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Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

Equazione di Klein-Gordon e potenziale di Yukawa

Lezione 11

Equazione di Klein-Gordon

•  Per preparare lo studio delle proprietà delle interazioni, diamo una breve occhiata ad una generalizzazione relativistica dell’equazione di Schrödinger.

•  Equazione di Klein-Gordon –  Dalla trattazione relativistica compare un’equazione di continuità

analoga a quella classica –  Che permette di intuire la necessità di introdurre anti-particelle:

•  conservazione dei numeri quantici barionico ed elettronico

–  Cercando soluzioni statiche mostreremo come un potenziale a breve range può essere interpretato con lo scambio di una particella massiva:

–  Dal calcolo delle sezioni d’urto si ottengono relazioni per l’intesità relativa delle forze

•  Questa discussione è una forma estesa del cap. 9 del Das-Ferbel

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 11 A. Andreazza - a.a. 2015/16 2


•  L’equazione di Schrödinger per una particella libera è palesemente non relativisticamente invariante:

•  è stata ricavata dala relazione:

•  Effettuando la sostituzione operatoriale:

•  Per trovare una generalizzazione relativistica, possiamo utilizzare delle relazioni relativistiche: –  tetra-vettore energia impulso:

–  con l’identità operatoriale

–  e la relazione energia momento:


−!2

2m∇2ψ = i! ∂

∂tψ

E = p2

2m

E = i! ∂∂t, p = −i!∇

( E p )

pν ⇒ i!∂ν = i!∂∂xν

p2 = pν pν = E 2 − p2 = m2


•  Sostituendo gli operatori nelle relazione energia-impulso, otteniamo l’equazione di Klein-Gordon:

–  Cerchiamo soluzione nella forma di onde piane: •  N è un coefficiente di normalizzazione

–  La condizione che deve soddisfare il tetravettore p è:

–  Per un dato valore del momento, esistono due soluzioni:

•  soluzioni con energia positiva:

•  soluzioni con energia negativa:


∂2

∂t2φ −∇2φ +m2φ = 0

φ = Ne−ip⋅x

−E 22 +p2 +m2( )φ = 0

E = ± p2 +m2 = ±Ep Ep definita come sempre positiva

φ+ = Ne−iEpt+ip⋅x

φ− = Ne+iEpt+ip⋅x

Corrente di probabilità (Schrödinger)

•  Consideriamo l’equazione di Schrödinger e la sua complessa coniugata:

•  Moltiplichiamo a sinistra rispettivamente per ψ* e ψ:

•  Sottraendo le due equazioni:

•  Da cui si ricava:

•  Che si identifica come un’equazione di continuità: •  Se identifichiamo la densità: ρ=|ψ|2 •  e la densità di corrente: J=(-i/2m)[ψ*∇ψ-ψ∇ψ*]


i ∂∂tψ +

12m

∇2ψ = 0 −i ∂∂tψ* +

12m

∇2ψ* = 0

iψ* ∂∂tψ +

12m

ψ*∇2ψ = 0 −iψ ∂∂tψ* +

12m

ψ∇2ψ* = 0

iψ* ∂∂tψ + iψ ∂

∂tψ* +

12m

ψ*∇2ψ −12m

ψ∇2ψ* = 0

i ∂∂t

ψ*ψ( )+ 12m

∇ ψ*∇ψ −ψ∇ψ*( ) = 0

∂∂tψ

2−

i2m

∇ ψ*∇ψ −ψ∇ψ*( ) = 0∂∂tρ +∇⋅ J = 0

Corrente di probabilità (Schrödinger)

•  Nel caso particolare di onde piane:

•  La densità:

•  La corrente:

•  Ovvero:


ρ = ψ2= N 2

J = − i2m

ψ*∇ψ −ψ∇ψ*( )

ψ = Ne−i p

2

2mt+ip⋅x

= −i2m

ψ*(ip)ψ −ψ(−ip)ψ*( )

=p2m

ψ*ψ +ψψ*( ) = 2p2m ψ2= v ψ 2

J = vρ = N 2 v

Corrente di probabilità (Klein-Gordon)

•  Ripetiamo lo stesso procedimento con l’equazione di Klein-Gordon:

