ONDE

sono presenti ovunque

onde marine

onde sonore

onde sismiche

luce

onde radio

microonde

onde umane ?

CARATTERISTICHE DELLE ONDE

Una qualche grandezza fisica si muove avanti e indietro (oscilla) attorno ad un valore di equilibrio (mezzo materiale?)• Aria, acqua, terra, campo elettromagnetico, ….

Oscillazioni in ogni punto dello spazio

Propagazione delle oscillazioni

Studiamo le proprietà generali delle onde concentrandoci sulle comuni basi fisiche sottostanti i più svariati fenomeni ondulatori.

Il moto di un punto causa il moto dei punti vicini• come si propaga l’oscillazione nello spazio?• da cosa dipende la velocità di propagazione ?

OBIETTIVI DEL CORSO

Il corso introduce i fenomeni oscillatori e ondulatori con particolare attenzione alle applicazioni dei fenomeni ondulatori: dalle onde meccaniche all'ottica geometrica ed ai fenomeni di interferenza.

Gli obiettivi sono:

• fornire conoscenze di base sulla natura dei fenomeni ondulatori (come si formano e che caratteristiche hanno le oscillazioni; cos'è un'onda, come si propaga, quali sono le sue caratteristiche; come un'onda trasporta energia);

• sviluppare competenze nel lavorare con l'equazione delle onde inpreparazione per studi più avanzati;

• rafforzare la comprensione concettuale delle leggi fisiche e sviluppare competenze nella loro applicazione a dispositivi e strumenti.

Il programma in sintesi

Oscillatore armonico semplice• Introdurremo gli strumenti matematici

Oscillatori accoppiati

Oscillazioni in mezzi continui Onde• Analisi di onde in molle, corde, onde sonore

• Propagazione delle onde, riflessione, onde stazionarie, effetto Doppler.

Onde elettromagnetiche• Vettore di Poynting, propagazione nel vuoto e nella materia, polarizzazione, velocità di fase/ di gruppo, dispersione.

• Ottica geometrica e fisica

Bibliografia

Appunti dalle lezioni del corso.

Testi di consultazione:

D. Sette, A. Alippi, M. Bertolotti. Fisica. Zanichelli Editore.

C. Mencuccini, V. Silvestrini. Fisica 1 e Fisica 2. Liguori Editore.

corrente

Conosciamo già questi oscillatori ?

Sistema massa-molla

• Un punto materiale di massa m è posto su un piano orizzontale privo di attrito

• La molla muove avanti/indietro la massa con una forza

• Per il 2° principio della dinamica (legge di Newton)

kxF −= ( Legge di Hooke )

2

2

dtxdmmaF ==

kxdt

xdm −=2

2

• Equazione del moto del sistema massa-molla:

• Cerchiamo una soluzione particolare, con la condizione iniziale che la massa sia posta in x=x0 a t=0, cioè x(0)=x0.

Sappiamo che le funzioni sinusoidali sen(aθ) e cos(aθ) soddisfano la condizione

Verifichiamo se la funzione x(t) = A cos ωt (con A ed ω costanti da determinare ) è la soluzione cercata.

kxdt

xdm −=2

2

( ) ( )

( ) ( )θθθ

θθθ

aaadd

aaadd

coscos

sinsin

22

2

22

2

−=

−=

per t=0 x=x0Equazione differenziale del 20 ordine, lineare e omogenea, a coeff. cost.Equazione dell’oscillatore armonico unidimensionale

• Imponendo la condizione x(0)=x0 , si ottiene per la costante A il valore A= x0 e di conseguenza x(t)= x0 cos ωt

• Per trovare ω, sostituiamo x(t) nell’equazione del moto:

tkxtxm

tkxtxdtdm

ωωω

ωω

coscos

cos)cos(

002

002

2

−=−

−=

mk

=ω

mktxx == ωω con cos0

• Abbiamo trovato la soluzione

• Rappresenta un moto armonico

x0 : ampiezzaωt : faseω : pulsazione (rad/s) o frequenza angolareT : periodo ∗ T = 2π/ω (s)ν : frequenza ν = 1/Τ (Hz)

∗ la funzione x(t) è periodica con periodo T x(t+T) = x(t)nel nostro caso, da t a t+T l’argomento della funzione trigonometrica deve variare di 2π , cioè

ωππωπωω 2T 2T 2)( =→=→=−+ tTt

pulsazione propria dell’oscillatore armonico

condizione iniziale

txx ωcos0=

txdtdxv ωωsin0−==

xtxdt

xda 2202

2

cos ωωω −=−==

v è in anticipo di fase di π/2 rispetto ad x

txx ωcos0=

txv ωω sin0−=

xtxa 220 cos ωωω −=−=

π 2πa è in opposizione di fase rispetto ad x

moto armonico

nel moto armonico l’accelerazione è proporzionale allo spostamento attraverso una costante negativa

