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Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 1

Testi consigliatiAitchison I., Hey A.Gauge Theories in Particle Physics,Vol. 1 - A Practical Introduction (3rd ed.)IOP Publishing 2003

Aitchison J., Hey G.Gauge Theories in Particle Physics, 2nd ed.IOP Publishing 1989

Halzen F.,A.Martin A.Quarks and Leptons. Introductory Course in Modern Particle PhysicsJohn Wiley & Sons 1984

Horejsi J.Fundamentals od Electroweak TheoryCharles University, Prague 2002

Hitoshi MurayamaLecture Notes (files pdf)

Diapositive e registrazioni audio del corsohttp://www.mi.infn.it/~ragusa/2018-2019/elettrodebolihttp://www.mi.infn.it/~ragusa/2018-2019/elettrodeboli/registrazioni

prof. Francesco RagusaUniversità di Milano

Interazioni Elettrodeboli

anno accademico 2018-2019

Lezione n. 12.10.2018

Equazione di Klein-Gordon Invarianza relativistica

Paradosso di Klein


Equazione di Klein-GordonL’equazione non relativistica di Schrödinger non è adeguata a descrivere i risultati degli esperimenti quando l’energia cinetica è molto maggioredella massa a riposo delle particelle

Ricordiamo l’equazione di Schrödinger

Può essere ricavata partendo dalla relazione

Per ottenerla si fanno le seguenti sostituzioni operatoriali

Per giungere ad un’equazione relativistica si può seguire lo stesso metodoutilizzando grandezze e relazioni relativistiche (c = 1)

Il 4-vettore energia impulso pν = ( E, p )

La relazione energia – impulso

2 2 2 2p p p E mνν= = − =p

2

2E

m=

p

E i it∂

→ → −∂

∇p

( ) ( )2

2 , ,2

t i tm t

ψ ψ∂

− ∇ =∂

r r


Soluzioni dell’equazione di Klein-GordonPer semplicità da ora in poi poniamo ( = c = 1)

Sostituendo gli operatori nella relazione energia impulso otteniamo l’equazione di Klein-Gordon

Una soluzione di questa equazione è (p e x sono 4-vettori)Sostituendo otteniamo

Perché l'equazione sia soddisfatta p deve soddisfare la condizione

Identifichiamo pertanto p con il 4-impulso della particella (e quindi E = po )La soluzione è caratterizzata da 3 parametri indipendenti: px, py, pz

Notiamo inoltre cheCi sono pertanto due soluzioni

22 2

2 0mt

φ φ φ∂

− ∇ + =∂

ip xNeφ − ⋅=

2 2 20 0p mφ φ φ− + + =p

2 2 20p m= +p

2 2E m E= ± + ≡ ± pp

iE t iNeφ − + ⋅+ = p p x

iE t iNeφ + + ⋅− = p p x

soluzione con energia positiva

soluzione con energia negativa

Ep sempre positivo


Soluzioni dell’equazione di Klein-GordonCome nel caso dell’equazione di Schrödinger le soluzioni trovate sono autofunzioni dell’equazione che hanno uno spettro continuo

Non sono normalizzabiliLe soluzioni per problemi fisici si ottengono costruendo pacchetti d’onda

Sfruttando la simmetria dell’integrazione in k si può cambiare il segnodella parte spaziale dell’esponenziale del secondo termine dell’integrale

Ricordiamo che b(k) è una funzione arbitraria

( )( )

( ) ( )3

3,

2 2

iE t i iE t idt a e b e

Eφ

π

+∞− + ⋅ + + ⋅

−∞

⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ k kk r k r

k

kr k k

( )( )

( ) ( )3

3,

2 2

iE t i iE t idt a e b e

Eφ

π

+∞− + −⋅ + ⋅

−∞

⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ k kk r k r

k

kr k k

( )( )