•  Moltiplichiamo a sinistra rispettivamente per 𝜙* e 𝜙:

•  Sottraendo le due equazioni:

•  Da cui si ricava: •  Che si identifica anch’essa come un’equazione di continuità:

•  e si può esprimere in maniera covariante


∂∂tρ +∇⋅ J = 0

∂2

∂t2φ −∇2φ +m2φ = 0 ∂2

∂t2φ* −∇2φ* +m2φ* = 0

φ*∂2

∂t2φ −φ*∇2φ +φ*m2φ = 0 φ

∂2

∂t2φ* −φ∇2φ* +φm2φ* = 0

φ*∂2

∂t2φ −φ

∂2

∂t2φ* −φ*∇2φ +φ∇2φ* = 0

∂∂t

φ*∂∂tφ −φ

∂∂tφ*

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟−∇ φ*∇φ −φ∇φ*( ) = 0

ρ = i φ* ∂∂tφ −φ

∂∂tφ*

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ J = −i φ*∇φ −φ∇φ*( )

Jν = −i φ*∂νφ −φ∂νφ

*( ) ∂νJν = 0

Corrente di probabilità (Klein-Gordon)

•  Nel caso particolare di onde piane:

•  La densità:

•  Le soluzioni con energia positiva hanno densità: •  Le soluzioni con energia negativa hanno densità: •  Nella densità compare anche un termine proporzionale a γ

→ effetto relativistico dovuto alla contrazione del termine di volume •  La corrente:

•  Le soluzioni con energia positiva: •  Le soluzioni con energia negativa:


φ = Ne−iEt+ip⋅x

ρ = i φ* ∂∂tφ −φ

∂∂tφ*

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = i φ*(−iE)φ −φ(iE)φ*( ) = E φ*φ +φφ*( )

ρ = 2 N 2 Eρ = 2 N 2 Ep > 0ρ = −2 N 2 Ep < 0

J = −i φ*∇φ −φ∇φ*( ) = −i φ*(ip)φ −φ(−ip)φ*( ) = p φ*φ +φφ*( )J = 2p N 2

J = 2pρ / 2Ep = βρJ = −2pρ / 2Ep = −βρ

β = p / Ep

Particelle ed anti-particelle

•  Nell’equazione di Klein-Gordon le soluzioni ad energia negativa sorgono perché l’equazione è del secondo ordine nelle derivate temporali.

•  Dirac scrisse un’equazione relativisticamente invariante al primo ordine: –  descrive i fermioni – particelle con spin 1/2 –  anche in tal caso si trovano soluzioni con energie negative

•  In una formulazione relativistica della meccanica quantistica, queste soluzioni sono identificabili con le anti-particelle: –  la carica conservata –  è la differenza tra numero di particelle ed antiparticelle

•  L’esistenza di anti-particelle entra a forza nella meccanica quantistica relativistica.

•  Esempio: processo di scambio carica: non è possibile distinguere i due processi


p

-p

Δp p+Δp

-p-Δp -Δp

p

-p

Δp p+Δp

-p-Δp -Δp

p emette un π+ che viene assorbito dal n n emette un π- che viene assorbito dal p

Q = dVρ∫



Nobel 1936

•  1932: osservazione del positrone nei raggi cosmici



Nobel 1959

•  1932: osservazione del positrone nei raggi cosmici •  1955: produzione di anti-protoni in collisioni p-N

Nobel 1936


•  Particelle e rispettive anti-particelle hanno la stessa massa: –  entrambe soddisfano l’equazione E2-p2=m2

•  e lo stesso spin. •  Le altre cariche hanno segno opposto:

–  elettrone, q=-1 positrone, q=+1 –  protone, q=+1 antiprotone, q=-1

µ=+2.79µN µ=-2.79µN I3=+1/2 I3=-1/2

•  ...questo vale anche per particelle neutre: –  neutrone, q=0 antineutrone, q=0

µ=-1.91µN µ=+1.91µN I3=-1/2 I3=+1/2

•  In alcuni casi, particelle neutre sono le antiparticelle di sè stesse. –  tipicamente accade per bosoni –  Il caso più notevole è il fotone, γ –  per queste non vale una legge di conservazione del numero di particelle



•  La conservazione del numero totale di particelle – antiparticelle vale individualmente per le singole specie.

