Circuiti del secondo ordine - unibo.it11 1 12 2 1 1 a x t a x t t dt dx a x t a x t t dt dx 3...

Circuiti dinamici

Circuiti del secondo ordine

www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm

(versione del 9-11-2013)

2


● Circuiti del secondo ordine: circuiti il cui stato è definito da due variabili x1(t) e x2(t)

Per un circuito (non degenere) del secondo ordine le equazioni di stato hanno la forma

f1(t) e f2(t) sono delle combinazioni lineari degli ingressi

)(f)()(

)(f)()(

22221212

12121111

ttxatxadt

dx

ttxatxadt

dx

3


● I circuiti non degeneri del secondo ordine contengono due bipolidinamici (condensatori o induttori) si hanno tre possibilità:

4

Circuiti con un induttore e un condensatore (1)

● Il circuito è costituito da un doppio bipolo resistivo (formato da componenti lineari e generatori indipendenti) con le porte collegate a un induttore e un condensatore

● Se il circuito non è degenere il circuito resistivo associato ammette un’unica soluzione è possibile fissare i valori di iL e di vC

il doppio bipolo ammette la rappresentazione ibrida Per il teorema di rappresentazione del doppio bipolo, le equazioni

della parte resistiva del circuito sono

)()(v)()(

)()()()(

2G2221212

1G2121111

tithtihti

tvtvhtihtv

5

Circuiti con un induttore e un condensatore (2)

● Inoltre si ha

Quindi le equazioni di stato sono

C

titv

C

hti

C

h

dt

dvL

tvtv

L

hti

L

h

dt

di

)()()(

)()()(

2GC

22L

21C

1GC

12L

11L

dt

dvCiivv

dt

diLvvii

CC2C2

LL1L1

6

Circuiti con due induttori

● Per un circuito non degenere con due induttori, il doppio bipolo ècomandato in corrente ( il circuito resistivo associato ammette un’unica soluzione)

Il doppio bipolo ammette la rappresentazione mediante di matrice di resistenza

Le equazioni di stato sono

2

2G2L

2

221L

2

212L

1

1G2L

1

121L

1

111L

)()()(

)()()(

L

tvti

L

rti

L

r

dt

di

L

tvti

L

rti

L

r

dt

di

7

Circuiti con due condensatori

● Per un circuito non degenere con due condensatori, il doppio bipolo ècomandato in tensione ( il circuito resistivo associato ammette un’unica soluzione)

Il doppio bipolo ammette la rappresentazione mediante di matrice di conduttanza

Le equazioni di stato sono

2

2G2C

2

221C

2

212C

1

1G2C

1

121C

1

111C

)()()(

)()()(

C

titv

C

gtv

C

g

dt

dv

C

titv

C

gtv

C

g

dt

dv

8

Circuiti del 2° ordine reciproci

● Se il circuito è formato da componenti reciproci si ha

C

tt

C

ht

C

h

dt

dL

tt

L

ht

L

h

dt

d

hh)(i

)(v)(iv

)(v)(v)(i

i

2GC

22L

21C

1GC

21L

11L

2112

2

2G2L

2

221L

2

212L

1

1G2L

1

211L

1

111L

2112 )(v)(i)(i

i

)(v)(i)(i

i

L

tt

L

rt

L

r

dt

dL

tt

L

rt

L

r

dt

d

rr

2

2G2C

2

221C

2

212C

1

1G2C

1

211C

1

111C

2112 )(i)(v)(v

v

)(i)(v)(v

v

C

tt

C

gt

C

g

dt

dC

tt

C

gt

C

g

dt

d

gg

9

Equazioni risolventi del secondo ordine (1)

● In generale la risoluzione del sistema delle equazioni di stato può essere ricondotta alla risoluzione di un’equazione del secondo ordine contenente una sola variabile di stato

● Per ottenere l’equazione risolvente si elimina una delle variabili dal sistema

Mediante una delle equazioni si esprime una delle variabili di stato in funzione dell’altra variabile e della derivata dell’altra variabile