• La molla compressa/stirata immagazzina un’energia potenziale

• La massa m in movimento ha un’energia cinetica

• L’energia totale è

tkxtxmmvEcin ωωω 220

220

22 sin21sin

21

21

===

mk

=2ω

( ) 202

122202

1 sincos kxttkxEEE cinpottot =+=+= ωω

è costante

tkxkxkxdxEx

pot ω220

2

0

cos21

21

=== ∫ (Epot=0 per x=0)

ENERGIA NELL’OSCILLATORE ARMONICO

nell’oscillatore armonico è l’energia che oscilla!passa continuamente dalla forma cinetica a quella potenziale, e viceversa: massa e molla si scambiano periodicamente energia.

x(ωt)

Epot

Epot

Ecin

Ecin

tEEtE

tkxE

tottottot

pot

ωω

ω

2cos222

2cos1

cos21 22

0

+=

+

=

==

tEEtE

tkxE

tottottot

cin

ωω

ω

2cos222

2cos1

sin21 22

0

−=

−

=

==

in funzione del tempo

l’energia totale si mantiene costante

valor medio

oscillazione di frequenza doppia, periodo dimezzato

l’energia totale si mantiene costante

in funzione della posizione

Epot, Ecin, Etot

x

202

1 kxEtot =

2

21 kxEpot =

( )222

020

220

220

21cos

21

21

cos121sin

21

kxEtkxkx

tkxtkxE

tot

cin

−=−=

=−==

ω

ωω

Epot

Ecin

Etot

• La soluzione (particolare) trovata è l’unica possibile?

( ) ( )

( ) ( )θθθ

θθθ

aaadd

aaadd

coscos

sinsin

22

2

22

2

−=

−=Abbiamo già visto che anche la funzione sin(aθ) gode della proprietà di essere proporzionale alla sua derivata seconda attraverso una costante negativa.

• Allora sia x = a cosωt che x = b sinωt sono soluzioni particolari dell’equazione dell’oscillatore armonico

mktx

dttxd con 0)()( 22

2

2

==+ ωω

• L’equazione è lineareil prodotto di una soluzione per una costante è ancora una soluzionela somma di due soluzioni è ancora una soluzione

• Dunque la combinazione lineare è ancora una soluzione.

tbtatx ωω sincos)( +=

E’ la soluzione generale?

)()( ttx ξ=• Supponiamo che ci sia un’altra soluzione, per esempio

(non esprimibile mediante la precedente combinazione di funzioni coseno e seno)

A causa della linearità dell’equazione dell’oscillatore, la soluzione generale sarebbe allora

)(sincos)( tctbtatx ξωω ++=

con 3 parametri liberi, invece di 2.

Questo non è possibile!

1) Motivazione matematica

0)()( 22

2

=+ txdt

txd ωL’equazione dell’oscillatore armonico è un’equazione differenziale del 2° ordine.

La sua soluzione deve avere 2 parametri liberi.

2) Motivazione fisica

• Poiché l’energia totale dell’oscillatore armonico si mantiene costante durante il moto, esso deve essere determinato solo dalle condizioni iniziali

Posizione x = x0 per t = 0Velocità v = v0 per t = 0

• x0 e v0 determinano il comportamento dell’oscillatore.

• dalla soluzione si ricava subitotbtatx ωω sincos)( +=

tvtxtx

bdtdxvaxx

x

ωω

ω

ω

sincos)(

cuiper e )0(

00

000

+=

=====

condizioni inizialicaratteristiche fisiche

dell’oscillatore

Fin qui abbiamo:

• Analizzato un semplice esempio di oscillatore armonico

Equazione del moto

Soluzione generale

• Studiato il moto del sistema (soluzione dell’equazione differenziale) che è un’oscillazione armonica

Ampiezza, periodo e frequenza delle oscillazioniOscillazioni dell’energiaCompletezza della soluzione

kxdt

xdm −=2

2

mktbtatx =+= 2 con sincos)( ωωω

• Punto materiale di massa m sospeso ad un punto fisso O mediante filo di lunghezza l, di massa trascurabile

• Forza di richiamo: attrazione gravitazionale della terra

• Equazione del moto (2° principio della dinamica)

θsinmgF −=

posizione di equilibrio

l

θ

θ

mg

T

mg sinθmg cosθP

H

OAltri oscillatori: il pendolo semplice

θθ

θ

θ

sin

à velocit

sin

2

2

mgdtdm

dtdv

mgdtdvm

−=

=

−=

l

l

θθ sin2

2

l

gdtd

−= Equazione differenziale non lineare

… RICORDIAMO DAI CORSI DI MATEMATICA

LO SVILUPPO DI FUNZIONI IN SERIE DI TAYLOR.