•  Nel caso di simmetrie interne, come lo spin isotopico, la funzione d’onda ha diverse componenti:

–  Le interazioni deboli possono causare spostamenti da una componente all’altra –  La legge di conservazione si applica quindi solo alla funzione d’onda globale, non alle

singole componenti. –  Conservazione del numero barionico:

•  numero di nucleoni – numero di anti-nucleoni •  vedremo più avanti che il nome serve ad indicare una classe più ampia di particelle,

i barioni, di cui il nucleone è la particella più leggera •  Interazioni forti ed elettromagnetiche conservano separatamente i numeri di n e p

•  Stabilità del protone: –  conseguenza della conservazione del numero barionico è che il p, essendo il barione più

leggero, è stabile. –  il limite inferiore alla vita media del protone è τp>1031 anni

(da confrontarsi con l’età dell’universo 12×109 anni)


p = 10( ), n = 0

1( )φ x( ) = a x( ) p + b x( ) n = a(x)b(x)

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Neutrini ed anti-neutrini

•  Abbiamo evidenza che neutrini ed anti-neutrini sono particelle differenti: –  In un reattore nucleare, (anti)neutrini vengono prodotti insieme con e-

attraverso decadimenti β-: –  questi possono venire osservati tramite la reazione:

•  (esperimento di Reines e Cowan) •  non si osserva invece:

–  Nei processi di fusione, neutrini vengono prodotti insieme con e+

–  questi sono stati osservati tramite reazioni del tipo: •  (esperimento di Davis) •  non si osservano processi analoghi come:

•  L’interpretazione è molto simile a quanto fatto per i nucleoni: –  dal punto di vista delle interazioni deboli, |e-⟩ e |νe⟩ sono due stati

corrispondenti ad una simmetria interna –  isospin debole: I=1/2, |νe⟩ I3=+1/2, |e-⟩ I3=-1/2 –  Conservazione del numero elettronico


(Z,A)→ (Z +1,A)+ e− +νe

νe + p→ e+ + nνe + n→ e− + p

p + p→ d + e+ +νe

νe +37Cl→ 37Ar + e−

νe +37Cl→ 37S+ e+

Decadimenti doppio β


Z

•  Nella formula di Weiszäcker

•  Un nucleo con A pari può essere –  pari-pari a5 < 0 –  dispari-dispari a5 > 0

–  ci sono due possibili parabole •  I casi del tipo Cd–In-Sn sono molto interessanti

–  È possibile un decadimento β doppio

•  È di grande interesse la ricerca di decadimenti doppio β senza neutrini

–  violazione del numero leptonico –  possibile in modelli teorici in cui un neutrino può trasformarsi in un anti-neutrino

•  Figura da: Basdevant, Rich, Spiro – Fundamentals in nuclear physics – Springer 2005

( )( )2 3

3 413

22

1 2 3 4 52, Z A ZB A Z a A a A a a a AAA

--= - + + + ±

ZAX → Z−2

AX + e− + e− +νe +νe

ZAX → Z−1

AX + e− +νe νe → νe νe + Z−1AX → Z−2

AX + e−

Potenziale di Yukawa

•  Possiamo anche cercare soluzioni stazionarie dell’equazione di Klein-Gordon:

•  Queste possono essere non nulle solo in presenza di una carica sorgente:

•  Se andiamo nello spazio delle trasformate di

Fourier,

•  l’equazione diventa un’equazione algebrica:

•  dovremmo ora calcolare l’anti-trasformata •  è più facile notare the la funzione ottenuta è

la trasformata di:

Esattamente quello che facciamo per il campo elettromagnetico: •  campo libero:

•  campo elettrostatico

•  se


∂∂tφ = 0

∂ν∂νφ = 0

−∇2φ = ρ /ε0ρ = eδ(r)

φ =e

4πε0r

−∇2φ +m2φ =ηδ(r)

!φ(k) = dVeik⋅rφ(r)∫

k2 !φ +m2 !φ =η !φ = ηk2 +m2

φ =ηe−mr

4πr

Potenziale di Yukawa

•  L’equazione di Klein-Gordon descrive una particella libera di massa m con un formalismo covariante