Si sostituisce questa espressione nell’altra equazione

10

Derivazione dell’equazione del secondo ordine in x1

)(f)()(

)(f)()(

22221212

12121111

ttxatxadt

dx

ttxatxadt

dx

)(f1

)(1

)( 112

112

111

122 t

atx

a

a

dt

dx

atx

dt

d

adt

dx

a

a

dt

xd

adt

dx 1

12

1

12

1121

2

12

2 f11

)(f)(ff

)()()( 2121221

1211222111

221121

2

tatadt

dtxaaaa

dt

dxaa

dt

xd

11

Nota

● Il procedimento non è applicabile se a12 0 o a21 0

Se a12 0 nella prima equazione di stato non compare x2(t)

x1(t) soddisfa un’equazione differenziale del primo ordine

Se a21 0 nella seconda equazione di stato non compare x1(t)

x2(t) soddisfa un’equazione differenziale del primo ordine

● Se il circuito è reciproco a12 0 a21 0

In questo caso il circuito si riduce a due circuiti del primo ordine disaccoppiati

12


● Equazione risolvente in x1

● Procedendo in modo analogo si trova l’equazione risolvente in x2

Le equazioni del secondo ordine relative alle due variabili di stato differiscono solo per i termini noti

)(f)(ff

)()()( 2111212

2211222112

221122

2

tatadt

dtxaaaa

dt

dxaa

dt

xd

)(f)(ff

)()()( 2121221

1211222111

221121

2

tatadt

dtxaaaa

dt

dxaa

dt

xd

13


● Le due equazioni possono essere scritte nella forma

coefficiente di smorzamento

pulsazione naturale

)2,1()()(2 202

2

itFtxdt

dx

dt

xdii

ii

)tr()(2 2211 A aa

)det(2112221120 A aaaa

2221

1211

aa

aaA

14

Espressioni delle variabili di stato

● I primi membri delle equazioni in x1 e x2 sono uguali

per entrambe le variabili di stato l’equazione omogenea associata è la stessa

● Le variabili di stato possono essere espresse come

● xP1(t) e xP2(t) rappresentano le soluzioni particolari

● xH1(t) e xH2(t) derivano dall’integrale generale della stessa equazione omogenea

differiscono solo per i valori delle due costanti dipendenti dalle condizioni iniziali

)()()(

)()()(

222

111

txtxtx

txtxtx

PH

PH

15

Condizioni iniziali

● Per determinare la soluzione occorre associare a ciascuna equazione differenziale due condizioni iniziali relative al valore all’istante t0

+ di xj e della sua derivata

● I valori iniziali delle variabili di stato si ottengono studiando il comportamento del circuito per t t0

● I valori all’istante t0+ delle derivate delle variabili di stato si

ottengono inserendo nelle equazioni di stato i valori delle variabili di stato all’istante t t0

)(f)()(

)(f)()(

02022201212

01021201111

0

0

ttxatxadt

dx

ttxatxadt

dx

t

t

16

Determinazione della soluzione omogenea

● Per determinare l’integrale generale dell’equazione omogenea associata, si deve risolvere l’equazione caratteristica

● Le soluzioni dell’equazione caratteristica sono dette frequenze naturali del circuito

● Si distinguono tre casi caratterizzati da valore positivo, nullo o negativo del discriminante

soluzioni reali distinte:

soluzioni reali coincidenti:

soluzioni complesse coniugate:

02 20

2

20

2 20

20 20

20 20

20

17

Soluzioni reali distinte (1)

● Le frequenze naturali sono

Se , si ha d < e quindi 1, 2 < 0 Il circuito è asintoticamente stabile

In questo caso si dice che il circuito è sovrasmorzato

● Integrale generale dell’equazione omogenea associata:

● Integrale generale dell’equazione completa:

d 20

221,

020

2

)()( 2121 txekektx Pi

ti

tii

ti

tiHi ekektx 21

21)(

00 20 e

18

Soluzioni reali distinte (2)

