco e quindi nel III e IV quadrante. Infine poiché la parabola non interseca la direttrice, allora dovrà essere rivolta verso il basso e quindi a<0.Il risultato ottenuto e le considerazioni sopra possono essere verificate con Geogebra(vediamo come)

La parabola

1. Apriamo Geogebra e nella riga di inserimento digitiamo l’equazione della parabola. Nella stessa riga digitiamo le coordinate del fuoco e l’equazione della direttrice

2. Scegliamo un punto sulla parabola

3. e con lo strumento distanza valutiamo la distanza tra il punto e il fuoco e il punto e la direttrice

4. Muoviamo il punto scelto e verifichiamo che la condizione di equidistanza è rispettata

1

2 3

4

Costruiamo ora un foglio di Geogebra per rappresentare la generica parabola di equazione

1) Utilizziamo uno slider, al quale daremo nome a

2) digitiamo nella riga di inserimento l’equazione

3) Digitiamo nella riga di inserimento le coordinate del Fuoco e del vertice

4) Facciamo variare a con lo slider

Cosa possiamo osservare?

Sulla concavità?

Sulla posizione di F?

Sulla forma della curva?

La parabola

)0(2 aaxy

)0(2 aaxy

La parabola

Possiamo provare che tutte le parabole

sono tra loro omotetiche Ovvero hanno la stessa forma

)0(2 aaxy

k

yy

k

xx

kyy

kxx

'

'

'

' Sostituendo nell’equazione e svolgendo i calcoli otteniamo

2'' xk

ay

Consideriamo due parabole di equazione

22 ' xayaxy

Poniamo

k

aa ' E ricaviamo k

Utilizziamo adesso Geogebra per traslare la parabola

Poi carta e penna ricaviamo l’equazione della generica parabola con asse parallelo alle y e le sue caratteristiche principali.

La parabola

v

v

yyy

xxx

'

'Ricaviamo le inverse e sostituiamo nell’equazione

)0(2 aaxy

vvvvv yaxxaxaxyxxayy 222

2

Assegniamo : vvv yaxcaxb 2

;2

E otteniamo l’equazione di una parabola con asse parallelo all’asse y:

)0(2 acbxaxy

La parabola

l’equazione di una parabola con asse parallelo all’asse y:

)0(2 acbxaxy

Osserviamo:1. Le considerazioni su a varranno ancora2. Il vertice della parabola :

• Ascissa : la otteniamo da

• Ordinata: la otteniamo sostituendo l’ascissa nell’equazione3. L’asse avrà equazione4. La direttrice avrà equazione5. Il fuoco avrà coordinate

a

bxaxb vv

22