ONDEONDEee

teoria delle Ondeteoria delle Onde5 marzo 20085 marzo 2008

Tipi di OndeTipi di Onde

Onde di gravita’ : quando la gravita’ e’ la forza Onde di gravita’ : quando la gravita’ e’ la forza che riporta il sistema in equilibrioche riporta il sistema in equilibrio

Onde superficiali di gravita’ – molto comuni, Onde superficiali di gravita’ – molto comuni, localizzate all’interfaccia aria-marelocalizzate all’interfaccia aria-mare

Onde Interne – localizzate all’interfaccia di Onde Interne – localizzate all’interfaccia di strati con densita’ differentistrati con densita’ differenti

Altro genere: Altro genere: Ondi di corpi – sonore, sismicheOndi di corpi – sonore, sismicheOnde Planetarie – Rossby, Kelvin Onde Planetarie – Rossby, Kelvin

(Coriolis)(Coriolis) Onde Capillari – dovute alla tensione Onde Capillari – dovute alla tensione superficialesuperficiale

L’equazione da risolvere e’ non L’equazione da risolvere e’ non linearelineare

La soluzione delle equazioni del La soluzione delle equazioni del moto dipende dalle condizioni moto dipende dalle condizioni superficiali al contorno, ma le superficiali al contorno, ma le condizioni alla superfice di contorno condizioni alla superfice di contorno delle onde e’ proprio quella che delle onde e’ proprio quella che vogliamo calcolare !?vogliamo calcolare !?

Assunzioni per la teoria Assunzioni per la teoria linearelineare

(1)(1) piccola ampiezza (a<<L, d)piccola ampiezza (a<<L, d)

(2)(2) d=profondita’ del fondo constanted=profondita’ del fondo constante

(3)(3) Non c’e attritoNon c’e attrito

(4)(4) Liquido omogeneo e incompressibleLiquido omogeneo e incompressible

(5)(5) Coriolis ignoratoCoriolis ignorato

(6)(6) Tensione Superficiale ignorataTensione Superficiale ignorata

(7)(7) Pressione atmosferica uniformePressione atmosferica uniforme

T - period

t

a

-a

z

sec

radians2

T

Angular frequency:

)sin( tkxa

Descrive “plane wave of permanent form”

Plane wave: independent of coordinate normal to direction of propagation

Perm. form: following a crest/trough, doesn’t change

Descrizione di un onda Descrizione di un onda prograssivaprograssiva

Lk

Ha

22

Ampiezza:

Numero d’onda:

Cresta (Crest): il punto piu’ alto dell’ondaCavo (Trough): il punto piu’ bassoAltezza (Height): la distanza verticale tra cresta e cavo.Lunghezza d’onda (Wavelength): la distanza orizzontale da cresta a cresta.Periodo (Period): il tempo tra il passaggio di due creste.Frequency: Il numero di onde che passa in un punto nell’unita di tempoAmpiezza: meta’ dell’Altezza

Relazione di Dispersione

2 = g k tanh ( k d )

Per Acqua profonda (d > L / 4)

2 = g k

Per acqua bassa (d < L / 11)

2 = g k2 d

A=grande profondita’B=profondita’ bassaIl movimento di una

particella diventa sempre piu’ ellittico con la diminuizione della

profondita’1= Direzione

2= Cresta3= Cavo

Deep water waves: Wave length much less than water depthWater motion in circles whose radius decreases with depth

Shallow water waves: Wave length much greater than water depthWater motion in ellipses that get flatter toward bottom

Velocita’ di fase

Cp per onde in acqua profonda

Cp per onde in acqua bassa

L

DgLC p

2tanh

2

2

gLC p

gDCp

Velocita’ di gruppo: velocita’ a cui viaggia l’energia

Cg per onde in acqua profonda

Cg per onde in acqua bassa

pg Cg

C 2/12

2/1

pg CgDC

dk

dCg

Dispersive – l’energia viaggia a velocita’ differente alla velocita’ di fase – dovuto alle interferenze constructive-destructive

Non-Dispersiva – l’energia viaggia alla velocita’ di fase

Onde Dispersive: la fase dell’onda si muove piu’ veloce del treno di onde

L’energia dell’onda viaggia con il treno di onde

http://www.student.math.uwaterloo.ca/%7Eamat361/images/fluid%20mechanics/surface%20gravity/wave_packet_0p5.gif

Onde Non-Dispersive: la velocita’ di fase e’ uguale a quella di gruppo

http://www.student.math.uwaterloo.ca/%7Eamat361/images/fluid%20mechanics/surface%20gravity/wave_packet_1.gif

La cresta di un’onda in mare profondo La cresta di un’onda in mare profondo si muove ad una velocita’ doppia si muove ad una velocita’ doppia rispetto alla velocita’ di grupporispetto alla velocita’ di gruppo

Possono le onde di un oceano reale Possono le onde di un oceano reale seguire questo comportamento?seguire questo comportamento?