● Le costanti k1i e k2i si determinano imponendo le condizioni iniziali

● Assumendo, per semplicità, t0 0 si ha

02211

0

21 )0()0(

dt

dxkk

dt

dx

xkkx

Piii

i

Piiii

12

100

2

21

200

1

)0()0(

)0()0(

PiiPii

i

PiiPii

i

xxdt

dx

dt

dx

k

xxdt

dx

dt

dx

k

19

Soluzioni reali coincidenti (1)

● Il valore comune delle due frequenze naturali è

Se > 0, le soluzioni sono negative

Il circuito è asintoticamente stabile

In questo caso si dice che il circuito è criticamente smorzato



21

020

2

tii

tiiHi etkketkktx 0)()()( 2121

)()()( 21 txetkktx Pit

iii

20

Soluzioni reali coincidenti (2)

● Le costanti k1i e k2i si determinano imponendo le condizioni iniziali

● Assumendo t0 0 si ha

021

0

1 )0()0(

dt

dxkk

dt

dx

xkx

Piii

i

Piii

)0()0(

)0()0(

002

1

Pii

Piii

Piii

xxdt

dx

dt

dxk

xxk

21

Soluzioni complesse coniugate (1)

● Le frequenze naturali sono

Se > 0, le parti reali di e sono negative

Il circuito è asintoticamente stabile

In questo caso si dice che il circuito è sottosmorzato


● Questa soluzione rappresenta la tensione di un condensatore o la corrente di un induttore, quindi ha significato fisico solo se assume valori reali per ogni t

djj 22021,

020

2

tji

tjiHi

dd ekektx )(2

)(1)(

22


● Affinché xHi(t) sia reale occorre che sia

Si può porre

Utilizzando la formula di Eulero si ottiene


● Anche in questo caso si devono determinare due costanti reali (Ai e i) imponendo le condizioni iniziali

)()cos()( txteAtx Piidt

ii

idt

i

tjtjt

i

tjjitjjiHi

teAee

eA

eeA

eeA

tx

idid

didi

cos2

22)(

)()(

)()(

*12 ii kk

ii jiiiii

jii e

AkARAe

Ak

2)0,,(

2 21

23


● Assumendo t0 0, si deve risolvere il sistema

00

)sen()cos(

)0()cos()0(

dt

dxAA

dt

dxxAx

Piiidii

i

Piiii

bxxdt

dx

dt

dxA

axxA

PiiiPi

dii

Piiii

)0()0(1

)sen(

)0()0()cos(

00

0)sgn(/arctg

0)sgn(2

0/arctg

22

abab

ab

aab

baA

i

i

24

Espressioni delle risposte (1)

● Le altre risposte sono combinazioni lineari delle variabili di stato e degli ingressi

La generica risposta yi(t) può essere espressa come

● yPi(t) è un termine che dipende solo dagli ingressi● yHi(t) ha la stessa forma di xH1(t) e xH2(t)

● Quindi tutte le tensioni e le correnti del circuito hanno, a seconda del valore di , espressioni del tipo

)()()( tytyty PiHii

)(g)()()( 2211 ttxctxcty iiii

0)()cos()(

0)()(

0)()(

21

2121

per

per

per

tyteAty

tytekekty

tyekekty

Piidt

ii

Pit

it

ii

Pit

it

ii

25

Espressioni delle risposte (2)

● Se il circuito è asintoticamente stabile, per t le componenti yHi(t)tendono a zero (componenti transitorie)

● Per t abbastanza grande, cioè per

(dove in pratica significa 57 volte maggiore) le risposte si identificano con le componenti yPi(t) (componenti di regime) dipendenti solo dagli ingressi

● In particolare

se gli ingressi sono costanti il circuito si porta in regime stazionario

se gli ingressi sono sinusoidali e isofrequenziali il circuito si porta in regime sinusoidale

01

01

,1

max21

se

se

t

t

26

Risposta di un circuito del secondo ordine

Caso sovrasmorzatoIngresso costante

27


Caso sovrasmorzatoIngresso costante

28


Caso sovrasmorzatoIngresso sinusoidale

29


Smorzamento criticoIngresso costante

30


Smorzamento criticoIngresso costante

31


Smorzamento criticoIngresso sinusoidale

32


Caso sottosmorzatoIngresso costante

33


Caso sottosmorzatoIngresso sinusoidale

34

Risposta di un circuito passivo (1)

