La Parabola

Di cosa si tratta?

Una parabola può essere definita come luogo geometrico nel modo seguente:

• Una parabola è l'insieme dei punti del piano equidistanti una retta r (detta direttrice) e da un punto F (detto fuoco) non contenuto in r.

Galileo e la ParabolaGalileo per primo dimostrò

che la traiettoria descritta da un proiettile è un arco

di parabola.Nell’introduzione alla terza

giornata dei Discorsi egli scrive:

“Nulla v'è, forse, di più antico del moto, e su di esso ci sono non pochi volumi, né di piccola mole, scritti dai filosofi; tuttavia tra le sue proprietà ne trovo molte che, pur degne di essere conosciute, non sono mai state finora osservate, nonché dimostrate. [ ... ] E' stato osservato che i corpi lanciati, ovverosia i proietti, descrivono una linea curva di un qualche tipo; però, che essa sia una parabola, nessuno l'ha mostrato. Che sia cosi, lo dimostrerò insieme ad altre non poche cose, né meno degne di essere conosciute, […] .”

Come si pensavano dunque queste “linee curve”?

Prima che Galileo giungesse ad una dimostrazione del moto parabolico dei proiettili, queste cadute, come lui stesso ci testimonia insieme alla foto adiacente, erano pensate come “linee curve” , ovvero, caratterizzate da una ascesa rapida e sostanzialmente lineare e da una caduta verticale attraverso un angolo a gomito.

La disputa del brevettoIn realtà l'enunciazione e la dimostrazione del moto parabolico dei proiettili

venne pubblicata per la prima volta dal Cavalieri nel 1632 nel libro Specchio ustorio, attestando però in una lettera allo stesso Galileo di haver imparato in gran parte da lei ciò ch 'io tocco in questa materia.

Galileo ne rimase molto amareggiato e in una lettera del settembre 1632 scriveva:

lo non posso nascondere tale avviso essermi stato di poco gusto, nel vedere come di un mio studio di più di 40 anni mi deva esser levato

allle primizie, e sfiorata quella gloria che tanto avidamente desideravo e mi promettevo da si lunghe fatiche; perché veramente il mio primo intendimento, che mi mosse a specular sopra 'l moto, fu il ritrovar tal

linea, la quale se ben ritrovata, è poi di non molto difficile dimostrazione.

Lo strumento

Con questo strumento, di grande efficacia didattica, si può verificare la legge di composizione dei moti della cinematica del punto materiale, qui approssimato con una piccola biglia di metallo. In particolare si ha l'immediato riscontro visivo che un corpo soggetto all'accelerazione di gravità e scagliato in avanti con una certa velocità descrive, cadendo a terra, un tratto di parabola appartenente al piano individuato dai due vettori (velocità e accelerazione di gravità) che caratterizzano il suo moto .

Quali sono le componenti dello strumento?Lo strumento si compone di pochi ma essenziali

elementi:• La rampa, dove la biglia potrà incrementare la

sua velocità,• Il compensato sul quale è tracciata la parabola

ideale che la nostra pallina dovrà seguire in linea di massima,

• Gli anelli, fissati nel compensato, consentono anche a chi non dispone di attrezzi sofisticati di determinare la traiettoria della biglia,

• La fossetta d’arrivo, dove terminerà la corsa della pallina e di conseguenza il nostro esperimento.

L’esperimento

La rincorsa

Lo stacco

Il volo

L’atterraggio

La spiegazione fisica…Manovrando il dispositivo di rilascio della biglia, essa percorre lo scivolo

incrementando gradualmente la propria velocità. Quindi, non appena la biglia lascia lo scivolo con una certa velocità (con direzione parallela al

suolo per costruzione), essa si troverà soggetta all'accelerazione di gravità: il piano di traiettoria risulta dunque perpendicolare al suolo. Ora si immagini

un piano cartesiano con vertice posizionato in corrispondenza della fine dello scivolo, asse delle y orientato verso il basso e asse delle x orientato

nel senso del moto. Per studiare la traiettoria della biglia si analizzano i due moti indipendenti lungo gli assi del sistema di riferimento scelto e

precisamente:

• il moto rettilineo uniforme lungo x di equazione x = v0t, in cui t è il tempo e v0 la velocità lungo x di distacco della biglia (velocità che si mantiene costante fino all'arrivo al suolo);

• il moto uniformemente accelerato verso il basso di equazione y = ½ gt2, con g l'accelerazione di gravità che, in una regione ristretta della superficie terrestre, si può considerare con buona approssimazione costante durante il moto in direzione e modulo (è evidente che in questo ragionamento non si tiene conto della resistenza dell'aria, altrimenti la funzione sarebbe diversa).

Per avere l'equazione della traiettoria è sufficiente a questo punto esprimere y in funzione di x: ciò che si ottiene è l'equazione y = gx2/(2v0

2) che rappresenta una parabola, come volevasi dimostrare.

…ed alcune piccole problematicheGli anelli di controllo della traiettoria sono leggermente più grandi delle

dimensioni della biglia e questo perché il suo moto di caduta è disturbato da vari fattori:

• la non perfetta perpendicolarità dello strumento; • la resistenza dell'aria atmosferica che distorce leggermente la traiettoria; • l'attrito che la biglia subisce ad opera del contatto col precedente tratto di

guida, che incide sulla velocità al momento del distacco (essa non è mai uguale, ma sempre leggermente diversa caduta per caduta);

• gli urti della pallina sulle guide laterali, che modificano la direzione del vettore velocità al momento del distacco (essi comportano un piccolissimo e imprevedibile spostamento laterale di direzione perpendicolare al piano su cui giace la traiettoria di caduta della biglia.

Per tutte queste cause di disturbo la traiettoria della pallina non si può descrivere con una "curva di traiettoria" (propria del caso ideale), ma

attraverso un "tubo cilindrico di traiettoria" di forma parabolica di cui gli anelli di controllo ne segnano a intervalli la superficie ideale. La biglia è

dunque libera di percorrere qualsiasi traiettoria che stia all'interno del "tubo cilindrico" la cui curva di traiettoria ne è l'asse.

Lo strumento è purtroppo danneggiato: l'evidente frattura nel legno ha spostato l’asse dello strumento poggiante su tre soli pioli, il che fa cadere alle volte la

biglia al di fuori del punto d'arrivo previsto.

Calcoliamo ora questo moto parabolico

Fisicamente

x = v0t ; y = gt2/2 t = x/v0

y = gx2/2v02

g/2v02 = k = 0,0234 (trovato

algebricamente dalla tabella)

g = 9,8 m/s2 v0 = 1,44 m/s

Algebricamente

y = kx2

sostituisco y e x con dei valori della tabella

(x = 48; y = 54)

y = kx2 54 = k 2304

y = gx2/2v02

2v02 = 2304g/54 = 41.880

v0 = 1,44 m/s