( ) ( )3

3,

2 2

ik x ik xdt a e b e

Eφ

π

+∞− ⋅ + ⋅

−∞

⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫k

kr k k


Corrente di probabilità (Schrödinger)Consideriamo l’equazione di Schrödinger e la sua complessa coniugata

Moltiplichiamo a sinistra rispettivamente per ψ e ψ

Sottraiamo le due equazioni

Elaborando

Definendo

Otteniamo

210

2i

t mψ

ψ∂

+ ∇ =∂

*2 *1

02

it mψ

ψ∂

− + ∇ =∂

*2 *1

02

it mψ

ψ ψ ψ∂

− + ∇ =∂

* * 210

2i

t mψ

ψ ψ ψ∂

+ ∇ =∂

** * 2 2 *1 1

02 2

i it m t mψ ψ

ψ ψ ψ ψ ψ ψ∂ ∂

+ ∇ + − ∇ =∂ ∂

( )* * *10

2i

t mψ ψ ψ ψ ψ ψ

∂+ ∇ ∇ − ∇ =

∂( )2 * * 0

2i

t mψ ψ ψ ψ ψ

∂ −+ ∇ ∇ − ∇ =

∂

2 * *

2i

mρ ψ ψ ψ ψ ψ

− ⎡ ⎤= = −⎣ ⎦J ∇ ∇

0tρ

∂+ ∇ ⋅ =

∂J equazione di continuità

per la probabilità


Corrente di probabilità (Schrödinger)Nel caso particolare delle soluzioni

Otteniamo

2

2i t

mNeψ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟− − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠=

pp x

2Nρ =

mρ ρ= =

pJ v

[ ]2 2

2i

N i i Nm m−

= + =p

J p p


Corrente di probabilità (Klein-Gordon)Dobbiamo adesso verificare se le soluzioni dell’equazione di Klein-Gordonconsentono lo stesso tipo di interpretazione che si era sviluppato per le soluzioni dell’equazione di Schrödinger

Procedendo in modo del tutto analogo a quanto fatto per l’equazione di Schrödinger

Moltiplichiamo per φ∗ e φ

Sottraiamo

Si giunge aDefinizione di densità di probabilitàDefinizione di densità di corrente di probabilitàEquazione di Continuità

22 2

2 0mt

φ φ φ∂

− ∇ + =∂

2* 2 * 2 *

2 0mt

φ φ φ∂

− ∇ + =∂

2* * 2 2 *

2 0mt

φ φ φ φ φ φ∂

− ∇ + =∂

2* 2 * 2 *

2 0mt

φ φ φ φ φ φ∂

− ∇ + =∂

2 2* * 2 * 2 *

2 2 0t t

φ φ φ φ φ φ φ φ∂ ∂

− ∇ − + ∇ =∂ ∂

* *it t

ρ φ φ φ φ∂ ∂⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂ ∂

( )* *i φ φ φ φ= − ∇ − ∇J

0tρ

∂+ ∇ ⋅ =

∂J


Corrente di probabilità (Klein-Gordon)Ancora una volta, specializziamo alle soluzioni di onda piana

Calcoliamo la densità di probabilità

Questa definizione porta alla prima inconsistenzadell’equazione di Klein-Gordon

Per le soluzioni a energia positiva (ricordiamo che Ep > 0 sempre)

Per le soluzioni a energia negativa

Pertanto le soluzioni a energia negativa portano ad una probabilità negativaPriva di alcun senso fisicoLe soluzioni non hanno quindi un’interpretazione fisica

Notiamo che matematicamente la probabilità negativa è una conseguenza del fatto che l’equazione di Klein-Gordon e di secondo grado nel tempoTorneremo in seguito su questo problema

ip xNeφ − ⋅=

iE t iNeφ + + ⋅− = p p x

* *it t

ρ φ φ φ φ∂ ∂⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂ ∂

iE t iNeφ − + ⋅+ = p p x ( )2 22 0N i iE iE N Eρ = − − = >p p p

( )2 22 0N i iE iE N Eρ = + = − <p p p


Invarianza relativistica dell’equazione di Klein-GordonUn importante requisito delle equazioni relativistiche è la loro invarianza relativistica

Formalmente le equazioni relativistiche devono avere la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali

Consideriamo l’equazione di Klein-Gordon

Consideriamo un passaggio da un sistema inerziale K ad un sistema K' tramite una trasformazione di Lorentz Λ

Come si trasformano gli operatori di derivazione ?Come si trasforma la funzione φ(x) ?