● Un circuito formato da componenti passivi e generatori indipendenti è stabile

● L’equazione caratteristica ha due soluzioni distinte con parte reale non positiva oppure due soluzioni coincidenti negative, quindi:

La somma delle soluzioni è non positiva

Il prodotto delle soluzioni è non negativo

I coefficienti dell’equazione caratteristica soddisfano le condizioni

0)det(

002)tr(

2120

21

A

A

35


● Le condizioni precedenti possono essere ricavate anche a partire dalle proprietà delle matrici R, G, e H di un due porte passivo

● Nei tre casi di circuito con due induttori, due condensatori o un condensatore e un induttore si ha, rispettivamente

● Se il circuito è passivo, gli elementi sulla diagonale principale delle matrici R, G, e H sono non negativi, quindi

C

h

L

h

C

g

C

g

L

r

L

r

2211

2

22

1

11

2

22

1

11

)tr(

)tr(

)tr(

A

A

A

0)tr( A

36


● Per un doppio bipolo passivi valgono, inoltre le condizioni

● Queste condizioni implicano che sia

● Quindi si ha anche

● E, di conseguenza,

2

21122211

2

21122211

2

21122211 222

hh

hhgg

ggrr

rr

2

21122211 2

aa

aa

2

21122112

2

211221122211 22

aa

aaaa

aaaa

02

)det(2

2112

aa

A

37

Risposta di un circuito reciproco

● Se il circuito è reciproco si può avere solo se i due componenti dinamici sono un induttore e un condensatore

Dimostrazione:

● Il discriminante dell’equazione caratteristica è

● Per un circuito reciproco con due induttori o due condensatori a12 e a21hanno lo stesso segno il discriminante è positivo

● Per un circuito reciproco con un induttore e un condensatore a12 e a21hanno segno opposto il discriminante può essere positivo, nullo o negativo

21122

2211

211222112

221122

02

)(4

1

)()(4

1)det()(tr

4

1

aaaa

aaaaaa

AA

38

Analisi di circuiti del secondo ordine - Riepilogo (1)

● Si studia il circuito per t t0 e si determinano i valori iniziali

(all’istante t t0) delle variabili di stato

● Si costruisce il circuito resistivo associato per t > t0

● Analizzando il circuito resistivo associato si ricavano

le equazioni di stato

le equazioni di uscita relative alle (eventuali) altre risposte richieste

● Si elimina una delle variabili di stato dalle equazioni di stato

Si ricava un’equazione differenziale del secondo ordine nell’altra variabile

39

Analisi di circuiti del secondo ordine - Riepilogo (2)

● Si ricava la condizione iniziale relativa alla derivata inserendo i valori iniziali delle variabili di stato in una delle equazioni di stato

● Si risolve l’equazione differenziale e si determina l’andamento di una delle variabili di stato

● Si ricava l’altra variabile di stato mediante l’espressione che èstata utilizzata per eliminarla dal sistema

● Si determinano le altre risposte inserendo le espressioni delle variabili di stato nelle equazioni di uscita

(Le variabili coniugate possono essere calcolate anche sostituendo le espressioni delle variabili di stato nelle equazioni dei componenti dinamici)

40

Analisi di circuiti del 2° ordine – Metodo diretto

● Se la componente di regime yPj(t) può essere ricavata direttamente (es. regime stazionario o sinusoidale) è possibile calcolare le risposte con un procedimento semplificato:

Dalle equazioni di stato si ricava l’equazione caratteristica

Risolta l’equazione caratteristica, si ricava yHi(t)

Si determinano le due costanti contenute in yHi(t) imponendo che yi(t) yHi(t) + yPi(t) soddisfi le condizioni iniziali

Se la risposta che si deve valutare non coincide con una variabile di stato, le condizioni iniziali si ottengono sostituendo

i valori iniziali delle variabili di stato nell’equazione di uscita

i valori iniziali delle derivate delle variabili di stato nell’equazione ottenuta derivando membro a membro l’equazione di uscita