•  Il potenziale di Yukawa corrisponde alla soluzione dell’equazione di Klein-Gordon in corrispondenza di sorgenti

•  Questo porta ad identificare concettualmente le interazione dovute ad un certo potenziale, con la propagazione di particelle tra le sorgenti di quel potenziale:

–  range delle interazioni: 1/m –  nel limite m=0 si ha la forma del potenziale elettromagnetico:

interazioni a lungo range –  predizione dell’esistenza di una particella mediatrice delle

interazioni tra nucleoni: il pione


φ =ηe−mr

4πr

Intensità delle interazioni

•  Finora abbiamo detto che esiste una gerarchia nell’intensità delle interazioni: 1.  interazioni forti 2.  interazioni elettromagnetiche 3.  interazioni deboli 4.  interazioni gravitazionali

•  Vogliamo ora quantificare meglio questa relazione –  Usiamo la regola d’oro per calcolare la sezione d’urto di una particella in un

potenziale di Yukawa –  la sezione d’urto dipende:

•  dalla costante η •  dalla massa m (o dal range 1/m della forza)

–  m=0 per interazione elettromagnetiche e gravitazionali •  dal momento trasferito q=pi-pf nell’interazione

–  I valori di η stabiliscono una gerarchia •  interazioni forti ≫ interazioni elettromagnetiche e deboli ≫ gravitazione •  la differenza tra interazioni elettromagnetiche e deboli dipende dal range delle

interazioni e diminuisce all’aumentare di q2 •  Fenomeno che suggerisce l’unificazione elettro-debole


V (r) = η e−mr

4πr

Scattering su potenziale fisso

•  La probabilità di transizione da uno stato iniziale i, ad uno stato finale f, causata dall’interazione con un potenziale V, è descritta dalla regola d’oro di Fermi:

•  Dove compaiono: –  l’elemento di matrice

–  Le funzioni d’onda, sono quelle della particella libera, normalizzate sul volume

–  con momenti

–  la densità di stati finali: (spazio delle fasi)


P = 2π!

f U i 2 ρ Ef( )

f U i = drψ f* r( )U r( )ψi r( )∫

ρ Ef( ) =dNdE f

=Vpf2dΩ(2π!)3

dpfdE f

ψ r( )∝1Ve−ip⋅r

pi = p 0 0 1( ) p f = p sinθ cosϕ sinθ sinϕ cosθ( )

Elemento di matrice su potenziale di Yukawa

•  L’elemento di matrice:

•  dove abbiamo introdotto il momento trasferito q=pi-pf


f U i = drψ f* r( )U r( )ψi r( )∫ = dr 1

Veip f ⋅rη e

−mr

4πre−ipi ⋅r∫ =

η4πV

dr e−mr

re−i!pi−p f( )⋅r∫

q2 = p22 1− cosθ( ) = p2 4sin2θ 2

q = p −sinθ cosϕ −sinθ sinϕ 1− cosθ( )

=η4πV

dr e−mr

re−iq⋅r∫

Elemento di matrice su potenziale di Yukawa

•  Per calcolare l’integrale, usiamo le formule:

•  L’elemento di matrice diventa:

–  per svolgere l’integrale, possiamo scegliere liberamente l’asse z –  usiamolo diretto lungo q:


dxe−αx0

+∞∫ =

1α

f U i = η4πV

dr e−mr

re−iq⋅r∫

f U i = ηV

1m2 + q2

dxe−αxx1

x2∫ =1α

e−αx1 − e−αx2#$ %&

=η4πV

dϕ dcosθ drr2 e−mr

re−iqrcosθ∫ =

2πη4πV

dr re−mr dcosθ e−iqrcosθ−1

1∫0

+∞∫

=η2V

drre−mr 1iqr⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ eiqr − e−iqr⎡⎣ ⎤⎦0

+∞∫

=η2V

1iq⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1m − iq

−1

m + iq⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=η2V

dr 1iq⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ e−(m−iq)r − e−(m+iq)r⎡⎣ ⎤⎦0

