6. Integrali curvilinei

Davide Cataniadavide.catania@unibs.it

Esercitazioni di Analisi Matematica 2A.A. 2016/17

Integrali curvilinei di campi scalari

Integrali curvilinei di campi vettoriali

Campi vettoriali conservativi e irrotazionali

Se A ⊆Rn, f : A →R è continua e γ data da r : [a,b] → A è unacurva regolare a tratti, allora si ha∫

γf ds =

∫ b

af(r(t)

)|r′(t)|dt .

Non dipende dall’orientazione di γ (è invariante per cambi diparametrizzazione regolari).

Se f Ê 0 (e n = 3), questo integrale rappresenta l’area dellasuperficie sottesa alla curva γ.

Esercizio 1Calcola

I =∫γ

(x2 +y2 −z)ds

dove γ è l’arco di elica circolare dato da

r(t) = Rcos t i1 +Rsin t i2 +ht i3 , t ∈ [0,π] .

Esercizio 2Calcola

I =∫γ

xy ex2ds ,

dove γ è data da

r(t) = 3cos t i1 +3sin t i2 , t ∈ [0,3/2π] .

Esercizio 3Calcola l’integrale curvilineo

I =∫γ

3p

x ds ,

dove γ è la curva di rappresentazione parametrica

r(t) = sin2 t i1 +cos2 t i2 , t ∈ [0,π] .

Esercizio: attenzione ai valori assoluti!

I = ∫ π0 (3

√sin2 t)2

p2|sin t cos t|dt

Esercizio 4Calcola

∫γ(x+y)ds, dove γ è la frontiera del triangolo di vertici

O = (0,0) , A = (1,0) , B = (0,1) .

Esercizio 5Calcola

∫γ

py ds, dove γ è la frontiera dell’insieme piano

delimitato dalla parabola y = x2, dall’asse y e dalla retta y = 4.

Integrali curvilinei di campi scalari

Integrali curvilinei di campi vettoriali

Campi vettoriali conservativi e irrotazionali

Se A ⊆Rn, F : A →Rn è continua e γ data da r : [a,b] → A è unacurva regolare a tratti, allora si ha∫

γF ·dr =

∫ b

aF(r(t)) · r′(t)dt .

Se F = (F1,F2,F3) er(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k = x(t)i1 +y(t)i2 +z(t)i3 , si ponedr = (dx,dy,dz) e si scrive anche∫

γF1 dx+F2 dy+F3 dz =

∫ b

a

[F1

(x(t),y(t),z(t)

)x′(t)

+F2(x(t),y(t),z(t)

)y′(t)+F3

(x(t),y(t),z(t)

)z′(t)

]dt .

Se cambia l’orientazione di γ, questi integrali cambiano segno.Fisicamente, rappresentano il lavoro compiuto dalla forza F perspostare un punto materiale da r(a) a r(b) lungo γ.

Esercizio 6Calcola l’integrale curvilineo

∫γ(yi+xj) ·dr lungo r(t) = t2i+ tj,

con −1 É t É 2.

Esercizio 7Calcola l’integrale curvilineo

∮γG ·dr, dove G(x,y) = xy(i1 + i2)

e γ è il contorno del rettangolo di vertici A = (0,0), B = (1,0),C = (1,7) e D = (0,7) percorso in senso antiorario da A.

Esercizio 8Calcola l’integrale curvilineo

∫γex2+y2

(x dx+y dy) , dove γ è

l’arco di ellisse di equazione x2

2 + y2

3 = 1 contenuto nel primoquadrante e percorso in senso antiorario.

Esercizio 9Determina α in modo che, se G(x,y,z) = x i1 + (y−z) i3 e

r(t) = 2αt i1 +arctan(2t) i2 + i3 , 0 É t É 1,

si abbia∫γG ·dr = 1.

Integrali curvilinei di campi scalari

Integrali curvilinei di campi vettoriali

Campi vettoriali conservativi e irrotazionali

Un campo vettoriale F : A →Rn, con A ⊆Rn, si diceconservativo se e solo se ammette un campo scalareU : A →R derivabile, detto potenziale di F , tale che F =∇U .In altre parole, F è conservativo se è un gradiente.

