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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE e AMBIENTALE Sezione Geotecnica

Richiami di teoria di propagazione delle onde sismichedelle onde sismiche

Prof. Ing. Claudia Madiai – Ing. Elisa Gargini

Ing. Elisa GarginiAssegnista di ricerca presso il DICeA

Stanza: n°320 (studio Prof. Madiai)

Tel 055/4796313

Contatti:

22

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E-mail: [email protected]

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DEF. le vibrazioni sono perturbazioni indotte da una sorgente in un dato mezzofisico (terreno, acqua, aria, ecc.). A seconda del tipo di sorgente possonoessere di natura meccanica, elettromagnetica, ecc.

prof. ing. Claudia MadiaiCorso di Ingegneria Geotecnica Sismica

VIBRAZIONI E ONDE SISMICHE

Le sorgenti che interessano le applicazioni in Dinamica dei Terreni eGeotecnica Sismica sono di natura meccanica (terremoti; perturbazioniprodotte in modo artificiale per prove geofisiche; perturbazioni prodotte damacchine, traffico stradale e ferroviario, ecc…) e producono vibrazioni“meccaniche”

Le vibrazioni meccaniche sono unaforma di energia che si propaga con unacerta velocità, V, dipendente dal mezzoattraversato, in tutte le direzioni,imprimendo ai punti del mezzoattraversato movimenti di tipooscillatorio intorno a una posizione diequilibrio

33

Nel terreno lo stato vibratorio è legato al fatto che le particelle sono legatefra loro da vincoli elastici e non sono quindi totalmente libere di muoversi. Si



generano così delle onde progressive di sforzo e di deformazione(longitudinali e/o trasversali rispetto alla direzione di propagazione) che sipropagano con una velocità che dipende dal tipo di terreno e che, peranalogia con le onde generate dai terremoti, vengono denominate “ondesismiche”

In generale le vibrazioni si attenuano con la distanza dalla sorgente, e, ameno che il sistema oscillante non riceva continuativamente energiadall'esterno (come nel caso delle macchine vibranti) sono per lo piùdall esterno (come nel caso delle macchine vibranti), sono per lo piùsmorzate nel tempo

44

3

Le vibrazioni possono essere:

periodiche , quando fissato un punto la vibrazione si ripete uguale a se stessa



non periodiche (o irregolari)

ad intervalli regolari (ad es. le vibrazioni generate da macchine industriali)

esiste un intervallo di tempo T (periodo) tale che u(t+T) = u(t),essendo u(t) lo spostamento al tempo tpossono essere nella loro forma più semplice di tipo armonico o nellaforma più generale con una componente aleatoriabastano pochi parametri per descriverle

possono essere di tipo impulsivo (generate ad es. da esplosioni, cadutadi gravi) o transitorio (generate da terremoti o dal traffico)possono essere ricondotte ad una sommatoria di infiniti moti periodiciciascuno rappresentabile con pochi parametri (Teorema di Fourier), dallacui analisi (analisi spettrale) si può dedurre il moto risultante

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PERIODICHE

u(t) T u(t)

NON PERIODICHE



u( ) T

a)

u(t)u(t)

u(t)

u(t)

tc)t

( )( ) u(t)

tb) d)t

66

4

L’energia prodotta dalla sorgente si propaga nel mezzo producendo vari tipi dionde:

onde di volume


ONDE SISMICHE

onde di volumeonde di superficie

Se il mezzo è semi-infinito (come nel caso

Le onde di volume sono generate da una sorgente meccanica interna al mezzo esi propagano all’interno di esso con fronti d’onda sferici o semisferici (a secondache la sorgente sia completamente interna o sulla frontiera) di raggio sempre piùampio (fronte d’onda = superficie in corrispondenza della quale tutte le particellevibrano con la stessa fase)

Se il mezzo è semi infinito (come nel caso del terreno), l’impatto delle onde di volume con la superficie libera è accompagnato dalla generazione di nuove onde, denominate onde di superficie perché interessano solo la parte più superficiale del mezzo

77

In relazione agli stati deformativi indotti nel terreno le onde di volume sidistinguono in:

onde longitudinali (o onde P , dal latino Primae)