0)det()tr(2 AA

41

Circuiti elementari del secondo ordine

Circuito RLC serie Circuito RLC parallelo

42

Circuito RLC serie

● LKI:

● LKV:

● Componenti:

)()()( tititi RLC )()()()( tvtvtvtv GCLR

dt

dvCti C

C )(

dt

dvRCtRitv C

RR )()(

)()(2

2

tvtvdt

dvRC

dt

vdLC GC

CC

2

2

)(dt

vdLC

dt

diLtv CL

L

43

Circuito RLC parallelo

● LKI:

● LKV:

● Componenti:

)()()( tvtvtv RLC )()()()( titititi GCLR

dt

diLtv L

L )(

dt

di

R

L

R

tvti LR

R )(

)(

)()(2

2

titidt

di

R

L

dt

idLC GL

LL

2

2

)(dt

idLC

dt

dvCti LC

C

44

Equazione risolvente

● Le due equazioni possono essere poste nella forma

● Il coefficiente di smorzamento è

per il circuito RLC serie

per il circuito RLC parallelo

● La pulsazione naturale 0 vale

0 è pulsazione di risonanza del bipolo RLC

● Il rapporto è il fattore di merito del bipolo RLC

)f()(2 20

202

2

ttxdt

dx

dt

xd

L

R

2

LC

10

C

G

RC 22

1

2

00Q

f(t) grandezza impressa del generatore

45

Risposte di un circuito RLC (1)

● Per il circuito RLC serie, il discriminante dell’equazione caratteristica si annulla se

RC è detta resistenza critica

● Per il circuito RLC parallelo, il discriminante si annulla se

GC è detta conduttanza critica

● In termini di fattore di merito, dato che e per un circuito passivo non possono essere negativi, per entrambi i circuiti si ha

CRC

LR

LCL

R 2

1

4 2

220

2

CGL

CG

LCC

G 2

1

4 2

220

2

2

1

20

0020

2

Q

46

Risposte di un circuito RLC (2)

● Il circuito RLC serie è

sovrasmorzato per R > RC

criticamente smorzato per R = RC

sottosmorzato per R < RC

● Il circuito RLC parallelo è

sovrasmorzato per G > GC

criticamente smorzato per G = GC

sottosmorzato per G < GC

● In termini di fattore di merito, per entrambi i circuiti si ha

caso sovrasmorzato per Q0 1/2 caso criticamente smorzato per Q0 1/2 caso sottosmorzato per Q0 1/2

47

Circuiti LC (1)

● Come casi limite per R 0 per il circuito RLC serie e per G 0 (R ) per il circuito RLC parallelo si ha

Circuito LC serie Circuito LC parallelo

2

020

00Q

L

R

R

2

020

00Q

C

G

G

48

Circuiti LC (2)

● Le equazioni differenziali (rispettivamente in vC e iL) diventano

● L’equazione caratteristica ha due soluzioni immaginarie coniugate

In questo caso si dice che il circuito è senza perdite

● L’integrale generale dell’equazione omogenea è una funzione sinusoidale di pulsazione

non si annulla per t ma rimane limitata il circuito è semplicemente stabile

● L’espressione della risposta completa è

02120 0 j

)()cos()( 0 txtAtx P

)cos()( 0 tAtxH

)f()( 20

202

2

ttxdt

xd

49

Oscillatore armonico (1)

● Se l’ingresso è nullo, i circuiti LC serie e parallelo si riducono al circuito seguente

● Considerando (per esempio) l’equazione in vC si ottiene

● Quindi si ha anche

La tensione e la corrente sono sinusoidali con pulsazione 0

)cos()()( 0 VMLC tVtvtv

)sen()sen()()( 000 VMVMC

CL tVL

CtCV

dt

dvCtiti

Oscillatorearmonico

50


● Energia accumulata nel condensatore

● Energia accumulata nell’induttore

wC(t) è massima quando wL(t) si annulla e viceversa

● Energia totale

● L’energia totale è costante e coincide con i valori massimi assunti da wC(t) e da wL(t)