+∞∫

=η2V

1iq⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2iqm2 + q2⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥

f U i = ηV

!c( )3

m2c4 + q2c2in unità SI

Termine di spazio delle fasi

•  Dalla relazione tra pf ed Ef: (caso non relativistico)

•  Ed il termine di densità di stati finali diventa:


pf = pi = 2ME = 2MEfdpfdE f

=M2E

ρ Ef( ) =dNdE f

=Vpf2dΩ(2π!)3

dpfdE f

=Vpf2dΩ(2π!)3

M2E

=V2MEdΩ(2π!)3

M2E

=VM 2ME(2π!)3

dΩ

M=massa particella incidente (o massa ridotta del sistema)

Sezione d’urto

•  La probabilità di transizione per unità di tempo è quindi:

•  confrontandola con la definizione di sezione d’urto:

•  Troviamo la sezione d’urto differenziale:


P = 2π!

η2

V 2!c( )6

m2c4 + q2c2( )2VM 2ME(2π!)3

dΩ

P = !c2π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2 1V

2EM

η2M 2

m2c2 + q2( )2dΩ

dndt

= IonTdσ

v della particella incidente

Il nostro stato ha una sola particella: dn/dt = P

Una particella, che percorre lo spessore d con velocità vα: produce un’intensità: I0=v/d

Un bersaglio nel volume V: la densità è: nT=1/V

dσ =!c2π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2 η2M 2

m2c2 + q2( )2dΩ

Sezione d’urto Coulombiana

•  Possiamo confrontare questo risultato con la sezione d’urto classica di Rutherford: –  M=mα

–  η=Z Zαe2/ε0

–  m=0 –  q2=(mαvα)24sin2(θ/2)=mαEα8sin2(θ/2)

•  Si ottiene esattamente lo stesso risultato:

•  Per interazioni tra cariche unitarie:


dσdΩ

=!c2π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2 η2M 2

m2c2 + q2( )2=

ηM!c2πq2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2

=ZZαe2mα!c

2πε0mαEα8sin2 θ / 2( )

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2

dσdΩ

=ZZαα!c4Eα

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2 1sin4θ 2

=ZZαα!c

Eα 4sin2 θ / 2( )

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2

η =e2

ε0= 4πα ≈ 0.09

Sezione d’urto forte

•  Nel caso limite in cui q≪mc –  corrisponde ai casi in cui il momento della particella incidente è molto minore di mc

•  Studiando le interazioni nucleone-nucleone, avevamo visto che a basso momento:

–  a=lunghezza di scattering: •  app = -17.1±0.2 fm •  ann = -16.6±0.5 fm

•  Confrontanto le due relazioni abbiamo:

•  Sapendo la massa m della particella mediatrice possiamo determinare η –  nelle prossime lezioni vedremo che questa particella esiste realmente –  il pione, mπ~140 MeV


dσdΩ

=η2

4π 2M!cm2c2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2=η2

4π 2Mm2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

σ = 4πa2

σ =η2

πMm2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

η = 2πam2

M

η ≈ 10 Il valore esatto dipende dalla scelta del potenziale/

Sezione d’urto debole

•  L’ipotesi di Fermi consisteva in pratica ad assumere un mediatore con range 1/m≪1 fm –  con le convenzioni utilizzate,

•  Ovvero, nel limite di momenti ≪ m

•  Sapendo la massa m della particella mediatrice possiamo determinare η

–  questa particella effettivamente è stata scoperta nel 1982 –  il bosone vettore W, mW=80.385 GeV

•  L’intensità relativa delle interazioni debole ed elettromagnetica:


η ≈ 0.07

f U i = ηV

!c( )3

m2c4 + q2c2≈1VGF !c( )3

GF =ηm2

σWσ e.m.

=f VW i 2

f Ve.m. i2 =

ηW4πα

q2

m2 + q2

ηW4πα

q2

m2 << 1 per q2 << m

ηW4πα

~ 1 per q2 >> m

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Interazioni gravitazionali

•  Per le interazioni gravitazionali il risultato è immediato: –  m=0 –  η=4πGNM2


η = 4πGNM 2 / (!c) = 12 6.67×10−11 (1.67×10−27)2 / (6.6 ×10−34 3×108)

= 11×10−11−54+34−8 = 1.1×10−38

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