ONDE DI VOLUME – ONDE P

Le onde P:- producono vibrazioni polarizzate

nella direzione di propagazione (leparticelle si muovono nella direzione dipropagazione dell’onda) e successivedeformazioni di compressione ed

onde longitudinali (o onde P , dal latino Primae)

onde trasversali (o onde S, dal latino Secundae)

SORGENTE

F onte d’onda

ONDE P

ONDE S

Direzio

ne di

prop

agaz

ione

estensione, sempre nella stessadirezione

- hanno velocità maggiore delle S eraggiungono per prime la superficielibera

Fronte d’onda

- si trasmettono anche nell’acqua (con una velocità di circa 1500 m/s)

88

5

Le onde S:- generano vibrazioni polarizzate su un

piano passante per la direzione di


ONDE DI VOLUME - ONDE S

piano passante per la direzione dipropagazione (le particelle si muovonosu un piano che contiene la direzione dipropagazione dell’onda) e deformazionidi taglio

- hanno velocità minore delle onde P- non si trasmettono nei fluidi (dal

momento che questi non hannoresistenza al taglio)

SORGENTE

Fronte d’onda

ONDE P

ONDE S

Direzio

ne di

prop

agaz

ione

resistenza al taglio)- un’onda S può essere rappresentata

come somma vettoriale di duecomponenti, di cui una polarizzata sulpiano orizzontale (onde SH) e una sulpiano verticale (onde SV)

Fronte d onda

99



Il fatto che le onde S non siIl fatto che le onde S non sitrasmettano nei fluidi hapermesso di ricavarefondamentali informazioni sullastruttura interna della Terra, apartire dall’identificazione dellezone d’ombra (zone dellasuperficie planetaria in cui ilsegnale sismico relativo ad un

1010

forte terremoto non vieneregistrato o viene registratoprivo delle di onde di taglio).

6

Il piano su cui sono preferenzialmente polarizzate le onde S dipende dal tipo disollecitazione che le produce

In generale, nel campo delle misure sismiche, le onde S indotte si propagano in



g , p , p p gdirezione verticale, SV (prove Down-Hole) o orizzontale, SH (prove Cross-Hole)

Nel caso di direzione di propagazione verticale, le onde sono sempre polarizzatesu un piano verticale e sono eventualmente scomponibili su due piani verticali,tra loro ortogonali, di riferimento (SV1 e SV2)

Nel caso di direzione di propagazione orizzontale, le ondesono polarizzate su un piano passante per la direzione dipropagazione e sono scomponibili in un’onda giacente suun piano verticale (S ) ed una giacente su un piano

ONDE SVV

Sun piano verticale (SHV) ed una giacente su un pianoorizzontale (SHH)

ONDE S

ONDE S

HV

HH

SV1

SV2

1111


ONDE DI VOLUME

1212

7

onde di Rayleighonde di Love

Le onde superficiali sono principalmente di due tipi:


ONDE DI SUPERFICIE

onde di Love

Le onde di Rayleigh (R) si propagano secondo fronti d’onda cilindrici e produconovibrazioni che sono la risultante di una vibrazione polarizzata su un pianoverticale, in direzione perpendicolare alla direzione di propagazione, e di unavibrazione orizzontale polarizzata lungo la direzione di propagazione. Il motorisultante sul piano verticale è ellittico retrogrado. La deformazione indotta è sia ditaglio che di compressione. Assumono un ruolo fondamentale nelle “misuresismiche di superficie”

Le onde di Love (L) producono vibrazioni orizzontali polarizzate nella direzioneperpendicolare alla direzione di propagazione e deformazioni di taglio.Sono onde legate alla stratificazione dei terreni e derivano dalla riflessionemultipla tra superficie inferiore e superiore di uno strato di terreno in cuirimangono intrappolate le onde S. Come le onde S non si trasmettono nei fluidi.La velocità delle onde di Love dipende marcatamente dalla frequenzadell’eccitazione

1313


ONDE DI SUPERFICIE

1414

8


ATTENUAZIONE GEOMETRICA DELLE ONDE SISMICHE

Energia erogata dalla sorgente(carico verticale dinamico e ciclico)