La massa m è invariante ( è uno scalare in una trasformazione di Lorentz )Approfondiamo innanzitutto le proprietà delle trasformazioni di Lorentz

22 2

2 0mt

φ⎛ ⎞∂ ⎟⎜ − ∇ + =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠∂

( )2 0mμμ φ∂ ∂ + =


Trasformazioni di LorentzIn una trasformazione di Lorentz (ad esempio un boost lungo l’asse x) le componenti del 4-vettore tempo-posizione si trasformano secondo la legge

In forma matriciale e introducendo xμ =(ct, r)

Il prodotto matriciale indicato è espresso in forma tensoriale

Notare le posizioni degli indici μ e ν e i segni degli elementi della matrice che corrisponde a questa disposizione degli indiciAltre forme della matrice

ct xct y y

ct xx z z

γ γβ

γβ γ

′ ′

′

=

= − + ′

= −

=

0 0

1 1

2 2

3 3

0 00 0

0 0 1 00 0 0 1

x xx xx xx x

γ γβγβ γ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ −⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜′ ⎟ − ⎟⎟⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎟= ⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎟′ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜⎟⎜⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜⎝ ⎠′ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎜⎟ ⎟

x xμ μ νν′ = Λ sottointesa la somma dell’indice contratto ν

g αμν μα νΛ = Λ

0 0 0 00 1 2 31 1 1 10 1 2 3

2 2 2 20 1 2 3

3 3 3 30 1 2 3

⎛ ⎞Λ Λ Λ Λ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−Λ −Λ −Λ −Λ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−Λ −Λ −Λ −Λ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−Λ −Λ −Λ −Λ ⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟

gμν αν μαΛ = Λ

0 0 0 00 1 2 3

1 1 1 10 1 2 3

2 2 2 20 1 2 3

3 3 3 30 1 2 3

⎛ ⎞Λ −Λ −Λ −Λ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Λ −Λ −Λ −Λ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Λ −Λ −Λ −Λ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Λ −Λ −Λ −Λ ⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟

0 0 0 00 1 2 31 1 1 10 1 2 3

2 2 2 20 1 2 3

3 3 3 30 1 2 3

⎛ ⎞Λ −Λ −Λ −Λ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−Λ Λ Λ Λ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−Λ Λ Λ Λ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−Λ Λ Λ Λ ⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟

g gν νβ αμ μα βΛ = Λ

x

y

z

K x'

y'

z'

K'

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

gμα

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟= ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ − ⎟⎜⎝ ⎠

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

gαν

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟= ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ − ⎟⎜⎝ ⎠

g g gαν ν νμα μ μδ= =


Trasformazioni di LorentzLa proprietà che caratterizza una trasformazione di Lorentz è l’invarianza del prodotto scalare

Introducendo le coordinate nel sistema K'

Si ottiene

In conclusione

Moltiplicando ambo i membri per g βσ si ottiene

Esercizio: verificare che

x y x y x y x yμ μμ μ′ ′ ′ ′⋅ = = ⋅ =

x xμ μ νν′ = Λ y yμ μ ν

ν′ = Λ

x y g x yμ μ νμ μν′ ′ ′ ′= g x yμ α ν β

μν α β= Λ Λ ( )g x yμ ν α βμν α β= Λ Λ g x yα β

αβ=

g gμ νμν α β αβΛ Λ =

g g g gμ ν βσ βσ σμν α β αβ αδΛ Λ = = μ σ σ

α μ αδΛ Λ =g gμ σ σα μ αδΛ Λ =β

βν

ν

Λ 1−Λ I=

0 0 0 00 1 2 3

1 1 1 10 1 2 3

2 2 2 20 1 2 3

3 3 3 30 1 2 3

μα

⎛ ⎞Λ Λ Λ Λ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Λ Λ Λ Λ⎜ ⎟⎜ ⎟Λ = ⎜ ⎟Λ Λ Λ Λ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Λ Λ Λ Λ ⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟

0 0 0 00 1 2 31 1 1 10 1 2 3

2 2 2 20 1 2 3

3 3 3 30 1 2 3

σμ

⎛ ⎞Λ −Λ −Λ −Λ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−Λ Λ Λ Λ⎜ ⎟⎜ ⎟Λ = ⎜ ⎟−Λ Λ Λ Λ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−Λ Λ Λ Λ ⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟

( )1 σ σμμ

−Λ = Λ

0 0 0 00 0 0 0

0 0 1 0 0 0 1 00 0 0 1 0 0 0 1

I

γ γβ γ γβγβ γ γβ γ

−⎛ ⎞⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜− ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟ =⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠

TG GΛ Λ =in forma matriciale

Osservazione: l'inversa si ottiene con la sostituzione β → −β


Operatore di derivazioneVerifichiamo le proprietà di trasformazione del 4-vettore ∂μ ∂/∂xμ

Si ha ovviamente

Ricaviamo l’espressione di x in funzione di x'

Pertanto

Le componenti ∂/∂xμ si trasformano come xμ vale a dire in modo covariante

Analogamente abbiamo le componenti contravarianti

xxx x

α

αμ μ∂ ∂ ∂

=′ ′∂∂ ∂

x xμ μ νν′ = Λ x xα μ α μ ν

μ μ ν′Λ = Λ Λ x x xα μ α ν αμ νδ′Λ = =

xx

αα

μμ∂

= Λ′∂ xx

αμ αμ

∂ ∂= Λ

′ ∂∂

x xα α μμ ′= Λ

1 1, , , ,

x c t x y z c tμμ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜≡ ∂ = = ∇⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

1,

x c tμ

μ

∂ ∂⎛ ⎞⎟⎜≡ ∂ = −∇⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂ ∂ xxμα

αμ

∂ ∂= Λ

′ ∂∂


Operatore di d’AlembertIntroduciamo l’operatore di D’Alembert (o d’Alembertiano)

È un operatore scalareÈ il prodotto scalare di un 4-vettore con se stessoHa la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento

In forma esplicita

Per finire scriviamo la corrente di probabilità dell’equazione di Klein-Gordon in forma covariante

x xμ

μμμ

∂ ∂≡ ≡ ∂ ∂

∂ ∂

22

2tμ

μ∂

∂ ∂ = −∇∂

( )* *j iμ μ μφ φ φ φ⎡ ⎤= ∂ − ∂⎣ ⎦ 0jμμ∂ =


RapiditàUn modo alternativo di rappresentare la trasformazione di Lorentz si ottiene introducendo la rapidità ξ

Infatti osservando la seguente proprietà di γ e γβ

Possiamo porre

Utilizzando la rapidità la trasformazione di Lorentz può essere espressa

Che può essere vista come una rotazione con un angolo immaginario

( )2 2 2 2 21 1γ γ β γ β− = − =

sinh cosh tanhγβ ξ γ ξ β ξ= = =

0 0

1 1

2 2

3 3

cosh sinh 0 0sinh cosh 0 00 0 1 00 0 0 1

x xx xx xx x

ξ ξξ ξ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ −⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜′ ⎟ − ⎟⎟⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎟= ⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎟′ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜⎟⎜⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜⎝ ⎠′ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎜⎟ ⎟

( ) ( )sinh sin cosh cosi i iξ ξ ξ ξ= − =


Invarianza relativistica dell’equazione di Klein-GordonA questo punto abbiamo tutti gli ingredienti per discutere l’invarianza relativistica dell’equazione di Klein-Gordon

La funzione φ(x) soddisfa l’equazione di Klein-Gordon nel sistema inerziale K

Alla funzione φ(x) corrisponderà una funzione φ′(x′) nel sistema K′Se richiediamo che l’equazione di Klein-Gordon sia invariante per trasformazioni di Lorentz dovrà valere

Dal momento che ∂μ∂μ è invariante e che m è invariante è necessario che

La condizione sopra riportata definisce la funzione scalare φ′(x′)I punti x e x′ rappresentano lo stesso punto nello spazio tempo visto in due differenti sistemi inerzialiLa forma funzionale φ′ può essere differente da φ

Esempio φ(x) = e−ik x φ′(x′) = e–ik′ x′

( ) ( )2 0m xμμ φ∂ ∂ + =

x xμ μ νν′ = Λ

( ) ( )2 0m xμμ φ′ ′ ′ ′∂ ∂ + =

( ) ( )x xφ φ′ ′ =


Equazione di Klein-Gordon: interpretazioneAbbiamo visto che le soluzioni con energia negativa portano ad una probabilità negativa che non ha senso fisico

Dirac riuscì a risolvere il problema del segno della probabilitàLo vedremo fra poco

Potremmo tentare di utilizzare l’equazione di Klein-Gordon utilizzando solo le soluzioni con energia positiva

Ci sono comunque inconsistenzeAd esempio il Paradosso di Klein

Presente anche nell’equazione di Dirac

Studiamo l’interazione di una particella con un campo elettrostaticoL’interazione elettromagnetica viene introdotta tramite la sostituzione

Per la componente temporale

Per la componente spaziale

iqAμ μ μ∂ → ∂ +

i→ − ∇p q= +P p A

E it∂

→∂

0TE E qA E V= − ≡ −


Il paradosso di Klein†

Poniamo

Consideriamo l’equazione di Klein-Gordon nel caso di un potenziale a barriera

La funzione d’onda consiste di due partia sinistra (I) un’onda incidente e una riflessa

a destra (II) un’onda trasmessa

Pertanto a sinistra e a destra l’equazione è soddisfatta rispettivamente per

†Landau R. – Quantum Mechanics II-A second course in quantum mechanics 2nd ed. pag. 213

ip zBe ⋅

ip zCe− ⋅

ik zDe ⋅( )0,A Aμ = 0

( ) ( )( )

( )

22 2

2d z

E V z m zdzψ

ψ ψ− = − +z0

V

( ) ip z ip zI z Be Ceψ ⋅ − ⋅= +

( ) ik zII z Deψ ⋅=

2 2 2E p m= +sostituendo nell’equazione ( V = 0 )

sostituendo nell’equazione ( V ≠ 0 )

( )2 2 2E V k m− = +

2 2p E m= ± −

( )2 2k E V m= ± − −

deve essere p > 0 (B viaggia da sx a dx)

il segno di k deve essere determinato

( ) ( ), iEtE z t z eψ −Ψ =

0qA V=

regione I regione II

solo soluzione con E > 0


Il paradosso di KleinImponendo la continuità di ψ e di dψ/dz a z = 0 si ottiene

Risolvendo in funzione di B

Riepilogando

Le soluzioni normalizzabili si ottengono formando dei pacchetti d’onda

Come è noto, nel caso di pacchetti con una definizione del momento molto netta (g(ξ) molto stretta) il pacchetto viaggia senza deformarsi con velocità di gruppo