F continuo è conservativo se e solo se il suo integrale lungouna qualsiasi curva regolare a tratti non dipende dalla curva,ma solo dagli estremi. In particolare, l’integrale lungo ognicurva γ chiusa è nullo: ∮

γF ·dr = 0.

Il campo vettoriale F : A →Rn di classe C1 si dice irrotazionalese e solo se ha rotore nullo (rotF = 0), cioè le derivate in crocesono uguali, in ogni punto di A:

∂xj Fi(x) = ∂xi Fj(x) ∀x ∈ A .

n = 2 : ∂xF2 = ∂yF1 .

n = 3 : ∂xF2 = ∂yF1 , ∂xF3 = ∂zF1 , ∂yF3 = ∂zF2 .

Se un campo vettoriale è conservativo, allora è ancheirrotazionale. Il viceversa, in generale, non è vero.

Se un campo vettoriale è irrotazionale su un dominio Asemplicemente connesso (cioè ogni curva semplice chiusacontenuta in A è contraibile con continuità a un punto senzauscire da A), allora è anche conservativo.

I domini convessi sono anche semplicemente connessi.

In dimensione 2, i domini semplicemente connessi sono privi dibuchi.

In dimensione 3, R3 meno un punto (o semiretta o semipiano) èsemplicemente connesso, mentre R3 meno una retta (o unpiano) non lo è.

Esercizio 10Dati

F(x,y) = 2x

yi1 +

(y− x2

y2

)i2

e A = { (x,y) ∈R2 : x > 0 e y > 0} , calcola il potenziale di F in Ache vale 0 in (1,1).

F(x,y) = 2xy i1 +

(y− x2

y2

)i2 , U(1,1) = 0

F(x,y) = 2xy i1 +

(y− x2

y2

)i2 , U(1,1) = 0

Esercizio 11Dato F(x,y) = 2y(1−4xy) i1 +2x(1−4xy) i2, calcolane ilpotenziale in R2 che vale 0 in (0,0).

Esercizio 12Dato F(x,y,z) = 2x(y−z) i+x2 j+ (−x2 +3z2)k , sia ϕ ilpotenziale che vale 2 nel punto (0,0,0). Calcola ϕ(7,1,1).

F(x,y,z) = 2x(y−z) i+x2 j+ (−x2 +3z2)k , ϕ(0,0,0) = 2

F(x,y,z) = 2x(y−z) i+x2 j+ (−x2 +3z2)k , ϕ(0,0,0) = 2

Esercizio 13Calcola l’integrale curvilineo I = ∫

γ(4+y)dx+x dy , dove γ èdata da r(t) = 2(t − sin t)esin t i1 +2(1−cos t)cos

( t2

)i2 , con

t ∈ [0,π].

I = ∫γ(4+y)dx+x dy

Esercizio 14Calcola

∫γ2x ey dx+ey(x2 +7)dy , dove γ è data da

r(t) = 2cos t i1 + sin t i2 , t ∈[

0,π

2

].

Esercizio 15Determina α in modo che G : R+×R→R2, con

G(x,y) =(− 2yx3α

(1+x2)2+ 1

3cosx cosy

)i1 +

(1

1+x2−αsinx siny

)i2 ,

sia conservativo.

Esercizio 16Siano α ∈R+ e F(x,y) = y

1+xy i+(

x1+xy +y−5

)j . Detto Iα

l’integrale di F lungo il segmento di estremi A = (0,α) eB = (3,0) percorso da B verso A, trova α in modo che Iα siaminimo.

F(x,y) = y1+xy i+

(x

1+xy +y−5)

j

Esercizio 17Dato il campo vettoriale

F(x,y) =− y

x2 +y2i+ x

x2 +y2j ,

(a) verifica che è irrotazionale, ma non conservativo (calcolal’integrale lungo la circonferenza x2 +y2 = 1);

(b) verifica che è conservativo nel primo quadrante edeterminane un potenziale.