• se nell’intorno di un dato punto x=a, una funzione f(x) è indefinitamente derivabile e le derivate sono uniformemente limitate, essa può essere sviluppata in serie di Taylor:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ....aan!1....aa

21aaa 2 +−++−′′+−′+= nn xfxfxffxf

• se x-a<<1, la funzione f(x) f(x) può essere approssimata prendendo i primi termini dello sviluppo. I termini (x-a)n di ordine più alto tendono più velocemente a zero.

1) ESEMPI DI SVILUPPO DI FUNZIONI IN SERIE DI TAYLOR.

• Sviluppo di sinθ nell’intorno di θ=0

....)(sin)(sin

)(sin)(sin)(sin0sinsin5V

0!514IV

0!41

3III0!3

12II02

1I0

+++

++++=

==

===

θθθθ

θθθθθθθ

θθ

θθθ

....)(sin)(sin

)(sin)(sin)(sin0sinsin5V

0!514IV

0!41

3III0!3

12II02

1I0

+++

++++=

==

===

θθθθ

θθθθθθθ

θθ

θθθ

0 0

0

1 -1

1

)(O....sin 35120

1361 θθθθθθ +=++−=

θθθ ≈⇒<< sin 1 se

2) ESEMPI DI SVILUPPO DI FUNZIONI IN SERIE DI TAYLOR.

• Sviluppo di cosθ nell’intorno di θ=0

....)(cos)(cos

)(cos)(cos)(cos0coscos5V

0!514IV

0!41

3III0!3

12II02

1I0

+++

++++=

==

===

θθθθ

θθθθθθθ

θθ

θθθ

....)(cos)(cos

)(cos)(cos)(cos0coscos5V

0!514IV

0!41

3III0!3

12II02

1I0

+++

++++=

==

===

θθθθ

θθθθθθθ

θθ

θθθ

0 0

0

-11

1

)(O1....1cos 42214

2412

21 θθθθθ +−=++−=

2211os 1 se θθθ −≈⇒<< c

Pendolo semplice

θθ sin2

2

l

gdtd

−= Equazione differenziale non lineare

θθ ≈sin

l

θ

θ

mg

T

mg sinθmg cosθP

H

O

e l’equazione del moto del pendolo semplice diventa:

se |θ| << 1 rad (in pratica θ ≤ 0,1 rad)

sviluppando sinθ in serie di Taylor attorno all’origine (θ=0) e fermandosi al primo termine, si può fare l’approssimazione

θθl

gdtd

−=2

2Equazione dell’oscillatore armonico

conl

g=2ω

la procedura adottata è detta di linearizzazione.

T

mostriamo che, assumendo una soluzione del tipott ωθθ cos)( 0=

tdtdvmvEcin ωωθθ sin con

21

02 ll −===

l’energia totale del sistema si mantiene costante durante il moto.

ll

gtmEcin == 2220

22 che ricordando e, sin21 ωωθω

tmgEcin ωθ 220 sin

21

l=

mghEpot =

θcos- ll=−= OHOPh

se |θ| << 1 rad

sviluppando cosθ in serie di Taylor attorno all’origine (θ=0) e fermandosi al secondo termine, si può fare l’approssimazione

mg

mg sinθ

l

θ

θP

H

O

h

con h = altezza della massa rispetto alla posizione di equilibrio (Epot=0 per h=0)

2212

212

21 ed quindi e 1os θθθθ ll mgEhc pot ≈≈−≈

In conclusione

tmgmgEpot ωθθ 220

2 cos21

21

ll ==

tmgEcin ωθ 220 sin

21

l=

( ) 202

122202

1 sincos θωωθ ll mgttmgEEE cinpottot =+=+=

• costante durante il moto• dipende dalle condizioni iniziali (preparazione del sistema)

L’energia totale è

Altri oscillatori: il bilancere dell’orologio

• coppia di richiamo sviluppata dalla molla

• equazione del moto

τθ=2

2

dtdI

θθτk

dtdI −=2

2 Equazione dell’oscillatore armonico

conIkτω =2

• equazione valida indipendentemente dall’ampiezza dell’oscillazione, purchè la molla resti nei limiti di elasticità.