B C D

ipB ipC ikD

+ =⎧⎪⎪⎨⎪ − =⎪⎩p kC B

p k−

=+

2pD B

p k=

+

( ) ( ), iEtE z t z eψ −Ψ =

( ) ip z ip zI z Be Ceψ ⋅ − ⋅= +

( ) ik zII z Deψ ⋅=

2 2 2E p m= +

( )2 2 2E V k m− = +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , iE tEz t g z t d g z e dξξ ξ ξ ψ ξ−Φ = Ψ =∫ ∫

regione I ξ = pregione II ξ = k

gE

vξ

∂=

∂


Il paradosso di KleinCalcoliamo adesso le correnti e le densità

La corrente è data da

Nelle due regioni otteniamo

Analogamente la densità è data da

Nelle due regioni abbiamo

* *12

jim z z

∂ ∂⎛ ⎞⎟⎜= Ψ Ψ − Ψ Ψ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂ ∂

( )2 2I

pj B C

m= −

2

0II

kD k reale

mjk immaginario

⎧⎪⎪⎪= ⎨⎪⎪⎪⎩

* *12

i V i Vm t t

ρ∂ ∂⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤⎟ ⎟⎜ ⎜= Ψ − Ψ − Ψ + Ψ⎢ ⎥⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ∂ ∂ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )* *12

E V E Vm

ρ ⎡ ⎤= Ψ − Ψ − Ψ − + Ψ⎣ ⎦2E V

mρ

−= Ψ 2E V

mψ

−=

2I I

Em

ρ ψ= 2II II

E Vm

ρ ψ−

=

NB: La normalizzazione di j è quella di R. Landau e differisce da quella di Aitchison & Hey


Il paradosso di KleinSiamo ora in grado di discutere il fenomeno della collisione di unaparticella con la barriera V

B è l’ampiezza dell’onda incidenteC è l’ampiezza dell’onda riflessaD è l’ampiezza dell’onda trasmessa

Calcoliamo i coefficienti di riflessione e di trasmissione

Queste formule sono sempre valideInterpretiamole al variare di V

2t

i

j k Dj p B

= =T

( )2 2I i r

pj B C j j

m= − ≡ −

2II t

kj j D

m= =

2i

pj B

m= 2

rp

j Cm

=

22r

i

j C p kj B p k

−= = =

+R per k reale

zero altrimenti

ip zBe ⋅

ip zCe− ⋅

ik zDe ⋅

z0

V


p kC B

p k−

=+

2pD B

p k=

+

22k pp p k

=+


Il paradosso di KleinVediamo quindi cosa succede per una fissata energia E della particella al variare dell’altezza del potenziale VRicordiamo che

per V piccolo (0 < V < E m) k è realeSi ha propagazione di un’onda nella regione IIPertanto k deve essere positivo

La velocità di gruppo è positivaLa densità nella regione II è positiva

Si ha un urto del tutto analogo a quanto avveniva nella M. Q. non relativistica

2 2p E m= + −

( )2 2k E V m= ± − −

2II II

E Vm

ρ ψ−

=

ip zBe ⋅

ip zCe− ⋅

ik zDe ⋅

z0

V


gE k

vk E V

∂= =

∂ −

22t

i

j k pj p p k

= =+

T2

r

i

j p kj p k

−= =

+R

segno da determinare


Il paradosso di Klein

Aumentando V (E m < V < E + m) k = i diventa immaginario

Non si ha propagazione di onda nella regione IILa densità decresce esponenzialmente

La densità può diventare negativa ma è comunque piccola

È ancora simile alla M. Q. non relativistica

Riflessione totale

k zII eρ −∼

ip zBe ⋅

ip zCe− ⋅

zDe κ− ⋅

z0

V


0t

i

jj

= =T2 2

1r

i

j p k p ij p k p i

κκ

− −= = = =

+ +R

2II II

E Vm

ρ ψ−

=

( )2 2k E V m= ± − −


Il paradosso di Klein

Aumentando ancora V (V > E + m) k è di nuovo realeSi ha di nuovo propagazione di un’onda nella regione II

Proibita in M.Q. non relativisticaLa densità è negativaLa velocità di gruppo è

Per mantenere l’interpretazione di un’onda che viaggia verso destra occorre scegliere k < 0