ONDE R (67%)ONDE S (26%)ONDE P (7%)

(carico verticale dinamico e ciclico)

Se la sorgente è superficiale le onde P e S si propagano secondo fronti d’ondaSe la sorgente è superficiale, le onde P e S si propagano secondo fronti d onda emisferici e le onde R secondo fronti d’onda cilindriciPoiché le onde investono volumi di terreno sempre maggiori, il loro contenutoenergetico diminuisce con la distanza dalla sorgente, e con esso anchel’ampiezza dello spostamento indotto nel mezzo (smorzamento geometrico)Le onde di volume si attenuano con legge 1/r all’interno del mezzo e 1/r2 sulla superficie; le onde di Rayleigh si attenuano con legge 1/r0.5

(allontanandosi dalla sorgente le onde R diventano predominanti su quelle di volume) 1515


ATTENUAZIONE GEOMETRICA DELLE ONDE SISMICHE

1616

L’ampiezza delle onde P e’ sempre dello stesso segno e all’incirca costante lungo il medesimo fronte d’onda; l’ampiezza delle onde S è variabile in ampiezza e segno; la componente verticale delle onde R ha segno costante, quella orizzontale cambia segno con la profondità. L’ampiezza delle onde R decade rapidamente con la profondità (a profondità pari circa a 1.5λ è pari a circa il 10 % di quella in superficie)

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IPOTESI: mezzo omogeneo, isotropo, elastico, infinitamente esteso

PRINCIPI


PROPAGAZIONE DELLE ONDE SISMICHE IN SEMISPAZIO ELASTICO, OMOGENEO, ISOTROPO

PRINCIPI: II principio della dinamica (equazione indefinite di equilibrio dinamico); legge di Hooke

ε∇ρ+λ

=∂ε∂ 22

2 G2t

y2

2y

2

x2

2x

2

G

Gt

Ω∇⋅=Ω∂

Ω∇⋅ρ

=∂Ω∂

SOLUZIONE: Equazione d’onda P Equazioni d’onda S

ρ : densità del mezzo attraversato

z2

2z

2

y2

Gt

t

Ω∇⋅ρ

=∂Ω∂

ρ∂λ e G (modulo di taglio): costanti di Lamé

zyx εεεε ++= : deformazione volumetrica

zyx ,, ΩΩΩ : componenti di rotazione intornoagli assi x, y e z

2

2

2

2

2

2

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂∇2 = : operatore di Laplace

1717

Dalle equazioni precedenti si osserva che l’ipotesi di elasticità consente di scindere ilproblema delle deformazioni indotte dal passaggio delle onde sismiche in:


PROPAGAZIONE DELLE ONDE SISMICHE IN SEMISPAZIO ELASTICO, OMOGENEO, ISOTROPO

p ob e a de e de o a o dotte da passagg o de e o de s s c e

εuna deformazione volumetrica pura (compressione o dilatazione, nessuna distorsione o

rotazione), rappresentata dall’equazione dell’onda P (ove compare solo )

una distorsione o rotazione pura (nessuna compressione o dilatazione), rappresentatadalle equazioni delle onde S (ove compaiono solo )

zyx ,, ΩΩΩI coefficienti che moltiplicano l’operatore di Laplace nelle equazioni d’onda rappresentano iquadrati delle velocità di propagazione delle onde medesime nel mezzo attraversatoCome si può vedere esse dipendono solo dalle proprietà fisiche (densità) e meccaniche(costanti di Lamé) del mezzo e non dalla frequenza dell’onda

ε∇ρ+λ

=∂ε∂ 22

2 G2t z

22z

2

y2

2y

2

x2

2x

2 Gt

:Gt

;Gt

Ω∇⋅ρ

=∂Ω∂

Ω∇⋅ρ

=∂

Ω∂Ω∇⋅

ρ=

∂Ω∂

ONDE P ONDE S

(VP)2 (VS)2 1818

10


VELOCITÀ DI PROPAGAZIONE DELLE ONDE SISMICHE IN UN MEZZO ELASTICO

La velocità di propagazione delle onde S e P è quindi rispettivamente:

Introducendo l’ipotesi di “semispazio” è possibile ricavare anche la

ρλ G2VP+

=ρGVS =

poiché nei liquidi G=0 → VS=0

p p pvelocità delle onde di Rayleigh che risulta:

νν

+⋅+

=1

117.1874.0VR

essendo ν il coefficiente di Poisson1919

Ricordando le relazioni tra le costanti di Lamè, il modulo di Young, E, il modulo di deformazione cubica, K, e il coefficiente di Poisson, ν



G)G23(GE

++

=λλ

G32K += λ )G(2 +

=λλ

ν

tra le velocità delle onde P e delle onde S, si ricava la relazione:

ν−=

1VP

ν−5.0VS

ovvero

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 1

VV

/1VV

21

2

s

p2

s

pν

2020

11

5Dalle relazioni precedenti si osserva che:



3

4

v

Onde PvS 2

1. il rapporto VP/VS dipende esclusivamente dal coefficiente di Poisson ν(varia tra √2=1.41 e ∞, per νvariabile tra 0 e 0.5)

2. VP è sempre maggiore di VS; VR è sempre minore

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

1Onde S

Onde R

Coefficiente di Poisson, ν

3. VR è di poco inferiore a VS

per ν = 0.25 VR = 0.919 VSν = 0.33 VR = 0.933 VSν = 0.40 VR = 0.943 VSν = 0.50 VR = 0.955 VS

2121

Quando le onde sismiche attraversano la roccia o un terreno omogeneo (pocosmorzante) si possono con buona approssimazione considerare non dispersive nel


VELOCITÀ DI PROPAGAZIONE DELLE ONDE SISMICHE NEI TERRENI

campo delle piccole deformazioni (dominio elastico lineare) e delle basse frequenzee si possono applicare le relazioni precedenti

Nel caso delle misure sismiche le frequenze dell’eccitazione (1-10 Hz) e l’ampiezza massima delle deformazioni indotte (< 0.0001%) sono tali da potere applicare tale modello

*

Per terreni non saturi e rocce da misure sismiche risulta: VP

VS≈ 1.5 ÷2.0

* Velocità di propagazione nell’acqua

2222

nell’acqua VP =1500m/s; nell’aria VP=340m/s

12

La velocità delle onde S è scarsamente influenzata dal grado di saturazione Sr delterreno (l’acqua non può sostenere sforzi di taglio);

l à d ll d è fl d


VELOCITÀ DI PROPAGAZIONE DELLE ONDE SISMICHE NEI TERRENI

La velocità delle onde P è invece influenzata da Sr

In particolare:

per Sr = 100% la velocità delle onde P ècontrollata dal mezzo liquido che e’

per Sr < 99% la velocità delle onde P ècontrollata dalla rigidezza dello scheletrosolido nella stessa maniera delle onde S

V nell’ acqua

Ran ge a l variaredell’i ndice dei vuoti

15 00

à de

lle o

nde

P, V [m

/s]

P

P

1200

900

qincompressibile (VP = 1500 m/s) sesuperiore a quella dello scheletro solido

per 99< Sr < 100% la velocità delleonde P varia sensibilmente col grado disaturazione

Grado di saturaz ione , S [%]

Veloci

tà

R

600

300

99.4 99.6 99.8

2323

Nei mezzi elastici stratificati e dotati di una frontiera, la propagazione delle


PROPAGAZIONE DELLE ONDE SISMICHE IN UN MEZZO ELASTICO E STRATIFICATO E CONFINATO

onde sismiche segue leggi fisiche più complicate di quelle nel mezzo elastico,omogeneo, isotropo ed infinitamente esteso. Infatti nell’attraversare lasuperficie di interfaccia tra due strati di differenti proprietà meccaniche o incorrispondenza della superficie di frontiera, si verificano i seguenti fenomeni:

1) generazione di onde di volume rifratte e riflesse con differenti direzionidi propagazione e che possono anche essere di natura diversa dall’ondaincidente;

2) i di d fi i li ( d di R l i h di L ) i2) generazione di onde superficiali (onde di Rayleigh e di Love) incorrispondenza di superfici che non trasmettono onde di volume(superfici libere);

3) modificazione dell’ampiezza del moto in relazione al rapportorapporto didiimpedenzaimpedenza sismicasismica, cioè al rapporto dei prodotti ρV (impedenzasismica) dei mezzi a contatto.