Si ha uno scambio continuo di energia tra il condensatore e l’induttore

)(cos2

1)(

2

1)( 0

222VMCC tCVtCvtw

)(sen2

1)(

2

1)( 0

222VMLL tCVtLitw

2

2

1)()( MLCT CVtwtwW

51


52

Oscillatore smorzato (1)

● A partire dal valore 0, si incrementa la resistenza del resistore in serie a L e C o la conduttanza del resistore in parallelo a L e C

A causa della dissipazione nel resistore, l’energia accumulata nel circuito diminuisce progressivamente e tende a zero per t

0QR 0QG

53


● Inizialmente il circuito è sottosmorzato

l’ampiezza delle oscillazioni decresce come et

la pulsazione diminuisce all’aumentare di

● Aumentando si raggiunge la condizione di smorzamento critico per

in queste condizioni la pulsazione d si annulla

a partire da questo punto nelle risposte dei circuiti non sono piùpresenti i termini oscillanti

● Aumentando ulteriormente il circuito diviene sovrasmorzato

al crescere di una delle soluzioni dell’equazione caratteristica tende a mentre l’altra tende a zero

per t la risposta tende a zero sempre più lentamente

220 d

L

CGG

C

LRR CC 220

54

Luogo delle soluzioni dell’equazione caratteristica

Circonferenza di raggio

55


● A parità di 0 la risposta con smorzamento critico è quella che tende a zero più rapidamente per t

● Dimostrazione In condizioni di smorzamento critico ( 0) le risposte del circuito

sono del tipo

caso sottosmorzato

caso sovrasmorzato

tC etcctx 0)()( 21

0)cos()( 000 contAetx t

0)cos(

lim)(

)(lim )(

0

21 0

t

t

C

te

tA

tcc

tx

tx

0

0)(

02

0120121

21 contt ekektx

0lim)(

)(lim )(

2)(

1

21

2010

ttt

C

t ekek

tcc

tx

tx

56


57

Oscillatore armonico forzato (1)

● Si considera un circuito LC serie con un generatore di tensione sinusoidale

● Se , l’equazione in vC

ammette una soluzione particolaresinusoidale con pulsazione

● La soluzione particolare può essere determinata direttamente mediante il metodo simbolico

)cos()( tVtV GMG

)cos()( 20

202

2

tVtvdt

vdGMC

C

220

20

211

1

GGGCP LCLj

Cj

Cj VVVV

58


● Soluzione particolare

● Integrale generale dell’equazione completa

● Per la corrente dell’induttore si ha

● Le risposte del circuito sono combinazioni di due funzioni sinusoidali con pulsazioni diverse

In generale le risposte sono aperiodiche

)cos()(22

0

20

t

Vtv GM

CP

)cos()cos()(22

0

20

0

t

VtAtv GM

C

)sen()sen()(22

0

20

00

t

VCtCA

dt

dvCti GMC

L

59


60


● Se l’impedenza della serie L-C si annulla

● Nell’analisi con il metodo simbolico si ottiene un circuito assurdo (generatore di tensione in parallelo con un cortocircuito)

● L’equazione differenziale non ammette una soluzione particolare sinusoidale di pulsazione

● Si può verificare che in questo caso l’equazione ammette una soluzione particolare del tipo

● Infatti, dato che

sostituendo vCP(t) nell’equazione differenziale si ottiene

)sen()( 0 tVttvCP

)sen()cos(2 020002

2

tVttVdt

vd CP

2)cos()cos(2

0

02000

GM

GM

VVtVtV

61


● L’integrale generale è quindi

● Se si considera il caso particolare

si ottiene

)sen(2

)cos()( 00

0

ttV

tAtv GMC

V/s0A0)0(

V0)0(

0

0

dt

dvi

v

CL

C ( Risposta nello stato zero)

)cos(2

)sen(2

)(

)sen(2

)(

0

20

00

00

ttCV

tCV

dt

dvCti

ttV

tv

GMGMCL

GMC

( fase di vG(t) uguale a zero)

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Circuiti del secondo ordine - unibo.it11 1 12 2 1 1 a x t a x t t dt dx a x t a x t t dt dx 3...

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