( )2 2 2E V k m− = + gE k

vk E V

∂= =

∂ −

ip zBe ⋅

ip zCe− ⋅

ik zDe ⋅

z0

V


22t

i

j k pj p p k

= =+

T2

r

i

j p kj p k

−= =

+R

2

1p kp k+⎛ ⎞⎟⎜= >⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠− ( )2

40

p kp k

= − <−

Trasmette un numero negativo di particelle

Riflette più di quanto incide

2II II

E Vm

ρ ψ−

=

( )2 2k E V m= ± − −


Meccanica Quantistica e Relatività†

Il principio di indeterminazione di Heisenberg impone una relazione fra l’incertezza nella misura simultanea:

Della posizione q di una particellaDella sua quantità di moto p

Ciascuna delle due variabili può essere misurata separatamente con precisione arbitraria purché il tempo della misura sia abbastanza lungo

Il Principio di Relatività ( ristretta ) richiede che il tempo e l’energia siano entrambi la quarta componente di un quadrivettore

Quadrivettore posizioneQuadrivettore energia/impulso

La covarianza relativistica impone che tempo ed energia siano trattati analogamente alle componenti spaziali dei rispettivi 4-vettoriSi introduce pertanto un ulteriore principio di indeterminazione

†Landau, Lifshitz, Berestetskii, Pitaevskii – Quantum Electrodynamics: Introduction (§ 1. )

q pΔ Δ ∼

( ), , ,x ct x y zμ =( ), , ,x y zp E p p pμ =

E tΔ Δ ∼


Meccanica Quantistica e RelativitàIl significato di questa relazione è che

L’energia di un sistema può non è esattamente definita se misurata o considerata per intervalli di tempo troppo breviMisure fatte in tempi molto brevi possono portare ad una indeterminazione dell’energia del sistema

L’equivalenza fra massa ed energia introdotta da Einstein

implica che l’indeterminazione dell’energia possa manifestarsi con l’apparizione di nuove particelle, sebbene per periodi di tempo brevi (stati virtuali)

Inoltre l’energia stessa delle particelle può trasformarsi in nuove particelleLa teoria non ha più un numero costante di particelle

Il paradosso di Klein ha inoltre mostrato che il tentativo di “localizzare” una particella con una barriera di potenziale porta all’apparizione di contraddizioni

Non è possibile tentare di localizzare una particella con precisione arbitrariaIl significato di una funzione delle coordinate va rivisto

Per finire lo spazio e il tempo devono essere trattati allo stesso modoSia r che t diventano parametri e non variabili dinamiche

2E mc=


Equazione di DiracLa prima difficoltà dell’equazione di Klein-Gordon è stata l’apparizione di una densità di probabilità negativa

Dovuta alla presenza della derivata seconda rispetto al tempoDirac affrontò il problema in modo diretto richiedendo

1. Un’equazione di primo grado rispetto al tempo2. Anche di primo grado rispetto alle coordinate spaziali

per avere covarianza relativistica3. Che comunque riproducesse la corretta relazione E2 = p2 + m2

Equivalente a richiedere che la funzione d'onda ψ sia anche soluzionedell’equazione di Klein-Gordon

4. Inoltre l’equazione deve essere invariante per trasformazioni di LorentzCon queste premesse Dirac ipotizzò che la forma dell’equazione potesse essere

1 2 31 2 3

i i mt x x xψ α α α β ψ

∂ ⎡ ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ⎤⎟⎜= − + + +⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

kkk

i i mt xψ α β ψ

⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥= − +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦∑


Equazione di DiracIdentifichiamo l’Hamiltoniana dell’equazione di Dirac

Per completezza, scriviamo anche l’equazione di Dirac in forma estesa quando e c sono diversi da 1

Per determinare la natura delle grandezze α e β richiediamo il punto 33. La funzione d’onda ψ deve soddisfare anche l’equazione di Klein-Gordon