2424

13

1) Quando un’onda sismica (onda incidente) incontra la superficie di separazione tra duemezzi isotropi con differenti caratteristiche meccaniche una parte dell’energia si trasmettenello stesso mezzo in cui si propaga l’onda incidente (onda riflessa) e una parte si rifrangenell’altro (onda rifratta) sotto forma di onde aventi natura e direzione di propagazione


RIFRAZIONE E RIFLESSIONE

( ) p p gdiversa da quella dell’onda incidente;

ogni onda di volume (P) o di taglio (SV) genera nel punto d’incidenza due onde riflesse,una longitudinale (P1) e l’altra trasversale (SV1) e due onde rifratte, una longitudinale(P2) e l’altra trasversale (SV2)

ogni onda SH genera un’onda SH rifratta e una riflessa

2525

Le onde SV e P riflesse e rifratte assumono direzioni diverse da quella originaria elegate ad essa secondo la legge di Snell:


RIFRAZIONE E RIFLESSIONE

t u

SV rifratta

P rifratta

ρ V VMEZZO B

B,PB,SA,PA,SA,S V)u(sen

V)t(sen

V)s(sen

V)r(sen

V)i(sen

====

dovei è l’angolo di incidenza,r e s gli angoli di riflessione,t ed u gli angoli di rifrazione VS,A, VS,B, VP,A e VP,B le velocità delle onde S e P nei due mezzi

i r

s

SV

P riflessa

SV riflessa

ρ VP,BB V S,BV Vρ A S,AP,A

MEZZO BMEZZO ALa relazione di Snell implica un

avvicinamento della direzione di propagazione alla normale alla superficie di separazione dei mezzi proporzionale alla diminuzione di velocità di propagazione nel mezzo B rispetto al mezzo A 2626

14

In un sottosuolo reale, allontanandosi dalla sorgente, man mano che i volumiinteressati dalla perturbazione diventano maggiori, si ha una modificazione dellecaratteristiche delle onde sismiche consistenti in:


PROPAGAZIONE DELLE ONDE SISMICHE NEL SOTTOSUOLO

raddrizzamento della direzione di propagazione (in prossimità della superficielibera le onde incidenti si considerano praticamente verticali e il moto orizzontale)

smorzamento geometrico o per radiazione (il solo smorzamento nei mezziomogenei ed elastici) dovuto al fatto il volume di terreno investito è sempremaggiore e quindi il contenuto energetico dell’onda diminuisce con la distanza

attenuazione della loro ampiezza: l’energia trasportata dalle onde sismiche,(anche qualora l’energia generata dalla sorgente fosse continua e costante) tende adattenuarsi con la distanza per differenti tipi di smorzamento:

maggiore e quindi il contenuto energetico dell onda diminuisce con la distanzadalla sorgente, e con esso anche l’ampiezza dello spostamento nel mezzo

smorzamento per scattering (si aggiunge a quello geometrico nei mezzielastici stratificati) consistente in una dissipazione di energia dovuta alleriflessioni e rifrazioni multiple

smorzamento interno (si aggiunge a quello geometrico nei mezzi non elastici)che consiste in una dissipazione di energia legata alle proprietà isteretiche delterreno 2727

Valori tipici del coefficiente di Poisson per alcuni materiali


VALORI TIPICI DEL COEFFICIENTE DI POISSON

1G2'E

a

r −==εε

ν

materiale ν [-]argilla satura 0.40-0.50

argilla 0.30-0.45sabbia 0.20-0.45roccia 0.10-0.30(*)

gomma ~ 0.50acciaio 0.27-0.30acciaio 0.27 0.30

cemento 0.20sughero ~ 0.00

(*) aumenta all’aumentare del carico applicato edel contenuto in acqua (L. S. Burshtein, 1968)

2828

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