) m(Nk ⋅−= θτ τ

costante di torsione della molla

posizione di equilibrio

molla a spirale che fornisce la coppia si richiamo

momento di inerzia I

θ

θτ τk−= con kτ costante

Altri oscillatori: il pendolo fisico

baricentro(l/2)

l

O

θ

mg

mg sinθ

• distribuzione lineare di massa

• momento della forza di richiamo attorno ad O

• momento di inerzia

• equazione del moto

l

m=µ densità lineare di massa

2sin lθmgM −=

θθ sin22

2 lmgdtdI −= Equazione differenziale non lineare

231

0

2 ll

l

mdxmxI == ∫dm

procediamo alla linearizzazione dell’equazione del moto (per piccole oscillazioni)se |θ| << 1 rad, sviluppando sinθ in serie di Taylor attorno all’origine (θ=0) e fermandosi al primo termine, si può fare l’approssimazione

θθ ≈sine l’equazione del moto del pendolo composto diventa:

θθ22

22

31 l

l mgdtdm −=

θθl2

32

2 gdtd

−=Equazione dell’oscillatore armonico

conl2

32 g=ω

C L

si chiude a t=0i(t)

VC(t) VL(t)

Altri oscillatori: il circuito LC• condensatore inizialmente carico con carica q0 .

connesso a t=0 all’induttore

• equazione di Kirchhoff alla maglia

• avendo scelto come verso della corrente quello di scarica del condensatore

CqVC =

dtdiLVL =

dtdiL

Cq

=

dtdqi −=

qLCdt

qd 12

2

−=Equazione dell’oscillatore armonico

conLC12 =ω

• assumendo una soluzione del tipo calcoliamo l’energia totale del sistema

tqtq ωcos)( 0=

• energia elettrica immagazzinata nel condensatore

• energia magnetica immagazzinata nell’ induttore

• l’energia totale è

tqCC

qEe ω220

2

cos21

21

==

tqdtdqti ωω sin)( 0=−=

tqC

tqLLiEm ωωω 220

220

22 sin21sin

21

21

===

( ) 20

2220 2

1sincos21 q

Cttq

CEEE metot =+=+= ωω

costante ed uguale all’energia inizialmente immagazzinata nel condensatore

…. tanti sistemi, tra loro molto diversi, si comportano tutti allo stesso modo: come oscillatori armonici

Equazione del moto dell’oscillatore armonico

( ) ( )tkdt

tdm 2

2

xx−= FORZA

Legge di Hooke

La forza di richiamo –kx è lineare in xQuesto, in molti casi, non è esattamente veroLe molle non seguono la legge di Hooke fuori dai limiti di elesticità

Il mondo fisico è pieno di oscillatori “quasi-armonici”C’è una buona ragione per questo ….

Linearizzazione dell’equazione del moto

• Possiamo spesso linearizzare l’equazione del moto per piccole oscillazioni attorno ad un punto di equilibrio stabile

• Perché?

Ogni sistema che è in una posizione di equilibrio stabile è in un minimo dell’energia potenziale.

x1 ⇒ equilibrio stabilex2 ⇒ equilibrio instabile

linearizzazioneFx=–kx

x1

x

Epot

x

Fx

x2

x2x1

approssimazione parabolica

∫−=−=x

xpotpotpot

x dxFExEdx

dEF

0)0( )(

sviluppando Epot in serie di Taylor attorno all’origine (x=0) si ottiene:

...)0()0()0()0( )( 3'''312''

21' ++++= xExExEExE potpotpotpotpot

=0 >0

0 x

Epot

2''21 )0()0( )( xEExE potpotpot +≈ approssimazione

parabolica

che, per piccole oscillazioni, x << 1 ,si puòapprossimare come

un’energia potenziale ad andamento parabolico, con concavità verso l’alto, èlegata ad una forza di richiamo

xEdx

dEF pot

potx )0(''−=−= lineare in funzione dello spostamento

si può approssimare ad un oscillatore armonico!!

Oscillatori armonici ovunque?

• Ogni sistema fisico che ha almeno un punto di equilibrio stabile può essere soggetto ad oscillazioni armoniche attorno a quel punto

i punti di equilibrio stabile sono situati nei minimi della funzione energia potenzialela funzione energia potenziale nell’intorno dei minimi può essere approssimata con un andamento parabolicole sue derivate forniscono forze di richiamo lineari in funzione degli scostamenti dal punto di equilibrio

• Questo vale, in generale, per piccole oscillazioni

quanto piccole, dipende dalla forma della funzione energia potenzialenoi riusciamo ad osservare le oscillazioni solo quando, pur essendo piccole, sono sufficientemente grandi per essere osservate!