Applichiamo i∂/∂t all’equazione di Dirac

kkk

i i mt xψ α β ψ

⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥= − +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦∑ k

kk

H i mx

α β∂

= − +∂∑

i Htψ ψ

∂=

∂

H i mβ= − ⋅ +α ∇

2k

kk

i i c mct xψ α β ψ

⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥= − +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

∑

i i i Ht t t

ψ ψ∂ ∂ ∂

=∂ ∂ ∂

2

2 Hitt

ψ ψ∂ ∂

− =∂∂

2

2 HHt

ψ ψ∂

− =∂


Equazione di DiracIntroducendo la forma esplicita dell’Hamiltoniana

Sviluppiamo il prodotto

Raccogliamo i termini "diagonali" e i termini "incrociati" separatamente

Per ritrovare l’equazione di Klein-Gordon fissiamo condizioni su αk e β

Osserviamo che le quantità αk e β non commutanoPertanto esse devono essere matrici

2

2 k lk lk l

i m i mx xt

ψ α β α β ψ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥− = − + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂∂ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∑

22 2

2 k l k lk l k lk l k l

im im mx x x xt

ψ α α α β βα β ψ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎟⎜− = − − − + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑

( ) ( )32 2

2 2 22 2

, 1k k l l k k k

k l kkk k l kk l

im mx x xt x

ψ α α α α α α β βα β ψ=

>

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎟⎜ ⎟− = − − + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂∂ ∂ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟

∑ ∑ ∑

0k kα β βα+ =2 1kα = 2 1β =0k l l k k lα α α α+ = ≠


Proprietà delle matrici α e βLe relazioni appena trovate sono espresse più convenientemente introducendo l’anticommutatore di due matrici A e B: {A,B} = AB + BA

Determiniamo alcune proprietà delle matrici α e βDevono essere hermitiane (l’Hamiltoniana H deve essere hermitiana e i è un operatore hermitiano)

Dal momento che α2 = β2 = 1 gli autovalori (reali) devono essere λ = ±1

Sono matrici con traccia nullaSfruttiamo la proprietà ciclica della traccia Tr[ABC] = Tr[CAB]

Abbiamo

Concludiamo

E analogamente per β

H i mβ= − ⋅ +α ∇

[ ]kTr α [ ]kTr βα β= − [ ]kTr α= −[ ]2kTr β α= −

[ ] 0kTr α =

[ ] 0Tr β =

[ ]2kTr β α=

{ }, 2 1j k jkα α δ= { }, 0jα β = 2 1β =

{2 1β = k kβα α β= − [ ] [ ]Tr ABC Tr CAB=

u uβ λ= 2 2u u uβ λβ λ= = 2u uλ= 2 1 1λ λ= = ±


Proprietà delle matrici α e βLe matrici hanno un rango pari

Traccia nulla e autovalori ±1 implicano che il rango deve essere pariAbbiamo 4 matrici pertanto il valore minimo del rango è 4

Infatti le matrici di Pauli (2 2) hanno le proprietà richieste ma sono solo 3

Pertanto le matrici α e β hanno dimensione 4 4Qundi anche la funzione d’onda ψ ha 4 componenti

Ci sono infinite possibilità per le matrici α e βlegate fra di loro da trasformazioni unitarie α' = UαU 1

Ne considereremo 2La rappresentazione di Pauli-Dirac

Utile per studiare l’approssimazione non relativisticaLa rappresentazione di Weyl o rappresentazione Chirale

Utile nel limite di alta energia o massa della particella nullaIn moltissimi casi comunque non è necessario scrivere esplicitamente le matrici

1 2 3

0 1 0 1 0

01 0 0 1

i

iσ σ σ

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎜⎟ ⎟⎟⎜ ⎜= = =⎜⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎜⎟ ⎟⎟ −⎟⎟ ⎟⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1

2

3

4

ψψ

ψ ψψ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

spinore

non è un 4-vettoredi Lorentz

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