Munk e colleghi (1963) mostrarono Munk e colleghi (1963) mostrarono che le onde sono dispersive e che che le onde sono dispersive e che questa caratteristica puo’ essere usata questa caratteristica puo’ essere usata per risalire alla loro punto di origine!per risalire alla loro punto di origine!

Altezza dell’onda Altezza dell’onda significativasignificativa

Guardando una registrazione delle onde come definiamo Guardando una registrazione delle onde come definiamo le sue caratteristiche?le sue caratteristiche?

L’altezza dell’onda significativa attualmente accettata L’altezza dell’onda significativa attualmente accettata per un range di frequenze stretto: 4 volte la deviazione per un range di frequenze stretto: 4 volte la deviazione standard delle misurestandard delle misure

L’inclinazione delle onde: (H/L) e’ molto importante per L’inclinazione delle onde: (H/L) e’ molto importante per le navile navi

L’energia delle onde e’ proporzionale alla varianza dello L’energia delle onde e’ proporzionale alla varianza dello spostamento della superficespostamento della superfice

amp. RMS4or dev. standard 4 42/1

23/1 H

Caratteristiche delle Caratteristiche delle onde ‘vere’onde ‘vere’

Onde Capillari: rugosita’ superficiale Onde Capillari: rugosita’ superficiale in risposta allo sforzo del vento in risposta allo sforzo del vento

Fetch – distanza sulla quale agisce il Fetch – distanza sulla quale agisce il ventovento

Durata – tempo in cui agisce il ventoDurata – tempo in cui agisce il vento La condizione di “Equilibrium” : La condizione di “Equilibrium” :

(fully developed sea) mare pienamente (fully developed sea) mare pienamente sviluppatosviluppato

Figura 16.4 in Stewart. Campionando un’onda sinosuidale di 4 Hz ogni 0.2s trasliamo la frequeza ad 1 Hz. La frequenza critica e’ 1/(2 × 0.2s) = 2.5Hz, che e’ minore di 4Hz.

Calcolo dello spettroCalcolo dello spettro

Digitalizzare un segmento di altezze Digitalizzare un segmento di altezze dell’onda; usare 1024 campioni da 8,53 dell’onda; usare 1024 campioni da 8,53 minuti campionati a 2 Hzminuti campionati a 2 Hz

Calcolare la trasformata di FourierCalcolare la trasformata di Fourier Calcolare il periodogramma dalla somma Calcolare il periodogramma dalla somma

dei quadrati della parte reale e dei quadrati della parte reale e immaginaria della trasformataimmaginaria della trasformata

Ripetere per almeno 20 periodogrammiRipetere per almeno 20 periodogrammi Mediare i 20 periodogrammi per produrre Mediare i 20 periodogrammi per produrre

lo spettrolo spettro

Figures 16.5 and 16.6 in Stewart

Fully developed seaFully developed sea

10.000 periodi di onda di tempo10.000 periodi di onda di tempo 5.000 lunghezze di onda di lato5.000 lunghezze di onda di lato Spettri con velocita’ del vento Spettri con velocita’ del vento

costantecostante Spettri con diverse lunghezze di Spettri con diverse lunghezze di

fetchfetch

10s20s100s

Wave CharacteristicsWave Characteristics Onda lungha( Swell) Onda lungha( Swell)

– – mare aperto, acqua molto profondamare aperto, acqua molto profonda- molto sinusoidali - molto sinusoidali – – generate da luoghi lontanigenerate da luoghi lontani

““Mare vivo” (Confused sea) Mare vivo” (Confused sea) - condizioni di tempesta- condizioni di tempesta- lunghezze d’onda molto differenti- lunghezze d’onda molto differenti

““Mare incrociato”Mare incrociato”- onde lunghe provenienti da due diverse - onde lunghe provenienti da due diverse direzionidirezioni

RefractionRefractionWave speed varies through medium → refractionWave crests get closer together causing waves to get steeper

SAR image of wave trains in Bay of Bengal

La USS Ramapo nelle Montagne di OndeNel Febbraio del 1933, la USS Ramapo, una petroliera di 146 meter (478 ft) si trovo’ in una tempesta

straordinaria durante il suo viaggio da Manila a San Diego. La tempesta duro’ 7 giorni dalle coste dell’Asia a quelle dell’America, producendo forti venti su migliaia di miglia su un oceano senza ostacoli. Con il vento in

poppa di circa 60 nodi, l’equipaggio ebbe il tempo di osservare attentamente le onde monumentali che passavano intorno alla nave. Un ufficiale dal ponte osservo’ che le creste delle onde che si avvicinavano da poppa erano di poco sopra il livello del punto di guardia (crow's nest), mentre la poppa era nel cavo dell’onda. I calcoli sulla

geometria della nave portarono ad una altezza di 34 metri delle onde.